Bilangan irasional Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Langsung ke: navigasi navigasi,, cari adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah Bilangan irasional adalah bilangan berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan merupakan bilangan rasional. rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π,
, dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat = 3.14, tetapi = 3,1415926535.... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... Untuk bilangan
:
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798.. dan untuk bilangan e:
1. Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,……} 2. Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,….} 3. Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,….}
4. Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} 5. Himpunan bilangan rasional Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q ∈ bulat dan q berulang.
≠
0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 6. Himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, √7 7. Himpunan bilangan riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 8. Himpunan bilangan imajiner Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i 9. Himpunan bilangan kompleks
Ηιµπ υν α ν β ι λ α ν γ α ν κ ο µ π λ ε κ σ α δ α λ α η η ι µ π υ ν α ν βι λα ν γ α ν ψ α ν γ α ν γ γ ο τ α−α ν γ γ ο τ α ν ψ α (α + β ι) δ ι µ α ν α α , β ∈ R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. contoh: 2-3i, 8+2
Tuesday, October 7, 2008 Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional ^^ Posted by hendry_dext Huaam. Sudah tahukah kalian tentang bilangan irasional? Lalu, kalau sudah tahu, tentunya kalian bisa donk menjawab pertanyaan ini: 1. Apakah adalah bilangan irasional? 2. Apakah adalah bilangan irasional? 3. Apakah 0,12111111... adalah bilangan irasional? 4. Bisakah kamu membuat bilangan 0,25252525... menjadi bentuk pecahan a/b yang paling sederhana? 5. Buktikan bahwa itu irasional (Sumber: ariaturns ariaturns)) 2 6. Buktikan log 3 adalah bilangan irasional 7. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional? Nah, kalo kalian masih b'lom tw, baca lagi joedoel post di atas: "Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional". So, tenang aja... Here, I'll introduce you my friend, Irrational numbers.. Hehehe.. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= =-=-=-=
Definisi Bilangan Rasional Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan bilangan rasional. Bilangan rasional rasional adalah bilangan bilangan Real yang yang dapat disusun disusun ulang ulang dalam bentuk bentuk pecahan di mana a dan b harus integer. integer. Jadi, Bilangan Bilangan irasional irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan . Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja. Contoh: 1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional. 2. Pecahan . Pecahan ini jelas jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3. 3. Pecahan juga.
. Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional
Bagaimana dengan bilangan
..???
Jawab: Bila Bilanga ngan n adal adalah ah bil bilan angan gan imaj imajin iner er,, bila bilang ngan an yang yang tida tidak k real real (bi (bila langa ngan n yang yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional. Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab: Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi
.
Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?
Jawab: Misalkan A= 0,2525252525.... _____._ 0,2525252525.... _____._ (persamaan (persamaan pertama) Kalikan A dengan 100 menghasilkan: 100A=25,2525252525.... ___ (persamaan (persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu: 100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525... 99A = 25 A=
.
Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk dibentuk menjadi pecahan di mana a=25 dan b=99. Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional. Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?
Jawab: Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola. Anggap A=0,121111... Kalikan A dengan 100 menghasilkan 100A = 12,1111... _____._ 12,1111... _____._ (persamaan (persamaan pertama) Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan 1000A = 121,1111... ____ (persamaan (persamaan kedua) Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu 1000A-100A = 121,1111... - 12,1111... 900 A = 109
A= . Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.
Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?
Jawab: Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional. Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?
Jawab: Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah. Contoh: 1. Tentukan bilangan pecahan paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123.... Jawab:
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah Setelah disederhanakan maka menjadi
.
.
2. Jika adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428 0,0142857142851714285171428517.... 517.... Tentukan a+b positif terkecil! Jawab: Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517.... Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:
. Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= =-=-=-=
Definisi Bilangan Irasional Nah, sekarang kita baru lanjut ke "Bilangan Irasional". Tentunya, jika sudah paham tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika bilangan itu tidak dapat dijadikan pecahan , maka bilangan itu itu irasional. irasional.
Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan irasional?
