Buku Kerja Kalkulus Lanjut

BUKU KERJA

KALKULUS LANJUT

OLEH SUGENG RIYADI, S.Si., M.Pd NIDN. 1026128701

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) YPM BANGKO MEI 2017

Buku Kerja Kalkulus Lanjut

1

STKIP YPM Bangko

KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobil’alamin, segala puji bagi Allah yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan diktat kalkulus lanjut. Terima kasih penulis ucapakan kepada rekan-rekan dosen di Prodi Pendidikan Matematika, para validator dan semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaiakan diktat ini. Penulisan buku kerja ini merupakan salah satu karya fenomenal penulis ketika menjadi dosen Di STKIP YPM Bangko. Buku kerja kalkulus lanjut disusun berdasarkan analisis kebutuhan mahasiswa ketika penulis mengampu mata kuliah kalkulus lanjut. Materi di kalkulus lanjut sangat luas dan padat sehingga mahasiswa dituntut untuk belajar lebih giat. Di tahun pertama penulis gunakan buku cetak untuk membantu mahasiswa dalam perkuliahan. Namun sepertinya mahasiswa di STKIP YPM Bangko butuh yang lebih sederhana sehingga mereka merasa perlu akan suatu buku penyambung antara buku rujukan dengan kemampuan mahasiswa yang dimiliki. Buku kerja kalkulus lanjut hadir ditengah-tengah kegundahan mahasiswa akan mata kuliah kalkulus lanjut. Diktat ini disusun menyesuaikan kemampuan mahasiswa Di STKIP YPM Bangko dan harapannya diktat ini dapat mempermudah mahasiswa dalam memahami materi kalkulus lanjut. Diktat ini disusun dengan basis penemuan terbimbing. Diktat ini dilengkapi dengan latihan terbimbing dan latihan mandiri. Diktat ini diharapkan mampu memunculkan sikap mandiri dari mahasiswa sehingga mampu menjawab permasalahan kekinian yang dialami oleh para mahasiswa. Penulis menyadari keterbatasan ilmu yang dimiliki sehingga penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak. Semoga diktat kalkulus lanjut bermanfaat bagi mahasiswa, dosen serumpun, dan pimpinan STKIP YPM Bangko.

Bangko,

Mei 2017

Sugeng Riyadi, S.Si., M.Pd


i

STKIP YPM Bangko

DAFTAR ISI

Kata Pengantar................................................................................................................ i Daftar Isi ........................................................................................................................ ii Kontrak Perkuliahan ...................................................................................................... iii Integral Tentu ................................................................................................................ 1 Notasi Jumlah dan Sigma .............................................................................................. 7 Integral Tentu ................................................................................................................ 13 Teorema Dasar Kalkulus ............................................................................................... 20 Bantian Dalam Perhitungan Integral Tentu ................................................................... 25 Aplikasi Integral ............................................................................................................ 30


ii

STKIP YPM Bangko

KONTRAK PERKULIAHAN Mata Kuliah Kode Mata Kuliah Bobot Mata Kuliah Program Studi Semester Kelas

: Kalkulus Lanjut : MTK 41405 : 3 SKS : Pendidikan Matematika : IV :B

Pengajar NIDN

: Sugeng Riyadi, S.Si., M.Pd : 1026128701

A. Manfaat Mata Kuliah Mata kuliah Kalkulus Lanjut ini adalah mata kuliah jurusan. Diajarkan bagi mahasiswa pada semester genap. Mata kuliah ini wajib diambil oleh mahasiswa program studi Pendidikan Matematika. Adapun manfaat mata kuliah ini adalah: a. Mata kuliah ini memberikan pengetahuan, pengalaman, dan keterampilan bagi mahasiswa yang akan menjadi tenaga pengajar Matematika. Mata kuliah Kalkulus Lanjut merupakan lanjutan dari mata kuliah Kalkulus Dasar. Materi kalkulus merupakan materi ajar pada satuan pendidikan sekolah menengah atas (SMA) kelas tiga. Pengetahuan dan kemampuan mahasiswa yang akan terjun sebagai tenaga pengajar matematika pada jenjang SMA harus menguasai betul materimateri kalkulus. Untuk itu mata kuliah ini amat berguna bagi mahasiswa yang akan menyelesaikan prodi Matematika jenjang program S1. b. Mata kuliah ini sebagai dasar mahasiswa untuk memahami materi perkuliahan tingkat lanjut seperti Persamaan Diferensial. Setelah menyelesiakan perkuliahan ini, diharapkan bisa menjadi bekal untuk terjun sebagai guru matematika terkhusus matematika di SMA. B. Deskrispsi Mata Kuliah Mata kuliah ini mempelajari tentang integral, integral tak tentu, integral tentu, aturan pengintegralan, teknik-teknik pengintegralan dan aplikasinya dalam bidang matematika atau bidang lainnya. C. Strategi Perkuliahan Metode yang digunakan dalam perkuliahan ini adalah mengunakan metode pendekatan student centre learning, yaitu strategi pembelajaran yang difokuskan atau dipusatkan kepada mahasiswa. Untuk itu, upayakan kegiatan pembelajaran yang memungkinkan mahasiswa lebih memperlihatkan kinerjanya. Bentuk pembelajaran yang digunakan antara lain: ceramah, tanya jawab, small group discussion (kooperatif), discovery learning, dan project based learning (PBL).


iii

STKIP YPM Bangko

D. Bahan Bacaan a. Purcel, Edwin, Dale Valberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, edisi kelima jilid 1. Jakarta: Erlangga b. Varberg, Purcel, Rigdon. 2010. Kalkulus, edisi kesembilan jilid 1. Jakarta : Erlangga. E. Deskripsi Tugas Tugas yang harus dikerjakan mahasiswa dalam perkuliahan ini berbentuk tugas individual dan tugas kelompok. a. Tugas I (Tugas Individual) 1. Tugas setiap selesai satu pertemuan (ditulis di dalam buku double folio). 2. Kreteria penilaian didasarkan pada kesesuaian, ketelitian dalam memberi jawaban. 3. Tugas dikumpulkan pada pertemuan ke-7 (sebagai syarat untuk mengikuti ujian tengah semester) dan ke-15 (sebagai syarat untuk mengikuti ujian akhir semester) b. Tugas II (Tugas Kelompok) Membuat diktat pada mata kuliah kalkulus dasar dengan diketik komputer dengan menggunakan Ms. Word. Tugas diserahkan dalam bentuk softcopy dan di burning ke CD atau menggunakan flashdisk. F. Penilaian Penilaian terhadap hasil belajar dalam perkuliahan ini dinyatakan dalam bentuk angka: A, A-, B+, B, B-, C+, C, C-, D, atau E. Unsur-unsur yang turut menentukan nilai adalah: Nilai A AB+ B BC+ C CD E

