BAB VI BILANGAN BULAT MODULO N DAN RING POLINOMIAL
A. Bilangan Bulat Modulo-n
Dalam bagian ini akan dijelaskan bayangan homomorfik dari ring bilangan bulat Z. Bayangan homomorfik sederhana, yaitu, tidak isomorfik pada Z, adalah semua ring-ring berhingga. Ring-ring ini sangat menarik dan dapat digunakan untuk membuktikan beberapa kenyataan tentang “sifat habis dibagi “ pada bilangan-bilangan bulat. Hal tersebut sudah dibuktikan, yaitu setiap ideal dalam Z adalah ideal utama. Perhatikan ideal taknol . Dapat diasumsikan bahwa n>0 karena = <-n>; yaitu , setiap bilangan bulat yang habis dibagi oleh n dapat juga dibagi oleh –n. Definisi secara umum dari kongruen modulo n suatu ideal diberikan dalam definisi pada bab III, yaitu : Jika a,b ∈ Z maka a ≡ b ( mod. N ) bila dan hanya bila n|(a-b).
Definisi a.1. Diberikan n bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n jika a-b habis dibagi oleh n. Bentuk tersebut ditulis sebagai a ≡ b ( mod. n ).
Dua bilangan bulat kongruen modulo 2 bila dan hanya bila kedua bilangan tersebut adalah bilangan genap atau keduanya bilangan ganjil.
Contoh : 17 ≡ 3 ( mod. 7 ) karena 7 membagi habis 17-3 atau 4; 4 ≡ 22 (mod. 9 ) karena 9 membagi habis 4-22 atau –18; 19 ≡ 19 ( mod. 11) ; 17 ≠ 3 ( mod. 8 ) ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
57
Berikut ini pernyataan-pernyataan yang ekuivalen yang berkaitan dengan relasi kongruen modulo n, yaitu : a ≡ b ( mod. n )
⇒ n|(a-b) ⇒ a-b = un, untuk suatu n ∈ Z ⇒ a = b + un, untuk suatu n
∈
Z.
Teorema a.1. Kongruensi modulo n adalah relasi ekuivalensi pada himpunan bilangan bulat, untuk setiap bilangan bulat positif n.
Bukti ; Refleksif : jika a adalah bilangan bulat maka a ≡ a ( mod. n) karena n|(a-a) = 0. Simetris : jika a ≡ b ( mod. n), atau n|(a-b) maka n|(b-a) atau dapat ditulis b ≡ a (mod. n). Transitif : jika a ≡ b ( mod. n) dan b
≡
c ( mod. n ) maka n|(a-b) dan
n|(b-c); padahal jika n | {(a-b) {(a-b) + (b-c) } = a-c maka a ≡ c ( mod. n).
g
Kelas-kelas ekuivalensi dari relasi ekuivalen ini disebut kelas kongruensi modulo n, atau lebih sederhana kelas kongruensi.
Contoh : 1. Ada dua kelas kongruensi modulo 2; bilangan bulat genap dan bilangan bulat ganjil. 2. Ada 4 kelas kongruensi modulo 4, yaitu : { …, -8, -4, 0, 4, 8, … } { … , -7, -3, 1, 5, 9, … } { …, -6, -2, 2, 6, 10, … }
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
58
Dari bentuk di atas, ada 4 kelas kongruensi dan setiap bilangan bulat kongruen juga pada 0, 1, 2 atau 3 ( mod. 4).
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa selalu ada n kelas kongruensi modulo n dan bahwa setiap bilangan bulat adalah kongruen juga pada 0, 1, 2, …, atau n-1 (mod. n). Tetapi sebelumnya akan diuraikan tentang bilangan bulat lain.
Teorema a.2. Prinsip Bilangan Bulat Terkecil Setiap himpunan tak kosong dari bilangan bulat positif memuat suatu g
elemen terkecil.
Jika 11 dibagi 4, maka ada hasilbagi yaitu 2 dan sisa 3 karena 11 4
=
2+
3 4
atau 11 = 4.2 + 3.
Teorema a.3. Algoritma Pembagian untuk himpunan bilangan bulat. Jika a dan b bilangan bulat, dengan b > 0, maka ada bilangan bulat tunggal q dan r sedemikian sehingga a = bq + r ,
0≤r < b
Bukti : Diketahui a, b ∈ Z, b > 0. Akan ditunjukkan ada q , r ∈ Z sehingga a = bq + r, 0 ≤ r < b. Perhatikan himpunan S = { a – b t | t Dan diberikan S’ = { x
∈
S | x
≥
∈
Z }.
0 }.
