Trabajo Colaborativo de Álgebra Lineal Brian Arley Castro Lopez Politécnico Gran Colombiano Docente : Martha Escobar Álgebra Lineal Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Colombia 12 de octubre de 2018
1.
Intr Introdu oducc cció ión n
En el siguiente documento se encontrarán las soluciones a las actividades propuestas en el aula virtual, teniendo en cuenta el metodo de Hill y algunos conceptos de Criptografía.El cifrado de Hill fue inventado, basándose en el álgebra lineal, por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929, y aparece explicado en su artículo Cryptography in an Algebraic Alphabet, publicado en The American Mathematical Monthly.
2.
Objet bjetivos
* Identificar los conceptos y procesos del álgebra lineal involucrados en un sistema de cifrado y descifrado de mensajes. * Utilizar apropiadamente procedimientos para cifrar y descifrar mensajes. * Transferir adecuadamente las ideas o conceptos del álgebra lineal a un contexto particular, para resolver situaciones problema
3.
Marc Marco o Teóri eórico co
El cifrado de Hill fue inventado, basándose en el álgebra lineal, por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929, y aparece explicado en su artículo Cryptography in an Algebraic Alphabet, publicado en The American Mathematical Monthly. Monthly. Es un sistema criptográfico de sustitución polialfabético, es decir, un mismo signo, en este caso una misma letra, puede ser representado en un mismo mensaje con más de un carácter. Así, en el ejemplo que vamos a analizar a continuación, la letra A del mensaje original aparece representada en el mensaje codificado de tres formas distintas, como C, K e I. Expliquemos en qué consiste el cifrado de Hill. En primer lugar, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes. Además, en este ejemplo solamente vamos a utilizar las 27 letras del alfabeto, pero también podrían añadirse otros símbolos usuales, como el espacio en blanco "_ ", el punto ” .” o la coma ” , ” , la interrogación ”?” , las 10 cifras básicas, etcétera. Matriz: Ordenación rectangular de elementos algebraicos que pueden sumarse y multiplicarse de varias maneras. Determinante: En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos.
4.
Activ ctivid idad ades es Actividad 1 Consultar
el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso
(paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave
1 2 0 1
y la asignación numérica
que aparece aparece en el siguiente siguiente recuadro recuadro (en él, el símbolo "_ represen representa ta el espacio espacio entre las palabras). palabras). 1
0
D E N
F
G
H
I
1 2 3 4 10 11 12 13
5
6
7
8
9
U
V
W
A K
˜ 14 N X
B L
O Y
C M
P Z
Q .
R
S
T
J
_
15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
Activida Ac tividad d 2 Suponga
23
que se intercepta el mensaje .IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY Junto con
8 este mensaje encriptado, encriptado, solo se logró obtener obtener la matriz clave 5
3 2 2 1 2 1 1
La misión del grupo es: - Descifrar tal mensaje. - Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.
5.
Resu Result ltad ados os Solución Solución Ac Activid tividad ad 1 -
Para solucionar este ejericio debemos tener claro los métodos de criptografía de
Hill , así que: Paso 1 Comenzaremos con la descomposición matricial de la palabra DEDICACION asignandole su respectiva numeraciíon que será de la forma:
3 = 43 = 28 = 02 = 158 D E D I C A C I O N
=
13
Paso 2 Usando
la matriz clave, vamos a hacer el producto de matrices entre la matriz clave y la matriz formaba por las dos sílabas, que nos queda así:
1 01 01 01 01
3 (3 1) + (4 2) 3 + 8 11 X = = = 4 (3 0) + (4 1) 0+4 3 (3 1) + (8 2) 3 + 16 419 X = = = 8 (3 0) + (8 1) 0+8 2 (2 1) + (0 2) 2 + 0 28 X = = = 0 (2 0) + (0 1) 0+0 2 (2 1) + (8 2) 2 + 16 018 X = = = 8 (2 0) + (8 1) 0+8 15 (15 1) + (13 2) 15 + 26 6 41
2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
X
13
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ (15 ∗ 0) + (13 ∗ 1)
=
=
0 + 13
13
En consecuencia, lasecuencia de ternas numà c numà c ricas original asociada al anterior mensaje codificado 11 En 19 2 18 41
Paso 3
es
=
4
,
8
,
0
,
8
,
13
Tenemos una inconformidad y es que en la última matriz hay un 41 y la codificació del alfabeto va hasta el número 28 , debido a que el método de Hill se puede tratar como un espiral , el número 41 cambia a 11 de modo que esa matriz queda:
11 13
Y al traducir los nà meros al alfabeto nos queda de la siguiente manera: o
2
11 = 4 19 = 8 2 = 0 18 = 8 11 13
=
L E S I C A R I L E
Dandonos como resultado la palabra "LESCARILE" Solución Solución Act Activida ividad d 2
Para decifrar la el mensaje mensa je .IBFQSZAGNAFVLNBVDF .IBFQSZAGNAFVLNBVDFA AVDLQ.FWSWY debemos asignar el respectivo número número del alfabeto a cada letra.