Poin 4 3,8 3,5 3 2,7 2,5 2 1,7 1 0

Range 88-100 83-87 78-82 73-77 68-72 63-67 58-62 52-57 49- 51 0-48

Unsur yang turut menentukan penilaian adalah: a. Tugas terstruktur, tugas kelompok, bobotnya 25% b. Ujian tengah semester , bobotnya 25% c. Ujian akhir semester bobotnya 50% Nilai =

Tugas + UTS + 2 UAS 4

G. Norma Akademik a. Kegiatan pembelajaran dimulai tepat waktu. Tolerasi keterlambatan 20 menit. b. Selama PBM berlangsung HP cukup digetarkan.


iv

STKIP YPM Bangko

c. Pengumpulan tugas sesuai dengan jadwal, sebelum pembelajaran dimulai. Bagi yang terlambat 1 hari nilainya 90%, dan terlambat 2 hari 80%, dan terlambat 3 hari 70%, serta yang terlambat 4 hari 50%, terlambat 5 hari tidak dinilai. d. Tugas yang merupakan hasil kopian tidak diterima, dipersilahkan mengundurkan diri dari perkuliahan ini dan bisa mengikuti disemster depan (jika ada). e. Aturan jumlah persentase kehadiran dalam pembelajaran tetap diberlakukan, yaitu 80% kehadiran baru dapat diuji. f. Kuliah berpakaian kemeja, celana dan sepatu. Dibenarkan berpakaian kaus yang mempunyai kerah. tidak dibenarkan pakai sandal dan pakai celana jens. Jika memakai sandal dan celana jens akan diberikan sanksi. g. Untuk wanita kuliah berpakian yang rapi, tidak ketat, pakai sepatu, pakai rok. Tidak dibenarkan memakai sandal, celana jens. Jika melanggar akan dikenakan sanksi. H. Jadwal Perkuliahan Pertemuan ke 1 1

Topik 2 Menjelaskan dan menguraikan kontrak perkuliahan untuk satu semester.

Referensi 3 -

2

Anti turunan (Integral tak-tentu) a. Definisi anti turunan dari f b. Teorema A (aturan pangkat) c. Teorema B (fungsi trigonometri) d. Teorema C (kelinieran) e. Teorema D (aturan pangkat yang diperumum)

Purcell, Edwin. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik.Jakarta:Erlangga

3

Notasi jumlah dan sigma a. Teorema A (kelinieran sigma) b. Beberapa jumlah khusus


4

Integral tentu a. Jumlah reimann b. Definisi integral tentu c. Teorema keintegralan d. Penghitungah integral tentu


5

Teorema dasar kalkulus a. Teorema A (teorema dasar kalkulus) b. Teorema B (kelinieran integral tentu)


6

Bantuan dalan penghitungan integral tentu a. Metode subtitusi b. Teorema A (subsitusi dalam integral tak tentu) c. Teorema B (subtitusi dalam integral tentu) d. Teorema C (teorema simetri)



v

STKIP YPM Bangko

1 7

8 9

2 3 Aplikasi integral dalam bidang matematika dan Purcell, Edwin. 1987. bidang lainnya. Kalkulus dan Geometri a. Luas daerah bidang rata Analitik.Jakarta:Erlangga b. Volume benda dalam bidang c. Volume benda putar UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) Fungsi Transenden: Purcell, Edwin. 1987. a. Fungsi logaritma asli Kalkulus dan Geometri b. Fungsi eksponen asli Analitik.Jakarta:Erlangga

10

Funsi transenden: Fungsi eksponen umum dan fungsi logaritma umum


11

Fungsi transenden: a. Fungsi trigonometri invers b. Turunan fungsi trigonometri


12

Pengintegralan fungsi rasional Purcell, Edwin. 1987. a. Penjabaran menjadi pecahan parsial (faktor Kalkulus dan Geometri linier) Analitik.Jakarta:Erlangga b. Penjabaran menjadi pecahan parsial (faktor kuadrat)

13

Teknik Pengintegralan : Subtitusi yang Purcell, Edwin. 1987. merasionalkan Kalkulus dan Geometri 𝑛 Analitik.Jakarta:Erlangga a. Integral yang memuat √𝑎𝑥 + 𝑏 2 2 2 2 b. Integral yang mengandung √𝑎 − 𝑥 , √𝑎 + 𝑥 dan √𝑥 2 − 𝑎2 c. Melengkapkan menjadi kuadrat

14

Pengintegralan parsial a. Pengintegralan parsial integral tak-tentu b. Pengintegralan parsial integral tentu c. Pengintegralan parsial berulang


15

Teknik Pengintegralan a. Pengintegralan dengan subtitusi a. Beberapa integral trigonometri


16


UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)

vi

STKIP YPM Bangko

1

INTEGRAL TAK TENTU

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

Memahami konsep integral tak tentu

Indikator

Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Memahami definisi anti turunan dari f 2. Memahami teorema A tentang aturan pangkat 3. Memahami teorema B tentang fungsi trigonometri 4. Memahami teorema C tentang kelinieran 5. Memahami teorema D tentang aturan pangkat yang diperumum

MATERI Definisi : Jika F dari suatu anti turunan dari f pada selang I jika 𝐷𝐹 = 𝑓 pada I yakni, jika 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, 𝐹 ′ (𝑥) hanya perlu berupa turunan satu sisi). Contoh 1 Carilah suatu anti turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 pada (-∞, ∞) Jawab Kita akan mencari fungsi yang memiliki turunan 3𝑥 2 Perhatikan bahwa: 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 1 mempunyai turunan 3𝑥 2 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 10 juga mempunyai turunan 3𝑥 2 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 𝐶 juga mempunyai turunan 3𝑥 2


1

STKIP YPM Bangko

Jadi, dapat kita ambil sebuah kesimpulan bahwa anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 adalah 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 𝐶 Contoh 2 Carilah anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 pada (-∞, ∞) Jawab Kita akan mencari fungsi yang memiliki turunan 𝑥 3 Perhatikan bahwa: 𝐹(𝑥) = 𝑥 4 mempunyai turunan 4𝑥 3 sedangkan yang kita butuhkan adalah fungsi yang memiliki turunan 𝑥 3 . Supaya 4 di depan 𝑥 3 bisa dihilangkan maka kita bagi dengan 4. Sehingga 𝐹(𝑥) =

1 4 𝑥 +𝐶 4

memiliki turunan 𝑥 3 . Jadi dapat kita tarik sebuah kesimpulan bahwa anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 adalah: 𝐹(𝑥) =

