OBJETIVO………………………………………………………………………………2 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………….3 MARCO TEÓRICO ……………………………………………………………………..5 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ………………………………………5 TEMA 1: CONCEPTOS Y APLICACIONES …………………………………………5 SISTEMA………………………………………………………………………… ..5 VOLUMEN DE CONTROL………………………………………………………….8 Definición…………………………………………………………………..8 Conservación de La Masa y el Volumen de Control ……………………………….8 Proceso de Estado Estable …………………………………………………….8 Proceso de Estado Uniforme 8 Calor Específico Específico a Presión Constante 9 Fórmulas 9 Calor Específico Específico a Volumen Constante 9 Fórmulas 9
TEOREMA DEL VALOR MEDIO 9
TEMA 2: PERFIL DE VELOCIDAD MEDIA Régimen laminar Régimen turbulento Sistemas de medición de los perfiles
TEMA 3: COORDENADAS RECTANGULARES Y CILÍNDRICAS Coordenadas Rectangulares Coordenadas Cilíndricas Densidad de flujo molecular de cantidad de movimiento Expresión general de la ley de Newton. Ecuación de movimiento
DESARROLLO EJERCICIO 1 EJERCICIO 2 EJERCICIO 3
APLICACIONES APLICACIONES CONCLUSIÓN BIBLIGRAFÍA
El desempeño profesional del Ingeniero Químico raras veces implica la realización de tareas según una secuencia rígida preestablecida, lo que en general suele caracterizar a las experiencias de laboratorio de gran parte de las asignaturas de la carrera, principalmente aquéllas de los primeros primero s años. Por ello, en la mayoría de los casos, los estudiantes no tienen oportunidad de apreciar ciertos aspectos de la práctica ingenieril hasta la fase (mal de la carrera (Scarrah, 1979). Asimismo, los rápidos cambios de la tecnología generalmente no producen los cambios correspondientes en la educación de los ingenieros, y en buena parte, la enseñanza de la ingeniería conserva los métodos tradicionales. En los cursos se acostumbra a dar demasiado énfasis a los problemas cerrados y claramente enunciados, y muy poco énfasis a la formulación de problemas y a los prob lemas abiertos en los cuales puede haber más de una respuesta correcta (Ray Bowen,1994). Por otra parte, las situaciones problemáticas y la interpretación y explicación de los fenómenos, son los ejes vertebradores de la construcción científica, como así también de la práctica profesional de los Ingenieros. Si se pretende aproximar la labor de los estudiantes a una práctica científica, c ientífica, se deberían "planificar actividades guiadas que enfrenten colectivamente a los estudiantes con situaciones problemáticas abiertas, motivadoras y accesibles, que ya hayan sido estudiadas y respondidas en alguna medida por la comunidad científica, y de las que el docente tenga un adecuado manejo" (Salinas de Sandoval et al., 1995b). Las actividades desarrolladas durante el trabajo de investigación destinadas al diseño, construcción y ensayo de un equipo didáctico, y se encuadran en lo que se conoce como "teoría preliminar". Los modelos matemáticos que aquí se describen están orientados al análisis fenomenológico y conceptual, y a la medición de propiedades de transporte y coeficientes de Transferencia de Cantidad de Movimiento. La realización del Trabajo Práctico persigue objetivos que van más allá del aprendizaje de contenidos ya que se pretende que el alumno adquiera capacidades, aptitudes y actitudes no siempre contempladas a través de otros métodos de enseñanza y aprendizaje: se estimula el pensamiento creativo, el análisis crítico, el razonamiento y la iniciativa personal de los estudiantes, entre otros. Los referidos aspectos no necesariamente están todos involucrados en las metodologías tradicionales aplicadas en los trabajos prácticos de las carreras de Ingeniería ya que El conocimiento científico se construye a partir de una idealización, abstracción y modelado de la realidad.
