BAB VI LINGKARAN A. SIFA SIFAT T SIFAT SIFAT LIN LINGK GKAR ARAN AN Definisi 6.1. Lingkaran ialah garis lengkung yang bertemu kedua ujungnya, yang merupakan himpunan titik titik yang berjarak sama dari sebuah titik ertentu. Titik ini namanya titik pusat. GM= jari jari D A
GF = diametr
B C
G
E
AB= talibusur CM = apotema
M
CD= anak panah F
P
Daerah EMF = juring Daerah PQS = tembereng
S
Q
(M,r)=Lingkaan dengan pusat M dan jari-jari r
Teorema 6.1. Tiap-tiap talibusur yang tidak melalui titik pusat lebih pendekdari gris tengah. Teorema 6.2. Apotema membagi tali busur tegak lurus di pertengahan. Teorema 6.3. Talibusur-talibusur yang sama mempunyai apotema-apotema yang sama pula. Teorema 6.4. Jika dua buah talibusur dalam sebuah lingkaran mempunyai apotemaapotema yang sama , maka talibusur-talibusur itu sama pula
SOAL 1. 2. 3. 4. 5.
B. GARI GARIS S DAN DAN LINGK LINGKAR ARAN AN Defnisi 6,2, Garis singgung adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingkaran pada dua buah titik yang berimpitan. Titik tersebut disebut titik singgung. Definisi 6.3. Yang dimaksud dengan sudut antaravgaris dan lingkaran 9yang dipotongt oleh garis itu ), ialah sudut yang terletak di antara garis potong ini dan garis singgung yang ditarik melalui salah satu dari titik-titik potongnya. Soal Latihan 1. Diketahui Diketahui sebuah lingkaran lingkaran M dengan jari-jari jari-jari 3 cm dan sebuah sebuah titik titik P sehingga sehingga PM = 5 cm. Lukislah dan hitunglah garis-garis singgung dari P pada lingkaran M. 2.
Lukislah sebuah lingkaran M dengan jarijari 2,5 cm. Sebuah titik P terletak 5 cm d ari M . Lukislah garis-garis singgung PA dan PB. Hitunglah PA, AB, ∠APB dan luas ∆ APB.
3.
Buktikanlah bahwa kedua garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran , sama panjangnya.
4. Dalam sebuah sebuah lingkara lingkaran n yang diketahui diketahui digambark digambarkan an dua buah talibusur talibusur yang yang tidak tidak sama. Buktikanlah bahwa talibusur yang terkecil memunyai apotema yang terbesar. C. LETAK LETAK BEBE BEBERAP RAPA A LINGK LINGKARA ARAN. N. Definisi 6.4. Dua lingkaran bersinggungan jika kedua lingkaran ini mempunyai sebuah garis singgung persekutuan di sebuah titik persekutuan Jika M dan N pusat-pusat kedua lingkaran lingkaran maka MN disebut sentral. Jika
MN = a dan R = jari-jari likaran yang berpusat di M dan da n r = jari-jari likaran yang berpusat di N
Kemungknan 1 a> (R + r)
M
4 a= (R-r)
N
M
N
2
a = (R + r)
5 a< (R-r)
M N M
N
3 (R+r (R+r)> )>a> a>(R (R--r)
M
6 a= 0
N
M N
Teorema 6.5.Pada dua buah lingkaran yang berpotongan , sentral kedua lingkaran membagi talibusur persekutuan tegaklurus dipertengahan Definisi 6.5. Yang dimaksud dengan sudut dua lingkaran yang berpotongan ialah sudut yang dibuat oleh kedua gari singgung di salah satu titik potongnya.
Soal 1 sd.10 D. GARIS GARIS SINGG SINGGUNG UNG PERSE PERSEUTU UTUAN AN Definisi 6.6. a. Sebuah garis yang menyinggung dua buah lingkaran disebut garis singgung persekutuan Definisi 6.6. b. Jika pusat –pusat lingkaran terletak pada pihak yang sama pada garis singgung itu, maka garis singgung itu dinamakan garis singgung luar persekutuan. Definisi 6.6. c. Jika pusat –pusat lingkaran terletak sebelah-menyebelah sebelah-menyebelah garis singgung, maka garis singgung singgung itu dinamakan garis singgung dalam persekutuan.
Melukis garis singgung luar persekutuan A B E M
N
Diketahui Lingk(M,R) dan lingk(N,r) 1. Lukis lingk dgn MN grs tengah tengah 2. Tent. Tent. E shg ME = R-r 3. Perpanjang Perpanjang ME hingga memotong memotong lingk lingk (M,R) di A 4. Buat garis di A shg grs tsb ⊥ AM 5. Garis tsb memotong memotong lingk lingk (N,r) (N,r) di B 6. AB adalah adalah grs grs singgung singgung luar persekutuan
Melukis garis singgung dalam persekutuan Diketahui Lingk(M,R) dan lingk(N,r) 1. Luki Lukiss ling lingk k dgn dgn grs grs tengah MB 2. Tent Tent E shg shg ME = R+r R+r 3. ME dan dan lin lingk gk (M,R) M,R) adalah A 4. Buat grs di A hingga grs tsb ⊥ ME, grs ini memotong lingk (N,r) di B 5. AB adl adl grs grs sing singgu gung ng dalam persekutuan Soal E. SUDU SUDUT T DAN DAN BUS BUSUR Definisi 6.7.a. Yang dmaksud dengan sudut pusat ialah sudut yang dibentuk oleh dua jari jari lingkaran Definisi 6.7.b. Yang dimaksud dengan sudut keliling ialah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran. Definisi 6.7.c. Yang dimaksud besarnya sebuah busur lingkaran ialah besarnya sudut pusat pada busur itu Sudut pusat = busurnya(busur tempat ia berdiri) Teorema 6.6. Tali busur-tali busur yang sama menahan busur busur yang yang sama.
Sudut pusat-sudut pusat yang sama besar berdiri diatas busur yang sama. Teorema 6.7. Sudut keliling sama dengan setengah busurnya C
Diketahui:
1 2 M 1 2 A
B
∠ACB
sudut keliling ∠AMB sudut pusat = ∩ AB Buktikan : ∠ACB = 0,5 ∩ AB Bukti Pada ∆ ACM ∠M1= ∠C1+ ∠A = ∠C1+ ∠C1 = 2. ∠ C1 *) Pada ∆ BCM ∠M2= ∠C2+ ∠B = ∠C2+ ∠C2 = 2. ∠ C2 **) Dari *) dan **) ∠M1= 2. ∠ C1 ∠M2= 2. ∠ C2 + ∠AMB = 2. ∠ACB 0,5 ∩ AB= 2. ∠ACB ∠ACB = 0,5 ∩ AB
Teorema 6.8.Sudut yang dibentuk oleh sebuah garis singgung dansebuah talibusur yang melalui titik persinggungan sama dengan setengah busur yang terletak diantara garis singgung dan lali busur itu
Teorema 6.9. Busur busur lingkarang yang trletak diantara dua talibusur yang sejajar, sama panjangnya.
C D A B
Teorema 6.10. Jika dua buah tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka sudut yang dibentuknya sama dengan setengah setengah jumlah busur yang yang terletak diantara kaki kaki sudut itu.
C B 1
2
S
D
A
Teorema 6.11. Jika dua buah tali busur berpotongan di luar lingkaran, maka sudut yang dibentuknya sama dengan setengah selisih selisih busur yang yang terletak diantara kaki kaki sudut itu.
C 1
2
D S
B A
