Í n e n d i i c e .
.
Capí tulo 1 1 Planteo T Teórico-Metodológico y y E Encuadre G Geográf ico d del A Análisis
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
CONCEPTOS GENERALES......................... GENERALES...................................... ............................ ............................ ......................... ............ 7 COMPONENTES DE LAS LLUVIAS DE DISEÑO................................... DISEÑO......................................... ...... 9 PROCESO DE ESTIMACIÓN .......................... ......................................... ............................ ........................... ................... ..... 11 NATURALEZA DE LOS EVENTOS .............................. ............................................ ............................ .................. .... 12 ESCALA DE DISEÑO................................. DISEÑO................................................ ............................ ........................... ......................... ........... 13 MAGNITUD Y RECURRENCIA DE DISEÑO ........................... ........................................ ................... ...... 14 REGIÓN DE ENSAYO.............................. ENSAYO............................................. ............................ ........................... ........................... ............. 15 CONDICIONES EXPERIMENTALES EXPERIMENTALES ........................... ......................................... ........................... ................... ...... 16 CUENCA DE ENSAYO ........................... ........................................ ............................ ............................ ........................... ................ 18
Capí tulo 2 2 Relaciones e entre L Láminas d de L Lluvia L Local e en F Función d de lla R Recurrencia
2.1
2.2
2.3
7
VÍNCULO ENTRE ALTURA Y RECURRENCIA DE LLUVIA............... LLUVIA................... .... 21 2.1.1 Fórmulas empíricas....................................... empíricas.................................................... ............................ ......................... .......... 23 2.1.2 Modelos probabilísticos....................... probabilísticos.................................... ........................... ............................ .................... ...... 25 INVESTIGACIÓN DE LLUVIAS LLUVIAS DIARIAS EN CÓRDOBA ....................... ....................... 27 2.2.1 Condiciones experimentales .......................... ........................................ ............................. ....................... ........ 27 2.2.2 Análisis y síntesis de los resultados ......................... ...................................... .......................... ............... 29 CONCLUSIONES............ CONCLUSIONES .......................... ............................ ........................... ............................ ............................ ......................... ............ 33
21
2
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Capí tulo 3 3 Relaciones e entre L Láminas d de L Lluvia L Local e en F Función d de lla D Duración
3.1 3.2
3.3
3.4 3.5 3.6 3.7
INTRODUCCIÓN..................................................... INTRODUCCIÓN...................................... ............................ ............................ ........................... ............ 35 OPCIONES METODOLÓGICAS METODOLÓGICAS PARA EVALUAR EVALUAR LAS RELACIONES.. 36 3.2.1 Cocientes que parten parten de posiciones posiciones de gráfica ........................... ................................... ........ 37 3.2.2 Cocientes que parten parten de una función función probabilística probabilística ........................... ........................... 37 3.2.3 Cocientes que parten de curvas i-d-T empíricas............................... empíricas................................... 38 3.2.4 Cocientes entre láminas de 24 horas y diaria.............................. diaria...................................... ........ 38 DEPENDENCIA DE LAS RELACIONES CON LA RECURRENCIA ......... 39 3.3.1 Estimaciones por posición posición de gráfica .......................... ........................................ ....................... ......... 39 3.3.2 Estimaciones con una FDP ........................... ......................................... ............................ ........................ .......... 40 3.3.3 Estimaciones tomadas de curvas i-d-T empíricas....................... empíricas............................... ........ 42 SENSIBILIDAD DE RESULTADOS RESULTADOS AL MÉTODO DE CÁLCULO............ 43 CONTRASTE CON RELACIONES RELACIONES OBTENIDAS EN OTROS PAÍSES...... 43 CONVENIENCIA DE COCIENTES COCIENTES ZONALES ZONALES Y/O REGIONALES .......... 45 CONCLUSIONES............ CONCLUSIONES ........................... ............................ ........................... ............................ ........................... ......................... ............ 47
Capí tulo 4 4 Estimación d de M Máximos e en H Hidrologí a m mediante F Factores d de F Frecuencia
4.1 4.2 4.3 4.4
5.5 5.6
49
SOBRE LA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL ........................... ........................................ ..................... ........ 49 FACTORES DE FRECUENCIA NORMAL Y LOGNORMAL ..................... ..................... 51 CONTRASTE DE ALGORITMOS DE ESTIMACIÓN............. ESTIMACIÓN .......................... ..................... ........ 56 CONCLUSIONES...................................... CONCLUSIONES........................ ............................ ............................ ........................... ........................... .............. 58
Capí tulo 5 5 Función ii-d-T d de lla L Lluvia b basada e en F Factores d de F Frecuencia: M Modelo D DIT
5.1 5.2 5.3 5.4
35
INTRODUCCIÓN..................................................... INTRODUCCIÓN....................................... ............................ ............................ .......................... ............ 61 ANÁLISIS DE LA RELACIÓN i-d-T............. i-d-T ............................ ............................ ........................... ..................... ....... 63 EL MODELO DIT................................. DIT............................................... ............................ ........................... ........................... ................... ..... 64 VALIDACIÓN DE HIPÓTESIS HIPÓTESIS EN LA REGIÓN REGIÓN DE ENSAYO ENSAYO .................. .................. 66 5.4.1 Distribución probabilística probabilística de las láminas ........................... ....................................... ............... ... 66 5.4.2 Estimador del factor de frecuencia normal normal ........................... ....................................... ................ 67 5.4.3 Distribución probabilística probabilística de las láminas ........................... ....................................... ............... ... 68 COMPARACIÓN DE LOS ALGORITMOS EXPUESTOS...................... EXPUESTOS............................ ...... 69 SÍNTESIS ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ........ 71
61
Índice
3
Capí tulo 6 6 Incidencia d de T Tendencias C Climáticas ssobre llas L Lluvias M Máximas
6.1 6.2 6.3
6.4
INTRODUCCIÓN..................................................... INTRODUCCIÓN...................................... ............................ ............................ ........................... ............ 73 METODOLOGÍA PARA PARA EL ANÁLISIS ANÁLISIS DE TENDENCIAS TENDENCIAS ........................ ........................ 74 TENDENCIA EN EN SERIES DE LLUVIAS LLUVIAS MÁXIMAS DE CÓRDOBA........ CÓRDOBA ........ 75 6.3.1 Análisis de las series de lluvias máximas............. máximas ........................... ........................... ................ ... 75 6.3.2 Comparación entre totales y máximos anuales.................................. anuales.................................... 77 6.3.3 Cuantificación de de efectos de cambio cambio climático ......................... .................................. ......... 79 SÍNTESIS ........................... .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ....................... ........ 84
Capí tulo 7 7 Transposición d de L Lluvias c con o ob jetivos d de D Diseño
7.1 7.2
7.3 7.4 7.5
8.4
8.5
85
CONCEPTOS Y ALTERNATIVAS DE TRANSPOSICIÓN.................... TRANSPOSICIÓN.......................... ...... 85 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS MÉTODOS EN CÓRDOBA..................................... CÓRDOBA..................................... 86 7.2.1 Equiparación .......................... ........................................ ............................. ............................ ............................ ................... .... 86 7.2.2 Regionalización................... Regionalización................................ ........................... ............................ ............................ ....................... ......... 88 7.2.3 Interpolación ........................... ........................................ ........................... ............................ ............................ ................... ..... 90 7.2.4 Extrapolación............. Extrapolación ........................... ............................ ............................ ............................ ............................. ................... 91 7.2.5 Zonalización........................ Zonalización....................................... ............................ ............................ ............................ ..................... ........ 93 TRANSPOSICIÓN DE LLUVIAS DE DISEÑO............ DISEÑO ......................... ........................... .................... ...... 95 CONTRASTE DE TÉCNICAS DE TRANSPOSICIÓN TRANSPOSICIÓN............. .......................... ..................... ........ 96 CONCLUSIONES............ CONCLUSIONES ........................... ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... .......... 98
Capí tulo 8 8 Precipitación M Máxima P Probable. E Estimación E Estadí stica R Regional D Diaria
8.1 8.2 8.3
73
CONCEPTO DE PRECIPITACIÓN MÁXIMA PROBABLE PROBABLE ......................... ......................... 99 MÉTODO DE LA ENVOLVENTE ............................ .......................................... ............................ ...................... ........ 100 EXPERIENCIAS EN LA REGIÓN CENTRAL DEL PAÍS .......................... .......................... 103 8. 3. 1 Ensayo en el noroeste de Córdoba........................................ Córdoba.................................................... ............ 104 SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD A LAS CONDICIONES EXPERIMENTALES..... EXPERIMENTALES......... ........ ........ .... 105 8. 4. 1 Efectos de densidad de red y longitud de series ......................... ............................... ...... 107 8. 4. 2 Efecto del tamaño del sistema de ensayo..................................... ensayo.......................................... ..... 108 SÍNTESIS DEL ESTUDIO REGIONAL............. REGIONAL .......................... ........................... ............................ .................. 109
99
4
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Capí tulo 9 9 Variación d de lla P PMP c con lla D Duración. E Elección d de lla E Escala d de D Diseño
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
111
VARIACIÓN DE LA PMP CON LA DURACIÓN DE LLUVIA LLUVIA............. ................. .... 111 CONTRASTE DE TÉCNICAS EN CÓRDOBA............ CÓRDOBA ......................... ........................... ................... ..... 112 SELECCIÓN DEL NIVEL NIVEL DE DISEÑO .......................... ........................................ ........................... ................. 120 PLANTEO EXPERIMENTAL ............................ ......................................... ............................ ............................ ................. 120 ANÁLISIS DE RESULTADOS................... RESULTADOS................................ ........................... ............................ ........................ .......... 121 CONCLUSIONES............ CONCLUSIONES ........................... ............................ ........................... ............................ ........................... ....................... .......... 123
Capí tulo 1 10 Lámina d de L Lluvia a a E Escala d de C Cuenca p para IIntervalos d de M Máxima A Anual
125
10.1 CARACTERIZACIÓN ESPACIAL ESPACIAL DE LAS LAS LLUVIAS DE DISEÑO ........ 125 10.1.1 Círculos de influencia de la estación núcleo........................... núcleo..................................... .......... 128 10.1.2 Coeficiente de decaimiento areal ............................. .......................................... ......................... ............ 129 10.1.3 Elección de la estación núcleo ........................... ......................................... ........................... ................. .... 130 10.1.4 Calibración de ecuaciones ecuaciones de atenuación ........................... ......................................... .............. 131 10.2 REDUCCIÓN PARA INTERVALOS DE MÁXIMA ANUAL................... ANUAL....................... 132 10.2.1 Resultados en la cuenca cuenca del Río San Antonio Antonio .......................... .................................. ........ 132 10.2.2 Síntesis de la relación analítica: Modelo Modelo CoDA............................... CoDA............................... 135 10.3 CONCLUSIONES PARA INTERVALOS INTERVALOS DE MÁXIMA ANUAL ............. 136
Capí tulo 1 11 Reducción A Areal d de T Tormentas S Severas. E Ef ectos F Fisiográf icos y y C Climáticos
11.1 INTRODUCCIÓN..................................... INTRODUCCIÓN.................................................... ............................. ............................ ......................... ........... 137 11.2 RESULTADOS PARA LA CUENCA DEL SAN ANTONIO............... ANTONIO....................... ........ 138 11.3 CONTRASTE DE FUNCIONES FUNCIONES DE REDUCCIÓN ........................... ..................................... .......... 138 11.3.1 Funciones de reducción y sistemas de origen................................. origen..................................... 139 11.3.2 Estandarización de las funciones ........................... ........................................ ........................... .............. 141 11.3.3 Análisis de resultados ........................... ......................................... ............................ ............................ .................. 142 11.4 CONCLUSIONES PARA TORMENTAS SEVERAS.............................. SEVERAS................................... ..... 145
137
Índice
5
Capí tulo 1 12 Distribución T Temporal IInterna: S Sí ntesis d de T Tormentas IIntensas
147
12.1 DISTRIBUCIÓN TEMPORAL INTERNA: HIETOGRAMA TIPO............. 147 12.2 SÍNTESIS DE HIETOGRAMAS A PARTIR DE LA FUNCIÓN i-d-T........ 148 12.2.1 Método de la intensidad instantánea................................................. 148 12.3 SÍNTESIS A PARTIR DE EVENTOS HISTÓRICOS CRÍTICOS................ 149 12.3.1 Caracterización de los eventos y las muestras.................................. 149 12.3.2 Método del ordenamiento de intervalos............................................ 151 12.3.3 Método de la función de distribución acumulada............................. 151 12.4 HIETOGRAMAS DE TORMENTAS INTENSAS EN CÓRDOBA............. 153 12.5 CONCLUSIONES........................................................................................... 160 Capí tulo 1 13 Distribución T Temporal IInterna: IIntervalos d de M Máxima IIntensidad A Anual
161
13.1 INTRODUCCIÓN........................................................................................... 161 13.2 COMPARACIÓN ENTRE HIETOGRAMAS DE TORMENTAS E IMA ... 162 13.2.1 Similitudes y diferencias entre los eventos....................................... 162 13.2.2 Errores en posición y magnitud del pico .......................................... 165 13.3 COEFICIENTES DE FORMA EN HIETOGRAMAS DE IMA.................... 165 13.3.1 Caracterización de los coeficientes................................................... 166 13.3.2 Relación entre coeficientes y dimensiones del IMA ........................ 169 13.4 CONCLUSIONES........................................................................................... 170 Capí tulo 1 14 Predicción d de C Crecientes d de P Proyecto a a p partir d de L Lluvias d de D Diseño
14.1 CONCEPTOS Y EXPERIMENTOS............................................................... 171 14.2 INFORMACIÓN PARA CALIBRAR LOS MODELOS ............................... 172 14.2.1 Precipitación ..................................................................................... 172 14.2.2 Condiciones iniciales ........................................................................ 173 14.2.3 Tiempo de respuesta ......................................................................... 174 14.2.4 Caudales y niveles pico de las crecientes ......................................... 174 14.2.5 Eventos seleccionados ...................................................................... 175 14.3 ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE PREDICCIÓN ............................ 175 14.4 CALIBRACIÓN DE LOS MODELOS........................................................... 176 14.5 PREDICCIÓN DE PICOS DE CRECIENTES ............................................... 178 14.5.1 Explotación de los modelos .............................................................. 178 14.5.2 Resultados obtenidos ........................................................................ 180 14.6 CONCLUSIONES........................................................................................... 181
171
6
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Apéndice Procesos H Hidrológicos y y M Modelos P Probabilí sticos
A.1 A.2
A.3
A.4
A.5
A.6
183
INTRODUCCIÓN........................................................................................... 183 CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA APLICADOS A HIDROLOGÍA ........... 184 A.2.1 Variables hidrológicas aleatorias ...................................................... 185 A.2.2 Nociones de probabilidad ................................................................. 185 A.2.3 Distribuciones probabilísticas........................................................... 189 A.2.4 Momentos y características de las distribuciones............................. 191 DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS USUALES EN HIDROLOGÍA. 193 A.3.1 Distribución Normal ......................................................................... 194 A.3.2 Distribución Exponencial ................................................................. 195 A.3.3 Distribución Gamma......................................................................... 196 A.3.4 Distribución Pearson Tipo III ........................................................... 196 A.3.5 Distribución de Valores Extremos .................................................... 197 A.3.6 Distribución Lognormal.................................................................... 198 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ................................................................. 199 A.4.1 Regresión Lineal Simple................................................................... 201 A.4.2 Evaluación del modelo de regresión lineal ....................................... 202 PRUEBAS DE AJUSTE NO PARAMÉTRICAS........................................... 204 A.5.1 Test de Mann–Kendall...................................................................... 204 A.5.2 Test de Kolmogorov-Smirnov .......................................................... 205 FACTORES DE FRECUENCIA .................................................................... 206
Ref erencias B Bibliográf icas
209
Capí tulo 11 .
.
Pl a n te o T T e ó ri c ol ó gi c c o- M e t o o d c o y E n cu a d re G Ge o g r á f i c c o d el A A n ál i s si s s G a b riel C a a m a ñ o N el l li
1.1
CONCEPTOS GENERALES
El diseño hidrológico se define como la evaluación del impacto de los procesos hidrológicos y la estimación de valores de las variables relevantes para modificarlo. Desde el punto de vista humano, el agua tiene un impacto positivo, si se contemplan sus efectos benéficos: para uso doméstico, agrícola, pecuario, industrial, energético, minero, recreativo, estético, ecológico. Es decir, al interpretarla como recurso hídrico. Pero el impacto puede también ser negativo, tomando en cuenta efectos cuantitativos o cualitativos perniciosos: sobre suelos, embalses, seres vivos, seguridad, salud pública, infraestructura, economía, tránsito, urbanística. Esto es, cuando se consideran los fenómenos como amenazas hídricas. En consecuencia, la modificación del impacto tiende a aumentar el aprovechamiento o a reducir los excedentes de agua. El manejo del recurso se ocupa de la regulación de aportes continuos a largo plazo, en tanto que la ate nuación de efectos indeseados es un problema de control de eventos extremos. El tema de las lluvias de diseño constituye un paradigma de este último tipo, puesto que su objeto es la prevención de desastres. El término desastre hace referencia a un evento o suceso que ocurre, en la mayoría de los casos, en forma repentina e inesperada, causando perjuicios severos a una colectividad, una región o un país, sea por muerte o enfermedad en la población, destrucción o pérdida de sus bienes, desorganización de la estructura socioeconómica y/o daños marcados sobre el ambiente.
8
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Los desastres de origen natural responden a amenazas que no pueden ser neutralizadas, puesto que difícilmente es factible intervenir en su génesis, aunque en algunos casos resulta posible controlar parcialmente sus efectos. La mención de desastres lleva a considerar la idea de riesgo, que admite diferentes acepciones. Para los ingenieros se refiere a una función matemática, dependiente de la probabilidad de ocurrencia de fenómenos peligrosos. En cambio, quienes se dedican a las ciencias naturales (los geomorfólogos, por ejemplo) le asignan un significado más amplio, al interpretarlo como el resultado de relacionar la amenaza que entraña el fenómeno (equivalente al riesgo ingenieril) con la vulnerabilidad de los elementos expuestos (sensibilidad intrínseca a l os efectos). Al margen de la cuestión semántica, y aun cuando el interés se reduzca a la evaluación de la amenaza, se utilizará aquí esta última concepción, ya que permite identificar las medidas de mitigación más adecuadas, estructurales (obras de protección e intervención sobre la vulnerabilidad) y no estructurales (planificación, difusión, mapas de riesgo, sistemas de alerta, regulación de uso del suelo, costos preventivos en presupuestos de inversión, entrenamiento para emergencias). Evaluar la amenaza es pronosticar o predecir la ocurrencia y magnitud del fenómeno, con base en el estudio de su mecanismo generador, el monitoreo del sistema perturbador y/o el registro de eventos en el tiempo. La cuantificación de una amenaza hidrológica se efectúa mediante modelos matemáticos, que deben ser elaborados, calibrados, verificados (cuando sea posible) y explotados. Se pronostica si se asigna al suceso el monto y el tiempo de ocurrencia (o un lapso breve, a causa de la incertidumbre del proceso y/o de su estimación). El pronóstico es un anticipo a corto plazo (basado en interpretación de señales o eventos premonitorios), cuyo objetivo es informar a la población amenazada acerca del acontecimiento o inminencia de un fenómeno peligroso real . Permite caracterizar al evento como previsible o no. Los modelos de pronóstico forman parte de sistemas de alerta y su función se cumple durante una emergencia. Por su parte, una predicción no especifica cuándo se producirá, sino cuál será la magnitud de un evento hipotético crítico, dada su duración y su recurrencia (según la información probabilística de parámetros indicadores), o bien, en el más largo plazo, cuál será el evento máximo probable. Se asume que sucederá en algún momento de un período plurianual, vinculado a la planificación y el dimensionamiento de obras en el área potencialmente afectable, lo cual torna improcedente asignarle fecha u hora. El tema de lluvias para diseño hidrológico está incluido en el ámbito de la predicción. La magnitud de las construcciones destinadas a conducir, contener o salvar cursos de agua (canales, acueductos, defensas, presas, puentes, alcantarillas), así como las medidas no estructurales planteadas para protegerlas, guarda relación directa con el caudal o el nivel a que estarán expuestas en el futuro, los cuales, por su carácter aleatorio, solo se pueden estimar en forma probabilística.
Planteo Teórico-Metodológico y Encuadre Geográfico del Análisis
9
Las principales pautas para establecer un valor de diseño son el costo y la seguridad . Sobredimensionar las alcantarillas de drenaje pluvial de una ciudad importante implica un despilfarro considerable, en tanto que, si se subestima el pico de crecida que debe evacuar el vertedero de una gran presa, ésta puede fallar con resultados catastróficos. La magnitud de diseño óptima es una solución de compromiso entre ambos aspectos. El rango en que se ubica ese valor tiene una frontera inferior nula, dado que las variables de interés no son negativas, aunque para casos concretos corresponde a veces considerar umbrales mayores. Por ejemplo, dentro del horizonte de la planificación, es ilógico suponer que, en su peor bajante futura, el Río Paraná se seque. El límite superior es finito, porque en el planeta existe, en esencia, siempre la misma cantidad de agua, por tratarse de un sistema cerrado. No es razonable imaginar, entonces, una lluvia de 3000 mm/hora en ningún punto de la Provincia de Córdoba. Si bien este extremo del rango es desconocido, se suele evaluar con fines prácticos la mayor magnitud posible de un evento hidrológico en un lugar determinado, como la precipitación máxima probable o la crecida máxima probable. Este Valor Límite Estimado (VEL) depende, evidentemente, de la información disponible, y puede ser excedido por fenómenos reales, como de hecho ha sucedido. En principio, los estudios dirigidos a determinar crecidas de proyecto se deberían realizar sobre series de datos históricos de caudal, estadísticamente aptas en extensión y continuidad, pero esta información es poco frecuente en la mayor parte del mundo. Por eso, el análisis se hace sobre las precipitaciones pluviales causantes del fenómeno. Las lluvias de diseño resultantes son eventos pluviales idealizados para reflejar las exigencias de origen hidrometeorológico a las que se verían sometidas las obras. Constituyen entradas que, al ser procesadas por modelos de transformación lluviaescurrimiento y de tránsito de descargas, proveen hidrogramas de crecientes a la sa lida del sistema hidrológico de interés.
1.2
COMPONENTES DE LAS LLUVIAS DE DISEÑO
La caracterización de las lluvias de diseño involucra un conjunto de rasgos de índole diversa, algunos de los cuales se traducen en variables concretas interrelacionadas. Esos rasgos o componentes, que son estudiados a lo largo de esta obra, se presentan a continuación, a título introductorio.
Magnitud: Valor que alcanzaría la intensidad o la altura precipitada en un punto. La intensidad, i, se define como el cociente entre la altura de la lámina de lluvia, h, y la duración del intervalo que demandó su acumulación, d. Es, entonces, un promedio temporal en ese lapso, estimado para un punto específico del espacio. La magnitud se plantea para intervalo fijo (vínculo altura-recurrencia) si proviene de una serie pluviométrica, con paso de medición diario, o puede depender de l a duración.
10
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Persistencia: Duración del intervalo de lluvia para el cual se predice. Este es un dato que el proyectista establece, dependiendo de las características físicas de la cuenca en cuyo cierre quiere estimar el pico de la creciente de proyecto.
Probabilidad: Frecuencia futura estimada o período de retorno anual del evento. Es el otro dato a definir de antemano, en función de la amenaza o del riesgo asumido. El monto de lluvia se asocia habitualmente a la probabilidad de ocurrencia, a la frecuencia relativa histórica f (función i-d-f) o a su recurrencia anual T (función i-d-T). Pero también se puede referir al evento de mayor magnitud esperable en una región, denominado Valor Límite Estimado, VEL (en el caso de lluvia, la Precipitación Máxima Probable, PMP), al que no se le puede asignar una probabilidad de ocurrencia
Ubicación: Posición donde interesa predecir, en relación c on la red de medición. Las ternas de valores para calibrar un modelo i-d-T provienen de registros continuos o de alta frecuencia; por lo tanto, sólo es posible la estimación directa en un pluviógrafo. Si, como es común, no existe una serie pluviográfica local apta, se necesita transponer la función, con técnicas específicas que se asumen parte integral del tema. En tal caso, un pluviómetro próximo al punto de interés brindaría información valiosa para la transposición. Cuando no lo haya, la única opción es interpolar entre puestos con datos, siempre que la densidad de la red y la orografía lo permiten. El valor local de PMP suele surgir de estimadores regionales. No se transpone dentro de la misma unidad espacial, sino de una región a otra, lo cual es altamente desaconsejable.
Distribución: Patrón de variación temporal interna de la intensidad de lluvia. Es costumbre deducir los patrones temporales, denominados hietogramas tipo, de la función i-d-T, pero las distribuciones no resultan verosímiles, porque se mezclan datos de fenómenos de características diferentes. También se los suele definir por síntesis de tormentas históricas, pero una tormenta es un fenómeno hidrometeorológico completo, no el suceso requerido para predicción.
Atenuación: Reducción de lluvia local a escala de cuenca, para predecir descargas. La disminución del valor de la lámina precipitada depende del área de la cuenca, A, y de la duración de la lluvia. La forma usual de representarla es mediante curvas h-d-A. En lugar de la altura de lámina, se utiliza a veces el coeficiente de reducción areal . Estas funciones son propias de cada región y están afectadas en especial por su topografía, razón por la cual no es recomendable su transposición. Un modo elaborado de reflejar la estructura de la lluvia es un mapa de isohietas sintéticas, adaptable a la orientación geográfica dominante de las precipitaciones. Esto sólo tiene sentido para utilizar modelos de transformación espacialmente distribuidos, sea por el tamaño del sistema o por el grado de detalle requerido.
Planteo Teórico-Metodológico y Encuadre Geográfico del Análisis
1.3
11
PROCESO DE ESTIMACIÓN
La estimación de los componentes de una lluvia de diseño se basa en registros continuos de pluviógrafo o series de alta frecuencia de equipos automáticos. Cuando se parte de fajas pluviográficas, deben ser digitalizadas en cada cambio de pendiente de la traza, para obtener datos equivalentes a los del segundo caso. A partir de allí, el tratamiento posterior es el mismo. Lo primero que se evalúa es la magnitud de la precipitación. Esta etapa requiere deducir la relación funcional (i-d-T o i-d-f) que guarda la intensidad máxima anual, estadísticamente esperable, con la duración de la lluvia, para cada probabilidad de ocurrencia o período de retorno del evento. Para ello, las secuencias de alta frecuencia se interpolan con un paso de tiempo constante mínimo, que se fija entre 1 y 5 minutos, según la precisión deseada. Luego se recorren paso a paso, con lapsos móviles de cada una de las duraciones de interés, denominadas intervalos de máxima intensidad anual , IMA (que normalmente van desde 5 minutos hasta 24 horas), calculando cada vez la intensidad media en el intervalo, hasta establecer los máximos anuales por duración. Se asigna frecuencia empírica a los valores de las series por duración (previamente ordenadas), en general con la fórmula de Weibull. De este modo se arriba a ternas intensidad-duración-recurrencia, que se emplean en la síntesis de la función i-d-T. Ahora bien, si lo que se busca es el Valor Límite Estimado (es decir, la Precipitación Máxima Probable, PMP), el procedimiento de estimación estadística difiere en parte del arriba descripto, pues no va asociado a una recurrencia y es de índole regional. Sin embargo, se aplica también, en definitiva, a los IMA de cada estación de medición. Lo que se obtiene en ambos casos (i-d-T o PMP) es un valor máximo, de intensidad media de lluvia en un lapso prefijado, para un punto particular del espacio. En tanto que lo que interesa para diseño es el dato medio areal, distribuido temporalmente. En consecuencia, ese valor del lugar asumido como epicentro del fenómeno debe ser rectificado, de manera que resulte representativo de la cuenca bajo estudio, lo cual implica un decaimiento, ya que no cabe esperar que se dé un máximo simultáneo sobre toda la superficie avenada. La atenuación se expresa como una función, característica de cada zona, de la duración de la lluvia y del tamaño de la cuenca, que se deduce del análisis de e ventos históricos. Por último, la intensidad media areal tiene que ser repartida en el tiempo, mediante hietogramas tipo. Esto es importante, porque el grado de concentración temporal de la precipitación se refleja en la forma del hidrograma de proyecto, que la lluvia de diseño producirá a través del modelo de transformación lluvia-descarga. La determinación de los hietogramas tipo, que describen cuantitativamente la distribución temporal de diseño, es también un proceso de síntesis de sucesos pluviales registrados con anterioridad.