Jawab: Ya. Misalnya Misalnya pi yang disimbolkan dengan digit 3,14159265358979323846264.. 3,14159265358979323846264.... .. Digitdigit itu tak pernah berulang. Oleh karena itulah tidak bisa dijadikan pecahan . Begitu pula dengan yang digit-digitnya adalah 1,41421356237309504880168872420969807.... Oh iya, iya, bilan bilangan gan juga juga merupak merupakan an bilan bilangan gan iras irasion ional al yang yang perta pertama ma kali kali berha berhasil sil dibuktikan dibuktikan orang sebelum sebelum Masehi. Masehi. Orang itu bernama bernama Hippapus Hippapus (Sumber: (Sumber: ariaturns ariaturns). ). Untuk membuktikan apakah itu irasional, kita tidak perlu menghitung semua digitnya karena digitnya digitnya itu infinite (tak hingga) banyaknya. banyaknya. Hippapus Hippapus berhasil berhasil memberikan memberikan kita gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya. Bagaimana cara membuktikan bahwa
itu bilangan irasional?
Jawab: Untuk membuktikan adalah irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi ( proof proof by contradiction), contradiction), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar. Pertama, asumsikan bahwa
bilangan rasional yang bisa dibentuk menjadi .
= Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi: 2 = Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = 2k. 2
= =2
Maka mengakibatkan juga genap. Artinya b haruslah genap. Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak akan ada a dan b yang memenuhi kondisi
= . Jadi,
adalah bilangan irasional.
(Sumber: ariaturns ariaturns)) Bagaimana cara membuktikan bahwa 2log 3 adalah bilangan irasional?
Jawab: Gunakan cara yang sama seperti soal sebelumnya. Asumsikan bahwa 2log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka kita dapat: 2
log 3 = =3 =
Di sini sini kita kita akan menemui menemui sesuatu sesuatu yang yang kontrad kontradikti iktif. f. Ruas Ruas kiri, kiri, , akan selalu selalu bernilai bernilai genap untuk untuk semua semua nilai nilai m, m, sedangkan sedangkan untuk untuk ruas ruas kanan, kanan, akan selalu selalu bernilai bernilai ganjil ganjil 2 untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi, log 3 adalah bilangan irasional. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?
Jawab: Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi sebagai berikut. , di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional. Seandainya, kita ambil contoh a =
dan b =
, maka kita tentunya bisa saja
menganggap bahwa sebagai salah satu contoh bilangan rasional. Maka, di sini jawabannya sudah didapat. Namun, apabila
itu merupakan bilangan irasional, maka kita bisa menganggap
bahwa a = dan b = , dengan demikian c = merupakan jawaban yang dimaksud.
. Artinya, c = 2,
Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan irasional atau bilangan rasional?
Jawab: Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih sedikit ketimbang bilangan irasional. Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan irasional. Misalnya, merupakan bilangan rasional, namun , , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan? Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real, jumlah bilangan irasional jauh lebih banyak daripada jumlah bilangan rasional. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= =-=-=-= Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan rasional dan irasional. (Masih ada tingkat lanjutannya.) Jika ada yang tidak dimengerti, d imengerti, tanya ajah.. ^^.. Sumber: macem2, salah satunya http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2 http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2.. Thx for http://jovieblog.blogspot.com for http://jovieblog.blogspot.com juga yang turut memberi inspirasi mengenai design blog.
10 comments:
Sistem Bilangan Real August 10th, 2008 by aurino | Filed under Uncategorized under Uncategorized..
Sistem Bilangan Real Sebelum masuk ke dalam bilangan real, maka kita membahas terlebih dahulu konsep sets) Himpunan adalah Himpunan ( sets) adalah sekumpulan sekumpulan obyek/unsur obyek/unsur dengan kriteria/s kriteria/syarat yarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S . Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi φ atau { }.
Jika a merupakan anggota himpunan S , maka dituliskan a ε S dan dibaca “a “a elemen S “. “. Jika a bukan anggota himpunan S , maka dituliskan
dan dibaca “a bukan elemen S “. “.
Himp Himpun unan an dapa dapatt disa disaji jika kan n denga dengan n 2 cara. cara. Pert Pertam ama, a, deng dengan an menul menulis iskan kan selu seluru ruh h A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 anggotanya. anggotanya. Sebagai Sebagai contoh, contoh, himpunan himpunan A dapat dinyatakan sebagai: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis: A={x|x bilangan bulat positif kurang dari 10}
Himpunan A Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B himpunan B,, ditulis ditulis merupakan anggota B anggota B..
