“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN ”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
CURSO
:
Estadística y P!"a"i#idad$s%
TEMA
:
P&$"as d$ 'i()t$sis%
DOCENTE
:
Mi*c+!#a A#,a- R!*a#d%
ALUMNOS
: .&tta C$#is- Ma*&$#% Ra/i$, .a(ata- S$0i! A"$#% C!$a Estada- 1&#ia* '&/"$t!% .a(ata L!ai,a- Liss$t$ A#$2a*da% 1i/$*$, A"ad- L&is A#"$t!% T!$s 3acia- 1!0$ L&is%
45 d$ a0!st! d$# 6475 I*t!d&cci)*
La presente investigación se refiere al tema de prueba de hipótesis, que son procedimientos de decisión basada en datos que puedan producir una conclusión acerca de algún sistema científico, una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de una o más poblaciones. La característica principal es que esta prueba de hipótesis es que no sabe con certeza la veracidad o falsedad, para ello se necesita trabajar con toda la población, esta solo actúa en una muestra aleatoria que se requiere investigar.
P&$"as d$ 'i()t$sis Son procedimientos de decisión basada en datos que puedan producir una conclusión acerca de algún sistema científico. na hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de una o más poblaciones. !o es posible saber con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis estadística, pues para ello habría que trabajar con toda la población. "n la práctica se toma una muestra aleatoria de la población de inter#s $ se utilizan los datos que contiene tal muestra para proporcionar evidencias que confirmen o no la hipótesis. Si la evidencia de la muestra es inconsistente con la hipótesis planteada, entonces #sta se rechaza $ si la evidencia apo$a a la hipótesis planteada, entonces se acepta #sta. La aceptación de una hipótesis implica tan sólo que los datos no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. %or otro lado, el rechazo implica que la evidencia de la muestra la refuta. La estructura de una prueba de hipótesis consiste en la formulación de una hipótesis nula, es decir, cualquier hipótesis que se desee probar, se denota por
H 0
. "l rechazo de
H 0 ,
genera la aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota por H 1 . na hipótesis nula referente a un parámetro poblacional siempre debe establecerse de manera que especifique un valor e&acto del parámetro, mientras que la hipótesis alternativa admite la posibilidad de varios valores. %or ejemplo' H * ' µ =
+*
()
H * ' µ =
+*
+) H ( ' µ >
+*
H * ' µ =
+*
H ( ' µ ≠
+*
) H ( ' µ <
+*
"n la hipótesis alternativa se plantea usualmente lo que se cree verdadero $ en la hipótesis nula lo que se desea rechazar. %ara tomar una decisión acerca de un parámetro es necesario una prueba estadística para cuantificar esta decisión. "sto se logra al establecer primero la distribución muestral que sigue la muestra estadística -es decir, la media) $ despu#s calcular la prueba estadística apropiada. "sta prueba estadística mide qu# tan cerca de la hipótesis nula se encuentra el valor de la muestra. La prueba estadística suele seguir una distribución estadística conocida - normal, tstudent, ji cuadrado). La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones' a) región de rechazo - región crítica) b) región de no rechazo Si la prueba estadística cae en la región de no rechazo no se puede rechazar la hipótesis nula $ si cae en la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula. %ara decidir con relación a la hipótesis nula, primero se tiene que determinar el valor crítico para la distribución estadística de inter#s. "l valor crítico separa la región de no rechazo de la de rechazo.
Errores al reali zar una prueba de hipótesis /l utilizar una muestra para obtener conclusiones sobre una población e&iste el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta. %ueden ocurrir dos errores diferentes' H *
() Error tipo I consiste en rechazar
cuando #sta es verdadera. H *
+) Error tipo II consiste en aceptar
cuando #sta es falsa.
/l probar cualquier hipótesis estadística, e&isten cuatro posibles situaciones que determinan si la decisión es correcta o equivocada es decisión error tipo 0
es error tipo 00 decisión
0
se acepta se rechaza
0
0 La probabilidad de cometer error tipo 0, es decir, rechazar cuando es verdadera, se denomina nivel de significación $ se denota por 1 .% -error tipo 0)21.
