B A B 2 Deret Tak Hingga
2
Deret Tak Hingga
BAB 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4 2.6
Barisan Deret Tak Hingga Deret Suku Positif Deret Ganti Tanda Deret Pangkat Deret Taylor dan Deret Mac Laurin
B A B 2 Deret Tak Hingga
3. 4.
5.
6. 7.
Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: 8. 1. menerapkan aturan limit untuk menghitung limit barisan dan menerapkan konsep 9. keterbatasan (boundedness) untuk mengindentifikasi kekonvergenan barisan monoton. 10. 2. menggunakan konsep jumlah parsial untuk membedakan deret konvergen dan divergen dan mendefinisikan jumlah dari deret konvergen .
mengenali deret geometri dan deret collaps, dan menghitung jumlahnya jika konvergen. menggunakan menggunaka n uji integral, uji banding biasa, uji banding limit, dan uji rasio untuk menen-tukan kekonvergenan kekonvergen an atau kedivergenan de-ret. mengenali deret ganti tanda dan menerapkan uji deret ganti tanda untuk mengidentifikasi kekonvergenan mutlak dari deret. menentukan jari-jari konvergensi dan him punan kekonvergena kekonvergenan n dari deret pangkat pangkat.. menerapkan pengintegralan suku demi suku dan penurunan pada deret pangkat, dan melakukan operasi aljabar pada deret pangkat secara manual untuk deret pangkat yang sederhana dan dengan bantuan TIK untuk deret pangkat yang lebih lebih kompleks. kompleks. menguraikan fungsi dalam deret Taylor secara manual dan dengan bantuan TIK. menyebutkan dan menggunakan deret Taylor dari fungsi elementer. menggunakan sisa pada deret Taylor untuk menduga kesalahan pendekatan pada polinomial polinomial Taylor. Taylor.
Pendahuluan Kebanyakan fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret. Keunggulan ini amat bermanfaat dalam aplikasi fisika karena dalam aplikasi fisika banyak hal-hal yang berkaitan dengan bilangan yang sangat kecil atau selisih yang amat kecil antara dua buah fungsi. Pada kasus-kasus seperti ini, suku-suku awal dari deret cukup memberikan informasi fenomena fisika dengan bentuk yang lebih sederhana dibandingkan keseluruhan fungsi. Salah satu contoh aplikasi adalah penggunaan uraian fungsi pada persamaan persamaan radiasi Planck. Bab 2 akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan deret. Subbab 2.1 membahas mengenai barisan tak hingga. Dilanjutkan dengan Subbab 2.2 mengenai deret tak hingga. Pada Subbab 2.3 dibahas mengenai deret yang suku-sukunya positif sedangkan pada Subbab 2.4 dibahas mengenai deret yang suku-sukunya berganti tanda. Untuk deret dengan suku-suku berupa fungsi dibahas pada Subbab 2.5, yaitu deret pangkat. Pada bagian akhir, Subbab 2.6, dibahas mengenai salah satu deret yang banyak digunakan dalam aplikasi, yaitu deret Taylor.
M o d u l M a t e m at ik a D a s ar A 2
Universitas Indonesia | 2
BAB 2
2.1
Deret Tak Hingga
Barisan
Barisan Tak Hingga, Kekonvergenan Barisan, Sifat Limit dan Teorema-teorema Limit, Barisan Monoton
Barisan Tak Hingga Suatu barisan tak hingga adalah deretan terurut bilanganbilangan yang tak berakhir, (1) Karena barisan adalah deretan angka yang terurut, maka suku pertama barisan adalah , suku kedua adalah , suku ketiga adalah , dan seterusnya. Lebih lanjut, karena barisan ini adalah barisan tak terhingga, maka untuk setiap suku selalu terdapat suku yang mengikutinya.
DEFINISI 2.1 Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga (atau barisan) dari bilangan adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif dan daerah hasil himpunan bilangan riil, (2)
Notasi Notasi yang digunakan untuk barisan adalah atau secara sederhana . Apabila daerah asalnya adalah bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan bulat tertentu , maka notasi barisannya adalah . Contohnya barisan
maka notasinya adalah
.
