Kompetensi Dasar: 2.1 Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya
o o
o o o o o o
Amati gambar di samping! Dapatkah Anda menyebutkan banyak dan jenis masing-masing gambar? Dengan menyebutkan banyak dan jenisnya, Anda telah mengenal bentuk aljabar.
A. PENGERTIAN BENTUK ALJABAR
Gambar
Kata-kata
Dua apel
Satu apel dan tiga pisang
Tiga tomat dan dua apel
Tiga apel, satu tomat dan tiga pisang
2a
1a + 3p
3t + 2a
3a + 1t + 2p
Simbol
= apel disimbolkan dengan huruf ”a” = pisang disimbolkan dengan huruf ”p” Keterangan
= tomat disimbolkan dengan huruf ”t” Kata ”dan” disimbolkan dengan ”+” 2a = 2 X a = a + a
Bentuk-bentuk :
2a 1a + 3p 3t + 2a
dinamakan bentuk aljabar
3a + 1t + 2p Sedangkan 2a , 1a , 3p , 3t , 2a , 3a , 1t dan 2p dinamakan suku bentuk aljabar atau suku saja. Pada bentuk aljabar 3a + 1t + 2p ada tiga sukunya, yaitu: 3a , 1t dan 2p. Catatan: Suku bentuk aljabar 1a dan 1t untuk selanjutnya cukup hanya ditulis a dan t, karena 1a = 1 X a = a dan 1t = 1 X t = t
Untuk diketahui Bentuk aljabar : 2a mempunyai satu suku, maka disebut suku satu/suku tunggal atau monomial Bentuk aljabar : a + 3p dan 3t + 2a mempunyai dua suku, maka disebut suku dua atau binomial Bentuk aljabar : 3a + t + 2p mempunyai tiga suku, maka disebut suku tiga atau trinomial Untuk bentuk aljabar yang mempunyai beberapa suku seperti suku dua, suku tiga, suku empat, suku delapan dan sebagainya dinamakan suku banyak atau polinomial Giliran Anda Tulis bentuk aljabar dari gambar berikut (gunakan simbol dengan huruf kecil untuk nama benda dan makhluk hidup), kemudian tulis berapa banyak sukunya! GAMBAR
BANYAK DAN JENISNYA
BENTUK ALJABAR
BANYAK SUKUNYA
Tiga kaleng cat dan satu kuas
3c + k
2
Satu tempat pensil dan delapan pensil
... perahu , ... orang dan ... pohon kelapa
B. VARIABEL, KOEFISIEN, KONSTANTA, FAKTOR PERKALIAN DAN SUKU SEJENIS
Perhatikan bentuk aljabar berikut ini: 5a + b + 7 Pada suku 5a yang merupakan hasil perkalian 5 dan a atau 5 × a, maka bilangan 5 disebut koefisien dan huruf a disebut variabel atau peubah. Variabel dalam satu suku tidak harus tunggal, bisa satu variabel dipangkatkan, misal: a2, n3 bisa juga perkalian dua atau lebih variabel berbeda, misal: ab , xyz , p2q. Pada suku 7 tidak ada variabel yang menyertainya, maka bilangan 7 yang merupakan suku tunggal disebut konstanta. Bagaimana dengan suku b ? Adakah koefisiennya? Suku b merupakan hasil perkalian 1 dan b atau 1 × b, sehingga b disebut variabel sedangkan koefisiennya adalah 1.
Contoh: 1. Tentukan koefisien, variabel dan konstanta (jika ada) dari bentuk aljabar berikut: a. 8p – 4q
b. – 5t + 2u + 12
c. 2x2 – 6 xy – 16y – 1
2. Tentukan koefisien m dari bentuk aljabar berikut ini! a. 3m – 5
b. 4m2 – 6m + 8
d. 9mn – m
Jawab: 1.a.
Bentuk aljabar 8p – 4q mempunyai dua variabel, yaitu: p dan q Koefisien dari variabel p adalah 8 dan koefisien dari variabel q adalah – 4 Pada bentuk aljabar ini tidak ada suku konstantanya
1.b. Bentuk aljabar – 5t + 2u + 12 mempunyai variabel t dan u Koefisien dari variabel t adalah – 5 dan koefisien dari variabel u adalah 2 Konstantanya adalah 12 1.c.
Bentuk aljabar 2x2 – 6 xy – 16y – 1 mempunyai variabel: x dan y Koefisien dari x2 adalah 2, koefisien dari xy adalah – 6 dan koefisien dari y adalah – 16 Konstantanya adalah – 1
2.a.
