BALOTARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE FUNCIONES ANALITICAS UNIVERSIDAD UNIVER SIDAD NACIONAL MA YOR DE SAN MA RCOS FACUL TAD DE INGENIERIA INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INGENIERIA ELECTRONICA
1. Demuestren los siguientes límites:
Solución: Sabemos que:
l→im →lim 1 1 1 l→im 1 1 1 1 l→im 1 1 1 11 l→im 1 1 1 1 0 1 11 0 1
Así que damos forma a la expresión:
1 2 1 2 1 lim→ 1 li→m 11 →lim 1 1 l→i m 1 1 1 →lim 1 2 l→im 1 1 1 10 1
Solución:
Además sabemos que:
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l→im √ (√ 2√ 2 √ 1) 212 2 2 1 ) √ l→im √ (√ 2√ 2 √ 1) ((√ √ 2 2 √ 1) 21 l→i m √ (√ 21 l i m √ 2 2 √ 1) → (√ 2 2 √ 1) 21 l→i m 1 2221 1 1 1 1 l→im √ (√ 2√ 2 √ 1) 212 2. Analicen la convergencia de las siguientes series
1 l→im [1 1 + ] l→i m 1 321 21l 1 13] l→i m [1 l→im [ 2 3] l→i m 1 23⁄ 2 l→im[1 1 + ] > 1 ∴ =
Por Criterio de Raabe para
Por Criterio de raíz para
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l→im √ (√ 2√ 2 √ 1) 212 2 2 1 ) √ l→im √ (√ 2√ 2 √ 1) ((√ √ 2 2 √ 1) 21 l→i m √ (√ 21 l i m √ 2 2 √ 1) → (√ 2 2 √ 1) 21 l→i m 1 2221 1 1 1 1 l→im √ (√ 2√ 2 √ 1) 212 2. Analicen la convergencia de las siguientes series
1 l→im [1 1 + ] l→i m 1 321 21l 1 13] l→i m [1 l→im [ 2 3] l→i m 1 23⁄ 2 l→im[1 1 + ] > 1 ∴ =
Por Criterio de Raabe para
Por Criterio de raíz para
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1 lim 2 12 lim ‖‖ < 1 ∴ = 1 1 1 → = 2 1 2 3 = 1 = 3 + + 1 1 + →lim l→i m 1 3 l→i m 1 . 1 l→im + l→i m 1 1 √ 12 l→im + < 1 ∴ = 1 3 → →
Entonces:
Por criterio de la raíz:
a)
Por criterio de la raíz
1 = 34 1 1 l→im 34 →lim 34 1 ‖‖ →lim √ 52 l→im ‖‖34 l→im √ 52 √ 52 < 1
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b)
A= En A:
1 ∴= 34 1 2 = 1 3 ∑= ++ ∑= ;
B=
Por criterio de comparación Si
lim→ >0
, entonces se puede usar este criterio;
lim
Sabemos que: Entonces A = En B:
→
1>0 1 ≥ 1 1
∑= ∑= ++
=
; si cumple
es convergente; es convergente
Por criterio de la raíz
>0 lim→ ∑= 1 2 = 1 3
Entonces la serie B=
;
es convergente
Por lo tanto como las series A y B son convergentes entonces la serie :
3. Resuelva los siguientes ejercicios
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0
2) De
las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene ,
que sería igual a
= 0 , esta última ecuación multiplicado por el
0
número imaginario se tiene Sumando
.
0
0 0 0 0 Se obtiene
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0 ̅ 2 ̅ 0 ̅ 0 De la igualdad
Demuestre que f tiene inversa talque ( f
f 1 ) z z
, ≠0 ,, ∈ ℂ − , ≠0 ,, ∈ ℂ ∞lim→ ++ ≠0 lim→−/ ++ ∞ ≠0 , ≠0 Demuestre que
La condición se pide para que w=w(z) sea invertible. En efecto, despejando z en función de w, se obtiene la inversa de la transformación de Moebius.