1 4 𝑥 +𝐶 4

Notasi Anti Turunan Ada beberapa notasi yang digunakan untuk menunjukkan anti turunan. Di SMA sering menggunakan notasi leibniz. Sebagai contoh: ∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 𝐶. Selain notasi leibniz ada beberapa lambang yang menunjukkan anti turunan seperti 𝐴𝑥 (3𝑥 2 ) = 𝑥 3 + 𝐶 Teorema A (Aturan Pangkat) Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka ∫ 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑟+1 +𝐶 𝑟+1

Contoh 3 Cari anti turunan yang umum dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2⁄3 Jawab ∫𝑥

2⁄3

𝑥 2⁄3+1 3 𝑑𝑥 = + 𝐶 = 𝑥 5⁄3 + 𝐶 2⁄3 + 1 5


2

STKIP YPM Bangko

Teorema B ∫ sin 𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

Contoh 4 Tentukan anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 Jawab ∫ 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − 2 cos 𝑥 + 𝐶

Teorema C (kelinearan integral) Jika 𝑓 dan g mempunyai anti turunan dan andaikan k suatu konstanta. Maka : ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Contoh 5 Dengan menggunakan kelinieran integral, tentukan ∫[4𝑥 + 3𝑥 2 ]𝑑𝑥 Jawab ∫[4𝑥 + 3𝑥 2 ]𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 1+1 𝑥 2+1 =4 +3 +𝐶 1+1 2+1 = 2𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝐶 Teorema D (Aturan pangkat yang diperumum) Jika g adalah suatu fungsi yang dapat di diferensialkan dan r suatu bilangan rasional (r ≠ -1 ) , maka : 𝑟 ′ (𝑥)𝑑𝑥

∫[𝑔(𝑥)] 𝑔

[𝑔(𝑥)]𝑟+1 = +𝐶 𝑟+1


3

STKIP YPM Bangko

Contoh 6 Dengan menggunakan aturan pangkat yang diperumum tentukan nilai integral berikut: ∫(𝑥 3 + 3𝑥)10 (3𝑥 2 + 3)𝑑𝑥 Jawab Misalkan g (x) = 𝑥 3 + 3𝑥; maka g’(x) = 3𝑥 2 + 3 Sehingga 3

10 (3𝑥 2

∫(𝑥 + 3𝑥)

10 ′ (𝑥)𝑑𝑥

+ 3)𝑑𝑥 = ∫[𝑔(𝑥)] 𝑔

[𝑔(𝑥)]11 = +𝐶 11

[𝑥 3 + 3𝑥]11 = +𝐶 11 Aturan pangkat yang diperumum dapat juga menggunakan permisalan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dan 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥. Berdasarkan cara penulisan notasi Leibniz, maka dapat kita tuliskan ∫ 𝑢𝑟 𝑑𝑢 =

𝑢𝑟+1 +𝐶 𝑟+1

Contoh 7 Dengan menggunakan permisalan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dan 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥, tentukan ∫(2𝑥 3 + 4𝑥 2 )3 (6𝑥 2 + 8𝑥)𝑑𝑥 Jawab Misal 𝑢 = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 ; maka 𝑑𝑢 = (6𝑥 2 + 8𝑥)𝑑𝑥, sehingga 3

∫(2𝑥 + 4𝑥

2 )3 (6𝑥 2

𝑢3+1 + 8𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = +𝐶 3+1 3

(2𝑥 3 + 4𝑥 2 )4 = +𝐶 4


4

STKIP YPM Bangko

LATIHAN TERBIMBING Latihan 1 Carilah anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 4 Jawab 𝐹(𝑥) = 2𝑥 2 mempunyai turunan ............................................ 𝐹(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 mempunyai turunan ............................................ 𝐹(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 + 4 mempunyai turunan ............................................ Jadi, anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 4 adalah ................................................

Latihan 2 Carilah anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 + 4𝜋 Jawab ∫(5𝑥 4 + 4𝜋)𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 4 𝑑𝑥 + ∫ 4𝜋 𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 + 4𝜋 ∫ 1 𝑑𝑥 = ......................................................... = .........................................................

Latihan 3 Dengan menggunakan aturan pangkat yang diperumum tentukan nilai integral berikut; ∫(2𝑥 4 + 4)3 (8𝑥 3 )𝑑𝑥 Jawab Misal 𝑢 = 2𝑥 4 + 4; maka 𝑑𝑢 = ⋯ ∫(2𝑥 4 + 4)3 (8𝑥 3 )𝑑𝑥 = ∫ = ......................................................... = ......................................................... = ......................................................... = .........................................................


5

STKIP YPM Bangko

LATIHAN MANDIRI Carilah anti turunan 𝐹(𝑥) + 𝐶 yang umum untuk no 1 - 4 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3⁄5 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + √5 4. 𝑓(𝑥) = 18𝑥 5 + 3𝑥 2 + 𝜋 Carilah integral tak tentu untuk soal no 5 – 7 5. ∫(𝑥 2 + √𝑥) 𝑑𝑥 6. ∫(𝑦 2 + 2𝑦)2 𝑑𝑦 7. ∫(3 sin 𝑡 + 2 cos 𝑡) 𝑑𝑡 Gunakan aturan pangkat yang diperumum untuk mengerjakan soal no 8 – 10 8. ∫(4𝑥 + 4)2 4 𝑑𝑥 9. ∫(5𝑥 4 + 𝑥)3 (20𝑥 3 + 1) 𝑑𝑥 10. ∫(𝑥 2 + 3𝑥 + 4)5 (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥


6

STKIP YPM Bangko

2

NOTASI JUMLAH DAN SIGMA

Standar Kompetensi


Kompetensi Dasar

Memahami konsep jumlah dan sigma

Indikator

Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Memahami notasi jumlah dan sigma 2. Memahami teorema A tentang kelinieran sigma 3. Memahami beberapa jumlah khusus

MATERI Notasi Sigma Untuk menuliskan deret n buah suku 𝑎𝑘 , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛 diperlukan suatu bentuk notasi singkat yang dinamakan notasi sigma atau notasi jumlah karena yang digunakan sebagi lambang notasi huruf kapital Yunani “sigma”, yaitu huruf ∑. Definisi : Misalkan suatu barisan berhingga 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 . Lambang untuk menyatakan jumlah dari n suku pertama barisan, yaitu: 𝑛

∑ 𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑘=1 𝑛

jika semua c dalam ∑ 𝑐𝑖 mempunyai nilai sama, katakan c maka 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑐𝑖 = ⏟ 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 = 𝑛𝑐 𝑖=1

𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑛


7

STKIP YPM Bangko

Sehingga diperoleh sebuah persamaan 𝑛

∑ 𝑐 = 𝑛𝑐 𝑖=1

Sifat-Sifat ∑ Teorema A ( kelinieran ∑ ) Andaikan {𝑎𝑖 |} dan {𝑏𝑖 } menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta maka : 𝑛

𝑛

(𝑖) ∑ 𝑐𝑎𝑖 = 𝑐 ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑛

(𝑖𝑖) ∑(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 + ∑ 𝑏𝑖 ; dan akibatnya 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑛

(𝑖𝑖𝑖) ∑(𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 − ∑ 𝑏𝑖 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Contoh 1 10

10

jika ∑ 𝑎𝑖 = 6 dan ∑ 𝑏𝑖 = 11. hitung 𝑖=1

𝑖=1

10

∑(2𝑎𝑖 + 3𝑏𝑖 + 4) 𝑖−1

Jawab 10

10

10

10

∑(2𝑎𝑖 + 3𝑏𝑖 + 4) = ∑ 2𝑎𝑖 + ∑ 3𝑏𝑖 + ∑ 4 𝑖=1

𝑖=1 10

𝑖=1

𝑖=1

10

10

= 2 ∑ 𝑎𝑖 + 3 ∑ 𝑏𝑖 + ∑ 4 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

= 2(6) + 3(11) + 10(4) = 12 + 33 + 40 = 85


8

STKIP YPM Bangko

CONTOH 2 (jumlah berjatuhan) sederhanakan 𝑛

∑(𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ) = 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 𝑖=1

Jawab 𝑛

∑(𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ) = (𝑎2 − 𝑎1 ) + (𝑎3 − 𝑎2 + (𝑎4 − 𝑎3 + ⋯ + (𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 ) 𝑖=1

= −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ − 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 = −𝑎1 + 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 Beberapa Jumlah Khusus Ada beberapa jumlah khusus yang memiliki keunikan dimulai dari pangkat satu, dua, tiga, empat dan seterusnya. Namun hanya empat yang akan ditampilkan diantaranya: 𝑛

1) ∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1) 2

𝑛

2) ∑ 𝑖 2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

𝑛

𝑛(𝑛 + 1) 2 3) ∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = [ ] 2 3

3

3

3

3

𝑖=1 𝑛

4) ∑ 𝑖 4 = 14 + 24 + 34 + ⋯ + 𝑛4 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1) 30

Contoh 3 Hitung 20

20

20 2

(𝑎) ∑ 𝑖, (𝑏) ∑ 𝑖 , 𝑑𝑎𝑛 (𝑐) ∑ 𝑖 4 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=2

Jawab 20

(𝑎) ∑ 𝑖 = 𝑖=1 20

(𝑏) ∑ 𝑖 2 = 𝑖=1

20(20 + 1) = 210 2 20(20 + 1)(40 + 1) = 2870 6


9

STKIP YPM Bangko

20

10 4

(𝑐) ∑ 𝑖 = (∑ 𝑖 4 ) − 14 = 𝑖=2

𝑖=1

20(21)(48000 + 3600 + 20 − 1) − 1 = 722.665 30

Contoh 4 hitunglah 5

∑ 21(𝑖 + 5) 𝑖=1

Jawab Gunakan sifat-sifat dari ∑ dan beberapa jumlah khusus 5

5

5

5

2

2

∑ 2𝑖(𝑖 + 5) = ∑(2𝑖 + 10𝑖) = 2 ∑ 𝑖 + 10 ∑ 𝑖 𝑖=1

𝑖=1

= 2(

𝑖=1

𝑖=1

5(6)(11) 5(6) ) + 10 ( ) = 260 6 2

Contoh 5 Carilah rumus untuk 𝑛

∑(𝑗 + 2)(𝑗 − 5) 𝑗=1

Jawab 𝑛

𝑛

∑(𝑗 + 2)(𝑗 − 5) = ∑(𝑗 2 − 3𝑗 − 10) 𝑗=1

𝑗=1 𝑛

𝑛

𝑛

2

= ∑ 𝑗 − 3 ∑ 𝑗 − ∑ 10 𝑗=1

𝑗=1

𝑗=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 + 1) −3 − 10 3 2 𝑛 = [2𝑛2 + 3𝑛 + 1 − 9𝑛 − 9 − 60] 6 =

=

𝑛(𝑛2 − 3𝑛 − 34) 3


10

STKIP YPM Bangko

LATIHAN TERBIMBING Latihan 1 jika 10

10

10

∑ 𝑎𝑖 = 10 𝑑𝑎𝑛 ∑ 𝑏𝑖 = 20. Tentukan ∑(𝑎𝑖 + 2𝑏𝑖 ) 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Jawab Gunakan sifat-sifat ∑ 10

10

10

∑(𝑎𝑖 + 2𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 + ∑ 2𝑏𝑖 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

10

10

= ∑ 𝑎𝑖 + 2 ∑ 𝑏𝑖 𝑖=1

𝑖=1

= .............. + .................... = ................

Latihan 2 Carilah nilai tiap jumlah berjatuhan 5

1 1 ∑( − ) 𝑘 𝑘+1 𝑖=1

Jawab 5

1 1 1 1 1 1 1 1 ∑( − ) = − + − + ⋯+ − 𝑘 𝑘+1 1 2 2 3 5 6

𝑘=1

= .........................................................

Latihan 3 Gunakan aturan jumlah khusus untuk mencari nilai dari jumlah deret berikut. 10

∑(2𝑖 + 5) 𝑖=1

Jawab 10

10

10

∑(2𝑖 + 5) = 2 ∑ 𝑖 + ∑ 5 = 𝑖=1

𝑖=1


𝑖=1

2(… )(… ) + 5(… ) = ⋯ 2

11

STKIP YPM Bangko

LATIHAN MANDIRI Soal no 1 – 3, andaikan bahwa 10

10

∑ 𝑎𝑖 = 10 𝑑𝑎𝑛 ∑ 𝑏𝑖 = 20. Tentukan 𝑖=1

𝑖=1

10

1. ∑(4𝑎𝑖 − 2𝑏𝑖 + 1) 𝑖=1 10

2. ∑(5𝑎𝑖 + 3𝑏𝑖 ) 𝑖=1 10

3. ∑(𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 − 1) 𝑖=1

Untuk soal no 4 – 6, gunakan jumlah yang berjatuhan untuk mencari nilai dari jumlah deret berikut: 10

1 1 4. ∑ ( − ) 𝑘+1 𝑘+2 𝑘=1 10

5. ∑(3𝑖+1 − 3𝑖 ) 𝑖=1 10

6. ∑(𝑎𝑙+1 − 𝑎𝑙 ) 𝑙=1

Gunakan aturan jumlah khusus dan sifat-sifat ∑ untuk mengerjakan soal no 7 – 10 10

