6
DIKTAT
GEOMETRI
Disusun Oleh:
Drs. Djoko Iswadji
Mohammad Mukhlisin, S.Pd.I
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEPENDIDIKAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS AHMAD DAHLAN
2010
PENGANTAR
Diktat matakuliah Geometri ini disusun khusus untuk membantu para mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta, dalam usaha menanamkan konsep-konsep dasar Geometri yang seharusnya dikuasai dengan baik oleh para mahasiswa sebagai calon guru matematika di sekolah menengah.
Karena keterbatasan waktu dibanding dengan luasnya cakupan materi Geometri, maka pada kesempatan ini belum semua topik dapat disajikan, melainkan untuk sementara mengutamakan topik-topik utama dan esensial; yang dipandang paling penting untuk dikuasai para mahasiswa.
Diktat ini pastilah tidak ada artinya apa-apa jika tidak didukung oleh ketekunan dan kesungguhan belajar para mahasiswa yang menggunakannya.
Akhirnya dalam menyusun diktat ini, pastilah terdapat banyak kekurangan dan kelemahan. Untuk itu dari para pembaca atau pihak lain yang berkepentingan kamai sangat mengharapkan teguran dan saran untuk perbaikannya. Atas kesediaan untuk memberikan saran-saran perbaikan tersebut kami menyampaikan terima kasih.
Penyusun
Djoko Iswadji
Mohammad Mukhlisin
DAFTAR ISI
Halaman sampul
Kata Pengantar
Daftar Isi
Bagian I Geometri Bidang
Bab I Pendahuluan
Bab II Bangun-Bangun Dasar
Bab III Garis-garis Sejajar
Bab IV Segitiga
Bab V Jajargenjang dan Belahketupat
BabVI Lingkaran
Bagian II Geometri Ruang
Bab VII Pendahuluan
Bab VIII Gambar Bangun Ruang
Bab IX Relasi Antar Unsur-unsur Ruang
Bab X Garis Tegaklurus Bidang
Bab XI Jarak
Bab XII Sudut Dalam Ruang
Bab XIII Prisma
Bab XIV Limas
Bab XV Irisan Bidang dan Bangun Ruang
Bab XVI Tabung
Bab XVII Kerucut
Bab XVIII Bola
Bab XIX Bidang Banyak Beraturan
Daftar Pustaka
Simbol-simbol Geometri
BAGIAN I
GEOMERI BIDANG
BAB I
PENDAHULUAN
Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang diangkat dari pengalaman manusia dalam berinteraksi dengan bumi dengan segala aspeknya. Karena itu geometri sangat banyak kaitannya dengan kehidupan nyata sehari-hari umat manusia. Secara sadar atau tidak setiap saat atau dalam sebagian besar hidupnya, manusia senantiasa dekat atau bahkan bergantung pada bangun-bangun geometri tertentu.
Cobalah Anda jelaskan bagaimana ketergantungan atau hubungan antara manusia dengan bentuk balok dan bentuk lingkaran, tabung dan bola.
Alam semesta diciptakan oleh Allah SWT dengan tak berhingga banyaknya keluarbiasaan, dan baru sebagian kecil saja yang dapat terungkap oleh akal pikiran manusia. Dengan geometri dan cabang matematika yang lain dapat dijelaskan makna dari sifat-sifat alam yang kemudian ditiru dan dimanfaatkan oleh manusia dalam upaya meningkatkan kesejahteraan umat manusia.
Apakah makna dari sifat simetri cermin yang terdapat pada dedaunan, binatang atau juga pada tubuh manusia? Apakah pula makna bentuk segienam beraturan pada sarang lebah?
Karena sifatnya yang akrab dengan kehidupan manusia, demikian juga dengan kehidupan anak-anak usia sekolah, maka seharusnya geometri merupakan cabang atau bagian dari mata pelajaran matematika yang dapat mudah dipahami oleh kebanyakan siswa. Tetapi pada kenyataannya kebanyakan siswa merasakan sulit dalam mempelajari geometri. Maka adalah tugas para guru matematika untuk senantiasa meningkatkan prestasi belajar para siswanya dalam belajar matematika, yang antara lain dapat dilaksanakan dengan meningkatkan dan menumbuhkan ketertarikan siswa terhadap geometri.
Obyek geometri adalah benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak, karena itu bagi kebanyakan siswa di sekolah dasar dan menengah masih dirasakan sulit untuk memahaminya. Untuk dapat membantu para siswa yang masih sulit untuk berpikir abstrak maka perlu digunakan alat peraga dalam bentuk model-model atau gambar.
Benda pikiran dapat diperoleh dari benda-benda nyata dengan melakukan abstraksi dan idealisasi. Untuk menanamkan konsep persegi panjang yang sifatnya abstrak digunakan gambar persegi panjang dan model-model persegi panjang, yang terdiri dari model kerangka dan model daerah persegi panjang. Dalam pengajaran geometri secara tegas kita bedakan antara pengertian, gambar dan model. Dengan demikian secara tegas harus kita bedakan antara persegi panjang (yang sifatnya abstrak), gambar persegi panjang (yang sifatnya konkret), dan model persegi panjang (yang sifatnya juga kongkret). Para guru harus pula menyadari bahwa geometri adalah suatu ilmu yang tidak dapat disampaikan dengan baik hanya dengan kata-kata saja. Disamping kata-kata secara mutlak harus digunakan pula gambar-gambar dan model-model. Kecuali itu gambar dan model-model itu tidak cukup hanya dilihat saja. Pada gambar atau model itu harus dilakukan pelbagai kegiatan, yaitu kegiatan pikiran yang disertai dengan kegiatan fisik, seperti pembuatan, pengamatan, penyusunan, penyelidikan dan sebagainya.
Hasil belajar geometri juga tidak akan maksimal jika seluruh bahan disajikan dalam bentuk uraian saja. Sebagian harus disajikan dalam bentuk pertanyaan yang harus dijawab, soal-soal yang harus diselesaikan, atau tugas-tugas yang harus dikerjakan. Geometri juga berpeluang menumbuhkan kreatifitas dan keterampilan serta sikap hati-hati dan cermat. Semua itu hanya dapat diperoleh dengan menggeluti tugas-tugas secara intensif.
Soal-soal latihan dalam buku ini diharapkan dapat membantu meningkatkan pemahaman para mahasiswa. Setiap soal, betapapun sukarnya hendaklah dicoba untuk menjawab atau mengerjakannya secara tuntas. Jika perlu gunakan gambar, buatlah gambar yang cukup besar dan baik agar dapat membantu dalam memecahkan masalahnya. Jika tidak dapat dipecahkan sendiri, kerjakan dengan teman sekelompok belajarnya. Jika belum juga ditemukan pemecahannya tanyakan dalam kegiatan perkuliahan berikutnya. Hanya dengan demikian maka uraian materi dalam buku ini akan sejauh mungkin dapat dikuasai oleh para mahasiswa atau pembaca lainnya, sehingga memberikan manfaat seperti yang diharapkan.
Dari uraian yang singkat ini diharapkan dapat dikembangkan diskusi untuk meningkatkan pemahaman, penguasaan dan keterampilan dalam materi pelajaran geometri di sekolah menengah.
BAB II
BANGUN-BANGUN DASAR
Titik, Garis, dan Bidang Sebagai Pengertian Pangkal.
Dalam geometri, titik, garis dan bidang merupakan pengertian pangkal. Maksudnya, titik, garis dan bidang diterima sebagai istilah yang tidak didefinisikan dan dipandang sebagai hal yang diterima saja oleh akal sehat (common sense). Namun demikian, dalam rangka membantu mengerti tentang titik kita dapat menjelaskan ciri-ciri titik, yakni titik memiliki ukuran kecil sempurna.
Bangun-bangun geometri didefinisikan (diartikan) sebagai himpunan titik-titik tertentu. Garis merupakan sekumpulan titik-titik tertentu. Kita mengenal garis, sinar garis dan ruas garis.
A B A B A B A B Ruas garis AB atau BASinar garis ABSinar garis BAGaris AB atau BA
A B
A B
A B
A B
Ruas garis AB atau BA
Sinar garis AB
Sinar garis BA
Garis AB atau BA
Diskusikan.
Adakah cara yang paling tepat untuk membaca notasi-notasi AB, AB, BA, dan AB?
Apakah Anda pernah melihat garis, sinar garis, atau ruas garis atau yang merupakan model dari bangun-bangun itu?
Jika tidak diterangkan secara khusus, maka yang dimaksud dengan garis adalah garis lurus. Apakah yang dimaksudkan dengan "lurus"?
Diketahui dua ruas garis AB dan PQ yang panjangnya masing-masing 2 cm dan 5 cm.
Apakah AB dan PQ sama panjang?
Apakah banyaknya titik yang membentukAB kurang dari banyaknya titik yang membentuk PQ? Jelaskan!
Sudut
Kaki sudut Daerah sudutTitik sudut Kaki sudutDalam kehidupan sehari-hari banyak sekali hal-hal yang berkaitan dengan sudut. Sudut dapat terjadi jika dua buah garis atau dua buah bidang saling berpotongan.
Kaki sudut
Daerah sudut
Titik sudut
Kaki sudut
Pengertian Sudut
Sudut diartikan sebagai bangun yang terjadi dari gabungan dua sinar yang berimpit pangkalnya. Kita membedakan antara sudut dan daerah sudut.
P Q RPQR = RQP = Pemberian Nama Sudut
P
Q
R
PQR = RQP =
Pengukuran Besar Sudut
Besar sudut diukur berdasarkan jarak putaran
1 putaran penuh12 putaran penuh14 putaran penuh, dan sebagainya.
1 putaran penuh
12 putaran penuh
14 putaran penuh, dan sebagainya.
1° (derajat) = 1360 putaran penuh1° = 60' (dibaca: 60 menit)1' = 60" (dibaca: 60 detik)Besar sudut diukur dengan satuan derajat, menit dan detik
1° (derajat) = 1360 putaran penuh
1° = 60' (dibaca: 60 menit)
1' = 60" (dibaca: 60 detik)
Jadi 1 putaran penuh = 360°
12 putaran penuh = 180°, disebut sudut lurus
14 putaran penuh = 90°, disebut sudut siku-siku
Jenis-Jenis Sudut
Sudut LancipSudut Siku-sikuSudut TumpulSudut lurusMisal x adalah besar sudut. Kita dapat membedakan sudut dengan mengelompokkannya atas:
Sudut Lancip
Sudut Siku-siku
Sudut Tumpul
Sudut lurus
(0° < x < 90°)x = 90° 90° < x < 180°x = 180°
(0° < x < 90°)
x = 90°
90° < x < 180°
x = 180°
y x Sudut-sudut x dan y saling berpenyiku, x + y = 90°. Sudut y merupakan penyiku dari sudut x dan sebaliknya.Sudut-sudut dan saling berpelurus, + = 180°. Sudut merupakan pelurus dari sudut dan sebaliknya.Sudut dan sudut saling bertolak belakang, = .Hubungan antar Sudut
y
x
Sudut-sudut x dan y saling berpenyiku, x + y = 90°. Sudut y merupakan penyiku dari sudut x dan sebaliknya.
Sudut-sudut dan saling berpelurus, + = 180°. Sudut merupakan pelurus dari sudut dan sebaliknya.
Sudut dan sudut saling bertolak belakang, = .
