bernoulli

SUITES DE VARIA VARIABLES BLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES INDÉPENDANTES DE LOI DE BERNOULLI. BERNOULLI. VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI BINOMIALE

SOMMAIRE SOMMAIRE 1. Suites de variables aléatoires indépendantes

2

1.1. Définition : indépendance de n variables aléatoires

2

1.2. Cas particulier : indépendance de deux variables aléatoire

2

1.3. Remarque : l'indépendance dépend de la probabilité choisie

2

1.4. Exercice : X et Y indépendantes et ¦ bijective Þ ¦ o X et Y indépendantes

2

1.5. Proposition : espérance d'un produit et variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes 2

2. Variables aléatoires de Bernoulli

4

2.1. Définition : variable aléatoire de Bernoulli

4

2.2. Remarque sur le paramètre

4 2

2.3. Exercice : si X est de Bernoulli de paramètre p alors X l'est aussi.

4

2.4. Espérance et variance de la loi de Bernoulli

4

2.5. Théorème de Bernoulli

5

3. Variable aléatoire de loi binomiale

5

3.1. Définition de la loi binomiale (comme somme de variables de Bernoulli)

5

3.2. Théorème : formule de loi binomiale

6

3.3. Proposition : espérance et variance de la loi binomiale

6

3.4. Théorème : stabilité de la loi binomiale

7

4. Exemples

8

4.1. Cas de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes

8

4.2. Cas de variables aléatoires de Bernoulli non indépendantes

9

Dans toute la leçon, W est un ensemble fini. On considère un espace probabilisé (W, , P) avec  fait de choisir 

= Ã(W) fait que toute application X : W ®

condition : "pour tout intervalle I de , X -1( I )



est une variable aléatoire (réelle) puisque la

Î " est alors toujours satisfaite. Il en découle immédiatement

que si X et Y sont des variables aléatoires, alors X + Y , l X (où l Î ), )

= Ã(W). Le

¦ o X (où ¦ est une application de  dans

et XY le sont également.

Suites Suites de variable variabless aléatoi aléatoires res de Bernoull Bernoulli. i. Loi binomial binomialee

Page Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

1. Suites de variables aléatoires indépendantes 1.1. Définition Considérons n variables aléatoires (réelles) X 1, X 2, ... , X n définies sur

-1

W.

X ( x) représente l'événement

traditionnellement noté { X = x}

On dit que les variables aléatoires X 1, X 2, ... , X n sont P-indépendantes si :

æ ö "K Ì 1, n, "i ÎK , " xi Î X i(W), P çç I X i-1 ( xi )÷÷ = è i ÎK ø

Õ

(

-1 P X i ( xi )

)

i ÎK

Soit maintenant une suite ( X n) de variables aléatoires réelles. Elles sont dites indépendantes si pour tout sousensemble fini I de , ( X i )i Î I est une famille de variables aléatoires indépendantes. 1.2. Cas particulier : indépendance de deux variables aléatoires X et Y . La définition pose que X et Y sont P-indépendantes si :

" x Î X (W), " y Î Y (W), P( X -1( x) Ç Y -1( y)) = P( X -1( x)) P(Y -1( y)) la notion d'indépendance dépend de la probabilité P choisie

1.3. Remarque : 1.4. Exercice :

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles P-indépendantes et ¦ : 

®  une application bijective.

Alors les variables aléatoires ¦ o X et Y sont aussi P-indépendantes. En effet : Soient x' Î ¦ o X (W) et y Î Y (W). Comme ¦ est bijective : On a :

$! x Î X (W) tel que x' = ¦( x)

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 P((¦ o X ) ( x' ) Ç Y ( y)) = P(( X o ¦ )( x' ) Ç Y ( y)) = P( X ( x) Ç Y ( y))

Et comme X et Y sont indépendantes : P(( X - ( x) Ç Y - ( y)) = P( X - ( x)) P(Y - ( y)) 1

D'où :

1

1

1

P((¦ o X )- ( x' ) Ç Y - ( y))= P( X - o ¦- ( x' )) P(Y - ( y)) = P((¦ o X )- ( x)) P(Y - ( y)). 1

1

1

1

1

1

1

D'où l'indépendance de ¦ o X et Y .