Hemos probado así la primera de las propiedades de una transformación de Moebius. Entonces toda transformación de Moebius es invertible y su inversa es otra transformación de Moebius. Consideremos la composición de dos transformaciones de Moebius:
→ , ≠0 ; → , ′′′′≠0 ′′′′′′′′ →
La transformación compuesta es:
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′′ ′′ ′′ ′′ ∙ ≠0 ; ≠0 ′ ′ ≠0 ++ ; − −+− + −+ − − + −−+ +
Dónde:
Como el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes, y por hipótesis y la transformación compuesta es una transformación de Moebius. Hemos probado la siguiente proposición: Entonces:
La composición de estas dos funciones seria
6. Muestre que una transformación de Mobius lleva circunferencias o rectas en circunferencias o rectas.
Sea f z
az b cz d
; ad bc 0; a, b, c, d C una transformación de
Mobius I.
Si
c
0
f z
az b
d
f z z ; Donde
a d a
z
d
y
b d
b d
Vemos que f z es una función polinomial entonces es una función entera. Pues la transformación w f z se reduce a una traslación cuando
II.
1 o una rotación sí 1
Ahora w z
z x iy
1
.
ecuación de cualquier recta o circulo entonces
z
A x 2 y 2 2 Bx 2Cx D 0; A, B, C , D R.......................m Si A 0 y B , C son diferente de cero, resulta una recta. Y A 0 y
B 2 C 2 AD >0 resulta un circulo. 2 2 Sabemos: x y z z 2 x z z
2 y
i
z z
Remplazando en (m):
Az z B iC z B iC z D
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0
n
………………..
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BALOTARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE FUNCIONES ANALITICAS Si A 0 y B iC 0 resulta una recta SI A 0 y B
2
C 2 AD >0 resulta un circulo.
Ahora obtenemos la imagen de la línea (n) en la transformación
w
1
z
1
sustituyendo z en (n) por
B iC
1
B iC
1 w
1
D 0 ………………p ww w w Sea E B iC , entonces Dww Ew Ew 0 De aquí se deduce que si D 0 esta es una ecuación de una recta D 0 Es la ecuación de un círculo. A
Queda demostrado que la imagen de una recta o de un circulo bajo la 1 transformación w es una recta o un circulo.
z
III.
Sea f z M entonces f z w Entonces f z
az b cz d
bc ad 1 c c cz d
a
Supongamos: z 1 f 1 z cz d y z 2
w f 2 z 2
a c
;c 0
bc ad c
z 1
1
z 1
z 2 Entonces f z f 1f 2
Como en cada una de las transformaciones f 1 , yf 2 la imagen d una recta o circulo es una recta o un circulo, la transformación f z posee la misma propiedad.
7. Sea la función f ( z )
Sea la función
f ( z )
z 2 3 z 2 1
z 2 3 z 2 1
, halle la derivada de f ( z ) , cuando z
, halle la derivada de f ( z) , cuando z
1 3 ´ 126 3 1 3 16 ´ 9 6 112
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3 ´ 9 6121 1 3 ´ 9 6121 1 3 l→im ´lim→ 9 6121 1 3 12 1 li→m 9 6 1
− + + li→m −+ 0
0
0
0
0
0 Escriba aquí la ecuación. =
8. Enuncie y demuestre: a.
El teorema de Cauchy de la integral en un contorno de una región conexa e indique dos ejemplos.
Solución: Demostración del teorema de Cauchy.
Sea
una función analítica en A, A simplemente conexa y suave a trazos, entonces:
0 ∫ ∫ ∫ , , Se conoce que:
, donde
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′ ∫ ∫ ∬ ∬ ……………1 ∬ ……………2 ∬ ∬ …………3 …………4 000
Como
es continua en A, entonces existe
, tal que z pertenece a A y
es
continua en A, es decir que existen y son continuas en A, entonces podemos aplicar el teorema de Green a las integrales
, es decir:
Sumando (1) y (2) se obtiene:
Como
es analítica en A, entonces se cumple las ecuaciones de Cauchy Riemann.