12
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
1.4
NATURALEZA DE LOS EVENTOS
No hay razón para suponer que los intervalos de máxima intensidad anual, usados al evaluar la función i-d-T o la PMP, equivalgan a la duración de una tormenta. Pueden cubrir una porción de ella, englobarla junto a un período sin lluvia o agrupar a más de una. Los hietogramas internos de los IMA difieren notablemente, en general, de los de tormentas, de modo que resulta ilógico adoptar los patrones del fenómeno completo. García et al. (2000a) demostraron que los hietogramas tipo se deben sintetizar de las distribuciones de los IMA. Así, además de coincidir en el tiempo con la lámina a repartir, representan los patrones históricos observados, lo que no sucede cuando son extraídos de curvas i-d-T, siguiendo técnicas que también son de uso habitual. Catalini (2001) hizo otro tanto en lo que a atenuación espacial se refiere. Pese a ello, es práctica común emplear esquemas obtenidos por síntesis de tormentas históricas intensas (sea como ábaco para reducir la lámina local de diseño o como patrón para distribuirla en el tiempo), sin advertir la contradicción conceptual en que se incurre. En este texto se asume que los eventos propios del análisis y la síntesis de las lluvias para diseño son los intervalos de máxima intensidad anual, que se deben emplear, por coherencia, en todas las etapas de estimación. En consecuencia, se evita el nombre usual de tormentas de diseño, para designar tormentas intensas o severas. Aun cuando su uso sea objetable para diseño, el tratamiento de tormentas intensas es un complemento valioso en varios sentidos: la interpretación del fenómeno natural, el aporte de técnicas aplicables a los IMA y el contraste del comportamiento de las lluvias entre regiones, dada la mayor disponibilidad de estudios sobre tormentas. Esta es la causa por la que algunos de sus aspectos son discutidos en detalle más adelante. Caracterizar las tormentas severas involucra tres cuestiones: • • •
¿Cuándo una serie de chaparrones sucesivos constituye una tormenta y no varias? ¿Qué monto total justifica incluirla en el análisis? ¿Cuál es la tasa media de lluvia requerida para considerarla “intensa”?
Es decir, se deben establecer criterios mínimos de corte (tiempo sin que se registre lluvia), de lámina y de intensidad. La primera de esas cuestiones define la forma general asignada a muchos hidrogramas. Las restantes, apuntan a excluir aquellas tormentas irrelevantes para el objetivo, por levedad o brevedad, que alteran los resultados del análisis debido a su alta frecuencia. Los topes que se fijen (si es que se fijan) pueden condicionar fuertemente los resultados finales. En principio, las reglas en estos aspectos dependen de las características meteorológicas y fisiográficas de la región de aplicación, porque el interés está puesto en la posibilidad que tengan las tormentas para producir crecidas extremas. Por ejemplo, una tasa baja para zonas montañosas (dada su capacidad de evacuación rápida) no lo es necesariamente en llanura, donde las áreas de aporte son mucho mayores y los frentes pueden producir precipitaciones generalizadas y prolongadas.
Planteo Teórico-Metodológico y Encuadre Geográfico del Análisis
1.5
13
ESCALA DE DISEÑO
La medida de diseño óptima es una solución de compromiso entre costo y seguridad. Con este criterio, no sería razonable usar siempre un valor límite estimado. De hecho, la Precipitación Máxima Probable (PMP) se emplea únicamente al dimensionar grandes obras, cuya destrucción implica grave riesgo para vidas humanas o bienes mate riales. Por otra parte, no es posible atribuir a la PMP una probabilidad de ocurrencia o un período de retorno, puesto que, por tratarse del mayor evento previsible, se supone que sucederá una sola vez en toda la existencia del sistema, es decir, en una cantidad de milenios indefinidamente prolongada. En consecuencia, la PMP se usa como un valor determinístico, aún cuando el método de estimación tenga un fundamento estadístico. Para estructuras de menor envergadura, los costos llevan a plantearlas en proporción con eventos más frecuentes, cuya recurrencia puede ser estimada. A medida que el tamaño de la obra y, por lo tanto, el período de retorno a emplear disminuyen, este enfoque probabilístico da lugar a procedimientos más consistentes. No hay una norma general para encuadrar las construcciones hidráulicas según su magnitud. Una posible clasificación es la de la U.S. National Academy of Sciences (1983), en función de los efectos potenciales de falla. Para presas, delimita tres categorías, asociándolas a la capacidad del vertedero y, en última instancia, al de almacenamiento o a la altura de acuerdo a la siguiente escala (af significa acre-pie): 3
3
3
4
3
3
50 af (≅6hm ) ≤ chicas ≤ 10 af (≅120hm ) ≤ medias ≤ 5.10 af (≅6.10 hm ) ≤ grandes 25 ft (≅ 7,6 m)
≤ chicas ≤ 40
ft (≅ 12,2 m)
≤ medias ≤
100 ft (≅ 30,5 m)
≤ grandes
Chow et al (1994) comparan, sólo a título ilustrativo, ya que no se corresponden entre si, escalas basadas en el valor límite estimado y en la recurrencia. Ubican, con respecto a ellas, los niveles de diseño para distintos tamaños de estructuras y presentan un ábaco como el que se reproduce en la Figura 1.1 % del VEL Retorno (años) Niveles de diseño para distintos tipos de estructuras
40│
50│
60│
70│
80│
90│ 100│
2│ 5│ 10│ 25│ 50│ 100│ 200│ 500│1000│
pequeñas >│ │< medianas >│
│<
grandes
>│
Figura 1.1: Contraste de escalas y niveles de diseño (adaptado de Chow et al., 1994)
La división por magnitud de estructuras bajo riesgo depende de aspectos muy diversos: daños por falla, vulnerabilidad debida a dimensiones de la obra (vertedero, altura) e importancia de la amenaza, expresada por el monto de la variable (volumen, caudal, intensidad), su recurrencia o una fracción del valor límite. Aunque están relacionados, no hay correspondencia unívoca entre estos aspectos, dando lugar a una indefinición.
14
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
1.6
MAGNITUD Y RECURRENCIA DE DISEÑO
Alrededor de un siglo atrás, se asumía válido estimar el valor de diseño afectando un dato histórico con un factor de seguridad arbitrario. Así, por ejemplo, se consideraba adecuado adoptar las dimensiones de un vertedero de modo que permitiera pasar un pico entre 50 y 100 % mayor que el de la máxima creciente medida en un lapso de unos 25 años. Esta regla empírica, que demostró su incompetencia en la práctica, no toma en cuenta la relación con el período de retorno. Hoy se entiende que, al igual que la duración, la probabilidad de ocurrencia es un dato a imponer a la relación i-d-T para estimar el valor de diseño, es decir, de la intensidad de lluvia en este caso. Hay tres enfoques para decidir el período de retorno óptimo: sustentados en la experiencia, en el vínculo riesgo-recurrencia (que es el adoptado en este libro) y en el análisis hidroeconómico. Los dos primeros evalúan la amenaza en si, en tanto que el último incorpora la vulnerabilidad del sistema y considera el riesgo en su conjunto. Por este motivo, requiere un nivel de información mucho mayor. Esta técnica, que no será detallada aquí, elige la recurrencia que minimiza el costo total: a medida que se aumenta el período de retorno, crece la envergadura de la obra y con ello el capital inicial, pero se reducen las pérdidas por falla. La adición de ambos costos permite identificar el retorno óptimo. En cuanto a la evaluación empírica, estima la probabilidad de ocurrencia P(np, nd, no) de que en np años de predicción futuros se alcance o supere la magnitud del evento crítico, de duración nd años (un anegamiento o una sequía persistente), medido en no años de observación precedentes. Al operar con paso anual, la cantidad de lapsos de duración nd en el período de registro es no - nd + 1 y en el período de predicción será np - nd + 1, para np ≥ nd, de donde
P(n p , n d , n o ) =
n p (n o
− nd +1
− n d + 1) + (n p − n d + 1)
=
n p no
+
−
n p
nd
−
+1
2 ⋅ nd
+
2
(1.1)
Cuando el fenómeno más severo, como por ejemplo una precipitación o una creciente fluvial, persiste menos de un año, se considera nd = 1 y resulta
P(n p , n o ) =
n p no
+
n p
(1.2)
Planteo Teórico-Metodológico y Encuadre Geográfico del Análisis
1.7
15
REGIÓN DE ENSAYO
Hecho el planteo teórico, cada etapa descriptiva o inferencial del problema se plantea para términos geográficos concretos. En la mayoría de los tópicos aquí tratados, el estudio abarca totalmente una de las 24 jurisdicciones políticas de la República Argentina: la Provincia de Córdoba. Por este motivo, resulta conveniente una caracterización previa de dicha región de ensayo. Por su parte, ciertos temas implican la necesidad de emplear una cuenca como unidad fisiográfica de análisis (definición a la que la Provincia en su conjunto no se ajusta). La cuenca de ensayo adoptada en tales casos se describe al final del presente capítulo. La otra excepción, referida a áreas de ensayo menores, responde al interés de evaluar la incidencia del tamaño del sistema en los resultados, como sucede para la PMP. 2
La Provincia de Córdoba, cuyos 165.321 km abarcan un 4,4% del territorio nacional, o o es un estado mediterráneo, situado entre 29 30' y 35 de latitud sur y 61º 55' y 65º 46' de longitud oeste, a 480 km del Océano Atlántico y 520 km del Pacífico. Su altitud varía entre 60 y 2790 m s.n.m. Un 15 % del área supera los 600 m, ocupado por altiplanicies y tres cadenas de las Sierras Pampeanas, en una estrecha banda hacia el noroeste, orientada de norte a sur. El resto son planicies de pedemonte y llanura, en su mayoría al sur, centro y este, con pendiente al este, inferior al 2 %. Por ellas corren los principales ríos de la Provincia, que salen de ella en el sur o desembocan en la laguna de Mar Chiquita en el norte. A occidente de las sierras, la llanura es más horizontal, con lluvias escasas, alta temperatura y evaporación en verano, pobre en agua superficial y con salinas al norte. Rigen el clima templado de Córdoba, de gran uniformidad térmica, con concentración estival de altas temperaturas y lluvias, cuatro centros permanentes o semipermanentes: los anticiclones del Atlántico y del Pacífico y las depresiones del NW y del extremo sur del país (Vázquez, Miatello y Roqué, 1979). En verano, el primero impulsa masas cálidas y húmedas de aire subtropical hacia el SW. Al enfrentar empujes de aire polar o subpolar de sentido contrario, ascienden, se enfrían y su humedad se condensa y precipita. Este típico proceso frontal produce marcada variación estacional y causa la mayoría de las lluvias (55 % de la lámina media) y de las máximas anuales en un día. Tormentas convectivas y orográficas (30 %) y prolongadas lloviznas en invierno (15 %) completan el total. Con base en registros históricos, se asume que precipitan 780 mm al año, en promedio, caracterizando un régimen semiárido. Sin embargo, conforme al comportamiento general del país, en las últimas décadas se evidencia un notable incremento de este valor, estimado en más de 100 mm, ignorándose si responde a la fase húmeda de un ciclo plurianual o a una tendencia persistente. En general la precipitación degrada desde el este-sudeste al noroeste de 900 a 400 mm anuales, mientras que las temperaturas medias anuales aumentan en igual sentido, de 17 a 18 grados centígrados.
16
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
1.8
CONDICIONES EXPERIMENTALES
Elaborar la base de datos utilizada en los ensayos requirió varios años de recopilación, carga, control, selección y procesamiento de registros de l os principales entes estatales dedicados a la medición de lluvias en la Provincia. En sus existencias, para el período 1941/92, se detectaron arriba de 600 pluviómetros. Más de 300 cubren los 30 años de registro deseados y los que llegan a 40 años superan el centenar (García, 1994). Pero la revisión cuidadosa de cada serie demostró que muchas están extensamente rellenadas, como algunas provenientes de estaciones ferroviarias (mal atendidas) o de establecimientos privados (sin observaciones por receso en los períodos de lluvias máximas). Hay también casos en que el operador consigna solo el total mensual. Tras bajar la exigencia de período medido en áreas de menor densidad territorial, sobre todo al este, se arribó a un conjunto de 141 puestos. De sus registros de lluvia diaria, con 14 a 50 años hidrológicos (julio a junio), se obtuvieron las series de máximos anuales. Como éstos no ocurren en el lapso mayo-agosto, los pocos años sin datos en esos meses se consideraron completos. Los criterios usados para la elección fueron básicamente la calidad, la extensión de los registros y la ubicación geográfica. Por otra parte, se identificaron unos treinta pluviógrafos. Para su selección se evaluó la posición espacial y la calidad de los datos, eliminando, entre otras, las fajas semanales, por su poca precisión. Pero la principal causa de exclusión fue la longitud de las series. Los ensayos usaron información de siete puestos (Caamaño Nelli, 1994/95/96 y 1999), constituidos en estaciones base, en torno a las cuales se dividió la región (Córdoba) en sendas zonas (Caamaño Nelli et al., 1995) para analizar lluvias de diseño (Tabla 1.1). Según pautas de similitud en precipitación media, ubicación y altitud, se asignó a cada zona representatividad sobre los polígonos de Thiessen de pluviómetros circunvecinos. La transposición de relaciones, de las estaciones base a los 141 pluviómetros satélite , extendió la información pluviográfica a una red 20 veces más densa (Figura 1.2). Tabla 1.1: Zonas pluviográficas consideradas para Córdoba y estaciones base
Zona
Area Nº Estación Si- Serie [años Latitud Longitud Altitud PMA 2 [km ] Pm Base gla hidrológicos] sur oeste s. n. m. [mm] o
o
Noroeste 24.221 23 Vª Dolores VD 1964-93 28 31 57' 65 08' 569 m 636 o o Sierras 12.103 31 La Suela SU 1972-93 22 31 38' 64 35' 892 m 914* o o Noreste 23.984 9 Ceres S.Fe CS 1955-93 38 29 53' 61 57' 88 m 918 o o Centro 27.744 36 Córdoba O OC 1943-77 35 31 24' 64 11' 425 m 774 o o Suroeste 23.249 13 Río Cuarto RC 1958-84 23 33 05' 64 16' 436 m 838 o o Este 24.266 14 M. Juárez MJ 1961-85 23 32 42' 62 07' 110 m 901 o o Sur 29.754 15 Laboula e LA 1941-77 36 34 07' 63 22' 137 m 845 Serie: de máximos, inicio-fin (longitud) Nº Pm: pluviómetros satélite en la zona PMA: Lluvia media anual 1961-1990 (Estadística Climatológica Nº 35, 36, 37. SMN) * 1971-1994 (Datos originales. CIHRSA, INCyTH-CONICET) Ceres S.Fe: Ceres (Provincia de Santa Fe) Córdoba O: Observatorio Córdoba
Planteo Teórico-Metodológico y Encuadre Geográfico del Análisis
17
Figura 1.2: Redes pluviométrica y pluviográfica y zonas en que se divide la región
18
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
1.9
CUENCA DE ENSAYO
El estudio del decaimiento areal de la lámina precipitada (Capítulo 10) y la predicción de crecidas de proyecto (Capítulo 14) requieren la a dopción de una cuenca de ensayo. A tal fin, se eligió la cuenca del río San Antonio, situada en el valle de Punilla, entre las Sierras Grandes al W, de donde provienen sus aguas, y las Sierras Chicas, al E. Este río, junto con el Cosquín y los arroyos Las Mojarras y Los Chorrillos, alimenta el embalse San Roque, al cual llega desde el SW, cruzando la ciudad de Villa Carlos Paz. Dichos afluentes conforman la cuenca superior del Río Suquía o Primero, que nace del embalse; unos 30 km hacia el este atraviesa la capital provincial y va a morir en la gran laguna salada de Mar Chiquita, depósito final de un extenso sistema endorreico. La elección de la cuenca del San Antonio obedeció a la calidad, la densidad espacial y la frecuencia temporal de sus registros de lluvia, condiciones debidas a que en ella se encuentra instalada una red hidrometeorológica telemétrica de 10 estaciones, operada por el Centro de la Región Semiárida (CIRSA) del Instituto Nacional del Agua (INA). Dicha red cumple con los requisitos de densidad de organismos internacionales, hecho que respalda los análisis espaciales efectuados. Las series de registros utilizadas para todos los puestos abarca el período 1992-1998. En la Figura 1.3 se observa el mapa de la cuenca, su ubicación geográfica y la de los puestos de la red telemétrica. Cuenca R ío Yuspe Cuenca Río Soto
Cuenca Arroyo Los Chorrillos
900
República Argentina
Villa Carlos Paz
600
1800
200
500
300
700 1000
a l
Cuenca Río de La Suela
a h c
A
Cuenca Río Los Sauces
r e i S
Prov. de Córdoba
r
r
e i S
400
Pluvióm etro de alta frecuencia Limnímetro de a lta frecuencia
s
s
a
e d s a r
a
c i
h
C
Cuenca Arroyo La Cañada
W ´ 9 2 º 4 31º 36´ S 6
Figura 1.3: Ubicación de la cuenca del río San Antonio y de su red telemétrica
La orografía de la cuenca del San Antonio incide marcadamente en su régimen pluvial. Con base en la altitud, que va de 675 m a 2.400 m snm, los 500 km² de la cuenca se pueden dividir en tres sectores, en las isohipsas de 1200 y 2000 m (Figura 1.4). Para apreciar esa influencia la Figura 1.5 muestra totales de lluvia al año en cada sector y sus promedios correspondientes.
Planteo Teórico-Metodológico y Encuadre Geográfico del Análisis
19
Figura1.4: División de la cuenca del Río San Antonio según la altitud 1200 Cuenca Baja Cuenca Media
1000
Cuenca Alta
] m 800 m [ l a u 600 n a a i v u 400 l L
200
0 92/93
93/94
94/95
95/96
96/97
97/98
Año h id ro lógico Figura1.5: Lluvia media anual en la cuenca del Río San Antonio
Promedios
Capí tulo 22 .
.
Rel a ci o e n t r o ne s e re L á mi n n a s d e Ll uvi a a L o c al e n Fu n ci ó l a Re cu r re n ci a ó n d e l a G a b riel C a a m a ñ o N el l C a rl o s M a r cel o G G a r cí a li y C
2. 1
VÍNCULO ENTRE ALTURA Y RECURRENCIA DE LLUVIA
La dependencia de la intensidad de las lluvias con respecto a su duración ha sido ampliamente explorada (Hazen, 1921; Gilman, 1964; Remenieras, 1971), resultando una tendencia inversa entre ambas variables, exhibida en la Figura 2.1. 100 ) h /
m m ( i , A I D E M D A D I S N E T N I
Eventos ordinarios: uno por año Eventos extraordinarios: uno cada 10 años Eventos excepcionales: uno cada 100 años
80
60
40
20
0 0
4
8
12
16
20
24
DURACION d (horas)
Figura 2.1: Variación de la intensidad con la duración en lluvias máximas anuales
Para reflejarla, se plantearon fórmulas, citadas por Meyer, 1928 (Talbot, 1891; Dorr, 1892; Kuichling, 1905; Hill, 1907; De Bruyn y Kops, 1908; Hendrick, 1911), del tipo:
22
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
(2.1)
i = K / (d + c)
o bien (Sherman, 1905; Metcalf y Eddy, 1911; Philadelphia Bureau of Surveys, 1911): n
(2.2)
i = K / d
e incluso (Horner,1910):
i = K / (d + c)
n
(2.3)
A su vez, la altura crece con la duración de la lluvia, aunque menos que proporcionalmente, porque la intensidad disminuye en forma simultánea (Figura 2.2). 200
Eventos excepcionales: uno cada 100 años
) m 160 m (
h , A D120 A L U M U C 80 A A N I M 40 Á L
Eventos extraordinarios: uno cada 10 años
Eventos ordinarios: uno por año
0 0
4
8
12
16
20
24
DURACION d (horas)
Figura 2.2: Variación de la profundidad con la duración en lluvias máximas anuales
Se sabe ya hace tiempo que esas relaciones varían con la probabilidad de ocurrencia de los eventos, como muestran las figuras 2.1 y 2.2, pero no hubo, históricamente, similar empeño en dilucidar el nexo entre altura caída y período de retorno a duración fija. En general, ese nexo se incorporó a posteriori a las relaciones h-d o i-d, buscando ligar las tres variables mediante curvas intensidad-duración-recurrencia. Esto convierte a la función h-T en un caso especial de la i-d-T. Invirtiendo el procedimiento, a partir de fórmulas i-d-T empíricas de la literatura, es posible despejar la función h-T, para aprovechar la facilidad de operar con solo dos variables al presentar diversas técnicas útiles en el caso general. El vínculo entre altura y recurrencia también se puede expresar a través de una función de densidad de probabilidad teórica adecuada, alternativa conceptualmente ventajosa en principio.
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Recurrencia
23
2.1.1 FÓRMULAS EMPÍRICAS Relaciones intensidad-duración-recurrencia Para evitar confusiones en la presentación, se uniformaron la nomenclatura y las unidades dadas originalmente por sus autores, denominando K, g, c, m y n a las constantes locales y P = 1/T, a la probabilidad de ocurrencia, y expresando d en minutos, T en años, h en mm, i en mm/hora. Meyer (1917) desarrolló para el este de las montañas Rocosas la primera ecuación que vincula las variables en cuestión, válida en el rango 5 ≤ d ≤ 120: i =
K . T
(2.4)
d + c
En USA, como en las Islas Británicas y Australia (Wiesner, 1970), suele aplicarse i =
K . T
(2.5)
n
(d + c )
Por lo general, las relaciones sugeridas son mas complejas, como la planteada por Grisollet (1948) para la región de París, válida cuando 15 ≤ d ≤ 360: i =
K
(2.6)
(d + c) . (P + g)
Németh (1963) cita el procedimiento propuesto por Bogomazov y Petrov para el Cáucaso: i =
K . log T
(2.7)
n
(d + c )
Un método mas elaborado es el de Rühle (1966), largamente usado por los ingenieros viales argentinos, no restringido a un rango de duración, donde i25 es la intensidad de lluvia de lapso d con retorno 25 años (función de la horaria de igual recurrencia), constante frente a variaciones de i y T: i = i 25 . (1 +
0,44 . 50
T
50 + i 25
25
) . log 0,5
(2.8)
24
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
De similar complejidad es la técnica de Bell (1969), apta para 5 ≤ d ≤ 120, donde i2 es la intensidad horaria con T = 2 años, estimada con las medias anuales de días de lluvia y de máximos diarios y, por tanto, independiente de i y de T: i = (0,35 . ln T + 0,76) . (0,54 d 0,25 - 0,50) . i 2
(2.9)
También es común en USA emplear relaciones del tipo propuesto por Bernard (1932), para lluvias prolongadas, de 2 horas a 6 días (120 ≤ d ≤ 8640):
i =
K . T m
(2.10)
n
d
Pero la utilizada mayoritariamente en el presente es la forma obtenida por Sherman (1931) para Boston:
i =
K . T m
(2.11)
n
(d + c )
Lámina diaria precipitada en función del período de retorno Si solo se dispone de registros pluviométricos, las fórmulas anteriores no son aplicables, pues ninguna de las variables es conocida. No obstante, si se equipara la duración al intervalo diario entre dos mediciones (d = 1440), se convierten en funciones de una variable: el período de retorno. Esto no significa considerar que la lámina pluviométrica equivale a la intensidad en ese lapso, porque la persistencia de las tormentas no guarda relación alguna con él y por la posibilidad de que los chaparrones resulten arbitrariamente fraccionados en el momento de la medición. Lo que se asume es que la intensidad ficticia diaria que da la altura caída tiene un vínculo de la misma índole que la intensidad en 24 horas con la recurrencia y, por lo tanto, es válido suplantar i por h en las expresiones para duración fija y ajustar por regresión los valores de sus constantes. Bajo tal hipótesis, las ecuaciones (2.4) a (2.11) dan lugar, respectivamente, a las relaciones (2.12) a (2.19). Las dos últimas se plantearon primero en forma logarítmica. En (2.15) y (2.16), M simboliza el cociente entre logaritmos decimales y naturales. h = A . T + B
para A =
K d + c
B = 0
(2.12)
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Recurrencia
K
h = A . T + B
para A =
1 = A + B h T
para A =
h = A . ln T + B
para A =
h = A . ln T + B
A = h25 .M +
25
B = 0
n
(d + c ) d + c
(2.13)
B = A . g
K K . M
B = 0
n
(d + c )
22. h25 .M 50 + h25
(2.14)
0,5
h = A . ln T + B A = h2 (0,19 d 0,25 - 0,175)
(2.15)
B = - A. ln 25
(2.16)
B = 2,17 A
(2.17)
ln h = A . ln T + B
A = m
B =
ln
ln h = A . ln T + B
A = m
B = ln
K
(2.18)
n
d
K n
(d + c )
(2.19)
De este modo, la opción de dependencia entre h y T se reduce a 4 tipos de ecuación lineal, a saber: Tipo 1: Altura de lámina versus recurrencia, como en las expresiones (2.12) y (2.13). Tipo 2: Las inversas de ambas variables, tal el caso de la relación (2.14). Tipo 3: Lámina versus logaritmo del período de retorno, como (2.15), (2.16) y (2.17) Tipo 4: Logaritmos de h y T (para ecuación potencial de origen), cual (2.18) y (2.19).
2.1.2 MODELOS PROBABILÍSTICOS Las distribuciones de variables hidrológicas son empíricas, obtenidas de registros limitados. Asumir el histograma muestral como función de densidad probabilística (FDP) no es útil en el problema actual (Lanna, 1993) porque no hay asociada a aquel una relación
26
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
analítica que permita proyectarse fuera del rango medido. Otro tanto ocurre con la distribución por posición de graficación. La solución es hallar un modelo estadístico teórico, es decir una relación analítica extrapolable, con ajuste razonable a las observaciones, que preserve las características conceptualmente conocidas del fenómeno. Definir el modelo teórico es esencial, ya que se aspira a avalar con los resultados el diseño de obras destinadas a perdurar, a veces, un lapso muy superior al período de registro. La suposición subyacente, al calibrar una función de densidad de probabilidad y admitirla para estimar, es que esa función es representativa de la población de la variable en cuestión. No es necesario desarrollar un algoritmo para cada situación, ya que numerosos procesos hidrológicos pueden ser reflejados con unas pocas funciones teóricas, convertidas por tal causa en modelos probabilísticos comunes, hasta con nombres propios (Benjamin y Cornell, 1970). La importancia de la elección está en que se puede dar gran variación del valor estimado, a través de diferentes distribuciones, para un mismo período de retorno. Principalmente cuando se desea extrapolar para períodos extensos y se dispone de series cortas. La FDP debe ser elegida de modo que aporte cantidades próximas a los valores poblacionales. Pero la gran dificultad es que se desconoce la verdadera distribución y, en la práctica, se usará otra. Debe advertirse, además, que siempre existirá error en las cantidades estimadas y que este error, en la práctica, no podrá ser cuantificado (França Pires, 1994). Algunos criterios de selección se sustentan en características generales de la variable (finita, positiva) o del tipo de distribución (asimetría, número de parámetros, robusticidad, teoría de extremos). Otros se atienen a rasgos de la muestra estudiada, por ejemplo longitud, ajuste visual, pruebas de adherencia, estadísticos muestrales, validación. Hay organismos que fijan una distribución patrón específica: En los Estados Unidos, el Water Resources Council (1967) recomendó la Log-Pearson Tipo III, para estudios de crecidas. En Inglaterra, el NERC (1975) sugiere la de Valores Extremos Generalizada (GEV) para series con más de 25 años y la Gumbel de dos parámetros (un caso particular de la GEV) para series menores, con estimación más imprecisa de la asimetría muestral. En ambos países se basaron, como criterio de elección, en tests de adherencia que carecen de fuerza. Es muy difícil que la serie cumpla todas las exigencias y para el proyectista controlar si lo hace. Como la adopción de una o más pautas de decisión es subjetiva, el ingeniero termina eligiendo la distribución con la que está más familiarizado o, en el mejor de los casos, el conjunto de criterios que aconseja su experiencia, condicionado por la disponibilidad y la confiabilidad de datos observados.
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Recurrencia
2. 2
27
INVESTIGACIÓN DE LLUVIAS DIARIAS EN CÓRDOBA
2.2.1 CONDICIONES EXPERIMENTALES A cada serie de máximos por año hidrológico (julio-junio) de los 141 puestos pluviométricos elegidos para Córdoba (Capítulo 1) se le ajustaron seis distribuciones teóricas: Gumbel, Lognormal, Gamma, Pearson, Normal y Weibull. (Caamaño Nelli y García, 1994). El análisis probabilístico determinó los índices estadísticos, la curva de frecuencia muestral y la frecuencia esperada. Dos distribuciones se eliminaron luego por ser poco apropiadas: Weibull, que se emplea si el extremo de interés tiene límite finito y la Normal, para la cual el rango de la variable (-∞,+∞) da valores negativos y su simetría la torna inadecuada para extremos. La evaluación de las restantes se basó en dos pruebas, cuyos índices (desvío máximo para Kolmogorov-Smirnov y suma de diferencias al cuadrado de los últimos 5 puntos extrapolados) decaen a medida que mejora el ajuste. Según criterios que se verán más adelante (Capítulo 7), la Provincia se dividió en 7 zonas, en torno a sendas estaciones pluviográficas. Como Función Objetivo se empleó la sumatoria del producto de ambos índices sobre todos los puestos de cada zona. En consecuencia, la distribución óptima para la pluviometría, en una sección dada de la Provincia, es aquella con menor valor de la Función Objetivo. Salvo excepciones, donde prevalece Gumbel, las muestras de máximos anuales se ajustan mejor a la distribución Lognormal, que se adoptó para caracterizar la pluviometría de toda la Provincia. Fijada una recurrencia, los valores por estación estimados con esta función dan la primera visión geográfica de la variable. Aunque discreta, esta representación es ya regional, porque no se basa en el tipo de distribución óptima de cada puesto, sino en el adoptado a nivel provincial. El trazado de isohietas -por el método de mínima curvatura- condujo a coberturas continuas. Los campos se plasmaron en sendos mapas para 20 períodos de retorno (2 a 200 años), tan similares que permiten describirlos en base a uno solo: Las isohietas exhiben disposición general N-S, más nítida al este (máximos) y al oeste (mínimos) que en el área central, donde dominan curvas cerradas. Por ejemplo, la Figura 2.3 muestra la lámina alcanzable en un día, al menos una vez cada 10 años. La analogía entre los campos es razonable, puesto que surgen del mismo tipo de distribución y que la equidistancia se aumentó con la recurrencia. Sin embargo, indica que el vínculo entre lluvias diarias de distinto período de retorno persiste espacialmente, a pesar de que cambien los parámetros de la función local. Explicitar tal vínculo permitiría estimar el valor de cada isohieta con retorno variable, bastando un mapa para mostrar los 20 casos considerados o cualquier otro.
