Bahan Kuliah Mekanika Bahan Kuliah 2

Mekanika Bahan Bahan Fakultas Fakultas Teknik Teknik UNTAD

B.

Tegangan dan Lendutan Akibat Momen Lentur

Bila suatu beban vertikal bekerja pada balok yang terletak di atas dua tumpuan atau pada balok kantilevel, maka balok tersebut akan mengalami lentur, yang mengakibatkan terjadinya perubahan bentuk pada batang berupa lendutan. Pada Pada umumnya umumnya balok balok merupa merupakan kan bagian bagian konstr konstruksi uksi banguna bangunan n yang yang digunakan digunakan untuk mengalihkan mengalihkan beban-beban beban-beban vertikal menjalar ke arah horisontal yang menimbulkan menimbulkan lentur, dan mengakibatka mengakibatkan n balok mengalami lendutan, lendutan, yang akhirnya akan menyebabkan timbulnya tegangan lentur pada penampang balok. Perhatikan Ga Gamb mbar ar 1. Sele Selemba mbarr kert kertas as yang yang dile dileta taka kan n di atas atas dua dua perletakan, tidak mampu di bebani, akan tetapi bila kertas tersebut dilipat-lipat, maka kertas tersebut akan menjadi lebih kaku dan mampu dibebani, Mangapa ?

Gambar 1. Perhatikan Gambar 2. 2. Bila sebatang balok kantilever dibebani dengan beban beban vertika vertikall P pada pada ujungny ujungnya, a, maka maka akan akan menimb menimbulka ulkan n lentur lentur pada pada balok balok tersebut, tersebut, lentur lentur ini menyebabkan menyebabkan terjadinya perubahan bentuk berupa lendutan, yang kemudia kemudian n mengak mengakiba ibatka tkan n timbul timbulnya nya tegang tegangan an pada penampan penampang g balok balok tersebut, tersebut, dimana lapisan lapisan bagian atas dari penampang penampang balok balok akan mengalami mengalami tegangan tarik, sedangkan pada bagian bawah balok akan mengalami tegangan tegangan tekan. Terdapat beberapa kondisi yang dapat menerangkan lebih jelas tentang lendutan yang terjadi pada balok kantilevel, mulai dari perubahan lendutan yang diakiba diakibatka tkan n oleh oleh peruba perubahan han besarn besarnya ya beban beban P, sampai sampai dengan dengan perubah perubahan an panjang panjang,, bentuk bentuk penamp penampang ang , jenis jenis bahan, bahan, dan cara cara perlet perletaka akan n penamp penampang ang pada balok yang digunakan.

Ir.James Nurtanio,M Nurtanio,M.Si .Si

1


Kondisi tersebut dapat dilukiskan sebagai berikut : a.

Bila beban P diperbesar 2P

P

d

d1

l

b.

l

Bila Panjang balok l diperbesar P

P d

d2 2l

l

c. Bila Bila jeni jenis s baha bahan n balok balok berbed berbeda a P E1

P

E2

d

d l

l

d. Bila Bila balok balok dilet diletakan akan reba rebah h atau atau tegak tegak

d d4 l

Gambar 2.


2


Dari kondisi di atas dapat disimpulkan bahwa lendutan akibat beban terpusat pada konstruksi batang mempunyai hubungan sebagai berikut:

P ⋅ l n d ≈ k ⋅ E ⋅ I Dimana Dimana K merupa merupakan kan faktor faktor yang yang tergant tergantung ung pada pada bentuk bentuk konstru konstruksi ksi,, dan I merupaka merupakan n faktor faktor penampa penampang ng balok, balok, n menunj menunjuka ukan n bahwa bahwa rumus rumus tersebu tersebutt bukan fungsi linear. Selanjutnya pada balok di atas dua perletakan yang dimuati beban P akan melengkung atau melentur. Lentur ini akan menimbulkan lendutan dan tegangan pada balok tersebut seperti Gambar 3. 3. Perubahan bentuk ini akan menyebabkan lapisan atas balok mangalami tegangan tekan, sedangkan lapisan bawahnya akan mengalami tegangan tarik. Sifat ini pula yang ditemui pada balok kantilevel, batang tepi atas mengalami tegangan tarik dan tepi bawah mengalami tegangan tekan. Lebih lanjut hal ini menerangkan keadaan sebagai berikut: Jika Jika sebata sebatang ng balok balok dibeba dibebani ni oleh oleh sebuah sebuah gaya gaya lintan lintang, g, maka maka balok balok terse tersebut but akan akan mele melendu ndutt dan dan bila bila diam diambi bill seba sebagi gian an elem elemen en balo balok k terse tersebu but, t, Hipotesa a Bernoull Bernoulli i dan perilak berdasarkan Hipotes perilaku u elasti elastis s bahan bahan sesuai sesuai dengan dengan hukum Hooke akan memberikan diagram sebagai berikut:

Gambar 3.


