Modul 5
Sebaran Normal Peubah acak X yang menyebar secara normal dengan fungsi kepekatan peluang: 1 x μ σ
f(x) =
1 e 2 σ 2π
2
, X
0 , x lainnya
Peubah acak normal baku : f(z) =
Z
X μ σ
1 12 z 2 e , z 2
0, z lainnya Nilai harapan peubah acak X = dan ragam 2, sedangkan peubah acak Z mempunyai nilai harapan = 0 dan ragam = 1.
1
-σ
-1
μ
σ
0
1
X
Z
Gambar 1. Kurva peubah acak normal X dan peubah acak normal baku Z. bμ aμ Z P Z 1 Z Z 2 σ σ
P a X b P
Z1
a μ σ
, Z2
b- μ σ
P(Z1
Contoh soal: Diketahui X menyebar secara normal dengan = 50 dan =10. Carilah peluang bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62. Petunjuk: P 45 X 62 P 0,5 Z 1,2 P Z 1,2 P Z 0,5 0,8849 0,3085 0,5764
Hampiran Normal Terhadap Binom Bila X peubah acak Binom dengan nilai tengah = np dan ragam 2 = np(1-p) maka bentuk limit sebaran normal baku: Z
X np , bila n n p 1 p
Contoh soal: Suatu ujian pilihan ganda terdiri atas 200 soal masingmasing dengan 4 pilihan dan hanya satu jawaban yang benar. Tanpa memahami soal sedikitpun masalahnya dan hanya dengan menerka saja, berapakah peluang seorang mahasiswa menjawab 25 sampai dengan 30 soal dengan benar, untuk 80 dari 200 soal? 3
Petunjuk : P 25 X 30 P 24,5 X 30,5 P 1,16 Z 2,71 0,1196
Contoh Soal. 1.
Untuk sebaran normal dengan = 50 dan = 10. Hitunglah peluang bahwa X mengambil nilai antara 45 dan 62. Jawab. Nilai-nilai z adalah untuk x1 = 45 dan x2 = 62 adalah: x1 45 50 0,5 10 x 62 50 Z2 2 1,2 10 Z1
P(x1 < x < x2) P(45 < x < 62) P(45 < x < 62)
= P(z1 < z < z1) = P(-0,5 < 2 < 1,2) = P(z<1,2) – P(z<-0,5) = 0,8849 – 0,3085 = 0,5764
-0,5
0
Z
1,2 X
45
62
4
2.
Untuk sebaran normal dengan = 300 dan = 50. Hitunglah peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362. Jawab. P(x > x1) = P(z > z1) Z1
x1 362 300 Z1 1,24 50
P(x > 0362) = P(z > 1,24) = P(z > 1,24) = 1 – P(z < 1,24) = 1 – 0,8925 = 0,1075
300
362
X
0
1,24
Z
5
3.
Diberikan sebuah sebaran normal dengan = 40 dan = 6. Hitunglah nilai X yang: a. b.
Luas daerah dibawahnya ada 38% Luas daerah diatasnya 5%
Jawab. Z
a.
x x z
P(z < .?..) = 0,38 lihat tabel A.4 walpole. P(z < - 0,31) = 0,38 z = - 0,31 X = z +
b.
= 6(-0,31) + 40
= -1,86 + 40 = 38,14 P(z > .?..) = 0,05 P(z < .?..) = 0,95 P(z < 1,645) = 0,95 Z = 1,645 X = 6(1,645) + 40 = 49,87
0,38 0,05 -0,31
40
X
40
0
Z
0
X 1,645
Z 6
Penerapan sebaran normal 4.
Suatu jenis aki mencapai umur rata-rata 3,0 tahun dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila umur aki itu menyebar normal, hitunglah peluang bahwa sebuah aki tertentu akan mencapai umur kurang dari 2,3 tahun Jawab.
