Borrador Manual Docente Unidad 01 (Rp) (1)

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP a

MANUAL DEL DOCENTE MATEMÁTICA APLICADA I MTES01

Matemática Aplicada I – MTES01

MANUAL DEL DOCENTE MATEMÁTICA APLICADA I MTES01 Edición 2016 Autores: Alejandro García Miño Lorena Rosas Toro Sebastián Herrera de la Piedra Ricardo Cood Corail Germán Osses Romano

Revisores: Alejandro García Miño Lorena Rosas Toro Sebastián Herrera de la Piedra Ricardo Cood Corail Germán Osses Romano

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PRESENTACIÓN Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática Aplicada I, asignatura lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias Básicas. Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la Didáctica de la Matemática. La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del docente un mediador. El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.

Confía en tus capacidades, capacidades, te deseamos mucho éxito.

ÁREA CIENCIAS BÁSICAS VICERRECTORÍA ACADÉMICA DE PREGRADO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP - 2016 2 016

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ÍNDICE

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CAPITULO I

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos o matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos p resenta en los libros. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras, aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias, como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las estrategias matemáticas para su solución.

APRENDIZAJES ESPERADOS 1.1.- Resuelve problemas matemáticos, utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas, argumentando y razonando matemáticamente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1.1.- Desarrolla y usa modelos en múltiples situaciones. 1.1.2.- Generaliza resultados a otros tipos de problemas. 1.1.3.- Vincula o relaciona diferentes sistemas de representación. 1.1.4.- Elabora argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros.

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CONTENIDOS 1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos: - Ensayo y error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto. 2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: - Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.

3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos: - Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva.

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DISTRIBUCIÓN DE ACTIVIDADES POR SEMANA

SEMANA N°1 ENCUADRE DE ASIGNATURA Y TALLERES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TIEMPO ESTIMADO EN PLANIFICACIÓN SEMANAL: 270 MINUTOS. TIEMPO ESTIMADO EN ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS: 270 MINUTOS. ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS:    

Encuadre de la asignatura. (45 minutos) Taller N°01: Introducción a la resolución de problemas en el aula. (45 minutos) Taller N°02: Resolución de problemas con enfoque aritmético. (90 minutos) Taller N°03: Resolución de problemas con enfoque polinomial de primer grado. (90 minutos)

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°01

ENCUADRE DE ASIGNATURA TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS.

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TALLER N°01: INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL AULA. TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS. PROBLEMA 01: LAS OVEJAS El granjero Ramón al levantarse todas las mañanas mira por las cuatro ventanas de su casa, y en cada una de ellas siempre ve nueve ovejas. Las ovejas se encuentran distribuidas como nuestra la figura. Don Ramón es capaz de ver el potrero de enfrente y los dos potreros adyacentes situados en las esquinas.

Un día, Doña Rosa, la esposa de don Ramón, vendió una de las ovejas mientras él no se encontraba en la casa. Para que su marido no se diera cuenta de la falta de la oveja, decidió redistribuir las ovejas en los potreros de tal forma que desde cada ventana aun vieran exactamente 9 ovejas. ¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 23 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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PROBLEMA CÓDIGO TIEMPO ESTIMADO ENFOQUE MATEMÁTICO

Las ovejas. T01RP.P01 45 minutos. Aritmética.

CONTENIDOS 1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos: - Ensayo y error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto.

2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos:

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS 

¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 23 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas? . Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado. 



- Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.

3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos:

El problema de las ovejas admite múltiples soluciones a la pregunta planteada. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar si han encontrado más de una solución y si no, motivarlos a analizar si es posible que exista otra. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de descubrir al menos una solución para 22 ovejas, 21 ovejas, 20 ovejas, etc. (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: 

- Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva.

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar al menos una solución a la pregunta planteada en el problema:

Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 22 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?







Es importante tener en cuenta que los estudiantes podrían encontrar soluciones para una cantidad de ovejas no asignadas hasta este momento. En este caso, se recomienda trabajar con las siguientes preguntas: 

¿Cuál es el número máximo de ovejas que la señora Rosa puede vender?



¿Puede vender 7 ovejas y quedar con 17 ovejas sin que Don Ramón se entere?

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Lo anterior con el objeto de verificar si el estudiante ha logrado comprender cuál es el número máximo de ovejas que se puede vender y justificarlo.

