www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 1
T U R U N A N
A. TURUNAN SUATU FUNGSI 1. PENDAHULUAN TURUNAN
Turunan y = f(x) didefinisikan d idefinisikan dengan dengan
y ' = f ' ( x) =
dy dx
=
lim
f ( x + h) − f ( x) h
h→0
Contoh 1 : Tentukan turunan dari y = 5x + 2 Jawab
: y = f(x) = 5x + 2 f(x+h) = ... = .... lim f ( x + h) − f ( x) y' y ' = h h→0 lim = ... h→0 lim = ... h→0 = ...
LATIHAN SOAL
Tentukan turunan dari fungsi berikut dengan menggunakan menggunakan rumus y’ =
1. 2. 3. 4. 5. 6.
lim h→0
f ( x + h) − f ( x) h
7. y = 3 2 8. y = 5 x 2 9. y = 3 10. y = 2 3 11. y = 4 x 2 + 10 12. y = 5 x 3 + 7 x 2
y=5 y=c y = 2x - 1 y = 10x + 7 y = cx + d y = x 2
2. TURUNAN y = ax
n
Dengan menggunakan definisi turunan y’ =
lim
f ( x + h) − f ( x)
, kita mencoba menentukan h h→0 turunan dari y = a, y = ax, y = ax 2 , y= ax3 , y= ax10 dan y= ax100 , maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut : Jika y= axn maka y ' = anx n −1
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 2
Contoh 1 : Tentukan turunan dari : a. y = 3
d. y
4x2 5
e. y = 2
b. y = 4x c. y = 5x + 1
Jawab
=
: a. y ’ = ... b. y ’ = ... c. y ’ = ...
d. y ’ = ... e. y ’ = ...
Contoh 2 : Tentukan Tentukan turunan dari : 1 a. y = 2 b. y = x x 1 Jawab : a. y = 2 = …….. maka y ’ = .……. x b. y
=
c. y
=
c. y
=
3 x
x = ……..maka y ’ = .…….. 3 = …….. maka maka y ’ = ..……… x
LATIHAN SOAL
Tentukan turunannya dengan menggunakan menggunakan rumus y’ = anx n −1 1. y = 10
8. y = 2 x
2. y = 8x
9. y = 63 x 7 10. y = 3 x −1 11. y = 23 x 5
4
3. y = 4x + 3 4. y = 5. y = 6. y = 7. y =
1 2
x 2
1 2 10
x4
+ 7x − 1
−
4 3
x3
+6
x2
−5
x+ 7
12. y = (5 x + 3) 2 13. y =
3
5 2
x
−
4 x 3
5 2
4
3. RUMUS-RUMUS TURUNAN
Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, maka : 1. Jika y = u ± v maka y ’ = u ’ ± v ’ 2. Jika y = ku maka y ’ = ku’ 3. Jika y = uv maka y ’ = u ’v + uv ’ u u' v − u v ' 4. Jika y = maka y ’ = v v2 5. Jika y = u n maka y ’ = nu n −1 . u' Di mana k dan n suatu konstanta.
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 3
Misal kita akan membuktikan salah salah satu rumus di atas, misalnya rumus ke-4 sbb : y = uv atau lengkapnya l engkapnya y = f(x) = u(x)v(x) lim f ( x + h) − f ( x) y’ = h h→0 =
= =
lim
u( x + h) v( x + h) − u( x) v( x) h
h→0 lim
u( x + h) v ( x + h) − u( x) v( x) + u( x) v( x + h) − u( x) v( x + h)
h→0 lim u ( x + h ) − u( x )
h h→0 = u’(x)v(x+0) + u(x)v’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) = u’v + uv’
h v ( x + h) + u( x )
Contoh 1 : Tentukan turunan dari : a. y = 6 x 3 − 4 x 2 + 5 − 1 b. y = (2x-1)(3x+4) 4 x + 5 c. y = x + 1 Jawab
v ( x + h) − v ( x) h
d. y = (10 x − 3) 5
: a. y ’ = ... b. y ’ = ... c. y ’ = ... d. y ’ = ...