= 3,0 ; = 0,5 P(x < 2,3) P(x < x1) Z1
= …? = P(z < z1)
x1 2,3 3,0 1,4 0,5
P(x < 2,3) P(x < 2,3)
= P(z < 1,4) = 0,0808 (Tabel A.4)
2,3
3,0
X
-1,4
0
Z
7
5.
Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 834 jam. Jawab. X1 = 778, X2 = 834 ; = 800 ; = 40 P(X1 < X < X2) = P(Z1 < Z < Z2) Z1
x1 778 800 0,55 40
Z2
x 2 834 800 0,85 40
P(778 < x < 834) = P(-0,55 < z < 0,85) = P(z < 0,85) – P(z < -0,55) = 0,8023 – 0,2919 = 0,5111
778
800
834
X
-0,55
0
0,85
Z
8
6.
Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% diantara peserta ujian akan diberi nilai A dan nilai itu mengikuti sebaran normal. Berapakah batas nilai terkecil bagi A dan batas nilai tertinggi bagi B? Jawab.
= 74 ; = 7 Rumus X = Z + Z dilihat pada tabel A.4. P(Z < .?..) = 0,88
0,88 0,12 X
74
P(Z < 1,175) = 0,88 X = 7(1,175) + 74 X = 8,225 + 74 X = 82,225 7.
Z = 1,175
Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpagan bakunya 7. Bila nilai itu mengikuti sebaran normal, tentukan D6 = desil ke 6.
9
Jawab. P(X < .?..) = 0,60 P(Z < .?..) = 0,60 Z = 0,25 P(Z < 0,25) = 0,60 Pakai rumus : X = Z + D6 = X = 7 (0,25) + 74 D6 = X = 1,75 +74 = 75,75 D6 = 75,75
60% = 0,6
74
8.
D6
X
Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 41 cm. Berapa % banyaknya anjing pudel jenis tersebut yg tingginya melebihi 35 cm, bila tinggi itu menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun? Jawab.
= 30 ; = 4,1
10
35 30 P( Z 35) P Z P ( Z 1,22) 4,1
P(Z > 1,22) = 1 – P(Z < 1,22) = 1 – 0,8888 (tabel A.1) = 0,1112 Jadi % banyaknya X > 35 adalah 11,12%.
9.
3,0
35
0
1,22
X Z
Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 4,1 cm. Hitunglah persentase anjing pudel yang tingginya melebihi 35 cm bila tingginya di ukur sampai sentimeter terdekat? Jawab. X = 35 Z
X = 35,5
35,5 30 1,34 4,1
11
P(X > 35,5)
= P(Z < 1,34) = 1 - P(Z < 1,34) = 1 – 0,9099
P(X > 35,5) = 0,0901 Banyaknya % anjing pudel yang melebihi 35 cm adalah 9,01%.
3,0
35,5
X
0
1,34
Z
10. Nilai mutu rata-rata (NMR) 300 mahasiswa tingkat persiapan mengikuti suatu sebaran normal dengan nilai tengah 2,1 dan simpangan baku 0,8. Berapa banyaknya mahasiswa tersebut yang mencapai NMR antara 2,5 dan 3,5 inklusif bila NMR itu dihitung sampai persepuluhan terdekat. Jawab. Karena dicatat sampai persepuluhan terdekat maka nilai 2,5 X1=2,45 dan nilai 3,5 X2 = 3,55.
12
Z1
x1 2,45 2,1 0,44 0,8
Z2
x2 3,55 2,1 1,81 0,8
P(2,45 < X < 3,55) = P(0,44 < Z < 1,81) = P(Z < 1,81) – P(Z < 0,44) = 0,9649 – 0,6700 = 0,2949 Jadi banyak mahasiswaa yang NMRnya antara 2,5 dan 3,5 inklusif = 0,2949 x 300 = 88 mahasiswa.
Hampiran normal terhadap sebaran binom. 11. Peluang bahwa seorang pasien dapat sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0,6. Bila 100 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari separuhnya akan dapat sembuh? Jawab. X = p.a. pasien yang dapat sembuh Rumus : Z
x
untuk lampiran normal.