Utara Barat-Laut Timur Laut 45° Barat Timur (east)Barat Daya Tenggara SelatanSudut antara dua arah mata angin yang berdekatan besarnya 45°.Sudut antara Dua Arah Mata Angin
Utara
Barat-Laut Timur Laut
45°
Barat Timur (east)
Barat Daya Tenggara
Selatan
Sudut antara dua arah mata angin yang berdekatan besarnya 45°.
Jurusan Tiga Angka untuk menyatakan letak (posisi) atau arah perjalanan menuju suatu tempat tertentu. Penentuan arah berpedoman pada arah Utara kemudian berputar searah dengan arah putaran jarum jam.
U 60° B P 112° 240° C AA pada jurusan 112° dari P.B pada jurusan 060° dari P.C pada jurusan 240° dari P.
U
60°
B
P 112°
240°
C A
A pada jurusan 112° dari P.
B pada jurusan 060° dari P.
C pada jurusan 240° dari P.
Sudut Elevasi
Sudut elevasi adalah sudut antara garis horisontal yang melalui titik mata pengamat dengan arah penglihatan atau arah pandang yang terletak di atas garis horisontal tadi.
Sudut depresi
Sudut depresi
sudut elevasi
Sudut Depresi
Sudut depresi adalah sudut antara garis horisontal yang melalui mata pengamat dengan arah pandang yang terletak di bawah garis horisontal.
Gambar Skala
Salah satu penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari sudut elevasi atau sudut depresi adalah dalam perhitungan jarak atau tinggi, dengan menggunakan gambar skala.
t30° 12 cmHitunglah tinggi pohon (t) pada gambar berskala di samping, jika diketahui skalanya 1 : 100, dan tinggi mata pengamat 1,56 cm.
t
30°
12 cm
Hitunglah tinggi pohon (t) pada gambar berskala di samping, jika diketahui skalanya 1 : 100, dan tinggi mata pengamat 1,56 cm.
Latihan 1
Petunjuk: Kerjakan bersama dalam kelompok belajar.
Dengan menggunakan sehelai kertas, bagaimana Anda memeragakan atau membuat model dari:
Sebuat sudut lurus?
Sebuah sudut siku-siku?
Sebuah sudut yang besarnya 45°?
Sebuah sudut yang besarnya 60°?
a. Apakah yang dimaksud dengan arah horisontal dan arah vertikal?
b. Mengapa dalam kehidupan sehari-hari manusia akrab sekali dengan arah horisontal dan arah vertikal?
a. Sudut manakah yang besarnya 23 kali penyikunya?
b. Sudut manakah yang besarnya 4 kali pelurusnya?
a. Perlengkapan sederhana apa sajakah yang perlu disiapkan untuk melakukan
pengukuran tinggi tiang bendera di halaman sekolah dengan menggunakan pengertian sudut elevasi?
Dapatkah tinggi tiang bendera itu ditentukan tanpa mengukur jarak pengamat sampai titik kaki tiang bendera?
Dengan menggunakan alat yang digunakan untuk mengukur sudut elevasi, dapatkah dilakukan pengukuran sudut depresi dari suatu objek? Jelaskan!
Apakah yang sangat penting diperhatikan dalam perhitungan dengan menggunakan gambar skala?
Tentukan jenis dan besarnya sudut yang terbentuk oleh kedua jarum jam pada saat menunjukkan jam:
03.00
09.15
14.45
21.30
BAB III
GARIS-GARIS SEJAJAR
Pengertian
a b p qDalam geometri bidang, dua garis sejajar diartikan sebagai dua garis yang tidak mempunyai titik persekutuan.
a b
p
q
Jika garis a dan b mempunyai sebuah titik persekutuan, dikatakan garis a dan b berpotongan.
Jika garis p dan q tidak mempunyai titik persekutuan, dikatakan garis p dan q sejajar, yang dilambangkan dengan p //q.
Aksioma Kesejajaran Dua Garis
P. aMelalui titik P di luar garis a dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar garis a. Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
P.
a
Melalui titik P di luar garis a dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar garis a.
Teorema Kesejajaran Dua Garis
b g aJika diketahui a//b dan g memotong a, maka pasti g juga memotong b. Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.
b
g a
Jika diketahui a//b dan g memotong a, maka pasti g juga memotong b.
Jika dua buah garis masing-masing sejajar dengan sebuah garis lain, maka kedua garis itu sejajar satu sama lain.
p a qJika p//a dan q//a, maka p//q.
p
a q
Jika p//a dan q//a, maka p//q.
a 2 A 3 14 g b 2 1 3 4 B Jika dua garis a dan b dipotong oleh sebuah garis g maka terjadilah:Sudut-sudut sehadap, yaitu:A1 dan B1 ; A2 dan B2 ; A3 dan B3 ; A4 dan B4 .Sudut-sudut yang terjadi jika dua garis dipotong oleh sebuah garis
a
2 A
3 1
4
g
b 2 1
3 4
B
Jika dua garis a dan b dipotong oleh sebuah garis g maka terjadilah:
Sudut-sudut sehadap, yaitu:
A1 dan B1 ; A2 dan B2 ;
A3 dan B3 ; A4 dan B4 .
Sudut-sudut dalam berseberangan, yaitu:
A3 dan B1 ; A4 dan B2 .
Sudut-sudut luar berseberangan, yaitu:
A1 dan B3 ; A2 dan B4 .
Sudut-sudut dalam sepihak, yaitu:
A3 dan B2 ; A4 dan B1 .
Sudut-sudut luar sepihak, yaitu:
A1 dan B4 ; A2 dan B3 .
Teorema tentang sudut-sudut yang terjadi jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis
a 2 1 A 3 4 b 2 1 B 3 4 pSudut-sudut sehadapnya sama besar.antara lain: B1 = A1 dan B2 = A2 Sudut-sudut dalam berseberangan sama besarB2 = A4 dan B1 = A3 Jika dua garis sejajar a dan b dipotong oleh sebuah garis p, maka:
a 2 1 A
3 4
b 2 1 B
3 4
p
Sudut-sudut sehadapnya sama besar.
antara lain: B1 = A1 dan B2 = A2
Sudut-sudut dalam berseberangan sama besar
B2 = A4 dan B1 = A3
Sudut-sudut luar berseberangan sama besar
B3 = A1 dan B4 = A2
Tiap dua sudut dalam sepihak jumlahnya 180
A4 + B1 = 180 dan A3 + B2 = 180
Tiap dua sudut luar sepihak jumlahnya 180
A1 + B4 = 180 dan A2 + B3 = 180
Teorema tentang dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lain banyak sekali kegunaannya untuk pembuktian sifat-sifat geometri selanjutnya.
Latihan 2
52 29 x2. 123 3x y3. z x 2y 424. zBagaimana menentukan besarnya sudut-sudut x, y , dan z berikut:
52 29
x
2.
123 3x
y
3.
z
x
2y
42
4.
z
5. Buktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga sama dengan 180.
6. Dengan menggunakan apa yang telah dibuktikan pada soal no. 5. Buktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut sebuah segiempat sama dengan 360.
BAB IV
SEGITIGA
Persegi panjangDua segitiga siku-siku yang kongruenSegitiga samakaki II I I IIDalam pelajaran geometri di sekolah menengah, pengertian segitiga diturunkan dari pengertian persegi panjang.
Persegi panjang
Dua segitiga siku-siku yang kongruen
Segitiga samakaki
II
I
I
II
Bagaimana terbentuknya sebuah segitiga sembarang, yaitu segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang dan bukan segitiga siku-siku?.
Untuk dapat menjawab pertanyaan di atas, kita harus memiliki pemahaman pengertian segitiga.
Pada bab ini akan dibicarakan tentang pengertian, unsur-unsur segitiga, jenis-jenis segitiga, segitiga sama dan sebangun (kongruen), lukisan segitiga dan teorema-teorema yang berlaku pada segitiga.
Kurikulum matematika sekolah menengah menjadikan kemampuan melukis segitiga (bangun geometri) sebagai salah satu kompetensi yang harus dikuasai oleh siswa. Lukisan bangun geometri pada dasarnya adalah upaya memvisualisasikan obyek-obyek geometri yang sifatnya abstrak, agar lebih mudah dikomunikasikan dan dipahami. Dengan demikian agar obyek yang disampaikan melalui gambar atau lukisan itu dapat diterima secara benar oleh para siswa, maka dalam pembuatan lukisan atau gambar bangun geometri itu harus diusahakan secara hati-hati dan cermat. Untuk mencapai tujuan tersebut maka diperlukan beberapa tata cara dalam membuat lukisan atau gambar. Tata cara dalam melukis inilah yang dipelajari dan secara ringkas ditinjau dalam bab ini.
Yang dimaksud dengan lukisan dalam bab ini adalah proses mendapatkan gambar dari obyek tertentu dalam geometri. Bangun geometri yang dimaksud antara lain: garis, sudut, segitiga, atau segibanyak, dengan menggunakan peralatan utama berupa sebuah penggaris dan sebuah jangka, disamping pensil dan busur derajat. Dalam perkembangannya dapat juga hanya digunakan sepasang segitiga siku-siku, tetapi dalam banyak hal penggunaan jangka mutlak diperlukan.
Agar hasil lukisan baik, dalam arti tepat bentuk dan ukurannya, serta rapi dan bersih, maka dalam melakukan lukisan perlu diperhatikan benar hal-hal berikut:
Gunakan pensil yang runcing, sekali-kali jangan menggunakan tinta atau bolpoint.
Gunakan penggaris yang baik, tidak cacat permukaan tepinya.
Gunakan jangka yang baik dalam arti tidak goyah engsel, jarum, maupun pensilnya. Ujung pensil pada jangka hendaknya dijamin runcing, tidak tumpul.
Siapkan karet penghapus pensil.
Pada saat menarik garis melalui dua buah titik, usahakan agar kedua titik itu tepat terletak pada tepi penggaris dengan kedekatan yang sama. Demikian juga tahan penggarisnya, agar tidak goyah.
Pada saat melukis busur lingkaran, tetapkan dulu pusat dan panjang jari-jarinya, kemudian tusukkan jarum jangkanya tepat pada titik pusatnya.
Sebelum yakin benar akan ketepatan gambarnya, buatlah garis-garisnya agak tipis lebih dahulu. Baru setelah yakin benar, garis-garisnya dapat ditebalkan dengan pensil atau jika perlu dengan tinta.
Jika rambu-rambu di atas diperhatikan dalam setiap lukisan, dan hal itu dilaksanakan secara konsekuen oleh para guru dalam pembelajarannya, maka pokok bahasan tentang "lukisan" akan dapat memiliki "nilai lebih", karena dapat menumbuhkembangkan sikap-sikap positif dalam bekerja, yaitu sikap hati-hati, sistematis, bersih, rapi, dan cermat.
Pengertian Segitiga
Jika ada tiga buah titik yang tidak segaris, dua-dua dihubungkan oleh sebuah ruas garis, maka terdapat tiga buah ruas garis. Gabungan tiga buah ruas garis ini disebut segitiga.
Ketiga buah ruas garis itu disebut sisi. Ketiga buah titik itu disebut titik sudut. Jumlah panjang ketiga sisi itu disebut keliling segitiga.
Garis-garis istimewa dalam segitiga yaitu: 3 buah garis tinggi, 3 buah garis berat, 3 buah garis bagi.