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TALLER N°2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LAS MONEDAS Cinco hermanos deciden comprar un producto solo con monedas de $100 para el día de la madre. El costo del producto es de $2.000 y cada hermano aporta un número distinto de monedas. Si se considera que a mayor edad más monedas aportan, ¿Cuántas monedas entregó cada hermano? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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Las monedas. T02RP.P01 20 minutos. Aritmética.



¿Cuántas monedas entregó cada hermano? . Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado. 



2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: - Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.



El problema de las monedas admite múltiples soluciones a la pregunta planteada. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar si han encontrado más de una solución y si no, motivarlos a analizar si es posible existencia de otras. Luego que los grupos han encontrado al menos una solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de motivar la búsqueda de todas las soluciones al problema. (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


¿Cuál es la máxima cantidad que puede aportar el hermano mayor?



¿Cuántas soluciones tiene este problema?



¿Puede el hermano menor aportar más de una moneda?



Finalmente, los grupos deben dar evidencias de haber encontrado una sistematización para encontrar todas las soluciones al problema: 1 1 1 1 1 1 2

2 3 4 10 2 3 5 9 2 3 6 8 2 4 5 8 2 4 6 7 3 4 5 7 3 4 5 6

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TALLER N°3: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 02: COLECCIONISTA DE NÚMEROS Carlos, coleccionista de números de diferentes estilos. Dentro de su colección tiene el número 1.427. La justificación de Carlos es la siguiente: “Yo colecciono el número 1.427 porque 1 + 4 + 2 = 7”

También tiene en su colección el número 358. La justificación de Carlos es la siguiente: “Yo colecciono el número 358 porque 3 + 5 = 8”

Y también tiene en su colección el número 20.529. La justificación de Carlos es la siguiente: “Yo colecciono el número 20.259 porque 2 + 0 + 2 + 5 = 9”

Dada esta relación, ¿Cuál es la condición que tiene Carlos para coleccionar números? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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Coleccionista de números. T02RP.P02 30 minutos. Aritmética.




¿Cuál es la condición que tiene Carlos para coleccionar números?. Acto seguido deben comunicar al docente sus hallazgos. 








Los grupos deben descubrir la condición que tiene Carlos para coleccionar sus números, argumentando que la suma de los dígitos anteriores a la unidad es igual a la unidad. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas las conclusiones a las que han llegado como grupo. Luego que los equipos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de descubrir el número más grande coleccionable sin utilizar la cifra cero (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado).


¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede coleccionar utilizando la cifra cero?



¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede coleccionar sin utilizar la cifra cero?



¿Podría Carlos tener número de dos cifras en su colección? De ser así, que características tienen dichos números.



¿Cuál es el número máximo de cuatro cifras que Carlos puede coleccionar utilizando la cifra cero?



¿Cuál es el número máximo de cuatro cifras que Carlos puede coleccionar sin utilizar la cifra cero?

Los grupos deben analizar y justificar el por qué no es posible determinar el número más grande coleccionable utilizando la cifra cero. (Hacer hincapié que la respuesta no es infinito)

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TALLER N°4: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 04: LAS LATAS DE CRISTINA Cristina ordenó las latas que tenía en dos pilas y le sobró una. Luego intentó con tres pilas y con cuatro pilas y en ambos casos le sobró una. Por último trató con cinco pilas y entonces ¡No le sobró ninguna lata! ¿Cuántas latas podría tener Cristina? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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Las latas de Cristina. T02RP.P03. 40 minutos. Aritmética.




¿Cuántas latas podría tener Cristina? 










Los grupos deben descubrir al menos una solución al problema planteado. Posteriormente deben comunicar al docente sus conclusiones. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas las conclusiones a las que han llegado como grupo. Luego que los equipos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de descubrir algunos aspectos relevantes del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado). Como hemos mencionado anteriormente, existen Aspectos importantes a descubrir en la etapa de extensión, éstos son:



Determinar que hay infinitas soluciones al problema propuesto.



Encontrar un patrón de comportamiento para el cálculo de las soluciones. Este patrón corresponde a la diferencia de una progresión aritmética.



Descubrir alguna operatoria aritmética para calcular la Solución N°1.836.



Descubrir alguna expresión algebraica para calcular la k-ésima solución.



Determinar el número más grande coleccionable sin utilizar la cifra cero.


¿Usted encontró una solución al problema? De ser así, encuentre una nueva solución.



¿Usted encontró dos soluciones al problema? De ser así, encuentre una tercera solución.

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

¿Usted encontró tres soluciones al problema? De ser así, encuentre una cuarta solución.