7. ∑[(𝑖 − 1)(𝑖 + 1)] 𝑙=1 10

8. ∑(2𝑗 4 − 6𝑗 3 ) 𝑗=1 10

9. ∑(2𝑘 2 + 3𝑘 + 4) 𝑘=1 10

10. ∑(2𝑙 − 1)2 𝑙=1


12

STKIP YPM Bangko

3

INTEGRAL TENTU

Standar Kompetensi


Kompetensi Dasar

Memahami konsep integral tentu

Indikator

Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Memahami konsep jumlah Reimann 2. Memahami definisi integral tentu 3. Memahami teorema keintegralan 4. Menghitung integral tentu

MATERI

Definisi (Integral Tentu) Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutp [𝑎, 𝑏] Jika : 𝑛

lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

|𝑝|→∞

𝑖=1 𝑏

Ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada [𝑎, 𝑏], lebih lanjut ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 disebut integral tentu (integral Riemann) f dari a ke b , diberikan oleh 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 |𝑝|→∞

𝑎

𝑖=1

𝑏

Secara umum ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 menyatakan batasan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang [𝑎, 𝑏] yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas bagian atas sumbu-x dan tanda negatif untuk luas bagian yang berada dibawah sumbu x. 𝑏

∫𝑎 = 𝐴𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝐴𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ


13

STKIP YPM Bangko

𝑏

Dalam defenisi ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, secara implisit dapat dikatakan bahwa 𝛼 < 𝑏. Akibatnya 𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑎 𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑎 > 𝑏 𝑎

𝑎

Contoh 1 2

2 2

6 2

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 0, 2

6

2 𝑏

Karena x merupakan variable dummy dalam lambang ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, maka x dapat diganti oleh huruf seberang lain, seperti berikut 𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑎

𝑎

𝑎

TEOREMA KETERINTEGRALAN Jika f terbatas pada [𝑎, 𝑏] dan kontimu kecuali pada jumlah terhingga titik, maka f terintegralkan pada [𝑎, 𝑏] khususnya jika f kontinu pada seluruh selang [𝑎, 𝑏] maka ia teringralkan pada [𝑎, 𝑏]. Sebagai konsekuensi dari teorema keterintegralan maka fungsi-fungsi berikut adalah terintegralkan pada setiap selang tertutup [𝑎, 𝑏] 1. Fungsi-fungsi polinum Contoh 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 2. Fungsi-fungsi sinus dan kosinus Contoh 3 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 1 3. Fungsi-fungsi rasional,asalkan selang[𝑎, 𝑏]

tidak mengandung titik-titik yang

mengakibatkan suatu penyebut 0


14

STKIP YPM Bangko

Contoh 4 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 ;𝑥 ≠ 0 𝑥

𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 1 ; 𝑥 ≠ −1 𝑥+1

PENGHITUNGAN INTEGRAL TENTU

Contoh 5 3

Hitung ∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥 −2

Jawab [-2,3] → 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 3 − (2) = 5 𝑃𝑖𝑙𝑖ℎ ∆𝑥𝑖 =

5 𝑛

5 = −2 𝑛 5 𝑥1 = −2 + 1. ∆𝑥𝑖 = −2 + 1. 𝑛 5 𝑥2 = −2 + 2. ∆𝑥𝑖 = −2 + 2. 𝑛 5 𝑥𝑖 = −2 + 𝑖. ∆𝑥𝑖 = −2 + 𝑖. 𝑛 5 𝑥𝑛 = −2 + 𝑛. ∆𝑥𝑖 = −2 + 𝑛. = 3 𝑛 𝑥0 = −2 + 0. ∆𝑥𝑖 = −2 + 0.

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑥𝑖 + 3 5 = −2 + 1 ( ) + 3 𝑛 5 = 1+𝑖( ) 𝑛 5 5 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = (1 + 𝑖 ) 𝑛 𝑛 5 25 = +𝑖 2 𝑛 𝑛


15

STKIP YPM Bangko

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

5 25 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = ∑ ( + 2 𝑖) 𝑛 𝑛 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

5 25 = ∑1 + 2 ∑𝑖 𝑛 𝑛 =

5 25 𝑛(𝑛 + 1) .𝑛 + 2 ( ) 𝑛 𝑛 2

25 𝑛2 𝑛 = 5 + ( 2 + 2) 2 𝑛 𝑛 25 25 + 2 2𝑛 35 25 = + 2 2𝑛 =5+

𝑛

lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = lim (

|𝑝|→0

𝑛→~

𝑖=1

35 25 + ) 2 2𝑛

35 25 + 2 2. ~ 35 = +0 2 35 = 2 =

Contoh 6 3

Hitung ∫ (2𝑥 2 − 8)𝑑𝑥 −1

Jawab [−1,3] → 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 3 − (−1) = 4 𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ ∆𝑥𝑖 =

4 𝑛

4 𝑥𝑖 = −1 + 𝑖 ( ) 𝑛 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 8 2 4 𝑓(𝑥𝑖 ) = 2 {( ) 𝑖 − 1} − 8 𝑛 16 8 = 2 { 2 𝑖 2 . 𝑖 + 1} − 8 𝑛 𝑛


16

STKIP YPM Bangko

32 2 16 𝑖 − 𝑖−6 𝑛2 𝑛 16 16 4 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = { 2 𝑖 2 − 𝑖 − 6} ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 128 64 24 = 2 𝑖2 − 𝑖 − 𝑛 𝑛 𝑛 =

𝑛

𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 = ∑ { 𝑖=1

𝑖=1

128 2 64 24 𝑖 − 2𝑖− } 2 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖−1

𝑖=1

128 64 24 = 3 ∑ 𝑖2 − 2 ∑ 𝑖 − ∑ 1 𝑛 𝑛 𝑛 =

128 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 64 𝑛(𝑛 + 1) 24 ∙ − 2∙ − ∙𝑛 𝑛3 6 𝑛 2 𝑛

=

128 2𝑛2 3𝑛 1 𝑛 1 { 2 + 2 + 2 } − 32 { + } − 24 6 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

128 128 128 32 +{ + 2 } − 32 − − 24 3 2𝑛 6𝑛 𝑛 128 − 168 32 128 = + + 3 𝑛 6𝑛2 40 32 64 =− + + 3 𝑛 3𝑛2 =

𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 𝑎

|𝑝|→0

𝑖=1

3

∫ (2𝑥 2 − 8)𝑑𝑥 = lim {− −1

𝑛→~

40 32 64 + + } 3 𝑛 3𝑛2

40 32 64 + + 3 ~ 3∙~ 40 =− +0+0 3 40 =− 3 =−


17

STKIP YPM Bangko

LATIHAN TERBIMBING Latihan 1 Hitunglah integral tentu menggunakan definisi pengintegralan! 4

∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 0

Jawab [0,4 →]𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 4 − 0 = 4 Pilih ∆𝑥𝑖 =

4 𝑛

sehingga diperoleh 𝑥𝑖 = ⋯ … … … … … … … … … … … …. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥𝑖 ) = ⋯ … … … … … … … … … … … 𝑓(𝑥𝑖 ). ∆𝑥𝑖 = (… … … … … )(… … … ) = .................................................................................................... = .................................................................................................... 𝑛

∑ 𝑓(𝑥 𝑖)∆𝑥𝑖 = ⋯ … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 𝑖=1

= .................................................................................................... = .................................................................................................... = .................................................................................................... = .................................................................................................... = .................................................................................................... 4

∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 = lim (… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ) 0

𝑛→8

= .................................................................................................... = .................................................................................................... = ....................................................................................................