Rumus barisan Jika diberikan beberapa suku dari barisan, misalkan (3)
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 3
BAB 2
Deret Tak Hingga
dan (4) maka kita dapat mencari rumus untuk barisan (3) dan (4). Ada dua macam rumus yang digunakan, yaitu: 1. Rumus eksplisit untuk suku ke-n. ke-n. Rumus eksplisit untuk barisan (3) adalah
2. Rumus rekursif. Rumus rekursif untuk barisan (4) adalah
Contoh 1 Berikut ini beberapa contoh barisan yang ditulis dengan tiga macam cara, Notasi
Rumus
Daftar anggota
Contoh 2 Carilah rumus umum dari barisan dengan beberapa suku awal sebagai berikut. (5) Penyelesaian Rumus umum barisan (5) adalah
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 4
BAB 2
Deret Tak Hingga
Carilah rumus umum barisan apabila beberapa suku awalnya adalah
Kekonvergenan Kekonver genan Barisan Perhatikan barisan-barisan di Contoh 1, masing-masing barisan memiliki perilaku yang berbeda. Perhatian kita adalah jika n menuju tak hingga apakah barisan tersebut menuju suatu nilai tertentu? Apabila barisan menuju nilai tertentu, maka dikatakan barisan konvergen. Definisi formal barisan yang konvergen diberikan pada Definisi 2.2.
DEFINISI 2.2 Barisan Konvergen Barisan dikatakan konvergen ke bilangan L jika untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika
Gambar 1
Apabila tidak terdapat L, maka dikatakan barisan divergen. divergen. Barisan
yang konvergen ke L seringkali ditulis dengan
dan L disebut limit dari barisan.
(
|
L
L
| a
n
) L
Gambar 2
Gambar 1 memberikan ilustrasi dari barisan barisan konvergen. Karena ketaksamaan ketaksamaan memiliki arti maka, jika , titik-titik akan terletak antara garis horizontal dan . Atau, jika di garis real, untuk bil bilanga ngan terl terle etak tak anta ntara titi titik k dan dan (Ga (Gambar 2). Contoh 3 Buktikan bahwa barisan
,
konvergen ke 0.
Penyelesaian Barisan
konvergen
ke
Berdasarkan Definisi 2.2, barisan
0
karena konvergen ke
. jika
untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika berlaku . Jika
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 5
BAB 2
Deret Tak Hingga
maka
, sehingga berlaku
sembarang, pilih
. Misalkan
sedemikian sehingga jika
diperoleh
Jadi terbukti barisan
konvergen ke 0.
Periksalah apakah barisan
,
, konvergen atau
divergen? Bila konvergen, tentukan kemana barisan konvergen? Lakukanlah hal serupa namun untuk barisan dengan
,
.
Sifat Limit dan Teorema-teorema Limit Seperti pada limit fungsi, terdapat operasi limit fungsi yang analog dengan operasi operasi pada barisan yang yang konvergen.
TEOREMA 2.1 Sifat Limit Misalkan dan adalah barisan yang konvergen dan k adalah konstanta, dan misalkan juga dan ada, maka a. b. c. d. e.
asalkan
Contoh 4 Tentukan
.
Penyelesaian
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 6
BAB 2
Deret Tak Hingga
Tentukan nilai
dengan menggunakan sifat-sifat
limit seperti Contoh 4. Bandingkan hasilnya bila kita faktorkan dulu bentuk tersebut menjadi bentuk
.
Berikut ini adalah beberapa teorema untuk limit barisan.
Barisan TEOREMA 2.2 Aturan Substitusi untuk Barisan Jika
dan f adalah fungsi yang kontinu di x =L,
maka
TEOREMA 2.3 Teorema Apit Misalkan bulat yang tetap dan maka
untuk suatu
dengan K bilangan bilangan
konvergen menuju L atau
Contoh 5 Tentukan limit dari barisan:
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 7
BAB 2
Deret Tak Hingga
Penyelesaian
Karena untuk setiap n berlaku berlaku
maka untuk
. Karena
,
maka menurut Teorema Apit kita peroleh
. Jadi
Coba kalian gunakan Teorema Apit seperti pada Contoh 5 untuk menentukan limit dari barisan berikut:
Pada barisan yang suku-sukunya berganti tanda, Teorema 2.4 berikut digunakan untuk menguji kekonvergenan barisan.
TEOREMA 2.4 Jika
maka
.
Contoh 6 Tunjukkan bahwa
.
Penyelesaian Dari
Contoh
3
diketahui
bahwa
.
maka menurut Teorema 2.4
Karena .
Barisan Monoton Suatu barisan
atau
dikatakan naik apabila apabila
dan dikatakan turun apabila turun apabila
atau . Barisan dikatakan barisan monoton. monoton.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
yang naik atau turun
Universitas Indonesia | 8
BAB 2
Deret Tak Hingga
Contoh 7 Tentukan apakah barisan
,
merupakan barisan
monoton. Penyelesaian Barisan merupakan merupakan barisan yang turun karena mengakibatkan , maka
. Lebih
lanjut
,
, atau dengan kata lain
.