El desempeño profesional del Ingeniero Químico raras veces implica la realización de tareas según una secuencia rígida preestablecida, lo que en general suele caracterizar a las experiencias de laboratorio de gran parte de las asignaturas de la carrera, principalmente aquéllas de los primeros primero s años. Por ello, en la mayoría de los casos, los estudiantes no tienen oportunidad de apreciar ciertos aspectos de la práctica ingenieril hasta la fase (mal de la carrera (Scarrah, 1979). Asimismo, los rápidos cambios de la tecnología generalmente no producen los cambios correspondientes en la educación de los ingenieros, y en buena parte, la enseñanza de la ingeniería conserva los métodos tradicionales. En los cursos se acostumbra a dar demasiado énfasis a los problemas cerrados y claramente enunciados, y muy poco énfasis a la formulación de problemas y a los prob lemas abiertos en los cuales puede haber más de una respuesta correcta (Ray Bowen,1994). Por otra parte, las situaciones problemáticas y la interpretación y explicación de los fenómenos, son los ejes vertebradores de la construcción científica, como así también de la práctica profesional de los Ingenieros. Si se pretende aproximar la labor de los estudiantes a una práctica científica, c ientífica, se deberían "planificar actividades guiadas que enfrenten colectivamente a los estudiantes con situaciones problemáticas abiertas, motivadoras y accesibles, que ya hayan sido estudiadas y respondidas en alguna medida por la comunidad científica, y de las que el docente tenga un adecuado manejo" (Salinas de Sandoval et al., 1995b). Las actividades desarrolladas durante el trabajo de investigación destinadas al diseño, construcción y ensayo de un equipo didáctico, y se encuadran en lo que se conoce como "teoría preliminar". Los modelos matemáticos que aquí se describen están orientados al análisis fenomenológico y conceptual, y a la medición de propiedades de transporte y coeficientes de Transferencia de Cantidad de Movimiento. La realización del Trabajo Práctico persigue objetivos que van más allá del aprendizaje de contenidos ya que se pretende que el alumno adquiera capacidades, aptitudes y actitudes no siempre contempladas a través de otros métodos de enseñanza y aprendizaje: se estimula el pensamiento creativo, el análisis crítico, el razonamiento y la iniciativa personal de los estudiantes, entre otros. Los referidos aspectos no necesariamente están todos involucrados en las metodologías tradicionales aplicadas en los trabajos prácticos de las carreras de Ingeniería ya que El conocimiento científico se construye a partir de una idealización, abstracción y modelado de la realidad.
La transferencia de cantidad de movimiento está caracterizada por estudiar el movimiento de fluidos y las fuerzas que lo producen, a excepción de las fuerzas que actúan a distancia (campo gravitatorio, campo eléctrico). Las fuerzas que actúan sobre un fluido como la presión y el esfuerzo cortante, provienen de una transferencia microscópica a nivel molecular de cantidad de movimiento. Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos son el balance de materia, o ecuación de continuidad, las ecuaciones del balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica. Pueden escribirse de forma diferencial, mostrando las condiciones en un punto del interior de un elemento de volumen, o bien de forma integrada, aplicables a un volumen o masa finitos de fluido. Del “Segundo Principio de la Dinámica” expresado como 2da. Ecuación de Newton,
se tiene que:
Fig. 1
La Figura 1 que sigue ilustra convenientemente, como se puede extrapolar la ecuación previa a una aplicación más compleja, como lo es la consideración de la misma en un volumen fijo en el espacio, tomado como Volumen de Control τc y superficie Ωc y que es permanentemente atravesado por un continuo, asociado a un campo de velocidades variable de instante a instante. La Variación Total de la Cantidad de Movimiento, puede ser evaluada por partes, una primera teniendo en cuenta en un instante dado el balance entre la Cantidad de Movimiento entrante y saliente de la superficie de control y una segunda, teniendo en cuenta su variación en el tiempo, dentro del volumen de control, para el tiempo tendiendo al instante considerado. En símbolos, la expresión a desarrollar puede ser establecida como: F = ∆cmΩc + ∆cmτc
En la que: - F es la Resultante de todas las fuerzas actuantes en el Volumen de control fijo en el espacio y atravesado por el continuo. - ∆cmΩc es el balance de la Cantidad de movimiento entrante y saliente por la superficie de control Ωc. - ∆mc τc es la variación de la Cantidad de Movimiento dentro del volumen de control τc en el tiempo para el instante considerado. La termodinámica influye mucho en el balance de cantidad de movimiento ya que es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemas termodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma de aprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas de energía y la transferencia de materia para crear orden o desorden. Existen tres variables termodinámicas que describen el estado de un sistema: • Presión • Volumen • Temperatura
Para definir un sistema termodinámico se utiliza una superficie que separa el sistema de sus alrededores que se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferencia de energía, materia y/o cantidad de movimiento. Existen tres clases de sistema: Aislado.- no hay intercambio de energía ni materia con el entorno. Cerrado.- hay intercambio de energía con su exterior pero no de materia. Abierto.- hay intercambio de energía y también de materia con el entorno. Los sistemas pueden ser Homogéneos o heterogéneos, si es un sistema homogéneo se involucran fenómenos como el desplazamiento o flujo de masa, energía, o cantidad de movimiento y se denomina fenómeno de transporte.
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.
SISTEMA La termodinámica es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemas termodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma de aprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas de energía y la transferencia de materia para crear orden o desorden. Donde el sistema está caracterizado por sus variables termodinámicas las cuales describen el estado del sistema: • • •
Presión Pabs = Pmanometrica + Patmosferica Volumen 0> Pmanometrica Temperatura Patm > 0
Un sistema termodinámico es una colección de materia que ocupa una región en el espacio sobre el cual se enfoca la atención para su estudio y análisis. Se define los alrededores del sistema como aquella porción de materia que ocupa la región del espacio que está fuera del sistema seleccionado. La superficie que sepa ra el
sistema de sus alrededores se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferencia de energía, materia y/o cantidad de movimiento.