Unsur-unsur sebuah segitiga
Unsur-unsur dari segitiga ABC adalah sisi-sisi AB, BC dan CA serta sudut-sudutnya A, B, dan C. CA BBentuk dan ukuran sebuah segitiga ditentukan oleh ketiga sisinya dan ketiga sudutnya.
Unsur-unsur dari segitiga ABC adalah sisi-sisi AB, BC dan CA serta sudut-sudutnya A, B, dan C.
C
A B
A, B, dan C disebut titik-titik sudut dari segitiga ABC, tetapi titik-titik sudut itu bukan unsur dari segitiga ABC, mengapa?
Sebuah segitiga tertentu bentuk dan ukurannya jika telah diketahui tiga unsurnya yang bebas satu sama lain, dan memenuhi sifat-sifat segitiga, yaitu:
Jumlah panjang dua sisinya lebih panjang dari sisi ketiga.
Jumlah besar ketiga sudutnya sama dengan 180.
Jenis-jenis segitiga
Segitiga dibedakan atas:
Menurut sudutnya: segitiga lancip, segitiga siku-siku, dan segitiga tumpul.
Segitiga lancip yaitu segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.
Segitiga siku-siku yaitu segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku.
Segitiga tumpul yaitu segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.
Menurut sisinya: segitiga tidak sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi.
Segitiga tidak sama sisi yaitu segitiga yang panjang ketiga sisinya tidak sama.
Segitiga sama kaki yaitu segitiga yang dua buah sisinya memiliki panjang yang sama. Selanjutnya kedua sisi itu disebut kaki.
Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang panjang ketiga sisinya sama.
Dua Segitiga yang Sebangun
Teorema-teorema kesebangunan dua segitiga, antara lain:
Dua buah segitiga sebangun, jika panjang sisi-sisi yang seletak pada kedua segitiga itu memiliki perbandingan yang sama.
Dua buah segitiga sebangun jika dua pasang sudut-sudutnya sama besar.
Dua buah segitiga sebangun, jika panjang dua pasang sisi-sisi seletak memiliki perbandingan yang sama dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi ini sama besar.
Dua Segitiga Sama Dan Sebangun (Kongruen)
Dua buah segitiga dikatakan sama dan sebangun (kongruen) jika tepat dapat saling menutupi. Sisi-sisi dan sudut-sudut dua buah segitiga yang tepat saling menutupi disebut sisi-sisi dan sudut-sudut bersesuaian.
Teorema 1
Pada dua buah segitiga yang sama dan sebangun, sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Teorema 2
Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama panjang dua buah sisi dan besar sudut apitnya.(Si, Su, Si)
Teorema 3
Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama: panjang sebuah sisi dan besar kedua sudut yang berdekatan.(Su, Si, Su)
Teorema 4
Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama: panjang sebuah sisi, besar sudut yang berdekatan dan besar sudut yang berhadapan. (Si, Su, Su)
Teorema 5
Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama ketiga buah sisinya. (Si, Si, Si)
Lukisan segitiga
Segitiga merupakan bangun yang sangat penting dalam geometri, karena bangun-bangun geometri lainnya dapat dibentuk dari segitiga-segitiga. Demikian juga sifat-sifat dari bangun-bangun tertentu banyak dapat dijelaskan melalui sifat-sifat segitiga.
Pada dasarnya lukisan apapun yang dibuat, misalnya lukisan segitiga atau segiempat, selalu berupa rangkaian dari dua macam lukisan pangkal. Yang dimaksud dengan lukisan pangkal yaitu:
Melukis sebuah garis lurus (untuk selanjutnya disebut "garis") melalui dua buah titik berlainan yang diketahui. Untuk melakukan lukisan pangkal ini digunakan penggaris.
A B
r P Melukis busur lingkaran dengan titik pusat tertentu dan jari-jari yang panjangnya diketahui. Untuk melukis lukisan pangkal ini digunakan sebuah jangka.
r
P
Sebuah segitiga dapat dilukis jika telah diketahui 3 ketentuan yang bebas satu sama lain, artinya dari ketiga ketentuan itu tidak boleh ada yang bergantung dari yang lain. Ketentuan itu dapat berupa unsur-unsur segitiga atau bagian yang lain dari segitiga (misalnya panjang garis beratnya).
Dasar-dasar Melukis dengan Penggaris dan Jangka
Menggunakan Sifat Belah Ketupat
Sebuah belahketupat memiliki sifat:
Setiap diagonal merupakan sumbu dari diagonal yang lain.
Setiap diagonal membagi daerah-dalam (interior) sudut yang memuatnya menjadi dua daerah sudut yang sama besar.
Mengingat bahwa belahketupat adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang, maka berdasarkan pengertian dan sifat-sifat belahketupat di atas, dapat dilakukan lukisan-lukisan khusus yang disebut dasar-dasar melukis dengan penggaris dan jangka.
Melukis garis yang melalui sebuah titik P yang terletak di luar atau pada sebuah garis g dan yang tegak lurus garis g.
P 1 A B g Q 2 3 4P terletak di luar garis g.
P
1
A B g
Q
2 3
4
2 4 3 M P g 1 NP terletak pada garis g.
2 4 3
M
P g
1
N
Melukis garis bagi sebuah sudut.
A P 3 O 4 2 Q B 1 (dilukis garis-bagi AOB)
A
P
3
O 4
2
Q
B
1
3 M A B N 1 2Melukis sumbu sebuah ruas garis. (Dilukis sumbu AB )
3
M
A B
N
1 2
Kriteria keterlukisan sebuah segitiga
Sebuah segitiga dapat dilukis jika telah diketahui:
Panjang sebuah sisi, besar salah satu sudut yang kakinya memuat sisi tersebut, dan besar sudut di hadapan sisi tersebut.(ss, sd, sd) panjang dua sisi dan besar sudut apitnya, yaitu besar sudut yang kaki-kakinya masing-masing memuat sisi-sisi tersebut.(ss, sd, ss) panjang ketiga sisinya(ss, ss, ss) Panjang dua sisi dan besar sudut yang terletak di hadapan salah satu sisi tersebut.(ss, ss, sd) Panjang sebuah sisi dan besar dua sudut yang salah satu kaki dari kedua sudut itu memuat sisi tersebut.(sd, ss, sd)
Panjang sebuah sisi, besar salah satu sudut yang kakinya memuat sisi tersebut, dan besar sudut di hadapan sisi tersebut.
(ss, sd, sd)
panjang dua sisi dan besar sudut apitnya, yaitu besar sudut yang kaki-kakinya masing-masing memuat sisi-sisi tersebut.
(ss, sd, ss)
panjang ketiga sisinya
(ss, ss, ss)
Panjang dua sisi dan besar sudut yang terletak di hadapan salah satu sisi tersebut.
(ss, ss, sd)
Panjang sebuah sisi dan besar dua sudut yang salah satu kaki dari kedua sudut itu memuat sisi tersebut.
(sd, ss, sd)
Kriteria-kriteria tersebut dimaksudkan bahwa kita hanya dapat melukis segitiga apabila telah dipenuhi 3 ketentuan seperti yang terdapat pada salah satu di antara kelima kriteria tersebut.
Contoh: Lukislah segitiga ABC jika diketahui
AB = 5cm, BC = 4 cm, dan AC = 512 cm.
Jawab: Segitiga ABC yang dimaksud dapat dilukis karena:
Memenuhi salah satu dari kelima kriteria keterlukisan segitiga, yaitu diketahui panjang ketiga sisinya (ss, ss, ss)
Sifat segitiga dipenuhi, karena jumlah panjang dua sisi lebih panjang dari panjang sisi ketiga.
Diketahui:
5 cm
4 cm
512 cm
Siapkan dahulu ketentuannya berupa 3 ruas garis yang masing-masing panjangnya 5 cm, 4 cm, 512 cm. Kemudian pertama-tama lukislah sisi AB = 5 cm, lalu buatlah busur-busur lingkaran yang masing-masing berpusat di A dan B dan jari-jarinya 512 cm dan 4 cm. Kedua busur lingkaran itu berpotongan di titik yang menunjukkan titik sudut C dari segitiga ABC.
Langkah ke-1 A 5cm BLukisan:
Langkah ke-1
A 5cm B
Langkah ke-2 512 cm A 5 cm B
Langkah ke-2
512 cm
A 5 cm B
Langkah ke-3 C 512 cm 4 cm A 5 cm B
Langkah ke-3
C
512 cm
4 cm
A 5 cm B
Langkah ke-4 C 512 cm 512 cm 4 cm 4 cm A 5 cm B
Langkah ke-4
C
512 cm 512 cm
4 cm 4 cm
A 5 cm B
Latihan 3 (diskusikan)
Adakah kelemahan dalam mendefinisikan segitiga dengan menurunkannya dari persegipanjang?
Perlukah secara tegas dibedakan antara "segitiga" dan "daerah segitiga"?
Dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris, tanpa busur derajat, tunjukkan bagaimana melukis sudut-sudut:
15, 2212, 3712, dan 6712.
120, 150, 12712.
Dapatkah segitiga ABC dilukis, jika diketahui: A = 45, B = 75 dan C = 60?
Diketahui sebuah segitiga samasisi ABC yang kelilingnya 36 cm. Bagaimana menghitung luas segitiga ABC?
Garis-garis Istimewa pada Segitiga
Pada sebarang segitiga dapat kita lukis garis-garis istimewa, yaitu: sumbu, garis tinggi, garis berat, garis bagi. Pada sebarang segitiga terdapat tiga buah sumbu, tiga buah garis tinggi, tiga buah garis berat, dan tiga buah garis bagi. Garis-garis ini dikatakan istimewa karena ketiga garis dari masing-masing garis istimewa itu memiliki satu titik persekutuan.
Sumbu
Sumbu suatu ruas garis adalah garis yang membagi dua sama panjang dan tegak lurus pada ruas garis tersebut.
Sumbu suatu ruas garis adalah tempat kedudukan titik-titik yang sama jauhnya dari ujung-ujung ruas garis tersebut.
Sumbu pada segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang dan tegak lurus pada tiap sisi segitiga. Terdapat tiga sumbu pada suatu segitiga yang ketiganya berpotongan di satu titik.
Garis tinggi
Garis berat
Garis bagi
Teorema Pythagoras
Dalam sebuah segitiga siku-siku, jumlah luas daerah-daerah persegi yang dibuat pada kedua sisi siku-sikunya sama dengan luas daerah persegi yang dibuat pada sisi miringnya.
C b a A c B
C
b a
A c B
Jika panjang kedua sisi siku-siku pada ABC masing-masing b dan c, dan panjang sisi miringnya a, maka teorema di atas dapat dirumuskan dengan:
b2 + c2 = a2
dengan kalimat:
Dalam sebuah segitiga siku-siku, jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya.
Rumusan ini yang selanjutnya digunakan dalam penyelesaian soal-soal.
Kebalikan Teorema Pythagoras
Jika dalam suatu segitiga, kuadrat panjang salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
Tripel Pythagoras
Perangkat (a, b, c) dari tiga bilangan asli disebut Tripel Pythagoras, jika kuadrat dari bilangan terbesar sama dengan jumlah kudrat dua bilangan yang lain.