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Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Figura 2.3: Isohietas (mm) diarias de recurrencia de 10 años para Córdoba
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Recurrencia
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2.2.2 ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE LOS RESULTADOS Para representar analíticamente los campos de máximos diarios obtenidos, se adaptaron fórmulas empíricas intensidad-duración-recurrencia y se arribó a los cuatro tipos de ecuación antes presentados, buscando deducir de los resultados la relación entre lámina diaria y período de retorno. Los parámetros, A y B, de esas combinaciones se obtuvieron por regresión lineal para las 141 series de lluvias diarias máximas anuales. Los coeficientes de determinación, r 2, establecieron una escala nítida de bondad de ajuste, creciente para las expresiones de tipo 1, 2, 4 y 3. Con ello pudo darse por terminada la búsqueda de la función h-T mas representativa, tomando en cuenta que r 32 > 0,99. Sin embargo, esta idea se descartó al advertir que el coeficiente para el tipo 4 era constante en todas las regresiones: r 42 = 0,974447. Obviamente, tal persistencia no es casual: la estimación Lognormal tiene un vínculo predecible con una recta en coordenadas logarítmicas, independientemente de sus parámetros. Esto implica que existe una ecuación capaz de representar en forma exacta los pares hT. Tal relación, denominada Tipo 5 por analogía, fue rastreada por tanteo. Su regresión dio r 52 = 0,999986 en las 141 estaciones, para la forma:
ln h = A2 . ( ln T )0,37 + B 2
(2.20)
En la Tabla 2.1 se dan los coeficientes de determinación obtenidos con los tipos de ecuación 1 a 3, en que r 2 varía, para las cinco estaciones procesadas en el momento del experimento. La Figura 2.4 muestra las estimaciones de lámina con los 5 tipos de ecuación para Córdoba Observatorio (en los demás puestos son similares). 2
Tabla 2.1: r de regresión, entre lámina y recurrencia, para cada tipo de ecuación
TIPO CÓRDOBA LABOULAYE M. JUÁREZ R. CUARTO LA SUELA 1 0,731228 0,728818 0,740169 0,734678 0,724958 2 0,934196 0,932511 0,940329 0,936584 0,929786 3 0,998452 0,998213 0,999173 0,998761 0,997793 En una y otra se ve que los pares de la lognormal responden al tipo 5. El tipo 3 presenta un ajuste muy aceptable, en tanto que las ecuaciones de tipo 1 y 2 (fórmulas (2.12) a (2.14) no se ajustan al fenómeno y deben ser descartadas. Como se dijo, las fórmulas (2.4) a (2.11) fueron propuestas para estimar intensidad de lluvia en lapsos móviles. La lámina correspondiente para 24 horas supera, en general, a la altura diaria, que se empleó a falta de otro dato, suponiendo una analogía de comportamiento que debe verificarse.
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Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Altura de lámina pluviométrica, en función de la recurrencia, estimada con 5 ti os de ecuación
Figura 2.4: Estimación de lámina diaria con 5 tipos de ecuación, en función de T
Los puestos de la Tabla 2.1 se eligieron justamente por tener análisis pluviográfico. Calculado el cociente i/h en función de la recurrencia, se pudo sustituir una variable por otra en cada ecuación y repetir las regresiones. La Tabla 2.2 exhibe los coeficientes obtenidos (* indica el uso de intensidades en vez de láminas). 2
Tabla 2.2: r * de regresión, entre intensidad y recurrencia, de cada tipo de ecuación
TIPO CÓRDOBA LABOULAYE M. JUÁREZ R. CUARTO LA SUELA 1* 0,722710 0,728801 0,744872 0,735886 0,780581 2* 0,928184 0,929277 0,930260 0,927243 0,847795 3* 0,997527 0,998206 0,998843 0,998869 0,998042 4* 0,974447 0,975377 0,977279 0,977381 0,995969 5* 0,999986 0,999969 0,999745 0,999871 0,988211 Se ve que r2 varía muy poco, en más o en menos, preservando el orden creciente de ajuste de las ecuaciones tipo: 1, 2, 4, 3 y 5. La excepción es La Suela, donde la relación i/h llega rápidamente a 1 al aumentar T (incrementándose sólo las más bajas intensidades) en favor de las funciones menos convexas hacia arriba (tipo 1, 3 y 4). Este ensayo evidencia la similar variación de intensidad y altura en función de la recurrencia y la validez de las expresiones de tipo 3 y 5 para estimar ambas. La opción 4 -lineal en coordenadas logarítmicas- es un estimador de h discutible, pero se puede mejorar, permitiendo eliminar el uso de un mapa para cada recurrencia. A tal fin, supóngase que se tiene un mapa como el de la Figura 2.3, con período de retorno de 10 años, y se desea conocer la mayor lluvia diaria, hT, que cabe esperar en un lapso T diferente, en cualquier punto de la región.
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Recurrencia
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Planteando ecuaciones Tipo 4 en forma potencial, como (2.11), para recurrencias T y 10 años, y dividiendo una por otra se tiene:
hT = h10 . (
T 10
m
)
(2.21)
donde el máximo local para 10 años, h10, se interpola en el mapa. El exponente m toma distintos valores (A6a y A6b) por encima y por debajo de h 10, que surgieron de sendas regresiones forzadas a pasar por ese punto. Estos valores están tabulados para todas las estaciones. La Figura 2.5 compara, para Córdoba Observatorio, esta estimación Tipo 6 con la 4, la óptima (Tipo 5) y el patrón Lognormal. El coeficiente de determinación en cada tramo, como era de esperar, fue igual en todos los puestos: r 6a2= 0,978805 y r 6b2= 0,990899. Estimación de lámina diaria con ecuaciones ti o 6
Figura 2.5: Contraste de estimaciones de altura Tipo 4, 5 y 6 con el patrón lognormal
Se llega de este modo a una relación lluvia máxima-ubicación-recurrencia para todo el territorio, expresada por la ecuación potencial (2.21) y un mapa único. La Figura 2.6 contrasta los errores, para Córdoba Observatorio, de los 3 tres tipos de ecuación con mejor ajuste, 3, 5 y 6, que no superan 5,23 %, 0,20 % y 3,75 %, con medias de 1,07 %, 0,05 % y 0,86 %, respectivamente. Para los cinco puestos de ejemplo, la Tabla 2.3 provee los correspondientes parámetros. Ambos muestran valores sin tendencia geográfica, muy similares entre estaciones que distan mas de 300 km en algunos casos. Esto confirma que existe una relación espacialmente homogénea entre máximos diarios de distinto período de retorno, aunque varíe la distribución probabilística local.
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Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Errores de estimación de ecuaciones Tipo 3, 5 y 6
Figura 2.6 : Errores de los tres estimadores con mejor ajuste en Córdoba Observatorio Tabla 2.3: Parámetros de los tres tipos de ecuación con mejor ajuste
ESTACIÓN CÓRDOBA O. LABOULAYE M. JUÁREZ RÍO CUARTO LA SUELA
A3 21,10 22,23 30,85 23,02 22,13
B3 58,96 65,38 71,01 59,71 70,67
A5 0,9013 0,8779 0,9893 0,9351 0,8405
B5 3,461 3,574 3,618 3,461 3,668
A6a 0,2510 0,2445 0,2755 0,2604 0,2341
B6a 4,110 4,206 4,330 4,135 4,273
A6b 0,1565 0,1524 0,1717 0,1623 0,1459
B6b 4,328 4,418 4,569 4,361 4,476
La Figura 2.7 exhibe las curvas h-T de la ecuación Tipo 5, agregando una estación de la zona seca, al W de las sierras. Junto con la Figura 2.3, expone el decremento de lluvia dominante, en sentido ESE-WNW, y el efecto orográfico en La Suela. Estimación Tipo 5
Figura 2.7 : Errores de los tres estimadores con mejor ajuste en Córdoba Observatorio
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Recurrencia
33
Retomando el análisis del Tipo 3, recuérdese que se partió de tres ecuaciones tomadas de la literatura: Bogomazov-Petrov, Rühle y Bell. Sus formas lineales, (2.15), (2.16) y (2.17), asignan valor igual, menor o mayor que 0 al término B, respectivamente. Evidentemente, las dos primeras carecen de sentido, pues implican que, para T = 1 (donde se anula el término de primer grado), la mayor altura -o intensidad en la concepción original- esperable diaria es 0 ó negativa. Los ensayos para las 141 estaciones de Córdoba prueban que siempre B3 > 0. La función (2.17), con B3 > 0, postula proporción constante entre el término independiente y el coeficiente de primer grado: B/A = 2,17. Según las regresiones, éste sería el mínimo de esa relación, no un valor fijo como indica la fórmula. Cabe la salvedad de que Bell la planteó para duraciones muy inferiores a un día.
2. 3
CONCLUSIONES
El análisis estadístico de 141 series anuales de lluvia máxima diaria, con 6 distribuciones de probabilidad, determinó funciones óptimas locales y zonales para Córdoba. La Lognormal fue adoptada para toda la Provincia en vista de su desempeño. Los campos de isohietas de distintas recurrencias, extraídos de esta clase de distribución, presentan una similitud visual notable, indicando que el vínculo intrínseco entre las mayores lluvias diarias de distinto retorno se preserva espacialmente. Para representar esos campos (a falta de antecedentes específicos) se adaptaron, fijando la duración en un día, fórmulas empíricas intensidad-duración-recurrencia. Dado que sus parámetros se estimaron por regresión, equiparar el intervalo entre mediciones a un lapso móvil no implica igualar altura diaria, h, e intensidad de lluvia en 24 horas desplazables, i, sino suponer una analogía de comportamiento entre ambas variables al fluctuar el período de retorno. Tal hipótesis fue verificada por la información pluviográfica existente. Por lo tanto, es válido reemplazar i por h en las expresiones para duración fija. Estas se reducen a cuatro tipos de ecuación lineal, según entre qué variables se planteen: 1) Altura de lámina y recurrencia, 2) Las inversas de estas dos variables, 3) Lámina y logaritmo del período de retorno, y 4) Logaritmos de ambas. Mediante las regresiones se estableció que las fórmulas de tipos 1 y 2 no son representativas de la relación buscada. Las de Tipo 3 dan muy buenas aproximaciones, pero solo la propuesta por Bell es aceptable por el valor de su término independiente.
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La opción 4 es un estimador de h discutible. Sin embargo, la invariabilidad de su correlación con la Lognormal permitió inferir que ésta tiene un vínculo predecible con una recta en coordenadas logarítmicas, independientemente de sus parámetros. Esa relación, denominada Tipo 5, constituye el estimador óptimo de la altura de lámina diaria como función de su período de retorno. La forma genérica de la ecuación se estableció por tanteo y se constató su validez en cada estación. Su limitación residiría en que presupone una distribución Lognormal de h, muy común por otra parte. Su importancia está en que describe toda variable que se ajuste a esta distribución, sea altura, intensidad de lluvia o cualquier otra. Aplicar en dos tramos la ecuación entre logaritmos (Tipo 4) mejora bastante su desempeño y da lugar a un método ingenieril simple -cuya aptitud fue corroborada para toda la región- al eliminar la necesidad de un mapa para cada recurrencia.
Capí tulo 33 .
.
Rel a ci o e n t r o ne s e re L á mi n n a s d e Ll uvi a a L o c al e n Fu n ci ó l a Du r a ci ó ó n d e l ó n C a rl o s M a r cel o G G a r cí a y G G a b riel C a a m a ñ o N el l li
3. 1
INTRODUCCIÓN
Para deducir la probabilidad de ocurrencia de una precipitación futura, es necesario contar con registros continuos (pluviografía), escasos en Argentina (al igual que en muchos lugares del mundo), tanto por su cobertura espacial como por la extensión temporal de sus series. Existen, en cambio, grandes volúmenes de datos diarios (pluviometría), a partir de los cuales, con técnicas apropiadas, se pueden estimar lluvias extremas de duración menor, asociadas a un período de retorno. Estas técnicas se fundan en la determinación de vínculos entre los máximos precipitados en un día (con horario fijo de medición), en 24 horas y más breves (Hershfield, 1961; Reich, 1963; Bell, 1969; Pierrehumbert, 1977; Chen, 1983; Franco et al., 1996). En lo referido a los vínculos rd1,d2,T, entre láminas máximas de lluvia h1 y h2, de duraciones d1 y d 2 respectivamente, y de igual período de retorno T, hay antecedentes de varios países para persistencias comprendidas entre 5 minutos y 24 horas. Tales relaciones fueron calculadas a partir de curvas intensidad-duración-recurrencia (i-d-T), obtenidas a su vez de fórmulas empíricas o de funciones de densidad de probabilidad (FDP), calibradas con láminas máximas anuales observadas. La dependencia entre esas relaciones y el período de retorno de las láminas es uno de los aspectos analizados en los estudios. Los vínculos provenientes de ecuaciones i-d-T empíricas, debido a la estructura matemática de éstas, muestran generalmente valores
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independientes de T. Las relaciones calculadas a partir de FDP, en cambio, varían con T, sin mostrar una tendencia definida. Bertoni et al. (1993) consideran que esa variación no es significativa y adoptan un valor medio. Los resultados obtenidos para rd1,d2,T en Argentina, Australia, Brasil, India, Italia, México, Nigeria, URSS y USA muestran que los valores medios de estas relaciones se asemejan mucho entre sí, en especial para eventos de corta duración (d 1 y d2 menores que 2 horas), debido a que la mayoría de las lluvias intensas están originadas por células convectivas, de similares características físicas en diferentes partes del mundo (Bell, 1969). En consecuencia, parece razonable asumir que esa estabilidad de los cocientes permite generalizar sus valores. Por ejemplo, para todo el territorio de USA, las diferencias medias de las relaciones oscilan entre 5 y 8 %, siendo del mismo orden de magnitud que los errores de muestreo. Esta similitud llevó a Bell (1969) a aplicar las relaciones de USA en distintas localidades de África. En los trabajos previos se evalúa también la relación RT, entre las láminas máximas de igual período de retorno, h24horas y h1día, correspondientes a lapsos de 24 horas móviles (pluviografía) y fijos (pluviometría), respectivamente. En todos los casos se propone un valor único R, independiente del período de retorno de las láminas involucradas. Algunos autores no discriminan entre h24hs y h 1día. Franco et al. (1996) trazan un plano de isohietas para lluvias de 24 horas, a partir de información de pluviómetros y pluviógrafos emplazados en la cuenca del valle de México. Este mapa se utiliza, en forma conjunta con los vínculos rd1,24horas, para estimar lluvias de diseño de duraciones menores a 24 horas. Tomando aquí a la Provincia de Córdoba como región de estudio, se analiza la variación de rd1,24horas,T y de RT en función de T, para cada alternativa de estimación. Luego se evalúa la sensibilidad de los resultados a la elección de un vínculo en particular. Para juzgar la universalidad de las relaciones, se comparan las obtenidas en Córdoba con las calculadas en otros puntos del planeta. Por último, se discute la conveniencia de emplear cocientes zonales y/o regionales.
3. 2
OPCIONES METODOLÓGICAS PARA EVALUAR LAS RELACIONES
Para extrapolar curvas i-d-T, Caamaño Nelli et al. (1995) dividieron Córdoba en 7 zonas (Capítulo 7). Las láminas máximas de lluvia h, de recurrencia T y duraciones d (5, 10, 15, 30, 60, 120, 180, 360, 720, 1440 minutos y 1 día pluviométrico), provienen de dichas estaciones. Las alternativas de cálculo ensayadas para los cocientes adimensionales r d1,d2,T (entre láminas de hasta 24 horas) se describen a continuación y se hacen extensivas luego, en lo que corresponde, a los R T, (entre máximos de 24 horas y 1 día pluviométrico). La asociación de las variables involucradas (h-d-T) puede provenir de una distribución probabilística, sea experimental (posición de gráfica, PG) o teórica (FDP), o bien de
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Duración
37
una ecuación i-d-T empírica, ajustada por mínimos cuadrados (donde i es la intensidad de lluvia máxima. Se ensayaron todas estas opciones y combinaciones entre ellas, para arribar a ternas h-d-T diferentes, de las cuales se deducen las relaciones r d1,24horas,T.
3.2.1 COCIENTES QUE PARTEN DE POSICIONES DE GRÁFICA Asignando curvas de frecuencia experimental a las series de lluvias máximas anuales de distintas duraciones, se asoció a cada lámina una probabilidad de ocurrencia. Se utilizó la fórmula de Weibull, apta para series de esta índole (Chow, 1951). De esas curvas se dedujeron cocientes r d1,24horas,T en el rango T ≤ N+1, donde N es la longitud de registro pluviográfico, en años. 3.2.2 COCIENTES QUE PARTEN DE UNA FUNCIÓN PROBABILÍSTICA En este caso se calcularon las relaciones entre láminas de lluvia, hd,T, dadas por una función de densidad teórica, ajustada a cada muestra observada. Puesto que el resultado depende del tipo de FDP, fue necesario seleccionar una. Para la Provincia de Córdoba, Caamaño Nelli y García (1998b) demostraron, basándose en el análisis estadístico de seis modelos, que la función óptima de extremos para las series de láminas (e intensidades) máximas de distintas duraciones es la distribución Lognormal. La Lognormal conduce a una expresión analítica para rd1,24horas, usando la ecuación general de frecuencia hidrológica propuesta por Chow (Caamaño Nelli y García, 1997, García et al., 1998). Este vínculo toma la forma:
r d 1 ,24horas,T =
hd 1 h24horas
= exp[(μ d 1 − μ 24horas ) + Φ ⋅ (σ d 1 − σ 24horas )]
(3.1)
donde μ y σ son la media y el desvío estándar de la serie de logaritmos de las láminas máximas de duración d, y es el factor de frecuencia normal. De acuerdo a la ecuación (3.1), la dependencia de r con la recurrencia queda explicada por : Según sea positiva o negativa la diferencia entre los desvíos estándar de ambas muestras, la relación será creciente o decreciente en función de T. Aunque la FDP Gumbel no tiene una expresión final analítica simple, comparable a la ecuación (3.1), se la utilizó como estimador complementario para algunos aspectos del análisis. El ensayo se hizo sobre 20 recurrencias preestablecidas, entre 2 y 200 años.
38
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
3.2.3 COCIENTES QUE PARTEN DE CURVAS i-d-T EMPÍRICAS El último ensayo utilizó la expresión de rd1,24horas,T deducida analíticamente de una fórmula i-d-T empírica, basándose en que hd = id ⋅ d i . Tras analizar más de 10 tipos de tales fórmulas, se adoptó la de Sherman (1931) por su uso generalizado y se derivó la siguiente expresión: i
r d 1 , 24 horas,T
=
hd 1 h24 horas
i
⎛ 24 horas + c ⎞ ⎟ = ⋅ ⎜⎜ 24 horas ⎝ d 1 + c ⎠⎟ d 1
n
(3.2)
donde el parámetro n se obtiene por regresión múltiple -entre los logaritmos de intensidad máxima, duración y recurrencia- y el coeficiente de corrección c se determina optimizando dicho ajuste. Los datos para estimar n y c provinieron de dos tipos de ternas i-d-T (al no haber motivos para desechar a priori una de las alternativas, se ensayaron ambas): - Las deducidas con la fórmula de Weibull, que asigna a cada valor de intensidad máxima (de duración dada) una probabilidad experimental en el rango T ≤ N+1 años - Las obtenidas de la FDP Lognormal, ajustada sobre cada muestra observada, sobre dos rangos posibles, T ≤ N+1 años y 2 años ≤ T ≤ 200 años.
3.2.4 COCIENTES ENTRE LÁMINAS DE 24 HORAS Y DIARIA Los vínculos R T, entre láminas máximas h24horas (pluviográfica o de 24 horas) y h1día (diaria o pluviométrica), de igual período de retorno T, se estimaron aplicando una metodología similar a la descripta para duraciones inferiores. La lámina de 24 horas se obtiene desplazando el intervalo hasta hallar el mayor monto precipitado en cada año, mientras que la lámina diaria es la máxima anual observada en un lapso fijo, entre las 9:00 horas de un día y las 9:00 horas del día siguiente. Para calcular estas relaciones, no son aplicables las funciones i-d-T, ya que la duración de ambas lluvias es la misma, pero es posible estimarlas a partir de una expresión equivalente a la ecuación (3.1), puesto que se ha comprobado que la FDP Lognormal es la función óptima de extremos para las series de láminas máximas diarias de Córdoba (García, 1994). RT
=
h24 horas h1día
= exp [(μ 24 horas − μ 1día ) + Φ ⋅ (σ 24 horas − σ 1día )]
(3.3)
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Duración
3. 3
39
DEPENDENCIA DE LAS RELACIONES CON LA RECURRENCIA
3.3.1 ESTIMACIONES POR POSICIÓN DE GRÁFICA Las relaciones rd1,24horas,T, para duraciones entre 5 minutos y 24 horas, estimadas por PG varían de modo muy similar frente a T en todas las estaciones estudiadas. La Figura 3.1 muestra esa tendencia para una de ellas. 1.20
5 '/
rd1,24hs 1.00
Figura 1: r d1,24hs,T a partir de PP Weibull. Estación Córdoba Observatorio.
24h 10'/ 24h 15'/ 24h
0.80
30'/ 24h 1 h/
0.60
24h 2 h/ 24h 3 h/
0.40
24h 6 h/ 24h
0.20
12h /24h
0.00 0
10
20
30
Recurrencia 40 [años]
Figura 3.1: r d1,24hs,T según posición de gráfica Weibull, para Córdoba Observatorio
Como rd1,24horas,T no tiene definición analítica en función de T, hubo que elegir un valor típico. Dividiendo el rango de T en tres intervalos, se aprecia que: a) Si T<2 años, los valores no interesan para diseño hidrológico. b) Para 2 años≤ T ≤ (N+1)/2 años, la relación fluctúa con amplitud variable, sin tendencia definida. c) El tramo (N+1)/2 < T ≤ N+1 no es representativo, pues el único dato que incluye, rd1,d2,N+1 (relación entre las mayores láminas de cada serie), presenta importante incertidumbre en la asignación del período de retorno por PG (Cunane, 1989). Por lo tanto, se adopta como valor representativo la rd1,d2,T media en el rango 2 años ≤T≤ (N+1)/2 años. La relación R T responde a T de modo similar a las rd1,24horas,T (Figura 3.2), llevando a elegir como típico de la estación la media de R en el rango 2 años ≤ T ≤ (N+1)/2 años.
40
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
1 .6
F i g u r a 2 : R T a pa r ti r de P P W e i bu l l .
1 .5
CS
1 .4
OC
R
LA
1 .3
SU M J RC
1 .2
VD
1 .1 1 .0 1
10
Recurre ncia [años]
100
Figura 3.2: RT a partir de posición de gráfica Weibull
3.3.2 ESTIMACIONES CON UNA FDP Las relaciones rd1,d2,T entre láminas de lluvias máximas de duraciones de 24 horas o menores no evidencian una tendencia definida, creciente o decreciente, frente a T, como se observa en la Figura 3.3, para una de las estaciones estudiadas. 1,20
5' /
F i g u r a 3 : r d 1 , 2 4 h s , T a partir de FDP Log norm al. Es tación Cór doba Obs er vatorio.
rd 1 , 2 4 h 1,00
2 4h 10 ' / 2 4h 15'/ 2 4h
0,80
3 0 '/ 2 4h 1h/ 2 4h
0,60
2 h/ 2 4h 3 h/
0,40
2 4h 6 h/ 2 4h
0,20
12 h /2 4h
0,00 0
50
100
150
Recurrencia [ a ñ o s ]
200
Figura 3.3: r d1,24hs,T a partir de FDP Lognormal, para Córdoba Observatorio
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Duración
41
Esta particularidad, aunada a la estructura de la ecuación (3.2), permite deducir que: a) Las rd1,d2,T son monótonas. Crecen o decrecen en función de T según el signo de la diferencia entre los valores de σ en la ecuación (1). b) Más del 50% de la variación se da para T ≤ 25, debido a que el factor de frecuencia Φ muestra incrementos no lineales cuando aumenta T (Caamaño Nelli y García, 1997). c) Para que rd1,24hs,T no dependa de T, el desvío estándar de las dos series debe coincidir. La Figura 3.4 exhibe los σ en los 7 pluviógrafos. 0.30
F ig u r a 4 : D e s ví os de l a s s e r i e s d e l o g a r i tm o s de l á m i n a s m á x im a s de d is ti n ta s du r a c i o n e s
0.25
0.20 CS D í v s e o
OC
0.15
LA SU M J
0.10
RC VD
0.05 1
10
100
1000
100 00
D u r a ci ó n [m i n u t o s ]
Figura 3.4: Desvíos de las series de logaritmos de las series de láminas máximas
d) Si bien la ecuación (3.1) describe en forma analítica a rd1,24horas,T, su aplicación se limita a duraciones para las cuales se estiman µd, y d. e) Al ser monótona la función (3.1), el valor medio de rd1,24horas depende del rango de T elegido. En más del 85 % de las 63 series de rd1,24horas,T -de 9 duraciones d1 (5, 10, 15, 30, 60, 120, 180, 360 y 720 minutos) en las 7 estaciones de la región- los desvíos relativos con respecto a la media, en el rango 2 años ≤ T ≤ 50 años, no alcanzaron a 0,15. Sólo en el 5 % de las series, la mayor diferencia relativa superó 0,20, con un máximo de 0,31. En cuanto a las series con valores de d1 ≥ 30 minutos, todas presentan variaciones menores a 0,20. En consecuencia, si se acepta el margen de error que esto implica, se puede considerar a la media como representativa del comportamiento en el intervalo. En cambio, las relaciones RT, entre lluvias de 24 horas y 1 día, tienen tendencia decreciente frente a T, a partir de estimaciones con la FDP Lognormal (Figura 3.5), debida, en todos los casos, a la diferencia negativa entre los σ de la ecuación (3.3).
42
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
F i g u r a 5 : R T a p a r t i r d e F D P L o g n o r m a l .
1 .1 4
1 .1 2
1 .1 0
C S
R
OC
1 .0 8
LA SU
1 .0 6
M J R C
1 .0 4
VD 1 .0 2
1 .0 0
1
10
100
1000
R e c u r r e n c i a [a ñ o s ]
Figura 3.5: RT a partir de FDP Lognormal
Se dan valores de RT < 1 para T > 20 años, lo cual conlleva una inconsistencia física, ya que la lámina de 24 horas debe ser al menos igual a la diaria. Este problema existe también al usar FDP Gumbel, con algunas excepciones (relaciones crecientes con T), de donde se infiere que la tendencia decreciente dada por la Lognormal se debe más a la forma de representar el proceso físico que a las características propias del mismo.
3.3.3 ESTIMACIONES TOMADAS DE CURVAS i-d-T EMPÍRICAS Las funciones i-d-T empíricas plantean una proporción directa entre intensidad de máxima y recurrencia, o una función de ésta. Por lo tanto, las relaciones analíticas rd1,d2,T a las que conducen son independientes de T. Sólo el cociente derivado de la ecuación h-d-T de Pfafstetter (1957) varía con T, pero su complejidad y número de parámetros (al menos 6) llevaron a desecharla. La Tabla 3.1 presenta, entre otros, los valores de los cocientes obtenidos de la relación (3.2) en Córdoba Observatorio, según las alternativas de datos de calibración. Valores de r 2 de regresión > 0,987 en toda la región indican el nivel de ajuste alcanzado. Tabla 3.1: r d1,24hs a partir de distintas técnicas de estimación. Estación OC.
Estimación h-d-T R5’,24hs r10’,24hs r15’,24hs r30’,24hs r60’,24hs r2h,24hs r3h,24hs r6h,24hs r12h,24h
PG Weibull FDP Lo normal FDP Gumbel Em írica/PG Em írica/Lo n. Promedio
0 153 0,155 0,154 0,148 0,157 0,153
0 245 0,240 0,237 0,236 0,251 0,242
0 328 0,319 0,316 0,297 0,316 0,315
0 463 0,447 0,443 0,406 0,433 0,438
0 570 0,544 0,542 0,514 0,546 0,543
0 645 0,630 0,628 0,617 0,649 0,634
0 710 0,690 0,683 0,676 0,707 0,693
0 800 0,779 0,769 0,778 0,802 0,786
0 906 0,900 0,885 0,885 0,899 0,895
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Duración
3. 4
43
SENSIBILIDAD DE RESULTADOS AL MÉTODO DE CÁLCULO
El análisis comparativo se realizó sobre los cocientes representativos para el rango de recurrencias comprendidas entre 2 años ≤ T ≤ (N+1) años. Las relaciones entre láminas de duraciones hasta 24 horas presentan, en el 90% de los casos, diferencias entre las distintas técnicas y la PG Weibull menores al 5%, y todas las variaciones son inferiores al 15%. En la Tabla 3.1 se muestran los valores rd1,24hs resultantes de cada técnica para una estación seleccionada. Un comportamiento semejante se observa en todos los puestos, aún considerando mayores recurrencias (T ≤ 200 años). En consecuencia, en esta región, el vínculo rd1,24hs,T no es sensible a la técnica adoptada. Este resultado adquiere mayor trascendencia debido a que dicha decisión metodológica es uno de los temas más discutidos en hidrología estadística (França Pires,1994). La Tabla 3.2 presenta un análisis similar sobre RT para cada una de las estaciones. Tabla 3.2: R a partir de distintas técnicas de estimación
Estimación h-d-T PG Weibull FDP Lognormal FDP Gumbel Promedio
CS OC LA SU MJ 1,095 1,075 1,065 1,124 1,046 1,088 1,104 1,053 1,103 1,058 1,079 1,125 1,070 1,087 1,041 1,088 1,101 1,063 1,105 1,049
RC 1,045 1,046 1,037 1,043
VD Media 1,079 1,076 1,106 1,080 1,122 1,080 1,102
Se observaron diferencias, debidas al método, menores al 5% para todas las estaciones. Si bien estas variaciones no son significativas, las inconsistencias físicas de los resultados limitan la aplicabilidad de las técnicas fundadas en distribuciones probabilísticas. En consecuencia, resulta conveniente considerar representativos de los cocientes entre láminas máximas, los valores medios obtenidos de PG Weibull para 2 años ≤ T ≤ (N+1)/2 años, tanto de duraciones menores y 24 horas como de 24 horas y 1 día pluviométrico.