Karena barisan adalah barisan yang turun maka barisan adalah barisan monoton.
Tentukan apakah barisan yang monoton atau tidak.
,
merupakan barisan
Barisan dikatakan terbatas terbatas apabila terdapat bilangan sedemikian sehingga , untuk setiap n. Contoh 8 Tentukan apakah barisan yang terbatas? Penyelesaian Karena setiap n. Berarti barisan dibatasi oleh 1.
,
merupakan barisan
maka untuk adalah barisan yang terbatas dan
Coba kalian tentukan apakah barisan terbatas? Bila terbatas, tentukan ten tukan batasnya.
,
Misalkan adalah barisan yang monoton naik dan terbatas di atas oleh M , maka walaupun suku-suku barisan naik, sukusukunya tidak akan melebihi batas atasnya. Kenyataan ini memberikan ide mengenai kekonvergenan barisan monoton pada Teorema 2.5 berikut.
TEOREMA 2.5 Kekonvergenan Barisan Monoton Setiap barisan monoton yang terbatas adalah konvergen. Contoh 9 Tentukan apakah barisan pada Contoh 7 konvergen?
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 9
BAB 2
Deret Tak Hingga
Penyelesaian Barisan
merupakan barisan yang monoton turun. Selain
itu, barisan ini juga terbatas di bawah oleh Teorema 2.5, barisan ini konvergen.
2.2
. Maka menurut
Deret Tak Hingga
Jumlah Deret, Deret Geometri, Sifat-sifat Deret Tak Hingga yang Konvergen, Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan, Kedi vergenan, Deret Collaps
Jumlah Deret Misalkan barisan tak hingga. Jumlah suku-suku dari barisan tak hingga disebut deret tak hingga dan dit ulis sebagai
(6)
Contoh 1 Deret yang suku-sukunya dari barisan
adalah
(7)
Perhatikan Tabel 1. Tabel ini menunjukkan jumlah n suku pertama dari deret (7). Tabel 1 N
Jumlah n suku pertama
5
0.96875000
10
0.99902344
15
0.99996948
20
0.99999905
25
0.99999997
Dari Tabel 1 dapat diharapkan bahwa jumlah deret (7) adalah 1. Sehingga jumlah deretnya dapat ditulis sebagai,
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 10
BAB 2
Deret Tak Hingga
(8)
Berdasarkan jumlah n suku pertama seperti pada Tabel 1, dikenal suatu definisi yaitu jumlah parsial yang didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI 2.3 Jumlah Parsial Jumlah parsial ke-n ke-n, S n , adalah
Perhatikan kembali kolom jumlah n suku pertama pada Tabel 1. Kolom ini membentuk suatu barisan baru yaitu barisan jumlah parsial
atau
Jumlah suatu deret dikatakan ada jika limit barisan jumlah parsialnya ada.
DEFINISI 2.4 Jumlah Deret Deret tak terhingga barisan jumlah parsial
konvergen dengan jumlah S jika jika konvergen ke S ,
S disebut disebut sebagai jumlah deret . Jika divergen maka deret
divergen, yaitu deret
tidak mempunyai jumlah.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 11
BAB 2
Deret Tak Hingga
Contoh 2 Tentukan jumlah deret tak hingga berikut
Penyelesaian
Barisan jumlah parsial deret
adalah
Maka, jumlah deret tak hingga
adalah
Coba kalian tentukan jumlah deret tak hingga berikut.
Deret Geometri Salah satu deret yang banyak digunakan untuk uji kekonvergenan deret lainnya adalah deret geometri. Deret geometri juga merupakan salah satu deret yang rumus jumlah deretnya dapat ditulis secara eksplisit.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 12
BAB 2
Deret Tak Hingga
DEFINISI 2.5 Deret Geometri Deret disebut deret geometri jika geometri jika terdapat bilangan r yang disebut sebagai rasio deret rasio deret sedemikian sehingga untuk semua Jika
.
, maka deret geometri memiliki bentuk
Kekonvergenan deret geometri dapat dilihat pada Teorema 2.6 berikut.
TEOREMA 2.6 Jumlah Deret Geometri Jika
, maka deret geometri konvergen dengan jumlah
Jika
maka deret geometri divergen.
