BALOTARIO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA
MCM-MCD Problema 01 ¿Cuántos divisores comunes tienen los números: 5040; 6720 y 12600? a) 16 b) 20 c) 32 d) 40 e) 24 Solución: Para calcular la cantidad de divisores comunes de 5040; 6720 y 12600, se siguen los dos pasos siguientes: 1.2.-
Se halla el M.C.D. Se halla la cantidad de divisores del M.C.D.
Es decir: 5 0 40
6 72 0
1 26 0 0
2
2 5 20
3 3 60
6 3 00
2
12 6 0
1 6 80
3 1 50
2
63 0
84 0
1 5 75
21 0
28 0
42 6
M.C.D.
2
3
3
12
3
42
2
24
3
36
2
63
2
21
B C
a) 9 6 4 2
2
b) 54 4 2
d) 2 7 4 2
3
e) 1 08 4 2
4
A
3 7
B
2 3 7
C
2
2
3 2 2
2
3
3
3
2
3 2 2
2
7
3
3
3
7
11
2
2
7
6
2
4
3
3 6
3
5
3 M.C.D.
M.C.D. A, B, C
2
2
3
3
525
5
M.C.D. .C.D. A, B,C
56
105
7
8
15
5
1
3
4
7 1
Siendo: A 1 1
32
2 2 2
1
1
Rpta.
Solución: Para calcular el menor número que contenga a 48;90 y 96, basta con calcular el M.C.M. de dichos números. 48
90
96
2
24
45
48
3
8
15
16
2
4
15
8
2
2
15
4
2
1
15
2
2
1
15
1
15
1
1
1
2
5
2
7 2
7
2
2 3 7
1 08 42
2
n
16 2 0
Hallar el valor de “n” n a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
1
c) 4
Solución: Descomponiendo canónicamente A y B 2
A
2
B
3 5
3
3 5 2
2
3
M.C.D. A, B Del dato: 3
n 1
n 1
n 1
4
n
2
n
2
2 2
2
3
2n
3
n 1
3
n 1
5
n 1
n
5
5
20 3
1620 81
n
3
4
3
Rpta.
Problema 05 Hallar “n” en los números: A
45 6 0
n
B
60 4 5
n
Para que se cumpla:
2 3 2 2 2 2 15 1440
Nos piden la cifra de mayor orden: 1
n
B 1 5 12 12 Además: M.C.D. A, B
20 3
M.C.M.
1 2 15 15
M.C.M .C.M.
Rpta.
a) 1 d) 4
A, B
12 M.C.D. .C.D. A, B
b) 2 e) 5
c) 3
2
Rpta.
Problema 04
1
1 1
c) 6 42
4
7
4
1
3
Solución: Descomponiendo canónicamente cada número:
2
Problema 02 ¿Cuál es el menor número que tiene como divisores a: 48; 90 y 96? Dar como respuesta la cifra de mayor orden del número calculado. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
M.C.M. M.C.M .C.M..
4
A
M.C.D. A, B, B, C
# D M.C.D.
# DM.C.D.
Problema 03 Calcular el M.C.D. de A, B y C
n 1
4
Solución:
Completando el algoritmo de Euclides de derecha a izquierda.
Descomponiendo canónicamente A y B A B
3 2
2
2
5
2
2
3 5
n
3 5 3
2
n
5
2
2n
3
2
2
2n 1
3
n 2
5 5
n 1
A
2
M.C.M. A, B Del dato:
2
2
3
2n
n 2
3
5
2n 1
5
B
n 1
2n
3
2n 1
5
n 1
12 2
2
3
n 2
5
n 1
2
2n
3
2n 1
5
n 1
12 2
2
3
n 2
5
n 1
2n
2n 1
5
n 1
2
4
3
n 3
5
4
7ab
3
7a b
2ab
7a b
2ab
ab
ab 0
30a b
A 5 30a b 7a b 157a b Además del dato: A B 5 79 7 1 57 57 ab ab
n 1
3 0a 0a b
5 79 79 7
1 87 87 ab ab
5 79 79 7
31
Luego:
2 2 2
2
2a b
ab
n n
3
n 1
2
2 3 Luego: 2n 4 2n 1 n
4
n 1
Luego: M.C.D. A, B
5 B
a
4
b
Rpta.
Rpta.