Frontera
Fig. 1.1 Esquema representativo de un sistema
Existen 3 clases de sistema (ver figura 1.2). Sistemas Aislados: los cuales no pueden intercambiar ni energía ni materia con el entorno. Sin embargo, cada parte de ésta clase de sistema se constituye en un subsistema rodeado por las partes restantes y por lo tanto, se darán los intercambios de materia y energía para que cuando el sistema alcance el equilibrio, todas las partes del sistema sean indistinguibles. Sistemas Cerrados: los cuales intercambian energía con su exterior pero no materia. Sistemas Abiertos: los cuales intercambian energía y materia con el exterior. Los sistemas pueden ser Homogéneos (Pueden ser mezclas, pero deben ser medios continuos) y heterogéneos.
Fig. 1.2 Diferencia entre los tres tipos de sistemas
Para los sistemas homogéneos los fenómenos que involucran el desplazamiento o flujo de masa, energía, o cantidad de movimiento, de denomina fenómeno de transporte, y se modela empleando ecuaciones diferenciales que expresan los flujos en términos de cambios infinitesimales de las variables.
Fig. 1.3 Diferencia entre los sistemas homogéneos y heterogéneos
Sistema de unidades
Unidades Básicas: longitud (l), masa (m), tiempo (t), temperatura (T). Concentración química (mol), corriente.
Componente
Unidades derivadas: fuerza (F), velocidad (v ), aceleración (a), presión (P), etc.
VOLUMEN DE CONTROL Definición Un volumen de control es un espacio arbitrario que se instituye con el objeto de estudio. Formado por el espacio delimitado por una superficie de control (SC) cerrada, real o virtualmente, donde una de sus características, en general, será la permanencia de la forma y el tamaño del volumen así delimitado. La permanencia del espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas que lo
ocupan no sean siempre las mismas. Es También un sistema termodinámico con la propiedad añadida que se admite la posibilidad de entradas y salida de masa. Por lo demás, el volumen de control intercambia calor con una fuente térmica y trabajo con una o varias fuentes de trabajo. Conservación de La Masa y el Volumen de Control Para el volumen de control la razón de cambio de la masa dentro del volumen está dada por la diferencia entre el flujo másico de entrada y el flujo másico de salida. Para un único flujo que entra al volumen de control y un único flujo de salida podemos decir:
Donde E es la energía, m la masa, y C es la velocidad de la luz. Según la teoría de la relatividad propuesta por Einstein, la masa se puede convertir en energía y viceversa, sin embargo esto solo es apreciable en las reacciones nucleares. Proceso de Estado Estable Cuando cualquiera de las propiedades de sistemas cambia el estado cambia, entonces, dice que el sistema estuvo sujeto a un proceso. Un Proceso es una transformación de un estado a otro, sin embargo si un sistema muestra los mismos valores de sus propiedades en dos instantes diferentes, está en el mismo estado en esos instantes. Se dice que un sistema se encuentra En Estado Estable sin ninguna de sus propiedades cambia con el tiempo. Proceso de Estado Uniforme Durante el proceso en cualquier instante el estado del volumen del control es uniforme (es el mismo en todas partes). El estado de volumen de control puede cambiar con el tiempo pero lo hará de manera uniforme. En consecuencia, el estado de la masa que sale del volumen de control en cualquier instante es el mismo que el estado de la masa en el volumen de control en ese mismo instante. Esta suposición contrasta con la del flujo permanente que requiere que el estado de volumen de control cambie con la posición pero no con el tiempo. Calor Específico a Presión Constante La cantidad de calor necesaria para aumentar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia se conoce como calor específico. Si el calentamiento se produce manteniendo constante el volumen de la sustancia o su presión, se habla de calor específico a volumen constante o a presión constante.
Fórmulas
Q- W = DU DH-W = DU W + DU = DH Cp DT = DH H = Cp T H2 – H1 = Cp (T 2- T1)
Calor Específico a Volumen Constante La cantidad de calor necesaria para aumentar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia se conoce como calor específico. Si el calentamiento se produce manteniendo constante el volumen de la sustancia o su presión, se habla de calor específico a volumen constante o a presión constante. Fórmulas
Q- W = DU Q- W = Cv DT DU = Cv DT U = Cv* T U2 – U1 = CV (T 2- T1) U2 – U1 = mCv (T 2- T1)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si una función es definida y continua [a, b] diferenciab le en el intervalo abierto (a, b) y toma valores iguales en los extremos del intervalo f(a)=f (b) entonces existe al menos algún punto C en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en C es horizontal es decir, f’(c)=0.
