GEOMETRI TRANSFORMASI SEMESTER V (LIMA)
OLEH : DOSEN PENGAMPU SUTINI, M.Si
FAKULTAS TARBIYAH JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA
PEMBAHASAN
A. Tr Tran ansf sfor orma masi si Definisi :
Suatu trnsformasi bidang adalah fungsi satu-satu dari bidang onto bidang. Contoh : Pilihlah pada bidang euclides V suatu sistem Ortogonal. T adalah padanan yang mengaitkan setiap titikP dengan P' yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi !! Jawab :
Y
P
0
P'
X
Kalau P = (x,y) maka T (P) = P' dan P' = (x = 1,y) Jelas aerah asal T adalah seluruh bidang V. Kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu : 1). Apakah T surjektif ? 2). Apakah T injektif ? Jika A (x,y), pertanyaannya yang harus dijawab ialah apakah A memiliki prepeta oleh T ? Andaikan B = (x', y') 1). Kalau B ini prapeta titik A (x,y) maka haruslah berlaku T (B) = (x' + 1, y') Jadi x' + 1 = x, y' = y
2
x' = x - 1 Atau y' = y jelas T (x-1, y) y) = ((x-1) + 1, y) = (x,y) oleh karena x', y' selalu ada, untuk segala nilai x, y maka B selalu ada sehingga T(B) = A Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiiki prapeta yang berarti bahwa T surjektif. 2). Andaikan P (x 1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q Apakah T (P) ≠ T (Q)? Di sini T (P) = (x 1 + 1, y1) dan T (Q) = (x 2 + 1, y2) Kalau T (P) = T (Q), maka (x 1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2) Jadi x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 , ini berarti x1 = x2 dan y1 = y2. Jadi P = Q. Ini berlawanan dengan yang diketahui bahwa P ≠ Q. Jadi haruslah T (P) ≠ T (Q). Dengan demikian, ternyata bahwa T injektif dan T adalah padanan yang bijektif. Jai T suatu transformasi transformasi dari V ke V. Hasil kali transformasi transformasi (Komposisi Transformasi) Definisi :
Misalkan ada dua transformasi T 1dan T 2 maka komposisi dari T 1 dan T 2 meru merupa paka kann suat suatuu tran transf sfor orma masi si,, ditu dituliliss deng dengan an nota notasi si T1 o T 2 ditetapkan sebagai : (T 1 o T 2 ) (R) = T 1 [T 2 (R)], " RÎn . Untuk membuktikan transformasi ini yang harus ditunjukkan adalah :
3
1. T 1 o T 2 fungsi dari n ke n Karena T 2 suatu transformasi maka T 2 merupakan fungsi dari n ke n , sehingga prapeta dari T 1 o T 2 = prapeta dari T 2. Ambil x În sebarang, karena T 2 transformasi berarti ada y În sehingga T 2 (x)= y dan T 1 juga merupakan transformasi berarti ada z În sehingga T 1 (y) = z.\ z =T 1 (y), y =T 2 (x) z =T 1 [T 2 (x)]=(T 1 o T 2 )(x) Jadi " xÎn nilai dari (T 1 o T 2 )(x) adalah z În . Akibatnya transformasi ini dikatakan sebagai fungsi dari n ke n 2. T 1 o T 2 fungsi bijektif : a) T 1 o T 2 fungsi kepada ambil z În karena T 1 transformasi maka T 1 fungsi kepada, akibatnya ada y În sehingga T 1 (y)= z dan karena T 2 juga transformasi maka T 2 juga fungsi kepada, akibatnya y În sehingga T 2 (x)= y . Jadi, untuk z În sebarang ada x În sehingga z= T 1 (y)= T 1 [T 2 (x)] =(T 1 o T 2 )(x). \" În mempunyai prapeta oleh T 1 o T 2 akibatnya T 1 o T 2 suatu fungsi kepada. b) T 1 o T 2 fungsi satu – satu ambil x,y În sehingga (T 1 o T 2 )(x)=(T 1 o T 2 )(y) maka T 1 [T 2 (x)]=T 1 [T 2 (y)] dari hubungan ini didapat T 2 (x)=T 2 (y)® x = y. karena T1 o T 2 fungsi satu – satu dan kepada Maka T 1 o T 2 suatu fungsi bijektif. Kesimpulan : dari uraian di atas maka T 1o T 2 suatu transformasi.