Pada bentuk aljabar 3m – 5 koefisien dari m adalah 3
2.b. Pada bentuk aljabar 4m2 – 6m + 8, koefisien dari m adalah – 6 2.c.
Pada bentuk aljabar 9mn – m, koefisien dari m adalah – 1
LATIHAN 2.1.A 1. Tentukan banyak suku dan sebutkan suku-sukunya! a. 3p + 2q + r
c. 3(x + y) – 4 (x + y) + 5
b. 4y2 + 6
d. 5n + 2n – 4n + m + 3m
2. Bentuk aljabar berikut ini termasuk monomial, binomial atau trinomial? a. 4d + 4e + 4f
c. 8pqr
b. 3g – 2h
d. 7 (x + y + z)
3. Berikan masing-masing contoh dan non-contoh dari bentuk aljabar: a. Monomial
c. Trinomial
b. Binomial
d. Polinomial
4. Tentukan variabel, koefisien dan konstanta dari bentuk aljabar berikut ini! a. 6s – 8t + s2 – 4t3
c. 2πr2 + 2πrt (rumus luas permukaan tabung)
b. n2 + n + 1
d. πr2 + πrs
(rumus luas permukaan kerucut)
5. Tentukan koefisien dari variabel yang diminta pada setiap bentuk aljabar: a. – 3i – 2 j – k
; koefisien dari i
2
b. 4m + 8mn + 2m – n2 ; koefisien dari m dan koefisien dari n2 c. 2a + 5b – (– 4a) ; koefisien dari a d. ½ x2 + 5x ; koefisien dari x2
Faktor perkalian Bentuk 5n = 5 × n, maka 5 dan n disebut faktor perkalian dari 5n Bentuk –8pq = –8 × pq, maka –8 dan pq merupakan faktor perkalian dari –8pq. Ingat bahwa: –2 , 4 , p , q , - 2p , 4q, - 2pq, 4p juga faktor-faktor perkalian dari –8pq. Mengapa? Masih adakah faktor perkalian –8pq yang lain? Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Menentukan FPB dan KPK dari bentuk-bentuk aljabar suku satu, terlebih dahulu mengubah bentuk–bentuk aljabar suku satu tersebut menjadi perkalian faktor-faktor prima (faktorisasi prima). Contoh
: 4p3q = 22 × p3 × q 10pq2r = 2 × 5 × p × q2 × r FPB merupakan hasil perkalian semua faktor-faktor prima dan variabel yang sama yang mempunyai pangkat terendah FPB dari 4pq dan 10pq2r = 2 × p × q = 2pq KPK merupakan hasil perkalian semua faktor-faktor prima dan variabel yang berbeda yang mempunyai pangkat tertinggi KPK dari 4pq dan 10pq2r = 22 × 5 × p3 × q2 × r = 20p3q2r
Suku sejenis Perhatikan bentuk aljabar : 4m + 2n – 3m + 6n Bentuk aljabar tersebut mempunyai empat suku, yaitu: 4m , 2n , – 3m dan 6n Dimana 4m dan – 3m merupakan suku sejenis, begitu juga dengan 2n dan 6n juga merupakan suku sejenis, sedangkan 4m dan 2n merupakan suku tidak sejenis Dua suku dikatakan sejenis apabila variabel dari dua suku tersebut adalah sama Yang berbeda dari suku-suku sejenis adalah koefisiennya
Contoh: 1. Tentukan faktor perkalian bentuk aljabar monomial berikut: a. 6k
c. 7c2
b. – 4ab
2. Tentukan hasil perkalian dari: a. 8 × 2r
b. – 3v × 2w
c. 9 × (–5ab) × a
3. Tentukan FPB dan KPK dari pasangan bentuk aljabar berikut: a. 18ab dan 15a2
b. 6m2n , 9mn2 dan 15mn
4. Tentukan suku-suku sejenis dari bentuk aljabar: b. 9x2 + 8r + 7 – 5r – 4r2 – 1
a. 2p + 3q – 4r – 4q + 5p + 6r Jawab: 1.a.
6k = 6 × k, jadi faktor perkalian dari 6k adalah 6 dan k
1.b.
– 4ab = – 4 × ab, jadi faktor perkalian dari – 4ab adalah – 4 dan ab
1.c.
7c2 = 7 × c2, jadi faktor perkalian dari 7c2 adalah 7 dan c2
2.a.
8 × 2r = 16r
2.b. – 3v × 2w = – 6vw 2.c.
9 × (–5ab) × a = [9 × (–5ab)] × a = – 45ab × a = – 45aab = – 45a2b
3.a.