3. 5
CONTRASTE CON RELACIONES OBTENIDAS EN OTROS PAÍSES
Los cocientes de la región de estudio se contrastaron con los obtenidos en más de 40 puntos de 10 países de los 5 continentes. La Tabla 3.3 resume los máximos y mínimos estimados por duración para cada región. Los reportes indicados con * no incluían vínculos entre lluvias de distintas duraciones. Se los calculó a partir de datos publicados de láminas o intensidades máximas.
44
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Tabla 3.3: Relaciones estimadas para varios países
Región
Autor y año
América Hargreaves, 1981* Central Argentina Lucero,1994*; Medina et al, 1975 Argentina García et al, 1998 (Córdoba) Australia Pierrehumbert, 1977 Brasil Bertoni et al, 1993 India Nigeria
USA
Kothyari et al, 1992* Oyebande, 1982*
Índice Máximo Mínimo Máximo Mínimo Máximo Mínimo Máximo Mínimo Máximo Mínimo Máximo Mínimo Máximo Mínimo
5
0,12 0,10 0,22 0,11 0,12 0,10 0,14 0,07 0,19 0,18
rd1;24hs para distintas d1 [minutos] 10 15 30 60 120 180 360 0,50 0,56 0,64 0,69 0,78 0,35 0,42 0,51 0,57 0,69 0,20 0,28 0,45 0,57 0,78 0,78 0,82 0,23 0,32 0,39 0,52 0,54 0,69 0,33 0,41 0,55 0,65 0,73 0,79 0,87 0,19 0,26 0,41 0,52 0,60 0,67 0,79 0,17 0,22 0,31 0,40 0,48 0,53 0,63 0,15 0,19 0,27 0,35 0,41 0,45 0,56 0,26 0,37 0,45 0,56 0,72 0,19 0,28 0,40 0,53 0,24 0,27 0,33 0,40 0,49 0,55 0,67 0,23 0,25 0,31 0,39 0,48 0,54 0,66 0,74 0,84 0,92 0,56 0,71 0,81
720 0,88 0,83 0,97 0,83 0,94 0,91 0,78 0,74 0,85 0,82 0,81 0,95 0,85
Hershfield,1961; Chen,1983*; Máximo 0,14 0,23 0,44 0,49 0,56 0,63 0,68 0,77 0,88 French,1983*; Peterson,1986* Osborn et al,1988* Mínimo 0,28 0,38 0,40 0,50 0,56 0,70 0,84 Bell,1969; Froehlich,1995*
Coeficiente de variación de máximos 0,26 0,26 0,29 0,22 0,22 0,19 0,17 0,13 0,08 Coeficiente de variación de mínimos 0,36 0,21 0,16 0,16 0,17 0,11 0,15 0,12 0,06 La división entre tormentas de corta y larga duración (rd1,24hs,T para d1 ≥ 2hs) genera dos grupos de comportamiento más uniforme, que permite generalizar las relaciones. La homogeneidad observada se puede explicar por el hecho de que los parámetros de lluvias de corta duración se relacionan indirectamente con los de larga duración, pues obedecen a fenómenos físicos diferentes. En general, las láminas de lluvia de duraciones menores a 10 minutos están muy influidas por el método de registro y análisis utilizado en cada puesto en particular. En cuanto al vínculo entre láminas máximas de 24 horas y 1 día, Hershfield (1961) halló que se debería usar el factor R = 1,13, para estimar aquella a partir de ésta en USA. Hargreaves (1988) asumió que ese factor es aplicable en todo el mundo, al evaluar lluvias extremas de África y otras áreas. Sin embargo, se informan valores menores en Brasil: 1,14 para San Pablo (CETESB, 1979) y 1,10 para Río de Janeiro
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Duración
45
(Taborga, 1974). En Argentina, Di Benedetto (1993) analizó RT para una serie pluviográfica de 16 años de la estación La Suela (Córdoba) y arribó a valores decrecientes, desde 1,16 para T = 2 años, hasta 1 para T > 10 años. El valor medio R = 1,08 de la región central de Argentina, aunque inferior a los informados en otras áreas, es coherente con ellos. La diferencia no puede atribuirse a la técnica de estimación, irrelevante para el resultado, como muestra la Tabla 3.2. El dato obtenido amplía el rango estimado en Brasil (1,10 a 1,14) y sugiere que, si fuese admisible adoptar un valor planetario único para regiones sin información, como propone Hargreaves (1988), este podría ser menor que el 1,13 calculado por Hershfield (1961). En resumen, se considera que cuando, como en este caso, es posible definir un valor regional de R, no tiene sentido apelar a un índice global.
3. 6
CONVENIENCIA DE COCIENTES ZONALES Y/O REGIONALES
Por último, para precisar la mejor metodología, cabe analizar la posibilidad de emplear promedio regionales (de las 7 estaciones, en este caso), en lugar de los cocientes zonales (del pluviógrafo base de la zona en que se halla el pluviómetro incógnita (Caamaño Nelli et al, 1998a) en la hipótesis de que este procedimiento disminuirá el efecto de errores locales. Puesto que este criterio se puede aplicar o no a R o a los vínculos con láminas de menor duración, existen cuatro estimadores alternativos, según se empleen: a - rd1,24hs y R zonales. b - rd1,24hs zonales y R regional. c - rd1,24hs regionales y R zonales. d - rd1,24hs y R regionales. En los puestos zonales base, donde se dispone de registros pluviográficos, la técnica habitual para estimar lluvias máximas de duración ≤ 24 horas es la siguiente: - Elaboración de las series de lluvias máximas anuales de distintas duraciones. - Asignación de probabilidades a estos valores (posición de gráfica, según Weibull). - Ajuste a cada serie de una FDP. En la región de estudio se adoptó como óptima para todas las duraciones la FDP Lognormal (Caamaño Nelli y García, 1998b). - Estimación de lluvias máximas de duraciones y períodos de retorno establecidos. Los valores de lámina de lluvia máxima, estimados de este modo en los 7 puestos, para recurrencias comprendidas entre 2 años ≤ T ≤ 100 años, sirven de referencia para evaluar la conveniencia de aplicación de las distintas técnicas propuestas en la región de estudio.
46
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
La Tabla 3.4 exhibe las diferencias medias y máximas obtenidas al emplear las alternativas a, b, c y d en ese rango, a partir de PG Weibull, en promedio para 2 años ≤ T ≤ (N+1) años. La hipótesis implícita en esta decisión es que los vínculos rd1,24hs y R no dependen del período de retorno de las láminas, en concordancia con el análisis de sensibilidad previo. Tabla 3.4: Diferencias en la estimación de láminas máximas de distintas duraciones
Tipo de Técnica Duración [minutos] Diferencias empleada 5 10 15 30 60 120 180 Promedio A 20% 20% 20% 17% 11% 7% 5% de valores B 20% 20% 20% 17% 11% 8% 6% absolutos en C 34% 33% 30% 23% 15% 11% 8% 7 estaciones D 33% 32% 29% 23% 15% 10% 7% A 43% 50% 46% 30% 24% 20% 15% Máximas en B 47% 54% 50% 33% 22% 17% 13% una estación C 79% 86% 62% 38% 35% 27% 22% D 71% 78% 55% 38% 32% 25% 20%
360 5% 6% 7% 6% 13% 11% 16% 14%
720 6% 6% 6% 6% 8% 11% 10% 10%
1440 6% 6% 6% 6% 10% 12% 10% 12%
A la luz de esta información es fácil advertir que, cualquiera sea el método, las diferencias medias son proclives decrecer con la persistencia de la lluvia. Con base en ello, es válido distinguir 3 rangos de duración para simplificar el análisis: - Duraciones breves, d ≤ 0,5 horas, con diferencias medias de 17% al doble de tal valor - Duraciones intermedias, 0,5 horas < d ≤ 2 horas, con diferencias medias del 7 a 15% - Duraciones prolongadas, 2 horas < d ≤ 24 horas, rango de 5 a 7%, con una excepción Las diferencias máximas exhiben una tendencia similar, aunque no tan nítida (los errores extremos se dan para 10 minutos y 12 horas). Los límites entre intervalos se ubican, con excepciones, en 35% y 20%. En lo que se refiere a la comparación entre estimadores, el hecho mas notorio es la incidencia desfavorable de utilizar medias regionales para las relaciones entre láminas de duraciones inferiores con la de 24 horas. Esto se advierte por el incremento de las diferencias (tanto medias como máximas, salvo en las dos persistencias mayores) que se observa al pasar de las técnicas que emplean cocientes rd1,24hs zonales (a y b) a los correspondientes regionales (c y d). Distinta es la incidencia de la sustitución de cocientes zonales por promedios para vínculos R (24horas/1día). Pasar de la alternativa a a la b no tiene efecto sensible en las diferencias promedios en el 70% de las duraciones y es muy bajo en los restantes (1%); en tanto, para las máximas hay incrementos en las duraciones de lluvias breves, disminución en las intermedias y ambos casos en las prolongadas.
Relaciones entre Láminas de Lluvia Local en función de la Duración
47
El paso de c a d, por su parte, implica ganancia en el 60% y no afecta al resto de los casos para los promedios, a la vez que, para diferencias máximas en una estación, hay una proporción del 70% de mejorías y aumento en sólo una duración, apreciándose, en general, una compensación parcial en los errores causados por el uso de rd1,24hs regionales. En vista de dichos resultados, es plenamente aceptable emplear un R medio regional. Como corolario de esta discusión, es recomendable el procedimiento b, utilizando rd1,24hs zonales (de una estación pluviográfica) y R regionales (promedio de todas). La Tabla 3.5 muestra los resultados de la aplicación de ese criterio para cada estación, donde las diferencias medias en valor absoluto producidas son del orden del 6% para duraciones prolongadas, de 8% a 11% y de 20% para breves, mientras que las diferencias máximas correspondientes, en términos generales, duplican esos valores. Tabla 3.5: Mayores diferencias en la estimación de láminas máximas con la técnica b
Estación CS OC LA SU MJ RC VD Promedio Máximo
5 11% -7% -10% 22% 47% 29% -15% 20% 47%
10 14% -5% 8% 31% 54% 25% -4% 20% 54%
15 22% -4% 9% 24% 50% 25% 4% 20% 50% 3. 7
Duración [minutos] 30 60 120 180 23% 22% 17% 13% -8% 6% -1% 1% 8% 11% 12% 8% 18% 4% -2% -4% 33% 19% 14% 6% 22% 9% 3% 6% 4% 3% 5% 3% 17% 11% 8% 6% 33% 22% 17% 13%
360 11% 5% 5% -5% 8% 6% 2% 6% 11%
720 1440 3% -1% -4% -5% 6% 12% -5% -6% 11% 8% 8% 10% 5% -3% 6% 6% 11% 12%
CONCLUSIONES
Si bien la forma más conveniente para estimar láminas máximas, de distinta duración y período de retorno dado, es un tema discutido en hidrología, los cocientes rd1,24hs y R entre láminas para esta región muestran poca sensibilidad a esa decisión. Se adoptan para ambos los valores estimados a partir del uso de posiciones de gráfica de Weibull . El tipo de variación de los cocientes r d1,24hs con la recurrencia de las láminas depende del modo de estimar el vínculo h-d-T, no de la región de aplicación. Partir de posiciones de gráfica lleva a trazas irregulares. La estructura de las fórmulas empíricas anula en forma automática la fluctuación. Las funciones probabilísticas generan curvas monótonas, decrecientes o crecientes según la duración.
48
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Al usar funciones de densidad de probabilidad (FDP), los resultados para R presentan inconsistencias físicas ya que se dan valores de los cocientes < 1 para T > 20 años. Además, empleando la distribución Gumbel, se presentan relaciones crecientes con T en algunos puestos; lo que permite enunciar que la tendencia decreciente, observada con la distribución Lognormal, no se debe a una característica del proceso físico en sí, sino a la forma de representarlo. Se adoptan como representativos de las relaciones entre láminas máximas de 24 horas y de duraciones menores y entre 24 horas y 1 día pluviométrico, relaciones constantes con el período de retorno, iguales a los valores medios estimados a partir del uso de PG Weibull en el intervalo 2 años ≤ T ≤ (N+1)/2 años. Lo observado en la región central de Argentina, y en más de 40 puntos de 10 países de los 5 continentes, indica que los cocientes r d1,d2 se asemejan mucho entre sí, sobre todo al dividir los eventos en grupos de duración mayor y menor que 2 horas. En la zona de estudio se observa un comportamiento homogéneo de R. El valor medio R = 1,08, calculado para la región central de Argentina, amplía el rango determinado en Brasil (1,10 a 1,14) y sugiere que, cuando sea admisible admitir un valor planetario único para regiones sin información, este podría ser menor que el 1,13 calculado por Hershfield (1961). En los casos en que es posible definir un valor regional de R, no tiene sentido apelar a un índice global. Con respecto a la aplicación de cocientes regionales únicos (en vez de los zonales de un pluviógrafo), para la estimación de lluvias máximas de duraciones ≤ 24 horas en emplazamientos pluviométricos, se concluye que no es recomendable para los vínculos rd1,24hs, en los cuales las características locales son sensiblemente mas notorias. En consecuencia, se propone una metodología en particular para la estimación de lluvias máximas para duraciones que van desde una hasta 24 horas, ambas inclusive. Consiste en la combinación de los valores rd1,24hs estimados para cada estación con un valor R medio regional. En ambos casos, se adoptan cocientes constantes con el período de retorno e iguales a los valores medios estimados a partir del uso de PG Weibull en el intervalo 2 años ≤ T ≤ (N+1)/2 años. Los errores medios esperados al utilizar esta metodología van del 6 al 11% y los máximos, del 11 a 22%, decayendo en general al aumentar la duración de lluvia.
Capí tulo 44 .
.
E s ti m á xi m e n H i d r ol o gí a m a ci ó ó n d e M m o s e d me d i a a n te F a c t o o re s d e F re cue n ci a a G a b riel C a a m a ñ o N el l li
4. 1
SOBRE LA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
Por su efecto en las economías agrarias, la recurrencia de las crecidas es uno de los primeros problemas ligados a valores extremos. Muchos años los ingenieros analizaron datos hidrológicos con métodos empíricos. Los resultados no fueron generalizables hasta que se comprendió la índole del problema. Incluso entonces fueron magros, en tanto se desconoció el método estadístico adecuado, dando motivo para alegar que "el buen juicio ingenieril" supera la estadística (Gumbel, 1958). Asumido el carácter aleatorio de los procesos y de las variables que los representan, para estimar valores máximos o su probabilidad, se necesita un modelo analítico extrapolable, la Función de Densidad de Probabilidad ( FDP), que preserve las características conocidas del fenómeno y aporte cantidades próximas a los valores poblacionales. La lógica de usar los logaritmos de variables hidrológicas radica en que la mayoría de éstas, como precipitación y descarga, tienen límite inferior nulo y pueden suponerse no acotadas superiormente. Sus logaritmos, entonces, van de -∞ a +∞, como la distribución normal. Esta transformación fue propuesta por Galton (1875). Hazen (1914) la introdujo al estudio de crecidas. En 1932, Gibrat y Grassberger la usaron por separado para descargas diarias, y este último para su máxima anual. En otros trabajos se empleó para representar tamaño de grano de arenas naturales (Yevjevich, 1972) y conductividad hidráulica en medios porosos (Freeze, 1975).
50
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
En 1954, Chow dio una interpretación teórica del comportamiento lognormal: Si un evento hidrológico se produce por combinación de muchos procesos causales, la variable que lo representa es el producto de gran número de magnitudes independientes. El logaritmo de esa variable es, por lo tanto, la suma de los logaritmos de tales factores y, por el teorema del límite central, resulta normalmente distribuido, cuando la cantidad de procesos causales se torna infinitamente grande. Es decir, un producto de variables aleatorias no lognormales, dependientes o no, con distintos momentos, converge a la distribución Lognormal al crecer el número de variables (Yevjevich, 1972). Cabe asumir que los factores causales de muchos procesos hidrológicos son interdependientes, con efectos multiplicativos. A medida que avanzan diversas hipótesis sobre procesos físicos, se ve con frecuencia que sus funciones de densidad probabilística deberían ser lognormales. Se ha fundamentado que la lognormal tiene un ajuste satisfactorio a funciones de frecuencia de lluvias (Wiesner, 1970). Se alega que la crecida máxima anual debe ser gobernada por esta relación, efecto de una cadena de factores, pero hay también razones para cuestionarla (Benjamin y Cornell, 1970). En general, se la aplica empíricamente a numerosas variables gracias a su buen resultado. Puesto que identificar la función ideal de extremos -si es que existe- no es el objetivo aquí, se da por sentado que la variable a estimar resulta bien representada por una FDP Lognormal. Por definición, si la variable observada x es Lognormal, la variable transformada y= ln x se distribuye normalmente. Así, la probabilidad de que una observación de x no exceda cierto valor equivale a la probabilidad -según la Función de Distribución Acumulada (FDA) Normal- de no superar el logaritmo de ese valor. Como, al variar los parámetros, existen infinitas funciones normales, se define una variable normal estándar z, con media μ = 0 y desvío estándar σ = 1:
z =
y - μ y
(4.1)
σ y
La función de distribución acumulada, F(z), de esta variable es una integral sin solución analítica. Puede aproximarse (Zelen y Severo, 1972), con error |e| < 0,00025, mediante el siguiente polinomio, para z ≤ 0 (para z > 0 se debe restar de 1 el resultado) F(z) =
1 2
2
3
4
[1 + 0,196854 | z | + 0,115194 | z | + 0,000344 | z | + 0,019527 | z | ]
-4
(4.2)
Con F(z) así obtenida, para paso constante de z, se elaboran las tablas dadas en la literatura.
Estimación de Máximos en Hidrología mediante Factores de Frecuencia
51
Como la FDA no es invertible, si se busca el valor de la variable z a partir del período de retorno, T = 1/[1-F(z)], (por ejemplo para diseño de obras hidráulicas) el uso de la tabla se revierte. Cuando la probabilidad correspondiente a T no coincide con un dato tabulado, ese método requiere interpolar el valor de z, con pérdida de exactitud en recurrencias altas. Para calcular la magnitud de eventos extremos en distribuciones no invertibles, Chow (1951) introdujo el concepto de factor de frecuencia razonando así: La variable aleatoria y puede expresarse como la media μy más el desvío Δy de la variable respecto a la media, y = μy+Δy. Ese desvío depende del tipo y de la dispersión de la distribución probabilística, igual que el desvío estándar σy, y se puede asumir que es el producto de éste por un factor de frecuencia, Φy, es decir, Δy = σy.Φy. De donde, siendo Cvy = σy/μy el coeficiente de variación, resulta:
y =
μ y + σ y . Φ y
o bien
y μ y
= 1 + Cv y . Φ y
(4.3)
La ecuación (4.3) indica que Φy es el número de desvíos estándar entre el dato y la media. Esta relación daría la solución al problema anterior, si el factor de frecuencia se pudiera expresar como función analítica de la recurrencia correspondiente, lo cual no ocurre en la mayoría de las FDA.
4. 2
FACTORES DE FRECUENCIA NORMAL Y LOGNORMAL
Φ varía con el tipo de distribución, su asimetría, la recurrencia y la longitud de serie. Asumiendo que la FDA es Lognormal y que el número de años de registro es aceptable, falta establecer como incide el coeficiente de asimetría, τ, en la relación entre el factor de frecuencia y la recurrencia.
Por tratarse de una distribución sesgada, la Lognormal tiene 3 parámetros, μ, σ y τ, pero Chow (1954) demostró que τ es únicamente función del coeficiente de variación, Cv = σ/μ, conforme a la relación:
τx
3 Cv x
Cv x
3
(4.4)
Así, al haber dos parámetros independientes, Φx varía únicamente con la recurrencia (Viessman et al, 1977), lo cual es lógico pues la media y el desvío estándar no inciden en el factor de frecuencia. Lo mismo ocurre con Φy: despejado en (4.3), coincide con la expresión estándar de la ecuación (4.1), o sea, se distribuye normalmente (como la variable y) y se puede obtener de las tablas de z conociendo únicamente la recurrencia
52
Φ y
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
=
y - μ y
(4.5)
σ y
Chow (1955, 1959) tabuló el factor lognormal, Φx, y propuso su estimación gráfica. McGuinness y Brakensiek (1964) dieron tablas de Φx en función de Cvy y probabilidad. A su vez, el valor de Φy = z, con probabilidad de excedencia P(z) = 1-F(z) = 1/T, suele aproximarse por: Φ y
2,515517 + 0,802853 w + 0,010328 w2 = w1 + 1,432788 w + 0,189269 w2 + 0,001308 w3
(4.6)
siendo
w = [2.ln T ]
1/2
si 0 < P(z) ≤ 0,5
w = [ ln (
1 2
F(z )
)]
1/2
si P(z) > 0,5
con |e| < 0,00045 (Zelen y Severo, 1972); para P(z) > 0,5 el resultado cambia de signo. Pero, hasta hace poco tiempo, no había una relación analítica simple del período de retorno T con Φy o Φx, aunque ya en 1955 Chow había vinculado ambos factores de frecuencia entre sí:
Φ x
=
. Φ y -
eσ y (e
σ y
2
σ y
2
-1
2
(4.7)
1/2
-1 )
En 1994, Caamaño Nelli y García demostraron que la variable transformada, y, se puede expresar como función lineal del logaritmo del período de retorno, T, elevado al exponente 0,37:
y = ln x = K A . ( ln T )
0,37
+ K B
(4.8)
Puesto que la igualdad (4.8) es una representación paramétrica alternativa de una FDA Normal cualquiera, cabe suponer que existen vínculos analíticos entre las constantes K A y K B, es decir sus parámetros, y los convencionales de la distribución: la media, μy, y el desvío estándar, σy. Se comprobó experimentalmente, en efecto, que el término independiente es la diferencia entre la media y un factor fijo por el desvío. Por su parte, σy guarda igual proporción con el coeficiente de primer grado, cualesquiera sean los valores muestrales:
K A = 2,623 . σ y K B =
μ y
- 2,29 . σ y
(4.9) (4.10)
Estimación de Máximos en Hidrología mediante Factores de Frecuencia
Sustituyendo las ecuaciones (4.9) y (4.10) en (4.8), la variable parámetros convencionales:
y =
μ y + [
2,623 . ( ln T )
0,37
y se relaciona con los
- 2,29 ] . σ y
El factor de frecuencia Φy surge de (4.11) y (4.3), como función lineal de (ln T) Φ y
= 2,623 . ( ln T )
0,37
53
- 2,290
(4.11) 0,37
: (4.12)
Las constantes originales de la igualdad (4.8) se dedujeron a partir de 20 recurrencias, entre 2 y 200 años, interpolando el dato de probabilidad cuando no coincidía con uno de la tabla, lo cual, como se hizo notar, produce errores al estimar z. Por tal causa, los valores dados en (4.12) se recalcularon sobre 309 pares [F(z); z] de la tabla normal estándar de Aparicio Mijares (1993). Forzada a pasar por Φy = 0 para T = 2 (es decir, F(z) = 0,5), la función dio un error máximo del 2,768 %, coeficiente de determinación r² = 0,999978 y error estándar de estimación S = 0,00422, y resultó ser la siguiente: Φ y
= 2,584458 . ( ln T )
0,375
- 2,252573
(4.13)
La regresión abarcó retornos de 2 a 1000 años. Sobre ese rango, la tabla pierde precisión. Por debajo, la ecuación exige reemplazar T por 1/F(z) y cambiar el signo de Φy. Como el período de retorno se define en base a la probabilidad, el vínculo establecido entre el factor normal y T conduce a una función de densidad probabilística para Φy. La Figura 4.1 compara esa función con la FDP tabulada.
Figura 4.1: Función de densidad de probabilidad del factor de frecuencia Normal
54
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
La Figura 4.1 muestra que llevar la igualdad (4.13) a recurrencias menores que 2 años produce una curva asimétrica, no acoplada a la rama ascendente de la normal estándar. Esta es la razón para alterar, según se indicó, el argumento de la ecuación, aunque el interés del tramo inferior sólo sea académico. Tras la corrección, la bondad de ajuste, de la función de densidad propuesta a los datos de tabla, se hace extensiva a todo el rango. Por su parte, la Figura 4.2 contrasta la representación gráfica de la igualdad (4.13) con la relación originaria entre factor de frecuencia normal y recurrencia. Es posible advertir el incremento discontinuo del valor tabulado, causado por redondeo, al aumentar T.
Estimación del factor de frecuencia normal
Figura 4.2: Estimación del factor de frecuencia Normal con la ecuación (4.13)
En la Figura 4.3, hacia la derecha, este crecimiento a saltos de la función de referencia distorsiona y amplifica los errores absoluto (eje izquierdo) y relativo (eje derecho) atribuidos al Φy calculado mediante la ecuación propuesta.
Error del factor de frecuencia normal
Figura 4.3: Error del factor de frecuencia Normal estimado
Estimación de Máximos en Hidrología mediante Factores de Frecuencia
55
Aún así, es evidente que el error de estimación es muy bajo en todo momento. Determinado Φy para cada T, el factor de frecuencia Lognormal, Φx, se deduce mediante la expresión (4.7) y, luego, sería indistinto emplear la ecuación (4.3) como fue planteada (con y, μy, σy, Φy) o con la serie muestral, sus momentos y el factor correspondiente: x, μx, σx, Φx. Kite (1985) elude incluso el cálculo de parámetros logarítmicos, partiendo de la relación entre el coeficiente de variación de la muestra (Cvx = σx / μx) y el desvío estándar de los logaritmos (σy), obtenida por Chow (1954): 1/2
σ † Cv x = ( e y - 1 )
(4.14)
y de la expresión (4.7)
Φ x
=
exp { [ ln (1 + Cv x † ) ]
1/2
. Φ y - [ ln (1 + Cv x † )] / 2 } - 1 Cv x
(4.15)
Si ahora se reemplaza Φy en (4.15) por su expresión dada en (4.13), se obtiene el factor de frecuencia Lognormal, Φx, en función de la recurrencia y del coeficiente de variación Lognormal de la muestra Cvx: 3/8
Φ x
=
siendo
exp { C 1/2 . [A . ( ln T ) - B] - C/2} - 1 Cv x A = 2,584458
B = 2,252573
(4.16) C = ln (1+Cv x²)
Como la ecuación (4.15), esta solución prescinde del cálculo de los logaritmos de los valores medidos y requiere, como en (4.13), la sustitución del a rgumento para T < 2. Por otra parte, siguiendo a Chow (1954), la distribución de extremos Tipo I (Gumbel) equivale a una Lognormal en particular, cuando Cv x = 0,364 (o asimetría τx = 1,139), dada la relación (4.4) entre ambos coeficientes. En ese caso, resulta C = 0,124424 y, de (4.16), se tiene: 3/8
ΦGumbel
= 1,1663 . 2,4884 (lnT) - 2,747
(4.17)
Esta relación aproxima bien la función teórica del factor de Gumbel (Chow, 1951, 1953), Φ Gumbel
= - {0,45 + 0,7797 . ln [- ln ( 1 - 1/T )]}
(4.18)
a punto tal que las trazas de ambas en un gráfico no son distinguibles entre sí. Tiene un error estándar de estimación S = 0.011039. La Figura 4.4 muestra como varía el factor de frecuencia lognormal con la recurrencia para distintos valores de Cv x, incluido 0,364.