, jika setiap setiap anggota anggota A
Beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting adalah ={1,2,3,…}. Himpunan Himpunan ini tertutup terhadap Himpunan semua bilangan asli adalah N ={1,2,3,…}. operasi operasi penjumlahan penjumlahan dan operasi operasi pergandaan, pergandaan, artinya artinya
dan
untuk setiap setiap
. Oleh Oleh karena karena itu, itu, himpuna himpunan n semua semua bilanga bilangan n asli asli memben membentuk tuk suatu suatu sistem sistem dan biasa biasa disebut sistem disebut sistem bilangan asli. asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem membentuk Sistem Bilangan Bulat , ditulis dengan notasi Z , Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,
Dalam Dalam kehidu kehidupan pan nyata nyata sering seringkal kalii dijump dijumpai ai bilanga bilangan-bi n-bilan langan gan yang yang tidak tidak rasion rasional. al. bilangan irasional irasional . Contoh Bila Bilanga ngan n yang yang tida tidak k rasi rasion onal al dise disebut but bilangan Contoh-con -contoh toh bilang bilangan an irasional irasional antara antara lain adalah dan π . Bilangan Bilangan adalah panjang panjang sisi miring miring segitiga segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1
Sedangkan Sedangkan bilangan bilangan π merupak merupakan an hasil hasil bagi kelili keliling ng sebara sebarang ng lingka lingkaran ran terhad terhadap ap diameternya (Gambar 1.1.2).
Himpunan Himpunan semua bilangan irasional irasional bersama-sa bersama-sama ma dengan Q membentuk membentuk himpunan himpunan semua bilangan real R real R.. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real sering seringkal kalii digunak digunakan an cara cara desimal . Sebaga Sebagaii contoh contoh,, bilanga bilangan-bi n-bilan langan gan masi masing ng-m -mas asiing
dapa dapatt
diny dinyat atak akan an
dala dalam m
desi desima mall
sebag ebagai ai
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:
1.
berhenti (
), atau
2.
berulang beraturan (
).
Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bil bilanga ngan ters ersebut ada adalah irasiona onal. Sebag bagai contoh, bilanganan-bilangan:
AKAR DUA BILANGAN RASIONAL Akar dua yang dilambangkan dengan x2, adalah suatu bilangan, sebut saja x, yang memenuhi x2=2. Bilangan x2 muncul sebagai akibat adanya teorema yang kebenarannya ditunjukan oleh Phytagoras, seorang filsuf dari Yunani. Misalkan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang masing-masing sisi siku-sikunya adalah a dan b. Dan panjang sisi miringnya adalah c,maka akan memenuhi persamaan: c2=a2+b2 Apabila segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi sikusikunya adalah 1, maka panjang sisi miringnya, yang dinamai c, mamenuhi persamaan berikut: c2=12+12 c2=1+1 c2=2 c=x2 Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan bilangan rasional. Sedangkan, yang dimaksud dengan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p dan q masing-masing bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat, maka n senantiasa dapat dituliskan sebagai n/1. Contohnya:
• •
5=5/1 12=12/1
Selain bilangan bulat ada bilangan rasional yang dikenal sebagai bilangan pecahan, salah satu contohnya bilangan yang lambangnya 1/2, dibaca satu per dua atau dikenal dengan nama setengah. Contoh yang lain adalah 3/4 dibaca tiga per empat. Dan masih tak hingga banyak lagi contoh yang lain. Dilihat dari penulisannya, sebuah bilangan rasional terdiri atas 2 b agian, yaitu bagian atas dikatakan sebagai pembilang dan bagian bawah dikatakan sebagai penyebut dari sebuah bilangan rasional. Apabila pada suatu bilangan rasional, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih kecil dari 1. Dan apabila pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih besar dari 1. Sedangkan apabila pembilangnya sama dengan penyebutnya maka nilai bilangan rasional itu sama dengan 1. Kalau dihitung dengan kalkulator x2=1,414213562... Kalau dilihat pada garis bilangan, x2 terletak diantara bilangan bulat 1 dan 2.
Sifat persamaan yang sudah dikenal sejak mulai be lajar aljabar adalah suatu persamaan