18ab = 2 × 3 × a × b dan 15a2 = 3 × 5 × a
2
2
FPB dari 18ab dan 15a2 = 3 × a = 3a KPK dari 18ab dan 15a2 = 2 × 32 × 5 × a2 × b = 90a2b 3.b. 6m2n = 2 × 3 × m2 × n , 9mn2 = 32 × m × n2 dan 15mn = 3 × 5 × m × n FPB dari 6m2n , 9mn2 dan 15mn = 3 × m × n = 3mn KPK dari 6m2n , 9mn2 dan 15mn = 2 × 32 × 5 × m2 × n2 = 90m2n2 4.a.
Suku-suku sejenis pada 2p + 3q – 4r – 4q + 5p + 6r + 2p adalah: 2p, 5p dan 2p ; 3q dan – 4q ; – 4r dan 6r
4.b. Suku-suku sejenis pada 9r2 + 8r + 7 – 5r – 4r2 – 1 adalah: 9r2 dan – 4r2 ; 8r dan – 5r ; 7 dan – 1
LATIHAN 2.1.B 1. Tentukan faktor perkalian dari bentuk aljabar: d. 12d2
a. 9h b. 18ab
e. 2a(a – 3)
2 2
f. 4x2 + 8x
c. –14y z
2. Sederhanakan hasil perkalian dari bentuk aljabar: a. 5 × (– 2t)
d. 7 × p × (– 6) × b
b. – 3y × 8
e. 6jk × 2i2j × (– ik)
c. 9d × (– 3e)
f. – 5ab3 × 5a2b × (– 6abc3)
3. Tulislah faktorisasi prima dari bentuk aljabar suku tunggal berikut ini! a. 6jk2
c. 42pq2r2
b. 24 a2bc3
d. 90xyz3
4. Tentukan FPB dan KPK dari pasangan bentuk aljabar berikut: a. 12xy dan 9yz
d. 4cd3 , 12de2 dan 20cde
b. 20u2v2 dan 24uv2w
e. 36ab2 , 18abc dan 9b3c
c. 15p3q2r dan 25pqr2
f. 30rt , 40st dan 50rs
5. Tentukan banyak suku dan suku-suku sejenis dari bentuk aljabar: a. 6p – 2q – 4p
c. 6z2 + 4z + 2 – z – 3 – 5z3
b. 2t + 3uv + 4tu + 5vu + 2ut
d. 2x2 – 6 x2y2 – 4y2x + 5x2 + 9xy2 – 7(xy)2
c. 8(p – q) – (p – q)2 + 2(p – q)
e. abc + 3bca – 2cba – 6ab + 7bc + ab – 3bc
Seandainya gambar ini ditulis bentuk aljabarnya, ada berapa banyak sukunya?
Kompetensi Dasar: 2.2 Melakukan operasi pada bentuk aljabar
A. OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR Kemampuan prasyarat Lengkapi operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan berikut ini: 1. 4 + 8 = ...
7. 9 – 5 = ...
2. 8 + 4 = ...
8. 5 – 9 = ...
3. 2 + (– 8 ) = ...
9. – 6 – 4 = ...
4. – 8 + 2 = ...
10. 4 – (– 6 ) = ...
5. – 7 + (– 3 ) = ...
11. – 8 – (– 1 ) = ...
6. – 3 + (– 7 ) = ....
12. – 1 – (– 8 ) = ...
Operasi penjumlahan bilangan bersifat komutatif, yaitu a + b = b + a Operasi pengurangan bilangan tidak bersifat komutatif, yaitu a – b b – a
Isi tas. Tas milik Abdi berisi dua pensil dan enam buku. Temannya datang kemudian memasukkan dua pensil dan mengambil dua buku dari dalam tas Abdi. Bagaimana keadaan isi tas Abdi sekarang? Anda pasti menjawab: isi tas Abdi sekarang adalah tiga pensil dan empat buku. Dari persoalan di atas dapat diperjelas sebagai berikut: Isi tas Abdi semula
: 2 pensil + 6 buku
Setelah temannya datang
: 1 pensil – 2 buku
Isi tas Abdi sekarang
: 3 pensil + 4 buku
+
Secara aljabar dapat ditulis: 2p + 6b + p – 2b = 3p + 4b empat suku
dua suku
Dari empat suku menjadi dua suku diistilahkan dengan menyederhanakan bentuk aljabar. Perhatikan bahwa: 2p + p = 3p [ 2p dan p adalah suku-suku sejenis, sehingga 2p + p dapat disederhanakan menjadi (2 + 1)p = 3p ]
Perhatikan bahwa: 6b – 2b = 4b [ 6b dan – 2b adalah suku-suku sejenis, sehingga 6b – 2b dapat disederhanakan menjadi (6 – 2)b = 4b]
Ingat: 2p + 6b tidak dapat disederhanakan, sebab 2p dan 6b merupakan suku tidak sejenis. Dua suku dapat disederhanakan menjadi satu suku bila dua suku tersebut sejenis.