Paso 1
28 0 Paso 2 Hallamos
F L Q
Q N .
S B F
Z V W
A D S
G F W
13 0
. A V
I F D
B V L
N A Y
22
8 5 3
2 5 17 19 26 26 0 6 2 2 11 13 2 22 3 5 22 11 17 28 5 23 19 23 24
la matriz inversa de la matriz clave.
8 Matriz Clave = 5
3 2 2 1 Matriz Clave Inversa = 2 1 1
Paso 3 Teniendo
1 3 −
1
2
−1 −1
4 −2
1
la matriz Clave inversa procedemos a hallar el mensaje cifrado. Realizando el mismo procedimiento de la actividad anterior , haremos el producto de una matriz 3*3 y tres valores del mensaje cifrado de la siguiente manera:
1 3 11 3 11 3 11 3 11 3 11 3 11 3 11 3 11 3 −
−
−
−
−
−
−
−
−
1
28 19 2 X 8 = 50 1 2 13 1 21 5 17 2 X = 91 19 1 10 1 26 20 2 X 0 = 66 1 6 32 1 13 8 2 X 0 = 29 1 5 18 1 22 2 2 X 11 = 9 1 3 13 1 1 24 2 X 22 = 92 1 3 40 1 5 17 2 X 0 = 29 1 22 27 1 3 25 2 X 11 = 69 1 17 2 1 28 0 2 X 5 = 18
−1 −1
4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2 −1 4 −2
−
−
− −
−
−
−
−
−
− −
−
−
− −
−
−
−
−
−
1
23
41
3
1 3 −
1
19 29 2 X 23 = 85
−1 −1
4 −2
1
Paso 4 Teniendo
−
25
−2
en cuenta que hay varios números que superan el modulo máximo 29 y algunos números quedan negativos, sabiendo que el metodo de Hill es una espira podemos decifrar el código de forma que queda:
19 29 27 S A
_
Paso 5
6.
50 13 31 91 10 20 66 32 8 18 −2 4 13 24 91 40 4 0 17 29 25 69 −2 0 18 41 29 85 25 I R E
N
_ L_
_
E E N A L
Se escribe escribe el mensaje decifrado: decifrado: SIN
S F M
T E A
U R
_
D M Y
I A
_ ESTU STUDIA DIAR _ ENFE ENFER RMA _ EL _ ALMA ALMA _ Y
Conc Conclu lusi sion ones es
* En conclusión se usaron adecuadamente todos los conceptos básicos del álgebra partiendo de producto de matrices y del cálculo de sus inversas. * Se realizó correctamente el cifrado y el decifrado de mensajes y palabras.
7.
Bibl Biblio iogr graf afía ía
[1] Universidad del País Vasco. (2017). Criptografía con matrices, el cifrado de Hill. Bilbao: Cultura científica [2] La criptografía y el álgebra lineal [3] Criptografía con matrices, el cifrado de Hill.
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