13
X = 49,5 ; = np = 100(0,6) = 60 Z
npq
(100)(0,6)(0,4) 4,9
49,5 60 2,14 4,9 49
P ( x 50) b( x;100,0,6) P ( z 2,14) x 0
0,0162
1
-2,14 49,5
0 60
Z X
12. Sebuah ujian terdiri atas 200 pertanyaan pilihan berganda, masing-masing dengan 4 kemungkinan jawaban, tetapi hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab secara acak 80 diantara 200 soal yang sama sekali tidak diketahuinya, mendapatkan dari 25 sampai 30 jawaban yang benar? Jawab. P
1 , n 80 4
Rumus :
Z
x ; np; npq
14
= np = (80) (¼) = 20; npq (80)( 14 )( 34 ) 3,87
Secara langsung dengan binom P (25 x 30) b( x;80, ) 30
x 25
1 4
Dengan hampiran normal: P(24,5 < x < 30,5) = P(1,16 < z < 2,71) = P(z < 2,71) – P(z < 1,16) = 0,9966 – 0,1314 = 0,1196
0
1,16
2,71
Soal –Tugas/ Latihan. 1.
Bila diberikan sebuah sebaran normal dengan = 50 dan = 8, hitunglah a. Luas daerah dibawah 37 b. Luas daerah diatas 46 c. Luas daerah antara 43 dan 61 d. Nilai X yang luas daerah dibawahnya 45% e. Nilai X yang luas daerah diatasnya 16%
15
2.
3.
4.
Diberikan sebuah peubah acak X dengan nilai tengah 18 dan simpangan baku 2,5. Hitunglah a. P(X < 15) b. P(17 < X < 21) c. Nilai k yang bersifat P(X k) = 0,1539 Diameter bagian dalam ring piston menyebar normal dengan nilai tengah 10cm dan simpangan baku 0,03cm. a. Berapa proporsi ring yang diameter bagian dalamnya lebih dari 10,075 cm? b. Berapa peluang diameter bagian dalam ring antara 9,97 dan 10,03 cm? c. Dibawah nilai berapa terdapat 15% ring yang diproduksi? Sebuah mesin minuman ringan diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rata-rata 800ml per gelas. Bila banyaknya minuman yang dikeluarkan itu menyebar normal dengan simpangan baku 15ml. a. Berapa banyaknya gelas (dalam pecahan atau persentasi) yang berisi lebih dari 224ml. b. Berapa peluang sebuah gelas berisi antara 191 dan 209ml? c. Berapa gelas diantara 1000 gelas berikutnya yang akan tumpah meluap bila gelas-gelas itu berukuran 230ml? d. Dibawah nilai berapa kita akan dapatkan 25% gelas-gelas yang berisi paling sedikit?
16
5.
Bila nilai ujian statistika kira-kira menyebar normal dengan nilai tengan 47 dan simpangan baku 7,9. Hitunglah a. Nilai terendah bagi D bila 10% nilai terendah diantara seluruh peserta ujian mendapat nilai F? b. Nilai tertinggi bagi B bila 5% mahasiswa mendapat nilai A? c. Nilai terendah bagi B bila 10% tertinggi mendapat A dan 25% berikutnya mendapat B?
6.
Dalam sebuah ujian matematika, nilai rata-ratanya adalah 82 dan simpangan bakunya 5. Mahasiswa yang mendapat nilai dari 88 sampai 94 mendapat B. Bila nilai ujian itu menyebar normal dan 8 orang mendapat B. Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti ujian.
7.
Tinggi 1000 mahasiswa menyebar normal dengan nilai tengah 174,5cm dan simpangan baku 6,9cm. Bila tinggi dicatat sampai setengah cm terdekat, berapa banyak diantara mahasiswa itu yang memiliki tinggi: a. Kurang dari 160,5 cm? b. Antara 171,5 dan 182,0 cm inklusif c. Sama dengan 175,0 cm? d. Lebih besar atau sama dengan 188,0 cm?