Contoh: 1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut: a. 9m + 2m
d. 5mn + 6 + 2n2 – 9 – 4mn
b. 7k – 3k
e. 6a2b – 4ab2 – 3a2b + (– 2ab2)
c. – 2j – 5h + h + 4j 2. Tentukan jumlah dari (3x + 4y) dan (5x – 6y) 3. Kurangkan (2p – 3q + 4r) dari (3q + 4r) Jawab: 1.a.
9m + 2m = (9 + 2)m = 11m
1.b. 7k – 3k = (7 – 3)k = 4k 1.c.
– 2j – 5h + h + 4j = – 2j + 4j – 5h + h = (– 2 + 4)j + (– 5 + 1)h = 2j – 4h
1.d. 5mn + 6 + 2n2 – 9 + – 4mn = 5mn + 4mn + 6 – 9 + 2n2 = (5 – 4)mn – 3 + 2n2 = mn – 3 + 2n2 2.
(3x + 4y) + (5x – 6y) = 3x + 4y + 5x – 6y = 3x + 5x + 4y – 6y = (3 + 5)x + (4 – 6)y = 8x – 2y
3.
(3q + 4r) – (2p – 3q + 4r) = 3q + 4r – 2p + 3q – 4r = – 2p + 3q + 3q + 4r – 4r = – 2p + (3 + 3)q + (4 – 4)r
LATIHAN 2.2.A 1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut: a. 15d + 24d + 7
d. 5a2b2 + 4(ab)2 – 2 a2b2 2
2
g. 12pq + 5p – 30q – 8p + p
b. 4t – 6 – 8t
e. 7a + 7a – 6a – 6 – 5a – 5
h. 4(2s + 4) – 3(6 – 4s)
c. 2j + 7k – 8j – 3k
f. 4vw – 7wv + 11vw + wv
i.
6(x + y) – (x + y)
2. Tentukan hasil penjumlahan: a. (4p + 8) dan (5p – 6)
c. (4y3 + 5y + 6) dan (7y3 – 5y2 – 3y + 1)
b. (2m – 2n – 2) dan (3 – 3n – 3m)
d. [2(a – b) + 3a] dan [4(a – b) – 2b]
3. Kurangkanlah: a. (4w – 6) dari (7w – 3)
c. (5i – 10j – 8k) dari (6i – 10j – 9k)
b. (4c + 2d – 5) dari (–4d + 5 + 8c)
d. (– 4rt + 5rw) dengan (9wr + 8rt – 3rw)
B. OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PADA BENTUK ALJABAR
Tentukan hasil perkalian, pembagian dan perpangkatan bentuk aljabar berikut ini: (Cobalah kerjakan secara mandiri, untuk mengukur kemampuan pemahaman)
8 × 2t 6b × 4a 5p × ( - 8pq) 2y × (6y – 4) 3a × (2a + 1) – 5 × (2a + 1)
30ab 6a
(2a)3
8m + 4n + 6 2
– (5r)2
(– 4t)2
[(6sr)2]3
a 2 bc 3 ac 2
(2n + 3)2
Jika ternyata ada yang belum dapat Anda kerjakan, silakan pelajari sifat-sifat perkalian, pembagian dan perpangkatan berserta contohnya berikut ini. Namun jika sudah paham dan dapat mengerjakan semua dengan benar, disarankan langsung mengerjakan latihan soal.
Sifat-sifat perkalian Operasi perkalian bilangan bersifat: Komutatif, yaitu: a × b = b × a Assosiatif, yaitu: (a × b) × c = a × (b × c) Distributif, yaitu: a × (b ± c) = a × b ± a × c Hasil perkalian bilangan: positif × positif = positif positif × negatif = negatif negatif × positif = negatif negatif × negatif = positif
Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan dengan: a. hukum distributif (a + b)(p + q) = a(p + q) + b(p + q)
b. Skema (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq
Sifat-sifat pembagian
Sifat-sifat perpangkatan
Operasi pembagian merupakan hasil penyederhanaan dengan cara menghilangkan faktor-faktor perkalian dari koefisien/ konstanta dan variabel yang sama
Operasi perpangkatan merupakan hasil perkalian berulang dari bilangan yang dipangkatkan.