4
B. Isometri Definisi :
Suatu transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik-titik P dan Q, P' Q' = PQ Dengan
P' = T (P) dan Q' = T (Q)
Perlu diperhatikan bahwa definisi ini tidak memerlukan PP' = QQ'. Dengan kata lain, dalam isometri tidak memerlukan sifat mempertahankan jarak antara suatu titik dengan bayangannya (petanya). Contoh : Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh : T (P) = P' = (x,-y) Dengan bekal pengetahuan terdahulu, dapat dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil sepasang titik A' (a 1,-a2) dan B' (b1,-b2), kemudian buktikan bahwa A' B' = AB. Y
A (a1,a2)
B (b1,b2)
x B' (b1,-b2) A' (a1,-a2)
Dengan rumus jarak, diperoleh : A' B' = ( a1 − b1 ) 2 + ( − a1 − (−b2 )) 2
5
= ( a1 − b1 ) 2 + ( b2 − a 2 ) 2 = ( a1 − b1 ) 2 + ( a 2 − b2 ) 2 = ( a1 − b1 ) 2 + ( a 2 − b2 ) 2 = AB Karena itu, T adalah isometri. Teorema 1 :
Setiap Refeksi garis adalah suatu isometri. Bukti : Pembuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat bahwa suatu sistem koordinat dapat dibentuk dengan menggunakan sepasang garis tegak lurus dalam suatu satuan panjang, serta menetapkan sumbu x dan y positifnya, kita bebas memilih sumbu mana yang akan dijadikan sumbu refleksi. Dalam hal ini, dipilih sumbu x sebagai garis s – nya, sedangkan sumbu y menjadi garis yang tegak lurus s. Teorema 2 :
Sebuah isometri bersifat : 1.
Memetakan garis menjadi garis.
2.
Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis.
3.
Mengawatkan kesejajaran dua garis.
Bukti : a). Andaiakan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kia akan membuktikan bahwa T (g) = h adalah suatu garis juga.
B
B'
A
A' g
h
6
Ambil A ∈ g dan B ∈ g. Maka A' = T (A) ∈ h, B' = T (B) ∈ h ; melalui A' dan B' ada satu garis, misalnya h'. Akan kita buktikan h' = h. Untuk ini akan dibuktikan h' ⊂ h dan h ⊂ h' Bukti h' ⊂ h
(i)
Ambil X' ∈ h'. Oleh karena bidang kita adalah bidang euclides,kita andaikan (A', X', B'), artinya A' X' + X' B' = A' B'. Oleh karena T suatu isometri. Jadi sutu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X' dan oleh karena T suatu isometri maka AX = A' X' ; begitu pula XB = X' B'. Jadi pula AX + XB = AB. Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g. Ini berarti lagi bahwa X' = T (X) ∈ h. Sehingga h' ⊂ h sebab buti serupa berlaku untuk posisi X' dengan (X', A', B') atau (A', B', X'). (ii)
Bukti h ⊂ h' Ada lagi Y' ∈ h Maka ada Y ∈ g sehingga T (Y) = Y' dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y V g dan AY + YB = AB. Oleh karena T suatu isometri maka A' Y' = AY, Y' B' = YB, dan A' B' = AB. Sehingga A' Y' + B' Y' = A' B'. Ini berarti bahwa A', Y', B' segaris, yaitu garis yang melewati A' dan B'. Oleh karena h' satu-satunya garis yang melalui A' dan B' maka Y' ∈ h'. Jadi haruslah h ⊂ h'. Bukti serupa berlaku pada keadaan (Y A B) atau (A B Y). Sehingga h = h'. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.
b). Ambil sebuah < ABC A
B
A'
C
B'
7
C'
Andaikan A' = T (A), B' = T (B), C' = T (C) Menurut (a), maka A' B' dan B' C' adalah garis lurus. Oleh karena < ABC = BA ∪ BC maka < A' B' C' = B' A' ∪ B' C' sedangkan A' B' = AB, B' C' = BC, C' A' = CA. Sehingga ABC ≅ A' B' C'. Jadi < A' B' C' = < ABC. Sehingga suatu isometri dapat mengawetkan besarnya suatu sudut. c).
a
b
a'
b'
Kita harus memperlihatkan a' // b'. Andaikan a' memotong b' di sebuah titik P'. Jadi P' ∈ a' dan P ∈ b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T (P) = P' dengan P ∈ a dan P ∈ b. Ini bearti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a // b. Maka pengandaian bahwa a'memotong b' salah. Jadi haruslah a' // b'. Akibat : salah satu akibat dari sifat (b) teorema 1.3 ialah bahwa apabila a ⊥ b maka T(a) ⊥ T (b) dengan T sebuah isometri. Contoh : Diketahui garis g ≡ { (x.y)│y = - x }dan h ≡ { (x,y)│y = 2x – 3 }. Apabila Mg adalah releksi pada garis g, tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h). Jawab : Oleh karena g sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut teorema 4.1, h' adalah sebuah garis.