56
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Factor de Frecuencia Lognormal estimado
Figura 4.4: Estimación del factor de frecuencia Lognormal con la ecuación (4.16)
4. 3
CONTRASTE DE ALGORITMOS DE ESTIMACIÓN
Como se vio, si la variable registrada ( x) se asume lognormal, hay dos técnicas básicas para estimar la magnitud de un evento (xT) de recurrencia T. Una consiste en los siguientes pasos: I) calcular los logaritmos de los datos ( y), II) determinar sus parámetros (μy, σy), III) deducir el factor de frecuencia normal (Φy), IV) aplicar la ecuación (4.3) (con μy, σy, Φy) para hallar yT, V) sacar su antilogaritmo, xT. La otra técnica opera directamente con la muestra medida, eliminando el paso I, y sustituye los demás por: II) calcular los parámetros, μx y σx, y el coeficiente de variación Cvx, III) deducir el factor normal (Φy), IV) deducir el factor lognormal (Φx), V) emplear μx, σx, Φx en la función (4.3) y hallar xT. En cada técnica, a su vez, el estimador de factor de frecuencia empleado abre dos opciones: Φy (paso III) puede provenir a) de la expansión racional (4.5) ó b) de la ecuación (4.13) aquí obtenida, en tanto que Φx (paso IV) se obtiene c) de la expresión (4.15) de Kite ó d) de la igualdad (4.16). La discusión se complementa ahora con aplicaciones que contrastan los resultados de estas alternativas. Como primer ejemplo, para mostrar el uso de su ecuación en la estimación del caudal de recurrencia 100 años, Kite (1985) adopta una serie de 37 máximos anuales del Río 3 Saint John, con media μx = 81.000 cfs ( ≈ 2300 m /seg), desvío estándar σx = 22.800 cfs 3 (≈ 646 m /seg), coeficiente de variación Cvx = 0,28 (tomado de Collier, 1965). Los parámetros de los logaritmos de esos 37 valores son μy = 11,263 y σy = 0,284. Estos datos cubren ya los dos pasos iniciales de los cuatro métodos descriptos. Luego, indicando como "Tabla NS" la de la FDP normal está ndar, se tiene:
Estimación de Máximos en Hidrología mediante Factores de Frecuencia
57
PASO III
PASO IV
PASO V
a) ec. (4.5): Φy = 2,3267853 b) ec. (4.13): Φy = 2,3297596 c) Tabla NS: Φy = 2,3266667 d) - Φy es innecesario -
ec. (4.3): y100 = 11,923807
e = x100 = 150.815
ec. (4.3): y100 = 11,924651
e = x100 = 150.942
ec. (4.15): Φx = 2,9457372
ec.(4.3) x 100 = 148.163
ec. (4.16): Φx = 2,9512773
ec.(4.3) x 100 = 148.289
y y
Cálculos de este tipo, variando el período de retorno, se presentan en la Tabla 4.1. Tabla 4.1: Ejemplo de estimaciones de caudal mediante factores de frecuencia
Recurrencia Caudal x estimado con la ecuación Error % res ecto a 4.5 T [años] 2 5 10 50 100 500 1000
a) (4.5) 77.886 98.911 112.085 139.579 150.815 176.400 187.345
b) (4.13) 77.886 98.780 112.058 139.725 150.942 176.215 186.906
c) (4.15) 77.984 98.382 111.078 137.431 148.163 172.321 182.833
d) (4.16) b) (4.13) c) (4.15) d) (4.16) 77.984 0,000 0,126 0,126 98.252 -0,132 -0,535 -0,666 111.056 -0,024 -0,898 -0,918 137.584 0,104 -1,539 -1,429 148.289 0,085 -1,758 -1,675 172.315 -0,104 -2,311 -2,315 182.444 -0,234 -2,409 -2,616
Se puede apreciar que la relación (4.16) da resultados similares a la expresión (4.15) de Kite, de la cual proviene, y tiene la ventaja de evitar el cálculo intermedio del factor normal, Φy. Por otra parte, dependiendo de T, esas ecuaciones provocan errores relativos de estimación final entre 4 y 40 veces superiores al cometido por calcular Φy con la ecuación (4.13) propuesta. Pese a ello, son aceptables frente a los errores que se producen al aforar los caudales de picos de crecida. No habría, entonces, como afirma Kite, gran ganancia en operar con logaritmos. Otro caso. Para 41 años de lluvia máxima diaria, registrados en el puesto Campo La Torre, Córdoba, los dos pasos iniciales de cálculo arrojan los siguientes estadísticos: μx = 77,98 mm, σx = 28,01 mm, τx = 1,30, Cvx = 0,3591, y estos parámetros de los logaritmos: μy = 4,299 y σy = 0,342. Los coeficientes de variación y asimetría sugieren que la función Gumbel podría ser apta. De hecho, es un modelo satisfactorio de la distribución muestral (García, 1994). La Tabla 4.2 exhibe los valores de lluvia producidos por los algoritmos anteriores (a, b, c y d) y por los estimadores específicos para Gumbel: e) la ecuación deducida (4.17) y f) la ecuación teórica (4.18), así como los errores resultantes en cada caso, bajo la hipótesis que la distribución es Lognormal (ecuación (4.5)).
58
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla 4.2: Ejemplo de estimaciones de lluvia mediante factores de frecuencia
T Lluvia x estimada con ecuación Error % res ecto a lo estimado con 5 años (4.5) (4.13) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18) b) (4.13) c) (4.15) d) (4.16) e) (4.17) f) (4.18) 2 5 10 50 100 500 1000
74 98 114 148 163 197 212
74 98 114 148 163 197 212
73 98 115 150 165 200 215
73 98 115 150 165 200 215
73 98 115 150 165 200 215
73 98 115 151 166 201 216
0 000 -0,158 -0,029 0,125 0,102 -0,125 -0,282
-0 316 0,258 0,548 1,066 1,263 1,522 1,773
-0 316 0,091 0,523 1,209 1,372 1,517 1,499
-0.386 -0.330 0.029 -0.005 0.504 0.401 1.318 1.406 1.539 1.746 1.818 2.176 1.857 2.199
Se evidencia, ante todo, que la ecuación (4.13) es claramente superior a los otros estimadores, aunque sin diferencias tan marcadas como en el caso anterior. La excepción se da para 5 años, donde el error de las restantes cambia de signo, cuando intersectan a la función de referencia (4.5). Es llamativo que los demás algoritmos se comporten de modo tan similar entre sí, tanto por la magnitud como por el signo de los errores (en general, sobreestiman el valor de la variable). Esto se explica, en parte, porque la ecuación (4.17) es un caso particular de la (4.16), que a su vez proviene de la (4.15). No era previsible, en cambio, que la igualdad (4.17) se ajustase tan bien a la expresión teórica de Gumbel, (4.18), ya que se dedujeron por caminos independientes. El más flojo desempeño de (4.17) y (4.18) se debe a que (a juzgar por τx y Cvx) la distribución no es estrictamente una Gumbel. Aún así, los errores son admisibles, si se comparan con la incertidumbre originada al elegir la función de densidad de probabilidad. Un último ejemplo -máximos de 38 años en Ceres, Santa Fe- da idea del peso de esa decisión: Las intensidades de lluvia, para T = 100 y duraciones de 5 a 180 minutos, distan entre si de 2 a 10 %, al estimarlas con Lognormal o Gumbel; otras FDP divergen más aún (Caamaño Nelli, 1996).
4. 4
CONCLUSIONES
Se combinan aquí el concepto de factor de frecuencia, presentado por Chow, con una aproximación empírica de la distribución Normal. Tal enfoque conduce a una expresión analítica del factor de frecuencia Normal, función exclusiva de la recurrencia, es decir, independiente de parámetros poblacionales, como es lógico.
Estimación de Máximos en Hidrología mediante Factores de Frecuencia
59
Ese estimador tiene fuerte correlación con los datos tabulados de distribución normal estándar y resulta más confiable en la medida en que éstos pierden precisión al aumentar la recurrencia. A partir de allí se plantea una ecuación del factor de frecuencia Logormal que, como la que propugna Kite, depende del coeficiente de variación y del período de retorno y no requiere transformación logarítmica. A diferencia de ésta, la relación obtenida prescinde del factor normal. Los errores son similares en ambas y considerablemente mayores que en el primer algoritmo, pero se mantienen todavía dentro de un rango aceptable. Se expresa luego el factor de frecuencia para la distribución de Gumbel en función de la recurrencia, de modo tal que aproxima muy bien los valores de la ecuación teórica correspondiente. De los tres factores deducidos, el último no muestra ventaja apreciable frente a la expresión teórica, razón por la cual se lo ha empleado, únicamente, como control final del desarrollo. El estimador Logormal es recomendable como vía expeditiva, con resultados equiparables y de solución más directa que el algoritmo de Kite: no requiere tablas y ahorra un paso de cálculo. El vínculo entre factor de frecuencia Normal y recurrencia propuesto reúne varios atributos deseables, comenzando por un desempeño numérico claramente superior a los de las otras opciones. Además, la ecuación planteada aporta un factor de frecuencia para la normal, la función de densidad más usual, lo cual lleva su aplicabilidad mucho más allá del problema de valores extremos. A los fines de este trabajo, sin embargo, su principal virtud es su simplicidad estructural, porque posibilita convertir la relación a una forma lineal mediante un sencillo cambio de variable. Esto es relevante para usos ulteriores, como el desarrollo de expresiones analíticas únicas del vínculo intensidad-duración-recurrencia, a partir de distribuciones lognormales. En tal sentido, imagínese la dificultad de incorporar una tercer variable a la expansión en serie usada como patrón de contraste o a la relación propuesta por Kite. Como se puede ver, la calidad de la estimación, el carácter analítico y la sencillez -al evitar el uso de tablas y de funciones complejas- son ventajas significativas del procedimiento propuesto.
Capí tulo 55 .
.
Fu n ci ó l a Ll uvi a a e e n ó n ii- d -T d d e l a b a s a d F a c t o o d el o D I T o re s d e F re cue n ci a a: M T G a b riel C a a m a ñ o N el l C a rl o s M a r cel o G G a r cí a li y C
5. 1
INTRODUCCIÓN
La necesidad de definir crecidas de proyecto -para diseñar obras, prevenir daños por inundación, estimar erosión de suelos- es afectada casi siempre por la insuficiencia estadística de los registros, lo cual lleva a evaluar indirectamente el caudal mediante modelos lluvia-descarga, alimentados por eventos hipotéticos críticos. Si bien tienen otros componentes, estas lluvias de diseño parten de un vínculo esencial entre los rasgos esenciales de la precipitación: la función i-d-T. Como la probabilidad de ocurrencia de una lluvia depende de su persistencia, hace falta establecer la relación entre tres variables: la intensidad, id,T, la duración, d, y el período de retorno, T. Reemplazar caudal por intensidad de lluvia reduce pero no elimina el problema, ya que las series pluviográficas largas también escasean, aunque menos que las hidrométricas. Por eso, interesa transponer regionalmente la i-d-T (en este contexto, se entiende por 5 región un área del orden de 10 km²) siguiendo diversos criterios (Caamaño Nelli et al., 1995). El que aquí se propone, denominado zonalización, centra la atención en vincular paramétricamente la función de estaciones pluviográficas base (dato) con las de la red pluviométrica satélite (incógnita), en pos de una transferencia racional. A tal fin, la región se divide en zonas asociadas a cada pluviógrafo, según variaciones de lluvia media anual, ubicación y altitud. Al transferir la función a un pluviómetro, sus parámetros sufren (a diferencia de la extrapolación clásica) una alteración debida a las peculiaridad climática de cada lugar. Para reflejar ese efecto, es necesario que los componentes locales estén explícitos en la ecuación i-d-T. Las metodologías convencionales, sean estadísticas o empíricas, no cumplen esa condición.
62
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Las primeras ligan intensidad y retorno mediante una FDP (función de densidad de probabilidad). Modelar cada relación i-T por separado permite que las curvas (aunque respondan a una función genérica) se intersecten al extrapolarlas, con el resultado ilógico que intensidad y duración crecen simultáneamente. La forma integral de las FDP impide el manejo algebraico e implica estimación numérica y el uso de tablas. Además se desconoce la verdadera distribución, por falta de una estructura real para imitar, y en la práctica se usará otra (França Pires, 1994). Sin embargo, discutir la FDP óptima escapa al presente objetivo, ya que se adoptará la lognormal por hipótesis, de acuerdo al análisis de los datos experimentales. Las ventajas de los modelos empíricos son, justamente, su operatividad analítica y el incluir desde un principio las tres variables. Su principal objeción es que carecen de soporte conceptual, imposibilitando la interpretación física de los parámetros. Al calibrar por mínimos cuadrados una ecuación de muchos parámetros, ésta incorpora rasgos muestrales (no poblacionales) en exceso y da una impresión de superioridad falsa, al ajustarse mejor a una serie aleatoria, sin garantizar extrapolaciones confiables. La fórmula empírica planteada por Sherman (1931) para Boston es hoy utilizada ampliamente, por la flexibilidad que le otorgan sus cuatro parámetros:
i d ,T
=
K . T m n (d + c )
(5.1)
donde id,T es la intensidad de la mayor lluvia de duración d que se daría al menos una vez en T años. K, m, n se determinan por regresión lineal múltiple con la versión logarítmica de la función. El otro parámetro, c, el que más evidencia la falta de sentido físico, es un término de corrección clásico, obtenido por aproximaciones sucesivas hasta optimizar el coeficiente de correlación. Generalmente, el método que se adopte es clave al extrapolar la relación i-d-T para recurrencias mayores, porque las cantidades estimadas estadística y empíricamente difieren mucho entre sí. Como sus errores son de distinta índole, combinar ambos enfoques mejora las perspectivas de extrapolación. En efecto, la bondad de estimación por mínimos cuadrados decae hacia los extremos del intervalo de ajuste, tornando objetable más allá el empleo de la ecuación (Draper y Smith, 1966). Extraer pares intensidad-recurrencia, para calibrar la ecuación empírica, de FDP elegidas para distintas duraciones (Pfasftetter, 1957; Zamanillo y Caamaño Nelli, 1993), en vez de tomarlos de la muestra, aplica un control indirecto a los valores extrapolados, ya que es admisible usar las FDP arriba del rango observado. Así, se conserva la practicidad de los modelos empíricos, aunque merme el sustento teórico. Sin embargo, esa técnica no permite transponer racionalmente la función i-d-T, del pluviógrafo que la originó a la red pluviométrica asociada. Se deduce entonces que, para salvar esa falla, es necesario incorporar la duración de la lluvia en forma racional, con un esquema modular que facilite la transferencia espacial de la función resultante.
Función i-d-T de la Lluvia basada en Factores de Frecuencia: Modelo DIT
5. 2
63
ANÁLISIS DE LA RELACIÓN i-d-T
La intensidad media de lluvia caída, id,T, se define como el cociente entre la altura caída, hd,T, y la duración, d, de precipitación considerada:
i d ,T
h d ,T
=
d
.
60 minutos
(5.2)
hora
El factor final transforma las unidades comunes de d (minutos) y h (mm) para dar i en mm/hora. Los subíndices señalan que las variables dependen de la duración y del intervalo de retorno, T (años). La altura se puede plantear como producto de la lámina diaria hT, de recurrencia T (acumulada en el pluviómetro entre fechas de registro sucesivas, a la misma hora) por un factor de proporcionalidad, R d,T (que tiene recurrencia mayor que T):
hd,T = Rd,T . hT
(5.3)
y, de (5.2) y (5.3) resulta
i d ,T
=
R d ,T . h T . 60
(5.4)
d
o bien
ln i d ,T
=
ln R d ,T
ln h T
ln 60 - ln d
(5.5)
La forma factorial permite transponer la ecuación (5.4) a estaciones pluviométricas, donde la lámina diaria, hT, es el único dato. Pero para estimar la intensidad se debe poner en forma explícita este dato y el factor R d,T. Como elegir las FDP ideales no es el objetivo, se asume por hipótesis que las láminas de lluvia máximas, de duración dada, son reflejadas por funciones de densidad lognormales. Tal decisión, razonable pero arbitraria, debe ser validada en cada caso. Por definición, si una variable observada x es lognormal, la variable transformada y = ln x se distribuye normalmente. La integral de la distribución normal no es invertible, porque carece de solución analítica. Es decir, no es posible estimar analíticamente el valor de la variable a partir del período de retorno, que es la operación requerida en el diseño de obras hidráulicas. Para calcular la magnitud de eventos extremos en estos casos, Chow (1951) propuso la ecuación general de frecuencia hidrológica:
y =
μ y + σ y . Φ y
(5.6)
donde y es la media de la serie, y su desvío estándar y y el factor de frecuencia. Definido como número de desviaciones estándar del dato menos la media, Φy depende del período de retorno, del tipo de función de distribución, su sesgo y, si lo tiene, de la
64
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
longitud de serie. Por su distribución normal, y = ln x es simétrica, por lo que el factor de frecuencia varía sólo con la recurrencia y es también normalmente distribuido. Así, Φy se puede obtener a partir de T de las tablas de la variable normal estándar, pero esto anula la posibilidad de arribar a una solución analítica de la ecuación (5.4) e implica una pérdida de exactitud al interpolar datos tabulados para recurrencias altas. Caamaño Nelli y García (1997) dedujeron la ecuación que permite reemplazar factor de frecuencia normal por período de retorno, dando solución a ese problema:
Φ y = 2,584458 . ( ln T )
38
- 2,252573
5. 3
(5.7)
EL MODELO DIT
Asumiendo que la probabilidad de ocurrencia de máximos anuales de láminas de lluvia sigue distribuciones lognormales, cualquiera sea su duración, se obtiene de (5.6) que:
ln h d ,T
ln h T
=
=
μ d + σ d . Φ y
μ + σ . Φ y
siendo d, las medias de los logaritmos de las láminas de duración d y 1 día y las correspondientes desviaciones estándar.
(5.8) (5.9) d,
Definiendo que y que (no como media y desviación de R d,T, d d cuyo período de retorno difiere de T), de (5.3), (5.8) y (5.9) resulta:
ln R d ,T
=
Δμ + Δσ . Φ y
(5.10)
Si los valores de hT y R d,T en (5.9) y (5.10) se reemplazan en la ecuación (5.5) se tiene:
ln id,T = σ . Φ y + ( Δμ - ln d) + Δσ . Φ y + ( μ + ln 60)
(5.11)
La ecuación (5.11) fue reordenada para resaltar cuáles de sus términos dependen de la recurrencia (σ.Φy), de la duración (Δμ-ln d), de ambas variables (Δσ.Φy) o de ninguna (μ+ln 60). La igualdad se cumple aun si las láminas no se distribuyen lognormalmente, pero en ese caso se debe plantear el factor de frecuencia de forma distinta que en (5.7). Este algoritmo exhibe varias condiciones deseables: sigue un modelo estadístico, reúne las tres variables en una expresión analítica e identifica la influencia de la lluvia diaria en el vínculo. Admitiendo iguales cocientes Rd,T entre láminas en la zona representada por un pluviógrafo, esta última propiedad avala la transposición de la función i-d-T a cada estación pluviométrica incógnita, mediante la sustitución de los valores de μ y σ del puesto base en cada una, para incorporar las características locales de la ll uvia.
Función i-d-T de la Lluvia basada en Factores de Frecuencia: Modelo DIT
65
La objeción que cabe al modelo propuesto radica en que no incluye en forma explícita la duración, a diferencia de lo que ocurre con la recurrencia gracias a la ecuación (5.7). Se conocen valores de Δμ y Δσ para persistencias de lluvia prefijadas, pero no su variación con d. O sea que la ecuación (5.11) representa, en realidad, una familia de distribuciones normales, no una superficie i-d-T tridimensional continua. Con el objeto de obtener una función continua, se efectuó un análisis casuístico, mediante regresiones lineales entre Δμ y diversas funciones y de la duración. Los ensayos mostraron fuerte correlación para una estructura de δy similar a la de Φy:
δ y
=
( ln d )
q
(5.12)
En cambio, no fue factible reflejar en forma sencilla la débil e irregular fluctuación de Δσ con la persistencia. Ante esto, en una hipótesis adicional, se extendió la similitud citada, para estimar en conjunto todos los términos afectados por la duración de la lluvia como sigue, donde , ß y son parámetros a ajustar por regresión lineal contra y:
Δσ . Φ y + Δμ - ln d
=
α . Φ y + β . δ y + γ
(5.13)
En consecuencia, de (5.11) y (5.13), resulta
ln i d ,T siendo
=
A . Φ y - B . δ y + C A=σ+α
B=-ß
(5.14)
C = μ + ln 60 + γ
Los parámetros de este algoritmo, llamado DIT de aquí en adelante, son A, B, C y el exponente q de la ecuación (5.12). La estimación de este último en las estaciones base de Córdoba (Capítulo 1), que se utilizaron para ensayar el modelo, arrojó valores próximos a 5/3, salvo en La Suela (7/3). No se pudo dilucidar si tal anomalía se debe a la singularidad fisiográfica de dicho emplazamiento o a su menor longitud de serie. En consecuencia, se considera que la evidencia empírica para asignar un valor fijo a q es insuficiente por el momento y se asume que DIT es un modelo de 4 parámetros. Igual número de parámetros tiene la expresión (5.1) de Sherman, cuyo ajuste sobre intensidades extraídas de la distribución óptima para cada duración se simboliza en adelante S/D (Sherman/Distribución óptima). Se asume que éste es el mejor estimador preexistente, contra el cual se debe comparar el desempeño de DIT en casos reales. Ambos modelos (DIT y S/D) representan una superficie i-d-T tridimensional continua y preservan los cocientes entre láminas de distinta duración e igual recurrencia, motivando errores de estimación poco significativos (García et al., 1998). Esas características no se dan en la expresión analítica (5.11). A diferencia de esta función y de S/D, DIT asume comportamiento lognormal y, en consecuencia, se calibra siempre sobre ternas i-d-T extraídas de distribuciones lognormales de las duraciones que se adopten.
66
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
5. 4
VALIDACIÓN DE HIPÓTESIS EN LA REGIÓN DE ENSAYO
Tal como fue planteado el modelo DIT, su aplicabilidad e sta sujeta a cuatro requisitos: • Las láminas de lluvia máximas, de duración dada, son representables por funciones de densidad lognormales. Esta condición se empleó en las ecuaciones (5.8) y (5.9). • La expresión no paramétrica (5.7) permite sustituir, en forma biunívoca, el factor de frecuencia normal, Φy, por el correspondiente período de retorno. • La relaciones R d,T entre láminas se mantienen en la zona de cada pluviógrafo base, lo cual habilita la transposición de la función i-d-T a sus pluviómetros satélite. • Es válido estimar en conjunto todos los términos afectados por la duración de la lluvia, a través de un factor de persistencia, y, como se plantea en (5.12). En el presente título se analiza la veracidad de las tres primeras condiciones, atinentes a la versión lognormal del esquema teórico, en las siete estaciones base de Córdoba. La última hipótesis, cuyo único objeto es disponer de un modelo operativo continuo, se constata a través del contraste de algoritmos presentado en el título subsiguiente.
5.4.1 DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA DE LAS LÁMINAS El criterio, para evaluar en qué medida las series (diarias y de distintas duraciones) de lluvia máxima serían lognormales, es subjetivo. Aquí se adopta el utilizado en trabajos previos (Caamaño Nelli y García, 1994), por las razones dadas en esa oportunidad, para comparar el desempeño de las distribuciones Gumbel, Lognormal, Gamma de dos parámetros y Pearson III. Combina dos test, Kolmogorov-Smirnov y error cuadrático, cuyos índices (desviación máxima y suma en los últimos 5 puntos) decaen a medida que mejora el ajuste. De allí que el producto de ambos se elija como Función Objetivo, FO, a minimizar en alturas diarias (Tabla 5.1). En pluviografía se emplea la suma de las FO para duraciones prefijadas (Tabla 5.2). El total sobre todos los puestos define, para los dos casos, la distribución óptima de la Provincia.
Tabla 5.1: Valores de FO.10² para altura de lluvia diaria máxima, h T
Distribución Probabilística
ESTACIONES PLUVIOGRÁFICAS BASE VD SU CS OC RC MJ LA 0,196 1,524 0,109 0,327 1,222 1,314 0,659
Gumbel Gamma 2 parám. 0,269 Pearson Tipo III 0,267 Lognormal 0,270
1,459 1,121
0,135 0,112
0,450
1,750
0,118 0,714
0,778 0,103 0,261
1,017
Total Región
0,473 0,563
5,352 5,708 4,452
1,060 0,468
3,958
1,172 1,557
Función i-d-T de la Lluvia basada en Factores de Frecuencia: Modelo DIT
67
Tabla 5.2: Suma de FO para láminas máximas de duraciones prefijadas, hd,T
Distribución Probabilística Gumbel Gamma 2 parám. Pearson Tipo III Lognormal
ESTACIONES PLUVIOGRÁFICAS BASE Total VD SU CS OC RC MJ LA Región 0,496 2,192 0,177 0,276 0,595 0,636 0,288 4,662 0,584 0,401
2,267 1,639
0,379 1,197
0,267 0,179 0,180
0,330 0,345
0,244
0,973 2,250 0,914
0,739 0,991
0,491
0,386 3,012 0,742
5,546 8,817
4,147
Los resultados indican que el máximo diario anual es lognormal a escala provincial y en la mayoría de las estaciones. Las excepciones dan ventaja a las distribuciones Pearson Tipo III (OC y RC) o Gumbel (VD). El panorama varía para láminas de lluvia de distinta duración: la lognormal vuelve a dominar en la región y en 4 puestos y en los demás prevalece la Gumbel, en tanto que Pearson III es la de peor ajuste. La Figura 5.1 exhibe el irregular comportamiento del índice para esta última, así como la conveniencia de la lognormal. 1
GAMMA 2 parám.
GUMB E L
PE A RSON Tipo III
LOGNORMA L
0,8 e t s u0,6 j a e d e0,4 c i d n I
0,2
0 0
360
720
1080
d (minutos) 1440
Figura 5.1: Ajuste de las FDP según la duración de la lluvia máxima anual
En síntesis, ante el interés de elegir una función de densidad de probabilidad regional, hay argumentos claros en favor de la distribución propuesta y no de las restantes, validando así la hipótesis de partida.
5.4.2 ESTIMADOR DEL FACTOR DE FRECUENCIA NORMAL El segundo control del modelo conceptual dado en (5.11) va a la hipótesis que el factor de frecuencia normal se deduce de la función (5.7). Aunque la validez general de este estimador fue probada al proponerlo, se lo sometió a una verificación adicional.
68
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Para cada pluviógrafo se ajustaron sendas distribuciones lognormales a las series de lluvia máxima anual de duración 5, 10, 15 y 30 minutos, y 1, 2, 3, 6, 12 y 24 horas. De ellas se tomaron intensidades de recurrencia 2, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 130, 150, 180 y 200 años. Esos 200 valores por estación se usaron para contrastar las intensidades i ntensidades provistas por la ecuación (5.11). Los errores sistemáticos se midieron por el sesgo porcentual, S%; los aleatorios por el coeficiente de determinación de la estimación, r². Se obtuvo -12 < S% < 15 (media 6) y r² =1 (con 4 decimales) para los 7 puestos, resultados que eximen de comentar la calidad del estimador.
5.4.3 UNIFORMIDAD DE COCIENTES ENTRE LÁMINAS Puesto que existe un solo pluviógrafo por zona, no hay forma directa de probar que en ella los cocientes entre láminas de distintas duraciones no varían. Se apela entonces a una persistencia espacial más general, entre todos los pluviógrafos de la región, sugerida por experiencias de equiparación realizadas (Capítulo 7). A tal efecto, los valores de R d,T d,T para las 7 estaciones se comparan con los provenientes de calibrar por regresión, con esos mismos cocientes locales, pero equiparados en un solo conjunto regional de datos. El resultado del ensayo se presenta en la Figura 5.2. 1,00 Ceres Ceres (Santa Fe) Córdoba Observ Obs ervat. at. Laboulaye La Suela CIHRSA Marcos Juárez Río Cuarto Villa Dolores Dolores Equiparación
s a n0,80 i m á l e r 0,60 t n e T , d
R0,40 n ó i c a0,20 l e R
Rango de recurrencia: 2 ≤ T ≤ 200
0,00 1
10
100
d (minutos)
1000
Figura 5.2: Cocientes entre láminas de duración d y 24 horas. Ajuste de la ecuación de Sherman (1931) a FDP lognormales, por estación y para la región en su conjunto.
Al unificar los datos, la correlación decae frente a los parciales (0,9971≤ (0,9971 ≤ r² ≤ 0,9993) por estación, pero mantiene un grado de ajuste (r² = 0,9877) 0,9877) suficientemente elevado para asumir cocientes únicos entre láminas en la l a región y, con mayor razón, dentro de sus zonas, definidas con base en su homogeneidad meteorológica. meteorológica.