18

STKIP YPM Bangko

LATIHAN MANDIRI Soal no 1 – 4, gunakan nilai-nilai a dan b yang diberikan dan nyatakan limit yang diberikan sebagai sebuah integral tentu. 𝑛

1. lim ∑(𝑥̅𝑖 )2 ∆𝑥𝑖 ; 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 |𝑝|→0

𝑖=1 𝑛

2. lim ∑(𝑥̅𝑖 + 1)3 ∆𝑥𝑖 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 2 |𝑝|→0

𝑖=1 𝑛

3 lim ∑ |𝑝|→0

𝑖=1

𝑥̅𝑖 ∆𝑥 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 3 1 + 𝑥̅𝑖 𝑖

𝑛

4. lim ∑(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥̅𝑖 )∆𝑥𝑖 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝜋 |𝑝|→0

𝑖=1

Soal no 5 – 10, hitung integral tentu menggunakan definisi pengintegralan. 4

5. ∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 0 2

6. ∫ (𝑥 + 5)𝑑𝑥 0

𝑃𝑒𝑡𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘: Gunakan 𝑥̅𝑖 =

4𝑖 𝑛

4

7. ∫ (𝑥 2 + 2)𝑑𝑥 0 2

8. ∫ (𝑥 2 − 1)𝑑𝑥 0

𝑃𝑒𝑡𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘: Gunakan 𝑥̅𝑖 = −1 +

3𝑖 𝑛

4

9. ∫ (2𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 −1 4

10. ∫ (𝑥 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 0


19

STKIP YPM Bangko

4

TEOREMA DASAR KALKULUS

Standar Kompetensi


Kompetensi Dasar

Memahami konsep dasar kalkulus

Indikator

Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Memahami teorema dasar kalkulus 2. Memahami teorema kelinieran integral tentu

MATERI

Teorema Dasar Kalkulus Andaikan suatu f kontinu pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti keturunan dari f 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

Contoh 1 𝑏

Tunjukkan bahwa ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎) 𝑎

Jawab 𝐹(𝑥) = 𝑐𝑥 adalah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑐, sehingga menurut teorema dasar kalkulus 𝑏

∫ 𝑐 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑐𝑏 − 𝑐𝑎 = 𝑐(𝑏 − 𝑎) 𝑎

Contoh 2 𝑏

Tunjukkan bahwa ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎


𝑏 2 𝑎2 − 2 2

20

STKIP YPM Bangko

Jawab 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 ⁄2 adalah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥, sehingga menurut teorema dasar kalkulus 𝑏

𝑏 2 𝑎2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = − 2 2 𝑎 Lambang 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) dapat kita tulis menjadi 𝑏 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = [𝐹(𝑥)] 𝑎 Contoh 3 2

Tentukan ∫ (2𝑥 − 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 1

Jawab 2 2𝑥 2 3𝑥 3 2 ∫ (2𝑥 − 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = [ − ] 2 3 1 1

= (22 − 23 ) − (12 − 13 ) = −4 − 0 = −4 Teorema Kelinieran Integral Tentu Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan andaikan k konstanta dan f + g terintegralkan 𝑏

𝑏

(𝐢) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎 𝑏

𝑏

𝑏

(𝐢𝐢) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎 𝑏

𝑎 𝑏

𝑏

(𝐢𝐢𝐢) ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

Contoh 4 2

Tentukan ∫ (6𝑥 2 − 4𝑥 + 2) 𝑑𝑥 1

Jawab 2

2

2

2

∫ (6𝑥 2 − 4𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ 6𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 1


1

1

1

21

STKIP YPM Bangko

2

2

2

= 6 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 1 𝑑𝑥 1

1 3

1

2

𝑥 2 𝑥 2 2 = 6 [ ] − 4 [ ] + 2[𝑥] 1 3 1 2 1 = 2(8 − 1) − 2(4 − 1) + 2(2 − 1) = 14 − 6 + 2 = 10 Contoh 5 𝜋⁄4

2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

Tentukan ∫ 0

Jawab Misal 𝑢 = sin 2𝑥 sehingga 𝑑𝑢 = 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑢3 ∫ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = +∁ 3 2

=[

𝑠𝑖𝑛3 2𝑥 45 1 ] = (𝑠𝑖𝑛3 90 − 𝑠𝑖𝑛3 0) 0 3 3

1 1 = (1 − 0) = 3 3 Contoh 6 1

Tentukan ∫ [𝑥 2 + 𝑥 (𝑥 2 + 1)3 ] 𝑑𝑥 0

Jawab 1

1

1

∫ [𝑥 2 + 𝑥 (𝑥 2 + 1)3 ] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥(𝑥 2 + 1)3 𝑑𝑥 0

0

0

Untuk integral sebelah kiri tentunya dapat dengan mudah kita kerjakan, namun untuk integral sebelah kanan maka perlu kita selesaikan dengan menggunakan permisalan. Misal 𝑢 = 𝑥 2 + 1 sehingga 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 akibatnya, 1 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥, sehingga 2 1

1 1 𝑢4 𝑢4 3 ∫ 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = +∁= +∁ 2 2 4 8 0 2

1

3

1

∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥(𝑥 2 + 1)3 𝑑𝑥 = [ 0

0

=

(𝑥 2 + 1)4 1 𝑥3 1 ] +[ ] 0 3 0 8

1 1 1 7 5 (1 − 0) + (16 − 1) = + 1 = 2 3 8 3 8 24


22

STKIP YPM Bangko

LATIHAN TERBIMBING Latihan 1 Hitunglah integral tentu menggunakan teorema dasar kalkulus! 𝑏

∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑎

Jawab adalah anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3

𝐹(𝑥) = ⋯ 𝑏

∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ⋯ 𝑎

= ....................................................................................................