Jika pada tripel Pythagoras (a, b, c), ketiga elemennya berupa bilangan asli yang faktor persekutuan terbesarnya adalah 1, maka (a, b, c) disebut Tripel Pythagoras Primitif. (3, 4, 5), (5, 12, 13) adalah contoh dua tripel Pythagoras primitif, sedang (15, 20, 25), (10, 24, 26) masing-masing bukan tripel Pythagoras primitif.
Teorema Proyeksi
Dari teorema Pythagoras dapat diturunkan teorema proyeksi pada segitiga miring, yaitu segitiga yang bukan segitiga siku-siku.
Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Lancip
C b t a p c – p A D c BDiketahui: CD AB, mA < 90, p panjang proyeksi AC pada ABDibuktikan: a2 = b2 + c2 – 2cpDalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lancip sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain dikurangi dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut.
C
b t a
p c – p
A D c B
Diketahui:
CD AB, mA < 90, p panjang proyeksi AC pada AB
Dibuktikan: a2 = b2 + c2 – 2cp
Bukti:
Dalam BCD: a2 = (c – p)2 + t2 ................. (Th. Pythagoras)
Dalam ACD: t2 = b2 – p2 ................. (Th. Pythagoras)
Subtitusikan t2 = b2 – p2 ke a2 = (c – p)2 + t2 diperoleh:
a2 = (c – p)2 + b2 – p2
a2 = c2 – 2cp + p2 + b2 – p2
a2 = b2 + c2 – 2cp
Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Tumpul
Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, ditambah dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut.
C t b a p c D A BDiketahui: CD AB, mA > 90, p panjang proyeksi AC pada perpanjangan AB (proyeksi AC pada AB)
C
t b a
p c
D A B
Diketahui:
CD AB, mA > 90, p panjang proyeksi AC pada perpanjangan AB (proyeksi AC pada AB)
Dibuktikan: a2 = b2 + c2 + 2cp
Bukti:
Dalam BCD: a2 = (c + p)2 + t2 ................. (Th. Pythagoras)
Dalam ACD: t2 = b2 – p2 ................. (Th. Pythagoras)
Subtitusikan t2 = b2 – p2 ke a2 = (c + p)2 + t2 diperoleh:
a2 = (c + p)2 + b2 – p2
a2 = c2 + 2cp + p2 + b2 – p2
a2 = b2 + c2 + 2cp
Dari teorema 6.a, yakni: a2 = b2 + c2 – 2cp diperoleh p=b2+c2-a22c.
Dari teorema 6.b yakni: a2 = b2 + c2+ 2cp diperoleh p=a2-b2-c22c.
Berarti jika dalam suatu segitiga panjang semua sisinya diketahui, kita dapat menghitung panjang proyeksi sebuah sisi pada sisi yang lain.
Teorema Stewart
Jika dalam ABC, x menyatakan panjang ruasgaris yang menghubungkan titik sudut C dengan titik P yang terletak pada sisi AB, sehingga AP = c1 dan BP = c2, maka berlaku:
x2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c.
C b t x a pA D P B c1 c2 cDiketahui: perhatikan gambar di samping. P pada AB sehingga AP = c1 dan BP = c2, CD AB, dan CP = x.Buktikan:x2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c.
C
b t x a
p
A D P B
c1 c2
c
Diketahui: perhatikan gambar di samping. P pada AB sehingga AP = c1 dan BP = c2, CD AB, dan CP = x.
Buktikan:
x2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c.
Bukti:
Dalam PBC : a2 = c22 + x2 + 2c2p ..................(1) (Teorema Proyeksi)
Dalam APC : b2 = c12 + x2 – 2c1p ..................(2) (Teorema Proyeksi)
Jika kedua ruas persamaan (1) dikalikan dengan c1 dan kedua ruas persamaan (2) dikalikan dengan c2, masing-masing akan didapatkan:
a2c1 = c22c1 + x2 c1 + 2 c1 c2 p .................................... (3)
b2 c2 = c12 c2 + x2 c2 – 2c1 c2 p .................................... (4)
Dengan menjumlah masing-masing ruas dari persamaan (3) dan (4) diperoleh:
a2c1 + b2 c2 = c22c1 + x2 c1 + 2 c1 c2 p + c12 c2 + x2 c2 – 2c1 c2 p
a2c1 + b2 c2 = c1 c2 (c1 + c2 ) + x2 (c1 + c2 )
a2c1 + b2 c2 = c1 c2 c + x2 c
x2 c = a2c1 + b2 c2 – c1 c2 c
Dengan Teorema Stewart tersebut memungkinkan kita untuk menentukan panjang ruasgaris yang menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah segitiga dengan sembarang titik pada sisi di depannya, jika letak titik tersebut dan panjang ketiga sisi segitiga tersebut diketahui.
Teorema tentang Panjang Garis-Tinggi pada Sebuah Segitiga
Jika dalam ABC yang panjang sisi-sisinya a, b, dan c, panjang garis-tinggi ke sisi-sisi AB, AC, dan AB berturut-turut ta , tb , tc , serta s menyatakan setengah keliling segitiga tersebut, maka:
ta=2ass-as-b(s-c)
tb=2bss-as-b(s-c)
C D a B c b A tatc=2css-as-b(s-c)
C
D a
B
c b
A
ta
Bukti:
Dalam ABC: b2 = a2 + c2 – 2cp (teorema proyeksi)
p = a2+ c2-b22a ...................... (1)
Dalam ABD: ta2 = c2 – p2 ......................(2) (Teorema Pythagoras)
Subtitusikan p dari persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh:
ta2=c2-a2+c2-b22a2
ta2=c+a2+c2-b22ac-a2+c2-b22a
ta2=2ac + a2+c2 - b22a2ac- a2- c2+ b22a
ta2=a + c2- b22a×b2-a - c22a
ta2= a+c+ba+c-bb+a-cb-a+c4a2
ta2= a+b + ca+b+ c -2ba+ b+c -2ca +b+c -2a4a2
ta2= 2s 2s-2b2s-2c2s-2a4a2
ta2= 24s s-bs-cs-a4a2
ta2= 22s s-bs-cs-aa2
ta= 2ass-as-b(s-c)
Dengan langkah serupa dapat dibuktikan bahwa:
tb= 2bss-as-b(s-c)
dan tc= 2css-as-b(s-c)
Teorema tentang Panjang Garis-Berat pada Sebuah Segitiga (Teorema Apollonius)
Jika dalam ABC yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b, dan c, dan panjang garis-berat yang melalui titik-titik sudut A, B, dan C berturut-turut ma , mb , mc , maka:
ma2= 12 b2+ c2- 14a2
mb2= 12 a2+ c2- 14b2
mc2= 12 a2+ b2- 14c2
A c ma b B 12a D 12a CPerhatikan gambar di samping.Diketahui: D titik tengah BC, AD = ma.Dibuktikan:
ma2= 12 b2+ c2- 14a2
A
c ma b
B 12a D 12a C
Perhatikan gambar di samping.
Diketahui: D titik tengah BC,
AD = ma.
Dibuktikan:
ma2= 12 b2+ c2- 14a2
Bukti:
Dalam ABC berlaku:
AD2.BC = AC2.BD + AB2.CD – DB.CD.BC .......... (Teorema Stewart)
ma2.a = b2. 12a + c2. 12a – 12a. 12a.a
ma2.a = 12ab2 + 12ac2 – 14a3
ma2 = 12b2 + 12 c2 – 14a2
ma2 = 12 (b2 + c2 ) – 14a2
Dengan langkah yang serupa dapat dibuktikan:
mb2= 12 a2+ c2- 14b2
mc2= 12 a2+ b2- 14c2
Teorema tentang Panjang Garis-Bagi-Dalam pada Sebuah Segitiga
Jika dalam ABC yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan c, diketahui garis-bagi-dalam ACB memotong sisi AB atas bagian-bagian yang panjangnya c1 dan c2 serta panjang garis-bagi-dalam tersebut dinyatakan dengan dc , maka berlaku:
C 2 b dc a A c1 D c2 B Perhatikan gambar di samping.Diketahui: ACD BCD atau C1 C2AD = c1 dan DB = c2.Dibuktikan:
dc2 = ab – c1c2 dc2 = ab – c1c2.
C
2
b dc a
A c1 D c2 B
Perhatikan gambar di samping.
Diketahui:
ACD BCD atau C1 C2
AD = c1 dan DB = c2.
Dibuktikan:
dc2 = ab – c1c2
Bukti:
Dalam ABC berlaku:
AC : BC = AD : DB .............................. (Teorema)
b : a = c1 : c2
c1 : c2 = b : a
c1 : c2 = b : a (c1 + c2) : (b + a) = c1 : b .............. (sifat)
c : (a + b) = c1 : b
c1 = bca +b ..................................... (1)
c1 : c2 = b : a (c1 + c2) : (b + a) = c2 : a .............. (sifat)
c : (a + b) = c2 : a
c2 = aca+b .................................... (2)
untuk menggunakan dc, selanjutnya digunakan Teorema Stewart.
Menurut Teorema Stewart, dalam ABC berlaku:
CD2.AB = BC2.AD + AC2.BD – AD.BD.AB
dc2.c = a2.c1 + b2.c2 – c1.c2 .c .............................. (3)
Subtitusikan (1) dan (2) ke (3), diperoleh:
dc2.c = a2. bca +b + b2. aca+b – c1.c2 .c
dc2.c = a2bc +ab2ca+b – c1.c2 .c
dc2.c = abc ( a+b)a+b – c1.c2 .c
dc2.c = abc – c1.c2 .c
dc2 = ab – c1.c2 .
Teorema tentang Panjang Garis-Bagi-Luar pada Sebuah Segitiga
Jika dalam ABC yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan c, diketahui garis-bagi-luar ACB memotong sinargaris BA (memuat sisi AB) pada titik D dengan D-A-B (A di antara D dan B) sedemikian, sehingga AB = c, AD = c1, dan BD = c2, serta garis-bagi-luar tersebut adalah CD yang dilambangkan dengan dc, maka berlaku:
dc2 = c1.c2 – ab
E C 2 1 dc b a D c1 A c B c2 Perhatikan gambar di samping.Diketahui: ECD ACD atau C1 C2AD = c1 dan BD = c2.Dibuktikan:
dc2 = c1c2 – ab
E
C
2
1
dc b a
D c1 A c B
c2
Perhatikan gambar di samping.
Diketahui:
ECD ACD atau C1 C2
AD = c1 dan BD = c2.
Dibuktikan:
dc2 = c1c2 – ab
Bukti:
Dalam ABC berlaku:
AC : BC = AD : DB .............................. (Teorema)
b : a = c1 : c2
c1 : c2 = b : a
c1 : c2 = b : a (c2 – c1) : (a – b) = c1 : b .............. (sifat)
c : (a – b) = c1 : b
c1 = bca - b .................................. (1)
c1 : c2 = b : a (c2 – c1) : (a – b) = c2 : a .............. (sifat)
c : (a – b) = c2 : a
c2 = aca - b ............................... (2)
untuk menggunakan dc, selanjutnya digunakan Teorema Stewart.