Bukti Jumlah parsial dari deret gometri adalah Jika jika maka
, maka karena
. Artinya, deret geometri akan divergen membesar membesar terus apabila n . Jika , →
Jadi diperoleh,
Untuk
, karena
Untuk barisan
atau r =1, maka barisan juga divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
, maka
divergen. Akibatnya
Universitas Indonesia | 13
BAB 2
Deret Tak Hingga
Contoh 2 Tentukan apakah deret geometri berikut divergen:
konvergen atau
a. b. Penyelesaian Deret pada Contoh 2.a memiliki rasio maka barisan divergen. Sedangkan deret pada Contoh 2.b memiliki rasio maka barisan konvergen ke
konvergen. Deret pada Contoh 2.b
karena
Coba kalian tentukan apakah deret geometri
konvergen atau divergen. Carilah jumlah deretnya bila konvergen.
Sifat-sifat Sifat-si fat Deret Tak Hingga y ang Konvergen Suatu jumlah deret ada jika limit jumlah parsialnya ada. Akibatnya sifat dari jumlah deret serupa dengan sifat-sifat limit barisan.
TEOREMA 2.7 Kelinieran Deret Konvergen Jika
dan
adalah deret yang konvergen dan
adalah suatu konstanta, maka: a. b.
konvergen dan konvergen dan
Contoh 3 Tentukan apakah deret
konvergen atau divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 14
Deret Tak Hingga
BAB 2
Penyelesaian
Jadi deret tersebut konvergen ke 1. Coba kalian tentukan apakah deret
konvergen atau divergen.
Ingat ! Kontrapositif dari Teorema
Uji Suku ke- n untuk Kedivergenan
2.8 adalah: Jika adalah: Jika deret tak hingga
konvergen
Teorema 2.8 berikut merupakan salah satu uji yang digunakan untuk menentukan kekonvergenan deret.
dengan jumlah S, maka Ke divergenan TEOREMA 2.8 Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan
.
Jika Jadi deret
berkaitan
atau jika
tidak ada, maka deret
divergen.
dengan dua barisan, yaitu barisan suku-suku deret dan barisan jumlah parsial
Contoh 4 Tunjukan bahwa
. Kebalikan dari
Teorema 2.8 tidaklah berlaku, yaitu jika belum tentu konvergen.
adalah deret yang divergen. Penyelesaian Karena
0 maka,
menurut Teorema 2.8, deret tersebut adalah deret yang divergen. Coba kalian tunjukan bahwa
divergen. divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 15
BAB 2
Deret Tak Hingga
Contoh paling baik dari keadaan seperti dapat dilihat pada deret harmonik yang yang memiliki bentuk
(9)
Jelas bahwa barisan
memiliki
, namun
Teorema 2.9 di bawah ini menyatakan bahwa deret harmonik divergen.
TEOREMA 2.9 Deret Harmonik Deret harmonik adalah divergen. Bukti Jumlah parsial S n deret harmonik
Jumlah parsial ini dapat ditulis kembali kembali menjadi
Jika n→ maka S n akan meningkat tanpa batas. Akibatnya divergen.
Deret Collaps Tidak banyak deret yang jumlah parsialnya dapat dituliskan secara eksplisit seperti deret geometri. Salah satu deret yang jumlah parsialnya dapat ditulis secara eksplisit adalah deret collaps. collaps. Misalkan memiliki bentuk
adalah barisan. Jumlah parsial deret collaps
(10)
Maka, jumlah deret collaps adalah collaps adalah
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 16
BAB 2
Deret Tak Hingga
(11)
Contoh 5 Tentukan jumlah deret
Penyelesaian Suku deret dapat dituliskan d ituliskan kembali kembali menjadi
Jumlah parsial deret adalah
Maka,
2.3
Deret Suku Positif
Uji Jumlah Terbatas, Uji Integral, Uji Banding, Uji Banding Limit, Uji Rasio
Deret suku positif adalah deret yang suku-sukunya positif, atau ai>0 untuk setiap i. Dua hal yang menjadi perhatian pada deret ini adalah, pertama apakah deretnya konvergen? Kedua, bila konvergen, berapa jumlah deretnya? Dari Subbab 2.1, telah dikenalkan beberapa deret khusus yang telah diketahui kekonvergenannya dan ada rumus untuk menghitung jumlah parsialnya. Deret tersebut adalah deret geometri dan deret collaps. collaps. Untuk deret suku positif, ada
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 17
BAB 2
Deret Tak Hingga
beberapa uji yang digunakan untuk menentukan apakah deret suku ini konvergen.