1.5. Proposition Lorsque des variables aléatoires X 1, X 2, ... , X n sont P-indépendantes, on a :

æ E ç çè

n

Õ k = 1

ö X k ÷ = ø÷

æ n Vç çè

n

Õ E ( X ) k

å

et

k = 1

k = 1

ö X k ÷ = ø÷

n

åV ( X ) k

k = 1

Démonstration : on démontre la proposition pour deux variables aléatoires X et Y . La généralisation se fait par simple récurrence. Notons X (W) ={ x1 ; ... ; xm} et Y (W) = { y1 ; ... ; yn}. Exemple : on lance deux dés et on note P

Espérance du produit égal au produit des espérances :

le produit obtenu.

Par définition de l'espérance : E ( XY ) =

å P(( XY)

-1

( z)) z

z Î XY ( W)

Or :

( XY )-1( z) =

1 1 X - ( x ) Ç Y - ( y)

C

( x , y ) ÎX ( W ) ´ Y ( W) xy = z

On note X et Y les résultats respectifs des deux dés. Les lancers étant indépendants, on a : E (P) = E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) = 3,5

2

En effet :

·

-1 Soit w Î ( XY ) ( z). Alors XY (w) = z, c'est-à-dire X (w)Y (w) = z.

Suites de variables aléatoires de Bernoulli. Loi binomiale

Page 2


-1 -1 Posons x = X (w) et y = Y (w). Ainsi, z = xy et w Î X ( x) Ç Y ( y).

U X - ( x) Ç Y - ( y ) .

wÎ

Donc :

1

1

( x , y ) Î X ( W) ´ Y ( W) xy = z

·

U X - ( x) Ç Y - ( y) .

wÎ

Réciproquement, soit :

1

1

( x , y ) Î X ( W) ´ Y ( W) xy = z

-1 -1 Alors il existe ( x, y) Î X (W) ´ Y (W) tel que xy = z et w Î X ( x) Ç Y ( y).

On a donc X (w) = x, Y (w) = y et z = xy -1 D'où z = XY (w), c'est-à-dire w Î ( XY ) ( z).

·

Enfin, l'union est disjointe car si

-1 ( X ( x)

w Î

Ç

-1

Y ( y))

Ç

-1

-1 ( X ( x' )

Ç

-1

-1

-1

Y ( y' )) avec xy

= x'y' alors

-1

X (w) = x = x' et Y (w) = y = y' donc ( x, y) = ( x' , y' ) donc X ( x) Ç Y ( y) = X ( x' ) Ç Y ( y' )

Nous pouvons écrire :

æ ö ç ÷ -1 -1 ÷z E ( XY ) = Pç X x Y y ( ) ( ) Ç C ç ÷ ( x , y ) X ( ) Y ( ) Î W ´ W z Î XY ( W) ç è ø÷ xy = z

å

Et d'après l'additivité de la probabilité P :

å

E ( XY ) =

å

1 1 P( X - ( x) Ç Y - ( y)) z

zÎ XY ( W ) ( x, y )Î X ( W) ´Y ( W) xy = z

E ( XY ) =

å

å P( X

-1

( x) Ç Y - ( y)) xy = 1

z Î XY ( W) ( x , y ) Î X ( W ) ´ Y ( W) xy = z

å P( X

-1

( x ) Ç Y - ( y)) xy 1

( x , y ) Î X ( W) ´ Y ( W)

Et comme X et Y sont indépendantes : E ( XY ) =

å P( X

-1

( x)) P( Y -1 ( y)) xy =

P( X

-1

( x)) x P(Y -1 ( y)) y

xÎX ( W) yÎY ( W)

( x , y ) Î X ( W )´ Y ( W)

