www.briliantprivate.co.cc
Page 1
LIMIT
FUNGSI
1. LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis
lim x → c
f(x) dibaca “limit x mendekati c dari
f(x)”. Artinya x mendekati bilangan c sedekat mungkin baik dari sebelah kiri ( sebelah kanan (
lim x
lim
Jika
Jawab
lim x → 2
x
→
c−
f(x)) maupun dari
f(x)).
f(x) =
x → c −
Contoh 1: Tentukan
c+
→
lim
lim x
→
c+
f(x) = L maka
lim x
→
c
f(x) = L
(3x-1)
: Jika f(x) = 3x - 1, dengan menggunakan tabel :
x
1
1,5
1,9
1,99
→
...
←
2,01
2,1
2,5
3
F(x)
…
…
…
…
→
…
←
…
…
…
...
Dari tabel bisa terlihat bahwa jika x mendekati 2, baik dari sebelah kiri maupun kanan, maka f(x) mendekati mendekati ... . lim Jadi (3x-1) = ... x → 2 Contoh 2 : Tentukan Jawab
2 ...
−9 −3
x → 3
lim
2,5 ...
x 2
−9
x → 3 x − 3
Contoh 3: Tentukan Jawab x f(x) Jadi
x 2
: Dengan menggunakan tabel :
x f(x) Jadi
lim
2,9 ...
2,99 ...
3 ...
→ →
← ←
3,01 ...
3,1 ...
3,5 ...
4 ...
= ....
Lim
1
x → 0 x
: Dengan pendekatan tabel sebagai berikut : -3 ...
-2 ...
Lim →
1 0
-1 -1 ...
-0,1 …
-0,01 …
→ →
0 ...
← ←
0,01 …
0,1 …
1 ...
2 ...
3 ...
= ...
www.briliantprivate.co.cc
Page 2
1.1 Limit x → c 1.1.1
Lim x → c
f(x) dimana f(x) bentuk pecahan yang dapat difaktorkan
1. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c)
≠0
2. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =
0 0
maka
Lim x → c
f(x) = f(c)
maka f(x) harus difaktorkan pembilang
atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan bentuk bukan
0 0
jika x
diganti dengan c.
Contoh 4 : Tentukan
Jawab
:
Lim
Lim x → 1
x 2
x → 1
−1 −1
x
2
−1 −1
= …………….
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya ! 1.
2.
3.
4.
Lim x → 3
5x+6
Lim
5 x − 1
x → 3 4 Lim
5.
+
6.
2
3 x − 6
7.
x → 2 x + 1 Lim
2 x − 1
x → −1
1.1.2
Lim x → c
8.
+1
x 2
Lim
−4
9.
x → 2 x − 2 Lim →
x
2
x 2
x → 2
+ 2 x − 8
x − 2
Lim x
→ −5
x + 5 2
2
+9
2 x → 3 x
10.
x
0
Lim
− x
−5
x 2 − x − 6
Lim
11.
12.
Lim x
2 x
→ −5
→
2
4 x 2
+ 9 x − 5
+ 17
− 15
x 3 + 2 x 2 + 3 x
Lim x
− 7 x + 12
0
Lim →1
2
−
x 3 − 1 x 2 − 1
f(x) dimana f(x) pecahan bentuk akar
Diselesaikan dengan mengalikan sekawan f(x) yang berharga 1 sehingga dapat diserhanakan menjadi 0 bentuk yang berharga bukan jika x diganti dengan c. 0
Contoh 1 : Tentukan
Lim →1
www.briliantprivate.co.cc
3− x +8 −1
Page 3
Jawab
:
Lim
3 − x + 8 x − 1
x → 1
= …………………..
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya !
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Lim →
x 4
Lim x
→
9
→
− x +
9
x
3
−
2 − 5 − x
x → 1 Lim
x − 1
→
x − 10
Lim
5 x
+
Lim
4
−
2
x x
−
2x − 1 −1
x − 2
2 x → 2 x
−4
Lim
x + 4 − 2 x + 1
x → 3
3 x + 1 − x + 7
Lim
x + h
12.
0 6 − 36 − 2 x
x 2
x → 1
11.
x − 2
Lim
x → 10
10.
3 − 4 x + 1
x → 2
x − 1 − 3
x → 0
9.