Problema 06 Hallar dos números cuyo M.C.D. es 12, sabiendo además que los cocientes sucesivos para hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas fueron: 1; 2; 2; 3; 3 . a) 672 y 1144 b) 144 y 948 c) 873 y 948 d) 672 y 948 e) 565 y 346
Problema 08 Hallar la suma de dos números si se sabe que en el cálculo del M.C.D. por el “Algoritmo de Euclides” se obtuvieron como cocientes sucesivos: 3; 1; 2 y 4; además el M.C.M. de dichos números es 1872. a) 183 b) 122 c) 61 d) 305 e) 244
Solución:
Solución:
Sean A y B los números, tal que A > B, donde:
Sea: M.C.D. A,B
M.C.D. A,B
12
Completando el algoritmo de Euclides de derecha a izquierda.
A
B A
1 B 276
2 276 120 1 67 6 72 276
2 276 120
2 120 36
3 36 12
3 12 0
672 948 672 y 948
Además: M.C.M. A,B Completando:
A
ab , sabiendo que los cocientes sucesivos que se obtuvieron al hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas han sido: 5; 4; 3 y 2. Además: A B 5797 . Hallar a b a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Del enunciado: M.C.D. A,B
ab
M.C.D. A,B A,B
2 4d d
4 d 0
M.C.M. A,B A,B
1872 d
Resolviendo:
3
d 13 3 39 A 48 3
Nos piden: A B
144
183
Rpta.
Problema 09 Hallar x y sabiendo que los cocientes sucesivos para calcular el máximo común divisor por el Algoritmo de Euclides de los números: x
Solución:
1 9d 4d
Luego: 13d 4 8 d B
Problema 07 Si el máximo común divisor de dos números A y B es
3 B 9d
1872
B 1 9 d 4 d 1 3d A 3 13d 9d 4 8 d Se sabe:
A B
Rpta.
d
2
y 1 0 y x
1;1;1;3y2 a) 11 d) 12
1 xy fueron:
b) 13 e) 9
c) 15
Solución: Sea: d
M.C.D.
x
2
y
1 0, x
1 xy
Luego, completando el algoritmo de Euclides (de derecha a izquierda) tenemos: Nota: x 1 xy
x
2
y 1 0
1 x
x 1 xy
2
y 1 0
9d x
2
Solución:
1 9d
1 7d
3 2d
2 d
Si A y B son “primos entre sí” sí” (PESI), entonces: M.C.D. A,B
1
7d
2d
d
0
M.C.M. A,B A,B
A B
Luego, del enunciado: A 22 A B 7 A B 330 B 15 Nos piden la suma de cifras de B, es decir: 6 Rpta. 1 5
1 6d …(1)
y 1 0
x 1 xy
…(2)
25d
Problema 11 Hallar dos números primos entre sí, que se diferencian en 7 unidades y que además su M.C.M. es 330. Dar como respuesta la suma de cifras del menor de dichos números. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
De (1) se observa que: x 2 De (2) se deduce que: o
x 1 xy
25
x
7
Luego: x
y
xy
75 y
12
5
Rpta.
Problema 10 La suma de dos números es 972 y al determinar el M.C.D. por el Algoritmo de Euclides se obtienen los restos 30; 7; a; b; 0 donde la diferencia entre a y b es 1. Hallar el mayor de los números si los dos primeros cocientes son iguales. a) 815 b) 637 c) 429 d) 324 e) 157 Solución: Del enunciado: A B Además:
Solución: Si “A” es múltiplo de B” (A>B), entonces: M.C.D. A, B
B
m en en or or
M.C.M. A, B
A
m a yo yo r
Luego, del enunciado: A B A
…()
97 2
Problema 12 El cociente de dos números es 13, si el M.C.M. de A y B es 312. Calcular la suma de dichos números. a) 346 b) 354 c) 336 d) 356 e) 332
o
13
A
B
3 12
Nos piden: A B A
q
q
q3
q4
q5
B 30
30 7
7 a
a b
b 0
Luego: B
30q
7
A
qB
30
…(1) …(2)
B
312 31 2 13
336
24
Rpta.
Problema 13 La suma de dos números es 224 y su M.C.D. es 28. Hallar la diferencia de dichos números (una de las soluciones). a) 124 b) 84 c) 112 d) 56 e) 28
Reemplazando (2) en (): qB
30
B
B q
1
De (1): 30q 7 30 q q
7 1
A
942
q
1
942
q
1
157
6 B
Solución: Sean A y B dos números, siendo A M.C.D. A,B d , entonces:
972
30 q
97 2 1 5 7
q 7
A
B
dq 2
(siendo q 1 y q 2 “primos entre si”) En el problema: A B 224 …(1) d 28 A 28 q 1 B 28 q 2
6
5 1 57
815
dq1
B y además:
Rpta.