Reemplazando 4 en 3 se obtiene:
Ejemplo 1: Hallar:
Siendo C la curva de la figura.
∮ − 1
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Primero:
− 1 → → 1− → − → 1 → Luego:
Es una función derivable. Entonces al elevar al cuadrado también es una función derivable. Es una función derivable.
También es una función derivable. También es derivable.
Entonces una función derivable entre otra derivable. Igualamos el denominador a 0
Entonces en En el grafico
− →
También es derivable.
−−10 − 1 10 1 :¢ 1} → ¢
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Para aplicar el teorema de Cauchy es necesario: Un abierto simplemente conexo que contiene la curva y su derivada sea continua y que la curva sea cerrada
≫ :→ ¢
S es el abierto simplemente conexo, la curva es cerrada.
Entonces por el teorema de Cauchy el resultado es 0 Ejemplo 2 Hallar
∮ 39
Siendo C la elipse de centro 0 y semiejes 1 y 2.
Primero:
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3 9 → → 1→ → 3→ −+ → −+ → Luego:
Es una función derivable Entonces al elevar al cuadrado también es una función derivable Entonces al elevar al cuadrado también es una función derivable
Es una función derivable También es una función derivable
Entonces una función derivable entre otra derivable
−+ →
Es derivable
El seno también es derivable Al elevar al cuadrado también es derivable
Igualamos el denominador a 0
Entonces en En el grafico
30 3 :¢3} → ¢
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Para aplicar el teorema de Cauchy es necesario: Un abierto simplemente conexo que contiene la curva y su derivada sea continua y que la curva sea cerrada. S es el abierto simplemente conexo, la curva es cerrada.
:→ ¢
Entonces por el teorema de Cauchy el resultado es 0
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La Fórmula de la Integral de Cauchy
La fórmula de la integral de Cauchy indica si f es una función analítica en el interior y sobre los puntos de una curva cerrada simple , los valores interiores de están completamente determinados por los valores de f sobre Teorema:
.
21 ∮
Sea F(z) una función analítica en el de una región R y de una curva simple, si interior a , entonces:
Demostración: La función
−
, es analítica dentro y sobre la curva , excepto en el punto
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es un punto
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Del teorema de Cauchy se tiene
∮ ∮ ………………1 | | 0≤≤2 ∮ ……………2
Como se puede elegir como un círculo de radio con centro es:
; luego una ecuación para
Donde:
Entonces:
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BALOTARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE FUNCIONES ANALITICAS Ahora reemplazamos (2) en (1) y se obtiene lo siguiente:
∮ →0 l→im ∮ l→im ∮ 2 21 ∮
Tomando límites a ambos cuando
Donde:
Ejemplo 1 Calcular la integral
Donde
∈ || 4}
∮
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Entonces Reemplazando:
∮ 22
Ejemplo 2 Calcular
Donde
:|| 1
∮ 8
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A la integral
Se puede expresar
Entonces
Es analítica en el interior del círculo
Está en el interior a
∮ 8 8 ∮ 81 :|| 1 0
Luego la formula integral de Cauchy:
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1 2 ∮ 8 2 0 0 08 4
9. Resolver la ecuación senz 2
2 1 − 2 2 2 1 1 4 12 4 ±√ 16 4 2 ± √3 1 2 ± √3 2 ± √3 2 ± √3 2 2 2 ± √3 2 2 2 ± √3 ∈ 2 2 (2 √ 3) 2 2 (2 √ 3)
Resolver la ecuación
Empezamos utilizando la definición de la función seno:
De aquí obtenemos:
. Esta es una ecuación de segundo grado
en eiz y sus soluciones son
Entonces, las soluciones de la ecuación propuesta verifican:
Es decir, para cada n
Z tenemos dos soluciones:
10. Estudiar la singularidad de la función f ( z )
z senz
.
11. Describa las diferencias de los resultados en la secuencia de figuras:
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15. 1.- Si m y n son enteros demostrar que:
Solución:
−02,,
≠ ≠
Nuestra integral toma dos valores distintos. Esto se da cuando procederemos a analizar caso por caso Si
:
y
−
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, por lo que
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202 ≠: − − − 1 2 1 1 − − − 0 − − 2 á ú
Si
Nos damos cuenta que los complejos:
son iguales ya que el . Por lo tanto, esta diferencia nos da cero.