8
Y
0
R Q
X
P
Garis h' akan melalui titik potong pada h dan g misalnya R, sebab Mg (R) = R. Jelas bahwa R = (1, -1) : h akan pula melalui Q' = Mg (Q). Oleh karena Q = (3/2, 0) maka Q' = (0, -3/2). Dengan demikian persamaan h' adalah : h' = { (x, y) │x – 2y – 3 = 0 } Isometri Langsung dan Isometri Lawan Definisi :
Misalkan (P,Q,R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak segaris). Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka, P,Q,R disebut memiliki orientasi positif. Definisi :
Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi
9
itu mempertahankan orientasi.sedangkan transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah orientasi. Definisi :
Misalkan T suatu transformasi.T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya.sedangkan lainnya disebut mengubah orientasi.
Isometri lawan
misalnya sebuah refleksi (pencerminan) P
R
P'
Q'
Q
R'
D PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan D P'Q'R' searah dengan jarum jam (-).
Isometri langsung
misalnya suatu rotasi (perputaran) P
Q
R'
R
P'
Q'
D PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan D P'Q'R' tetap berlawanan dengan jarum jam (+). Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :
10
• Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan. • Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat di lihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah sebuah isometri langsung. • Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.
C. Involusi Teorema :
Invers dari setiap refleksi garis adalah refleksi garis itu sendiri. Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi. Bukti : Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan pengetahuan yag lalu maka dapat dinyatakan (TL)-1 = L-1 T-1 Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1 = [T(LI-1)] T-1 = [TI] T-1 = TT-1 =I Dengan cara yang sama diperoleh (L-1T-1) (TL) = I
D. Kolineasi
11
Definisi : Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi. Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah suatu kolineasi. Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis (lurus) akan berupa garis lagi. Jadi, jika g adalah garis maka T adalah kolineasi jika T( g ) berupa garis, yaitu himpunan titik P ’ = T ( P ) dengan P terletak pada g . Contoh : 1. f ( x) = x2 dengan x > 0
Fungsi di atas dapat dipandang sebagai transformasi dengan domain sumbu X positif yang berupa garis lurus, dan hasil transformasinya berupa kurva y = x2. f ( x)
bisa dituliskan transformasi T : ( x,0)→( x ,x2)
Y
y = x
sebagai
Rumus transformasinya :
2
x x' = x 2 y ' O
Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi garis lurus (sumbu X positif) adalah kurva y = x2 yang tidak berupa garis lurus.
X
Maka dapat disimpulkan bahwa T ( x,0)=( x, x2) bukan kolineasi. Atau fungsi f ( x) = x2 bukan transformasi kolineasi.
12
2. f ( x) = x + 1
Y y = x + 1
1 -1
O
X
Fungsi itu dapat dinyatakan sebagai transformasi T : ( x,0) →( x ,x + 1), yaitu mentransformasikan garis lurus (sumbu X ) menjadi garis y = x + 1. Rumus
transformasinya
x' x = x + 1 . ' y
Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi garis lurus (sumbu X ) juga berupa garis lurus ( y = x + 1). Maka fungsi f ( x) = x + 1 merupakan transformasi kolineasi.
3. f ( x, y) = x + 2 y
Bisa dianggap sebagai transformasi T : ( x, y,0) → ( x, y, x + 2 y), yaitu yang mentransformasikan bidang XOY menjadi bidang z = x + 2 y. Z
Rumus transformasinya
z = x + 2 y Y O
x' x ' y y = z ' x + 2 y
Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi bidang XOY juga berupa bidang datar ( z = x + 2 y).
X
13
Bisa dikatakan, setiap garis pada bidang XOY ditransformasikan menjadi garis yang menyusun bidang z = x + 2 y. Maka, f ( x, y) = x + 2 y merupakan transformasi kolineasi. Diantara kolineasi-kolineasi ini ada yang disebut dilatasi. Definisi : suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat (g) // g. Salah satu contoh adalah setengah putaran. PEMBAHASAN 1. Setengah Putaran 1.1 Ketentuan dan Sifat
Definisi : Sebuah setengah putaran pada suatu titik
A adalah suatu padanan S A yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1) Apabila P ≠ A maka S A (P) = P' , sehingga A titik tengah ruas garis PP' 2) SA (A) = A Teorema 7.1 : Andaikan A sebuah titik dan g dan h dua garis tegak lurus
yang
berpotongan di A. Maka SA = MgMh. Bukti : Oleh karena g ┴ h , maka
kita dapat membuat sebuah sistem sumbu orthogonal dengan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y. A dipakai sebagai titik asal. Y
P' (-x,y)
P (x,y)
g
14
P" (-x,-y)
h
Harus dibuktikan bahwa untuk setiap P berlaku S A (P) = MgMh (P) Andaikan P (x,y) ≠ A dan andaikan pula bahwa S A (P) = P " (x1,y1).