LATIHAN SOAL
Tentukan turunannya dengan menggunakan rumus-rumus turunan 1.
y=
2 3
x3
−
1 2
x2
+4
x− 5
7. y = 4(2 x + 1) 6
4 x − 3
2. y = (4x+2)(2x+5)
8. y =
3. y = (-x+1)(3-x) x + 1 4. y = −2 2 x + 3 5. y = 5−
9. y = 4 5 − x 1 10. y = 2 3 x + 1
6. y =
x +3
11. y = (2 x − 1) 5 ( x + 4) 12. y =
( x − 1) 3 3 x + 4
4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Kita akan mencoba menentukan menentukan turunan dari y = sin x dengan menggunakan rumus turunan . y = f(x) = sin x f(x+h) = sin(x+h)
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 4
y’ = =
=
=
=
lim
f ( x + h) − f ( x)
h h→0 lim sin( x+ h) − sin x h
h→0 2 cos
lim
x+ h+ x 2
sin
x + h− x 2
h
h→0 2 cos( x+
lim h→0 lim
cos( x +
h→0
1
= cos( x +
2
1 2 h
h) si sin
1 2
h
1 sin h 1 2 h) 1 2 h 2
.0).1
= cos x Dengan cara yang sama akan di dapat jika y = cos x maka y’ = -sin x. Jadi turunan fungsi sinus dan cosinus dapat digambarkan sbb: sin x→ cos x→ − sin x→ − cos x→ sin x Contoh 1: Tentukan turunan dari : a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x
Jawab
: a. a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x f ’(x) = …… = …… b. f(x) = x 2 sin f ’(x) = ….
b. f(x) = x 2 sin x
(gunakan rumus y = uv)
LATIHAN SOAL
Tentukan turunannya dari : 1. f(x) = cos x + sin x 2. f(x) = -2 sin x + 5 cos x 3. f(x) = 3 cos x - 2 sin x 4. f(x) = cos x 5. f(x) = 4
3
+5
2
+3
− 6 sin x + 5
6. f(x) = x sin x 7. f(x) = sin x cos x 8. f(x) =
−2 x
3
9. f(x) = (4x+2) sin x 10. f(x) = (3 x 2 + 5) cos x sin x 11. f(x) = 1 + x x 2 12. f(x) = cos sin x 13. f(x) = cos cos x 14. f(x) = sin 2 x + 4 15. f(x) = sin x
cos x
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 5
B. TAFSIRAN GEOMETRIS TURUNAN 1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA
Perhatikan gambar di bawah ini : y = f(x) g Q
Y f(x+h)
Garis g memotong kurva y = f(x) di titik P dan Q
P f(x) 0
x
x+h
X
Seperti kita ketahui, gradien garis g adalah m =
f ( x + h) − f ( x)
h Jika garis g kita putar dengan d engan titik P sebagai titik putarnya, sehingga titik titik Q yang memotong kurva y = f(x) bergerak. Pada saat h mendekati 0 ( h → 0) , maka titik P dan Q akan berimpit sehingga akan di dapat suatu garis singgung di titik P. Jadi gradien garis singgung pada y = f(x) di titik P adalah : m=
lim
f ( x + h) − f ( x)
atau m = f ’(x) h h→0 Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = Jawab
2
− 2 x − 3
di titik (3,4)
: y = x2 − 2 x− 3 y ’= …. Gradiennya di titik (3,4) adalah m = f’(3) = …. Persamaan garis singgung kurva dengan gradien 4 dan melalui titik (3,4) adalah : y − y1 = m ( x − x1 ) ……………. …………….
Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x 2 yang tegak lurus garis y-2x = 1 Jawab
: Gradien Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah adalah saling berlawanan berkebalikan 1 Atau m1 = − m2 y - 2x = 1
⇔
Karena m1
m2
= y ' =
=
y = 2x + 1 maka m1 2 maka m2
= .....