Misal: 8ab : 4a = (2b)(4a) : (4a) = 2b Bentuk aljabar 8ab dan 4a mempunyai faktor yang sama yaitu 4a, sehingga hasil pembagian 8ab dengan 4a dapat disederhanakan menjadi 2b
a2 = a × a a3 = a × a × a a2 × a3 = a2+3 (a2 )3 = a2×3 (ab)2 = (ab) × (ab) (a + b)2 = (a + b)(a + b) (a – b)2 = (a – b)(a – b)
Contoh operasi perkalian pada bentuk aljabar
Perkalian bilangan dengan suku satu
Perkalian suku dua dengan suku dua
5 × 3y = (5 × 3)y = 15y (– 4) × 8x2 = (– 4 × 8)x2 = – 32x2
Perkalian suku satu dengan suku satu dan suku dua (7c) × (2cd) = 7 × 2 × c × cd = 14c2d
(3a + 4)(4a – 3)
= 3a(4a – 3) + 4(4a – 3) = 3a × 4a + 3a × (-3) + 4 × 4a + 4 × (-3) = 12a2 – 9a + 16a – 12
12p × (–3qr) = 12 × (–3) × p × qr = –36pqr
= 12a2 + 7a – 12
5(2w – 8) = 5 × 2w + 5 × (– 8) = 10w – 40
Penyelesaian di atas menggunakan penjabaran hukum distributif. Jika menggunakan skema penyelesiannya sebagai berikut:
2
2
–3a(a – 4a) = (–3a) × a + (–3a) × (– 4a)
(disederhanakan)
= –3a3 + 12a2 Perkalian suku dua dengan suku tiga
(3a + 4) (4a – 3)
(2p – 3q)(4p + 5q – 6r) = 2p(4p + 5q – 6r) – 3q(4p + 5q – 6r)
= (3a)(4a) + (3a)(-3) + (4)(4a) + (4)(-3)
= [ 2p × 4p + 2p × 5q + 2p × (–6r) ]
= 12a2 – 9a + 16a – 12
– [ 3q × 4p + 3q × 5q + 3q × (–6r) ]
= 12a2 + 7a – 12
= (8p2 + 10pq – 12pr) – (12pq + 15q2 – 18qr) = 8p2 + 10pq – 12pr – 12pq – 15q2 + 18qr = 8p2 – 2pq – 12pr – 15q2 + 18qr
Contoh operasi pembagian pada bentuk aljabar
16pq : 4q = (4p)(4q) : (4q) = 4p
Contoh operasi perpangkatan pada bentuk aljabar
(5y)2 = (5y) × (5y) = 25y2
18a4 : 3a2 = (6a2)(3a2) : (3a2) = 6a2
(–7g)2 = (–7g) (–7g) = 49g2
15rs3 : 5rs = (3s2)(5rs) : (5rs) = 3s2
– (6a2)3 = – (6a2)(6a2)(6a2) = – 216a6
(8mn + 12n3 – 4n) : 4n
(2a + b)2 = (2a + b)(2a + b)
8mn 12n 3 4n = + − 4n 4n 4n (2m)(4n) (3n 2 )(4n) 4n = + − (4n) ( 4n) 4n = 2m + 3n2 –1
= (2a)(2a) + (2a)b + b(2a) + bb = 4a2 + 2ab + 2ab + b2 = 4a2 + 4ab + b2
Latihan 2.2.B Tentukan hasil perkalian dari:
Tentukan hasil pembagian dari:
1. 5 × 4p
14.
12ab2 : 4ab
2. –3 × 8m
15.
18p2qr : 9pr
3. 2a × (– 4b)
16.
( 8x2y + 12xyz ) : 4xy
4. – 3a × (– 4a)
17.
( 8s2 – 10s – 6 ) : 2
5. 8a2 × (–3ab) × 2b
18.
[(–2r) × (– 6rs2)] : [(2r) × (2s)
6. 5(2n – 6) Tebtukan hasil perpangkatan dari:
7. 3p(– 5p2 + p – 2)
19.
(4p)3
Jabarkan dan sederhanakan perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif
20.
(3m2n)2
21.
(-2pq)2
22.
– (6a)4
8. (2a + 3)(3a + 2)
23.
(2a + 6b)2
9. (6x + 2y)(x – 5y)
24.
(3m – 4)2
10. (2p – 2q)(3q – 3p)
25.
