EXPANSIÓN DE LAPLACE DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS PARA EL ANÁLISIS DE LA L A RESPUESTA DE FRECUENCIA DE LOS CIRCUITOS RLC Cristian Fernando Báez Jácome
[email protected] Marlon Andrés García Méndez
[email protected] oberto !antiago "ima Mos#uera
[email protected] "uis $mar odríguez Benalcázar
[email protected]
RESUMEN: Mediante el presente documento se presenta la aplicación de la transformada de Laplace de la matriz de admitancias para el análisis de la respuesta de frecuencia en los circuitos RLC. Al aplicar el método de la tran transf sfor orm mada ada de Lapl Laplac ace, e, se lleg llegó ó a la conclusión conclusión de que existe existe un sin número de form formas as fórm fórmul ulas as,, en el docum document ento o se manifiestan las más principales para resol!er este tipo de circuitos
1 INTRODUCCIÓN %l soni sonido do es un fen& fen&me meno no físi físico co ondu ondula lato tori rio' o' #ue #ue cons consis iste te en la (ro( (ro(ag agac aci& i&n n a tra) tra)és és de medi medios os elás elásti tico coss de las las (ert (ertur urba baci cion ones es generadas (or un elemento )ibrante' * #ue es ca(az de estimular el oído +umano. "a frecuencia de un sonido es un (arámetro físico' e indica la )elocidad de )ibraci&n de la fuente' medi edido en cic ciclos los (or (or unid unidad ad de tiem(o' * el tono es la e)aluaci&n subj subjet eti) i)a a de un o*en o*ente te de dic+ dic+a a frec frecue uenc ncia ia.. "os "os soni sonido doss de baja baja frec frecue uenc ncia ia son son (erc (ercib ibid idos os como como gra)es o bajos' * los de alta frec frecue uenc ncia ia son son (erc (ercib ibid idos os como como agudos o altos. %l oído +umano solo es sensible a las frecuencias en el rango de ,- z a ,- /z' donde z indica ciclos (or segundo' * (or lo cual toda onda con una frecuencia
fuera de este rango no es considerada como una onda sonora.
"a transformada ada de "a(la (lace es una una +err +erram amie ient nta a mate matemá máti tica ca util utiliz izad ada a (ar (ara sim( sim(lilifi fica carr los los cálc cálcul ulos os de ecua ecuaci cion ones es diferenciale diferenciales. s. %n circuitos circuitos con resistencia resistencias' s' condensadores e inductores en su ma*oría se obti obtien enen en ecua ecuaci cione oness dife difere renc ncia iales les de (rimer o segundo orden. "a resoluci&n de ecuaciones diferenciales re#uiere de muc+o cálculo' en ocasiones se consigu iguen integrales com(lejas * tediosas' a tra)és de la transformada de "a(lace las o(eraciones son son suma sumarr' rest restar ar'' mult multi(l i(lic icar ar'' di)i di)idir dir * des(ejar. !e (res (resen enta ta un méto método do (ara (ara el anál anális isis is intuit intuiti)o i)o * estruc estructur turado ado de circui circuitos tos "C' "C' basada en la e0(ansi&n de "a(lace de la matriz de admitancias. %l método se (uede a(licar a una am(lia )ariedad de circuitos electr electr&nic &nicos. os. "a técnic técnica a desarr desarroll ollada ada s&lo s&lo re#uiere la determinaci&n de la im(edancia de CC de (unt (unto o de cond conduc ucci ci&n &n 1234 123455 * funcio funciones nes de transf transfere erencia ncia'' #ue se utiliz utiliza a (ara es(ecificar los coeficientes de la funci&n de transferencia global. 2 MARCO REFERENCIAL "a transformada de "a(lace es una ecuaci&n integral #ue in)olucra (ara el caso es(ecífico del desarrollo de circuitos' las se6ales en el
todas estas' o lo fundamental #ue se debe tener en cuenta al momento de su utilizaci&n es el uso de la transformada de una constante' transformada de una deri)ada' transformada de una integral * transformada de la funci&n im(ulso.
3 dominio del tiem(o * de la frecuencia. %sta transformada da la gran )entaja de #ue (ermite analizar redes eléctricas lineales con diferentes ti(os de e0citaci&n a la sinusoidal * a la continua. !us ecuaciones deben de estar (lanteadas en el dominio del tiem(o' (ara #ue (uedan luego ser transformadas' dándonos de todo esto un sistema de ecuaciones lineales' (ero con la )entaja de #ue su dominio se encuentra en s. !i la funci&n f1t5 se encuentra com(letamente definida tanto en ecuaciones diferenciales *7o en análisis tanto matemático como funcional' (ara todos los )alores #ue (ertenezcan a los n8meros (ositi)os t ≥ -' será la funci&n F1s5' #ue se encuentra definida mediante9
Figura 1 ed genérica "C acti)a %l (rinci(al logro del método de la matriz de admitancias (ara el análisis de circuitos "C acti)os como se muestra en la Figura ;.' es el enfo#ue estructurado (ara el (roceso de análisis * la (osibilidad de e)aluar la im(ortancia relati)a en el rendimiento del sistema de elementos es(ecíficos. 3ara este %ste método se utiliza una e0tensi&n directa del método anterior realizado (or Coc+run * Grabel' utilizando la técnica de e0(ansi&n de "a(lace a(licado a la matriz de admitancias reordenado. "a técnica general (ara analizar circuitos "C utilizando técnicas de e0(ansi&n de "a(lace se deberá tener en cuenta #ue los condensadores * los inductores a(arecen en circuitos como series o combinaciones (aralelas.