≠ cos coscos 0, ≠0. ≠;
2-Utilizar el apartado anterior para deducir las relaciones de ortogonalidad de las funciones seno y coseno: si m y n son enteros positivos y , entonces
Solución Del dato
entonces, a partir de la pregunta anterior:
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− 0
Teniendo en cuenta la forma exponencial de los números complejos, se puede descomponer de la siguiente manera:
∫( )0
..(1)
–
Para poder reducir esta expresión, tenemos podemos tomar un caso particular para n para lo cual aún nuestra integral conservaría su valor de cero
−− 0
∫( )0 2 2 0 0 ∧ 0 0 – – 0 0 0 …3 2…4
..(2)
Sumando (1) y (2)
Por lo tanto, para que se cumpla esta igualdad:
Reemplazando estas igualdades en (1):
Finalmente, podemos sustituir m por n en la igualdad (1) como lo hicimos anteriormente en (2) al cambiar n por n
Pero, se sabe en el siguiente caso particular que:
Y si sumamos (3) y (4):
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22
≠
Deducir las relaciones de ortogonalidad de las funciones seno y coseno: si m y n son enteros positivos y m n, entonces:
sennx.senmx dx ∫ cosnx.cosmx dx c osmx dx ∫∫ sennx. ∫ sen dx ∫ cos dx ≠ =
=
=
=
= 0 ------(1)
si n 0 ------------------------(2)
SOLUCIÓN:
Comprobando el resultado de las integrales de la primera parte: 1.-
∫ .
Usando la identidad trigonométrica Sen (a) + Sen (b) = 2.Sen (
+
−
).Cos (
22 sennx.cosmx dx
)
∫senn mx senn mx dx ∫ senn mx dx ∫ senn mx dx =
=
∫ −−++ .senn mx dx ∫ −−−− .senn mx dx . s en n m x dx ∫ ∫ −+ −− .senn =
=
+
+
+
=
mx dx 2 2 cos nmx cos nmx −+ 0 −− 0
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+
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=
2.-
−+ cos2πn m cos0} −− cos2πnm cos0} +
∫ .
=0
Usando la identidad trigonométrica
Cos (a) - Cos (b) = -2.Sen (
+ − ).Sen (
)
22 sennx.senmx dx ∫cosn mxcosn mx dx
=
∫ cosn mx dx ∫ ++ .cosn mx dx =-
=-
=
+
+
∫ cosn mx dx ∫ −− .cosn mx dx
+ ∫ .cosn mx dx − ∫ .cosn mx dx + sennmx 20 − sennmx 20 + sen2πnm sen0} − sen2πnmsen0} =
=
3.-
∫ .
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+
=0
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Usando la identidad trigonométrica Cos (a) + Cos (b) = 2.Cos (
+
).Cos (
22 cosnx.cosmx dx
−
)
∫cosn mx cosn mx dx ∫ cosn mx dx ∫ cosn mx dx =
=
+
∫ ++ .cosn mx dx ∫ −− .cosn mx dx + ∫ .cosn mx dx − ∫ .cosn mx dx + sennmx 20 − sennmx 20 =
=
+
=
=
+ sen2πnm sen0} − sen2πnm sen0} +
=0
≠
Se comprueba que las integrales de la primera parte resultan cero para n m Comprobando el resultado de las integrales de la segunda parte:
1.-
∫
Usando la identidad trigonométrica
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Sen − 12 cos22nx dx ∫ dx ∫ dx ∫ dx ∫ dx 2π ∫ 2n cos2nxdx π sen2nx 2π0 π (a) =
=
)
-
=
-
= (
)-
= -
2.-
∫
=
Usando la identidad trigonométrica
Cos + 12 cos22nx dx ∫ dx ∫ dx ∫ dx ∫ dx (a) =
=
=
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)
+
+
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