= ......
( m2 gradien garis singgung)
2 x ⇔ 2 x = ......
x = ...... sehingga y = x 2 = ....... = ......... Jadi persamaan garis singgungnya : y − y1 = m( x − x1 ) ………….. …………..
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 6
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut di setiap titiknya : a. y = x 3 di titik (2,8) c. y = 3x 2 − 1 dengan absis 2 b. y = x2
−
d. y = x2
x di titik (-1,2)
2. Tentukan persaman garis singgung kurva : a. y = x 2 di titik (1,1) b. y = 3 x2 c. y
=
d. y
=
−
e. y
=
x3 di titik (2,4)
−2
3x 2
−2
f. y
x di titik (4,2) 2 1 ( 2 , ) di titik − 2 2
3. Tentukan persamaan garis singgung y = x2 4. Tentukan persamaan garis singgung y sumbu X
=
g. y
=
h. y
=
+
x2 2 x
x− 8 dengan ordinat -9
=
di x = 3
( x − 2) 2 di x = 1
+ 1 di
y=5
di y = 3
x + 3 yang bergradien 5
x 3 yang membentuk sudut 45o dengan
5. Tentukan persamaan garis singgung y = x2
−2
6. Tentukan persamaan garis singgung y= 3 x2
x yang sejajar garis 3x-y+1=0
−2
x− 1 yang tegak lurus garis x+4y-5=0
2. FUNGSI NAIK DAN TURUN
Perhatikan gambar berikut ini : Y B A C
D
0
X
Untuk membaca sebuah kurva ada aturannya, yaitu dari kiri ke kanan. Pada gambar di atas, dari titik A ke titik B dikatakan kurva dalam keadaan naik, sedangkan dari titik B ke titik C kurva dalam keadaan turun Kurva Naik
Pada kurva dalam keadaan naik dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar ∆ y ( ∆ x > 0) dan harga y juga semakin besar ( ∆ y > 0) . Karena gradien (m) = dan m = y’ maka ∆
syarat kurva naik jika
y ' > 0
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
(karena
+ +
)
Page 7
Kurva Turun
Pada kurva dalam keadaan turun dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar ∆ y ( ∆ x > 0) dan harga y semakin kecil ( ∆ y < 0) . Karena gradien (m) = dan m = y’ maka syarat ∆
kurva turun jika
y’<0
−
(karena
+
)
Contoh 1 : Tentukan interval di mana fungsi f(x) = x 3 a. naik b. turun Jawab
+3
2
− 9x + 5
: f(x) = x 3 + 3x 2 − 9 + 5 f’(x) = .... ... = 0 (:3) 2 x + 2 x − 3 = 0 ( ... )( ... ) = 0 x = ...atau x = ... Dengan bantuan garis bilangan sebagai berikut : +
-
+
...
...
Berdasarkan gambar di atas disimpulkan : Kurva naik pada interval ... atau atau ... Kurva turun pada interval ...
LATIHAN SOAL
1. Tentukan interval kurva naik dan turun dari fungsi berikut : a.
f ( x)
=
x2
−4
x
b.
f ( x)
=
x2
−6
x− 7
c.
f ( x)
=
8 x − x2
d.
f ( x)
=
e.
f ( x)
=
x3 1
− 12
x3
f.
3 f ( x) = 2 x3
g.
f ( x)
=
x4
x 2
−3x +8
+
x2 3
−4
−4x +4
x− 4
x+1 x2 x3
2. Tunjukkan bahwa fungsi f ( x)
=
3. Tunjukkan bahwa fungsi f( x)
= −3
4. Tunjukkan bahwa fungsi fungsi f ( x )
=
1
−6
x3
x2
+5
+ 20
x + 1 selalu naik
tidak pernah naik
selalu turun
3. NILAI STASIONER
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 8
Perhatikan gambar berikut ini Y A Titik A dan B disebut titik-titik titik-titik stasioner/ titik ekstrem/titik puncak. Titik A disebut titik balik maksimum Titik C disebut titik balik minimum Titik B disebut titik belok/titik belok horisontal
B C 0
X
Pada gambar di atas terlihat bahwa gradien pada titik-titik stasioner berupa garis lurus yang mendatar. Pada titik stasioner, keadaan ini kurva tidak naik dan juga tidak turun. Jadi syarat titik stasioner pada kurva y = f(x) jika
y ’= 0
Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut bisa digunakan uji kiri kanan pada titik stasioner tersebut, atau bisa juga dengan menggunakan turunan kedua.