Así, sucesivamente hasta que los estudiantes logren descubrir un patrón de comportamiento para el cálculo de las soluciones. Este patrón corresponde a la diferencia de una progresión aritmética. Luego, Solución N° 01: Solución N° 02: Solución N° 03: Solución N° 04: Solución N° 05:

25 latas 85 latas 145 latas 205 latas 265 latas

…

Determine la Solución N° 1836. Determine la Solución N° “k”.

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ACTIVIDAD N°4

TALLER N°03: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES ARITMÉTICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LOS FÓSFOROS Se construyen triángulos con palitos de fósforos, los cuales se muestran a continuación.

a) Dibuja la fase 4. b) indica la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 10. Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Los fósforos T03RP.P01. 30 minutos. Aritmética.




a) Dibujar la fase 4. b) indicar la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 10. Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado. 






Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a las interrogantes planteadas en el problema:

El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho permite comprender como va aumentando la regularidad. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de palitos de fósforos de la fase 10. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 100?



¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE n?

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PROBLEMA: LOS CUADRILÁTEROS Una estructura está conformada por nodos (Representadas por círculos) y aristas (Representadas por segmentos de línea recta). Cada arista está sujeta de dos nodos como se muestra en la figura.

Se ha diseñado una secuencia basada en cuadriláteros como se muestra a continuación

Dibuja la fase 4 y completa la tabla adjunta Etapa FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 8 FASE 15

Cantidad de cuadriláteros

Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Los cuadriláteros. T03RP.P02. 30 minutos. Aritmética.

CONTENIDOS 1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos:


- Ensayo y error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto.

Dibujar la fase 4 y completa la tabla (cantidad de nodos, cantidad de cuadriláteros y cantidad de aristas)

Etapa



Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 8 FASE 15


Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la interrogantes planteadas en el problema:

Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado. 



- Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva. 



El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho permite comprender como va aumentando la regularidad. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de elementos pedidos hasta la fase 8. En la fase 15 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de buscar una regla general para hallar la cantidad de nodos, cantidad de cuadriláteros y cantidad de aristas. La idea de esta fila es que el estudiante se encuentre con una fase de número pequeño pero no consecutivo a los anteriores y sienta la necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: 21




Completa la tabla adjunta: Etapa


Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

FASE 1.635 FASE N 





En la fase 1.635 el estudiante ya necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución. En la fase n ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. En la fase n de la columna “cantidad de aristas ”, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de fase y cantidad de aristas. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión universal, desarrollada y simplificada.

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PROBLEMA 03: LAS LETRAS “T” Sebastián decide formar letras “T” con cuadrados de color negro y blanco, como se muestra en la figura.

Dibuja la fase 4 y completa la tabla adjunta Etapa

Cantidad de cuadrados negros

Cantidad de cuadrados blancos

Cantidad total de cuadrados

FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 10


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Las letras “T”. T03RP.P03. 30 minutos. Aritmética.




Dibujar la fase 4 y completa la tabla adjunta

Etapa




FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 10


Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.








Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la interrogantes planteadas en el problema:





El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho permite comprender como va aumentando la regularidad. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de elementos pedidos hasta la fase 4. En la fase 10 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de buscar una regla general para hallar la cantidad de cuadrados negros, cantidad de cuadrado blanco y cantidad total de cuadrados. La idea de esta fila es que el estudiante se encuentre con una fase de número pequeño pero no consecutivo a los anteriores y sienta la necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

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

Completa la tabla adjunta: Etapa




FASE 348 FASE n







En la fase 348 el estudiante ya necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución. En la fase n ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de fase y las cantidades solicitadas. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión desarrollada y simplificada.

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SEMANA N°2 TALLERES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TIEMPO ESTIMADO EN PLANIFICACIÓN SEMANAL: 270 MINUTOS. TIEMPO ESTIMADO EN ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS: 270 MINUTOS. ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS:  

Taller N°04: Resolución de problemas con enfoque polinomial de segundo grado. Taller N°05: Resolución de problemas con enfoque en regularidades gráficas.

ACTIVIDAD N°1

TALLER N°04: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE POLINOMIAL DE SEG UNDO GRADO. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LA PARED DE CUBOS Un grupo de niños construye una pared rectangular con cubos. El primer niño coloca dos cubos de base y 3 cubos de altura, utilizando un total de 6 cubos. El segundo niño agrega dos cubos de base y tres cubos de altura, completando la pared rectangular. El tercer niño agrega dos cubos de base y tres cubos de altura, completando la pared rectangular. Y así sucesivamente. ¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el décimo niño? ¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el décimo niño? ¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el décimo niño?


