CALCULO MULTIVARIADO CÓDIGO: 203057A_474 FASE 2- TRABAJO INDIVIDUAL Unidad 2: Desarrollar un problema principal y ejercicios de derivadas de funciones de varias variables/ Grupo 35 Presentado a: GUSTAVO SALAZAR CEDEÑO Tutor
Entregado por: Diego Armando Palacios Código: 16867208
Grupo: 203057_35
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Agosto de 2018 Cali Valle
Actividades a desarrollar 1. La ecuación de onda Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas, el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa mediante la ecuación de onda en una dimensión
(espacial)
= Donde es la altura de la onda, es la variable de distancia, es la variable de tiempo y es la velocidad de propagación de las ondas.
En nuestro ejemplo, es la posición a través de las superficies del océano, aunque en otras aplicaciones podría ser la posición a lo largo de una cuerda vibrante, la distancia en el aire (para ondas sonoras) o la posición en el espacio (ondas de luz). El número varía con el medio y el tipo de onda.
Muestre que todas las funciones de los ítems a – e son soluciones de la ecuación de onda. a.
= (), = tan(2 − 2) = 5cos(3 3) + = ln(2 2)
donde es una función diferenciable de
es una constante.
b. c. d.
= ( )
, donde
e.
= ( ) cos(2 2)
2. Cotas superiores para errores en las aproximaciones lineales
(,) (,)|| (,) ≈ (,) (,) = − 3 5 (2,1), :| − 2| ≤ 0.1,| − 1| ≤ 0.1 (,) = 3 −3 4 (2,2), :| − 2| ≤ 0.1,| − 2| ≤ 0.1 (,) = ( − 1) (1,2), : | − 1| ≤ 0.1, | − 2| ≤ 0.1 (,) = 1 (0,0), : || ≤ 0.2, || ≤ 0.2 || ≤ 1 || ≤ 1 .) (,) = (1,1), :| − 1| ≤ 0.2,| − 1| ≤ 0.2
Determine la linealización de de la función en . Luego determine una cuota superior para la magnitud del error de la aproximación en el rectángulo . A.
B.
C.
D.
en
en
en
en
(Use
E.
en
3. Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. D.
(,) = 2 − 6 6 2 − 6 6 = 2 1− 1 − 6 9− 9 6 = ( 1) ( − 3) − 4 x = −1 y = 3 (,) = ( 1) ( 3) − 4 = 2( 1) = 2 2,
Completando los cuadrados se tiene
Como se observa, el rango de esta función son todos reales mayores o iguales a -4 por lo que en
y
hay un mínimo local y de hecho este es un
mínimo absoluto.
Para encontrar los puntos críticos se tiene:
= 0 2 2 = 0 = −
Hay un punto crítico en
= 2( − 3) = 2 − 6, = 0 2 − 6 = 0 =3 (−1,3).
Para saber la naturaleza del punto crítico se
tiene:
= 2, = 2, = 0
(−1,3) − [y] = (2)(2) − 0 = 4 (−1,3) = 2 (1,3) > 0, (−1,3) > 0
Como se observa
Y por lo tanto en este punto hay un mínimo local Además es un mínimo absoluto
4. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.
(,) = , sujeta a √ = 1 b. (,) = 3 3 5, sujeta 2 = 5 c. (,) = , sujeta = 2 d. (,) = 2 , sujeta = 30 e. (,) = , sujeta = 1, > 0, > 0, > 0 a.
5. Después de que fue desarrollado un nuevo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los datos experimentales siguientes de velocidad y en millas por hora a intervalos x de tiempo en segundos. Hallar un modelo cuadrático de regresión de mínimos cuadrados para los datos y estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos. D.
Tiempo, x
0
2
5
8
11
Velocidad, y
0
18
35
55
75
Para este caso la tabla quedaría
∑ 26
∑ ∑ ∑ ∑ ∑xy ∑ 214
1976
19378
183
1476
13542
Con estos datos y obsevando que n=5 las ecuaciones quedan
5 2 214 = 183 26 214 1976 = 1476 214 1976 19378 = 13542 (1)
(2) (3)
Solucionando este sistema de ecuaciones, se obtienten los siguientes valores para a, b y c
= 1.348, = 7.155, = 0.0457 c
Por lo tanto la ecuación de la ecuación cuadrática que más se aproxima es
= 1.348 7.155 − 0.0457
Con esto, se puede obtener un valor aproximado para la velocidad cuando x=30s y x=180 es decir, 3 minutos.
(30) = 1.348 7.155(30) − 0.0457(30) = 174.868 (180) = 1.348 7.155(180) − 0.0457(180) = −191.432