E ( XY ) =

å å

å

P( X - ( x)) x 1

x Î X ( W )

å P(Y

-1

( y)) y

y ÎY ( W )

E ( XY ) = E ( X ). E (Y )

Variance de la somme égale à la somme des variances : Par définition de la variance : V ( X + Y ) = E

{[( X + Y ) - E( X + Y )] } 2

D'après la linéarité de l'espérance : V ( X + Y ) = E

{[( X - E ( X )) + (Y - E(Y ))] } 2

Posons X c = X - E ( X ) et Y c = Y - E (Y ). Ainsi X c et Y c sont des variables aléatoires centrées. Comme X et Y sont indépendantes, X c et Y c le sont aussi (conséquence de l'exercice 1.4.) On a donc :

[(

V ( X + Y ) = E X c

]

+ Y c ) = E ( X c2 + 2 X cYc + Y c2 ) 2

D'où, par linéarité de l'espérance :


Page 3


( ) + 2 E( X Y ) + E(Y )

2 V ( X + Y ) = E X c

2 c

c c

Et comme X c et Y c sont indépendantes :

( ) + 2 E ( X ) E( Y ) + E(Y )

2 V ( X + Y ) = E X c

c

2 c

c

Et comme X c et Y c sont centrées, E ( X c) = E (Y c) = 0, d'où

( ) + E(Y ) = E[( X - E ( X )) ] + E[(Y - E(Y )) ] = V ( X ) + V (Y )

V ( X + Y ) = E X c2

2

2 c

2

2. Variables aléatoires de loi de Bernoulli 2.1. Définition Soit p Î [0, 1]. Une variable aléatoire X est dite de loi de Bernoulli de paramètr e p pour la probabilité P si : -1

X (W) = {0 ; 1} et P( X (1)) = p

On note alors X ® B(1, p) Posons q = P( X - (0)). On a : p + q = P( X - (0)) 1

1

+ P( X -1(1)) = P( X -1(0)

-1

C X (1))

= P(W) = 1. D'où q = 1 - p.

2.2. Remarque : le fait, pour une variable aléatoire X , d'être de loi de Bernoulli n e dépend que de l'univers W. Mais son paramètre p dépend de la probabilité P choisie. Par exemple, considérons l'expérience suivante : Une urne contient 2 boules blanches et 1 boule noire (indiscernables) . On tire successivement 2 boules de l'urne avec remise. X =

On pose :

ì1 si au moins une boule blanche est tirée í0 sinon î

En notant E = { B1, B2, N } l'ensemble des 3 boules, l'univers W de cette expérience aléatoire est :

W = {( x, y) Î E ´ E } = {( B1, B1) ; ( B1, B2) ; ( B1, N ) ; ( B2, B1) ; ( B1, B2) ; ( B1, N ) ; ( N , B1) ; ( N , B2) ; ( N , N )} Il est clair que X est une variable aléatoire de loi de Bernoulli, mais son paramètre dépend de la probabilité choisie : Avec la probabilité P uniforme sur

Avec la probabilité A-conditionnelle où A alors un autre paramètre : p' =

2 3

9

"w Î W), on a : p =

8 9

= {( N , B1) ; ( N , B2) ; ( N , N )} (la première boule tirée est noire), on a

.

2.3. Exercice : Démontrer que si X ® B(1, p) alors X 2 On a :

1

W (c'est-à-dire P(w) =

® B(1, p).

X (W) = {0 ; 1} et P( X 2

2

= 1) = P( X = 1) = p.

2.4. Proposition

Remarque : la variance d'une variable

Si X ® B(1, p), alors :

aléatoire de loi de Bernoulli est donc

E ( X ) = p et V ( X ) = pq (où q = 1 - p)


Page 4

majorée par

1 4

.


Démonstration : E ( X ) = P( X (0)) 1

´ 0 + P( X -1(1)) ´ 1 = q ´ 0 + p ´ 1 = p.