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La pared de cubos. T04RP.P01. 20 minutos. Regularidad polinomial de segundo grado.








¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el décimo niño?



¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el décimo niño?



¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el décimo niño?



Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la interrogante planteada en el problema:







El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener la cantidad de cubos en la base de la pared construida por el décimo niño, su altura y total de cubos. Para tal fin deberán realizar un estudio de la información entregada por medio del establecimiento de regularidades entre ellas. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la información del décimo niño. En esta fase 10 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de buscar una regla general para hallar la cantidad de nodos, cantidad de cubos que tiene la base de la pared, la altura y la cantidad total de cubos. La idea de esta fila es que el estudiante se encuentre con una fase pequeña pero no consecutiva y sienta la necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


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Sexagésimo segundo (62º) niño: 

¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el sexagésimo segundo (62º) niño?



¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el sexagésimo segundo (62º) niño?



¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el sexagésimo segundo (62º) niño?

Enésimo niño:









¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el enésimo (nº) niño?



¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el enésimo (nº) niño?



¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el enésimo (nº) niño?

En el trabajo con sexagésimo segundo (62º) niño el estudiante ya necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución. En el trabajo con el enésimo (nº) niño ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de niño y las cantidades solicitadas. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión desarrollada y simplificada.

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PROBLEMA 02: DEUDA

Lucas debe pagar mensualmente cuotas de una deuda que adquirió el año 2014. Para esto decide implementar una novedosa forma de pago, con monedas de $1, que comienza en Enero de 2015 y termina en Diciembre de 2018, mostrada a continuación:

¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015?

Problema diseñado por el equipo d e Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Deuda T04RP.P02. 20 minutos. Regularidad polinomial de segundo grado.



¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015?






3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos: 


El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015. Para tal fin deberán realizar un estudio de la información entregada por medio del establecimiento de regularidades entre ellas, por medio de la regularidad entre las cantidades y/o de la forma geométrica de la disposición de las monedas. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la información del décimo niño. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)






¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al noveno mes?



¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de diciembre del 2018?



¿Cuál será el monto total pagado a esta fecha?



¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al n-ésimo mes?



¿Cuál será el monto total pagado hasta el n – ésimo mes?

En el trabajo con la n-ésima cuota ya se pide explícitamente que

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generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. 



En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de cuotas y el monto a pagar por ella. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión desarrollada y simplificada. En el trabajo con la suma de las cuotas de los meses hasta diciembre de 2018, el estudiante podrá realizarlo sumando mes a mes, sin embargo, esto no podrá realizarlo cuando se pregunta por la suma de las cuotas del n-ésimo mes, lo que resultará de mayor complejidad. Por otro lado, es importante considerar que esta secuencia es cuadrática, por lo cual, no es tan evidente la generalización de la nésima suma.

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TALLER N°05: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES GRÁFICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA: LOS CÍRCULOS Lorena, destacada diseñadora gráfica, está creando una portada de una revista de ciencias, para lo cual utiliza círculos de distintos tamaños y centrados en diferentes puntos. Si Lorena quiere utilizar 6 círculos, siguiendo una regularidad gráfica, ¿Cuál podría ser la ubicación del centro de los dos círculos restantes?

REVISTA DE CIENCIAS Otoño 2016


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Los círculos. T05RP.P01. 25 minutos. Aritmética.



¿Cuál podría ser la ubicación del centro de los dos círculos restantes?


2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: 






El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el centro de los dos círculos restantes. Es posible que realicen el dibujo de los círculos sobre el plano cartesiano, éste te hecho permite comprender como va aumentando la regularidad de una manera gráfica. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar los centros de los dos círculos restantes. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


Dibuje la circunferencia más grande que se puede incluir, siguiendo la secuencia.



Dibuje la sucesión de todos los centros de las circunferencias.



Dibuje la sucesión de todos los radios de las circunferencias.



Generalice las coordenadas de los centros de las circunferencias

PROBLEMA 02: LAS FOTOGRAFAS 33


Claudia y Camila deciden caminar por un parque para sacar fotografías. Las ubicaciones de ellas cuando tomaron las primeras tres fotografías se muestran a continuación:

¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la cuarta fotografía? Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Borrador Manual Docente Unidad 01 (Rp) (1)

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