Uji Jumlah Terbatas TEOREMA 2.10 Uji Jumlah Terbatas Deret dengan suku-suku tak negatif akan konvergen jika dan hanya jika barisan jumlah parsialnya mempunyai batas atas.
Contoh 1 Tunjukan bahwa deret
konvergen. Penyelesaian Mula-mula perhatikan bahwa,
Akibatnya,
Maka jumlah parsialnya,
Dapat kita lihat bahwa suku-suku terakhir deret tersebut merupakan
deret
geometri
dengan
rasio
.
Maka,
Karena jumlah-jumlah parsialnya S n terbatas di atas oleh 3 maka, berdasarkan Teorema 2.10, deret tersebut adalah deret yang konvergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 18
BAB 2
Deret Tak Hingga
Coba kalian tunjukan bahwa deret
konvergen.
Uji Integral Ingat kembali integral tak wajar pada Bab 1. Perilaku integral tak wajar
terhadap kekonvergenan serupa dengan
perilaku deret . Hal ini memberikan salah satu uji yaitu uji integral seperti pada Teorema 2.10 berikut. TEOREMA 2.11 Uji Integral Misalkan adalah deret suku positif dan f fungsi kontinu yang bernilai positif, dan tak menurun di interval [1,]. Jika f (n)=a )=an untuk setiap bilangan bulat positif n1, maka deret tak terhingga
dan
akan konvergen atau divergen bersamaan.
Bukti Karena f Karena f ( x ) adalah fungsi yang tak turun, maka didapat
Integralkan dari bentuk berikut ini :
sampai
untuk mendapatkan
Kemudian jumlahkan dari suku ke n = 1 sampai n = M -1 -1 sehingga didapat :
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 19
BAB 2
Deret Tak Hingga
(12)
Jika
ada dan bernilai S , maka dari ruas kiri
ketaksamaan (12) didapat bahwa merupakan deret yang tak turun dan terbatas di atas oleh S . Sehingga didapat bahwa deret konvergen. Jika
bernilai tidak terbatas, dari ruas kanan
persamaan (12) didapat bahwa merupakan deret yang tidak turun dan tidak mempunyai batas atas atau dengan kata lain deret divergen. Contoh 2 Ujilah kekonvergenan deret
Penyelesaian Karena
maka menurut Teorema 2.11 deret
divergen.
Contoh berikut ini adalah deret- p p yang sering digunakan untuk uji kekonvergenan deret yang lain. Deret- p memiliki p memiliki bentuk:
(13)
Contoh 3 Perhatikan deret- p seperti p seperti pada persamaan (13). Tunjukkan:
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 20
BAB 2
Deret Tak Hingga
a. Deret- p konvergen p konvergen jika p jika p>1. >1. b. Deret- p divergen p divergen jika p jika p≤1. Penyelesaian Fungsi
, p , p0 adalah kontinu, positif dan tidak naik pada
interval [1,). Lebih lanjut, konvergen jika dan hanya jika
, p0. Menurut uji integral, ada.
Jika p Jika p1
Jika p Jika p=1 =1
Karena jika p>1 p>1 dan jika p jika p<1 <1 dan karena , dapat disimpulkan bahwa deret- p deret- p konvergen untuk p untuk p>1 >1 dan divergen untuk 0≤ p≤1.
TEOREMA 2.12 Perkiraan Galat untuk Uji Integral Misalkan deret tak hingga
dan integral tak tentu
memenuhi hipotesa uji integral dan keduanya konvergen. Maka
dengan adalah sisa, sisa, yaitu selisih antara jumlah deret S dengan dengan jumlah parsial ken .
Uji Banding Uji banding adalah salah satu uji yang menentukan kekonvergenan suatu deret dengan cara membandingkannya dengan kekonvergenan integral tak wajar dari fungsi yang sama dengan fungsi deret yang akan diuji. Hal ini memberikan ide yang serupa untuk melakukan uji kekonvergenan deret, namun kali ini dengan cara membandingkannya dengan deret lain yang telah diketahui kekonvergenannya, misalkan deret geometri. Ada dua macam uji banding, yaitu uji banding biasa dan uji banding limit.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 21
BAB 2
Deret Tak Hingga
Uji Banding Biasa
TEOREMA 2.13 Uji Banding Biasa Misalkan 0≤an≤bn untuk , Jika konvergen, maka Jika
divergen, maka
konstanta. juga konvergen. juga divergen.
