Axiomas y Teoremas de Probabilidad Axiomas de Probabilidad Teorema 1:Regla de Adición Teorema 2:Regla de Complementación Teorema 3:Regla de Diferenciación Las Leyes de Morgan
Axiomas de Probabilidad arriba
Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.
Axioma 1 La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 > P(A) > 1
Axioma 2 La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.
P(S) = 1
Axioma 3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en común, entonces:
P(A U B) = P(A) + P(B) Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A 1, A2, A3,.....An, entonces:
P(A1A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
Teorema 1:Regla de Adición arriba
Regla de Adición La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación:
P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A B ) Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Si el evento A es cae un número par
A = { 2, 4, 6 } Si el evento B es cae un número menor de 3
B = { 1, 2 } ¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Primero identificamos que es lo que queremos, "la probabilidad de que sea par o menor de tres", es decir, P( A U B ) Ya que identificamos lo que queremos , ahora debemos saber lo que conocemos La probabilidad de A y la probabilidad de B es:
3 P(A) =
2 = 0.50
6
P(B) =
= 0.33 6
Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unión, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unión para calcular la probabilidad de la intersección.
En este caso queremos saber la unión, entonces es necesario conocer la intersección, que es " número par y menor de 3".
A ∩ B = { 2 } entonces P(A ∩ B) =
2 = 0.33 6
Si aplicamos la regla de adición:
P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P( A U B ) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67
Teorema 2:Regla de Complementación arriba
Regla de Complementación La probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada por la siguiente ecuación:
P( A ) = 1 − P ( A ) Ejemplo: En el experimento de "lanzar un dado y registrar que cara es la de arriba", si el suceso B = "es menor de tres" , entonces la probabilidad de B = "no sea menor de tres" es:
P(B) = 2/6 = 0.33 P( B ) = 1 − 0.33 = 0.67 En el mismo experimento, ¿cual es la probabilidad de que no sea ni par ni menor de tres? En este caso estamos hablando del complemento de la unión de los sucesos A y B, es decir P(A U B) Sabemos por el jemplo anterior que P(A U B) = 0.67 Entonces P(A U B) = 1 − 0.67 = 0.33
Teorema 3:Regla de Diferenciación arriba
Regla de Diferenciación La probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por
P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) Ejemplo: Si el evento A = "cae un número par" y si el evento B = "cae un número menor de 3", entonces la probabilidad de que ocurra "par pero no menor de tres es:
P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.50 − 0.16 = 0.33 Y la probabilidad de que ocurra "menor de tres pero no par" es:
P(B − A) = P(B) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.33 − 0.16 = 0.17
Análisis Combinatorio
Variaciones
Permutaciones
Combinaciones
Las Leyes de Morgan arriba
Leyes de Morgan Las leyes de De Morgan declaran que el complemento de la intersección de dos sucesos es igual a la unión del complemento de cada suceso; y que el complemento de la unión de dos sucesos es igual a la intersección del complemento de esos sucesos.
A∩B=AUB
AUB=A∩B