Menurut Teorema Stewart, dalam ABC berlaku:
CA2.DB = BC2.AD + DC2.AB – AD.BD.AB
b2.c2 = a2.c1 + dc2.c – c1.c2 .c
dc2.c = b2.c2 – a2.c1 + c1.c2 .c ......................... (3)
Subtitusikan (1) dan (2) ke (3), diperoleh:
dc2.c = b2. aca - b – a2. bca - b + c1.c2 .c
dc2.c = ab2c - a2bc a - b + c1.c2 .c
dc2.c = abc ( b-a)a - b + c1.c2 .c
dc2.c = abc (-a - b)a - b + c1.c2 .c
dc2.c = –abc + c1.c2 .c
dc2 = c1.c2 – ab
Latihan 4 (Diskusikan)
Lukislah ruas garis yang panjangnya:
21 cm.
37 cm
(8 - 21) cm
Dalam ABC, diketahui AB = 12 cm, mABC = 60, dan BC = 8 cm. Hitunglah keliling ABC tersebut!
Dalam PQR, diketahui PR = 10 cm, mPQR = 45, dan QR = 15 cm. Hitunglah panjang sisi ketiga dari PQR tersebut!
Dalam sebuah segitiga siku-siku, diketahui bahwa panjang kedua sisi siku-sikunya masing-masing 6 cm dan 8 cm. Hitunglah panjang garis tinggi ke sisi miringnya!
Dalam PQR, diketahui PQ = 14 cm, QR = 13 cm, dan RP = 15 cm. Hitunglah panjang dari:
Proyeksi PR pada QR;
Garis-tinggi dari titik sudut Q.
Dari sebuah ABC, diketahui AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan AC = 7cm, titik P terletak pada BC sedemikian, sehingga P-C-B dan CP = 12 BC. Hitunglah panjang AP!
Dalam ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. Hitunglah panjang ketiga garis-beratnya!
Diketahui PQR dengan PQ = 10 cm, QR = 6 cm, dan RP = 8 cm. Pada segitiga tersebut dipilih garis-berat PR dan garis-bagi RT. Hitunglah panjang ST!
Dalam setiap jajargenjang berlaku: jumlah kuadrat panjang kedua diagonalnya samadengan jumlah kuadrat panjang semua sisinya. Buktikan pernyataan tersebut!
Diketahui trapezium ABCD, dengan AB CD, AB = 20 cm, BC = 13 cm, CD = 6 cm, dan AD = 15 cm.
Lukislah dengan cermat trapezium ABCD tersebut!
Hitunglah panjang diagonal AC!
Hitunglah luas daerah trapezium ABCD tersebut!
Di halaman depan sebuah sekolah tumbuh pohon cemara A dan di halaman belakang sekolah tersebut tumbuh pohon mangga B (dilukiskan pada gambar di sebelah kiri). Kedua pohon tersebt terhalang oleh bangunan sekolah. A B
Di halaman depan sebuah sekolah tumbuh pohon cemara A dan di halaman belakang sekolah tersebut tumbuh pohon mangga B (dilukiskan pada gambar di sebelah kiri). Kedua pohon tersebt terhalang oleh bangunan sekolah.
A
B
Jelaskan bagaimana cara menentukan jarak kedua pohon tersebut, karena tidak mungkin dilakukan pengukuran secara langsung.
BAB V
JAJARGENJANG
Jajargenjang
Jajargenjang adalah segiempat yang sepasang-sepasang sisi berhadapannya sejajar.
Daerah jajargenjang dapat diperoleh antara lain jika sebuah daerah segitiga diputar sejauh setengah putaran mengelilingi titik tengah salah satu sisinya, gabungan daerah segitiga itu dengan bayangannya berupa sebuah daerah jajargenjang.
D C TA BDari cara memperoleh jajargenjang seperti di atas, dengan mudah didapatkan sifat-sifat atau ciri-ciri penting dari sebuah jajargenjang. (perhatikan gambar di samping), yaitu:
D C
T
A B
Dari cara memperoleh jajargenjang seperti di atas, dengan mudah didapatkan sifat-sifat atau ciri-ciri penting dari sebuah jajargenjang. (perhatikan gambar di samping), yaitu:
Kedua sisi yang berhadapan sama panjang
AB = CD dan AD = BC
Kedua sudut yang berhadapan sama besar
A = C dan B = D
Kedua sudut yang berdekatan saling berpelurus
A + B = 180, A + D = 180
Jumlah besar semua sudutnya 360
A + B + C + D = 360
Setiap diagonal membagi jajargenjang menjadi dua bagian yang kongruen
ABD CBD dan ABC CDA
Kedua diagonalnya saling berpotongan di tengah-tengah atau saling membagi dua sama panjang.
AT = TC dan BT = TD
Daerah Jajargenjang juga dapat diperoleh atau dapat dibentuk dari sebuah daerah persegi panjang sebagai berikut:
D E C FA B panjang lebar E F tinggi A G B alas
D E C F
A B
panjang
lebar
E F
tinggi
A G B
alas
Dari daerah persegi panjang ABCD dapat dibentuk daerah jajargenjang ABFE. Karena luas jajargenjang ABFE sama dengan luas persegi panjang ABCD, sedang luas persgi panjang ABCD sama dengan panjang x lebar, maka dengan mudah ditunjukkan bahwa:
Luas jajargenjang ABFE = Luas persegi panjang ABCD
= AB × BC
= AB × GE
= alas × tinggi
Jadi, Luas jajargenjang = alas × tinggi.
Belahketupat
Belahketupat adalah jajar genjang yang keempat sisinya sama panjang.
Dari definisi belahketupat dapat dibuktikan sifat-sifat belahketupat, antara lain:
Sisi-sisi yang berhadapan sepasang-sepasang sejajar.
Setiap diagonal merupakan sumbu simetri.
Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan terbagi dua sama besar oleh diagonalnya.
Sifat-sifat belahketupat di atas digunakan sebagai landasan untuk macam-macam lukisan dasar, dengan menggunakan penggaris dan jangka, yaitu antara lain: melukis garis tegaklurus garis lain, melukis garis bagi sudut, melukis sumbu ruas garis, melukis garis berat segitiga serta melukis sudut-sudut 90, 60, 45, 30 dan beberapa sudut khusus lainnya.
Persegi panjang
Persegi panjang adalah jajar genjang yang ukuran keempat sudutnya sama.
Dari pengertian di atas, dapat diketahui bahwa persegi panjang memiliki empat sudut siku-siku. Sifat-sifat lain dari persegi panjang adalah:
Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.
Diagonal-diagonalnya sama panjang dan slaing berpotongan di tengah-tengah.
Persegi
Persegi adalah belah ketupat yang ukuran keempat sudutnya sama.
Sifat-sifat persegi adalah gabungan dari sifat-sifat belah ketupat dan persegi panjang. Sifat-sifat pesegi antara lain:
Sudut-sudut dan sisi-sisi yang berhadapan sepasang-sepasang sama.
Diagonal-diagonalnya sama panjang.
Diagonal-diagonalnya saling memotong di tengah-tengah dan saling tegak lurus.
Diagonal-diagonalnya membagi dua sudut sama besar.
Latihan 5 (Diskusikan)
Sebutkan benda-benda nyata dalam kehidupan sehari-hari yang berbentuk jajargenjang! Apakah persegipanjang merupakan jajargenjang?
Sebutkan semua sifat simetri yang dimiliki oleh: Jajargenjang dan belahketupat.
Dari sebuah jajargenjang PQRS diketahui bahwa QR = 10 cm, RS = 8 cm dan mPQR = 150. Hitunglah luas jajargenjang PQRS!
Jika luas sebuah jajargenjang ABCD 72 cm2, panjang AB = 12 cm dan sudut DAB = 30. Hitunglah keliling dari jajargenjang itu!
Dari sebuah belahketupat diketahui bahwa kelilingnya 24 cm sedang salah satu sudutnya 120. Hitung luas belahketupat tersebut!
Diketahui panjang kedua diagonal sebuah belahketupat masing-masing 20 cm dan 52 cm. Hitunglah keliling dan luas belahketupat itu!
Sebuah jajargenjar dan sebuah belahketupat kedua diagonalnya sepasang-sepasang sama. Jelaskan mana yang lebih luas?
BAB VI
LINGKARAN
BAGIAN II
GEOMETRI RUANG
BAB VII
PENDAHULUAN
Obyek dari geometri, jadi juga dari geometri ruang, merupakan benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak, misalnya titik, garis, bidang, balok, kubus, limas, bola dan sebagainya. Benda pikiran dapat diperoleh dari benda nyata dengan melaksanakan abstraksi dan idealisasi.
Untuk memudahkan pembicaraan tentang bangun-bangun geometri dalam pembelajaran matematika seringkali digunakan gambar atau model dari bangun itu. Model-model bangun geometri itu dapat kita gunakan sebagai alat peraga dalam kegiatan belajar mengajar geometri.
Dalam pengajaran geometri secara tegas kita membedakan antara pengertian, gambar, dan model dari suatu bangun geometri. Dengan demikian secara tegas kita membedakan antara balok, gambar balok dan model balok. Demikian pula kita membedakan antara bola, gambar bola, dan model bola, dan seterusnya.
Dalam geometri, setiap bangun dipandang sebagai himpunan titik-titik tertentu (special set of points). Misalnya sebuah garis, sebuah lingkaran dan sebagainya. Ruang diartikan sebagai himpunan semua titik. Dapatkan Anda jelaskan perbedaan dan hubungan antara "ruang" dan "ruangan"?
Dalam mendefinisikan bangun-bangun ruang dapat digunakan cara dengan menjelaskan batas-batas dari bangun ruang itu. Misalnya: sebuah kubus didefinisikan sebagai bangun yang dibatasi oleh enam daerah persegi yang kongruen. Cobalah Anda menyebutkan definisi bangun-bangun ruang yang lain. Pernahkan Anda secara khusus memperhatikan benda-benda atau bangun-bangun yang terdapat di sekitar Anda, baik selama Anda berada di ruang kelas, di rumah atau di alam terbuka? Cobalah Anda menyebutkan bentuk dari setiap bangun yang Anda jumpai. Apakah Anda akan menjumpai kesulitan dalam menyebutkan bentuk untuk setiap bangun yang Anda jumpai itu?
Dalam geometri yang kita pelajari hanya bangun-bangun baku saja, misalnya segitiga, trapesium, balok, tabung, kerucut, bola dan sebagainya. Dalam matematika bangun-bangun geometri merupakan benda-benda pikiran yang memiliki bentuk dan ukuran yang serba sempurna. Sebaliknya dalam kehidupan sehari-hari atau di alam terbuka yang kita jumpai adalah benda-benda nyata, yang bentuknya tidak sempurna. Benda-benda atau bangun-bangun yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari kebanyakan hanya dapat dijelaskan atau ditunjukkan kemiripannya saja terhadap bangun geometri tertentu.
Dengan demikian Anda tidak perlu dapat menyebutkan bentuk dari setiap bangun yang Anda jumpai dan kenyataannya memang benda-benda di sekitar Anda memiliki bentuk yang sangat beranekaragam, yang pada umumnya tidak memiliki bentuk baku yang Anda kenal dalam geometri.
Geometri merupakan bagian dari matematika yang sangat banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Bangun persegi panjang merupakan bangun yang paling banyak terlibat dalam kehidupan manusia. Dewasa ini bentuk-bentuk segitiga samasisi, segilima beraturan dan segienam bertauran banyak digunakan dalam bidang arsitektur dan industri. Bentuk lingkaran adalah juga bentuk yang sudah melekat erat dengan perkembangan umat manusia. Dapatkah Anda jelaskan kemanfaatan dari bentuk lingkaran?. Analoginya dalam ruang, Anda dapat menyaksikan penggunaan bentuk balok yang sangat mendominasi kehidupan umat manusia, demikian juga Anda dapat membayangkan akibatnya apabila manusia tidak menggunakan bangun-bangun tabung, kerucut dan bola yang ternyata telah memiliki peranan khusus dalam pelbagai macam kepentingan manusia yang makin maju, sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.