( ) - E( X )

V ( X ) = E X

2

2

= E ( X 2 ) - p2

® B(1, p) (d'après 2.3.), on a : E ( X 2 ) = E ( X ) = p

Et comme X 2

2 V ( X ) = p - p = pq

Donc :

2.5. Théorème de Bernoulli Soit ( X n)n  1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p. Y n =

On pose :

1

n

å X

n i =1

i

P(|Y n - p|  e) 

Alors :

1 4ne 2

Démonstration : D'après la loi faible des grands nombres :

P(|Y n - p|  e) 

s2 2 ne

Et comme les X i sont des variables aléatoires de loi de Bernoulli de paramètre p :

s2 = p(1 - p) 

1 4

D'où le résultat.

3. Variables aléatoires de loi Binomiale 3.1. Définition * Soit W un ensemble fini et (W, Ã(W), P) un espace probabilisé. Soient p Î [0, 1] et n Î  .

Soient des variables aléatoires (réelles) X 1, X 2, ... , X n définies sur

W,

indépendantes, de loi de Bernoulli de

même paramètre p pour la probabilité P. n

Soit S =

å X . i

i =1

On dit que S est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètr es n et p. On note alors S ® B(n, p) En particulier toute variable aléatoire X de Bernoulli de paramètre p est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres 1 et p, ce qui justifie la notation X ® B(1, p).


Page 5


3.2. Théorème Soit S ® B(n, p) avec n Î  et p Î [0, 1]. Alors : *

ìS (W) = { 0 ; 1 ; ... ; n} ï í ïî"k Î S (W), P( S -1 ( k) ) = Cnk p k (1 - p) n - k

Démonstration : Supposons que S soit la somme de n variables aléatoires X 1, X 2, ... , X n indépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre p. On a clairement S (W) = 0, n.

(

)

Calculons P S -1 ( k ) pour tout k Î 0, n. n

-1

S (k ) = {w Î W tels que

å X (w) = k } i

i =1

Or, pour que la somme de n nombres égaux à 0 ou 1 soit égale à k Î 0, n, il faut et il suffit que k d'entre eux soient égaux à 1 et n - k d'entre eux soient égaux à 0 :

C {w ÎW tels que X j (w) = 1 "j Î J et X j (w) = 0 "j Î{ 0 ; 1 ; ... ; n} \ J }

-1 S (k ) =

(

)

J ÎÃ { 0 ; 1 ; ... ; n} Card ( J ) = k

Donc :

(

-1

P S ( k )

)

æ æ ö ö ö æ ç -1 ÷ -1 ç ç P I X j (1) Ç = I X j (0)÷÷ ÷÷ çç ÷ ç ø è j Î{0 ; 1 ; ... ; n} \ J ø ø J ÎÃ( {0 ; 1 ; ... ; n} ) è è j ÎJ

å

Card ( J ) = k

Et comme X 1, X 2, ... , X n sont indépendantes :

(

P S

-1

ö æ ö æ -1 ÷ ç -1 -1 -1 ç ( k )) = P I X j (1) P X j ( 0)÷ = P( X j (1) ) P( X j ( 0) ) I ç ø÷ çè j Î{ 0 ; 1 ; ... ; n} \ J ø÷ J ÎÃ({ 0 ; 1 ; ... ; n} ) j ÎJ j Î{ 0 ; 1 ; ... ; n} \ J J ÎÃ({ 0 ; 1 ; ... ; n} ) è j ÎJ

å

å

Card ( J ) = k

Card ( J ) = k

(

P S -1 ( k )

)=

(

å {

p (1 - p) = Õ Õ { } }

J ÎÃ 0 ; 1 ; ... ; n Card ( J ) = k

) j ÎJ

j Î 0 ; 1 ; ... ; n \ J

Õ

Õ

p (1 - p) å { }

1 - k

k

(

J ÎÃ 0 ; 1 ; ... ; n Card ( J ) = k

)

Et comme la somme comporte C nk termes :

(

P S -1 ( k )