(2p + 3q – r)2
Jabarkan dan sederhanakan perkalian berikut dengan menggunakan skema
Tunjukkan bahwa: 26.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
11. (7 – 6a) (9 + 3a)
27.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
12. (6t – 2w)(3t + 4w – 5)
28.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
13. 4p(6 – 2p)(3p – 4)
29.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
30.
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
TUGAS ANDA
a a
a2
b ab
Gambar di samping pengkuadratan (a + b)
mengilustrasikan
hasil
(a + b)2 = ... + ... + ... + ... b
ba
b2
= ... + ... + ...
Model seperti ini dinamakan ubin aljabar yang akan kalian pelajari lebih lanjut di kelas 8 tentang faktorisasi bentuk aljabar
C. PECAHAN BENTUK ALJABAR
Suatu pecahan dimana pembilang dan penyebutnya merupakan bentuk aljabar disebut pecahan
bentuk aljabar . 2 Contoh pecahan bentuk aljabar: 2 p , 3 a −2 5 , 2 a − 5 dan x + 5 x + 6 .
6x
3q
Bentuk pecahan seperti:
8a 6 pq dan 3p 4
3a + 1
x+3
ternyata bukan pecahan bentuk aljabar. Mengapa
demikian? Lalu apa syarat supaya disebut pecahan bentuk aljabar?
Operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar
Contoh 1
:
3a 2a 3a + 2a 5a + = = 6 6 6 6 penyebut sama
Contoh 2
2p 6p 2p − 6p − 4p − = = 3q 3q 3q 3q
:
penyebut sama
Pada penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar, jika penyebut pecahan yang dijumlahkan/dikurangkan tidak sama, maka terlebih dahulu kita samakan dengan menentukan KPK-nya, sehingga akan diperoleh pecahan bentuk aljabar yang senilai dengan penyebut sama. senilai
Contoh 3
:
senilai
2n 5n 8n 15 n 8 n + 15 n 23 n + = + = = 3m 4m 12 m 12 m 12 m 12 m penyebut tidak sama
KPK dari 3m dan 4m adalah 12m
Pecahan senilai dengan penyebut 12m dari Pecahan senilai dengan penyebut 12m dari
2n 3m 5n 3m
adalah adalah
2 n×4 3 m×4 5 n×3 4 m×3
= 128nm 15 n = 12 m
LATIHAN 2.2.C 1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk aljabar berikut ini: a.
5k 9k + 7 7
c.
3r 7r r + − 2p 2p 2p
b.
12 t 8 t − a a
d.
(3 p − 5) ( 6 − p ) + 4q 4q
e.
3 s 16 − 5 s − 8 8
2. Dengan menyamakan penyebut terlebih dahulu, sederhanakan pecahan berikut. a.
b.
3a 4a + 5 3
c. 5 x − 4 x − 3 x 2y 3y 4y
6b b − 3 2
d. 3 r + 5 r − 2 r 4q 6p
2 e. 2x + 3x + 4 + x(2x − 1)
15
20
3. Bentuk-bentuk berikut ini, pecahan bentuk aljabar atau bukan? Berikan alasan! a.
15 pq 3p
c.
24 xyz 16 xy
e.
4 p 2 − 8 pq 2p
b.
18 a 2 b 6b 2
d.
8( n + 5) 2 n+5
f.
a 2b 3c 2 abc
Operasi perkalian, pembagian dan perpangkatan pecahan bentuk aljabar Perhatikan perkalian dua bilangan pecahan berikut: × 3 5 3 × 5 15 × = = 4 2 4 × 2 8
× Hasil operasi perkalian bilangan pecahan diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Cara memperoleh hasil perkalian seperti ini juga berlaku pada perkalian pecahan bentuk aljabar Contoh 1
:
8 ab 2 a 8 ab × 2 a 8 a 2 b × = = 3n 5n 3n × 5 n 15 n 2
Pada perkalian pecahan berlaku:
a c a×c ac × = = b d b×d bd
Dalam membagi suatu bilangan dengan pecahan sama artinya mengalikan bilangan dengan kebalikan pecahan tersebut. a :
b c = a × c b
saling berkebalikan
Aturan pembagian seperti itu juga berlaku pada pembagian pecahan bentuk aljabar Contoh 2
:
3a 2 p 3a 5 q 3a × 5 q 15 aq : = × = = 4b 5 q 4b 2 p 4b × 2 p 8 bp
Contoh 3
:
4 v 2 8v 4 v 2 3 w 3 12 v 2 w 3 vw 3 : = × = = 9 w 3w 3 9w 8v 72 vw 6
(disederhanakan)
Dalam operasi perpangkatan pecahan bentuk aljabar, Anda perlu memperhatikan bahwa: c c c×c c2 × = = 2 d d d ×d d
a2 = a × a dan
Contoh 4
2
7r 3 2t
:
=
7r 3 7r 3 49 r 6 × = 2t 2t 4t 2
LATIHAN 2.2.D Sederhanakan hasil perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut: 3 4a − 1 × 2a 2a
1.