Oleh karena A titik tengah PP" maka (0,0) =
x 1 + x y1 + y 2
2
Sehingga x1 + x = 0 dan y 1 + y = 0 atau x 1 = -x dan y1 = -y Jadi SA (P) = P (-x,-y). Perhatikan sekarang komposisi pencerminan (MgMh) (P) = Mg [Mh (P) ] = Mg [(-x,y) ] = (-x,-y) Jadi kalau P ≠ A maka SA (P) = MgMh (P) Jika P = A maka (MgMh) (P) = Sg (A) = A Sedangkan S A (A) = A . Jadi M gMh (A) = SA (A) sehingga untuk setiap P pada bidang berlaku MgMh (A) = SA (P) Ini berarti : MgMh = SA Teorema 7.2 : Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka M gMh = MhMg. Bukti : Kalau P = A maka
15
MgMh (A) = Mg (A) = A Juga MhMg (A) = Mh (A) = A Sehingga MgMh (A) = MhMg (A) Untuk P ≠ A maka MgMh = SA Selanjutnya MhMg (P) = Mh ( (x,-y) ) = (-x,-y) = S A (P) Jadi MhMg = SA Sehingga diperoleh M gMh = MhMg Teorema 7.3 : Jika SA setengah putaran, maka S A-1 = SA Bukti : Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka M gMh = SA dengan A
titik potong antara g dan h . Jadi (MgMh)-1 = Mh-1 Mg-1 = SA-1 Oleh karena Mh-1 = Mh dan Mg-1 = Mg maka MhMg = SA-1 . Menurut teorema 7.2 MhMg = MgMh oleh karena g ┴ h . Jadi SA-1 = MgMh = SA . teorema 7.4: jika A = (a,b) dan P(x,y) maka
2. Geseran (Translasi) 2.1 Ketentuan dan Sifat – sifat Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A
dan B maka AA" = BB" dengan A" = M hMg (A) dan B" = MhMg (B) . Bukti : Kita pilih
sebuah sistem koordinat dengan misalnya g sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g , sebagai sumbu x
16
y A
A" N
B
B"
Andaikan A = (a 1 , a2 ) dan B = (b 1 , b2 ) . Kalau N tengah-tengah ruas garis A"B maka harus dibuktikan S N (A) = B" . Andaikan persamaan h adalah x = k (k ≠ 0),
apabila P = (x,y) dan P' = M h (P) maka PP' memotong h disebuah titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah PP' , jadi P' = Mh (P) = (2k – x, y) sedangkan M g (P) = (-x,y). Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh [(-x,y)] = (2k + x,y) Jadi pula A" = MhMg (A) = (2x + a1 , a2 ) B" = MhMg (B) = (2x + b1 , b2 ) Oleh karena N titik tengah A"B, maka
N =
(2k + a1) + b1 a2 + b2
17
2
Sedangkan SN (A) = 2
2
(2k + a 1 + a2
-a1 , 2
2 Atau
a2 + b2
-a2
2
SN (A) = (2k + b1 , b2 ) = B"
Dengan demikian maka AA" = BB" Jadi setiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap ruas garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi M hmg adalah seakan – akan kita menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi (geseran). Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P' dengan G(P) = P' dan PP' = AB . Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau AB suatu garis berarah maka dengan lambing G AB kita maksud sebuah geseran yang sesuai dengan AB ; nanti akan dibuktikan bahwa suatu geseran adalah suatu transformasi. Sebelumnya akan dibuktikan teorema berikut :
Teorema 10.2 : Apabila AB = CD maka G AB = GCD Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan G AB (X) = GCD (X)
Andaikan GAB (X) = X1 dan GCD (X) = X2
Jadi
XX1 = AB dan XX2 = CD
Karena AB = CD maka XX 1 = XX2 ini berarti bahwa X1 = X2 sehingga GAB = GCD
18
Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis
berarah tegak lurus pada g dan C є g dan D є h .