Contoh 4 Tentukan apakah deret
konvergen atau divergen. Penyelesaian Misalkan
dan
. Karena
atau
dan karena
divergen (karena
harmonik) maka menurut Uji Banding Biasa
deret adalah
deret yang divergen. Dalam contoh ini, kita membandingkan deret
dengan deret
yang telah diketahui
kekonvergenannya.
Coba kalian tentukan apakah
merupakan deret yang konvergen atau divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 22
BAB 2
Deret Tak Hingga
Uji Banding Limit
TEOREMA 2.14 Uji Banding Limit Misalkan dan suku yang positif. Maka:
adalah deret dengan suku-
a.
maka
Jika
dan
konvergen atau divergen secara bersamaan. b. Jika
dan
konvergen maka
juga konvergen. c.
Jika
dan
divergen maka
juga divergen.
Contoh 4 Tentukan apakah
konvergen atau divergen. Penyelesaian Untuk menentukan pembanding suku ke-n ke-n deret di atas pada uji banding limit, kita pilih suku-suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebutnya. Dalam contoh ini, kita membandingkan
dengan
Mula-mula kita hitung limit dari
Kemudian kita tentukan kekonvergenan
. Karena
konvergen dan maka menurut Uji Banding Limit barisan konvergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 23
BAB 2
Deret Tak Hingga
Coba kalian tentukan apakah
merupakan deret yang yang konvergen atau divergen.
Uji Rasio Kesulitan yang timbul jika menggunakan uji banding adalah memilih deret yang akan digunakan sebagai pembandingnya. Salah satu cara mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan uji rasio. Dalam uji ini kita membandingkan deret dengan dirinya sendiri. Teorema 2.13 berikut menyatakan uji rasio.
TEOREMA 2.15 Uji Rasio Misalkan misalkan
a.
adalah deret dengan suku-suku positif dan
Jika p Jika p<1, <1, maka deret tersebut konvergen.
b. Jika p Jika p>1 >1 atau jika c.
maka deret tersebut
divergen. Jika p=1, p=1, maka uji ini tidak dapat memberikan kesimpulan.
Contoh 5 Tentukan apakah
konvergen atau divergen. Penyelesaian Misalkan
maka
. Kemudian kita cari nilai ρ,
diperoleh
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 24
BAB 2
Deret Tak Hingga
Menurut uji rasio, karena ρ=0<1 maka
konvergen.
Periksalah apakah
merupakan deret yang konvergen atau divergen.
2.4
Deret Berganti Tanda
Uji Deret Berganti Tanda, Uji Konvergensi Mutlak, Uji Rasio Mutlak
Pada Subbab 2.3 telah dibahas mengenai deret yang sukusukunya positif semua. Pada subbab ini akan dibahas deret yang memiliki suku-suku baik yang positif maupun yang negatif. Salah satu contoh penting dari deret seperti ini adalah deret berganti tanda yang tanda yang memiliki bentuk umum
(14)
dimana an0 untuk setiap n.
Uji Deret Berganti Tanda Salah satu uji untuk deret berganti tanda adalah seperti Teorema 2.16 berikut.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 25
BAB 2
Deret Tak Hingga
TEOREMA 2.16 Uji Deret Berganti Tanda Misalkan:
dengan tersebut konvergen.
. Jika
, maka deret
Kesalahan yang dibuat dengan menggunakan jumlah S n dari n suku pertama untuk menghampiri jumlah S dari deret tersebut tidak lebih dari an+1. Ini berarti kesalahannya (galat), .
Contoh 1 Tentukan apakah
konvergen atau divergen. Penyelesaian Deret
adalah suatu deret berganti tanda dengan . Karena
dan
maka
dan
. Jadi
konvergen.
Coba kalian tentukan apakah
merupakan deret yang konvergen atau divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 26
BAB 2
Deret Tak Hingga
Uji Konvergensi Mutlak Jika setiap suku pada deret berganti tanda kita beri harga mutlak, maka diperoleh deret suku positif. Dengan demikian kita dapat menggunakan semua uji pada deret suku positif. Hubungan antara deret suku positif dengan deret berganti tanda diberikan pada Teorema 2.17 namun sebelumnya diberikan definisi konvergensi mutlak dahulu.
DEFINISI 2.6 Konvergensi Mutlak Deret konvergen.
dikatakan konvergen mutlak jika
TEOREMA 2.17 Uji Konvergensi Mutlak Jika
konvergen maka
konvergen.