6 2p × 5p 3q
4.
2.
8 ab 2a × 2 pq 9p
2 5. 5 x y : 2 xy2
3.
4z
− 4d 2 9c 2 × 15 c − 18 d
6.
2 a 6 a 2 b 3b : × 4 5c 2c 2
7.
8. 1 × 1 : 1 a b c
3z
2a 6a 2b : 4 5c
9. 5 adik : 15 kuda × 2 oke 2 topi
4 pita
3 yes
Lengkapi titik-titiknya dan sederhanakan operasi perpangkatan pecahan bentuk aljabar berikut ini! 10. 9m 2n
2
11. 5ab 4c
... ... × = ... ...
= 2
=
2
12.
3 p 2q 2 r
13.
5c3 − de
5 ab × 4c 2 3
= 4
=
... ...
=
... ...
×
... ...
×
... ...
=
... ...
×
... ...
×
... ...
×
... ...
... ...
=
... ...
3
2 14. − 8 z 3
= ...
6y
15.
... ...
... ...
2
− 6x2 3y
2
= ...
Sederhanakan hasil operasi campuran pada pecahan bentuk aljabar berikut ini! 16.
4 p 6 p × 3q 7
17.
2 ab 3c
18. 6 p 4q
2
× 2
+
3a 4b
2p + − q
5p2 14 q 3
19.
:
5a 2b 2c
−
p2 − 2q
3
2
3m 2 n 4 m : 7k 5k
2
2 20. a × 9 a + 3 − 1 3 6 4a 2a
2
D. PENERAPAN BENTUK ALJABAR UNTUK MENYELASAIKAN SOAL DALAM KEHIDUPAN Menyelesaikan soal dalam bentuk cerita, Anda harus mengubahnya menjadi kalimat matematika dengan menggunakan simbol-simbol aljabar.
Contoh: Sebuah truk memuat m ton barang yang terdiri dari (2x) ton beras dan (5x – 6) ton jagung a. Nyatakan m dalam x b. Bila x = 15 ton, berapa tonkah isi muatan truk itu?
Jawab: a. m = 2x + (5x – 6) = 2x + 5x – 6 = 7x – 6 b. untuk x = 15, maka m = 7 × 15 – 6 =105 – 6 = 99 Jadi isi muatan truk tersebut adalah 99 ton
Latihan 2.2.E 1. Dalam almari Adenan terdapat dua rak. Rak pertama berisi 5 baju dan 3 celana, sedangkan rak kedua berisi 6 baju, 4 celana dan sebuah handuk. a. Jika baju disimbolkan dengan p, celana dengan q dan handuk
dengan
r,
tuliskan
bentuk
aljabar
yang
menyatakan isi almari Adenan. b. Berapakah uang yang sudah dikeluarkan Adenan untuk membeli isi almarinya tersebut, jika harga beli baju rata-rata Rp. 46.000,-, harga beli celana rata-rata Rp. 72.000,- dan harga handuk Rp. 15.000,2. Sebuah papan tulis mempunyai ukuran panjang (5x + 15) cm dan lebar (9x – 10) cm. Di sekeliling papan dipasangi bingkai (lis) dari aluminium. a. Jika panjang aluminium yang dibutuhkan adalah A, nyatakan A dalam x b. Jika x = 30, tentukan A
3. Sebuah mobil melakukan perjalanan dari kota P menuju kota R melalui kota Q. Ternyata jarak kota P dan Q jika dikalikan dua dan ditambah 3 km maka sama dengan jarak kota Q dan R. a. Jika jarak kota P dan Q adalah x dan jarak tempuh mobil tersebut dari kota P ke kota R disimbolkan dengan huruf J, nyatakan J dalam x b. Tentukan J jika diketahui x = 30 km 4.
