CÁLCULO INTEGRAL INGENIERÍA: ESTUDIOS GENERALES PRIMERA UNIDAD: La antiderivada de una función. Definición y Cálculo. La integral indefinida. Definición. Propiedades Básicas. Tabla de Integrales. Integración Inmediata. Método de Sustitución. Integración por Partes. Integración de Funciones Racionales e Irracionales. Integración de Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS: Derivada: Cálculo de derivadas, regla de la cadena, derivación implícita.
LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN En el curso de Cálculo Diferencial se resolvió el problema: “Dada una función
definida en un intervalo definida
Ahora estamos interesados en el problema inverso:
′
Equivalentemente:
es es tal que,
, hallar su derivada
, hallar la función original
“Dada la derivada
Es decir, la función
⊂ℝ
”
”
y se le llama la antiderivada de la función
Una antiderivada de una dada función es una función cuya derivada es la función dada.
4 4 ˄ 4 ′ 22 22 ˄ 2 ′
Ejemplo 1: Una antiderivada de En este caso:
Comprobándose así que:
Ejemplo 2: Una antiderivada de En este caso:
Comprobándose así que:
es
dado que, la derivada de
es es
es
dado que, la derivada de
1
es
5 2 2 5 5 ˄ 2 ′ 12 ⋮ 5 9 , ∈ ℝ ⊂ℝ ⊂ℝ ∀ ∈ , ∈ℝ ⇔ … 1 Ejemplo 3: Una antiderivada de
es
dado que, la derivada de dado
es es
.
En este caso:
Comprobándose así que:
Existen infinitas otras antiderivadas para
, como son:
Se puede observar que todas estas antiderivadas se diferencian en una constante, por lo cual definimos la antiderivada general de
En general, si
como como sigue:
es una antiderivada de es
, entonces, definimos la antiderivada general
, como sigue:
de
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCION . Si es una antiderivada de una función en un intervalo , entonces
es la antiderivada general de en el intervalo
si y solo si es de la
forma:
Nota:
es una antiderivada de es
, entonces,
es una solución de la ecuación es
diferencial:
Al proceso de solución de esta ecuación (hallar
y consecuentemente, la
antiderivada general) se llama integración indefinida , siendo así, definimos:
INTEGRAL INDEFINIDA. – Al proceso de hallar la antiderivada general de una función se llama integral indefinida. Denotamos:
∫
integral indefinida de respecto a ”. Representa al conjunto de todas las antiderivadas de . donde se se llama integrando , la diferencial que acompaña a nos indica la variable de nos integración y se llama constante de integración. Se lee: “la
CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA INTEGRALES :
′ ∫ ≝ ′
El Cálculo Diferencial nos dice que: Entonces, tenemos:
1.
En efecto
2
Luego:
2.
∀∈ℝ
⇰ ⇔ ∫ ∫ ∫ + ∫ ′ + + ≝ + ⇰ + ⇔ ∫ ∫ + ∫ ∫ ′ ≝ ⇰ ⇔ ∫ ∫ ∫ ∫ ′ ≝ ⇰ ⇔ ∫ ∫ ∫ En efecto
Luego:
3.
En efecto
Luego:
4.
En efecto
Luego:
Similarmente se opera con otras funciones para obtener:
3
+ .∫ ≠ . ∫ || .∫ . ∫ , > . ∫ . ∫ . ∫ . ∫ √ .∫ || . ∫ ± ± .∫ √ . ∫ ± ± ± ± . ∫ . ∫ . ∫ . ∫|| .∫|| . ∫| | . ∫ | | . ∫ .∫ . ∫. . ∫ . . ∫ . ∫ . ∫| | . ∫ | | . ∫ .∫ . ∫. . ∫ . . ∫ . ∫∫ . ∫( ) . ∫ ±∫±∫ FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Para constantes y :
REGLAS DE INTEGRACIÓN
EJERCICIOS DESARROLLADOS Calcular las integrales indefinidas que se proponen:
4
Ejercicio N° 01.
∫ 1 1 1 11 ⇰ 1 . . …1 ∫∫. ∫ 1 ∫ − 1 − − 1 ⇰ 1 …1 ó 1 ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 ⏞ 2 11 1 ∫ 1 2 11 Solución
En el integrando se tiene:
Reemplazando (1) en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 02.
Solución
En el integrando se tiene:
Reemplazando (1) en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 03.
∫ 2 5 Solución
En el integrando se tiene:
4 2 2 5 1 4 ⇰ 1 4 …1 5
1 2 1 1 ∫ 11 4 1 2 ∫ó ∫ 1 4 2 1 4 ⇰ 2 ∫ 1 4 ⏞ 12 . 12 21 1 ∫ 1 4 4 21
Reemplazando (1) en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 04.