Apabila AB = 2 CD maka G AB = MhMg . Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P' = G AB (P) dan P" = MhMg (P),
maka harus dibuktikan bahwa P' = P"
C" D
B P"
C
h
A P
g
Menurut ketentuan geseran, PP' = AB. Oleh karena AB = 2 CD, maka PP' = 2 CD. Berhubung C" = M hMg (C) , C є g , maka C" = M h (C) . Jadi D adalah titik tengah CC" sehingga CC" = 2 CD . Oleh karena CC" = PP" (teorema 10.1), maka PP" = 2 CD = PP' .
19
Ini berarti bahwa P' = P" jadi G AB (P) = MhMg (P) Karena P sebarang, maka G AB = MhMg. Catatan : 1 ) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran G AB dapat sebagai hasil kali dua reflexi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak 1/2 AB. 2 ) Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g , h dan n tiga garis masing – masing tegak lurus di A , di M dan di B pada AB maka G AB = MhMg = MnMh.
g
h
n
A M
B
3 ) Oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai hasil kali dua reflexi sedangkan suatu reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri pula karena suatu reflexi adalah suatu isometri. Lagi pula suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan. Teorema 10.4 : Jika GAB sebuah geseran maka (G AB)-1 = GBA
20
Bukti : Oleh karena himpunan isometri – isometri merupakan grup bagian dari
grup transformasi – transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (G AB)-1 GAB = MhMg = MnMh. Sedangkan GAB = MhMn = MgMh Sehingga (GAB)-1 = (MnMh)-1
Mh-1 Mn-1 = MhMn = G BA
Jadi (GAB)-1 = GAB
2.2 Komposisi Translasi Teorema 10.5 : Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan
D adalah dua titik
sehingga AB = 2 CD maka GAB = SDSC Bukti : Andaikan g = CD , k ┴ g di C , m
┴
g di G .
g B D C
21
A
m K
Maka CD ruas garis berarah dari k ke m . Oleh karena AB = 2 CD maka G AB = MmMk sedangkan S D = MmMg dan SC = MgMk . Jadi : SDSC = (MmMg) (MgMk) = Mm (MgMg) Mk Atau SDSC = Mm I Mk = MmMk
Dengan demikian maka GAB = SDSC Contoh : Jika A = (3,-1) , B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik – titik yang diketahui, tentukan sebuah titik D sehingga G AB = SDSC Jawaban : Andaikan E sebuah titik sehingga CE = AB maka E = (4 + [1 -3] , 2 + [7-(-1)] ) atau E = (2,10) Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) , sehingga CE = 2 CD Jadi AB = 2 CD Menurut teorema 10.5 diperoleh G AB = SDSC maka titik D yang dicari adalah (3,6) Teorema 10.6 : Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu
setengah putaran.
22
Bukti : Andaikan GAB suatu geseran dan C sebuah titik
sebarang.
Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga CE = AB. Andaikan D titik tengah CE maka
CE = 2 CD ; menurut teorema 10.5 GAB = SDSC Jadi GABSC = (SDSC)SC = SD(SCSC) = SD I = SD maka GABSC = SD Akibat : Andaikan SA , SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka S C SB SA =
SD dengan D sebuah titik sehingga AD = BC Bukti :
Kita peroleh berturut-turut : SC SB = G ZBC , jadi SC SCSA
A
B
D
C Gambar 10.6
Andaikan G ZBCSA = SX maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX Jadi SC SB SA = SD sehingga BC = AD Perhatikan dua geseran G AB dan GBC , maka GBC (A) = B, dan GBC (B) = C, sehingga dapat kita tulis bahwa G BC GAB (A) = C (gambar 10.7).
23
Apabila E titik sebarang, maka G AB (E) = E ' dengan EE ' = AB sedangkan (E ") = E"
sehingga E ' E " = BC
E' B Q
A P
R C
E
Maka GBC GAB (E) = E " dengan EE " = AC sehingga GEE ' (E) = E " = GAC (E). jadi GBC GAB = GAC Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema 10.6 : Andaikan P, Q dua titik sehingga 2 PQ = AB dan titik R sehngga 2 QR = BC maka GAB = SQSP dan GBC = S2SQ
Q
Sehingga GBC GAB = (SR SQ) (SQSP) = SR SQ Oleh karena 2 PR = AC maka S R SP = GAC Jadi GBC GAB = GAC Dengan demikian terbukti teorema berikut : Teorema 10.7
24
E"
Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.