Reemplazando en (1): 28 q1 28 q 2 224 q1 q 2
7
1
Además: A dq1
8
q1
5 3 Se presentan 2 soluciones: A 28 7 196 A B B 28 1 28 A
28 5
1 40
B
28 3
84
A B
q2
B
dq 2
Se cumple: m
d q 1q 2
45 20 20
dq 1
En el problema: A B
168 56 5 6
Rpta.
Como q 1 y q 2 son “PESI”, entonces: q1
Problema 14
q1 q2
9 4
q2
m
El producto de dos números es 2100 y su M.C.D. es 10. Hallar la diferencia de dichos números. a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40
dq 2
45 20
9 4
d q 1q 2
900 d 9 4 d 25
Finalmente: A
25 9
225
Rpta.
Solución: Del enunciado: A B 2 1 00 d 10 Sabemos que: A B
Problema 16 …(1) dq 1
dq 2
Luego:
A
1 0q 1
Solución:
B 1 0q 2 Reemplazando en (1): 10q 1 10q 2 21 00 q1 q2
21
1
7
3
A B
21
q1
q2
45(
sabe que que 540 se sabe
A
10 21
21 0
B
10 1
10
A
10 7
70
B
10 3
30
A B
2 00 40
Rpta.
Problema 15 La razón de dos números A y B es 45/20, si el M.C.M. (A,B) = 900. Hallar “A”. a) 275 b) 225 c) 200 d) 325 e) 175 Solución: Sean A y B dos números, luego: M.C.D. A,B d m
m cd m cd
A B
45 4 5
) 1 2 como alfa y beta deben de ser primos entre si elegimos los siguientes valores para ambos. 11 y 7 luego se tiene dos respuestas 1 y 5 A B A B 22 5
A B
A B
) 54 540
(
Se presentan 2 soluciones:
M.C.M. A,B
La suma de números es 540 y su M.C.D. es 45. Hallar la diferencia de dichos números. a) 455 b) 120 c) 101 d) 225 e) 125
4 5 (1 (1 1 1) 1) 4 5 (7 (7 2)
Rpta.
45 0 2 25
1. Cuál es el MCD de los números: 765; 935 y 1615. a) 5 b) 55 c) 85 d) 15 e) 65 2. Cuál es el MCM de los números 196; 70 y 500. a) 32500 b) 64500 c) 52400 d) 25400 e) 24500 3. Hallar la suma de las cifras de sumar el MCM y MCD de los números: 120; 360 y 480. a) 1560 b) 120 c) 1440 d) 12 e) 8 4. Hallar la cifra de mayor orden de la diferencia entre el MCM y MCD de los números: 560; 480 y 720. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 5. Hallar la cifra mayor de él producto de multiplicar el MCM y MCD de A; B y C, si.
a) 0 d) 8
2
36 36
B
14 14
C
35 42 22 b) 4 e) 9
3
20
3
A
16
2 2
c) 6
6. Hallar el MCD de los números 48 y 37 por el algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los cocientes obtenidos. a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 11 7. Hallar el MCD de los números 134 y 98 por el Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los restos encontrados por dicho método. a) 136 b) 96 c) 100 d) 10 e) 84 8. Hallar el MCD de los números 56 y 24 por el Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los cocientes encontrados. Sabiendo que las divisiones se hicieron por exceso. a) 7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 9. Hallar el MCD de los números 129 y 93 por el Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los cocientes por exceso encontrados. a) 121 b) 87 c) 13 d) 93 e) 64 10.Hallar 10. Hallar el mayor de dos números cuyo MCD es 5 y los cocientes obtenidos de hallarlo por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3; 3; 2; 1; 2 y 2. a) 455 b) 895 c) 735 d) 1055 e) 1790
11. Hallar la diferencia de dos números cuyo MCD es 13 y los cocientes sucesivos de hallarlo por el Algoritmo de Euclides son: 2; 1; 2; 1 y 2. a) 123 b) 247 c) 390 d) 143 e) 533 12. Hallar la suma de dos números cuyo MCD es 6 y los cocientes obtenidos por el Algoritmo de Euclides son: 2; 2; 2; 3; 2; 2 y 2. a) 258 b) 144 c) 114 d) 30 e) 4686 13. La suma de dos números es 764 y los cocientes sucesivos de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3; 4 y 5. Hallar el mayor de los números. a) 124 b) 640 c) 450 d) 314 e) 520 14. La