∫ √1 ∫ √1 ∫ √11 ∫ ó ⇰ ∫ ⏞ 2 ∫ √ 1 2 2 ∫ 1Ln √ 1 12ln1 √ 1 2 Ln 1√ 1 2 . √ 1 1 ⇰ Ln 1√ 1 2 . √ 1 1 …1 Solución
Luego:
Ejercicio N° 05.
Solución
En el integrando se tiene:
∫ Ln 1√ 1 2 . √ 1 …1
Reemplazando (1) en la integral dada:
Resolvemos la integral por el método de sustitución:
6
Sea:
Ln(√ 1 ) ⇰ √ + …2 1 /2 Fór m ul a 1 1 1/2 ∫ √ ∫ ⇰ 2√ ⏞ 1/2 2√
Reemplazando (2) en (1):
Reponiendo la variable inicial, se tiene:
Ejercicio N° 06.
∫ 1Ln √ 1 2 1 ∫ 8
Solución
5 3 8 8 8 3 3 8 3 8 838 3 8 3 3 8 ⇰ 3 3 8 …1 5 3 8 3 8 ∫ 3 8 ∫5 ó3 ∫3 8 83 3 ∫ 3 88 ⇰ ∫ 3 8 ⏞ 3 3 |3 8| 5 ∫ 3 8 3 83 |3 8| ∫ 1 2 . 1 21 1 ⇰ 12 . …1
En el integrando se tiene:
Reemplazando (1) en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 07.
Solución
En el integrando se tiene:
Reemplazando (1) en la integral dada:
7
∫ 11 2 . …2
Resolvemos la integral (2) por el método de sustitución: Sea:
12 ⇰ ⇰ …3 Fór m ul a 2 1 1 2 ∫ 1 ⏞ 12 || ⇰ 2 || 1 2 ∫ 1
Reemplazando (3) en (2):
Reponiendo la variable inicial, se tiene:
Ejercicio N° 08.
∫ √ … . ∞ √ … . ∞ √ … .∞ ∫ √ … . ∞ ∫ ⏟ √ … . ∞ …
Solución Operando con el denominador del integrando y considerando que
:
Reemplazando en la integral dada:
Haciendo:
√ ….∞ ⇰ ⇰ … ∫ ∫ ∫ √ … . ∞ √ … . ∞ Reemplazando (2) en (1):
Reponiendo la variable inicial, se tiene:
Ejercicio N° 09.
8
∫ 66415210 55310 122…1 ˄ 2 2 2 …2 6641521066452 1 0210 21 ⇰ 6645210 2 2 6645220 ⇰ ⏞ 5 452 20 ⇰⇰ 64 2 645 42 20 22 2 3. 20 ⇰⇰ ⏞ 645 64 103.202 103. 20 ⇰⇰ 2 ⏞ 25. 2 2 5. 53. 10 ⇰ 66415210 25.53.10 …3 2 5. 53. 10 2 2 55310 ⇰ 2 2∫2 ∫ 66415210 55310 2 ∫ 7 7 6 1 1 1 77 12 7 7 16 2 7 16 7 162 ⇰ 17 1 7612 1 6 71 7 12 ⇰ 1 71 7 12 …1 Solución
En el integrando se tiene:
Analizando el numerador, utilizando las identidades trigonométricas:
Reemplazando (3) en la función del integrando:
Reemplazando
en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 10.
Solución
En el integrando se tiene:
9
Reemplazando (1) en la integral dada:
Luego:
1.
Si
6 6 ∫ ∫6 ∫ 7 16 ∫ 7 12 ⇰ ∫ ∫ 7 1 ∫ 7 12 ⇰ ∫ ∫ ∫ ⇰ ∫ ∫ ∫ ∫ √
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Método de Sustitución o Cambio de Variable.
⊂ℝ ∫ /′ ∫ ′ … ′′ ⇰ ′ ∫
es la antiderivada de la función definida en un intervalo
indefinida de la forma:
, entonces, La integral
Se resuelve haciendo el reemplazo siguiente:
Así:
La validez de esta relación, se comprueba fácilmente si derivamos el lado derecho.
Si en
, reemplazamos:
Obtenemos, la fórmula de cambio de variable:
10
Nota. 1. Para que la fórmula sea útil, debemos identificar en el integrando a la función su derivada
′
.
y a
2. Es necesario que en el integrando aparezca la función u y su derivada multiplicada por una constante. Después del cambio de variable, la integral debe ser posible de ser resuelta.
Ejercicio N° 11.
∫ ⇰ . ∫⏟ ∫⏟ … Solución
En el integrando se tiene:
Así:
1° Cálculo de Haciendo:
:
:
⇰ ∫ ⇰ ( )
Así:
2° Cálculo de Haciendo:
Así:
⇰ ∫ ∫. ∫ ⇰ ( )
Remplazando
e
en
:
11
⇰ ( ) ∫ √ ⇰ √ . √ ∫ √ ∫ − − ⇰ ∫ . ∫ ⇰ ∫ ( ⏟ ) )( )( ) (( )( ) ) ( ⇰ ⇰ ∫
Ejercicio N° 12.