Teorema de valor medio para integrales. Si f es continua en [a, b], entonces existe un número C entre a y b, tal que Teorema del valor medio para derivadas. El teorema del valor medio para derivadas dice que existe algún punto C en el intervalo [a, b] en el que la tasa promedio de cambio de f, (f (b)-f(a)/ (b-a), es igual a la tasa instantánea de cambio f’(c).
Coordenadas rectangulares:
X= r cosƟ
Y= r sen Ɵ
Z=z
Coordenadas cilíndricas:
r2 = x2 + y2
tgƟ = y/x
z=z
Las propiedades fundamentales que se pueden transportar son tres: • Cantidad de momento, movimiento o momentum. • Cantidad de energía. • Cantidad de materia.
Este trasporte puede ocurrir en el seno de fluidos o entre un fluido y un sólido por ejemplo: 1. Un fluido que circula a través de un conducto disipa energía por rozamiento lo que se traduce en un transporte de cantidad de movimiento entre las regiones con distintas velocidades. 2. Un sistema con regiones a distintas temperaturas (diferentes concentraciones de energía). Transporta energía de la región más caliente a la más fría. 3. Una mezcla de dos o más componentes con regiones con diferentes concentraciones transporta materia desde la zona más concentrada ha cia la menos concentrada.
La termodinámica nos explica que un sistema experimenta un cambio en forma espontánea, lo hace en una dirección determinada hasta alcanzar un estado tal que, aparentemente, no existe ninguna acción posterior o modificación. Esta condición se conoce con el nombre de " estado de equilibrio". Las condiciones del equilibrio y la influencia de las variables que lo afectan, tales como presión, temperatura, composición, son analizadas entonces por la termodinámica y la físico-química. Sin embargo en la práctica de la ingeniería, es necesario además conocer, determinar o predecir la velocidad a la que se verifica el fenómeno para llegar al equilibrio y la influencia de aquellas variables, antes que el equilibrio en sí, a causa de que se podrá realizar de esta forma la selección o diseño del equipo más adecuado al proceso particular que nos ocupe. En otras palabras, un determinado fenómeno podrá ocurrir si la termodinámica así lo señala, pero ésta no nos dice nada del tiempo que demora el llegar al equilibrio. Por ejemplo, si la velocidad de reacción entre dos gases es insignificante, aunque termodinámica mente posible, el tamaño de equipo necesario para obtener cantidades razonables puede ser inconmensurable. En cada caso, entonces, habrá que analizar cómo es la velocidad de la evolución y de qué manera aumentaría, para obtener un tamaño adecuado de equipo. En muchos casos es factible conseguir esto modificando la presión, temperatura, concentración, incorporando promotores, catalizadores, etc., es decir, modificar algún parámetro que cambié la velocidad. La velocidad a la que transcurre un fenómeno se puede expresar como el resultado de dos efectos contrapuestos: Un factor potencial necesario para que se verifique el fenómeno en cuestión, generalmente llamado " fuerza impulsora". Un factor que se opone a la evolución, que controla el valor de la 2velocidad a la que tiende el equilibrio, dándole valores finitos, y que se conoce como " resistencia". Cantidad de movimiento = Diferencia de velocidades 1-
Energía calorífica = Diferencia de temperaturas Materia (difusión ord.) = Diferencia de concentración (de una especie) Por lo tanto, una expresión generalizada puede ser:
La velocidad del flujo no es constante a través de la sección recta del conducto, si no que varía de acuerdo al punto donde se determine. Esto se debe a que la velocidad no tiene distribución uniforme a través de la sección por la influencia de la viscosidad del fluido, las rugosidades del conducto y de la misma turbulencia sobre el desplazamiento de los filetes líquidos. Para régimen laminar, la distribución vertical de la velocidad sigue una ley parabólica, mientras que en régimen turbulento lo hace de acuerdo a una ley logarítmica, Figura VI.3. Las ecuaciones teóricas para la velocidad puntual (V y) y la velocidad media a)
V
V
Régimen laminar S
2
Ry
S R 2 8
4
(VI.1)
(VI.2)
Figura VI.3 Perfil de velocidad en régimen de flujo (a) laminar y (b) turbulento. Modificado de Mott, 1994
̅
son:
Régimen turbulento
b)
. V 5.75 gRS Log
V 18 Log
6.0 R
a
(VI.3)
6.0 R
a
(VI.4)
RS (VI.4`)
Para flujo a presión:
V 5.75 gRS Log
V 18 Log
6.7 R
a
6.7 R
a
(VI.5)
RS (VI.5`)
: Velocidad del flujo a una distancia y desde la solera del canal.
y: Distancia vertical a partir de la pared del conducto. R: radio hidráulico. Sf: Gradiente hidráulico. En flujo libre uniforme, el gradiente hidráulico es igual a la pendiente de la solera del canal. V*: Velocidad cortante. a: coeficiente que depende del comportamiento hidráulico del conducto.