Di bidang kesenian, sejak dahulu kala manusia sudah memanfaatkan pelbagai macam bentuk yang disusun, dirangkum dalam ragam tertentu sehingga dapat menciptakan pandangan atau suasana yang anggun dan nyaman. Dewasa ini, melalui kreatifitas para pengabdi seni yang jeli memanfaatkan keindahan yang dapat muncul dari balik bangun-bangun geometri tertentu, telah mendorong berkembangnya pelbagai macam industri, mislanya industri rancang bangun, industri keramik, macam-macam industri kerajinan dan sebagainya. Dalam hubungan ini pemanfaatan bangun-bangun ruang tertentu semacam bidang banyak beraturan dapat dipelajari dan dikembangkan.
Dengan demikian adalah menjadi salah satu kewajiban dari para guru matematika di sekolah untuk membantu para siswanya agar sejauh mungkin dapat memanfaatkan bangun-bangun geometri sebagai salah satu sumber acuan dalam mengembangkan teknologi pada bidangnya masing-masing.
Latihan 7 (diskusikan)
Sebutkan sebanyak-banyaknya nama bangun ruang yang Anda kenal atau ketahui.
Pernahkan Anda melihat titik, garis lurus, bidang datar, kubus, tabung ataubola? Jelaskan jawaban Anda.
Ambillah sebuah botol sirup atau sebuah jambangan bunga. Cobalah Anda menjelaskan bentuk yang dimiliki benda-benda tersebut. Apakah yang dapat Anda katakan tentang bentuk dari sebuah telur, sarang lebah madu dan sepasang telinga kita?
Anda diharapkan pernah melihat atau mungkin juga memiliki meja berkaki empat dan meja berkaki tiga. Dapatkah Anda menjelaskan mana meja yang lebih stabil (berdiri mantap tidak goyang); mengapa meja kebanyakan dibuat berkaki empat?
Jelaskan perbedaan antara:
Kotak dan balok
Kaleng susu dan tabung
Bola dan bola volly
Bidang lengkung tabung atau bidang lengkung kerucut dan bidang lengkung bola.
BAB VIII
GAMBAR BANGUN RUANG
Gambar dari sebuah benda dapat dipandang sebagai hasil proyeksi atau bayangan dari model kerangka benda itu pada sebuah layar yang pada umumnya layar itu dipikirkan sebagai sebuah bidang datar. Dari berbagai macam cara, kita mengenal paling tidak dua cara menggambar benda, antara lain:
Cara Perspektif
Pada penggambaran dengan cara ini digunakan sebagai pedoman adalah garis horizon atau cakrawala atau titik mata. Pada gambar perspektif garis-garis yang sebenarnya sejajar (kecuali yang sejajar dengan garis horizon) tidak sejajar lagi, tetapi arahnya ke suatu titik tertentu yang terletak pada garis horizon. Dengan demikian ruas-ruas garis yang sebenarnya sama panjang pada umumnya pada gambar tidak sama panjang lagi.
T2 T1H E G D FA CBGambar 2.1. Gambar perspektif sebuah balok ABCDEFGH
T2 T1
H
E G
D
F
A C
B
Gambar 2.1. Gambar perspektif sebuah balok ABCDEFGH
Cara Stereometris
Cara ini pada hakekatnya sama dengan cara perspektif, hanya saja garis horizon dianggap letaknya jauh tak berhingga, dan selanjutnya cara ini disebut cara Stereometris. Pada cara ini sinar-sinar yang mengenai benda kita anggap sejajar dan arahnya miring terhadap permukaan bidang layar atau bidang gambar, karena itu cara ini kita sebut juga proyeksi (paralel) miring, dan gambar yang diperoleh disebut gambar ruang dari benda itu.
H G E F D C A BGambar 2.2. Gambar stereometris kubus ABCDEFGHDalam geometri, baik geometri bidang maupun geometri ruang, cara stereometris inilah yang pada umumnya kita pergunakan. Dalam memuat gambar stereometris, kita mengenal beberapa istilah atau pengertian:
H G
E F
D C
A B
Gambar 2.2. Gambar stereometris kubus ABCDEFGH
Bidang gambar
Bidang gambar adalah bidang tempat gambar, yaitu permukaan papan tulis atau permukaan kertas.
Bidang Frontal
Bidang frontal ialah bidang tempat gambar atau setiap bidang yang sejajar dengan bidang gambar.
Keistimewaan dari bidang frontal ini yaitu bahwa setiap bangun yang terletak pada bidang itu bentuk dan ukurannya dalam gambar sama dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya. Misalnya pada gambar kubus ABCDEFGH dengan bidang ABFE frontal, maka ABFE benar-benar berupa persegi, dan sudut ABF misalnya, benar-benar siku-siku.
Garis frontal
Garis frontal yaitu garis atau ruas garis yang terletak pada bidang frontal. Diantaranya garis-garis frontal yang penting adalah garis vertikal. Setiap garis vertikal tentu merupakan garis frontal. Tidak setiap garis horizontal merupakan garis frontal (mengapa? Berilah contoh)
Garis Ortogonal
Garis ortogonal yaitui setiap garis yang letaknya tegak lurus pada bidang frontal. Pada gambar .... misalnya AD, BC, FG.
Sudut Surut atau sudut simpang atau sudut menyisi
Sudut surut yaitu sudut dalam gambar antara sinar garis frontal horizontal arah ke kanan dan sinar garis ortogonal arah belakang. Misalnya pada gambar BAD, FEH; sudut-sudut itu ukuran sebenarnya 90.
Perbandingan proyeksi atau perbandingan Ortogonal
Yaitu perbandingan antara panjang ruas garis ortogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya dari ruas garis itu. Sebagai misal pada gambar di atas:
Perbandingan proyeksi = Panjang AD dalam gambarPanjang AD yang sebenarnya = ……….……….
Jadi perbandingan proyeksi pada gambar kubus ABCDEFGH di atas adalah .........
Untuk lebih memahami dan terampil dalam membuat gambar ruang, mahasiswa perlu memperoleh pengalaman menggambar melalui beberapa latihan dengan pelbagai situasi letak dari bangun ruangnya.
Contoh: Buatlah gambar proyeksi miring dari kubus ABCDEFGH yang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG dan DH. Panjang rusuknya 5 cm, bidang alasnya horizontal, bidang sisi tegaknya ABFE frontal, sudut simpang 30, dan perbandingan proyeksi 25.
A BKita lukis bidang alasnya lebih dahulu, yang berupa daerah persegi ABCD. Karena bidang ABCD horizontal dan ABFE frontal, berarti rusuk AB letaknya frontal horizontal, sehingga dalam gambar AB, panjangnya 5 cm.Langkah penyelesaian gambar:
A B
Kita lukis bidang alasnya lebih dahulu, yang berupa daerah persegi ABCD. Karena bidang ABCD horizontal dan ABFE frontal, berarti rusuk AB letaknya frontal horizontal, sehingga dalam gambar AB, panjangnya 5 cm.
2. Pada titik A lukislah sudut simpangnya 303. Karena AD merupakan ruas garis orthogonal, sedang perbandingan proyeksinya 25 maka panjang AD pada gambar 25 x 5 cm = 2 cm.4. Karena proyeksi miring persegi ABCD berupa jajargenjang, maka gambar bidang alas ABCD dapat diselesaikan.Rusuk-rusuk tengahnya berupa ruas garis vertikal. Jadi letaknya frontal sehingga titik-titik sudut E, F, G, dan H dapat digambar, kemudian dihasilkan gambar dari kubus ABCDEFGH tersebut. 30 A B D 30 A B D CA B H GE F D CA B
2. Pada titik A lukislah sudut simpangnya 30
3. Karena AD merupakan ruas garis orthogonal, sedang perbandingan proyeksinya 25 maka panjang AD pada gambar 25 x 5 cm = 2 cm.
4. Karena proyeksi miring persegi ABCD berupa jajargenjang, maka gambar bidang alas ABCD dapat diselesaikan.
Rusuk-rusuk tengahnya berupa ruas garis vertikal. Jadi letaknya frontal sehingga titik-titik sudut E, F, G, dan H dapat digambar, kemudian dihasilkan gambar dari kubus ABCDEFGH tersebut.
30
A B
D
30
A B
D C
A B
H G
E F
D C
A B
Latihan 8
Buatlah gambar proyeksi miring dari kubus EFGHABCD dengan bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi ABFE frontal. Panjang rusuknya 7 cm, dengan perbandingan proyeksi 37 ; dan diketahui pula bahwa:
Sudut simpang 45
Sudut simpang 30
Sudut simpang 150
Bandingkan ketiga gambar kubus yang Anda hasilkan itu dengan melukiskan:
Diagonal sisi AF
Diagonal sisi DE
Diagonal ruang DF
Diagonal ruang AG
Pada gambar kubus tersebut.
Apakah yang dapat Anda katakan tentang ketiga gambar kubus itu?
Dapatkah Anda kemukakan kriteria dari gambar yang baik?
Buatlah gambar balok EFGHABCD dengan AB = 7 cm, AD = 5 cm, AE = 4 cm, dengan bidang alas ABCD horizontal, bidang sisi ABFE frontal, sudut simpang 3712 dan perbandingan proyeksi 35.
Buatlah gambar sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan bidang alas ABCD horizontal, BC frontal, sudut simpang 45 dan perbandingan proyeksi 25. AB = 5 cm dan tinggi limas 7 cm.
Buatlah gambar sebuah tabung dengan bidang alas horizontal, diameter alas 5 cm, tinggi 7 cm, sudut simpang 90, perbandingan proyeksi 13.
Buatlah gambar sebuah kerucut dengan jari-jari bidang alas 4 cm, tinggi 8 cm, sudut simpang 90.
Buatlah gambar sebuah bola dengan diameter 6 cm, sudut simpang 90, perbandingan proyeksi 13.
BAB IX
RELASI ANTARA UNSUR-UNSUR RUANG
Setelah mahasiswa cukup terlatih dengan pengenalan dan langkah menggambar bangun-bangun ruang seperti balok, kubus, limas, dan sebagainya dengan semua bagian-bagiannya yang berupa sisi, rusuk, dan titik sudut, maka selanjutnya mahasiswa dapat diajak untuk mengenal lebih jauh tentang titik, garis, dan bidang.
Titik, garis dan bidang dapat diperoleh berturut-turut dari titik sudut, rusuk dan sisi dengan melepaskan masing-masing dari strukturnya pada suatu benda, misalnya balok. Kemudian kita melakukan abstraksi dan idealisasi.
Titik, garis dan bidang adalah benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak. Titik, garis dan bidang disebut unsur-unsur ruang. Kemudian apa yang disebut dengan ruang?
Ruang didefinisikan sebagai himpunan semua titik. Bangun ruang, antara lain garis, bidang, segitiga, prisma, limas dan sebagainya yang untuk selanjutnya dipandang sebagai himpnan titik-titik tertentu (special set of points). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa titik adalah himpunan bagian dari bidang, bidang merupakan himpunan bagian dari ruang, demikian juga sebuah kubus atau bola adalah himpunan bagian dari ruang.