Contoh 2 Tentukan apakah barisan
konvergen atau divergen. Penyelesaian Misalkan
maka
apakah
. Untuk menentukan menentukan konvergen atau divergen, mula-
mula perhatikan bahwa deret deret geometri dengan rasio
merupakan . Akibatnya
adalah deret yang konvergen. Maka berdasarkan uji konvergensi mu-tlak kita peroleh
adalah deret yang
konvergen juga. Periksalah apakah
merupakan deret yang konvergen atau divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 27
BAB 2
Deret Tak Hingga
Uji Rasio Mutlak Uji rasio mutlak untuk deret berganti tanda serupa dengan uji rasio pada deret suku positif. Berikut adalah teorema uji rasio mutlak.
TEOREMA 2.18 Uji Rasio Mutlak Misalkan andaikan
a.
adalah deret dengan suku-suku tak nol dan
Jika < 1, maka deret tersebut konvergen mutlak (sehingga konvergen).
b. Jika > > 1, maka deret tersebut divergen. di vergen. c.
Jika = 1, maka uji tidak memberikan kesimpulan.
Contoh 3 Tentukan
apakah
merupakan
deret
yang
konvergen atau divergen. Penyelesaian Misalkan
maka
. Kemudian
kita hitung nilai rasio seperti seperti berikut:
Karena ρ = 0 < 1 maka menurut Uji Rasio Mutlak deret tersebut adalah deret yang konvergen. Coba kalian tentukan apakah
merupakan deret yang konvergen atau divergen.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 28
BAB 2
2.5
Deret Tak Hingga
Deret Pangkat
Deret Pangkat, Deret Pangkat dalam Deret Pangkat
, Operasi pada
Deret Pangkat Perhatikanlah deret berikut
(15)
Deret pada (15) berbeda dengan deret yang telah kita pelajari dalam subbab terdahulu dimana suku-suku deret berupa bilangan. Pada deret di (15), suku-suku deret merupakan fungsi dari . Ada dua hal yang perlu perlu diperhatikan pada deret deret fungsi ini ini yaitu: 1. Pada nilai x nilai x berapa berapa deret fungsi akan konvergen? 2. Fungsi seperti apakah yang merupakan jumlah dari deret fungsi? Pada Matematika Dasar A2 hanya dibahas deret fungsi yang khusus yaitu deret pangkat . Bentuk umum deret pangkat dalam
adalah
(16)
Teorema berikut digunakan untuk menentukan nilai-nilai menyebabkan menyebabkan deret pangkat konvergen.
yang
TEOREMA 2.19 Konvergensi Deret Pangkat Himpunan konvergensi dari deret pangkat berupa interval yang berbentuk: 1. Titik tunggal . 2. Interval konvergensi dengan kemungkinannya adalah:
–
,
selalu
kemungkinan,
atau
.
3. Seluruh garis bilangan riil.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 29
BAB 2
Deret Tak Hingga
Bilangan R pada Teorema 2.19 disebut jari-jari kekonvergenan dari deret pangkat. Untuk kasus 1 pada Teorema 2.19, jari-jari kekonvergenannya adalah R=0 R=0, dan pada kasus 3, R=. Interval dimana deret pangkat konvergen seringkali disebut interval kekonvergenan. kekonvergenan. Contoh 1 Tentukan himpunan konvergensi dari deret berikut:
(17)
Penyelesaian Himpunan nilai-nilai dimana deret fungsi konvergen disebut himpunan konvergensi. konvergensi. Untuk menentukan himpunan konvergensi, kita lakukan uji rasio mutlak seperti berikut:
Deret pada (17) konvergen bila
atau
ρ<1
. Akibatnya
, lebih lanjut . Kemudian kita periksa kekonPendiferensialan & Pengintegralan TEOREMA vergenan deret2.20 tersebut di titik-titik ujungnya. Deret Pangkat Jika deret menjadi . Misalkan maka adalah jumlah deret pangkat pada selang I , yaitu: menggunakan uji deret berganti tanda, dapat dibuktikan Dengan bahwa deret
konvergen.
Jadi, jika di dalam selang I , berlaku: Jika maka deret menjadi
. Deret
adalah deret harmonik sehingga divergen. Hal ini menyebabkan a. deret divergen. Jadi himpunan konvergensi dari deret adalah
.