E’
B
A
gb.1
C
E
gb.2
E”
GAB (A) = B GBC(B) = C maka GBCGAB(A) = C EE’ = AB EE” = BC Kemudian ambil sebarang titik E yang digeser GAB (E) = E’ GBC(E’) = E” maka GBCGAB(E) = E” Sehingga GEE’(E) = E” jadi GBCGAB(A) = AC Catatan:
Apabila Disini
adalah transformasi identitas. Jadi kalau
maka kalau
dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku. Teorema 10.8
Jika
sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik
transformasi yang didefinisikan untuk semua titik
25
dan A(a,b) dan T P
(x,y) sebagai
Bukti:
Untuk
.
Andaikan
maka
sehingga Jadi
.
Ini berarti Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat (teorema 10.7) perhatikan dua translasi
.
Andaikan A=(a,b) dan B=(c,d) dua titik sehingga apabila P (x,y) titik sebarang, diperoleh
maka dan
maka
Ini berarti bahwa
adalah translasi yang membawa titik 0(0,0) ke titik
(a+c,b+d)
A. REFLEKSI
Pencerminan terhadap garis g disimpulkan M(g), garis g disebut sumbu pencerminan. Jika titik A di luar garis g maka A' dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus g sedemikian hingga jarak A ke sumbu pencerminan sama dengan jarak peta ke sumbu pencerminan.
P AP = A'P . A A'
26
I. Sifat-sifat Refleksi
Definisi : Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis S adalah suatu fungsi M yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut : 1.
Jika P ∈ S maka Ms(P) = P
Jika P ∉ S maka Ms(P) = P' sehingga garis S adalah sumbu PP' menjadi tegak lurus 1. Pencerminan merupakan transformasi a. Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V. b. Ms adalah padanan yang surjektif sebab ambil x' ∈ V. 2.
Jika x' ∈ S maka x = x' sebab Ms (x) = x = x' •
Andaikan x' ∉ s
Dari sifat geometri ada x ∈ V sehingga S menjadi sumbu ruas xx' ini berarti bahwa Ms (x) = x'. Artinya, setiap x' memiliki prapeta. Jadi M adalah subjektif.
Andai A = B dengan A ∈ S dan B ∈ S Maka A' = Ms(A) = A dan B' = Ms(B) = B •
Jadi A' ≠ B' Misal A ∈ S maka A' = Ms(A), karena B ∉ S, B' = Ms dengan B’ ∈ S. Disini pula A' injektif.
≠
B' atau Ms(A)
27
≠
Ms(B) terbukti M adalah
Jadi, M adalah sebuah transformasi. 2. Pencerminan merupakan isometric Bukti : ambil sebarang titik A dan B pada R x Misal A' dan B' masing-masing merupakan peta A dan B oleh refleksi F(g). A P'
B
P
Q
P"
B'
A'
Buat
BP '
//
PQ
dan
P' P"
//
PQ
Maka BP' = PQ , B'P" = PQ dan AP' = A'P" Lihat ∆ AP'B dan A'B'P" AP' = A'P" BP' = B'P" ∠
AP'B = ∠ A' P" B'
∆ AP'B
≅
∆ A' B' P" (s sd s)
28
g
Akibatnya AB = A' B' Karena A dan B sebarang R 2 dan berlaku AB = A' B' maka refleksi merupakan isometric. II. Sifat-sifat Komposisi Refleksi
1. Hasil kali transformasi yang terdiri atas dua refleksi adalah suatu setengah putaran dengan pusat titik potong sumbu-sumbu refleksi apabila sumbu-sumbu ini tegak lurus. Teorema 7.2 Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = MhMg Bukti : y p (x, y) g '
h '
p" (-x, -y)
x p' (x, -y)
h
Kalau P = A, maka MgMh (A) = Mg(A) = A Juga Mh Mg (A) = Mh (A) = A Sehingga MgMh (A) = MhMg (A) Untuk P ≠ A, maka MgMh = S A Selanjutnya MhMg (P) = Mh (x, -y) = (-x, -y) = S A (P)
29
Jadi MhMg = SA Sehingga diperoleh MgMh = MhMg 2. Apabila sumbu-sumbu refleksi itu sejajar maka hasil kali dua refleksi menghasilkan suatu gesekan (translasi) Teorema 10.1 Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila dua titik A dan B maka
AA" = BB"
dengan A" = MhMg(A) dan B" = MnMg (B).