Secara tegas dibedakan antara garis, sinargaris, dan ruas garis. (perhatikan juga pengertian ruasgaris berarah dan garis bilangan).
Dalam pembelajaran geometri harus senantiasa ditegaskan perbedaan antara pengertian, lambang, gambar, dan model suatu bangun geometri. Meskipun pada kenyataannya guru di lapangan banyak yang kurang memperhatikan hal tersebut.
Unsur-unsur Ruang
Titik ( A, B, C, ... , G, H, I, J, K, ..., X, Y, Z)
Garis (a, b, c, ... , g, h, i, j, k, ... , x, y, z)
Bidang (, , , ... , , , , , , ... , , , )
Relasi antara titik, garis, dan bidang dalam ruang
Relasi titik dan titik
Dua titik berlainan
Dua titik berimpit
Relasi tiga titik
Segaris (ada garis yang melalui ketiganya)
A B C
Tak-segaris (tidak ada garis yang melalui ketiganya)
R
P Q
Aksioma: melalui tiga titik tak-segaris dapat dibuat tepat satu bidang.
Relasi titik dan garis
Titik T di luar garis g
Titik S pada garis g
T
g S
Relasi titik dan bidang
Titik T di luar bidang
T
Titik T pada bidang
T
T
g
Relasi garis dan garis
Garis g dan garis h sebidang
Garis g dan garis h sejajar. Terjadi jika keduanya terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan.
Garis g dan garis h berpotongan. Jika keduanya terletak satu bidang dan memiliki tepat satu titik persekutuan.
Garis g dan garis h berimpit
Garis g dan garis h tak sebidang
Garis g dan garis h bersilangan
Relasi garis dan bidang
Garis g sejajar bidang . Garis g dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan.
Garis g memotong bidang . Garis g dan bidang mempunyai tepat satu titik persekutuan.
Garis g pada bidang . Setiap titik dari garis g terletak pada bidang .
Relasi bidang dan bidang
Bidang memotong bidang . Bidang dan bidang bersekutu tepat pada sebuah garis. Garis persekutuan tersebut dinamakan garis potng antara bidang dan bidang ; dilambangkan dengan garis (,). Dengan demikian garis (,) merupakan himpunan semua titik yang terletak pada bidang dan juga pada bidang .
Bidang sejajar bidang . Bidang dan bidang tidak bersekutu pada satu titik pun.
Relasi tiga buah bidang
Bidang memotong bidang . Garis s adalah garis (,).
Bidang memotong garis s
Bidang melalui garis s
Bidang sejajar garis s
Bidang sejajar bidang .
Bidang memotong bidang
Bidang sejajar bidang
Latihan 9
Jelaskan tujuan dan kemanfaatan dari diwajibkannya para mahasiswa menggunakan pensil dalam membuat gambar-gambar bangun geometri!
Untuk menggambar sebuah bidang, biasanya digunakan gambar jajargenjang. Jelaskan maknanya!
Bagaimanakah kriteria gambar yang baik dalam pembelajaran geometri!
Berikan alternatif gambar yang baik untuk menyatakan:
Sebuah titik P yang terletak pada sebuah bidang .
Dua buah garis p dan q yang bersilangan.
Dua buah garis l dan m yang keduanya terletak dalam bidang .
Sebutkan ciri khusus dari:
Titik
Garis
Bidang
Ruang
Sebutkan kesamaan dan perbedaan antara "dua garis sejajar" dan "dua garis bersilangan"!
Jelaskan perbedaan antara:
Titik dan titik sudut
Garis dan garis bilangan
Bidang dan bidang Cartesius
Sinar garis PQ dan ruasgaris berarah PQ
Ruang dan ruangan
Untuk menanamkan pemahaman siswa tentang relasi antara unsur-unsur ruang yaitu titik, garis, dan bidang, maka seringkali titik, garis, dan bidang diwakili oleh titik sudut, rusuk, sisi, diagonal atau bidang diagonal dalam sebuah kubus.
Mengapa dipilih bangun kubus?
Buatlah gambar sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi tegak ABFE fontal!
Sebutkan tiga pasang garis yang dua-dua saling bersilangan!
Apakah yang dimaksud dengan dua titik sudut yang berhadapan? Berikan contohnya!
Apakah yang dimaksud dengan dua rusuk yang berhadapan? Berikan contohnya!
Apakah yang dimaksud dengan dua sisi berhadapan? Berikan contohnya!
Apakah yang dimaksud dengan diagonal bidang? Berikan contohnya!
Apakah yang dimaksud diagonal ruang? Berikan contohnya!
Apakah yang dimaksud bidang diagonal? Berikan contohnya!
Tentukan banyak bidang diagonal kubus, apabila digambar semua!
Pada gambar kubus yang Anda buat, sebutkan:
Garis-garis yang letaknya frontal, tetapi tidak horizontal.
Garis-garis yang letaknya horizontal, tetapi tidak frontal;
Garis-garis vertikal yang tidak frontal.
BAB X
GARIS TEGAK LURUS BIDANG
Definisi dan Teorema Garis Tegak Lurus Bidang
Definisi: Sebuah garis g dikatakan tegak lurus pada sebuah bidang- K, jika garis g tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang-K.
Teorema: jika sebuah garis g tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan yang terletak pada sebuah bidang-K, maka garis g akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang-K.
Jadi jika garis g tegak lurus pada bidang-K dan gar`is-garis a, b, c, dan d masing-masing terletak pada bidang-K, maka g a, g b, g c, g d.
Sedangkan jika garis g tegak lurus pada garis p dan q yang berpotongan, sedang p dan q terletak pada bidang-K, maka garis g akan tegak lurus pada bidang-K.
Dengan demikian untuk membuktikan atau menunjukkan apakah sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, cukup ditunjukkan bahwa garis tersebut tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.
Dalam kehidupan sehari-hari, di sekitar kita, khususnya jika kita berada dalam sebuah ruangan, akan kita lihat adanya garis-garis yang tegak lurus bidang. Coba Anda tunjukkan!
Proyeksi Titik dan Garis pada Bidang
Proyeksi titik pada bidang
Pengertian: Proyeksi titik A terhadap bidang-H adalah titik kaki garis tegak lurus yang ditarik dari titik A pada bidang-H.
A A H
A
A
H
Pada gambar di atas:
H disebut bidang proyeksi
A disebut titik yang diproyeksikan
A disebut proyeksi titik A pada bidang H
AA' disebut garis pemroyeksi
Karena garis pemroyeksi letaknya tegak lurus pada bidang proyeksi, maka proyeksi ini disebut juga proyeksi orthogonal, yang untuk selanjutnya cukup disebut "proyeksi" saja.
Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang
Untuk selanjutnya, karena setiap bangun geometri dapat dipandang sebagai himpunan titik, maka proyeksi suatu bangun geometri pada sebuah bidang K diperoleh dengan memproyeksikan semua titik dari bangun itu. Meskipun demikian, pada kenyataannya kita cukup memproyeksikan beberapa titik tertentunya, sesuai dengan sifat bangun yang diproyeksikan.
Teorema: Proyeksi dari suatu garis pada sebuah bidang K, pada umumnya akan berupa sebuah garis juga.
A B A B K A B A K B A B A=B K
A
B
A B
K
A
B
A
K B
A
B
A=B
K
Teorema: Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka proyeksi garis itu pada bidang tersebut berupa sebuah garis yang sejajar dengan garis tadi.
Teorema: Jika sebuah garis tegaklurus pada sebuah bidang, maka proyeksi garis itu pada bidang tersebut berupa sebuah titik.
Dengan demikian, untuk memproyeksikan sebuah ruas garis AB cukup dengan memproyeksikan ujung-ujungnya A dan B saja. Kemudian tinggal menghubungkan A dan B dengan garis lurus untuk memperoleh proyeksi dari ruas garis AB.
Jika AB letaknya tegak lurus pada bidang proyeksi K, maka proyeksi dari ruas garis AB merupakan sebuah titik. Mengapa?
Latihan 10
Diketahui : kubus ABCDEFGH
Buktikan : a. AC tegak lurus bidang DBFH
b. AC tegak lurus HB
Diketahui : kubus ABCD EFGH
Buktikan : a. AC tegak lurus bidang BD
b. AG tegak lurus BE
c. AG tegak lurus bidang BDE
d. Segitiga BDE sama sisi
Dalam limas segitiga D.ABC tiga buah rusuk yang bertemu di titik A saling tegak lurus. Buktikan bahwa:
DA tegak lurus BC
AC tegak lurus BD
Diketahui kubus ABCD EFGH. Tentukan proyeksi:
Titik G pada bidang ADHE
Titik H pada bidang ABFE
CD pada bidang ABCD
EC pada bidang BCGF
AC pada bidang EFGH
Dalam kubus ABCD EFGH.
Lukislah proyeksi EF pada bidang ACGE
Lukislah proyeksi AF pada bidang AEGC
Bagaimanakah kedudukan dari dua buah garis p dan q, agar proyeksinya pada sebuah bidang K berupa garis lurus?
Bagaimana kedudukan dari dua buah garis a dan b, agar proyeksinya pada sebuah bidang K berupa dua buah titik?
Lukislah proyeksi dari sebuah segitiga ABC terhadap sebuah bidang K, jika A, B, dan C terletak di atas bidang K. Kemudian lukislah proyeksi dari titik berat segitiga ABC pada bidang K. Jika Z adalah titik berat segitiga ABC, sedang A, B, C, dan Z berturut-turut adalah proyeksi A, B, C, dan Z pada bidang K, tunjukkan bahwa:
ZZ = 13 (AA + BB + CC).
BAB XI
JARAK
A B G1 G2 Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.
A B
G1 G2
Jika G1dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Sehingga dapat dilakukan pemasangan satu-satu antara titik-titik pada G1dan G2.
Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak antara G1dan G2. Akibat dari pengertian yang demikian maka:
Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ.
Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g.
Jarak antara titik P dan bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada bidang K.
Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang K.
Jarak antara bidang K dan L yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.
Jarak antara garis g dan h yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang memotong tegak lurus garis-garis g dan h.
R Q P P P2 P3 P1 P4 g P Q R K P1 Berikut gambar yang menunjukkan cara menentukan jarak bangun-bangun diatas. Perhatikan cara menggambarnya.
R
Q P
P
P2 P3 P1 P4 g
P
Q R
K P1
Dua cara atau langkah untuk menentukan jarak antara dua garis a dan b yang bersilangan.
Cara 1:
Membuat garis b1 sejajar b yang memotong garis a.
Membuat bidang H yang melalui a dan b1. Bidang H letaknya sejajar dengan garis b (mengapa?).
Memproyeksikan garis b pada bidang H, menghasilkan garis b2 yang letaknya sejajar dengan b1 dan memotong garis a di titik A.
Melalui titik A dibuat garis g tegak lurus pada bidang H yang akan memotong garis b di titik B.
Ruas garis AB merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus a dan b; jadi panjang AB adalah jarak antara garis a dan b yang bersilangan.
Bukti:
g bidang H .................... g a .................. (i)
a dan b2 pada bidang H .... g b2 jadi g a dan g b
g b2 g b .................................................... (ii)
b2 // b
Cara I dapat dijelaskan dengan lukisan berikut:
g b B b2 A a b1 H
g b
B
b2
A a b1
H
Cara II
Membuat sebuah bidang yang memotong tegaklurus garis b di titik P, namakan bidang H.