:
a =
/7 para conductos hidrául icamente lisos (ε<0.305 ). a = ε/2 para conductos hidráulicamente rugosos (ε >6.1 ). a = /7+ ε/2 cuando existe influencia de la rugosidad y de la viscosidad.
Viscosidad cinemática del fluido.
: Espesor de la subcapa laminar viscosa.
ε: Rugosidad
absoluta del conducto.
∗ √. ∗
(VI.6) (VI.7)
Sistemas de medición de los perfiles Para medir la velocidad en un punto del interior del líquido en movimiento, se presenta la dificultad de que la introducción de cualquier aparato, produce alteraciones del flujo en el sitio de medición. Sin embargo, con diseños adecuados se logra minimizar este problema. Para la medición de velocidad se usan principalmente el Tubo Pitot y molinete. Estos últimos se utilizan principalmente para corrientes a superficie libre y sus especificaciones de funcionamiento no están en el alcance de este texto. A continuación se detallará el funcionamiento del Tubo Pitot: El tubo de Pitot es uno de los dispositivos que se usan para medir la velocidad puntual. Consiste en un tubo doblado con el extremo abierto y en punta que se coloca frente a la dirección de la corriente y en el punto de medición (Figura VI.4). El filete líquido con velocidad se estanca en frente del tubo, produciendo un incremento de altura de presión h sobre la altura piezométrica. Este incremento es igual a la cabeza de velocidad en el punto.
Figura VI.4 Tubo Pitot. Modificado de Vennard & Street, 1985.
Según la Figura VI.4 se tiene:
+ + ℎ +
(VI.8) (VI.9)
ℎ √ 2 ℎ
(VI.10)
(VI.11)
Haciendo mediciones para diferentes alturas (y) se puede dibujar el perfil vertical real de la velocidad.
Coordenadas Rectangulares En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados. En la Figura 6, se pueden observar los tres planos coordenado s que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados. Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición del punto dado.
Figura 6. Sistema de coordenadas cartesianas.
Un vector en coordenadas cartesianas se puede notar usando las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados y un conjunto de tres vectores directores que apuntan en dirección de dichos ejes. En la Figura 7, se muestran los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas rectangulares.
Figura 7. Vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas.
De acuerdo con las propiedades del producto escalar, un vector cualquiera se nota en el sistema de coordenadas cartesianas como:
Donde,
son las proyecciones del vector A sobre los ejes coordenados x,
y, z respectivamente y coordenadas cartesianas.
son los vectores unitarios directores del sistema de
El vector posición de cualquier punto en coordenadas cartesianas por tanto viene dado por:
Ecuación 9. Vector posición en coordenadas cartesianas.
Los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cartesianas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 10.
Ecuación 10. Rotación en los productos vectoriales del sistema cartesiano.
Coordenadas Cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas. En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z, la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano. En la Figura 8, pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.
Figura 8. Sistema de Coordenadas cilíndricas
En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector. La Figura 9, ilustra los tres vectores directores del sistema.
Figura 9. Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas .
Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:
Donde plano XY, y
es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el es la componente angular medida con respecto al semieje x positivo
coincide con la componente cartesiana del mismo nombre.
Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 11.
Ecuación11. Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilíndricas.
El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido por:
Los vectores del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de dirección de acuerdo con la coordenada ; a diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas. Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7, debe ser tomada en cuenta para la derivación o integración directa cuando se involucra la coordenada . Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros. En la Ecuación 12 se muestra la matriz de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas y en la Ecuación 13 la matriz de transformación inversa. Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.
Ecuación 12. Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
Ecuación 13. Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
Densidad de flujo molecular de cantidad de movimiento El flujo molecular de cantidad de movimiento o flujo viscoso, está relacionado con el gradiente de velocidad en el fluido (ley de Newton). Por otra parte, la ley de Newton no involucra explícitamente al flujo molecular de cantidad de movimiento, sino al esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante se explica a partir de una transferencia neta de cantidad de movimiento entre líneas de corriente (descripción microscópica), debida en última instancia al intercambio o interacción de moléculas con diferente cantidad de movimiento (descripción atómica molecular).
⃗ ⃗
El problema concreto que se aborda aquí es el de la relación entre el caudal molecular de cantidad de movimiento que atraviesa la superficie unitaria , y el esfuerzo cortante.
⃗
Al igual que el caudal advectivo de cantidad de movimiento que atraviesa la superficie unitaria está relacionada con ésta mediante el tensor , también puede ponerse en función de mediante el tensor esfuerzo cortante que, a su vez, es función de los gradientes de velocidad.