La probabilidad de no cometer error tipo 0, es decir, aceptar c se denota por 1 - α .% -error tipo 0) =1-α. La probabilidad de cometer error tipo 00, es decir, aceptar representa por 3 .% -error tipo 00)23.
cuando es verdadera,
0
cuando es falsa, se
0
La probabilidad de no cometer error tipo 00, es decir, rechazar denomina
cuando es falsa, se
0
c Potencia de la prueba $ se denota por 1 - β .% -error tipo 0) =1-β. "l ideal al rechazar una prueba de hipótesis es determinar los procedimientos o reglas que conduzcan a ma&imizar la potencia de una prueba, para un 1 fijo. 1 se suele especificar antes de tomar una muestra, es frecuente que 12*,*4 o 12*,*(. Esquema para realizar una prueba de hipótesis acerca de un parámetro θ (. %lantear la hipótesis nula $ la hipótesis alternativa. H *
'θ
≤ θ (
a)
H *
'θ
≥ θ (
b) H ( ' θ > θ (
H *
'θ
= θ (
c) H ( ' θ < θ (
H ( ' θ ≠ θ (
+. Seleccionar el test estadístico o estadístico de prueba. . 5ijar 1 -*,*46 *,*(6 *,(*). 7. 8onstruir la regla de decisión o región crítica con el valor elegido de 1. 4. "&traer una muestra aleatoria de ta ma9o n $ calcular el valor del test estadístico.
:. Si el valor calculado del test estadístico cae en la región crítica rechazar caso contrario no rechazar
H 0
H 0
$ concluir que la muestra aleatoria no proporciona
evidencia para rechazarla. Pruebas unilaterales y bilaterales. na prueba de hipótesis será unilateral - de una cola) en los siguientes casos. H *
'θ
= θ (
a H ( ' θ > θ ( H *
'θ
= θ (
b) H ( ' θ < θ ( H *
'θ
≤ θ (
c) H ( ' θ > θ ( H *
'θ
≥ θ (
d) H ( ' θ < θ (
na prueba de hipótesis será bilateral -de dos colas) si H *
'θ
= θ (
H( ' θ ≠ θ( -θ < θ(V θ > θ( )
Pruebas de hipótesis 2
a Para la media !" si la varianza ! σ
es conocida. 2
σ X σ ;ecuerde que si < = ! ->, ), entonces = ! ->, n 2
estadística adecuada debe ser' z =
X − µ
σ n
(. La prueba de hipótesis unilateral H *
a.
'θ
, en
= θ (
H *
o
'θ
≤ θ (
). Luego la prueba
H ( ' θ > θ (
H *
'θ
H ( ' θ > θ (
= θ (
b.
H *
'θ
≥ θ (
o H ( ' θ < θ (
H ( ' θ < θ (
+. %ruebas bilaterales. H *
'θ
= θ (
H ( ' θ ≠ θ (
"jemplo' () 8onsidere la hipótesis nula de que el peso promedio de estudiantes hombres de un cierto instituto es :? @ilos contra la hipótesis alternativa de que es diferente de :? @ilos. Suponga que los pesos se distribu$en normalmente con una desviación estándar de ,: @ilos. Se elige una muestra aleatoria de : estudiantes $ se obtiene un peso promedio de :A,4 @ilos. tilice un nivel de significación del 4 B.
H * ' µ = H ( ' µ ≠
α
=
:?
:?
*,*4
;egión crítica -;8) RC ' − z
(−α
< z < z
(−α
+
+
RC ' − z*,CA4 < z < z *,CA4
;8' (.C: D z D (.C: X
2:A.4
n2: F2 *.?
E2.:
H *
Se acepta , es decir, no es posible decidir si el peso promedio de los estudiantes de un cierto instituto es distinto de :? @ilos.
2
b Para la media !" si la varianza ! σ ;ecuerde que cuando
2
es desconocida.
σ es desconocida se usa
s
2
$ por lo tanto la prueba
estadística adecuada es
x´ − μ t = s √ n () %ara pruebas de hipótesis unilaterales
a)
H 0 : θ =θ1
o
H 0 : θ ≤ θ1
H 1 : θ > θ 1
b)
H 0 : θ =θ1 H 1 : θ < θ 1
H 1 : θ > θ 1
o
H 0 : θ ≥ θ1 H 1 : θ < θ 1
+) %ara pruebas bilaterales
H 0 : θ =θ1
H 1 : θ ≠ θ1 "jemplo' # na compa9ía de electricidad ha publicado cifras acerca de la cantidad anual de @iloGattshora consumida por varios aparatos para el hogar. Se afirma que la aspiradora consume un promedio de 7: @iloGattshora al a9o. Si una muestra aleatoria de (+ hogares incluidos en un estudio planeado indica que las aspiradoras consumen un promedio de 7+ @iloGattshora al a9o con una desviación stándar de ((,C @iloGatts hora. HSugiere esto, con un nivel de significación de *,*4, que las aspiradoras consumen, en promedio, menos de 7: @iloGatt shora al a9oI Suponga que la población de @iloGattshora es normal.