Misalkan a ∈ S’ , a ≥ 0 , a = a – b t , untuk t = 0. 0. Jika a < 0, dengan t = a maka a – ba = a ( 1 – b ). Maka a ( 1 – b ) ≥ 0 bila bila 1 – b ≤ 0 . Atau 1 ≤ b. Diberikan r bilangan bulat terkecil dalam S’. ( Jika 0 ∈ S ‘ maka r = 0 sesuai definisi S’). Diberikan q melambangkan korespondensi nilai t sehingga ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
59
a - bq = r dan a = bq + r. Maka 0 ≤ r, akan ditunjukkan r < b. Diandaikan r ≥ b maka a – b ( q + 1 ) = a – b q – b = r–b
≥
0
dan berarti a – b ( q + 1 ) ∈ S’. Padahal a – b ( q + 1 ) = a - bq - b < a - bq = r , karena b > 0. Atau a – b ( q + 1 ) < r. Kontradiksi dengan diketahui bahwa r elemen terkecil dari S’. Maka dipunyai a = bq + r , 0 ≤ r < b. Selanjutnya akan dibuktikan ketunggalan. Diberikan a = bq1 + r1 , untuk 0 untuk 0
≤
≤
r1 < b., dan a = bq2 + r2 ,
r2 < b.
Harus ditunjukkan q1 = q2 dan r1 = r2 bq1 + r1
= bq2 + r2
b (q1 - q2 ) = Maka b | ( r2 Padahal 0
≤
r2
- r1
- r1 ). r1 < b , 0
≤
r2 < b. maka -b < r2
Bentuk tersebut hanya diperoleh jika r2 atau
r2
Karena
.
- r1
- r1 < b.
= 0,
= r1. b (q1 - q2 ) = 0 dengan b
≠
0, maka q1 = q2 .
g
Teorema di atas sering disebut dengan algoritma pembagian (division algorithm). Pada contoh di atas, dapat dilihat bahwa untuk 11 dibagi 4 , dapat dinyatakan dengan algoritma pembagian bahwa bahwa b = 4 , a = 11 ,
q=2
dan r = 3.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
60
Teorema a.4. Diberikan bilangan bulat positif n. Maka setiap bilangan bulat kongruen modulo n untuk setiap bilangan-bilangan bulat 0 , 1 , 2 , … , n – 1 berurutan. Bukti : Jika a
dan b
adalah bilangan bulat dengan n>0, maka dengan
algoritma pembagian ada tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga a=nq+r,
0 ≤ r < n.
Dari bentuk tersebut, a – r = n q sedemikian sehingga n | ( a-r ) atau a ≡ r ( mod. n ). Maka a kongruen dengan paling sedikit satu dari bilangan-bilangan bulat 0 , 1 , … , n – 1, 1, karena 0 ≤ r < n. Untuk menunjukkan r tunggal, tunggal, diasumsikan bahwa a ≡ s ( mod. n )
dengan
0 ≤ s < n. Maka a – s = nt ( untuk suatu bilangan bulat t ) dan a = n t + s, 0≤ s < n. Maka dipenuhi s = r sesuai dengan algoritma pembagian; pembagian; yaitu yaitu sifat ketunggalan g
untuk r.
Soal Latihan 1. Buktikan bahwa jika a|b dan b|c maka a|c.
2. Buktikan bahwa jika a|b dan b|a maka a= + b.
3. Ada 10 bilangan bulat x sedemikian sehingga –25 < x < 25 dan x ≡ 3(mod. 5). Tentukan nilai x tersebut.
4. Untuk n berapa saja 25
≡
4 ( mod. n ) ?
5. Buktikan bahwa jika m | n dan a
≡
b ( mod. n) maka a
≡
b ( mod. m ).
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
61
B. Ring Polinomial
Definisi b.1. Diberikan R ring, suatu polynomial f(x) dengan koefisien dalam R adalah jumlahan tak hingga ∞
∑ a x
i
i
=
n
2
a0 + a1 x + a2 x + ...... + an x + ........
i =0
di mana ai ∈ R dan ai = 0 untuk semuan nilai dari I yang berhingga jumlahnya. ai adalah koefisien dari f(x). Jika suatu I > 0 yang sesuai dengan ai ≠ 0, nilai terbesar dari I adalah derajat dari f(x).
Untuk menyederhanakan pekerjaan dengan polinomial, Jika f(x) = a0
+
a1 x
+
a2 x 2
+ ...... +
an x n + …… mempunyai ai = 0 untuk I>n,
maka dapat dilambangkan dengan f(x) = a0
+
a1 x
+
a2 x 2
+ ...... +
an x n .
Demikian juga, jika R mempunyai satuan (yaitu elemen identitas perkalian) maka dapat ditulis 1xk sebagai xk. Sebagai contoh, dalam Z[x], ditulis polinomial 2 + 1x sebagai 2 + x. Penjumlahan dan perkalian dari polinomial dengan koefisien dalam ring R didefinisikan secara jelas. Jika f(x) = a0 g(x) = b0
+
+
n a1 x + a2 x 2 + ...... + an x + …. dan n
b1 x + b2 x 2 + ...... + bn x +.. maka untuk penjumlahan polinomial
diperoleh f(x) + g(x) = c0 + c1x + c2 x2 + …. + cnxn + ….., di mana cn = an + bn dan untuk perkalian polinomial diperoleh f(x) g(x) = d0 + d1x + d2 x2 + …. + dnxn + ….., n
di mana dn =
∑a
i
bn − i .
i=0
Jelas bahwa ci dan di adalah 0 untuk semua jumlah berhingga dari nila I, maka definisi tersebut terpenuhi. ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
62
n
Perlu diperhatikan bahwa
∑
n
ai bn − i tidak harus sama dengan
i =0
∑b
i
an − i
i =0
jika R tidak komutatif. Dengan definisi penjumlahan dan perkalian tersebut, dapat dirumuskan teorema berikut.