⃗
⃗
El análisis de esta relación, es decir, de la función forma siguiente:
⃗ ⃗ ⃗
, se realizará de la
Sea un elemento de volumen diferencial de forma tetraédrica orientado respecto a unos ejes coordenados rectangulares de modo que tres de sus caras estén situadas, respectivamente en los planos x, y, z. Como se ha demostrado, en un elemento diferencial el flujo molecular que entra es igual al que sale, es decir, que a través de la superficie del elemento diferencial el flujo molecular neto es nulo. En base a esto, de acuerd o con el esquema 1 siguiente:
Esquema 1: Caudal molecular de cantidad de movimiento en un elemento infinitesimal de volumen.
Cara
Superficie unitaria o componente
⃗⃗ ⃗⃗
Tabla para el caudal.
Se puede escribir:
Caudal molecular de cantidad de movimiento que atraviesa la superficie unitaria o componente
⃗⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗ ⃗ + ⃗ 0 ; ; ⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗
Caudal molecular que atraviesa la cara
⃗⃗ ⃗⃗
Teniendo en cuenta que Se obtiene
Ahora bien los caudales moleculares de cantidad de movimiento que atraviesan las caras x, y, z son vectores con sus también respectivas componentes cartesianas relacionadas con los gradientes de velocidad en las tres direcciones.
De acuerdo con la notación introducida se tiene:
⃗ . + . + ⃗ ⃗ . + . + ⃗ ⃗ . + . + ⃗
⃗
Introduciendo estos nueve componentes en la ecuación, se obtiene la relación entre y que se buscaba, que expresada en forma matricial es:
⃗
⃗ || ⃗ .
Esta relación se establece a través de una magnitud tensorial, cuyas nueve componentes son precisamente los esfuerzos cortantes que actúan sobre las superficies x, y, z (primer subíndice) en las direcciones x, y, z (segundo subíndice).
Expresión general de la ley de Newton. Ecuación de movimiento La expresión de Newton, como es evidente, corresponde a una situación particular en la que el flujo es unidireccional y sólo hay gradiente de velocidad en una dirección. La ley de Newton se generaliza para obtener las expresiones de los nueve componentes del tensor esfuerzo cortante. En cuanto a las expresiones del balance microscópico de cantidad de movimiento, el tercer término, el caudal de entrada neta por el flujo molecular, la ecuación es:
∫ ⃗ ∫ ̿ ∫ ̿
Sustituyendo esta última expresión y puesto que el volumen V es arbitrario, se obtiene:
. .̿ +
Cada término de esta ecuación tiene también las dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de volumen.
Esta última ecuación es la llamada ecuación de movimiento. Cada término tiene las dimensiones de una fuerza por unidad de volumen.
En las tablas se explicitan las componentes de la ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas, respectivamente. Se recogen también en las tablas citadas componentes en función de los gradientes de velocidad para fluidos newtonianos de y µ constantes, que constituyen la conocida ecuación de Navier-Stokes. A continuación se exponen un par de ejemplos ilustrativos de la aplicación de la ley de Newton generalizada y de la ecuación de movimiento.
EXPRESION GENERAL DE LA LEY DE NEWTON EN COORDENADAS RECTANGULARES
[2 232 ∇∙] [2 23 ∇∙] [2 3 ∇∙] [ + ] [ + ] [ + ] ∇∙ + + [21 23 ∇∙] [( + 2) 23 ∇∙] [2 3∇∙1] [ 1+] [ + ] 1 [ 1 + ] ∇∙ + +
(8-25 a) (8-25 b) (8-25 c) (8-25 d) (8-25 e) (8-25 f)
EXPRESION GENERAL DE LA LEY DE NEWTON EN COORDENADAS CILINDRICAS (8-25 g) (8-25 h) (8-25 i) (8-25 j) (8-25 k) (8-25 l)
Ejemplo: Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la situación experimental, a partir de la ley de Newton generalizada, y el caudal de cantidad de movimiento que atravesaría la superficie unitaria perpendicular a la dirección del movimiento del fluido. Solución En la situación, la velocidad sólo tiene una componente no nula:
. 0 ⃗ . + + 0 ⁄ 0 0, . . . . . . . 0 . . µ µ siendo
Si se supone que se trata de un fluido de p constante, y dado que la situación del ejemplo es estacionaria, la ecuación de continuidad para tal caso se reduce a
De donde, además, se reduce que también lo son. Si a ello se añade que
dado que los otros dos sumandos
Por la simetría del problema, la ley de Newton conduce a
Para calcular el caudal de cantidad de movimiento que atravesaría una superficie unitaria basta con aplicar
Es decir Ya que
0 0 ⃗ ||0 00 00 ⃗ . µ . 0 1
Este resultado ilustra de nuevo la relación conceptual entre el flujo de cantidad de movimiento y la tensión o fuerza de cizalla. La cantidad de movimiento que por unidad de tiempo atraviesa la superficie unitaria perpendicular a la dirección x se traduce precisamente, en la fuerza de cizalla que actúa en la dirección x.