) = C p k n

k

(1 - p)1- k

3.3. Proposition Si X ® B(n, p) avec n Î  et p Î [0, 1], alors : *

E ( X ) = np et V ( X ) = npq (où q = 1 - p)

Démonstration :


Page 6


E ( X ) =

å P( X

-1

n

å

( x)) x =

x ÎX ( W )

Cnk

p (1 - p) k

n

n- k

k =

åC

k n

p k (1 - p) n - k k

k = 1

k = 0

Or : k C nk = n C nk --11 d'où : n

E ( X ) = n

å

Cnk--11 p k (1 - p) n - k

n

= np

k = 1

å

Cnk--11 p k -1 (1 - p) ( n -1) - ( k -1) = np

k = 1

® B(n, p),

åC

k k n -1 p (1

- p) ( n-1) - k

k = 0

E ( X ) = np [ p + (1 - p) ]

Mieux : puisque X

n -1

n -1

= np

il existe des variables aléatoires (réelles) X 1, X 2, ... , X n définies sur

W,

n

indépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre p telles que X =

å X . i

i =1

Par linéarité de l'espérance :

æ n E ( X ) = E ç çè

å i =1

ö X i ÷ = ø÷

n

å E ( X ) i

i =1

n

å p = np.

E ( X ) =

Et d'après 2.4. :

i =1

Remarquons que ce résultat persiste même si X est la somme de variables aléatoires (réelles) X 1, X 2, ... , X n de loi de Bernoulli de même paramètre p non indépendantes. Par contre, pour la variance, l'hypothèse d'indépendance est indispensable :

æ n

V ( X ) = V ç ç

å

è i =1

ö ø÷

X i ÷

Et comme X 1, X 2, ... , X n sont indépendantes, on a (d'après 1.5.) : n

V ( X ) =

åV ( X ) i

i =1

n

V ( X ) =

Et d'après 2.4. :

å pq = npq i =1

3.4. Théorème stabilité additive de la loi binomiale Si X ® B(m, p) et Y ® B(n, p) avec X et Y sont indépendantes, alors : X + Y ® B(m + n, p) Démonstration : Posons S = X + Y . On a clairement S (W) = 0, m + n.

(

)

Calculons P S -1 ( k ) pour tout k Î 0, m + n :

-1

S (k ) =

k

C X - (i) Ç Y - ( k - i) 1

1

i =0


Page 7


D'où :

(

-1

(

-1

k

P S ( k )

) = å P( X - (i) Ç Y - ( k - i)) 1

1

i=0

Et comme X et Y sont indépendantes : k

P S ( k )

) = å P( X - (i)) P(Y - ( k - i)) 1

1

i =0

Comme X ® B(m, p) et Y ® B(n, p) :

(

1 P S - ( k )

(

)=

P S

-1

k

å C p (1 - p) i m

i

m- i

Cnk - i p k - i (1 - p) n - ( k - i)

i=0

æ k ( k )) = çç è

å

ö ø÷

CmiCnk - i ÷ p k (1 - p) m+ n - k

i=0

k

å C C i m

Et d'après la formule de Vandermonde :

k -i n

=

C mk +n

i =0

(

P S - ( k )

D'où :

1

) = C +

k m n

p k (1 - p) m + n - k

Donc S ® B(m + n, p)

Preuve de la formule de Vandermonde : Soit E et F deux sous-ensembles disjoints d'un ensemble X . Notons m et n leur cardinaux respectifs. On dénombre, de deux façons différentes le nombre de parties à k éléments de E È F :

·

D'une part, il y en a : C mk +n

·

D'autre part, on obtient une telle partie en choisissant i éléments (0  i  k ) dans E ( C mi possibilités) puis k - i éléments dans

F ( C nk - i

k

possibilités). Soit au total :

å C C i m

k -i n

parties.

i =0

D'où la formule de Vandermonde.