Bukti : Misal, g sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g, sebagai sumbu x. y A
A"
N B
B" x
0 g
h
Andaikan A = (a 1, a2) dan B = (b 1, b2). Kalau N tengah-tengah ruas garis
A" B
maka harus dibuktikan S N(A) = B". Andaikan persamaan h
adalah x = k (k
≠
0), apabila P = (x, y) dan P' = Mh(P) maka PP'
30
memotong h di sebuah titik Q(k, y) dengan Q sebagai titik tengah jadi P' = Mh (P) = (2k-x, y) sedangkan Mg(P) = (-x, y)
PP' ,
Jadi MhMg(P) = MhMg(P) = Mh [(-x,y)] = (2kx, y) Jadi pula A" = MhMg(A) = (2x + a 1, a2) B" = MhMg(B) = (2x + b 1, b2) Oleh karena N titik tengah
A" B , maka
( 2k + a 1 ) + b1 , N = 2
a2
+ b 2
Sedangkan SN(A) = 2
2
2
2k + a 1 + b1 − a 1 2
a 2 + b 2 − a 2 2
, 2
atau S N(A) = (2k + b1, b2) = B" Dengan demikian maka
AA" = BB"
3. Hasil kali dua refleksi yang sumbu-sumbunya tidak tegak lurus dan tidak pula sejajar menghasilkan suatu putaran (rotasi) dengan titik potong kedua garis itu sebagai pusat. Teorema 11.2 Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antara garis s ke garis t adalah 1/2 φ , maka R Aφ = MtMs
k' t
A
k
31
s
Andaikan sebuah titik P MtMs (K) maka m (
≠
A dan titik K ≠ A pada s. Andaikan k' =
KAK') = 2 x ½ φ = φ
Jika P' = MtMs(P) maka menurut teorema 11.1 m ( m(
KAK'), sehingga m (
PAP') =
PAP') = φ
Berhubung A' = M tMs(A) = A dan berhubung M tMs sebuah isometri maka P'A' = PA atau PA = P'A'. Menurut ketentuan maka M tMs = R Aφ .
B. ROTASI
Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi α, adalah sebuah transformasi titik pada R 2 ditransformasikan ke titik A1 dan ∠ A1PA = α A1 α
P
A
Dengan demikian untuk dapat melakukan putaran harus ada atau ditentukan dulu sebuah titik sebagai pusat putaran dan sebuah sudut sebagai sudut putaran. Jika arah putar A ke A' berlawanan dengan putaran jarum jam, diberi tanda positif dan sebaliknya negatif. Dari pengertian rotasi di atas jelaslah bahwa : J (P, A) = J (P, A') Rotasi pusat P dan sudut α ditulis R (P, α) I. Sifat-sifat Rotasi
1. Teorema 4.1
32
α
Suatu rotasi merupakan isometri Bukti : Ambil sebarang titik A dan B di R 2 Misal oleh rotasi R(P,α) ; R(A) = A1 dan R(B) = B2 J (P,A) = J (P, A 1 dan J) P, B) = J (P, B 1) Lihat ∆PAB dan ∆PA1B1 PA = PA1 dan PB = PB1 ∠ APA1 = ∠ BPB1 = α ∠ B1PA1 = α - ∠ A1PB ∠ BPA = α - ∠ A1PB
Jadi ∠ B1PA1 = ∠ BPA A'
B'
B α
α
A
P
Jadi ∆PAB = ∆PAB1 (s, sd, s) Akibatnya AB = A 1B1 Hal ini berlaku untuk setiap titik A ≠ B di R 2 Jadi rotasi adalah sebuah isometri
Misal diketahui R 1(P, α1) dan R 2(P, α2) sedang R 1(A) = A1 dan R 2(A') = A", Rotasi R 1 diteruskan R 2 dari titik A ditulis :
33
R 2(R 1(A)) = A" atau (R 2, R 1) (A) = A" Transformasi R 2, R 1 juga merupakan rotasi dengan pusat P dan sudut putar α1 + α2 A" A' α2 α1
A
P
2. Teorema 4.2 Jika R 1 dan R 2 suatu rotasi dengan pusat sama maka untuk setiap titik A ∈ R 2 berlaku (R 2, R 1) (A) = (R 1, R 2) (A) Bukti :
A' A" A'
A"'
α1
α1 α1
α1
P
P
A
J (P, A) = J (P, A I), def R 1 J (P, AI) = J (P, AII) , def R 2 J (P, A) = J (P, A III), def R 2 J (P, AIII) = J (P, AIV), def R 1 Jadi J (P, A) = J (P, A IV) ………………1) J (P, A) = J (P, A IV) ……………… 2) Dari 1) dan 2) didapat J (P, A) = J (P, A II) = J (P, AIV) Jadi, (R 2, R 1) (A) = (R 1, R 2) (A) Misal rotasi R 1(P, α) dan R 2(P1, -α) dan (R 2, R 1) (A) = A
34
A