Mempoyeksikan garis a pada bidang H yang menghasilkan garis a1.
Melalui titik P pada bidang H dibuat garis yang memotong tegak lurus garis a1 di titik Q.
Melalui titik Q dibuat garis k tegak lurus bidang H, yang memotong garis a di titik A.
Melalui titik A dibuat garis l sejajar garis PQ, yang akan memotong garis b di titik B.
Ruas garis AB adalah ruas garis yang memotong tegak lurus garis-garis a dan b, jadi panjang AB adalah jarak antara dua garis bersilangan a dan b.
Bukti:
PQ a1 PQ bidang (a, a1) PQ a jadi AB a
PQ k a pada bidang (a, a1) AB // PQ
b PQ AB b
AB // PQ
Jadi AB memotong tegak lurus garis a dan garis b. Cara II dapat dijelaskan dengan lukisan pada gambar berikut.
Latihan 11
Buatlah gambar kubus EFGHABCD
a) Lukis dan hitunglah jarak antara A dan C!
b) Lukis dan hitunglah jarak antara D dan G!
Lukis dan hitunglah jarak antara E dan C jika ditempuh melewati bidang sisi kubus!
a) Lukis dan hitunglah jarak antara A dan C!
b) Lukis dan hitunglah jarak antara D dan G!
4. a) Lukis dan hitunglah jarak antara HG dan ABFE!
b) Lukis dan hitunglah jarak antara FG dan BCHE!
5. Lukis dan hitunglah jarak antara bidang ABFEdan bidang DCHG!
6. Lukis dan hitunglah jarak antara bidang AFH dan bidang BDG!
7. Lukis dan hitunglah jarak antara AB dan FG!
8. Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan BD!
9. Lukis dan hitunglah jarak antara GH dan FC!
10. Dua buah garis l dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah AB. A pada l dan B pada m. Pada l dan m berturut-turut terletak titik-titik C dan D, sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm. Jika AB = 10 cm, hitunglah panjang CD.
BAB XII
SUDUT DALAM RUANG
Sudut antara Dua Buah Garis yang Bersilangan
Pengertian: Sudut antara dua buah garis a dan b yang bersilangan ialah sudut yang diperoleh jika melalui sembarang titik T ditarik garis a1 sejajar a dan garis b1 sejajar b.
Pada kejadian khusus, jika sudut antara dua buah garis yang bersilangan, yakni garis a dan b, berupa sudut siku-siku, maka dikatakan bahwa garis a dan b bersilangan tegaklurus, atau a menyilang tegaklurus garis b.
Sudut antara Garis dan Bidang
Pengertian: Jika garis a tidak tegaklurus pada bidang K, maka yang dimaksud sudut antara garis a dan bidang K adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis a dan proyeksi garis a pada bidang K.
Pada gambar, a1 adalah proyeksi a pada bidang K, maka sudut antara garis a dan bidang K ditunjukkan oleh sudut lancip yang dibentuk oleh a dan a1. Jadi (a, K) = (a, a1).
Sudut antara Dua Buah Bidang
Jika dua buah bidang K dan L saling berpotongan sepanjang garis potong (K, L), maka sudut antara bidang K dan L ditetapkan sebagai berikut:
Buatlah sebuah bidang yang tegaklurus pada garis potong (K, L)
Latihan
Dalam kubus ABCD EFGH
Sudut antara FD dan bidang BCGF ditunjukkan oleh sudut DFC, selanjutnya tunjukkan sudut antara:
BD dan bidang AEHD
FD dan Bidang ABCD
DH dan Bidang ACGE
Berapakah besarnya sudut antara:
CG dan bidang ABCD
GD dan bidang ABCD
DH dan bidang ACGE
Lukis besar sebenarnya sudut antara diagonal ruang dan sisi kubus, misalnya antara DG dan bidang sisi BHDG.
Tunjukkan dalam limas segi empat beraturan T.ABCD sudut antara:
TA dan bidang alas
TA dan bidang TBD
Sebuah kerucut bidang alas dan apotemanya sama panjang. Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh apotema dan bidang alasnya?
Dalam kubus ABCD EFGH, tentukanlah besarnya sudut antara:
AB dan CG d. FC dan EA
AB dan DE e. FG dan AD
DC dan BE
Dalam kubus ABCD EFGH, titik P adalah titik pertengahan AB, dan AB = 8 cm, tentukan:
Panjang HP
Cos (AD, HP)
Tg Cos (EF, GP)
Tiga rusuk yang bertemu di titik A di limas T.ABC saling tegak lurus. Jika AB=AC=42 cm dan TA = 43 cm. Hitunglah:
Besar sudut antara BCT dan ABC
Tangen sudut antara BCT dan ABT.
Dalam kubus ABCD EFGH, dilukis bidang ACGE dan BDG.
Lukislah garis potong kedua bidang itu.
Manakah sudut antara BDG dan ACGE
Manakah sudut antara BDG dan ABCD
Manakah sudut antara BDG dan BDE.
BAB XIII
PRISMA DAN LIMAS
Prisma
Definisi: prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan beberapa buah bidang lain yang dua-dua saling berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bidang-bidang sejajar itu kemudian membentuk dua buah daerah segi banyak yang kongruen yang dinamakan masing-masing bidang alas dan bidang atas. Garis-garis sejajar itu disebut rusuk tegak;dan pada umumnya rusuk tegak tidak tegak lurus pada bidang alas. Bidang batas yang selain bidang alas dan bidang atas disebut bidang sisi tegak; yang pada umumnya berupa daerah jajargenjang. Jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi prisma.
P
Q S
R
Gambar
Irisan prisma dengan sbeuah bidang yang memotong semua rusuk tegak dan letaknya tegak lurus pada rusuk tegak, disebut irisan tegak lurus atau irisan siku-siku (pada gambar PQRS). Prisma yang bidang alasnya sebuah segi-n disebut prisma bersisi-n atau prisma segi-n.
Prisma yang Memiliki Sifat Khusus
Prisma Tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alas.
Dengan demikian maka pada sebuah prisma tegak:
sisi-sisi tegaknya berupa daerah persegi panjang
bidang alas dan bidang atasnya juga merupakan irisan siku-sikunya
tinggi prisma dapat diwakili oleh panjang salah satu rusuk tegaknya.
Prisma yang tidak tegak disebut prisma miring.
Gambar
Prisma beraturan atau prisma teratur adalah prisma tegak yang bidang alasnya berupa segi banyak beraturan.
Pada prisma beraturan ruas garis yang menghubungkan titik-titik pusat bidang alas dan bidang atas disebut sumbu dari prisma beraturan itu. Pada gambar di bawah ini adalah prisma segitiga beraturan ABCDEF. Z1 dan Z2 adalah titik-titik pusat bidang alas dan atas, maka Z1Z2 disebut sumbu ABCDEF.
D F
Z2
E
A C
Z1
B
Gambar
Paralelepipedum
BAB XIV
IRISAN BIDANG DAN BANGUN RUANG
Bab ini membicarakan tentang bagaimana menentukan atau melukis irisan antara sebuah bidang datar tertentu dengan sebuah bangun ruang yang diketahui. Karena bangun-bangun geometri merupakan himpunan titik-titik tertentu, maka irisan sebuah bidang dan sebuah bangun ruang merupakan himpunan semua titik persekutuan antara bidang dan bangun ruang tersebut.
Irisan sebuah bidang dan sebuah bangun ruang pada umumnya berupa sebuah daerah bangun datar. Jika bangun ruang yang dimaksud berupa prisma atau limas, maka irisannya pada umumnya berupa sebuah daerah segibanyak. Dengan demikian dalam melukis irisan bidang dengan prisma atau limas dilakukan dengan melukis ruasgaris-ruasgaris yang merupakan sisi-sisi dari daerah segibanyak atau irisan yang dimaksud.
Dalam menentukan perpotongan antara bangun-bangun ruang, khususnya dalam menentukan irisan antara sebuah dan sebuah prisma atau limas, kita menggunakan beberapa postulat (aksioma) dan teorema (dalil), terutama aksioma dan dalil-dalil berikut:
Aksioma 1: melalui dua titik yang berlainan ada tepat satu garis.
Aksioma di atas dapat juga dikatakan dengan:
Dua buah titik yang berlainan menentukan sebuah garis
Jika dua buah garis bersekutu dua titiknya, pasti kedua garis itu berimpit.
Aksioma 2: Melalui tiga buah titik paling sedikit dapat dibuat sebuah bidang.
Aksioma 3: Jika dua titik dari sebuah garis terletak pada sebuah bidang, pasti seluruh garis itu terletak pada bidang tersebut. (hanya berlaku untuk bidang datar).
Aksioma 4: Jika dua bidang bersekutu sebuah titik, pasti kedua bidang itu bersekutu pada sebuah garis yang melalui titik itu.
Dari aksioma-aksioma di atas dapat diturunkan dalil-dalil berikut:
Dalil 1: Melalui tiga titik yang tidak segaris ada tepat sebuah bidang.
Dalil 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluarnya ada tepat sebuah bidang.
Dalil 3: Melalui dua garis yang berpotongan ada tepat sebuah bidang.
Dalil 4: Melalui dua garis sejajar ada tepat sebuah bidang.
Dalil 5: Empat buah titik belum tentu terletak pada sebuah bidang.
Dalil 6a: Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan tiga garis berpotongan, dan jika dua diantara tiga garis itu berpotongan di titik T, maka garis perpotongan yang ketiga juga melalui titik T. (Gambar 1)
Dalil 6b: Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan tiga garis perpotongan, dan jika dua diantara tiga garis itu sejajar, maka garis perpotongan yang ketiga juga akan sejajar dengan kedua garis perpotongan yang pertama. (Gambar 2)
Akibat dalil 6b:
Jika melalui dua garis sejajar masing-masing dibuat dua buah bidang yang saling berpotongan, maka garis perpotongannya pasti sejajar dengan kedua garis yang pertama.
Dengan beberapa aksioma dan dalil di atas, kita dapat menyelesaikan masalah lukisan dalam ruang, khususnya lukisan irisan bidang dengan bangun ruang. Dalam melukis irisan (yang pada umumnya berupa daerah segibanyak), kita berusaha melukis sisi-sisi dari segibanyak itu. Sedang sisi-sisi segibanyak itu masing-masing ditentukan oleh titik-titik sudutnya. Adapun titik-titik sudut itu pada hakekatnya adalah titik potong bidang itu dengan rusuk-rusuk tertentu dari bangun ruang yang dimaksud. Hal ini berarti bahwa "melukis titik potong sebuah garis dan sebuah bidang" merupakan langkah awal yang harus dipahami dan dikuasai dalam melukis irisan sebuah bidang dengan sebuah bangun ruang.
Berikut ditunjukkan pedoman tentang bagaimana langkah menentukan titik potong garis dan bidang, serta langkah menentukan garis potong dua buah bidang.
Menentukan titik potong garis dan bidang
DAFTAR PUSTAKA
De Baan dan J.C. Boss, 1956. Ilmu Ukur. Jakarta: J.B. Wolters.
Djoko Iswadji. 1999. Geometri II. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Soekemi, dkk. 1966. Ilmu Ukur dengan Persiapan. Yogyakarta: Penerbit Spring.