3


Dari

sini

kita

dapat

menentukan

pembag pembagian ian teganga tegangan n pada penamp penampang ang balok, kita dapatkan tegangan tekan pada serat atas dan tegangan tarik pada serat bawah. Tega Tegang ngan an

lent lentur ur

yang yang

beke bekerj rja a

pada pada

pena penampa mpang ng meli melint ntan ang g adal adalah ah seha seharga rga dengan gaya kopel D dan T yang bekerja dengan panjang lengan Z. Kopel

ini

dibutuhkan

memb membe entuk untuk

momen men

yang

keseimbangan.

Sedangkan gaya-gaya D san T diibentuk oleh tegangan total σ yang bekerja pada penampa penampang ng melint melintang ang D sama sama dengan dengan volu volume me tegan eganga gan n teka ekan dan dan T sama sama dengan volume tegangan tarik. h  ⋅ σ ⋅   b ⋅  2  2  1  h  T = ⋅ σ ⋅  b ⋅  2  2  1

D = −

Z =

2 3

⋅h

dimana Z adalah jarak antara titik berat volume tegangan tekan dan volume tegangan tarik terhadap garis normal. M = D ⋅ Z = T ⋅ Z dimana : D = gaya tekan ; T =

Momen dalam M menjadi menjadi : gaya tarik

Untuk penampang segi empat : bh  h  2 M = ⋅ σ ⋅  ⋅ b  ⋅ h = σ ⋅ 2 6  2  3 1

W x

2

; jika W X

1

= ⋅ bh 6

2

;

tergantung tergantung dari bentuk penampang penampang melintang melintang dan disebut disebut Momen Tahanan,

sehingga persamaan momen dapat ditulis menjadi : M = σ ⋅ W X


4


Pemba Pe mbaha hasa san n se seca cara ra um umum um te teori ori le lent ntura uran n da dan n pe penu nurun runan an ru rumu mus s te tega ganga ngan n lentur : Sebatang balok yang melentur dengan penampang melintang sembarang, bila diamati deformasi pada elemen nya. Menurut Hipotesa Bernolli bahwa jika titik berat penampang tidak ditengah-tengah tinggi balok, deformasi pada serat atas atas dan dan sera seratt bawa bawah h akan akan berbe berbeda da,, seda sedangk ngkan an menur menurut ut Huku Hukum m Hooke Hooke tegangan pada serat atas akan berbeda dengan tegangan pada serat bawah. Dengan Dengan mengambil mengambil sebuah elemen elemen dengan panjang l o pada batang yang menga mengala lami mi lent lentur ur,, dapa dapatt dipe dipero roleh leh gamba gambara ran n defo deforma rmasi si dan dan penye penyeba bara ran n tegangan seperti Gambar 4.

Gambar 4. Pada Pada elemen elemen kecil kecil tak terhingga terhingga ∆A bekerja bekerja sebuah sebuah tegangan tegangan σ, dan gaya gaya ∆K = σ. ∆A akan menyebabkan bekerjanya momen pada garis netralnya sebesar ∆M = ∆K . y. Tegangan σ dapat dinyatakan dinyatakan sebagai : sehingga ∆ K = σ ⋅ ∆ A =

σ B

y B

⋅ y ⋅ ∆ A

σ

=

σ B

y b

⋅ y

;

Dan ∆ M = ∆ K ⋅ y

=

σ B

y B

⋅ y ⋅ ∆ A ; 2

oleh karena

tiap-ti tiap-tiap ap elemen elemen mengha menghasil silkan kan sebuah sebuah ∆M , sehing sehingga ga jika jika dijuml dijumlahk ahkan an akan akan

diperoleh

∆ M = ∑

σ B

y B

⋅ y ⋅ ∆ A ; 2

momen dapat ditulis : ∆ M =


σ B

y B

dan dan kare karena na

2

σ B

y B

⋅ ∑ y ⋅ ∆ A ; jika I X

konsta konstan, n, maka maka persama persamaan an

= ∑ y ∆ A 2

jakni momen inersia inersia

5


penampang terhadap sumbu X melalui titik berat penampang, maka tegangan

akibat lentur dapat dihitung dengan menggunakan rumus

kita kita banding bandingkan kan dengan dengan rumus rumus umum umum σ =

M IX

σ

=

M I X

⋅ y

; dan jika

⋅ y dengan dengan rumus rumus M = σ ⋅ W X ,

maka kita dapat memperoleh bentuk hubungan : W X

=

I X y

yakni antara Momen

Ketahanan dengan Momen Inersia. Hal yang yang sama sama dapat dapat dibukt dibuktika ikan n dengan dengan menghit menghitung ung reganga regangan n pada elemen balok yang mengalami lentur Gambar lentur Gambar 5 :

Gambar 5 Momen M pada gam gambar bar 5a menimb menimbulk ulkan an momen momen lentur lentur murni murni pada batang batang sederhana AB. Jika batang tidak kaku sempurna serta gaya dalam masih dalam batas elastik maka sumbu batang akan melendut. Menurut Hipotesa Bernoulli bila batas elastis belum dilampaui, maka setiap bagian batang akan tetap datar seperti sebelumnya. Hal ini berarti bahwa perubahan panjang tiap-tiap lapisan