8.
Sebuah perusahaan membayar karyawannya dengan rata-rata $7,25 per jam dengan simpangan baku 60 sen. Bila gaji itu kira-kira menyebar normal dan dibayar sampai sen terdekat, 17
a. Berapa persentase karyawan yang menerima antara $6,75 dan $7,69 per jam inklusif b. 5% gaji tertinggi lebih besar dari berapa? 9.
Bobot badan sejumlah anjing pudel kira-kira menyebar normal dengan nilai tengah 8 kg dan simpangan baku 0,9 kg. Bila pengukurannya dicatat sampai persepuluhan kg terdekat, hitunglah proporsi banyaknya anjing pudel itu yang berbobot a. Lebih dari 9,9 kg; b. Paling tinggi 8,6 kg; c. Antara 7,3 dan 9,1 kg inklusif
10. Daya regang suatu komponen logam tertentu menyebar normal dengan nilai tengah 10.000 kg per cm2 dan simpangan baku 100 kg per cm2. Semua pengukuran dicatat sampai 50 kg per cm2 terdekat. a. Hitunglah proporsi komponen itu memiliki daya regang melebihi 10.150 kg per cm2? b. Bila dikehendaki semua komponen itu memiliki daya regang antara 9.800 dan 10.200 kg per cm2 inklusif 11. Bila segugus pengamatan menyebar normal berapa persentase pengamatan yang berbeda dari nilai tengahnya sebesar : a. Lebih dari 1,35 b. Kurang dari 0,52 ?
18
Hampiran normal terhadap sebaran binom. 12. Hitunglah galat yang terjadi akibat menghampiri b( x;20,0,1) dengan kurva normal 4
x 1
13. Sekeping uang logam dilemparkan 400 kali. Gunakan lampiran kurva normal untuk menghitung peluang mendapatkan a. Antara 185 dan 210 sisi gambar inklusif; b. Tepat 205 sisi gambar c. Kurang dari 176 atau lebih dari 227 sisi gambar? 14. Peluang seorang selamat dari suatu operasi jantung yang rumit adalah 0,9. Diantara 100 pasien yang menjalani operasi ini, berapa peluang bahwa a. Antara 84 dan 95 orang inklusif selamat? b. Kurang dari 86 orang selamat? 15. Seorang pemburu burung pegar mengatakan bahwa 75% diantara tembakannya mengenai sasaran. Dari 80 tembakan berikutnya, berapa peluang bahwa a. Sekurang-kurangnya 50 ekor berhasil terbang menyelamatkan diri
19
b. Sebanyak-banyaknya 56 ekor berhasil ditembak jatuh? 16. Bila 20% penduduk disebuah kota lebih menyukai telepon warna putih dari warna-warna lainnya. Berapa peluang bahwa diantara 100 telepon yang dipasang berikutnya dikota itu. a. Antara 170 dan 185 inklusif akan berwarna putih? b. Sekurang-kurangnya 210 tetapi tidak lebih dari 225 akan berwarna putih? 17. Seperenam jumlah mahasiswa laki-laki yang memasuki sebuah perguruan tinggi berasal dari luar propinsi. Bila pengaturan masuk ke asrama ditentukan secara acak, 180 mahasiswa pergedung asrama, berapa peluang bahwa disuatu gedung asrama sekurang-kurangnnya seperlima merupakan mahasiswa dari luar propinsi? 18. Sebuah perusahaan obat-obatan mengetahui bahwa secara rata-rata, 5% diantara sebuah jenis pil tertentu bahan-bahannya dibawah syarat minimum, sehingga sesungguhnya tidak dapat diterima. Berapa peluang bahwa kurang dari 10 pil diantara sebuah contoh 200 pil sesungguhnya tidak dapat diterima?
20