Función i-d-T de la Lluvia basada en Factores de Frecuencia: Modelo DIT
5. 5
69
COMPARACIÓN DE LOS ALGORITMOS EXPUESTOS
Para los pluviógrafos con series reflejadas mejor por distribuciones lognormales, incluyendo a Ceres (Tabla 5.2), el patrón de contraste fue el mismo que en el ensayo del subtítulo 5.4.2. Para las restantes (Río Cuarto y Laboulaye) los 200 valores se extrajeron de las correspondientes correspondientes distribuciones de Gumbel. En todos los casos, la expresión (5.1) de S/D se calibró sobre 100 intensidades, extraídas en forma similar que las de control, para iguales duraciones y 10 recurrencias (entre 2 y 100 años). Esta semejanza de datos hace que el juicio se circunscriba a la representatividad de la ecuación. En cambio, los 100 valores para ajustar la relación (5.14) en cada estación se sacaron de distribuciones lognormales. De este modo, además de juzgar siempre el comportamiento comportamiento de la ecuación en sí, en dos estaciones se evaluó la sensibilidad de DIT ante el e l incumplimiento de la hipótesis lognormal. Los errores se midieron a través de los valores de S% y r². Las figuras 5.3 y 5.4 exhiben la variación entre puestos y las medias de estos índices para ambos modelos. 12
a m i t 10 p ó P 8 D F a 6 e t n 4 e r f % 2 o g s 0 e S
-2
SU
MJ
medi a S/D
S/D
medi a DIT
DIT
RC
VD
OC
LA
CS
Figura 5.3: Sesgo % de estimadores de la función i-d-T en estaciones base de Córdoba 1 a m i t 0,99 p ó P D F0,98 a e t n e r0,97 f ² R
media S/D
S/D
media DIT
DIT
0,96 SU
MJ
RC
VD
OC
LA
CS
Figura 5.4: r² de los estimadores de la función i-d-T en 7 estaciones base de Córdoba
70
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
La Figura 5.3 muestra que el modelo S/D tiene un sesgo superior al 6 % en Marcos Juárez y al 7 % en La Suela. El error sistemático no obedece al tipo de distribución simulada; la prueba es que esas dos cantidades y las dos menores (Córdoba y Ceres) corresponden a casos lognormales. DIT logra sus mejores resultados cuando prevalece esta distribución (hecho lógico, porque es justamente la que asume el modelo): los sesgos no llegan al 1 %, con una media (S%) = 0,47. En cambio, si la Función Objetivo de la Tabla 5.2 aconseja usar Gumbel, puede sobrestimar de modo apreciable la intensidad, como para Laboulaye (S% = 11,6), o no, como para Río Cuarto (S% = 1,74). La explicación de la aproximación aceptable de Río Cuarto puede estar en que el coeficiente de variación de su frecuencia empírica es Cv = 0,3654, ya que, como demostró Chow (1954), la distribución Tipo I (Gumbel) es, en esencia, un caso especial de la Lognormal, Lognormal, cuando Cv = 0,364. Si se comparan las medias de ambos estimadores, se aprecia que el error sistemático regional de DIT (S% = 2,24) es inferior al de S/D (S% = 3,31), respondiendo al predominio lognormal. Esa situación se repite en la mayoría de las estaciones (MJ, VD, SU e incluso RC). La variación aparentemente irregular del sesgo de S/D sigue, en realidad, la tendencia de la Función Objetivo óptima. Es decir, el error relativo aumenta de un sitio a otro en el sentido en que empeora el ajuste: CS→ CS→OC→ OC→LA→ LA→VD→ VD→MJ→ MJ→RC→ RC→SU. Ambos hechos podrían estar vinculados con la longitud de las series (ver Capítulo 1), que tiene una secuencia inversa a la indicada. Limitándose a los puestos en que se asume distribución lognormal, para analizar exclusivamente la representatividad de las dos opciones, se aprecia que el sesgo medio del esquema convencional, 3,47 %, es mucho mayor que el del modelo basado en el factor de frecuencia normal (0,47 %). El menor error sistemático del algoritmo propuesto, que solo se ve equiparado en dos puestos por el anterior, no muestra correlación con la FO ni con la extensión de la serie local. Pasando al análisis de la Figura 5.4, el coeficiente de error aleatorio presenta rasgos comunes a los dos métodos: todos los valores puntuales son buenos y no dependen del tipo de función simulada. Para S/D, r² (y la bondad del estimador, en consecuencia) es proclive a decaer con el número de años registrados (o al crecer el valor de la FO óptima), de manera que en todos los sitios con menos de 25 años r² es inferior a la media y viceversa. DIT no muestra tal comportamiento. comportamiento. El modelo de factor de frecuencia tiene mejor desempeño regional, dado que la media de r² (0,993) supera a la de su competidor (0,987) y que la dispersión es apreciablemente menor. El error aleatorio de DIT es inferior en las mismas estaciones en que lo era el sistemático (MJ, VD, SU, RC). En cualquiera de esos casos, la diferencia a su favor excede la mayor de las desventajas, que sigue siendo la causada al imponer distribución lognormal a Laboulaye.
Función i-d-T de la Lluvia basada en Factores de Frecuencia: Modelo DIT
71
En resumen, ateniéndose a esos resultados, se ve que, si se satisface la hipótesis lognormal, el modelo propuesto genera menores errores frente a la distribución óptima que el convencional. En caso contrario, no se detectan desviaciones aleatorias de importancia en sus estimaciones y las sistemáticas pueden ser relevantes o no. Los errores de ambos tipos se incrementan para series cortas, independientemente de la distribución, en el algoritmo estadístico-empírico, pero no en el basado en el factor de frecuencia normal.
5. 6
SÍNTESIS
• En este capítulo se presenta un método para estimar la intensidad de lluvias máximas anuales, en función de su duración y su recurrencia, a partir de una serie pluviográfica con distribución lognormal. • El algoritmo resultante, denominado DIT, se basa en la estimación algebraica del factor de frecuencia normal y representa una superficie tridimensional continua. • Su principal virtud es incorporar la duración de lluvia en forma analítica, porque confiere sentido conceptual a sus parámetros, identifica componentes locales de la relación y permite transponerla de manera flexible, objetiva y simple a cada nodo de la red pluviométrica en zonas homogéneas. • El modelo DIT tiene 4 parámetros, igual que la mejor opción preexistente. Uno de ellos se podría considerar constante para la región. Sin embargo, la evidencia empírica al respecto no es suficiente. • Aplicado en las estaciones base de las siete zonas que abarca la Provincia de Córdoba, Argentina, DIT demostró, para los casos con distribución probabilística lognormal de la intensidad, mayor representatividad que el más elaborado de los procedimientos convencionales. • Aún cuando la distribución sea Gumbel y no la hipotética, el modelo compite aceptablemente en cuanto a error aleatorio, pero hay casos con error sistemático elevado. • Esto no constituye una limitación del método; su esencia está en incluir la duración a través del factor de frecuencia y se pueden desarrollar ecuaciones similares para otras distribuciones.
Capí tulo 66 .
.
I nci d d e T T end enci as C C l de nci a d li i m át i ic as sobr e l l as Ll uvi as M á x i im as Laur a C C ol l G abr i la d on y G ie l C aamaño N el l li i
6. 1
INTRODUCCIÓN
Una relación intensidad-duración-recurrencia (i-d-T) es válida para el período con cuyos datos fue estimada. Al utilizarla para predecir lluvias futuras, y dimensionar en concordancia las estructuras hidráulicas que motivaron su obtención, se asume un régimen invariante de este fenómeno, hipótesis que debe ser verificada en cada caso. Cuando en un área se constata una modificación sostenida del monto de precipitación anual, cabe preguntarse si ello proviene de una alteración general de la severidad, de la persistencia o de la frecuencia de los eventos pluviales, o bien de cambios conjuntos en estas condiciones. Interesa responder a dicha cuestión porque, según sea el caso, resultaría invalidada la función i-d-T y, por lo tanto, la predicción de inundaciones y el diseño de las obras. Tal sería la situación ante un incremento de los valores medios de la intensidad o de la duración, sin variaciones correspondientes de las demás variables. En cambio, cuando año a año los eventos son más numerosos, pero de características similares que los del período con que se la estimó, la i-d-T sigue siendo válida, pues las láminas máximas anuales de cada duración no se ven modificadas. Otro tanto sucede si los aumentos de intensidad son compensados por reducciones de duración. Para el diseño, el interés de este problema no radica en el estudio de las tendencias climáticas en sí, sino en determinar si las series de máximos de lluvia, a partir de las cuales se proyectan las obras civiles, se han visto afectadas por este cambio.
74
Lluvias de diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Existen evidencias de cambio climático en gran parte del territorio argentino. En la Provincia de Córdoba en particular, esto quedó demostrado en numerosos trabajos que analizan el comportamiento de series de totales de lluvia anual. Algunos de ellos, efectuados en la zona centro-norte de la provincia (Jesús María), constataron un incremento en las lluvias anuales de 6,4 mm/año para el período 19411989 (Lucero,1996). La serie de totales anuales del Observatorio Córdoba (1873-1987) muestra un inicio de cambio a partir de 1935, con una tasa de incremento de 5 mm/año (Lucero y Rodríguez, 1998). En la zona Central y Sur-Este de la provincia (Marcos Juárez-Manfredi), la tasa es levemente inferior, del orden de 2 mm/año, para series casi centenarias (Ateca, 2002). Ante la certeza de un incremento temporal sostenido de la lámina acumulada por año, las series de máximos de precipitación anual, diario y de duraciones menores, deben ser analizadas para constatar si registran o no la misma tendencia, a fin de asignarle validez futura a las curvas i-d-T deducidas de esa información.
6. 2
METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DE TENDENCIAS
Una serie temporal de lluvia es estacionaria cuando sus valores no tienden a crecer o a disminuir con el paso de los años, condición que se ve reflejada en una ausencia de correlación entre la lámina caída y el tiempo. Para descartar la presencia de tendencias en una serie, el primer paso consiste en realizar la regresión lineal de sus valores, con respecto a los años hidrológicos en que ocurrieron, y constatar si la pendiente de la recta resultante es nula. No obstante, cabe prever que la pendiente para la población (a la cual se hará extensiva la conclusión) puede ser cero, aún cuando surja de la muestra (sobre la que se efectúa el ensayo) un valor algo diferente. Para admitir la posibilidad de tendencias temporales en las series de lluvia, la hipótesis nula, H0, es la “inexistencia de cambio”, representada por una pendiente de regresión aceptablemente próxima a cero. La hipótesis alternativa, H1, es “existencia de cambio”, que implica una desviación significativa de dicho valor. La decisión se funda en medir el riesgo de rechazar la hipótesis nula cuando debería aceptarse, resultante de asumir un nivel de significación, α, que es la probabilidad de que el estimador muestral se sitúe más allá del límite admitido. El nivel de tolerancia, Pt = 1- α, será 0,99 (99%), 0,95 (95%) ó 0,90 (99%), según se adopte un nivel de significación de 0,01, de 0,05 ó de 0,10. Así, al nivel de 1%, hay una ocasión en 100 en que la hipótesis nula debería aceptarse y será rechazada. La probabilidad de que eso ocurra en una serie dada se mide con el nivel p = P(t>|tobs|), donde t obs es el valor del estadístico t de Student computado para los datos observados. Cuando, haciendo los análisis de regresión y pruebas de hipótesis de cada serie, el nivel p resulte superior al 0,01 (0,05 ó 0,10) se descarta la existencia de tendencias de
Incidencia de Tendencias Climáticas sobre las Lluvias Máximas
75
variación de régimen de lluvia para dicha serie. Cuando el nivel p es inferior al límite preestablecido, la serie es recusada, o sea, es muy relevante la sospecha de cambio. El procedimiento a utilizar para identificar esta variabilidad temporal puede resumirse en los siguientes pasos (véase Apéndice): -
establecer la hipótesis nula H0, “la serie es estacionaria”, “la pendiente de la recta de regresión es nula”
-
elegir el test estadístico a utilizar
-
determinar un nivel de significación α
-
estimar el estadístico p con base en la muestra (estimador puntual)
-
comparar el estimador puntual del estadístico con los valores críticos. Si el estimador cae en la zona de rechazo, se rechaza la hipótesis nula
Otra forma de identificar series estacionarias es a través de test no paramétricos. Estos son independientes de la distribución de probabilidad que tenga la serie a analizar. Entre los más utilizados se encuentran los de Mann-Kendall y -Smirnov. Un aspecto importante a verificar es la fecha inicio del cambio, para determinar si ocurrió en los años que abarca la serie estudiada o fue anterior y perdura. Para identificar este año de inicio o para afirmar definitivamente la existencia de cambio en una determinada serie, se la divide en tramos y se efectúa el mismo análisis en cada uno de ellos. Si bien la división es arbitraria, la partición debe ser tal que mantenga series suficientemente extensas para que los resultados sean confiables. Cuando el examen de todos estos resultados no permita descartar la existencia de tendencias, se debe analizar las características del cambio, cuantificando la variación con respecto del régimen estacionario.
6. 3
TENDENCIA EN SERIES DE LLUVIAS MÁXIMAS DE CÓRDOBA
La metodología descripta se empleó en el análisis de la estacionariedad temporal de lluvias máximas de Córdoba.(Colladon y Caamaño Nelli, 2001) sobre las 70 series de láminas máximas anuales de 10 duraciones, utilizadas para derivar las curvas i-d-T (Capítulo 5) de las siete Estaciones Base de la Provincia (Capítulo 1). Un análisis adicional, para confirmar las evidencias de cambio climático en totales de precipitación anual, se realizó en la estación base Córdoba Observatorio y en la estación satélite Córdoba Aeropuerto (Dasso, Caamaño Nelli y Colladon, 2002).
6.3.1 ANÁLISIS DE LAS SERIES DE LLUVIAS MÁXIMAS Efectuadas las regresiones lineales de los máximos anuales respecto de los años hidrológicos, se obtuvieron los valores muestrales de dependencia, dados a través de la pendiente b y el coeficiente de determinación (r 2).
76
Lluvias de diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
En la Figura 6.1 se observan dos ejemplos de la diversidad de resultados muestrales encontrados. Presentan pendientes, b, de diferente signo, que distan, al igual que el coeficiente de determinación r 2, de ser nulas. 250
)200 m m ( a150 m i x á100 m a n i m50 á L
160
) 140 m m120 ( a d100 a t i p 80 i c e r p 60 a n 40 i m á L 20
La Suela 1440 minutos
0 1972
Marcos Juárez 180 minutos
0 1976
r = 0,0429
1980
1984
b = -1,09
1988
1992
1960
1964
p = 0,3551 r = 0,1083
1968
1972
1976
b = 1,32
1980
1984
p = 0,1254
Figura 6.1: Máximos anuales para diferentes duraciones y su recta de ajuste
¿Los valores hallados son “ suficientemente” cercanos a cero como para afirmar que no hay tendencia en el régimen de las lluvias?. Para establecerlo, hubo que determinar, a través de la prueba de hipótesis, cuándo el valor muestral de la pendiente de la recta de regresión lineal es estadísticamente significativo. Al aplicar el test paramétrico t de Student, con un nivel de significación α de 1%, si el valor del estimador puntual p está debajo del límite establecido, se asumió que la serie es no estacionaria, con una fuerte presunción de que sufre efectos de cambio climático. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 6.1. Tabla 6.1: Nivel p para series de máximos anuales de lluvia. Estadístico: t de Student
SERIE PARA DURACION 5 minutos 10 minutos 15 minutos 30 minutos 60 minutos 120 minutos 180 minutos 360 minutos 720 minutos 1440 minutos
CS 0,0349 0,0802 0,1522 0,5950 0,8632 0,9330 0,5919 0,2472 0,0106
0,0052
ESTACION PLUVIOGRAFICA OC LA SU MJ RC 0,2206 0,0041 0,1490 0,9490 0,7400 0,9266 0,0004 0,4361 0,5863 0,4252 0,7420 0,0014 0,8181 0,9512 0,4252 0,4121 0,0006 0,0662 0,5573 0,5882 0,2725 0,3204 0,3861 0,3502 0,5319 0,7862
0,0198 0,0362 0,0783 0,1738 0,3827 0,3549
0,1011 0,2533 0,3044 0,3794 0,3610 0,3551
0,3330 0,1473 0,1254 0,1056 0,0440 0,0249
0,4298 0,2245 0,2726 0,3082 0,1906 0,2008
VD 0,6526 0,4391 0,2216 0,5293 0,7056 0,3597 0,3026 0,3813 0,5557 0,6107
Incidencia de Tendencias Climáticas sobre las Lluvias Máximas
77
Aplicando a las mismas series el test no paramétrico de Mann-Kendall, para el mismo nivel de significación, se obtuvieron resultados equivalentes, como se puede apreciar, a modo de ejemplo para la duración de 1440 minutos, en la Tabla 6.2. Tabla 6.2: Resultado del test no paramétrico para máximos anuales de 1440 minutos
TEST DE MANN-KENDALL
CS
ESTACIÓN PLUVIOGRÁFICA OC LA SU MJ RC
VD
Valor observado 2,816 1,56 0,341 1,523 1,902 1,109 0,469 Decisión sobre H0 R NR NR NR NR NR NR Valor crítico (Vc)= 2,33 R = rechaza la hipótesis H0 NR = no rechaza la hipótesis De las 70 series de láminas máximas anuales analizadas en los siete puestos, sólo en dos de ellos (y para pocas duraciones) se rechazó la hipótesis nula, con un α del 1 %. En concreto, en el 93 % de los casos la hipótesis nula no fue rechazada, porque el valor muestral de la pendiente no resultó estadísticamente significativo. De ello se concluye que, en general, los máximos de lluvia no siguen la tendencia de los totales anuales. No obstante, se efectuaron al respecto los ensayos adicionales que se describen en el subtítulo 3.2, antes de encarar los casos excepcionales en que se detectan influencias relevantes de cambio climático en los máximos anuales.
6.3.2 COMPARACIÓN ENTRE TOTALES Y MÁXIMOS ANUALES Debido a los antecedentes que indican tendencias de variación positivas en las lluvias anuales de la provincia, se exploró su existencia en las series diarias de la Estación Base Córdoba Observatorio, para los períodos 1939-1999 (disponible) y 1943-1977 (empleado con máximos anuales al deducir la i-d-T). Idéntico análisis se efectuó en la Estación Satélite Córdoba Aeropuerto para el período 1953-1999 (Dasso et. al., 2002) Todas las pruebas de hipótesis aplicadas confirmaron la presencia de cambio climático en los totales anuales de lluvia, en contraposición con las series de máximos, que no evidencian tendencias estadísticamente significativas, como muestra la Tabla 6.1.Los resultados de los test no paramétricos se incluyen en las tablas 6.3 y 6.4, en tanto que las figuras 6.2 y 6.3 exhiben los de la prueba de hipótesis de t de Student ( p). Tabla 6.3: Resultados de test no paramétricos para Córdoba Observatorio
Test de hipótesis Mann-Kendall Smirnov Condiciones α = 0,01 H0: serie H0: las subseries provienen α = 0,01 Vc=2,33 estacionaria Zc =1,628 de la misma población de ensayo Totales 1939/99 Máximos diarios
Vobs 2,610 1,560
Decisión sobre H0 Año corte Rechazada 1969 No rechazada 1969
Zcalc Decisión sobre H0 1,684 Rechazada 1,414 No rechazada
78
Lluvias de diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla 6.4: Resultados de test no paramétricos para Córdoba Aeropuerto
Test de hipótesis Mann-Kendall Smirnov H0: serie H0: las subseries provienen α = 0,01 Condiciones α = 0,01 Vc=2,33 estacionaria Zc =1,628 De la misma población de ensayo Vobs 2,984 0,038
Totales anuales Máximos diarios
Decisión sobre H0 Año corte Rechazada 1976 No rechazada 1976
Zcalc Decisión sobre H0 1,907 Rechazada 0,590 No rechazada
La Figura 6.2 muestra (a) los totales anuales, de 1939 hasta 1999, y (b) los máximos anuales en 1440 minutos, desde 1943 a 1977, registrados en la Estación Córdoba Observatorio, con las respectivas rectas de ajuste. Cada gráfico incluye los valores del coeficiente de determinación r², la tasa de variación anual b de la lluvia y el estimador puntual p. La Figura 6.3 es similar a la anterior, para la Estación Córdoba Aeropuerto. 1200
)1100 m 1000 m ( a d 900 a t i 800 p i c e r 700 p a 600 n i m á 500 L
160
(a)
(b)
140
) m120 m ( a d100 a t i 80 p i c e r 60 p a 40 n i m á 20 L 0
400 1935
1945
r = 0,1506
1955
1965
b = 3,64
1975
1985
1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
1995
p = 0,0031 r = 0,0023
b = 0,09
p = 0,786
Figura 6.2: Lluvias anuales (a) y máximas diarias (b) en Córdoba Observatorio 1400
) m1200 m ( a1000 d a t i 800 p i c e r 600 P a n 400 i m á 200 L
160
(a)
)140 m 120 m ( a d100 a t i 80 p i c e r 60 P a 40 n i m á 20 L
(b)
0
0 1953 1958 1963 19681973 1978 1983198819931998
r = 0,2048
b = 6,1240
1953 1958 1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998
p = 0,0023 r = 0,0734
b = 0,119
p = 0,6278
Figura 6.3: Lluvias anuales (a) y máximas diarias (b) en Córdoba Aeropuerto
Incidencia de Tendencias Climáticas sobre las Lluvias Máximas
79
Para totales anuales, en ambas estaciones se rechazó la hipótesis nula H0 (“la serie es estacionaria” o “la pendiente de la recta de regresión es cero”) a niveles de 1% y de 5%, verificando el incremento sostenido de las láminas de lluvia acumuladas por año. Para máximos diarios, la misma hipótesis nula fue aceptada, con iguales niveles de significación α, indicando que las series anuales no han sufrido aumentos sustanciales.
6.3.3 CUANTIFICACIÓN DE EFECTOS DE CAMBIO CLIMÁTICO Cuando el examen de los resultados no permita descartar la existencia de tendencias, corresponde evaluar las características de la variación y su magnitud con respecto al régimen estacionario. Como se indicó, de las 70 series de láminas máximas anuales analizadas en los puestos de Córdoba, sólo se rechazó la hipótesis nula en dos de ellos, totalizando cinco casos: -
Ceres (CS), para 1440 minutos Laboulaye (LA), para las duraciones de 5 a 30 minutos
Estación Ceres Ante la sospecha de que la serie de 1440 minutos refleja efectos de cambio climático, se analizó qué sucede al dividir el período procesado. Se trabajó con 10 alternativas. A modo de ejemplo, en la Figura 6.4 se plantean las regresiones para dos secuencias temporales menores, que van desde 1960/61 hasta 1990/91 y hasta 1980/81, y en la Figura 6.5 se grafica la serie completa. Comparando ambas figuras, se ve que la pendiente b de las rectas es muy inferior en la primera, lo cual se refleja en el nivel p, que pasa de 0,0052 en la secuencia total a 0,4133 y a 0,7866 en las parciales. En principio, esto permitiría afirmar la ausencia de tendencias en la serie. De las 10 alternativas analizadas, solamente la serie completa acusa una tendencia relevante. 140
140
120
120
100
) m80 m ( a 60 m i x 40 á M 20 a n i m 0 á L
100
1960/80
1960
r = 0,06
1964
1968
b = 0,298
1972
1976
1980
) m80 m ( a 60 m i x á 40 M a n 20 i m á 0 L
1960/90 1960
p = 0,7866 r = 0,155
1965
1970
1975
b = 0,47
1980
1985
1990
p = 0,413
Figura 6.4: Máximos anuales y tendencia en dos subseries de 1440 minutos de Ceres
80
Lluvias de diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
200
1955 - 1993 160 ) m m120 ( a m i x á 80 M a n i m á 40 L
0 1955
1960
1965
1970
r = 0,444
1975
b = 1,24
1980
1985
1990
1995
p = 0,0052
Figura 6.5: Máximos anuales y tendencia en la serie total de 1440 minutos de Ceres
La comparación de las figuras resalta la influencia del último año, cuya sola exclusión eleva el nivel p de 0,0052 a 0,0263. El test de Mann-Kendall, que rechazó H 0 para la serie completa, sin el último valor pasa del 2,816 a 1,886 y acepta la hipótesis nula. Queda, pues, interpretarlo subjetivamente como un valor atípico o como el comienzo de un incremento sostenido al final de la serie. La cuestión sólo puede ser dilucidada con la incorporación de información posterior (Colladon y Caamaño Nelli, 2001).
Estación Laboulaye Al repetir el procedimiento para la Estación Laboulaye, la evidencia de cambio se mantiene, como muestra la Tabla 6.5 Tabla 6.5: Nivel p de las series de máximos en Laboulaye, para IMA menor o igual a 30 minutos, con α = 0,01
SERIE PARA DURACIÓN DE 1941-70 5 minutos 0,002 10 minutos 0,003 0,006 15 minutos 30 minutos 0,003
PERÍODO CONSIDERADO 1941-75 1945-77 1950-77 1950-70 0,013 0,016 0,002 0,001 0,005 0,0001 0,001 0,002 0,004 0,0004 0,008 0,010 0,015 0,024 0,003 0,001
1945-75 0,005 0,001 0,010 0,004
Incidencia de Tendencias Climáticas sobre las Lluvias Máximas
81
Los resultados numéricos de la Tabla 6.4 indican que todos los períodos considerados presentan cambio al menos en dos de las duraciones. Del total de series analizadas, incluida la total, en el 83% de los casos hay evidencia de cambio. Con base en estos resultados, cabe afirmar que las cuatro series presentan tendencias en sus regímenes de lluvia (Colladon y Caamaño Nelli, 2001). Para cuantificar el cambio, los pasos son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Identificar y ajustar una función de probabilidad a la serie original (con tendencia). Calcular los parámetros de la recta de regresión de los registros versus el año. Obtener el valor esperado, ŷi , de lluvia para cada año hidrológico. Estacionarizar la serie de residuos, descontando a la original el valor esperado ŷi . Calibrar la distribución de probabilidades normal de los residuos. Adoptar un criterio de estimación futura, considerando la ocurrencia de cambio.
Esa secuencia se desarrolló como se indica a continuación, tomando por ejemplo la serie de máximos de lluvia anual de duración 15 minutos, registrados en Laboulaye. Habida cuenta de que se asume que las láminas máximas de la Provincia responden a distribuciones lognormales (Capítulo 5) y de que los parámetros muestrales (media y desvío estándar) de las FDP de las estaciones base estaban calculados, el primer paso ya fue realizado. Otro tanto ocurrió con el segundo, puesto que la regresión de los valores de lluvia en función del tiempo fue necesaria para determinar la presencia de efectos del cambio. En consecuencia, se disponía de una ecuación de la forma (véase el Apéndice):
yˆ i
a
b x
(6.1)
donde ŷi es el valor de lluvia esperado para el año hidrológico i ; x (equivalente a i ) es el valor de dicho año; a y b son los parámetros de la muestra. Bastó entonces con aplicar la relación (6.1) para obtener el valor de lluvia esperado para cada año, cumpliendo así el paso 3. Para la población, el modelo general toma la forma:
y
α β x
ε (0, σ 2 )
(6.2)
siendo: α y β los parámetros (equiparados a a y b); ε, un término aleatorio, que representa la diferencia entre el valor observado, yi , y el estimado, ŷi . El error es una variable aleatoria independiente, de distribución normal, con media cero y varianza σ2
ε yi
yˆ i
(6.3)
De manera que, para concretar el paso 4., es decir, estacionarizar la serie de residuos, se aplicó la ecuación (6.3). Puesto que la distribución probabilística de los residuos es Normal, se calibró una FDP de este tipo para concluir el paso 5., quedando solamente por adoptar un criterio de estimación futura que considere la ocurrencia del cambio.
82
Lluvias de diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
En esencia, lo que se ha hecho es reemplazar el valor de la media muestral (que se considera el mejor estimador de tendencia central para variables estacionarias) por el valor estimado sobre la recta de regresión (es decir, una referencia móvil, definida por el año hidrológico en que se efectúa la estimación, que refleja la tendencia detectada). A partir de ello, todo cálculo de probabilidades toma en cuenta el valor estimado, yi . La serie de observaciones (Figura 6.6), bajo suposición de serie estacionaria, presenta numerosos años con alta probabilidad acumulada de no ser superada, sobre todo al final de la serie. Los residuos, calculados teniendo en cuenta no estacionaridad de la serie, se muestran aleatorios, sin valores de alta probabilidad en los últimos años. Estos son los resultados esperados cuando existe un aumento de la media poblacional. 35
1,0
)30 m m 25 (
0,8 d a l i b a 0,4 b o r P
a m 20 i x á 15 m a n10 i m á 5 L
0,6 d i
(a)
0
0,2 0,0
1940
1945
1950
1955
1960
valores observados
1965
1970
1975
1980
probabilidad
0,9
1,0
0,6
0,8
) m0,3 m ( 0,0 s o u-0,3 d i s e -0,6 R
d a d i 0,6 l i b a b 0,4 o r P
-0,9
(b)
-1,2 1940
0,2 0,0
1945
1950
residuos
1955
1960
1965
1970
1975
1980
probabilidad de los residuos
Figura 6.6 : Estación Laboulaye, probabilidad de no excedencia de las series de máximos en 15 minutos (a) original y (b) de los residuos estacionarizados
Incidencia de Tendencias Climáticas sobre las Lluvias Máximas
83
La tasa de variación anual de la media poblacional es la pendiente de la recta de regresión de los datos. En el ejemplo, fue de 0,36 mm/año, que representa el 1,6 % de incremento respecto a la media de los valores observados en 15 minutos (21,9 mm). La última cuestión a decidir es hasta cuándo se considerará que continúa la tendencia observada, pues se ignora si el período registrado comprende toda la rama ascendente de un ciclo climático o parte de ella. El criterio práctico adoptado ante esta dificultad fue suponer que, en el futuro, la distribución de probabilidad será igual a la que se manifestó en el último año de la serie de datos, según la recta de regresión lineal (Lucero, 1999). A partir del último año medido, se asumió una condición estacionaria. Adicionalmente, es de interés evaluar que probabilidad de ocurrencia tiene un valor específico; en este caso, el máximo que se dio para cada una de las series. La Figura 6.7 (a) muestra la probabilidad acumulada de que la lámina, en 15 minutos de lluvia, supere 33 mm para un año determinado (el máximo de la serie fue 33,2 mm). La línea horizontal representa dicha probabilidad, siempre del 16%, sin considerar la tendencia. Incluyendo el efecto de incremento, mientras en 1945 la probabilidad de superar los 33 mm era muy baja (5%), en 1975 superó el 40%. Esto lleva a cometer errores, que serán más o menos marcados en función del año a que estén referidos. Otro modo de reflejar la evolución cronológica de determinada probabilidad de no excedencia es con percentiles afectados por el cambio. La Figura 6.7 (b) exhibe este tipo de representación, evidenciando el incremento de los valores de precipitación con el transcurso de los años.