Teorema b.1. Himpunan R[x] dari semua polinomial dalam x dengan koefisien dalam suatu ring R adalah ring dengan operasi penjumlahan polinomial dan perkalian polinomial. Jika R komutatif, maka R[x] juga komutatif. Dan jika R mempunyai elemen satuan 1, maka 1 juga merupakan elemen satuan dari R[x]. Bukti : {R[x],+) adalah grup komutatif. Akan dibuktikan memenuhi sifat asosiatif. Dengan menggunakan aksioma-aksioma ring pada ai, b j , ck ∈ R, diperoleh :
∞ ∞ ∞ i j k ∑ ai x ∑ b j x ∑ ck x j = 0 i = 0 k = 0 ∞ n n ∞ = ∑ ∑ aibn − i x ∑ ck x k k = 0 n = 0 i = 0 s ∞ = ∑ ∑ ∑ aibn −i cs − n x s s = 0 n = 0 i = 0 ∞
=
s a b c ∑ ∑ i j k x i = 0 i + j + k = s
=
s m s a b c ∑ s − m ∑ j m − j x ∑ s=0 j = 0 m = 0
∞
∞
∞ m ∞ i = ∑ ai x ∑ ∑ b j cm − j x m i = 0 m = 0 j = 0 ∞
∞
∞
i = 0
j = 0
k = 0
= ∑ ai x i ∑ b j x j ∑ ck x k ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
63
Contoh : Dalam Z2 [x] dipunyai (x + 1) 2 = (x +1)(x+1) = x2 + (1+1)x + 1 = x 2 + 1 Dalam Z2 [x], dipunyai (x+1) + (x+1) = (1+1)x + (1+1) = 0x + 0 = 0 Jika R adalah ring dan x, y variable bebas maka dapat dibentuk ring (R[x])[y], yaitu, ring polinomial dalam y dengan koefisien yang merupakan polinomial dalam x. Setiap polinomial dalam y dengan koefisien yang juga polinomial dalam x dapat ditulis kembali sebagai polinomial dalam x dengan koefisien yang juga polinomial dalam y.
Contoh lain : Dalam Z[x], (2x+5x2) + (1-3x2 – x3) = (0+2x+5x2+0x3)+(1+0x+(-3)x2+(-1)x3) = (0+1)+(2+0)x+(5-3)x2 +(0-1)x2 = 1 + 2x + 2x2 – x3 dan (2x+5x2)(1-3x2-x3) = 2x (1-3x2-x3)+5x2(1-3x2-x3) = (2x – 6x3 – 2x4)+(5x2 – 15x4 – 5x5) = 2x + 5x2 – 6x3 – 17 x4 – 5x5 Dalam Z4[x], ([2]+[2]x) + ([2]+[3]x –[1]x2) = ([2]⊕[2])+([2] ⊕[3])x+(-[1])x2 = [0]+[1]x+[-1]x2 = [1]x+[3]x2 dan ([2]+[2]x)([2]+[3]x-[1]x2) = ([2]⊗[2])+([2]⊗[3] ⊕ [2] ⊗ [2])x +[[2] ⊗ [-1] ⊕[2]⊗[3])x2 +([2] ⊗[-1]x2 = [0]+[2]x+[0]x2+[-2]x3 = [2]x+[2]x3 Perlu diketahui, -[1]x2 = [-1]x2 = [3]x2. Secara umum, -axn =(-a)xn dalam suatu ring polinomial. ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
64
SOAL LATIHAN
1. Ada 4 polinomial berbeda berderajat berderajat 2 dalam Z2[x]. Sebutkan ! 2. Berikut adalah polynomial dalam Z. Selesaikan ! a. (1+2x)+(2-x+2x2) b. (2x+x3)+(x+2x4) c. (1+2x)(2-x+2x2) d. (2x+x3)(x+2x4) e. (2x+x2)3
3. Buktikan bahwa jika R ring komutatif dan R[x] daerah integral, maka R harus daerah integral.
4. Buktikan bahwa jika R dan S ring-ring komutatif dan R isomorfik dengan S maka R[x] isomorfik dengan S[x].
5. Turunan dari polinomial p(x) = a0
+
a1 x + a2 x 2 + ...... + an x n
lewat R didefinisikan sebagai p’(x) = a1 + 2a2x + … + nanxn-1 Buktikan bahwa [p(x) + q(x)]’ = p’(x) + q’(x) Dan [p(x)q(x)]’ = p(x) q’(x) + p’(x) q(x).
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈ ≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
STRUKTUR ALJABAR II
65