H 0 : μ =46
H 1 : μ < 46 α =0,05
x´ =42
n =12
s =11,9
RC :−t 0,05 (11)=−1,796
t =
42− 46 11,9
=−1,16
√ 12
Se acepta
H 0 , es decir, la muestra elegida no da pruebas que el consumo de @iloGattshora
al a9o de la aspiradora sea menor que 7:
c Pruebas de hipótesis relacionadas con varianzas Se utilizan para probar uniformidad de una población. %ara ello se usa como prueba estadística la distribución
ji cuadrada'
2
x =
( n −1) s 2 s
2
# %ara pruebas de hipótesis unilaterales
a)
H 0 : θ =θ1 H 1 : θ > θ 1
o
H 0 : θ ≤ θ1 H 1 : θ > θ 1
b)
H 0 : θ = θ1 H 1 : θ < θ 1
$ %ara pruebas bilaterales
H 0 : θ =θ1 H 1 : θ ≠ θ1
o
H 0 : θ ≥ θ1 H 1 : θ < θ 1
"jemplo' # n fabricante de baterías para automóvil asegura que la duración de sus baterías tiene distribución apro&imadamente normal con una desviación stándar de *,C a9os. Si una muestra aleatoria de(* baterías tiene una desviación stándar de (,+ a9os H%iensa usted que
σ >¿ *,C a9osI tilice un nivel de significación de *,*4 2
H 0 : σ =0,81 2
H 1 : σ
> 0,81
α =0,05 s
2
=1,44 2
RC : x
x =
n =10
=16,919
0,05 ( 9)
9.1,44 0,81
=16
!o es posible rechazar H 0
"jercicios desarrollados
•
na empresa el#ctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida apro&imadamente en forma normal con una media de ?** horas $ una desviación estándar de 7* horas. %ruebe la hipótesis de que > 2 ?** horas en contraposición de la alternativa de que > J?** horas si una muestra aleatoria de * focos tiene una duración promedio de A?? horas. tilice un nivel de significación de *,*7.
K*' > 2 ?** K(' > J?** 1 2 *,*7 ;egión critica'
;.82 F(1+ M F M F (1+ ;.82 F(*,+ M F M F (*,+ ;.82 F*,C? M F M F *,C? ;.82 (.C: M F M (.C:H ´ σ 27* horas X 2 A?? n2**focos Z =
788 −800 40
=−1.643
√ 30
Se acepta K* es decir, los focos tienen una duración promedio de ?** horas.
•
n fabricante de capacitores afirma que el contenido promedio de diel#ctrico no e&cede de ,4N, con una desviación estándar de (,7N. %ara una muestra de ? capacitores se tiene un contenido promedio de diel#ctrico de 7,+N H"sta esto de acuerdo con la afirmación del fabricanteI se nivel de significación de *.*4.
K*' > O ,4 K(' > M 1 2 *,*4 ;egión critica'
;.82 F M F(1+ ;.82 F M F(*,+ ;.82 F M F*,C?
;.82 F M (.C:
´ 2 7,+ X Z =
4,2−3,5 1,4
n2 ? capacitores
σ 2 (,7
= 1.42∨ ¿
√ 8
Se acepta K* es decir, es correcta la afirmación del fabricante. •
Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen media de (?** lb $ una desviación estándar de (** lb. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación aumenta dicha tensión media. %ara ello se toma una muestra de 4* cables $ se encuentra que su tensión media de ruptura es de (?4* lb HSe puede afirmar la mejoría del nuevo proceso al nivel de significación del (BI
K*' > O(?** K(' > M(?** 1 2 *,*( ;egión critica'
;.82 F M F(1 ;.82 F M F(*,*( ;.82 F M F*,CC ;.82 F M +.4C
´ 2 (?4* X Z =
1850 −1800 100
√ 50
=−3.54
n 2 4*
σ 2 (**
Se rechaza es decir, el nuevo proceso de fabricación aumenta la tensión de ruptura.
•
Se requiere que la tensión de ruptura promedio de un hilo utilizado en la fabricación de fibra óptica sea al menos de (** psi. La e&periencia ha indicado que la desviación estándar de la tensión de ruptura es + psi. Se prueba una muestra aleatoria de C especímenes, $ la tensión de ruptura promedio observada en ella es de C? psi HPebe aceptarse la fibra como aceptable con 1 2 *,*4I
K*' > M (** K(' > O (** 1 2 *,*4 ;egión critica'
;.82 F M F(1 ;.82 F M F(*,*4 ;.82 F M F*,C4 ;.82 F M +.C:
´ 2 A?? X Z =
100 −98 2
√ 9
=3
n2**focos
σ 27* horas
Se rechaza K* es decir, la tensión de ruptura promedio es menor que (** psi.