Misal titik stasionernya ( x1 , y1 ) , maka: I. Dengan uji kiri kanan titik stasioner - jika + lalu - maka ( x1 , y1 ) titik balik maksimum - jika - lalu + maka ( x1 , y1 ) titik balik minimum - jika - lalu - atau + lalu + maka ( x1 , y1 ) titik belok II. Dengan menggunakan turunan kedua - jika f’’( x1 ) > 0 maka ( x1 , y1 ) titik balik minimum - jika f’’( x1 ) < 0 maka ( x1 , y1 ) titik balik maksimum - jika f’’( x1 ) = 0 maka ( x1 , y1 ) titik belok
Contoh 1 : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x3 Jawab
−6
x2
+9
x+ 1
: f ’(x) = 0 ... = 0 (:3) ... =0 ( ... )( ... ) = 0 x = ... maka maka y = ..., ..., titik titik stasi stasione onerny rnyaa (...,.. (...,...) .) x = ... maka y = ..., titik titik stasionernya (...,...) Jenisnya : Cara I ... ...
...
... ... Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ... Cara II f(x) = x 3 − 6 2 + 9 x + 1 f ’(x) = ... f ’’(x) = ... Untuk x = 1 maka f ’’(1) = ... Untuk x = 3 maka f ’’(3) = ...
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 9
Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...
LATIHAN SOAL
Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari : 1. f ( x ) = 2 x 2
− 3x + 1
6. f ( x )
= x +
2. f ( x) = 9 − 4 x − x 2
7. f ( x ) = ( x 2
3. f ( x) = x 3 − 12 x
8. f ( x ) = x 4
4. f ( x) = x 3 − 6 x 2
9. f ( x )
5. f ( x) = x 3 − 6 x 2
1 − 4)
− 4x
5
= x − 5 x
10. f ( x ) = x 3 +
+ 12 x
2
3
3
48
x
4. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SELANG TERTUTUP
Perhatikan gambar berikut ini : Y
E B A C D X
x1
x 2
Pada gambar di atas terlihat, pada selang x1 ≤ x ≤ x2 kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum). (maksimum/minimum). Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup a ≤ x ≤ b pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut : 1. Tentukan nilai-nilai ujung interval 2. Tentukan nilai-nilai stasionernya 3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum
Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f ( x ) = 2 x 3 − 15 x 2
1 ≤ x Jawab
≤
+ 36 x
pada interval
5
: f(1) = ... f(5) = ... f ( x) = 2 x3 − 15 x2 f ’(x) = 0 ... =0 ... ... x = ... maka y = ... x = ... maka y = ...
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
+ 36
x
Page 10
Jadi nilai nilai maksimum maksimum = ... dan nilai nilai minimum minimum = ...
LATIHAN SOAL
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari : 1. f ( x )
=
2
x 2. f ( x) = x2 3. f ( x)
=
−
untuk
−1 ≤ x ≤ 1
6. f ( x)
=
x3
−3x +2
2
untuk
−1 ≤
≤5
x − 6 untuk
−6 ≤ x ≤ 5
7. f ( x)
=
x4
+3x −6
2
untuk
−2 ≤
≤
8. f ( x)
=
4 x3
− 15 x + 12
=
3 x4
−4
3 x − x2
4.
f ( x)
=
x3
5.
f ( x)
=
2 x4
untuk 1 ≤
5
2
untuk
−1 ≤ x ≤
3
9. f ( x)
x2
untuk
−3 ≤
4
10. f ( x)
−6x −
≤
≤
=
x5
2
x3 3
−5x
+3
x + 5 untuk 0 ≤ x ≤ 3
untuk 0 ≤
untuk
4
−1 ≤
≤
2
≤1
5. PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan. Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu per samaan matematika matematika berderajat lebih dari d ari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva kur va yang terbentukjnya. Dengan menggunakan y’ = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.