4. Exemples 4.1. Cas de variables aléatoires de loi de Bernoulli i ndépendantes : 40% des individus d'une population possèdent un caractère C . On considère un échantillon de 200 individus. Peut-on affirmer, à 99%, que la probabilité de la fréquence d'apparition du caractère C dans l'échantillon soit comprise entre 30% et 50% ? Population

C (40 %)

C (60 %)

Echantillon 200 individus


Page 8


Pour tout i Î 1, 200, notons X i la variable aléatoire définie par X i =

ì1 si le i ème í î0 sinon

individu de l'échantillon possède le caractère C

X i est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètr e 0,4.

Notons X =

n

å X = nombre d'individus de l'échantillon qui possèdent le caractère C . i

i =1

Alors :

X

B(200 ; 0,4)

E ( X ) = np = 80 et Var( X ) = np(1 - p) = 48

On a donc :

La fréquence d'apparition du caractère C dans la population est : On veut estimer :

p(0,3 

X

200



X

200

0,5) = p(60  X  100) = p(| X - E ( X )|  20)

Première méthode : utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev p(| X - E ( X )|  e) 

On la rappelle :

Var( X )

e2

p(| X - E ( X )|  20) = 1 - p(| X - E ( X )|  21)  1 -

On a donc :

48 2

21



0,89

L'inégalité est trop faible pour qu'on puisse affirmer à 99% que la probabilité de la fréquence d'apparition du caractère C dans l'échantillon soit comprise entre 30% et 50%. Deuxième méthode : Approximation de la loi binomiale par la loi normale

æ -20  X - E( X )  20 ö  2 p(| X - E ( X )|  20) = p ç ÷ è4 3 4 3 4 3ø

ò

5 3

0

2

1 2p

e

-

t

2

dt  0,996

Conclusion : oui, on peut affirmer à 99% que la probabilité de la fréquence d'apparition du caractère C dans l'échantillon soit comprise entre 30% et 50%.

4.2. Cas de variables aléatoires de loi de Bernoulli n on indépendantes : Soient n, p Î  . *

On dispose de p lots à répartir entre n personnes P1, ... , Pn de la façon suivante : chaque lot est attribué par tirage au sort d'une personne parmi les n. Calculer le nombre moyen de personnes qui ne recevront aucun lot. L'univers W de cette expérience aléatoire est l' ensemble des p-listes de {P1 ; ... ; Pn}. Il y en a n p . Pour tout k Î 1, n, notons E k l'événement décrit par "la personne Pk ne reçoit aucun lot". L'événement E k est constitué des p-listes de {P1 ; ... ; Pn} \ {Pk }. Il y en a (n - 1) p . En choisissant la probabilité uniforme P sur W, on a : P( E k ) =


Page 9

(n - 1) p n p

.


X k =

Notons :

ì1 si E k est réalisé í0 sinon î

Les X k , 1  k  n, sont des variables aléatoires de loi de Bernoulli de paramètr e

(n - 1) p n p

.

n

Posons X =

å X = nombre de personnes ne recevant aucun lot. i

i =1

E ( X ) = nE ( X 1) =

On a :

Exemple : si p

= 4 et n = 5, E ( X ) =

4

4 3

5

=

(n - 1) p n p -1

256 > 2. Le nombre de personnes ne recevant aucun lot, en moyenne, 125

est supérieur à 2. Remarque : dans cet exercice , les X k , 1  k  n, sont non indépendantes (lorsque n  2) : En effet, soient h et k distincts compris entre 1 et n. p E k Ç E h est constitué des p-listes de {P1 ; ... ; Pn} \ {Pk ; Ph}. Il y en a (n - 2 ) . p

P( E k Ç E h) =

Donc :

Et comme P( E k ).P( E h) =

(n - 1) p n p

´

(n - 1) p n p

( n - 2) p

n

, on en déduit que :

-1 -1 -1 -1 P( X k (1) Ç X h (1) ) ¹ P( X k (1) ) ´ P( X h (1) )

Donc X k et X h ne sont pas indépendantes et les X k , 1  k  n non plus.


Page 10


bernoulli

Recommend Documents