Bahan Ajar Komposisi Fungsi

www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc

Page 1

FUNGSI KOMPOSISI DAN

FUNGSI INVERS

1. RELASI DAN FUNGSI

Relasi himpunan A ke himpunan himpunan B yaitu korespondensi/hubungan korespondensi/hubungan semua anggota A dengan dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B. Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu : 1. Dengan diagram panah 2. Dengan himpunan pasangan berurutan 3. Dengan grafik/diagram 4. Dengan rumus

Contoh 1: Diketahui himpunan himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas ! Jawab

: 1. Dengan diagram panah A B 1 1 2 2 3 3 4 5 2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)} 3. Dengan grafik/diagram B 5 4 3 2 1 0 A 1 2 3 4. Dengan rumus y = x + 1 jika y ∈ B dan

A 1 2 3

B

∈ A

Himpunan A disebut daerah asal (domain) a b c d e


Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range)

Page 2

Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a terdefinisi jika b ≠ 0 a ≥ 0 dan pecahan b

a hanya terdefinisi jika

Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi : x + 1 a) f(x) = x + 3 b) f(x) = 2 −3 Jawab

: a) f(x) = x + 3 terdefinisi jika Jadi Df : {x/........…….. {x/........…….. } Karena

+ 3 ≥ 0 atau .....

a ≥ 0 maka Rf : {y/…….........} x + 1

terdefinisi jika 2 − 3 ≠ 0 atau ...... 2 −3 Jadi Df:{x/.………...... } x + 1 x + 1 f(x) = ⇔ y= 2 −3 2 −3 ⇔ y(2x -3) = x + 1 ⇔ 2xy - 3y = x + 1 ⇔ 2xy - x = 3y + 1 ⇔ x(2y - 1) = 3y + 1 3 y + 1 ⇔ x= 2 y − 1 Syarat pecahan di atas terdefinisi jika jika ........... .......... . ≠ 0 atau y ≠ ...... Jadi Rf:{y/.....………. }

b) f(x) =

LATIHAN SOAL

1.

Nyatakan relasi berikut dengan rumus ! A -1 0 1 2 3

a.

B -1 0 3 8

b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)} c.

Y 17

11 7 3 X 2

4


7

Page 3

2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya ! A B f A a. 1 a b. 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4

A B

B f

f

c.

1 2 3 4

a b c

a b c d

3. Mana yang yang merupakan fungsi di bawah ini ini ? Beri alasannya alasannya ! a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)} b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)} d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)} 4. Mana yang yang merupakan fungsi di bawah ini ini ? Beri alasannya alasannya ! a. Y b. Y y = x + 1

y = x 2 + 1

X

X

0

0

y 2 = −1 + x

c.

d.

e

Y

Y

0

X

0

Y

x 2 + y 2 = 4 X

0

y = x 3 X

5. Tentukan daerah asal asal dan daerah hasil hasil dari : a. y = x + 1 d. y =

2

− 2 x + 4

b. y =

x+2 x − 1

e. y = x − 2

c. y = − x 2 + 5 f. y =

x 2 − x x + 1

2. MACAM-MACAM FUNGSI

a. Fungsi Konstan Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B. Fungsi konstan secara umum dinyatakan dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan c konstanta dan x ∈ R .


Page 4

Contoh 1: Lukislah garis y = 5 Jawab

:

Y

0

X

b. Fungsi Identitas Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x c. Fungsi Modulus (Mutlak) Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x

x dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :

 x, jika x ≥ 0 − x, jika x < 0

x = 

Misal : 2 = 2

0 =0

− 3 = −(−3) = 3

Contoh 2: Lukislah kurva y = 2 x − 5 Jawab

: Dengan menggunakan menggunaka n bantuan tabel : x

0 y

Kurvanya :

1 …

2 …

2,5 3 … …

4 …

5 …

…

Y

0

X

d. Fungsi Linear Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari variabel/peubahnya variabel/peubahnya hanya satu. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalah gradien/arah/kemiringan gradien/arah/kemiringan garis dan d an c adalah konstanta. Fungsi linear berupa garis lurus.


Page 5

Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3 Jawab

: Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik. Misal x = 0 maka y = …. atau atau melalui titik ( … , … ) Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … ) Y

0

X

e. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya dua. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = ax 2 + bx + c , dimana a ≠ 0, a, b, c ∈ R

Contoh 4: Lukislah kurva y = x 2 − 2 x − 8 Jawab

: Cara melukisnya : 1. Titik potong dengan sumbu X jika y = … 0 = x 2 − 2 x − 8 ⇔ 0 = (............)(.............) x=… , x=… 2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = … y = …. 3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = …. 4. Beberapa titik bantu jika perlu. X -2 -1 0 1 2 3 4 Y … … … … … … … Kurvanya : Y

0

X

3. SIFAT-SIFAT SIFAT-SIFAT FUNGSI

Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu : a. Fungsi Injektif (Satu-satu) Jika a1 , a2 ∈ A, a1 ≠ a2 maka f (a1 ) ≠ f (a2 ) b. Fungsi Surjektif (Onto) Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan). c. Fungsi Into


Page 6

Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B. d. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.