diferencia de dos números es 1545 y los cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 5; 4; 3; 2 y 2. Dar como respuesta la suma de las cifras del menor. a) 18 b) 11 c) 10 d) 9 e) 14 15. El producto de dos números es 3822 y los cocientes obtenidos de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 3; 2; 2; 2; 2 y 2. Dar como respuesta la suma de las cifras de la diferencia de los números, si las divisiones fueron por exceso. a) 13 b) 7 c) 10 d) 6 e) 15 16. Hallar la diferencia de dos números PESI (primos entre sí) si los cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 1; 2; 1; 2 y 2. a) 1 b) 34 c) 97 d) 71 e) 26 17. Hallar el MCM de dos números relativos, si los cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 2; 1; 2; 1; 2 y 2. a) 1 b) 26 c) 1973 d) 71 e) 1846 18.Se 18. Se tiene tres depósitos llenas de vino, cada uno conteniendo 780 litros, 660 litros y 1020 litros, se desea desocupar en recipientes de la mayor capacidad posible de tal manera que no sobre ni falte. Cuál es la capacidad de cada recipiente. a) 80 litros b) 120 litros c) 1 litro d) 20 litros e) 60 litros 19. Se tiene tres sacos con arroz que contienen: 195kg, 285kg y 255kg y se desea embolsar embolsar en saquillos que tenga la mayor capacidad posible
de tal manera que no sobre ni falte. Cuantos saquillos como mínimo se usaran. a) 13 b) 15 c) 3 d) 19 e) 49 20.Se 20. Se tiene cuatro fardos de tela con 420m, 540m, 450m y 360m cada uno y se desea obtener pedazos de la misma longitud de tal manera que no sobre ni falte. Cual es la menor cantidad de cortes necesarios para obtener estos pedazos. a) 59 b) 30 c) 55 d) 11 e) 17 21. Un alumno que postula a Medicina se baña cada 30 días, un aluno que postula a Ingeniería se baña cada 50 días y un aluno que postula a Turismo cada 70 días. Si el día de hoy los tres se bañaron. Dentro de cuantos días se volverán a bañas otra vez el mismo día. a) 105 días b) 850 días c) 2060 días d) 10 días e) 1050 días 22. Cesar, Alex y Frank visitan a Venus la diosa del amor cada 8; 9 y 12 días respectivamente. Si la visitaron juntos el 10 de Julio. ¿Cuál será la fecha más próxima en la que los tres visitarán de nuevo a la diosa del amor? a) 21 de septiembre. b) 20 de septiembre. c) 19 de septiembre. d) 18 de septiembre. e) 17 de septiembre. 23. Un médico le dice a su paciente que tomara una pastilla azul cada 10 horas, una pastilla verde cada 12 horas y una pastilla amarilla cada 18 horas. Si su tratamiento empezó tomado las tres pastillas el día 12 de diciembre del 2005 a las 6p.m. ¿Cuándo y a que hora volverá a coincidir tomando las tres pastillas? Y cuantas pastillas amarillas tomo hasta la fecha. a) 20 de diciembre a las 6 a.m.; 11 pastillas. b) 20 de diciembre a las 6 p.m.; 10 pastillas. c) 20 de diciembre a las 6 a.m.; 10 pastillas. d) 19 de diciembre a las 6 p.m.; 11 pastillas. e) 18 de diciembre a las 6 p.m.; 10 pastillas. 24.Tres 24. Tres ciclistas parten simultáneamente y de la misma línea de partida en una pista circular. En cada vuelta tardan respectivamente: 1 min. 12 seg.; 1 min. 30 seg. y 1 min. 45 seg. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista, cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida? a) 35; 28 y 25 vueltas. b) 35; 28 y 20 vueltas. c) 30; 28 y 26 vueltas. d) 35; 28 y 24 vueltas. e) 24; 28 y 35 vueltas.
25.Las 25.Las dimensiones de un ladrillo son 8x14x24 ¿Cuántos ladrillos como mínimo se deben de usar para construir un cubo? a) 35 b) 1600 c) 840 d) 1701
e) n.a.