En el siguiente DTI se está transportando Etanol de un estanque a un contenedor a una temperatura de 25°C, con un gasto de 6.3 .la tubería tiene un diámetro interno de 1 pulgada. Determinar:
a) La velocidad media b) El número de Reynolds c) El trabajo producido para llenar el tanque d) La potencia necesaria de la bomba para esta operación.
DATOS FUIDO: Etanol T= 25°C Q= 6.3 D= 1 in
a Q= 6.3 0.105 Conversión de Q de
Conversión de D.I. de in a m
D= 1 in
. 0.0254
a) Determinación de la velocidad media Formula =
. = . = 207.2201 .= 207.2201 b) Determinación del número de Reynolds Datos
0.0254
D=
= 207.2201 ρ= 783
µ=?
a 25 °C (Tabla A-3 de Yunes A. Cengel) Formula NRe=
.<>.
Determinaremos la viscosidad (interpolación) Formula
+ ( )
Datos de tablas
Etanol (alcohol etílico) T°C µ (cP)
== =
=.=? =.
Sustitución de los datos en la fórmula de interpolación
1. 2 00 1.200 +( 1.003 )25 20 30 20 1.1015 °
Conversión de µ de cP a
µ
°
°
.
°
10− .
Equivalencia=1Cp=
− 10 1.1015 1 . 0.0011 .
Sustitución de datos obtenidos para calcular el número de Reynolds
. . . NRe= 3, 7 46, 5 77. 0 84 . . . . Análisis dimensional
1 . . .. 1 . .. C) Determinación del trabajo producido para llenar el tanque FORMULA
.∆ℎ + +̂+̂ 0 .∆ℎ ̂̂ Despejando w w=-(
1) obtenemos primero la perdida por fricción en tuberías Formula
2 ̂ . . Calcular
""
respecto al flujo turbulento
Formula del cálculo de
0.0/791
""
Sustituir
, ,..
=0.0017
Flujo turbulento
Ahora se suman todas las longitudes
2+3+3+12+15+25+8+10+15 93 2 207. 2 201 0. 0 01793m ̂ 0.0254 534,554.3978
Ya obtenidos los datos procedemos a calcular la perdida de fricción en tuberías
2) Ahora obtener la contracción brusca en accesorios
Formula
̂ (12 . )
0.45+21.3+20.3+40.4+0.2 +6 11.45 ̂ ∆ℎ sustituir datos 207.2201
NOTA=para cada parámetro de es individual por accesorio y se encuentra en tablas
.11.45) = 245,832.4724
3) calcular
Formula
∆ℎ ∆ℎ 28 25 13
1
1
Con la obtención de todos estos datos ya se puede calcular el trabajo (w)
9.81 13534,554.3978 245,832.4724 780,514.4002 780,514.4002 c) Determinación de la potencia necesaria de la bomba para esta operación
Formula
.
Equivalencia
. 9.807
1
0.105 (780,514.4002 )(19..807) 79,587.4783 . 783
= 82.215
Sustituir datos obtenidos en la fórmula para calcular final ente la potencia
79,587.4783 .= 6, 543,284.528 . Convertir a hp . . 6, 543,284.528 .= 86,024.9465 hp (82.215
P= 86,024.9465 hp
Un codo de 45° en el que existe una contracción del Diámetro interno de 15 a 10 cm, circula a razón de a 85°C, la presión de salida es 1.89 atm. a) b) c) d)
Determine el número de Reynolds. Calcule la caída de presión en el codo. Determine FX y FY ejercidas en el codo. ¿Qué tipo de ángulo de codo se recomienda para este tipo de fuerza?
SOLUCIÓN Datos:
7.3
45° 15 10 85℃ 7.3 1.89 ?
? 85℃+273 1358 15 (100) 0.15 1 ) 0.10 10 (100 7.3 0.1216 101. 3 25 10 1 / 1.89 ( 1 ) 1 1 191,504.25 CONVERSIONES:
a) CALCULO DEL NUMERO DE REYNOLDS
) ( 971.? 8 958.4 4971.8)358353 968.45 971.4 +(958.373353 4352)358353 31033.5 0.0003 ∙ 352+(278.373353 968.45 40. 1 216 0.10. 0003 ∙ ,,. DENSIDAD
FLUJO TURBULENTO
0 . 1 216 0 . 1 216 ̇ 4 0.41 0.0078 15.5397
b) CALCULO DE LA CAIDA DE PRESION
∙ 352? 278
15. 5 397 ℎ 2 0.35 29.81 4.3355 ∙ (968.45 )9.81 9,500.4945 ∙ℎ (9,500.4945 )4.3355 41,189.3939
,. 41,189.3939 (41, 1189.3939 )(101. 1 325) . c) DETERMINE FX Y FY EJERCIDAS EN EL CODO.
