= 8( x 2 – x – – 2) – 3(9 x 2 – 6 x + + 1) + 2(4 x 2 – 9) = = 8 x 2 – 8 x – – 16 – 27 x 2 + 18 x – – 3 + 8 x 2 – 18 = –11 x 2 + 10 x – – 37 2.
Halla el cociente y el resto de esta división: (3x (3x 4 – 5x 5x 3 + 4x 4x 2 – 1) : (x ( x 2 + 2)
3 x 4 – 5 x 3 + 4 x 2 – 1 x 2 + 2 –3 x 4 – 6 x 2 3 x 2 – 5 x – – 2 – 5 x 3 – 2 x 2 5 x 3 + 10 x – 2 x 2 + 10 x 2 x 2 +4 10 x + 3 3.
4.
��������: 3 x 2 – 5 x – – 2 �����: 10 x + + 3
El polinomio x 4 – 2x 2x 3 – 23x 23x 2 – 2x 2x – – 24 es divisible divisible por x – – a para dos valores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos.
1 –2 –23 –2 –24 –4 – 4 24 – 4 24 1 –6 1 –6 0
1 –2 –23 –2 –24 6 6 24 6 24 1 4 1 4 0
Es divisible por x + 4. ��������: x 3 – 6 x 2 + x – 6
Es divisible por x – – 6. ��������: x 3 + 4 x 2 + x + + 4
Calcula el valor del parámetro m para que el polinomio P (x ) x ) = 7x 7x 3 – mx 2 + 3x 3x – – 2 sea divisible por x + x + 1.
7
–m 3 –2 –1 –7 7 + m –10 – m 7 –7 – m 10 + m –12 – m 5.
–12 – m = 0
→
m = –12
Descompón en factores los siguientes polinomios: a) x 4 – 12x 12x 3 + 36x 36x 2
b) 2x 3 + 5x 5x 2 – 4x 4x – – 3
a) x 4 – 12 x 3 + 36 x 2 = x 2( x 2 – 12 x + + 36) + 36 = 0 x 2 – 12 x +
→
= x =
12 ± 144 – 144 = 12 = 6 2 2
x 4 – 12 x 3 + 36 x 2 = x 2( x – – 6)2
42
ESO
Unidad 2. Polinomios y fracciones algebraicas
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 4
b)
2
5 – 4 –3 1 2 7 3 2 7 3 0 –3 – 6 –3 2 1 0
2 x 3 + 5 x 2 – 4 x – 3 = ( x – 1)( x + 3)(2 x + 1)
6.
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2 2 3 2x 2 y – xy 2 a) b) 3a3 b – 6ab 10x – 5y 3a b – 6a 2 b 2 2 2 3 2 x 2 y – xy 2 xy (2x – y) xy 3ab 2 (a – 2b) = b a) = = b) 3a3 b – 6ab = 10 x – 5y 5 (2 x – y ) 5 3a b – 6a 2 b 2 3a 2 b (a – 2b) a
7.
Efectúa, y simplifica si es posible. 2 a) 2x : 3 8 2 x – 3 x – 3x
2 b) x – 62 – x – 3 x – 2 (x – 2)
c) 1 – 2a + 23a + 1 a a –1 a – a
2 2 2 4 a) 2 x : 3 8 2 = 2 x · x (x – 3) = x x – 3 x – 3x 8 · (x – 3) 4 2 2 2 2 b) x – 62 – x – 3 = x – 6 – (x – 32) (x – 2) = x – 6 – x +25x – 6 = 5 x – 122 ( x – 2) x – 2 ( x – 2) ( x – 2) ( x – 2) 2 a 2 c) 1 – 2 a + 2a 2 + 1 = a 2– 1 – + 2a 2 + 1 = 2 a a – 1 a (a – 1) a (a – 1) a (a – 1) a (a – 1) 2 2 = a – 1 – a2 + 2a + 1 = 2 2 a (a – 1) a – 1 8.
Halla a y b para que al dividir x 3 + ax 2 + bx – 4 entre x + 1 el resto sea –10, y al dividirlo entre x – 2 el resto sea 2. P (–1) = –10 = (–1) 3 + a (–1)2 + b(–1) – 4 = –1 + a – b – 4 P (2) = 2 = 2 3 + a · 22 + b · 2 – 4 = 8 + 4 a + 2b – 4
→
a – b = –5
4a + 2b = –2 Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 4a – 4b = –5 8 2a – 2b = –10 4a + 2b = –2 4a + 2b = –2 6a = –12 → a = –2 –2 – b = –5 → –2 + 5 = b → b = 3 →
*
9.
En una parcela de lados x e y se construye una casa, en la zona que se indica en el dibujo.
50 m y
Expresa, en función de x e y , el área de la zona no edificada.
30 m
A = xy – ( x – 50)( y – 30) = xy – xy + 50 y + 30 x – 1 500 = 50 y + 30 x – 1 500
x
A = (30 x + 50 y – 1 500) m 2 10.
Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro: x
Volumen: V = x · ( x – 2) · ( x + 4) Área: A = 2( x + 4)( x – 2) + 2( x – 2) x + 2( x + 4) x