Solución
Haciendo:
Así:
Reponiendo la variable inicial, se tiene:
Ejercicio N° 13.
Solución
En el integrando se tiene:
Analizando el denominador de la función :
Luego, la integral dada queda expresada como:
Cambio de variable:
12
Entonces:
Así:
⇰ √ ∫ √ √ [ ] √ √ √ √ ∫ √ √ ∫ √ √ √ ∫ √ ⇰ / −/ ∫ √ ∫ / √ ⇰ √
Reponiendo la variable inicial, se tiene:
Finalmente:
Ejercicio N° 14.
Solución
Cambio de variable:
Entonces:
Reponiendo la variable inicial, se tiene:
∫ √ √ Ejercicio N° 15.
∫ Solución
En el integrando se tiene:
13
Así:
∫ ⇰ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇰ ∫ ⇰ ∫ ∫ √ ( √ ) (√ ) √ (√ ) ( √ ) √ ∫ (√ ) √ …
Cambio de variable:
Reemplazando en la integral dada:
Reponiendo la variable inicial:
Ejercicio N° 16.
Solución
Cambio de variable:
Reemplazando en la integral dada:
Reponiendo la variable inicial:
Ejercicio N° 17.
Solución
En el integrando se tiene:
Reemplazando en la integral dada:
Cambio de variable:
14
√ ⇰ √ ∫ … ⇰ ∫ (√ ) ∫ √ ( √ ) (√ ) ∫ ∫ ∫ ⇰ ∫ ∫ ∫
Reemplazando en la integral
Cambio de variable en
En
:
:
Reponiendo la variable :
Reponiendo la variable :
Luego:
Ejercicio N° 18.
Solución
Cambio de variable:
Así, la integral queda expresada como:
Reponiendo la variable inicial:
Ejercicio N° 19.
Solución
15
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ … ⇰ ∫ ⇰ ⇰ ∫ ∫ (). ⇰ ∫ (). ∫ (). ∫ (). … ⇰
En el integrando se tiene:
Reemplazando en la integral dada:
Cambio de variable en
Reemplazando en
:
:
Reponiendo la variable inicial:
Ejercicio N° 20.
Solución
Cambio de variable:
Reemplazando en la integral dada:
Cambio de variable en
:
16
Reemplazando en
:
∫ . … ⇰ ∫ () ∫ (). ∫−. ∫. ⇰ . ∫ ∫−.
Cambio de variable en
Reemplazando en
:
:
Reponiendo la variable :
Reponiendo la variable :
Reponiendo la variable :
Finalmente:
Ejercicio N° 21.
Solución
Cambio de variable:
Reemplazando en la integral dada:
Luego:
17
Ejercicio N° 22.
∫ ⇰ ⇰ ∫ … ⇰ ∫ ∫ ⇰ … ∫∫∫ ∫ ∫ Solución
En el integrando se tiene:
Reemplazando en la integral dada:
Cambio de variable en
Reemplazando en
:
:
Reponiendo la variable inicial:
2. INTEGRACIÓN POR PARTES Si son funciones diferenciables, el cálculo diferencial nos enseña que:
calculando el diferencial en la relación
:
Obtenemos así, la fórmula utilizada en el método de integración por partes:
Observación:
1. Generalmente se usa integración por partes, cuando el integrando presenta funciones logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales,
18
ambas multiplicadas por una expresión en
; también cuando se tiene funciones
exponenciales multiplicadas por funciones de seno y/o coseno.
2. En algunos casos es útil la:
∀∈ℤ+ ∫ − − ∫ ≡ ⇰ ⇰ ⇰ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇰ ≡ ⇰ ⇰ ∫|| ∫|| ∫ ≡ ⇰ ⇰
Fórmula Recurrente:
se cumple:
Ejercicio N° 23.- Calcular
Solución
Utilizando la fórmula de integración por partes en la integral dada:
Ejercicio N° 24.- Calcular
Solución
Utilizando la fórmula de integración por partes en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 25.- Calcular
Solución
19
⇰ ∫⏟ … , ˄ − ⇰ ∫ ⇰ ∫ ∫ Utilizando la fórmula de integración por partes en la integral dada:
En
calculamos la integral
por la fórmula de recurrencia:
En este caso:
Entonces:
Reemplazando
en
:
Luego:
CASOS ESPECIALES : Un caso especial para integrales de la forma:
Donde:
: Es un polinomio de grado
: Puede ser
,
y
o
, se utiliza el siguiente esquema:
Ejercicio N° 26.- Calcular
20
∫ Solución
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
De acuerdo al diagrama:
Así:
Ejercicio N° 27.- Calcular
Solución
21
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
De acuerdo al diagrama:
Así:
Ejercicio N° 28.- Calcular
Solución
− ∫−− −− ∫− − ∫ ∫ − − − ∫ − − −
De acuerdo al diagrama:
Así:
22
3. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Dados los polinomios:
∑ =
∑ =
()<() ⇔ < ()>() ⇔ >
Una función racional es una función de la forma:
Donde: a. b.