Contoh 1 : Dua bilangan jumlahnya 8. Tentukan hasil kali maksimumnya ! Jawab
: Misal kedua bilangan itu x dan y, maka : x + y = 8 ↔ x = ... Misal z = xy Substitusi x = ... ke z = xy sehingga : z = xy z = ( ... ) y = ... z’ = 0 ... =0 y = ... maka z = ...
LATIHAN SOAL
1. Suatu persegi panjang panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan Tentukan luas maksimum dan dan ukuran persegi panjang panjang itu ! 2. Dua bilangan selisihnya selisihnya 4. Tentukan hasil kali minimumnya minimumnya ! 3. Tentukan nilai xy 2 terbesar jika x + y = 48 4. Ali memagari sepanjang tembok berbentuk persegi panjang dengan kawat. Jika panjang kawat 24 m, tentukan ukuran kandang yang harus dibuat agar luasnya maksimum, jika salah satu sisinya berupa tembok yang ada ! 5. Suatu roket bergerak ke atas dengan persamaan gerak h( t ) = 800t − 5t 2 . Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai roket tersebut ! 6. Ibu ingin membuat kotak tanpa tanpa tutup. Kotak itu berisi 4 dm 3 . Jika alas kotak itu berupa persegi, tentukan ukuran kotak itu agar memerlukan karton seminimum mungkin !
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 11
7. Sehelai karton persegi panjang dengan panjang panjang 8 cm dan lebar 5 cm. Pad keempat sudut karton itu dipotong bujur sangkar yang sisinya x cm. Tentukan ukuran kotak tanpa tutup itu agar isinya maksimum 8. Tentukan jarak terdekat terdekat dari garis y = 2x + 5 ke titik (4,3) 9.
Y Jika jari-jari lingkaran 10 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir ! X 0
6. MENGGAMBAR KURVA SUKU BANYAK
Cara menggambar kurva suku banyak y = f(x) : 1. Tentukan titik potong dengan sumbu X syarat y = 0 (jika memungkinkan) 2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0 3. Tentukan titik-titik titik-titik stasioner dan jenisnya jenisnya 4. Gambar kurvanya kur vanya (kalau perlu dengan menggunakan beberapa titik bantu) Contoh 1 : Lukis kurva y = 3 x2 Jawab
−
x3
: Titik potong dengan sumbu X 0= 3 2− 3 0 = ... ...... .../ ./ x2 =.... ...... .... .. x1 = .... Titik potong dengan sumbu Y y = ... = .... Titik Stasioner dan jenisnya y’ = 0 ............... ............... = 0 ............... ............... = 0 x1 =.....→ y1 =.........
x2 =.....→ y2 =........... Jadi titik stasionernya stasionernya (....,....) dan (....,....) y’’ = f’’(x) = ... f’’(....) = ... f’’(....) = .... Jadi (....,...) berupa .... (....,...) berrupa .... Gambarnya :
= .... = ....
0 0
Titik belok y’’ = 0 ........... =0 x = ... maka y = ... Jadi (....,....) berupa titik belok
LATIHAN SOAL
Lukis kurvanya ! 1. y = x2
−
x− 6
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
6. y
=
8 − x3
Page 12
x2
2. y =
−
3. y
2 x3
=
+8
x
4. y = x3 − 6 x2 5. y = 3 x − x3
www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
7. y = x4
−4
x2
8. y = x4
−2
x2
−8
9. y = 3 x5
−5
x3
10. y = 2 x4
−4
x2
+2
Page 13