LATIHAN SOAL

1.

Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu satu-satu atau fungsi korespondensi satu-satu dari : a.

1 2 3

a b c

b.

1 2 3

a b c

c.

1 2 3

a b c d

d.

1 2 3 4

a b c

2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini : a. y = 3 x − 2 b. 4 x − 3 y = 12 c. y = 5 d.

y = x2 − 2 x− 8

e.

y= − x2 + 4 x

f. y = x − 3 g.

y = 2 x − 4 + 1

 x + 1, untuk x < 5 h. y =   6, untuk x ≥ 5 i.

 x, untuk x < 3  y =  x 2 , untuk 3 ≤ x < 6  1 − x, untuk x ≥ 6 

4. ALJABAR FUNGSI

Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sifat-sifat sebagai berikut : 1. 2. 3.

( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f − g )( x) = f ( x ) − g ( x ) ( f . g )( x ) = f ( x). g ( x)

 f  f ( x) ( x) = , g ( x ) ≠ 0 g g ( x )  

4. 

Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan : a. (f + g)(x) Jawab

:

b. (f – g)(x)

c. (f x g)(x)

 f  ( x) g  

d. 

a. (f + g)(x) = …. b. (f – g)(x) = …. c. (f x g)(x) = ….

 f  ( x) = …. g  

d. 


Page 7

LATIHAN SOAL

1.

Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g untuk f dan g pada R dengan ketentuan ketentuan sebagai berikut : f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x

2. Tentukan

f

lalu tentukan domainnya agar

g a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5x b. f(x) = x, g(x) = x 2 − x 2 c. f(x) = x − 1 , g(x) = x + 1

f g

merupakan fungsi dari :

3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan : a. rumus f + g, g – f dan f x g b. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1) c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g 4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai sebagai berikut : f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} Tentukan : a. f + g, f + h dan g + h b. f – g, f – h dan g – h c. f x g, f x h dan g x h

5.

FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi komposisi berarti gabungan gabungan dari beberapa fungsi. fungsi. f x

g y

z

h

f memetakan x ke y ditulis y = f(x) g memetakan y ke z ditulis z = g(y) h memetakan x ke z ditulis z = h(x) h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f dibaca “g noktah f” atau atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) = g(f(x)) Karena h(x) = (gof)(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))

Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku : (gofoh)(x) = g(f(h(x)))

Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3 x 2 , maka tentukan : a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2) Jawab

:

a) (fog)(x) = ……. b) (fogoh)(x) = ………. c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....………..


Page 8

Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) ! Jawab

: (fog)(x) = f(g(x)) .... = .... ………….

Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = 9 x 2 − 12 x + 7 , maka tentukan g(x) ! Jawab

: (gof)(x) = g(f(x)) ... = .... Misal y = .... ⇔ x = .... Sehingga : g(y) = ..... = ..... Jadi g(x) = ....

LATIHAN SOAL

1.

Jika f(x) = 5x - 3, g(x) =

1

−1

dan h(x) = 2 x 2 + 1 , maka tentukan :

a. (foh)(x)

b. (hog)(2)

d. (gofoh)(x)

e. (hofog)(2)

c. (fogoh)(x) 1 f. (gohof)( ) 5

2. Tentukan : a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = .... b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = .. .. c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) = 12 2 + 12 x + 1 , maka g(x) = .... d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) = 3 2 + 9 − 5 , maka f(x) = .... e. Jika g(x) = 2 + − 1 dan (gof)(x) = 2 + 5 + 5 , maka f(x) = .... 3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) =

2

+ 2 + 2 dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a !

4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka tentukan nilai p ! 5. Jika f(x) f(x) = x + 2 dan (gof) (x) = 2 x 2 + 4 x + 1 , maka tentukan g(2x) ! 6. SIFAT-SIFAT SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut :

Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x) Jawab

: a. (fog)(x) = …. b. (gof)(x) = ….

Jadi bersifat : ….


Page 9

2

Contoh 2: Jika f(x) = x , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan : a. ((fog)oh)(x) b. (fo(goh))(x) Jawab

: a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = …. b. (goh)(x) = …. (fo(goh))(x) = ….

Jadi bersifat : ….

Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan tentukan : a. (foI)(x) b. (Iof)(x) Jawab

: a. (foI)(x) = …. b. (Iof)(x) = ….

Jadi bersifat : …..

LATIHAN SOAL

1.