b. Coba kalian ulangi pekerjaan di atas yaitu menentukan himpunan konvergensi dari deret berikut
Der et P an g ka t da la m ( ) M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2 Universitas Indonesia | 30 Deret tak hingga dalam bentuk
BAB 2
2.6
Deret Tak Hingga
Deret Taylor dan Deret MacLaurin
Deret Taylor, Rumus Taylor dengan Suku Sisa, Deret MacLaurin
Deret Taylor Deret pangkat yangn kita pelajari sangat berguna untuk mencari fungsi hampiran. Contohnya deret geometri adalah salah satu deret pangkat yang digunakan untuk menghampiri fungsi . Namun demikian, masih ada masalah yang ingin dipecahkan, misalkan diberikan suatu fungsi f , dapatkah kita membuat deret pangkat dalam x dalam x , atau lebih umum dalam x dalam x -a. Dengan kata lain, apakah ada nilai-nilai sehingga
sedemikian
(19)
Misalkan Persamaan (19) ada, berdasarkan Teorema 2.20 didapat
(20)
Substitusikan x =a
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
ke Persamaan (20) kemudian selesaikan
Universitas Indonesia | 31
BAB 2
Deret Tak Hingga
Persamaan Persamaan (20) sehingga diperoleh konstanta cn.
Bentuk umum dari ck adalah adalah (21)
Dari persamaan (21) dapat dilihat bahwa konstanta ck bergantung dari fungsi f fungsi f . Karena nilai ck hanya hanya bergantung dari f dan nilainya tunggal, ini mengandung arti bahwa uraian f terhadap deret pangkat dalam ( x ( x -a) adalah tunggal.
TEOREMA 2.21 Teorema Ketunggalan Misalkan f memenuhi (22) untuk semua x semua x di di interval int erval yang mengandung a. Maka (23)
Uraian fungsi f dalam dalam deret pangkat atas ( x ( x -a) seperti pada (22) disebut deret Taylor. Jika a=0 maka deret (22) disebut deret MacLaurin. Jadi deret MacLaurin adalah bentuk khusus dari deret Taylor.
Rumus Taylor dengan Suku Sisa Teorema 2.22 dan Teorema 2.23 berikut ini memberikan jaminan keberadaan keberadaan uraian deret Taylor.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 32
BAB 2
Deret Tak Hingga
TEOREMA 2.22 Rumus Taylor dengan Suku Sisa Misalkan f fungsi terturunkan (k (k +1) +1) kali dengan ada untuk setiap x di interval buka I yang mengandung a. Maka, untuk setiap x setiap x di di I
dengan sisa
yang rumusnya
dengan c titik antara
dan a.
Teorema 2.22 menyatakan bentuk sisa yang terjadi apabila kita menghampiri fungsi sampai dengan sejumlah berhingga suku dari deret Taylor. Sedangkan pada Teorema 2.23, akan disebutkan kapan suatu fungsi f dapat dihampiri oleh deret pangkat dalam
.
TEOREMA 2.23 Teorema Taylor Misalkan f fungsi yang memiliki turunan-turunan keberapapun pada suatu selang . Deret Taylor (24)
merepresentasikan merepresentasikan fungsi f fungsi f pada selang dan hanya jika
jika
dimana Rn( x ) adalah suku sisa dalam Rumus Taylor, (25)
dan titik c adalah titik pada
Contoh 1 Buatlah uraian .
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
deret
Taylor
.
dengan
a=1
untuk
fungsi
Universitas Indonesia | 33
BAB 2
Deret Tak Hingga
Penyelesaian Mula-mula tentukan
dst …. …. Maka didapat uraian deret Taylor dari fungsi
adalah
taylor(cos(x),x=1);
Coba kalian buat uraian deret Taylor dengan a=1 a =1 untuk fungsi .
Deret MacLaurin Jika nilai a di deret Taylor pada persamaan (24) adalah 0 maka diperoleh deret MacLaurin
(26)
Contoh 2 Buatlah uraian MacLaurin dari fungsi seperti pada Contoh 1 yakni . Penyelesaian Substitusikan nilai a=0 pada persamaan deret Taylor pada Contoh 1, maka diperoleh
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 34
BAB 2
Deret Tak Hingga
taylor(cos(x),x=0);
Coba kalian buat uraian deret MacLaurin untuk fungsi
Dari Contoh 2, kita peroleh uraian MacLaurin untuk yaitu
,
(27) Contoh 3 Dengan menggunakan persamaan (27) dan Teorema 2.22 a untuk mencari uraian deret MacLaurin dari . Penyelesaian
Dari penyelesaian Contoh 3, kita miliki uraian deret MacLaurin dari , yaitu
(28)
Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari uraian deret MacLaurin dari fungsi-fungsi trigonometri, fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi lain yang terturunkan. Beberapa uraian MacLaurin dari fungsi-fungsi yang penting dapat dilihat pada buku-buku kalkulus.
M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2
Universitas Indonesia | 35