! 2ic+a transformada solo e0iste (ara todos a#uellos )alores #ue se encuentren dentro de un conjunto formada (or todos los n8meros reales t: s' donde s debe ser una constante #ue de(enderá 8nicamente del com(ortamiento #ue tenga 8nicamente f1t5 referente a su crecimiento. 3ara el desarrollo o resoluci&n de este ti(o de circuitos en base de la transformada de "a(lace' e0isten un sin n8mero de formas * f&rmulas (ara resol)er dic+os circuitos' (ero cabe destacar #ue lo más im(ortante en
MÉTODOS
E"EMPLO DE APLICACIÓN
i i i > C gs C gd Ri + Lg Ld Gi Gi =¿ 3
4
3
1
3
4
= C gd L d + ( C gs + ( gm R L + 1 ) C gd ) Lg + R i R L + C gs C gd a3
%
(
i3
i1 i 3
i3
i4
4
1
i1 i 4
i4
Ri C gs + Ri C gd + C gs C gd Ld R i Ri Gi + L g Ri Ri G i 1
2
1
Figura 2 a# fuente com8n de un am(lificador M%!F%<' $# circuito transformado
¿
H 0 +b 1 +a
1
s+ b 2 s
2
3
+b3 s + b 4
i4
3
= gm C gd L g Ld > Ri C gs C gd Ld + ( R1 + R L + g m R i R L ) + C gs C gd Lg a2 i i = C gs C gd Lg Ld Ri R i Gi Gi 1
1
(
¿ 1 + gm Ri
2
3
3 4
) C gs C gd Lg Ld
"os coeficientes del numerador (ueden ser fácilmente determinados usando la ecuaci&n * reconociendo los términos similares entre ai bi los factores en * . "as funciones
4
s
s+ a2 s 2+ a3 s3 + a4 s4 1
H i
de (onderaci&n "os coeficientes de el denominador 1
ai
5
i3
i4
4
3
i3 i4 1
i3 i4
+ C gs R i
2
=
= Ri + R L C gd i3
(
i3
i3
1
2
a2= L d Gi C gs Ri + C gd Ri 4
i4
+ Lg G i
3
H i
)+¿
( C R + C R )+C gs
i4 i1
gd
i4 i2
gs
= i 3 i4
i1 i3 i4
C gd Ri Ri 1
1
1 ……
i1 ,j n +1… .j
p −1
son también
fácil de calcular. $bser)ando el circuito de la figura ,a5' este es fácilmente )isto #ue' todas las funciones de transferencia #ue tienen al menos una )ez abierto el inductor tiene )alor de cero. %sta obser)aci&n lle)a a conclusi&n #ue' las funciones de transferencia con )alor diferente son cero'
son determinados (or la a(licaci&n directa de la ecuaci&n' (roduciendo' a1= L d Gi + Lg Gi + C gs Ri
2
L g Ld Gi Gi
Como un ejem(lo' considerar el circuito de la figura ,a5' fácilmente identificado como un modelo de fuente com8n de un am(lificador M%!F%<. %l modelo del transistor inclu*e tanto elementos intrínsecos * elementos e0trínsecos. "os dos inductores re(resentan la inductancia de la uni&n del transistor. 3ara este circuito +a* dos ca(acitores * dos inductores' (or lo #ue forma general de la funci&n de transferencia de tensi&n está dada (or la ecuaci&n9 A v
2
>
3i 4
H i
=
H i i
1 2
i3
i4
1i 3
i4
= ? gm R L * H i
2i 3
i4
=;
"os coeficientes del numerador son' de acuerdo a dos ecuaciones anteriormente establecidas.
3
¿
3
)=.. rod
H 0= H i
=¿ 3i
4
? gm R L
b1=−gm R L Ri C gs + R L C gd b2= R i R L C gs C gd
b3 =b4 =0
2000 π ¿ ¿¿2 ¿ 2000 π ¿ ¿ ¿ ¿ Gs =¿
!1 CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA ELÉCTRICO 1
G s=
E0 Ei
2
=
Lc s + RCs 1+
1 2
Lc s + RCs 1 2
Lc s + RCs
¿
Figura 3 Gs re(resentada en !imulin/
2
LC s + Rcs + 1 2
Lc s + RCs 1
¿
2
LC s + Rcs + 1 1
¿
LC R 1 s2 + s + L LC
Da&'s: R % ,--- L % -'z C % --F
Figura ! !e6al de entrada obtenida (or medio del oscilosco(io
QCQAPsRdeRlaRA(licaci QCQBnRdeRlaR
Figura ( !e6al de salida obtenida (or medio del oscilosco(io
(
CONCLUSIONES
)
*I*LIO+RAF,A
D;E !ing+' J. !ood' .. Jarial' .H. ICondition Monitoring of 3oer