0 2 − 4 − x
Lim
Lim
8.
x
Lim
x
7.
4
−
Lim x
2
−
h→0
−
x
h
1.2 LIMIT x → ∞ Contoh 1. Tentukan Jawab : x 1 f(x) ... Lim Jadi x → ∞
10 ... 1
x
Lim
1
x → ∞
100 ...
dengan pendekatan tabel !
1000 ...
... ...
.. ...
= ...
Untuk menyelesaikan limit untuk x mendekati 1. Jika pada
Lim
f(x) menjumpai bentuk
∞ ∞
digunakan cara :
pada substitusi x dengan ∞ x → ∞ dengan membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.
∞,
maka diselesaikan
2. Jika f(x) berupa bentuk ∞ − ∞ untuk → ∞ maka diselesaikan dengan mengalikan sekawan dari f(x) yang berharga 1, kemudian diselesaikan dengan cara no.1
Contoh 2 : Tentukan
Lim x → ∞
www.briliantprivate.co.cc
5 x 2
+ 2 x + 3
7 − x 2
Page 4
Jawab
:
5 x 2
Lim
+
2 x + 3
: .....
7 − x 2
x → ∞ = ……………..
Lim
Contoh 3 : Tentukan
Jawab
:
x 2
x → ∞
Lim
x 2
x → ∞ Lim = ... x → ∞ Lim = ... x → ∞ Lim = .... x → ∞
+ 3 x −
+ 3 x −
x 2
− 2 x
x 2
− 2 x
. .......
: ....... = ............... ........... ....
= .....
LATIHAN SOAL
1.
2.
3.
4.
5.
Lim
2 x + 1 2
x → ∞ 4
6.
+ 3 x
4 x 3 − 2 x
Lim
2
x → ∞ 3 Lim
7.
+
5 + 2 x + x
x → ∞ 5 x Lim
x
3
3
3
8.
2
+ 2 x + 1 2
− 4 x + 7
2 x → ∞ 3 − 6 x
Lim
− 2 x
9.
3
5 x
x → ∞
x 2
+1 +
10.
x
3 x
+1
x
−1
5 x
−5
− x
x x → ∞ 5
+5
− x
Lim
x → ∞ 3 Lim
Lim x → ∞ Lim x → ∞ Lim x → ∞
x 2 + 1 − x 2 − 1
x + 1 − x − 1
4 x2
−
x − 4 x2
+3
x
1.3 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI C D
Karena AB = AD = r = 1, maka AE = cos x , DE = sin x dan BC = tan x
x A
E
B
L ∆ ADE < L juring ABD < L ∆ ABC 1 x 1 2 AE . DE < π 1 < AB. BC 2 2π 2 1 1 1 cos x sin x < x < tan x 2 2 2 www.briliantprivate.co.cc
1 : sin x 2
Page 5
cos x < Lim
x
1
<
sin cos x <
cos x Lim
x
Lim
<
x → 0 x → 0 sin Lim x <1 1< x → 0 sin
Lim
Jadi
x
Lim
Lim x
:
=
x
→
→
sin x x
0
Lim
tgx
x → 0
=
=1
1
sin 5 x 3 x
0
sin 5 x
. .... x → 0 3 x Lim sin 5 x = . ... x → 0 .... = ...
Contoh 2: Tentukan
Jawab
0 sin x
x
Lim
=
x → 0 tgx
Contoh 1: Tentukan
:
x → 0 cos
x
Lim
Sehingga :
Jawab
→
1
Lim
Lim
2 − 2 cos x x 2
x → 0
2 − 2 cos x 2
=
Lim
2 (......................)
x → 0 x → 0 Lim 2(............................) = 2 x → 0 Lim = 4. ..... x → 0
x 2
LATIHAN SOAL
Tentukan limitnya ! 1.
2.
3.
Lim
sin 4 x
x → 0 Lim x
→
Lim x
→
x tg 3 x
0 cos 4 sin 5 x 0 tg 4 x
4.
5.
6.
www.briliantprivate.co.cc
Lim x → 0 Lim x → 0 Lim x → 0
2 sin 3 x 4 x sin 2 x 2
1 − cos x sin x
7.
8.
9.
Lim x
→
1 − cos 2 x 0
Lim x
→
Lim x
→
2
2
1 − cos x 0
x xtgx
0 1 − cos x
Page 6