Latihan 2 Hitunglah integral tentu menggunakan teorema kelinieran integral tentu! 3

∫ (4𝑥 3 + 4)𝑑𝑥 1

Jawab 3

3

∫ (4𝑥 3 + 4)𝑑𝑥 = ⋯ ∫ 1

3

𝑑𝑥 + ⋯ ∫

1

𝑑𝑥

1

= .................................................................................................... = .................................................................................................... = ....................................................................................................

Latihan 3 Hitunglah integral tentu berikut! 𝜋⁄4

∫

cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

0

Jawab Misalkan u = ...............

dan du = .................

𝜋⁄4

∫

cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

0

= .................................................................................................... = ....................................................................................................


23

STKIP YPM Bangko

LATIHAN MANDIRI Soal no 1 – 4, gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung tiap integral tentu (lihat contoh 1-3). 2

1. ∫ (3𝑥 2 − 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 −1 3

2 𝑑𝑡 𝑡3

2. ∫ 1

−2

(𝑦 2 +

3. ∫ −4

1 ) 𝑑𝑦 𝑦3

𝜋⁄2

4. ∫

cos 𝑥 𝑑𝑥

0

Soal no 5 – 10, gunakan teorema dasar kalkulus dikombinasikan dengan aturan pangkat diperumum untuk menyelesaikan integral tentu yang diberikan (lihat contoh 4 dan 5) 1

5. ∫ (𝑥 2 + 1)10 (2𝑥)𝑑𝑥 0 0

6. ∫ (√𝑥 3 + 1) (3𝑥 2 )𝑑𝑥 −1 𝜋⁄2

(4𝑥 + 3 + cos 𝑥)𝑑𝑥

7. ∫ 0 1

8. ∫ (𝑥 2 + 2𝑥)2 𝑑𝑥 0 4

9. ∫ (√𝑥 + √2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 0 8𝑎

10. ∫ (𝑎1⁄3 − 𝑥 1⁄3 ) 𝑑𝑥 𝑎


24

STKIP YPM Bangko

5

BANTUAN DALAM PERHITUNGAN INTEGRAL TENTU

Standar Kompetensi


Kompetensi Dasar

Memahami perhitungan integral tentu

Indikator

Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Memahami metode subtitusi 2. Menyelesaikan perhitungan integral tak tentu menggunakan metode subtitusi 3. Menyelesaikan perhitungan integral tentu dengan menggunakan metode subtitusi 4. Memahami teorema simetri

MATERI

1. METODE SUBTITUSI Andaikan 𝑢 = 𝑓(𝑥) dan 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 maka, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢

Contoh 1 Tentukan ∫

𝑠𝑖𝑛 √𝑥 √𝑥

𝑑𝑥

Jawab misalkan 𝑢 = √𝑥 = 𝑥 𝑑𝑢 = ∫

1⁄ 2

1 −1 1 𝑥 2 𝑑𝑥, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 2 𝑑𝑢 = 2 √𝑥

𝑠𝑖𝑛 √𝑥 √𝑥

𝑑𝑥 = 2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = 2(− cos 𝑢) + ∁= −2 cos √𝑥 + ∁


25

STKIP YPM Bangko

Contoh 2 Tunjukkan bahwa ∫

√𝜋⁄ 2

𝑥 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥 2 ) cos(𝑥 2 ) 𝑑𝑥

0

Jawab misalkan 𝑢 = sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑢 = 2𝑥 cos(𝑥 2 )𝑑𝑥, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∫

√𝜋⁄ 2

𝑥 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥 2 ) cos(𝑥 2 ) 𝑑𝑥 =

0

1 𝑑𝑢 = 𝑥 cos(𝑥 2 )𝑑𝑥 2 1 1 𝑢4 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 = +𝐶 2 2 4

1 1 𝜋 = [ 𝑠𝑖𝑛4 (𝑥 2 )] √𝜋 ⁄ 2 = [𝑠𝑖𝑛4 ( ) − 𝑠𝑖𝑛2 0] 8 8 4 0 4

1 √2 1 4 1 = [( ) − 0] = = 8 2 8 16 32

SUBSTITUSI DALAM INTEGRAL TENTU Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada dan andaikan kontinu pada daerah nilai dari g. Maka: 𝑏

𝑔(𝑏)

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔

′(𝑥)

𝑑𝑥 = ∫

𝑎

𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑔(𝑎)

Contoh 3 1

Tentukan ∫ 0

𝑥+1 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥 + 6)2

Jawab Misalnya: 𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 2) 𝑑𝑥, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎

1 𝑑𝑢 = (𝑥 + 1)𝑑𝑥 2

Batas 𝑥 = 0 → 𝑢 = 02 + 2(0) + 6 = 6 Batas 𝑥 = 1 → 𝑢 = 12 + 2(1) + 6 = 9 1

∫ 0

𝑥+1 1 9 −2 1 1 9 1 1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑥 = [− ] = − ( − ) = 2 2 (𝑥 + 2𝑥 + 6) 2 6 2 𝑢 6 2 9 6 36


26

STKIP YPM Bangko

PENGGUNAAN SIMETRI Suatu fungsi genap adalah yang memenuhi 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), sedangkan suatu fungsi ganjil memenuhi 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) . Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y, sedangkan grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal (0,0). TEOREMA SIMETRI Jika f fungsi genap, maka: 𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −𝑎

0

Jika f fungsi ganjil, maka: 𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 −𝑎

Contoh 4 𝜋 𝑥 Tentukan ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 4 −𝜋

Jawab cos(−𝑥/4) = cos(𝑥/4) , 𝑓(𝑥) = cos(𝑥/4) maka fungsi genap Sehingga: 𝜋

𝜋 𝜋 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ∫ cos ( ) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 = 8 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑 ( ) 4 4 4 4 −𝜋 0 0

𝑥 𝜋 𝜋 √2 = 8 [sin ( )] = 8 [sin ( ) − sin 0] = 8 ( ) = 4√2 0 4 4 2

Contoh 5 5

𝑥5 𝑑𝑥 2 −5 𝑥 + 4

Tentukan ∫ Jawab

𝑥 = 1 → 𝑓(1) =

15 1 = 2 1 +4 5 Fungsi ganjil

(−1)5 −1 𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = = 2 (−1) + 4 5

karena 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 /(𝑥 2 + 4) adalah fungsi ganjil, jadi integral di atas bernilai 0.