es una función racional propia si:
es una función racional impropia si:
Nota. Nuestro estudio se centrará para el caso donde es integrando es función racional propia, para ello consideraremos:
… ⇰ ⋯ ⋯ ( ) ( ) ⋯ ∀∈ℤ+
CASO I.- Si
Donde,
presenta solo factores lineales sin repetición:
son constantes por determinar.
CASO II.- Si
presenta factores lineales con repetición:
Supongamos que
es un factor lineal de
de multiplicidad
. Para este factor se
tienen las siguientes fracciones parciales:
Donde,
son constantes por determinar.
CASO III.- Si
presenta factores lineales y cuadráticos irreductibles sin repetición:
Para el factor cuadrático
Donde, y
se tienen la siguiente fracción parcial:
son constantes por determinar.
CASO IV.- Si
presenta factores lineales y cuadráticos irreductibles con repetición:
Si el factor cuadrático
se repite veces. Corresponde a este factor la siguiente
fracción parcial:
Donde,
y
son constantes por determinar.
Fórmula Recurrente:
se cumple:
23
∫ − − ∫ ⇰ ⇔ … ⇰ ⇰ ⇰ ⇰ ⇰ ⇰ ⇰ ∫ ∫ ∫ ⇰⇰ ⇰ ∫ ∫
Ejercicio N° 29.- Calcular la integral:
Solución
En el integrando se tiene:
En (1):
Reemplazando la nueva expresión de
en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 30.- Calcular la integral:
Solución
En el integrando se tiene:
Corresponde al factor
Corresponde al factor
una fracción de la forma:
una fracción de la forma:
24
⇔ … ⇰ ⇰ / ⇰ / ⇰ ⇰ ⇰ ⇰ / ∫ ∫ ∫ ⇰ ⇰ √ √ ⇰ . ⇰ ∫ . ∫ ⇰ ⇰ Así:
En (1):
Reemplazando la nueva expresión de
en la integral dada:
Luego:
Ejercicio N° 31.- Calcular la integral:
Solución
En el integrando se tiene la función racional impropia :
La transformamos en impropia de la siguiente forma:
25
∫ ∫∫ ∫ ⇰ ∫
Reemplazando la nueva expresión de
Luego:
en la integral dada:
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES ELEMENTALES
I. Integrales del tipo:
Donde:
∫, , , … , ∈ℤ , , , … }
es una función racional y
.
Este tipo de integrales se resuelve haciendo el cambio de variable siguiente:
II. Integrales del tipo:
∫ √ ∫ √
Este tipo de integrales se resuelve haciendo el cambio de variable siguiente:
III. Integrales del tipo:
: es un polinomio de grado .
Este tipo de integrales se resuelve haciendo uso de la identidad:
− ∫ √ ∫ √ − − ∫ donde ,,∈ℚ es un polinomio de grado
de coeficientes indeterminados.
Procedimiento:
Derivando la identidad (1), se obtiene una igualdad de polinomios lo que permite determinar y los coeficientes de
IV.
.
Integrales de diferenciales binomias:
26
Estas integrales se expresan por funciones elementales solamente en los tres casos:
∈ℤ donde , } + ∈ℤ + ∈ℤ − 1. Si
se hace
2. Si
se hace
3. Sí
donde
se hace
es el denominador de
donde
es el denominador de
.
V. Integrales de la forma:
∫, donde , , ∈ℝ , ∈ℝ , ∉ℝ ˄ > √ , > √ ∫ √ √ ≡∫
Este tipo de integrales se transforman en integrales de funciones racionales. Cuando tiene raíces
1.
Si
; estudiaremos los siguientes casos:
:
Es decir:
En éste caso, se hace la siguiente sustitución:
2. Si
:
Se hace la siguiente sustitución:
3. Si
:
Se hace la siguiente sustitución:
RESOLVER LAS INTEGRALES QUE SE PROPONEN: Ejercicio N° 32.-
Solución
Ejercicio N° 33.-
27
∫ √ ∫ √ ∫ √ √ ∫ √ ∫ √ Solución
Ejercicio N° 34.- Calcular
Solución
Ejercicio N° 35.- Calcular
Solución
Ejercicio N° 36.- Calcular
Solución
Ejercicio N° 37.- Calcular
Solución
28