6


sejajar dengan sumbu batang berbanding lurus dengan jarak terhadap sumbu gambar 5b, 5b, sehingga regangan pada lapisan yang berjarak Y dari sumbu batang dapat dapat dipero diperoleh leh perband perbandinga ingan n :

GH − EF EF

=

y

; sedangka sedangkan n menurut menurut Hukum

R

Hooke pada lapisan tersebut terjadi regangan :

tegangan pada lapisan tersebut adalah :

σ y

=

E r

ε

⋅ y

=

σ y

E

; sehingga diperoleh

; hal ini menunjukan bahwa

tegang tegangan an pada pada tiap-t tiap-tiap iap lapisa lapisan n berband berbanding ing lurus lurus dengan dengan jarak jarak dari sumbu sumbu netral netral.. Dimana Dimana tegang tegangan an pada bagian bagian atas atas sumbu sumbu netral netral bersifa bersifatt tekan tekan dan tegangan pada bagian bawah sumbu netral bersifat tarik. Bila Bila gaya gaya yang yang beke bekerj rja a pada pada pena penamp mpan ang g dT =

E r

⋅ y ⋅ dA

sebesar : T =

dA

adal adalah ah : dT = σ y ⋅ dA atau

dari persamaan ini dapat dihitung gaya tarik pada bagian tarik

E r

h1

⋅ ∫ y ⋅ dA ; 0

Dengan cara yang sama didapat pula gaya tekan sebesar : K =

E r

h2

⋅ ∫ y ⋅ dA 0

Perlu Perlu diketah diketahui ui pada konstr konstruksi uksi yang yang hanya hanya menderi menderita ta momen momen lentur lentur murni murni sumbu netralnya terletak terletak pada lapisan yang mengalami mengalami tegangan sama dengan nol, dengan kata lain : E r

h1

A

⋅ ∫ y ⋅ dA = 0

; berarti

0

∫ y ⋅ dA =

0

yang berarti sumbu netral didapat bila y = 0,

0

atau atau sumb sumbu u netra netrall beri berimp mpit it denga dengan n sumb sumbu u bata batang. ng. Sela Selanj njut utnya nya gaya gaya tarik tarik maupun gaya tekan akan menimbulkan momen terhadap sumbu netral sebesar : dM = dT ⋅ y

=

E


r

⋅ y ⋅ dA 2

; deng dengan an demi demiki kian an juml jumlah ah mome momen n untu untuk k selu seluru ruh h

7


penampang : M =

E r

A

⋅ ∫ y ⋅ dA 2

; berdasarkan keseimbangan keseimbangan maka momen pada

0

persamaan diatas akan melawan momen lentur Mx, sehingga dapat diperoleh tegangan lentur pada lapisan sejauh y dari sumbu netral adalah : M X

=

σ Y

y

⋅ ∫ y ⋅ dA 2

; M X

=

σ Y

y

⋅ I

Contoh Soal : 1. Diketa Diketahui hui sebuah sebuah balok balok kantileve kantilevell sepert sepertii gambar gambar dibawa, dibawa, mempunya mempunyaii penampang balok segi empat. Q = 75kg/m’ C

20 kn

Penampang balok pada pot C - C

40 cm

Mr

B

A C 2m

VB

30 cm

Lm

Tentukan tegangan lentur maksimum yang terjadi pada sebuah irisan 2 m dari Ujung bebas Penyelesaian : Persyaratan keseimbangan : ∑V = 0 maka : 20 − q ⋅ x − V B = 0 20 − 0,75 ⋅ 2 − V B = 0 V B = 18,5kn(↓)

∑ M B = 0 x maka : 20 ⋅ x − q ⋅ x ⋅ − M r = 0 2 22 20 ⋅ 2 − 0,75 ⋅ 2 ⋅ − M r = 0 2 M r = 38,5kn.m


8


2. Seperti soal nomor 1, andaikata penampang potongan c-c seperti gambar berikut :

satuan: mm

Ditentukan titik berat penampang


9


Dicari momen inersia luasan penampang terhadap sumbu z-z. Maka :

Besarnya tegangan lentur maksimum pada potongan c-c 2m dari ujung bebas

3.


10


Penampang balok AB

ukuran : mm

Tentukan tegangan lentur maksimum ! Solusi : Mencari titik berat dan letak garis sumbu netral

Mencari momen inersia luasan terhadap sumbu z-z


11


Mencari gaya reaksi tumpuan

Diambil potongan kiri sejauh X m dari A


12


Agar momen maksimum maka :

Jadi nilai momen maksimum

Tegangan lentur maksimum untuk serat atas

Serat bawah :


13



14

Bahan Kuliah Mekanika Bahan Kuliah 2

Recommend Documents