0,5
40
(a) 0,4
d0,3 a d i l i b a b0,2 o r P 0,1
0 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
) 35 m m30 ( a d25 a t i p20 i c e r 15 p a n10 i m á L 5
(b)
P = 30% P = 50% P = 70%
0 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
Figura 6.7: Intervalos de máxima intensidad anual de 15 minutos en Laboulaye. Probabilidad (a) de superar 33mm y (b) de diferentes percentiles
84
Lluvias de diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
6. 4
SÍNTESIS
De los ensayos presentados se deduce que, en la región central de Argentina, la modificación de los totales anuales de lluvia, detectada con anterioridad, no se traduce en tendencias definidas de los máximos anuales precipitados en diferentes lapsos. Esto confirma que la intensidad de las precipitaciones no se ha alterado, sino que, en promedio, hay más tormentas por año. Por lo tanto, las relaciones intensidad-duración-recurrencia, deducidas de los datos utilizados, siguen siendo válidas para diseño hidrológico y predicción de inundaciones. Sólo en dos estaciones, Ceres y Laboulaye, un 7 % de las series (5 sobre 70) se aparta de la estacionariedad. En la primera, la serie de 1440 minutos sugiere el comienzo de una etapa de incremento de la lámina diaria sobre el final de los registros, al noreste de la región. Las restantes, al sur, presentan tendencias de crecimiento para duraciones pequeñas de lluvia, de hasta media hora. La persistencia del panorama general en la última década, así como ambas anomalías, se pueden esclarecer solamente prolongando el período de medición. Al asumir la existencia de las presuntas tendencias en aplicaciones futuras, los valores de lámina máxima se pueden rectificar para el último año de registro, mediante la recta de regresión en función del tiempo, y, a partir de allí, habrá que suponer condición estacionaria. No se debe extrapolar la recta más allá del período con mediciones.
Capí tulo 77 .
.
T r a n s p o si c ci ó ó n d e Ll uvi a a s c o n o b je tiv o s d e Di s se ñ o C l a a rí a D a s s o l ri t a t a M
7. 1
CONCEPTOS Y ALTERNATIVAS DE TRANSPOSICIÓN
La escasez espacio-temporal de registros de lluvia de alta frecuencia exige aprovechar los datos generados en lugares distintos, y a veces distantes, de la región en estudio. En particular, esto ocurre con las lluvias intensas, cuyos rasgos mas relevantes se trasladan para ser utilizados con fines de diseño. Sin embargo, los datos no debieran transferirse directamente, porque ello equivaldría a desconocer las particularidades locales del punto receptor. Las técnicas racionales de adaptación de valores o de algoritmos de cálculo, desde el lugar de medición al de utilización, bajo hipótesis verosímiles de homogeneidad climática, se conocen como métodos de transposición. Estos métodos pueden ser clasificados (Caamaño Nelli et al., 1995, 1998a) según la naturaleza de la variable transferida (series numéricas o parámetros) o bien tomando como criterio el enfoque del problema que da origen a la estimación de la variable. De acuerdo a esto último, se los agrupa en:
a) Métodos Paramétricos: las constantes se calibran por regresión sobre datos puntuales. Equiparación: es la alternativa más rígida, pues admite valores inmutables con la posición del lugar de análisis, y busca definirlos por regresión de datos puntuales. Regionalización: asume que la variable a transferir es una función regional de rasgos físicos y/o climáticos de cada punto, cuyos parámetros se obtienen por regresión.
86
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
b) Métodos No Paramétricos: constatan a priori requisitos de similitud para el traspaso directo. Interpolación: acepta una evolución espacial predecible, generalmente lineal, de la variable transferida. Así, la estimación local es un promedio ponderado de datos de varias estaciones. Extrapolación: considera que los puestos de registro representan completamente las características de sendas zonas homogéneas, cuyo conjunto abarca toda la región. La transposición dentro de una zona prescinde de la estimación en las demás.
c) Métodos Mixtos: complementan las ventajas de los dos tipos anteriores. Zonalización: combina una división zonal (igual que para la extrapolación) con una transferencia paramétrica (similar a la regionalización) dentro de cada zona.
7. 2
APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS EN CÓRDOBA
Todas las alternativas de transposición mencionadas fueron ensayadas en la Provincia de Córdoba, analizando su aptitud bajo condiciones locales específicas (Caamaño Nelli et al., 1995, 1998a). Los experimentos se hicieron usando información originada en las siete estaciones base pluviográficas (Tabla 1.1) para luego ser extendida a un conjunto de 141 pluviómetros distribuidos en todo el territorio (Figura 7.1) con series de lluvias máximas diarias que se extienden entre 16 y 50 años.
7.2.1 EQUIPARACIÓN Si se admite la existencia de valores inmutables con los caracteres de ubicación de cada puesto incógnita, definibles por regresión de datos puntuales, estamos ante un caso de Equiparación. Este tipo de procedimiento fue utilizado en Australia (Pierrehumbert, 1977) para determinar curvas i-d-T, con base en datos pluviométricos. El método consiste en establecer vínculos entre los máximos valores de lámina precipitada en distintas duraciones y la lluvia diaria, a través de las siguientes ecuaciones:
Para d > 12 horas
h d,T = R d . h 12,T
(7.1)
Para 1 hora ≤ d ≤ 12 horas
h d,T = Ld . h 12,T
(7.2)
Para 6 minutos ≤ d < 1 hora
h d,T = K d . h 1,T
(7.3)
Transposición de Lluvias con objetivos de Diseño
87
Zonas y Polígonos de Thiessen
Figura 7.1: Zonificación y polígonos de Thiessen en la Provincia de Córdoba
88
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
donde hd,T es la lámina precipitada para una duración d (en horas) y una recurrencia T (en años). Ld depende de constantes locales, mientras que R d y O sea, las dos primeras K d no. ecuaciones son únicas para toda la región, condición que caracteriza al método de equiparación. En Córdoba, se ensayó esta ecuación para todo el rango de duraciones (5 a 1440 minutos). Su único parámetro, K d, se estimó por regresión, con datos de 5 estaciones con análisis pluviográfico y para dos juegos de láminas máximas por duración, extraídas de: a) curvas intensidad-recurrencia (i-T) de la función de densidad de probabilidad (FDP) calibrada con datos observados en cada puesto y b) la ecuación i-d-T empírica de Sherman (1931) ajustada sobre los valores calculados de las FDP. Para evaluar las formas de correlacionar K d con las distintas duraciones d, se analizaron distintas alternativas de vinculación, adoptándose finalmente la forma utilizada en lluvias más breves que una hora en Australia, que responde al tipo:
K d
f (
1 d c
)
(7.4)
Sobre 20 pares de valores, en el rango de duraciones para el cual fue propuesta en 2 Australia (5' ≤ d < 60 ' ) se obtuvo un coeficiente de determinación r = 0,929, mientras 2 que para el conjunto total del rango (5' ≤ d ≤ 1440') r alcanzó un valor de 0,976. Esta ecuación, con d expresada en minutos, quedó definida para toda la Provincia de la siguiente forma:
K d 1,829
99,761 (d 60,367)
(7.5)
Los aspectos más importantes de esta ecuación son su sencillez y su unicidad en toda la Provincia, para cualquier recurrencia y todo el rango de duraciones que interesa.
7.2.2 REGIONALIZACIÓN Este enfoque de la transposición parte de suponer que la variable a transferir depende de los rasgos físicos y/o climáticos de cada punto, a través de una ecuación que tiene validez regional. Los parámetros de esa función se obtienen por regresión entre la variable dependiente y uno o más datos de puestos de registro y se emplean luego para estimarla en lugares donde es incógnita. Las variables independientes elegidas deben explicar la variación de la lluvia y ser factibles de obtener fácilmente. La ecuación más eficiente será la que permita estimar con menos error la variable a transferir e incluya el menor número de variables independientes.
Transposición de Lluvias con objetivos de Diseño
89
Tucci (1993) propone 6 fases de desarrollo en la regionalización de variables: a) b) c) d) e) f)
estudio de la naturaleza de la variable y recopilación de la información; determinación del tipo de ecuación a regionalizar; regresión entre valores conocidos para obtener sus parámetros; verificación de la necesidad de dividir en zonas hidrológicamente homogéneas; definición de la función regional y mapeo de valores específicos, cuando sea necesario.
Conforme a la nomenclatura adoptada aquí, una respuesta afirmativa en la fase d) implica pasar a un método de zonalización. En el caso de la lluvia, el proceso de regionalización es siempre el mismo: la variable a transferir se pone en función de variables posicionales y/o climáticas independientes, mediante regresión sobre los puestos de registro, y la función matemática resultante se hace extensiva a los lugares sin datos. Para transponer intensidades o láminas de lluvia máxima diaria, los valores se deben extraer de las FDP, calibradas previamente con los datos observados en cada puesto de registro. Las funciones pueden ser de diferentes tipos, ya que no se presupone un modelo probabilístico común, sino un campo regional de valores. Cuando se prefiere operar con valores adimensionales, se dividen los anteriores por un dato típico de la variable, por ejemplo las lluvias medias. Si se sabe o se admite que un mismo tipo de distribución estadística se ajusta bien a los datos locales, se pueden regionalizar sus parámetros o los de relaciones específicas entre variables hidrológicas. Un ejemplo común de estas relaciones, para lluvias, es el ajuste regional de los coeficientes y exponentes de modelos i-d-T empíricos. En la provincia de Córdoba se experimentaron varias alternativas (Caamaño Nelli et al, 1995), tanto con regresiones simples como múltiples, con distintos tipos de variables a transferir y utilizando como factor independiente la posición geográfica del punto de medición (longitud X, latitud Y y altitud Z). Los resultados mostraron que, si bien un grupo considerable de ensayos presentaba baja correlación, otros condujeron a funciones satisfactorias para ser regionalizadas. 2
Los casos con menores coeficientes de determinación (r < 0,1) se dieron al correlacionar las láminas máximas diarias estimadas para distintas recurrencias, adimensionalizadas con la lluvia media anual de cada estación. La explicación de tan alta aleatoriedad estaría dada por la anulación de los efectos posicionales (uniformidad de campos de isohietas) de las variables adimensionalizadas, conducente a que su distribución territorial no sea función de la posición geográfica. A su vez, al plantear la lámina máxima diaria (para 8 recurrencias, de 2 a 100 años) como 2 dependiente de la posición, los valores de r no superaron 0,46, ni aún rotando el sistema de coordenadas geográficas para ponerlo en fase con el máximo gradiente de lluvia. En los casos particulares, donde se los exploró como función regional, los parámetros de ecuaciones que relacionan el logaritmo de la lámina con el de su recurrencia T y los
90
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
rasgos de ubicación del pluviómetro receptor (Caamaño Nelli y García, 1994), tampoco 2 se observó un vínculo matemático relevante (r < 0,42). En síntesis, puede decirse que los campos paramétricos, en función de la altimetría, son marcadamente aleatorios. Cuando se utilizaron funciones específicas entre variables (concretamente los parámetros de las i-d-T empíricas calibradas con FDP en 5 estaciones con análisis pluviográfico, en función de la posición geográfica), los resultados mejoraron sensiblemente, tanto con regresiones simples como múltiples, aunque su validez quedó restringida por representar 2 un área tan extensa como el territorio cordobés (165.000 km ) con sólo cinco puntos. Los mejores ajustes para la Provincia se lograron entre láminas adimensionalizadas, precipitadas en un tiempo prefijado y en 1 hora de duración (o sea, con la razón K d obtenida en equiparación), extraídas de funciones i-d-T una teórica y otra empírica. 2
El resultado óptimo (r = 0,999) se logró en una regresión múltiple con los parámetros posicionales de las estaciones pluviográficas. Si bien es muy promisorio, deja la incertidumbre sobre la representatividad de un campo basado en sólo cinco estac iones.
7.2.3 INTERPOLACIÓN Este método acepta una evolución espacial predecible de la variable transferida, entre el punto incógnita y estaciones cercanas. La estimación consiste en un promedio ponderado de los datos de éstas. Si la interpolación lineal es apta, los sitios cercanos se deben ubicar respecto a un sistema de coordenadas y ponderar con la inversa de la distancia. Cuando se derivan intensidades de lluvia, interpolando linealmente, se debe controlar los efectos que puede ocasionar en la transposición el uso de series de distintas longitudes. Si fuesen significativamente diferentes, deben limitarse al intervalo de tiempo común. Si en una zona meteorológicamente homogénea (Wiesner, 1970) varias estaciones de registro representan igualmente bien un punto distante más de 20 kilómetros, la estimación de la información requerida en ese punto se puede obtener por interpolación (Pierrehumbert, 1977). La conveniencia de aplicar esta técnica se analizó en la Provincia de Córdoba, dividida en tres zonas meteorológicamente homogéneas: sierras, traslasierra y llanura. Sin embargo, la ubicación de los puestos pluviográficos sólo permite interpolar en la zona de llanura y no en las otras, con sólo un pluviógrafo representativo cada una. Además, la distancia entre los puestos de registro no debería ser el único elemento a contemplar; la altitud y la lluvia media (García, 1994) son también características importantes para explicar las variables a transferir. Es evidente la complejidad de operar combinando estos tres elementos, para cada duración y cada recurrencia, en los 141 puestos de la red pluviométrica. Estos inconvenientes llevaron a descartar la técnica de interpolación como una opción de uso general para la Provincia de Córdoba.
Transposición de Lluvias con objetivos de Diseño
91
7.2.4 EXTRAPOLACIÓN El método de extrapolación se sustenta en la hipótesis que las estaciones pluviográficas representan sendas zonas homogéneas. Requiere definir a priori la zona asociada a cada pluviógrafo. De este modo, la transposición se convierte en un proceso centrífugo de traslado de información, desde el puesto base hacia el conjunto de pluviómetros de su zona, concepción equivalente a la que se aplica al extender espacialmente la lluvia dentro de un polígono de Thiessen. Esta clase de técnica se emplea para transponer lluvias extremas estimadas de disti ntas duraciones, incluso Precipitaciones Máximas Probables. Los parámetros de las relaciones i-d-T y de hietogramas tipo también suelen ser extrapolados con propósito de diseño. Pierrehumbert (1977) efectúa un traslado directo de las estimaciones de intensidad, obtenidas de la pluviografía, a puntos que satisfagan las condiciones mencionadas. La representatividad del pluviógrafo en el área en estudio depende de factores meteorológicos y la extrapolación sólo será válida si estos factores afectan de modo estadísticamente similar a toda la zona. Un aspecto a destacar en la extrapolación, es que el enfoque conduce a técnicas no paramétricas, es decir, no hay en ellas un modelo cuyas constantes se ajusten por regresión, ni un índice de correlación que sirva para evaluar su validez regional. La semejanza meteorológica es el único elemento de juicio y debe ser preestablecida para cada zona en estudio.
Definición de zonas meteorológicamente homogéneas Para Wiesner (1970), las zonas de homogeneidad meteorológica se definen como áreas donde todos los puntos experimentan eventos mediante iguales mecanismos de tormenta y movimientos totales de aire, pero no necesariamente con el mismo cambio de humedad o con igual frecuencia. En consecuencia, la definición de tales zonas depende principalmente de la localización y la extensión de las masas de aire. En especial, debe contemplar los frentes de tormenta, las propiedades del aire superior, la topografía, su ubicación respecto a la circulación general y los factores internos causantes de lluvias. Las zonas homogéneas se establecen sobre bases subjetivas, como mapas sinópticos de situaciones dominantes en la mayor tormenta registrada, datos aerológicos o relación lámina-duración-área, pero son las teorías meteorológicas las que ponen límites a las o transferencias. Estas zonas rara vez abarcan más de 10 de latitud. Pueden medir cientos de kilómetros en una dirección y pocos en otra. Para definirlas, se deben reunir los datos hidrológicos y cartográficos de la región, a fin de visualizar y entender el comportamiento del sistema. En grandes regiones (más de 2 1.000.000 km ) se utilizan mapas globales (1:1.000.000 ó 1:500.000) para localizarlas, pero las variables físicas del sistema se deben deducir a escalas de mayor detalle (1:250.000 a 1:50.000).
92
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
Cuando la influencia topográfica sobre el agotamiento de humedad del aire es escasa, la transposición presenta pocos problemas. En cambio, si la pendiente, la altura y/o la orientación de una barrera montañosa afectan el patrón de tormentas e intensifican las lluvias, la extrapolación no es simple. En este caso, la solución ideal es maximizar los eventos in situ. Sin embargo, la ausencia de datos de tormentas intensas ha llevado a diseñar métodos especiales de extrapolación (Wiesner, 1970). Las tormentas orográficas y los chubascos locales severos son ejemplos de eventos inducidos o aumentados por la topografía, cuyas características no pueden ser utilizadas sin modificaciones en lugares distintos al de registro. En general, los límites de una zona homogénea son importantes cadenas orográficas. Una vez definida una zona meteorológicamente homogénea, es válido transponer los eventos internamente, inclusive de una a otra de las áreas en que se la haya fraccionado. Pero las tormentas no pueden ser trasladadas fuera de la extensión conocida de una zona. Bajo tales criterios de homogeneidad, Wiesner (1970) plantea las llamadas zonas de transposición, dentro de las cuales propone dos métodos de extrapolación: a) General, estimando la mayor masa de agua precipitable o máximo punto de rocío b) Isoporcentual, para transferir y maximizar tormentas en áreas montañosas.
Representatividad de estaciones pluviográficas Los datos de un pluviógrafo se pueden suponer representativos de otros sitios (aledaños o no), en particular de estaciones pluviométricas, si se cumplen las siguientes condiciones (Pierrehumbert, 1977), que habilitan el traslado directo de las intensidades medidas: a) b) c) d) e) f)
diferencia de nivel topográfico menor que 200 m; terreno similar en un radio de 5 km de ambos lugares; diferencia menor que 100 mm de lluvia media anual, si ésta no llega a 1000 mm; diferencia menor que un 10 % en zonas mas húmedas; ubicación en la misma vertiente hidrológica; separación no mayor de 150 Km.
El área asociada o zona de influencia de cada pluviógrafo, constituida por todos los puntos que se ajustan a los requisitos mencionados, no se debe confundir con la zona de transposición descripta anteriormente, aunque ambas concepciones busquen garantizar una semejanza de comportamiento meteorológico. Estas zonas de influencia abarcan normalmente porciones de territorio muy inferiores a las zonas homogéneas de Wiesner y es común que una de éstas incluya zonas de influencia de varios pluviógrafos. En el caso particular de la Provincia de Córdoba, basarse en zonas de transposición para la extrapolación presentó algunas desventajas, entre ellas la dificultad para obtener los datos necesarios (por ejemplo, el punto de rocío para maximizar tormentas) o la amplitud de las zonas (sierra, traslasierra y llanura) para establecer la similitud buscada.
Transposición de Lluvias con objetivos de Diseño
93
Por lo tanto, el criterio adoptado para delimitar las zonas de semejanza, coincidió con el de elegir un puesto de referencia representativo. En la práctica, esto significó verificar que cada estación pluviográfica cumpla con condiciones experimentalmente establecidas para adoptarla como representativa de su zona. Como la extrapolación se haría a puestos pluviométricos, fue necesario determinar qué lote de éstos quedaba comprendido en cada área de influencia, para lo cual las condiciones límite impuestas fueron algunas de las propuestas para Australia, a saber: a) distancia en torno al pluviógrafo (dada por el radio de 150 km); b) desnivel de altitud entre los dos puestos (200 m) y c) diferencia de lluvia media anual (100 mm). La Figura 7.2 exhibe los radios máximos de cobertura de cada pluviógrafo, sin reflejar la influencia de puestos vecinos, ni las características orográficas ni pluviales de la región. El estado del terreno adyacente no se tuvo en cuenta, por no disponer de monografías de las estaciones. No obstante, como las redes de medición fueron operadas por organismos competentes (la pluviométrica por la DPH y la pluviográfica por el SMN y el CIHRSA) cabe suponer que ambas se atuvieron a convenciones de instalación similares. Convalidada la representatividad, la extrapolación de las láminas de diseño no se hizo en forma directa a los pluviómetros. Se empleó como factor de escala, para cada estación, el cociente entre la lámina diaria del pluviómetro y la del puesto base, para un período de retorno de 10 años. Se trató de neutralizar, de esta manera, la distorsión causada por las diferencias de monto de lluvia entre la estación emisora y la receptora. Este nuevo enfoque de transposición, llevado a cabo para Córdoba, define el concepto de zonalización. Es decir, definir zonas homogéneas vinculadas a cada pluviógrafo y luego establecer el criterio para modificar la función a transferir.
7.2.5 ZONALIZACIÓN Partiendo del enfoque del problema que origina el procedimiento de estimación, la zonalización se presenta aquí cómo un método mixto, que combina una división zonal no paramétrica (igual que para extrapolación) con una transferencia paramétrica (equivalente a la regionalización) dentro de cada zona. Así, para transponer las lluvias de diseño, el territorio cordobés quedó dividido en siete zonas (Figura 7.1) indicativas del área de cobertura de sendas estaciones base, pluviográficas, representativas de una red de 141 estaciones satélite, pluviométricas, según las diferencias de lluvia media, altitud y ubicación entre unas y otras. Para ello se desarrolló el algoritmo denominado DIT (Capítulo 5) que parametriza el rol de la lluvia diaria en el vínculo i-d-T y permite transponerlo como una superficie tridimensional continua.
94
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
Figura 7.2: Radios máximos de cobertura para cada estación pluviográfica
Transposición de Lluvias con objetivos de Diseño
95
El Modelo DIT asume distribución probabilística lognormal de las láminas máximas anuales de cualquier duración y se calibra sobre ternas i-d-T extraídas de FDP lognormales de las duraciones elegidas. DIT tiene 4 parámetros: el exponente q de la ecuación (5.12) y B, C y A de la ecuación (5.14). Los dos últimos fueron deducidos como sumas, entre cuyos términos se cuentan, respectivamente, y , la media y el desvío estándar de los logaritmos de la serie de láminas diarias máximas anuales. Para los pluviómetros, la información local sobre lluvias máximas está contenida en esa serie y se expresa a través de sus estadísticos en la función. Esa propiedad permite transponer la i-d-T a cada puesto, sustituyendo sustituyendo los valores de μ y σ para incorporar sus rasgos específicos.
7. 3
TRANSPOSICIÓN DE LLUVIAS DE DISEÑO
Una vez que DIT ha sido calibrado para un pluviógrafo, la extrapolación a los puestos pluviométricos pluviométricos asociados es muy sencilla: s encilla: basta con sustituir dos estadísticos (de los logaritmos de láminas diarias máximas), la media µ y del desvío estándar σ de la primer serie, por los los de la segunda, µ' y '.(Caamaño Nelli, García y Dasso 1998a). El reemplazo se efectúa en los parámetros C y A de la ecuación (5.14), ajustada para el pluviógrafo, pluviógrafo, para obtener los los respectivos C' y A' del pluviómetro sin otra calibración:
A = A
σ + σ
(7.6)
C
μ
(7.7)
C
μ
Tal proceder es válido debido a que el significado conceptual de los parámetros (y la forma modular resultante de la ecuación), permite identificar qué cambia de uno a otro sitio. Es un modo de incorporar valiosa información local y, si bien asume que la FDP se preserva en cada zona, mucho más arbitrario es transponer una función i-d-T inmutable, como habitualmente se hace. A modo de ejemplo, para la estación base Marcos Juárez los valores de los estadísticos y de los parámetros involucrados (teniendo en cuenta que B es constante en cada zona, pues no depende depende de condiciones condiciones locales) son: son:
µ = 4, 4444
= 0,3875
C = 5,1318
A = 0,4101.
En tanto, en Villa María, cabecera departamental de la Zona Este como MJ, existe sólo una serie pluviométrica estadísticamente apta. La tercera ciudad de la Provincia, con cerca de 100.000 habitantes, carece, por lo tanto, de la lluvia de diseño racional propia. Pero, mediante las expresiones (7.6) y (7.7), a partir de esa serie resulta:
µ' = 4,4526
' = 0,3348
C' = 5,1400
A'= 0,3574.
96
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
Reemplazados Reemplazados C y A en (5.14), se tendrá luego la intensidad para cualquier duración y recurrencia. Adviértase, comparando los valores de los ejemplos, la influencia de los rasgos locales de las lluvias máximas (reflejados por µ y σ) en los parámetros C y A del modelo: no hay alteración significativa del término independiente, dada la similitud de µ y µ', pero el peso del factor de frecuencia, Φy, decae un 13 %. En consecuencia, la intensidad estimada es menos sensible a la variación de la recurrencia en la estación incógnita. Conocida la lámina de duración d y recurrencia T, hay que distribuirla según un patrón temporal. Este hietograma tipo, al haber sido planteado en forma adimensional para cada serie pluviográfica (Caamaño Nelli et al., 1994) no sufre cambio al transponerlo a los pluviómetros de la zona, constituyendo un caso de extrapolación clásica. Sin embargo, el hietograma que se empleará para proyectos se dimensionaliza en función de la lámina y, por lo tanto, diferirá del de la estación base. O sea que el proceso de zonalización, para incorporar los rasgos locales de lluvias máximas, afecta a la lluvia de diseño en su conjunto.
7. 4
CONTRASTE DE TÉCNICAS DE TRANSPOSICIÓN
A fin de comparar los resultados, la función i-d-T de lluvias máximas fue transpuesta desde una estación base a una satélite próxima, con métodos no paramétricos y mixtos (Dasso, Caamaño Nelli y Colladon, 2002). La estación satélite seleccionada fue Córdoba Aeropuerto, distante sólo 8 km de la estación base Córdoba Observatorio. Esta última es representativa de la Zona Centro (Capítulo 1, Tabla 1.1), una de las 7 zonas definidas para transponer lluvias de diseño. Córdoba Aeropuerto se incorpora como un nuevo punto incógnita, cumpliendo con los requisitos exigidos para asociarlo. Se dispuso de una serie de 46 años de máximos diarios anuales (1953/54 - 1999/00), sin tendencia climática (Capítulo 6), lo que da validez futura a las curvas i-d-T generadas. Según su grado de complejidad, se aplicó primero un método directo, consistente en extrapolar una función de densidad de probabilidades (FDP) desde el puesto base al puesto pluviométrico pluviométrico incógnita, sin alterar. El modelo teórico elegido fue la FDP lognormal, que se impone como distribución óptima para lluvias máximas en la Provincia de Córdoba (Caamaño Nelli y García, 1998b). Luego se aplicó el Método de los Cocientes, basado en extrapolar relaciones entre láminas máximas diarias y las de 24 horas, así como entre éstas y otras de menor duración. Dichos vínculos (en este caso cocientes zonales) validados para la región (García, Caamaño Nelli y Dasso, 2001), fueron utilizados como multiplicadores multiplicadores de los valores diarios medidos en el punto incógnita, generando lluvias máximas sintéticas de duraciones menores que un día. Por último, se empleó la técnica mixta de zonalización del DIT. De los 4 parámetros de este modelo, A y C dependen de particularidades locales, mientras que B y q son
Transposición de Lluvias con objetivos de Diseño
97
característicos de la zona. Los primeros, deducidos del pluviógrafo, tienen incorporado el desvío estándar (σ) o la media ( μ) de la serie de máximos diarios. La transposición al pluviómetro asociado consistió en sustituir esos dos estadísticos por los de la nueva serie y así obtener los parámetros locales: A' y C' con l as ecuaciones (7.6) y (7.7). El análisis consistió en contrastar los valores de 10 intensidades estimadas por estos modelos, para duraciones comprendidas entre 5 y 1440 minutos y recurrencias de 2 a 200 años. La Figura 7.3 muestra los resultados para una recurrencia de 50 años. 40
30 0 ) h / m 25 0 m ( i , 20 0 a i d e 15 0 m d a 10 0 d i s n 50 e t n I 0
T= 50 años - d
) h / 35 m m 30 ( i , 25 a i d e 20 m d 15 a d i 10 s n e 5 t n I 0
a 3 h o r a s
Lognormal DI T Cocientes
0
30
60
90
120
150
180
Duració n de la lluvia, d (minutos )
T = 5 0 a ñ o s - d
a 3 h o r a s
Lognormal D IT Cocientes
180
360
5 40
720
9 0 0 1 0 80 1 2 60 1 44 0
Durac ión de la lluvia, d (minutos)
Figura 7.3: Curvas i-d-T transpuestas en Córdoba Aeropuerto
Tomando a DIT como referencia, por su mejor sustento conceptual, las funciones transpuestas por cocientes presentaron siempre valores superiores a las otras dos. Ese desfasaje, siempre positivo, es cuasi constante con T. Pasa de 7,2 a 34,5 % en 2 años y de 8,9 a 36,5 % en 100 años desde 5 a 1440 minutos. Las isolíneas de igual T, generadas por extrapolación directa, presentaron un comportamiento más heterogéneo. Las diferencias relativas fueron menores, pero su signo cambia al variar la duración. Son positivas para duraciones altas (2 % en 720 minutos y 11 % en 1440). Dado que el traslado directo y el DIT parten del mismo conjunto de FDP lognormales, lognormales, las trazas exhibieron el efecto local del DIT, traducido en la variación de curvatura, más que en los valores predichos. Los parámetros del DIT se asemejan en ambas estaciones, a causa de su similitud fisiográfica y climática. La escasa distancia y la consecuente homogeneidad de los puntos de origen y de aplicación de la información podría justificar el empleo de una función i-d-T única para toda la ciudad de Córdoba, que es lo que implica la extrapolación directa. No obstante, se debe advertir que este proceder no es generalizable, ya que en sólo 8 km, bajo condiciones muy favorables, pueden darse diferencias mayores al 20 %.