Jika f(x) = 4x - 3, g(x) =

1

, h(x) = x 2 − 1 dan I(x) = x, maka buktikan :

a. fog ≠ gof d. go(hof) = (goh)of

b. foh ≠ hof e. goI = Iog = g

2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) =

c. fo(goh) = (fog)oh f. hoI = Ioh = h

x

, maka buktikan : x + 1 b. (foh)(-1) ≠ (hof)(-1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)

a. (fog)(2) ≠ (gof)(2) c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1)

3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = 5 x + 1 dan h(x) = 6 − x , maka buktikan : 2

2

a. (foh) (2) ≠ (hof) (2) c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3)

b. (gof) (-1) ≠ (fog) (-1) d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)

7. INVERS SUATU FUNGSI

Perhatikan gambar berikut ini : A B y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan peta dari y oleh fungsi f −1 maka dikatakan fungsi f dan

f x

y

f −1 saling invers.

f −1 Jadi y = f(x) dan x = f −1 ( y ) Sifat invers :

( fof )( x) = ( −1

f −1 of

)( x) =

I( x)

Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.


Page 10

Cara menentukan invers dari y = f(x) : 1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y) 2. Ubah x = g(y) menjadi f −1 ( y) = g( y) 3. Ubah y dengan x

Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3 Jawab

: y = 5x + 3 ↔ 5x = .... x = .... −1 f ( y ) = ....

f −1 ( x) = Contoh 2: Tentukan invers dari y = Jawab

: y =

3 x − 1 3 − 2 x

3 x − 1 3 − 2 x

↔ y( .....

) = 3x - 1

................ ................ = .......... ................ ................ = .......... x ( ...... ) = ..... x = .....

f −1 ( x) = ........

5

Contoh 3: Jika f(x) =

Jawab

: f(x) =

−1

5 x − 1

, maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f !

↔

y = .....

....

= .... x = .... Jadi daerah asal Df:{x/

.....

} dan daerah hasil Rf: {y/

.......

}

LATIHAN SOAL

1.

Tentukan invers dari : a. f(x) = 4x + 5 b. f(x) = c. f(x) = d. f(x) =

2 3

e. f(x) =

−3 5 x − 1 f. f(x) = 3−2

x + 1 3

3. Jika f(x) =

4

2

5

−4 +3 2 x − 1 h. f(x) = +3 4 + 5 x g. f(x) =

−2 2 x + 5

2. Jika f(x) = 5 −

x + 1

2 x + 3

, maka tentukan f −1 (−2)

( x + 4) dan f −1 (a ) = 5 , maka tentukan a !

3 4. Tentukan daerah asal asal dan daerah hasil hasil dari : 5− x a. f ( x ) = b. f ( x ) = x − 1 +2


c. f ( x ) = x 2 − 4 x

Page 11

8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI

A

gof

C

( gof )−1 = f −1og −1

B f

g

x

y

f −1

( fog )−1 = g −1of −1

z

g −1

( gof ) −1 Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan :

(

−1

)

a) ( fog ) ( x ) b) g −1of −1 ( x ) Jawab

: a) ( fog )( x ) = f ( g ( x )) = f(...........) = ....... y = .... x = .....

( fog )−1 ( x ) = ......

b) f(x) = 5x - 3 y = 5x - 3 x = .... −1 f ( x) = .....

g(x) = 2 + 4x y = 2 + 4x x = .... −1 g ( x) = .....

( g − of − )( x) = ..... 1

1

Contoh 2: Diketahui f ( x) = Jawab

3

+1

dan g(x) = 4x - 1. Tentukan ( fog )

−1

(3)

: ( fog )( x ) = f ( g ( x )) = ...... y = ..... ...... = .... x = .....

( fog )−1 ( x ) = ...... −1 ....... ( fog ) (3) =....

LATIHAN SOAL

1.

Jika f(x) = 2x + 1 dan dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan tentukan : a. ( gof ) −1 ( x )

2. Jika f(x) =

1 2

b. ( g −1of −1 )( x)

c. ( f −1og −1 )( x )

d. ( fog ) −1 (5)

x − 3 dan ( gof ) −1 ( x) = x + 2 , maka tentukan g(x) !

3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan tentukan x jika ( fogo)h−1 ( )x = −1


Page 12

4. Diketahui f(x) = 5 x − 5 dan g(x) = 2x - 3. Tentukan : 2

a. ( fog ) −1 ( x)

b. ( g −1of −1 )( x)

5. Jika f(x) = 3x dan g(x) =

6. Jika f(x) =

1 x + 1

1 2

dan g(x) =


x + 1 , maka tentukan ( fog ) −1 (3) 2 3−

−1

maka tentukan ( fog ) ( x )

Page 13

Bahan Ajar Komposisi Fungsi

Recommend Documents