27

STKIP YPM Bangko

Contoh 6 2

Tentukan ∫ (𝑥 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 + 𝑥 3 − 𝑥 4 )𝑑𝑥 −2

Jawab Penyelesaian, dua suku pertama dalam integral adalah ganjil, yang terakhir genap. Jadi kita boleh menuliskan integral itu sebagai 2

2

4

∫ (𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥 −2

3 )𝑑𝑥

2

2

𝑥5 64 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 0 − 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [−2 ] = − 5 0 5 −2 0


4

4

28

STKIP YPM Bangko

LATIHAN MANDIRI Soal no 1 – 5, gunakan metode subtitusi untuk menghitung integral tak-tentu (lihat contoh 1). 3

1. ∫ √2𝑥 − 4 𝑑𝑥 2. ∫ cos(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 3. ∫ sin(2𝑥 − 4) 𝑑𝑥 4. ∫ 𝑥√𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 𝑥 𝑠𝑖𝑛√𝑥 2 + 4

5. ∫

√𝑥 2 + 4

𝑑𝑥

Soal no 6 – 10, gunakan metode subtitusi untuk menghitung integral tentu (lihat contoh 2-3). 1

6. ∫ (3𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 0 1

7. ∫ 0

𝑥+2 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 4𝑥 + 1)2

𝜋⁄6

𝑠𝑖𝑛3 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃

8. ∫ 0 1⁄2

9. ∫

sin(2𝜋𝑥) 𝑑𝑥

0 4

1

10. ∫ 1

√𝑡(√𝑡 + 1)

3 𝑑𝑡

𝜋⁄2

𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥 2 ) sin(𝑥 2 ) 𝑑𝑥

11. ∫ 0

Soal no 12 – 13, gunakan simetri untuk menghitung integral berikut (lihat contoh 4-6). 𝜋

12. ∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)𝑑𝑥 −𝜋 1

𝑥3 𝑑𝑥 2 4 −1 (1 + 𝑥 )

13. ∫


29

STKIP YPM Bangko

6

APLIKASI INTEGRAL

Standar Kompetensi


Kompetensi Dasar

Memahami perhitungan integral tentu

Indikator

Pada akhir kuliah ini diharapkan mahasiswa akan dapat memahami 1. Menghitung luas daerah dibawah kurva 2. Menghitung volume benda dalam bidang 3. Menghitung volume benda putar

MATERI 1. LUAS DAERAH BIDANG RATA Daerah di atas sumbu x Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) menentukan persamaan sebuah kurva pada bidang 𝑥𝑦 dan andaikan 𝑓 kontinu dan tak negative pada selang (interval) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh grafik-grafik dari 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 0. Kita mengacu R sebagai daerah di bawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) antara 𝑥 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑏, luasnya A(R), ditentukan oleh 𝑏

𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

CONTOH 1 Tentukan luas daerah R di bawah kurva 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2 Jawab 2

𝑥5 𝑥4 4 3 (𝑥 𝐴(𝑅) = ∫ − 2𝑥 = 2) 𝑑𝑥 = [ − + 2𝑥] 5 2 −1 32 16 1 1 51 =( − + 4) − (− − − 2) = 5 2 5 2 10 Buku Kerja Kalkulus Lanjut

30

STKIP YPM Bangko

Daerah di bawah sumbu x Luas pada dasarnya tidak ada yang negatif. Namun untuk kurva di bawah sumbu x dalam perhitungan yang dilakukan akan menghasilkan nilai negatif, sehingga untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) terletak di bawah sumbu x dimana 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 0 ditentukan oleh 𝑏

𝐴(𝑅) = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

CONTOH 2 Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh 𝑦 =

𝑥2 3

− 4, 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, 𝑥 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 3.

Jawab) 3 𝑥2 𝑥3 3 𝐴(𝑅) = − ∫ ( − 4) 𝑑𝑥 = − [ − 4𝑥] −2 3 9 −2

(−2)3 33 27 −8 = − [( − 4(3)) − ( − 4(−2))] = − [( − 12) − ( + 8)] 9 9 9 9 8 1 = − [−20 + 3 + ] = 16 9 9 Luas diantara dua kurva Tinjaulah kurva-kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

f(x)

g(x)

a

b 𝑏

𝐴(𝑅) = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑎


31

STKIP YPM Bangko

CONTOH 3 Tentukan luas daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥 2 − 2 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = −𝑥 Jawab karena batasnya belum ada, maka perlu dicari batasnya terlebih dahulu 𝑦1 = 𝑦2 𝑥 2 − 2 = −𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = −2, 𝑥 = 1 Sehingga 1

1

∫ (−𝑥 − (𝑥 2 − 2)) 𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 − 𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 −2

−2

𝑥2 𝑥3 1 − + 2𝑥] −2 2 3 1 1 4 8 1 = (− − + 2) − (− + − 4) = 4 2 3 2 3 2

= [−

2. VOLUME Daerah di atas sumbu x Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) menentukan persamaan sebuah kurva pada bidang 𝑥𝑦 dan andaikan 𝑓 kontinu dan tak negative pada selang (interval) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh grafik-grafik dari 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 0. Kita mengacu R sebagai daerah di bawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) antara 𝑥 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑏, luasnya A(R), ditentukan oleh 𝑏

𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎


32

STKIP YPM Bangko

LATIHAN TERBIMBING Latihan 1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 + 2 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 3𝑥 Jawab Cari batas dari kedua kurva tersebut 𝑦1 = 𝑦2 𝑥 2 + 2 = 3𝑥 ............................... ............................... ............................... Sehingga …

∫ (3𝑥 − (𝑥 2 + 2))𝑑𝑥 = ⋯ …

= ................................................................................................... = ................................................................................................... = ...................................................................................................

Latihan 2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 − 6 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = −𝑥 Jawab Cari batas dari kedua kurva tersebut 𝑦1 = 𝑦2 𝑥 2 − 6 = −𝑥 ............................... ............................... ............................... Sehingga …

∫ (−𝑥 − (𝑥 2 − 6))𝑑𝑥 = ⋯ …

= ................................................................................................... = ................................................................................................... = ................................................................................................... Buku Kerja Kalkulus Lanjut

33

STKIP YPM Bangko

LATIHAN MANDIRI Soal no 1 – 5, hitunglah luas daerah berikut (lihat contoh 1-2). 1. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, antara 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 3 2. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3, 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2 3. 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, antara 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2 3

4. 𝑦 = √𝑥, 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, antara 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 8 1 5. 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥, antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 3 3 Soal no 6 – 10, hitunglah luas daerah berikut (lihat contoh 3). 6. 𝑦 = 𝑥 2 − 2, 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 2𝑥 2 + 𝑥 − 4 7. 𝑦 = −𝑥 2 + 8𝑥, 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 6𝑥 − 24 8. 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥, 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = −𝑥 2 9. 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 10. 𝑦 = (𝑥 − 1)2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑥 − 1


34

STKIP YPM Bangko

Buku Kerja Kalkulus Lanjut

Recommend Documents