untuk setiap A ∈ R 2, maka R 2 disebut invers R 2 dan juga R 1 invers R 2 Dengan demikian R 2 dan R 1-1 dan R 1 = R 2-1 A. SIFAT-SIFAT KOMPOSISI REFLEKSI
Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F : V V G : V V Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai ( G o F ) ( P ) = G [F ( P )], P Є V. Teorema 5.1 : Jika F : V V dan G : V
V masing – masing suatu
transformasi, maka hasil kali H = G o F : V V adalah juga suatu transformasi. Bukti : Untuk ini harus dibuktikan dua hal yaitu : 1) H surjektif, 2) H injektif. 1) Oleh karena F suatu transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V, dan daerah asal G juga seluruh V sebab G transformasi juga. Ambil y Є V ; apakah ada x sehingga H(x) = y ? Karena G transformasi maka untuk setiap y Є V ada z Є V sehingga y = G(z). Karena F suatu transformasi maka pada z ini ada x Є V sehingga z = F(x). Maka y = G {F (x)} atau y = ( G o F ) (x). Jadi y = H(x). 2) Untuk membuktikan bahwa H injektif, harus kita perlihatkan bahwa kalau P ≠ Q maka H( P ) ≠ H(Q ). Andaikan H( P ) = H(Q ), maka G [F ( P )] = G [F(Q )] Oleh karena G injektif maka F( P ) = F(Q ), karena F injektif maka pula P = Q. Ini bertentangan dengan pengandaian bahwa P ≠ Q. Jadi permisalan bahwa H( P ) = H(Q ) tidak benar. Sehingga haruslah H( P ) ≠ H(Q ). Catatan : Dengan jalan yang serupa dapat pula dibuktikan bahwa hasil kali F o G juga suatu transformasi.
35
Contoh : Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut : Jika X Є g maka T(X) = X. Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g ( gambar 5.1.) yang tegak lurus. h
X
T(X)
y
L
g
Gambar 5.1. Jelas T suatu transformasi ( buktikan ). Apakah T suatu isometri? Ambil kemudian transformasi kedua, misalnya sebagai berikut : Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah refleksi pada garis h. Jadi hasil kali M h [T (X)] = Y adalah suatu transformasi pula sehingga Y = ( M h o T ) (X). Apakah hasil kali ini suatu isometri? Selidiki ! Pada contoh di atas kebetulan M h o T = T o M h . Untuk membuktikan ini ambillah pada gambar 5.1. , garis g sebagai sumbu X suatu sistem h dan g kita ambil sebagai titik asal. Andaikan X = ( x, y ) maka T(x) = ( x, y ) dan Mh [T (x)] = ( -x, y ). Selanjutnya perhatikan ( T o M h ) (X) = T [Mh (X)] Kalau X = ( x, y ) maka M h(x) = ( -x, y ) dan T [M h (X)] = ( -x, y ). Oleh karena Mh [T (X)] = T [Mh (X)] maka ( Mh o T ) (X) = ( T o M h ) (X) Yang berlaku untuk semua X Є V . Jadi M h o T = T o M h.
36
Akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku. Untuk memperlihatkan ini, ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g . Lihat gambar 5.2. X
h
T(X)
L >
g
T[Mh(X)]
>
Gambar 5.2
Mh [T(X)]
Mh(X)
Tampak bahwa M h [T (X)] ≠ T [Mh (X)]. Jadi Mh o T ≠ T o M h. Dari contoh di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T ≠ T o S. Buktikan bahwa memang M h [T (X)] ≠ T [Mh (X)] pada gambar 5.2. Hasil kali transformasi yang telah dibahas di atas tidak hanya terbatas pada dua transformasi. Kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T 2 o T 1 kemudian dikalikan dengan T 3. Untuk hasil kali transformasi ini kita tulis sebagai T 3 (T2 T1). Jadi andaikan P’ = T1 ( P ), P’ = T2 ( P’ ). P’’’ = T3 ( P’ ) Maka : [T3 ( T2 T1 )] ( P ) = T3 [T2 T1( P )] = T3 [T2 (T1( P’ )] = T3 [T2 ( P’ )] = T3 ( P’ ) = P’’’ Kita juga dapat mengalikan sebagai berikut :
37