0 . 1 () (0.15) 0.4444 0. 1 4 4 0.0078 0.15 0.1 0.05
P ara Fx
1 )[(10 7 ∙ 0.41444)cos45+(12) 0.4444] (968.45 )0.1216 (0.0078 +191,504.25 0.00780.41444 cos60 2,001.5946 ∙ +2,305.0068 , . 1 ) 45 (968.45 )0.1216 (0.0078 (191,504.25 )0.007845 0.05(968.45 )9.81 1,298.1975 ∙ 1,056.2288 +3.7308 P ara Fy
2,350.6775 √ 4,306.6014 + 2,350.6775 , . tan 2,4,3306.50.66014775 61.3729° ≈ ° Fuerza resultante
d) Angulo del codo
Campo de utilización, estudio de limitaciones, ejemplos para diseño. En las condiciones enunciadas es válido para flujo en conductos de sección circular anular, rectangular, para películas de fluido descendentes en planos o cilindros, canales abiertos, etc. Muchos procesos de transferencia que tiene lugar en las industrias químicas, así como en trabajos de investigación y proyecto, pueden ser descritos mediante los mecanismos y las ecuaciones de transporte molecular; pero también se cuenta con un número elevado de situaciones en las que el mecanismo de transferencia es turbulento. Cuando se diseña un nuevo proceso o cuando se analiza uno ya existente, es necesario tener en cuenta las restricciones impuestas por la naturaleza. Por ejemplo, si en un reactor se queman 8 kg de azufre, no podemos esperar que en los gases de combustión haya 15 kg de azufre ¿Por qué es necesario estudiar balances de cantidad de movimiento? La respuesta es que los balances de cantidad de movimiento son casi siempre un requisito para otros cálculos en la solución de problemas ingenieriles ya sean estos simples o complejos. Además, las técnicas que se emplean en el análisis de balances de cantidad de movimiento son transferidas con facilidad a otro tipo de balances (por ejemplo análisis de costos). En las industrias de procesos, los balances de cantidad de movimiento auxilian en la evaluación económica de procesos propuestos o existentes, en el control de procesos y en la optimización de los mismos. Por ejemplo, en la extracción del aceite de soja a partir de los granos de soja, se podría calcular la cantidad de solvente requerido por tonelada de soja o el tiempo necesario para llenar el filtro prensa y valerse de esta información en el diseño del
equipo o en la evaluación económica del proceso. Se pueden emplear varios tipos de materias primas o procesos para obtener un mismo producto final pero sólo algunos procedimientos pueden ser técnicamente posibles o rentables. Los balances de cantidad de movimiento también pueden usarse en las decisiones de operación de los gerentes de las plantas a cada momento y a diario. Si en un proceso hay uno o más puntos en los que resulte imposible o antieconómico reunir datos, entonces si se encuentran disponibles otros datos que sean suficientes, haciendo un balance en el proceso es posible obtener la información que sea necesaria acerca de las cantidades y composiciones en la posición inaccesible. En la mayor parte de las plantas, se reúnen bastantes datos sobre las cantidades y composiciones de las materias primas, productos intermedios, desperdicios, productos y subproductos y que son usados por los departamentos de producción y de contabilidad, pudiendo integrarse en una imagen reveladora de las operaciones de la empresa.
La analogía entre la trasferencia de cantidad de movimiento y la transferencia de masa o calor, es válida solo si no hay “arrastre de forma”. Entonces la analogía no puede ser aplicada a cualquier flujo en el que se presente desprendimiento de la capa límite. Por ejemplo en flujo alrededor de esferas, de cilindros u otros objetos curvos, o en flujo perpendicular a tuberías. El flujo en ductos y el flujo sobre placas planas si aplican para la analogía. Un segundo punto a considerar es que la transferencia de masa o de calor pueden distorsionar los perfiles de velocidad, especialmente bajo el efecto de fuerzas de arrastre grandes. La analogía no se mantiene si el perfil de velocidad hallado vía transfer encia de momentum difiere del presentado por la transferencia de masa y calor. Para que cualquier analogía de flujo turbulento sea válida, las condiciones de frontera utilizadas para resolver las ecuaciones diferenciales, deben ser análogas. En la práctica todos los equipos de transferencia de masa, el fenómeno ocurre entre dos fluidos, mientras que la transferencia de momentum ocurre entre fases fluidas y sólidos. En tales casos, la analogía es imposible. Las operaciones unitarias son una serie de etapas individuales y diferentes que son comunes a las industrias de procesos químicos, físicos o biológicos estas etapas similares entre si y de uso obligatorio en los procesos de transformación requieren de la transferencia de materiales y/o energía tanto por medios físicos como químicos. Estas operaciones unitarias tienen ciertos principios básicos o fundamentales comunes. Por ejemplo, el mecanismo de d ifusión o de transferencia de masa se presenta en el secado, absorción, destilación y cristalización.