Sebuah papan yang panjangnya 4 m dipotong (6x – 8) cm. a. Jika sisa papan disimbolkan dengan huruf S, nyatakan S dalam x b. Tentukan S jika diberikan x = 20
5. Nyatakan keliling dari bangun-bangun berikut dalam a dan sederhanakan! a.
b. (a + 4) cm
(2a – 3) cm
(3a) cm (9a – 4) cm
LATIHAN ULANGAN KD 2.1 DAN 2.2 A. PILIHAN GANDA 1. Yang dimaksud variabel pada bentuk aljabar adalah ... a. suatu lambang yang nilainya bisa diganti dengan nilai lain yang sejenis b. huruf sebagai pengganti benda atau makhluk hidup c. lambang yang menyatakan sesuatu yang belum diketahui d. huruf yang menyatakan sesuatu yang belum diketahui 2. Pada bentuk aljabar 4p2 + qr – 5, yang merupakan koefisien adalah ... a. – 5
b. q
c. 4
d. 2
3. Koefisien dari xy2 pada bentuk alajbar 8x2 + 12x2y + 6xy2 + y3 adalah ... a. 8
b. 12 2
2
c. 6
d. 1
2
2 2
4. Pada bentuk aljabar 5m n + 4m – 5n + 8mn – 6m + 4m n , suku sejenisnya adalah ... a. 8mn dan 4m2n2
b. 4m2 dan – 6m2
c. 5m2n dan 8mn
d. – 5n dan 8mn
c. 7a + b – 4
d. 3a + b
5. Bentuk sederhana dari 5a + 6b – 4 – 5b + 2a = ... a. 8ab – 4
b. 4ab
6. FPB dan KPK dari 12a2b dan 18abc2 adalah ... a. 6abc dan 36a2bc2 7.
b. 6 a2bc2 dan 36a2bc2 c. 6abc dan 36a2b
d. 6ab dan 36a2bc2
Hasil penjumlahan (4p – 2q + 5) dan (–2p – 5q) adalah ... a. 6p – 3q + 5
b. 6p – 7q + 5
c. 2p – 3q + 5
d. 2p – 7q + 5
8. Hasil pengurangan (–6r + 3s) dari (2r – 3s – 2) adalah ... a. – 8r + 6s + 2
b. 8r – 6s – 2
c. – 4r – 6s + 2
d. – 4r – 2
c. 16n2 + 34n – 15
d. 16n2 + 34n + 15
c. 3p2q3r
d. 3r
9. Hasil perkalian (2n – 5)(8n + 3) = ... a. 16n2 – 34n – 15
b. 16n2 – 34n + 15
10. Hasil pembagian 27pq2r : 9pq = ... a. 3pqr 11. Hasil dari a.
b. 3qr
5 xy 2 15 x 2 = ... : 4z 8 yz
75 x 3 y 32 z 2
3 b. 75 x 2
c. 2 y
32 z
2
3x
2 d. 2 y 3
2
12. Hasil dari 18a – 3(2a – 4a) = ... a. 30a2 – 60a
b. – 6a2 + 30a
c. 18a + 6 a2
d. 24a2
b. 27u6v3
27u5v3
d. 3u6v3
13. Hasil dari (3u2v)3 = ... a. 3u5v3
14. Diketahui M = 4y(3 – 2y2). Nilai M jika y = 3 adalah ... a. 306
b. 180
c. 108
d. – 180
15. Suatu persegipanjang mempunyai ukuran panjang 3x cm dan lebar (2x + 3) cm. Jika keliling persegipanjang tersebut adalah K, maka K = ... a. (5x + 3) cm
b. (6x + 3) cm
c. (10x + 6) cm
d. (12x + 6) cm
B. URAIAN 16. Tentukan koefisien dari variabel x2 pada bentuk aljabar: a. 4x2 – 5y2 + 2x2y2 b. 6x3 + x2 – 2x + 8 c. hasil penjabaran (2x + 3)2 17. Diketahui R = 2p – 3q dan T = 6pq + 2q – 2p. Tentukan hasilnya dan sederhanakan: a. 2R + 3T b. T – 4R c. 4p(T + R) 18. Sederhanakan: a. 48x2yz : 12x2y2z2 b. (16pq × 3p2r)2 c. (12a2 × 2ab) : (8ab2)3 19. Sederhanakan operasi pada pecahan berikut:
8 p 5q 2 p 2 − 3q 2 − + a. 3q 4 p 3 pq b.
4t 2 u 3v 2 15tv × : 5v 2t 20u 2
20. Agus sedang mebaca buku 115 halaman di perpustakaan. Jika dalam satu jam ia selesai membaca (2x + 8) halaman sisa halaman yang belum dibaca adalah S. a. Nyatakan S dalam x b. Jika x = 45, tentukan S
KUNCI : 1.a 2. c 14. d
3. c 4. b
15. c
5. c 6. d
7. d
8. b
9. a
10. b
11. c
12. b 13. b