98
Lluvias de Diseño. Conceptos, técnicas y experiencias
7. 5
CONCLUSIONES
Este capítulo presenta un criterio de clasificación de los métodos de transposición de lluvias de diseño, que atiende al enfoque del problema: estimaciones paramétricas (equiparación y regionalización), no paramétricas (extrapolación e interpolación) y mixta (zonalización). Siguiendo este criterio, es posible salvar las confusiones que produce la diversidad de nomenclaturas existentes y evaluar ordenadamente las alternativas de aplicación en la Provincia de Córdoba. La ecuación lograda para K d, por equiparación, con sólo 5 estaciones pluviográficas de la Provincia, presenta claras ventajas, por su sencillez y su unicidad, para cualquier recurrencia y rango de duraciones. Los mejores resultados en regionalización se lograron con valores adimensionalizados entre láminas precipitadas en un tiempo prefijado y la lámina de 1 hora de duración (o sea la razón K d , obtenida en equiparación) extraídas de funciones i-d-T ajustadas sobre una FDP teórica y una empírica. La aplicabilidad parcial (en área y en variables trasferibles) y la complejidad hacen desaconsejables las técnicas de interpolación para Córdoba. Evaluar la representatividad de los pluviógrafos según distancia, diferencia de altitud y lluvia media presenta destacables condiciones para usar esquemas de extrapolación. Al dividir la provincia según estas condiciones, quedaron definidas 7 z onas, con una red de 141 pluviómetros. La clasificación de los métodos de transposición se completa con la zonalización, como categoría mixta en cuanto a su carácter paramétrico. Para transferir lluvias intensas, esta técnica aventaja a las convencionales, pues aprovecha mejor, en la corrección de la función i-d-T, los rasgos locales que brinda la red pluviométrica. El método de zonalización propuesto se basa en el modelo DIT, desarrollado con ese objetivo. DIT incluye paramétricamente el efecto local en la relación i-d-T y corrige el hietograma de proyecto en proporción a la intensidad extraída de esa relación. Se cuenta así con lluvias de diseño racionales en 141 puntos, incluidos los mayores centros urbanos, cubriendo los 165.321 km² de la región con una densidad media de 1/1200 km². Dado que el sistema estudiado es fisiográfica y climáticamente bastante variable, la perspectiva de aplicación del método a muchas otras regiones, del país y del mundo, es muy promisoria. El contraste de resultados del DIT con los de otras técnicas de transposición, permite inferir la bondad del método cuando se incorpora un nuevo pluviómetro incógnita. Frente a DIT, la extrapolación con el Modelo de Cocientes causa un sesgo sistemático positivo en la predicción, porque utiliza independientemente (para cada duración) las relaciones zonales entre láminas, sin responder a un modelo general. La extrapolación directa de una FDP Lognormal, produce trazas más semejantes a DIT, aunque con diferencias significativas pese a la proximidad geográfica de las estaciones. En síntesis, sustituir la extrapolación por una transferencia paramétrica dentro de la zona, como lo hace DIT, se presenta como la alternativa mejor fundada para transponer la función i-d-T, desde una estación base a una estación satélite.
Capí tulo 88 .
.
P re ci p á xi m pi t a t a ci ó ó n M m a P r o b a bl e E s ti m s m a ci ó ó n E s t a a d í í ti c c a Re gi o o n al D Di a a ri a a G a b riel C a a m a ñ o N el l C a rl o s M a r cel o G G a r cí a li y C
8. 1
CONCEPTO DE PRECIPITACIÓN MÁXIMA PROBABLE
La falla de varias presas en la década de 1970 llevó a revisar las normas de diseño y, en particular, el sentido probabilístico del componente pluvial de dimensionamiento (Hershfield, 1981). Muchos organismos dedicados a seguridad de presas aconsejan hoy explícitamente la Precipitación Máxima Probable (PMP) como lámina de tormenta de diseño para grandes obras, cuya rotura involucre riesgos importantes (Sugai y Fill, 1990). El concepto de PMP, desarrollado en la década de 1970, es materia de controversia entre dos escuelas. Según una, dada la constancia de la masa atmosférica terrestre, el monto de lluvia tiene en cada sitio un tope, resultante de la interacción de factores meteorológicos. Así, la PMP es el límite superior racional, justificado climatológicamente, de la tasa de precipitación (McKay, 1973; Chow et al, 1994). Al enfatizar la condición de máxima, la idea de una barrera física insuperable coincide con la que Horton (U.S.Weather Bureau, 1960) expuso para crecidas: "Una pequeña corriente no puede producir una crecida mayor que el Mississippi por muchas de las mismas razones que una gallina no puede poner un huevo de una yarda de diámetro". Este es el sustento de las evaluaciones hidrometeorológicas de la PMP. Según la otra escuela, que privilegia el carácter de probable, la PMP se asume como un evento con probabilidad finita, aunque sumamente baja, de ser excedido (Hershfield, 1981; Bertoni y Tucci, 1993). En tal concepción se fundan las estimaciones estadísticas, que son coherentes al utilizar distribuciones de frecuencia asintóticas, pues admiten una probabilidad tendiente a cero, no nula, de sobrepasar la PMP.
100
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Si bien se puede asociar una recurrencia a la PMP (adoptando una función de densidad dada), solo tiene significado académico, pues, por referirse a un evento tan poco probable, invalida la extrapolación, al resultar varios órdenes de magnitud superiores a la longitud de la muestra. Aunque se encontró gran variación, se suele aceptar que los tiempos de retorno 4 5 de estimaciones hidrometeorológicas y estadísticas son de 10 y 10 años respectivamente (Bertoni y Tucci, 1993). Los métodos estadísticos dan resultados consistentes con la experiencia, lo cual no siempre se logra por métodos racionales (McKay, 1973). Dejando la disputa de fondo, cuando se dispone de suficientes datos de lluvia, hay consenso en usar métodos estadísticos si es escasa la información climática (punto de rocío, vientos dominantes, efectos orográficos). Siendo esa la situación habitual, su simplicidad convierte a los métodos estadísticos en predilectos. Entre ellos, el más aceptado (WMO, 1973) fue desarrollado por Hershfield (1961a, 1965).
8. 2
MÉTODO DE LA ENVOLVENTE
La técnica de Hershfield se sugiere para cuencas de hasta 1000 km² (Bertoni y Tucci, 1993), pero se usó en áreas mucho mayores (McKay, 1973; Muñoz Espinosa, 1981; Sugai y Fill, 1990; Caamaño Nelli y García, 1998a; Caamaño Nelli, García y Dasso, 2000b), incluso de millones de km² en Norteamérica (U.S.Weather Bureau, 1960; Hershfield, 1981). Aunque se empleó para intervalos menores (WMO, 1973), ha sido utilizada mayoritariamente con series pluviométricas, en lapsos de hasta 5 días (Sugai y Fill, 1990). Se basa en minimizar la probabilidad de ocurrencia de la tormenta, maximizando el factor de frecuencia y en la ecuación general de Chow (1951).
y =
μ y + Φ y . σ y
(8.1)
donde y es la variable aleatoria (en este caso, lámina máxima anual de lluvia diaria), y su media y y su desvío estándar. Definido como número de desvíos estándar entre el dato y la media, Φy depende de la recurrencia, del tipo de función de densidad probabilística, de su sesgo y de la longitud de la serie medida. Puesto que se asume que la lámina tiende a un límite superior (la PMP), con probabilidad bajísima de excedencia, habrá un tope en el número de desvíos estándar en que el dato estará por arriba de la media, es decir, un valor máximo, PMP, para el factor de frecuencia. Entonces, la precipitación máxima probable se puede expresar (Hershfield, 1961a) como:
PMP =
μ y + Φ P M P . σ y
(8.2)
El método de Hershfield estima ΦPMP a partir de valores n-1, correspondientes a la mayor lámina, ym, de la serie anual de lluvia de cada puesto de una región:
Precipitación Máxima Probable. Estimación Estadística Regional Diaria
Φ n−1 =
101
y m − μ n − 1 σ n − 1
(8.3)
El subíndice n-1 simboliza que, al calcular la media y el desvío, se excluye el mayor de los n datos anuales, ym, maximizando el valor de Φ como se aprecia en la ecuación (8.3). El efecto de ésta corrección equivale a medir el máximo de lluvia registrado después de que μn y σn fueron calculados. Simula cómo se alteran los estadísticos al agregar una lluvia mayor, usando y m en la serie trunca en vez de PMP en la total. Graficando en ejes cartesianos los pares Φn-1 versus μn (serie completa) de todos los puestos, se asume que su envolvente ΦPMP refleja la PMP regional en función de la media de máximos de lluvia anual Para estimar la PMP en sitios carentes de registros, la solución pasa por trazar mapas de isolíneas de los estadísticos de la serie completa, μn y σn (o coeficiente de variación, σn/μn), extraer sus valores en el punto incógnita y resolver la ecuación (8.2) (Hershfield, 1961b; WMO, 1973; Schreiner y Riedel, 1978). Los valores de Φn-1 que obtuvo Hershfield (1961, 1965, 1981) no presentan un patrón geográfico. Mediante la ecuación (8.2) es posible también deducir valores locales suficientes para trazar mapas de isolíneas de precipitación máxima probable o de fracciones de la PMP de interés para diseño, por ejemplo 1/2. La posibilidad de que Φ varíe por otras causas -ubicación y mecanismo del fenómeno (Wiesner, 1970), valores atípicos en la muestra, longitud de serie, registros de la duración de interés y área cubierta por la tormenta- ha sido considerada y hay ábacos para corregir algunos de esos factores (WMO, 1973). Hershfield (1961a) recomienda tres tipos de corrección, tanto para la media μn de la serie completa (empleada como variable independiente de la función envolvente en la representación gráfica y en el cálculo de la PMP) como para el desvío estándar σn que requiere la relación (8.2). Primero, para contrarrestar la presencia de valores atípicos (outliers), los factores de ajuste de la media, F0μ, y del desvío, F0σ, se extraen (según la extensión de registro, en función de μn-1/μn y de σn-1/σn respectivamente) de sendas familias de rectas. Luego se normalizan los estadísticos, para llevarlos a una condición equivalente a 50 años de longitud de serie, con curvas bidimensionales de dependencia con n. Las figuras 8.1 y 8.2 exhiben los ábacos para F0μ y F0σ (en éste se interpoló la línea de 20 años, ausente en el original). La Figura 8.3 refleja cómo varían los coeficientes de normalización a 50 años, F1μ y F1σ, frente a la extensión temporal de la serie. Por último, μn y σn se rectifican conforme a la relación regional entre máximos diarios (medidos en pluviómetro) y máximos pluviográficos en 1440’ (móviles a lo largo de cada año) que no cortan los eventos arbitrariamente, al no fijar un horario de medición.
102
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
1,1 F0μ 1,0
Años de serie 10 15 20 30 50
0,9
0,8
0,7 0,7
0,8
μn-1 /μn
0,9
1,0
Figura 8.1: Ajuste de la media por máximos atípicos (adaptado de Hershfield, 1961a) 1,2 F0σ 1,0 0,8
Años de serie 10 15 20 30 50
0,6 0,4 0,2 0,2
0,4
0,6
σn-1 /σn
0,8
1,0
Figura 8.2: Ajuste del desvío por máximos atípicos (adaptado de Hershfield, 1961a) 1,06
1,3 F1
F1
Factor para la media 1,04
1,2
Factor para el desvío estándar
1,02
1,1
1,00
1,0 10
15
20
25
30
35
40
45
50serie años de
Figura 8.3: Extensión de longitud de serie a 50 años (adaptado de Hershfield, 1961a)
Precipitación Máxima Probable. Estimación Estadística Regional Diaria
103
Hershfield propuso un coeficiente de corrección 1,13, pero el valor debería ser el cociente medio de las series pluviográficas de la región y depende del método de cálculo. Usando funciones probabilísticas teóricas, tiende a 1 al aumentar la recurrencia del dato, de modo que esta corrección sería improcedente en la estimación de PMP. A partir de posiciones de gráfica no existe esa tendencia (Caamaño Nelli, García y Dasso 2001). Una vez ajustados los estadísticos de la serie de cada estación y representados los pares Φn-1 versus μn, falta precisar cómo se deduce ΦPMP a partir de ellos. Hershfield (1961a) postuló 15 como factor de frecuencia máximo en cualquier situación, idea que rectificó en 1965. Otros autores (Sugai y Fill, 1990) adoptaron límites inferiores en Sudamérica (9 al sur de Brasil; 10 u 11 en Colombia, según la duración) y hasta ΦPMP = 25 en Norteamérica (McKay, 1973). Wiesner (1970) señala que los valores de Φn-1 tienden a decrecer según aumenta la media de máximos anuales. Hershfield (1965, 1981) afirma que varían inversamente. En tal caso, la envolvente sería asintótica a ambos ejes; pero los gráficos de este autor muestran que intersecta el de ordenadas, para ΦPMP = 20 en base a datos oficiales y para ΦPMP = 40 si se incorporan observaciones no oficiales. La existencia de la intersección es discutible, porque se daría si la media de máximas anuales fuera nula (μn = 0), implicando que, en muchos años de registro, ningún puesto de la región midió lluvia alguna. Dicha situación es irreal e irrelevante para el objetivo, porque la ecuación (8.3) resulta insoluble (tornando inaplicable el método) y, sobre todo, porque carece de interés estimar la PMP donde no llueve. Acercarse a la condición crítica lo suficiente para dilucidar experimentalmente la cuestión no parece factible. En el plano teórico, una función asintótica en ordenadas es coherente con la idea de una barrera física insuperable, en tanto que sería razonable delinear un tope finito, con probabilidad de excedencia mínima, en un método estadístico. Sin embargo, el mismo Hershfield (1961) dice que “...no hay bases para detener [el cálculo] en un nivel de probabilidad particular”, o sea, que no las hay para acotar Φ. Cabe así el comentario de Hershfield (1961) sobre distribuciones de extremos: “...como cualquier curva matemática, la curva teórica presenta una pintura teórica más que real de qué ha ocurrido o puede ocurrir”.
8. 3
EXPERIENCIAS EN LA REGIÓN CENTRAL DEL PAÍS
La PMP en Córdoba ha sido objeto de varios análisis, siguiendo la técnica de Hershfield. Dichos estudios, más allá de arribar a resultados de interés práctico para la Provincia, dieron lugar a precisar aspectos metodológicos y a conclusiones que exceden el marco regional. Las primeras pruebas (Caamaño Nelli y García, 1998a; Caamaño Nelli, García y Dasso, 1999a), resumidas a continuación, se ocupan de la Precipitación Máxima Probable diaria, en tanto que las más recientes (Caamaño Nelli, García y Dasso, 2000b y 2000c), tratadas en el siguiente capítulo, versan sobre la variación del monto de la PMP con su duración.
104
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
8.3.1 ENSAYO EN EL NOROESTE DE CÓRDOBA En su trabajo inicial, Caamaño Nelli y García (1998a) utilizaron 53 series pluviométricas, con longitudes de 30 a 50 años, registradas en el noroeste serrano y tras serrano de la región de estudio. En la necesidad de expresar analíticamente la envolvente del factor de frecuencia, ensayaron las funciones exponencial negativa (acotada) y potencial inversa (asintótica) dadas en (8.4) y (8.5), y dedujeron los parámetros ( 0 y k o a y b) aplicando la función respectiva a los dos puntos extremos de la muestra, para igualar el número de ecuaciones e incógnitas.
Φ PMP = Φ0 . e − k .
μ n
(8.4)
ΦPMP = b / μ n a
(8.5)
A la hora de decidir, además de considerarla más coherente con el enfoque estadístico, prefirieron la exponencial para el caso de ensayo debido a máximos de ΦPMP aparentemente más razonables y a una impresión visual de mejor ajuste al conjunto. Esa función intersectó el eje de ordenadas en 0 = 45,37. Definida la función ΦPMP, los valores de precipitación máxima probable por estación se calcularon con la ecuación (8.2), usando los estadísticos corregidos de la correspondiente serie de máximos anuales. Esos valores se aplicaron para representar con isolíneas el campo espacial de PMP. Se usaron también para estimar las recurrencias asociadas, adoptando una función de densidad lognormal. La Figura 8.4 exhibe los pares Φn-1 versus μn para las 53 estaciones del NW de Córdoba que considera ese estudio y 4 posibles envolventes: II y IV exponenciales, I y III potenciales. 16
I 14
II 12
III
10
IV
8 6 4 2 0 60
70
80
90
100
Media de las series de lámina máxima anual precipitada en 24 horas (mm)
Figura 8.4: Envolventes exponenciales y potenciales de los factores de frecuencia máximos, para 53 estaciones pluviométricas del noroeste de la Provincia de Córdoba
Precipitación Máxima Probable. Estimación Estadística Regional Diaria
105
Los valores máximos de Φn-1 deducidos por Caamaño Nelli, García y Dasso (1999a) en el rango de muestreo son inferiores a los encontrados en Norteamérica (Hershfield, 1961a, 1981; McKay, 1973). Se asemejan a los aportados por Sugai y Fill (1990) para Sudamérica. Incluso los límites de ΦPMP referidos por estos autores (entre 9 y 10 para esta duración) son coherentes con los aquí expuestos, tomando en cuenta que, según el método empleado, el factor de frecuencia decae a medida que aumenta la media de lluvias máximas anuales. En la muestra analizada en Brasil, por ejemplo, el rango de μn comienza en un valor similar pero su extremo superior duplica prácticamente al de Córdoba, puesto que los datos de referencia provienen de una región más húmeda. Se observa que, aun en la función con menor 0, el valor de intersección de la envolvente para Córdoba (45,37) es más del doble del 20 recomendado en la literatura (WMO, 1973). No obstante, se acerca a la conclusión de Hershfield (1981) basada en datos no oficiales, en especial en vista de que, para arribar a 0 = 40, el autor deja varios puntos sobre la curva. Estos contrastes confirman que, si bien es factible que la envolvente (o el comportamiento de ΦPMP) de dos regiones se parezca, en modo alguno se le puede asignar validez universal. A pesar de las fluctuaciones de μn, σn, Φn-1 y ΦPMP entre los puntos extremos de la muestra, las PMP locales se asemejan bastante, ratificando que la estimación regional tiene sentido. La variabilidad de ΦPMP muestra lo ilógico de usar un máximo regional único. Por ejemplo, si se adopta el provisto por la envolvente IV (ΦPMP = 10,53), al aplicarlo al punto de mayor media lleva a PMP = 468 mm, monto obviamente exagerado, que casi duplica el obtenido. La notable diversidad de valores de las recurrencias asociadas indica una probabilidad muy superior, de que ocurra la PMP, en puntos con máximos elevados que en otros de la región. Con la curva IV, los mayores retornos tienen el orden de magnitud reportado en la literatura. Como informan otros autores, el trabajo de Caamaño Nelli, García y Dasso (1999a) no detecta asociación de ΦPMP ni de PMP con rasgos geográficos o climáticos.
8. 4
SENSIBILIDAD A LAS CONDICIONES EXPERIMENTALES
En el segundo análisis (Caamaño Nelli, García, y Dasso, 1999b), se aplicó la técnica de Hershfield a 3 conjuntos de series de máximos anuales de lluvia diaria de estaciones provinciales, cada uno de los cuales incluye al precedente, a saber: a) 51 series, con longitudes de 30 a 50 años, del noroeste montañoso de Córdoba. b) 82 series, con 14 a 50 años de información, de la misma subregión. c) 140 series, con igual rango de registro que en el caso b, repartidas en toda la región.
El conjunto a es similar al empleado en el estudio citado previamente. La elección de las demás muestras lleva la intención de establecer el efecto de reducir la exigencia de extensión de las series, a cambio de contar con mayor densidad de puntos de captura
106
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
de datos (al pasar de a a b), y de cuadruplicar el área considerada, incorporando zonas más bajas y llanas, carentes de mediciones prolongadas (al pasar de b a c). El valor de Φn-1 para cada estación se calculó sobre la serie trunca (excluyendo el mayor de los datos) con la ecuación (8.3). La media, μn, y el desvío estándar, σn, de la serie completa, requeridos por la relación (8.2), se sometieron a las correcciones indicadas por Hershfield. La PMP se rectificó contemplando la relación regional entre máximos diarios (captados en pluviómetro, en horario fijo) y pluviográficos en 1440 minutos móviles a lo largo de cada año (que no cortan los eventos arbitrariamente). En vez del 1,13 propuesto por Hershfield, el coeficiente de corrección fue 1,076, cociente medio de las 7 series pluviográficas procesadas de la región. Dado que el valor del coeficiente depende del método de cálculo, se partió de posiciones de gráfica, para que no tienda a 1 al crecer la recurrencia (como sucede con funciones probabilísticas teóricas) y, al promediar, se excluyeron ambos extremos, que exhiben incrementos relevantes: para retorno inferior a 2 años y el valor final de la serie, cuyo retorno es el más incierto con esta técnica. Los valores de PMP rectificados se aplicaron para representar con isolíneas el campo de distribución espacial, por una parte, y, por otra, para estimar las recurrencias asociadas, comparando finalmente ambos productos con los obtenidos en otros estudios. Tales recurrencias solo tienen significado académico, pues, por referirse a un evento tan poco probable, invalidan la extrapolación, al resultar varios órdenes de magnitud superiores a la longitud de la muestra. Asignar períodos de retorno implica adoptar una función de densidad probabilística. Aquí se asumió la lognormal, por haber probado que es la más apta para esta región (Caamaño Nelli y García, 1999; Caamaño Nelli, García y Dasso, 1998a), disponer de técnicas de cálculo y transposición objetivas, coherentes con el enfoque sustentado (Caamaño Nelli y García, 1999) y haberla aplicado a las estaciones de este ensayo (Caamaño Nelli, García y Dasso, 1998a). La recurrencia T fue despejada (Caamaño Nelli y García, 1997) de la siguiente relación (donde C = ln [1+(σn /μn)²]):
Φ
exp{C 1 / 2 .[2,584458.(lnT )3 / 8 2,252573] C / 2} 1 σ n / μ n
(8.6)
La Figura 8.5 exhibe los pares Φn-1 versus μn para los tres conjuntos de estaciones descriptas y las envolventes exponenciales correspondientes, según la ecuación (8.4). La Tabla 8.1 presenta los estadísticos n y n-1 para los puntos extremos del gráfico (en ambas direcciones), correspondientes a los conjuntos de estaciones a, b y c. Incluye además los parámetros de las curvas exponenciales (intersección con el eje de ordenadas 0 y pendiente logarítmica k), las estimaciones de PMP (según esas envolventes), de PMP corregida y del período de retorno T (resultante de asumir distribución Lognormal de los máximos anuales).
Precipitación Máxima Probable. Estimación Estadística Regional Diaria
12 P M P
10
Φ n-1
51 puestos
Φ n-1
82 puestos
Φ n-1 140 puestos
y 1 n
107
Φ PMP 51 puestos 8
Φ PMP 82 puestos
, a i c n 6 e u c e r f 4 e d r o t c 2 a F
Φ PMP 140 puestos
0 50
75
100
n
125
Figura 8.5: Factores de frecuencia versus media de máximos anuales de lluvia diaria, con sus respectivas envolventes, para tres conjuntos diferentes de pluviómetros
Tabla 8.1: PMP y recurrencia asociada en puntos extremos de tres conjuntos de series a: Φ0 = 75,47 k = 0,033 b: Φ0 = 73,40 k = 0,030 T T μn Φn-1 ΦPMP PMP μn Φn-1 Φ PMP PMP mm años mm mm años mm 90,4 71,4 63,0 55,9
3,69 7,35 1,97 3,25
3,95 7,35 9,67 12,17
238 286 91,6 4,82 3 231 115.10 76,9 7,47 3 300 407.10 76,4 1,60 6 294 26.10 55,9 3,25
4,82 7,47 7,58 13,93
c: Φ0 = 30,88 k = 0,018 μn Φn-1 Φ PMP PMP T Mm años mm
283 769 123,8 2,97 3,14 3 274 64.10 76,9 7,47 7,47 3 268 95.10 95,3 1,54 5,32 6 328 244.10 55,9 3,25 11,00
255 127 3 274 64.10 3 294 1,8.10 6 272 5,9.10
8.4.1 EFECTOS DE DENSIDAD DE RED Y LONGITUD DE SERIES La comparación entre la muestra a (51 estaciones con 30 a 50 años de longitud) y la b (que adiciona otras 31, con 14 a 29 años) evidencia que incorporar un 60 % de series más cortas no modifica de manera sustancial la media de n (pasa de 73,4 a 73,9) o la de n-1 (pasa de 3,78 a 3,68) ni los rangos registrados de estas variables, como se aprecia en la Figura 8.5 y en la Tabla 8.1. Sin embargo, los puntos extremos, que definen la envolvente con los nuevos datos, están desplazados apreciablemente hacia medias mayores (v.g., de 3,69 a 4,82), lo cual disminuye los valores de los parámetros de la función. En consecuencia, la curva de la muestra b parte de una ordenada 0 inferior, con menor pendiente k, intersecta la traza de la muestra a en n ≈ 9 y aparenta ser aproximadamente paralela a ella en el sector del plano representado en el gráfico.
108
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
El incremento de la PMP estimada en ese sector, al agregar más estaciones, llega al 12% en el punto de menores lluvias máximas, mientras que las recurrencias asociadas pueden elevarse hasta en un orden de magnitud (última fila de la Tabla 8.1). La disminución en las filas centrales se debe a que los pares extremos en ordenadas no son los mismos en ambos conjuntos de series. El análisis de ambas funciones de estimación evidencia que la condición límite 0 casi cuadruplica el valor 20, aconsejado en la literatura específica (WMO, 1973). Dado que los datos de n-1 de este estudio son inferiores a los usados para llegar a ese guarismo, el valor 0 aquí obtenido implica que la pendiente de las envolventes es muy superior a la deducida para otras regiones, es decir, que el factor de frecuencia de la PMP es mucho más sensible a la variación de la media de máximos anuales de lluvia diaria. Como consecuencia de ello, para una u otra muestra, hay una notable diversidad de valores de recurrencia, indicando una probabilidad muy superior de que ocurra la PMP en las estaciones con máximos de lluvia elevados que en otros de la misma región. En el entorno experimental, las mayores estimaciones que provienen de la función a, y más aún de la b, superan el orden de magnitud reportado en la literatura. La Tabla 8.1 resalta que, pese a la variación de μn, Φn-1 y ΦPMP entre puntos extremos, las PMP locales de cada muestra se asemejan notablemente (difieren de su media en 10% a lo sumo). De ello se concluye que este tipo de evaluación regional tiene sentido.
8.4.2 EFECTO DEL TAMAÑO DEL SISTEMA DE ENSAYO Pasando al contraste del conjunto b con el c, recuérdese que la inclusión de 58 puestos más eleva su número en 70 %, llevándolo a 140, distribuidos en un área muy superior (165.000 km²), que abarca zonas más bajas, llanas y con mayor precipitación anual. Pese a ello, el rango del factor de frecuencia n-1 observado (Tabla 8.1) casi no cambia ni hay gran alteración de su media (pasa de 3,68 a 3,41). Lo mismo muestra la media de n (va de 73,9 a 77,7), pero en este caso aparecen datos apreciablemente superiores, asociados a valores de n-1 bastante mayores a los que estimarían las funciones a o b. Estos pares atenúan notoriamente la pendiente de la envolvente, llevando la ordenada límite para Córdoba a 0 = 30,88, parámetro intermedio entre el 20 recomendado y el obtenido por Hershfield (1981) con base en datos no oficiales, es decir 0 = 40. La reducción de pendiente hace que las estimaciones de ΦPMP, y en consecuencia de la PMP, decaigan para n < 76,9 y aumenten en caso contrario, frente a la muestra b. En el enclave más seco (Tabla 8.1, última fila) la PMP baja 17 %. En tanto que, para el punto de lluvias más intensas, el 255 de la tabla indica 20 % de incremento, ya que con la ecuación b se arribaría a PMP = 205,1 mm. Este último ejemplo da idea del riesgo que se corre al extrapolar la curva fuera de la zona geográfica en que fue deducida. La menor tasa de descenso de la curva que acota el conjunto c cambia el rango de las recurrencias asociadas, debido a que el máximo de T (Tabla 8.1, última fila) baja cuarenta veces, ubicándose en el orden de magnitud convencionalmente aceptado.
Precipitación Máxima Probable. Estimación Estadística Regional Diaria
109
Aún así, la varianza de los valores de T es grande y la probabilidad (muy superior a otras de la región) de que se produzca la PMP en la estación que registró el tope de intensidad de lluvia no puede ser despreciada, dado que la recurrencia es casi secular. El paso del conjunto b al c no modifica el rango de PMP estimada, ratificándose por lo tanto las observaciones hechas para aquel caso, en cuanto a la similitud de valores locales de PMP y al sentido de estimaciones regionales de este tipo. La Figura 8.6 muestra la distribución espacial del factor de frecuencia extremo, marcando en línea gruesa la subregión montañosa donde se ubican los conjuntos a y b. En ella se aprecia la uniformidad de ΦPMP, cuya escasa alteración no exhibe tendencias asociables a rasgos fisiográficos o climáticos, en consonancia con lo que reportan otros autores, salvo mayor variabilidad en la zona montañosa. Otro tanto se puede decir del mapa de precipitación máxima probable, derivado de aquel. En todas las muestras, la variabilidad de ΦPMP indica la inconveniencia de un máximo regional único. Por ejemplo, si se adopta el más alto registrado (7,47, intersección de las envolventes b y c), al aplicarlo al punto de mayor media de intensidad ( n = 123,8) conduciría a PMP = 424 mm, monto exagerado, que incrementa en 2/3 el de la tabla.
8. 5
SÍNTESIS DEL ESTUDIO REGIONAL
En virtud del precedente análisis de resultados, se puede afirmar lo siguiente: • Emplear un tope regional único de ΦPMP, en vez de la envolvente, lleva a valores exagerados de PMP, incompatibles con la hipótesis de unicidad del fenómeno. • El ábaco ΦPMP versus μn es válido solamente para la región de origen; su intersección con el eje de ordenadas (Φ0) tampoco tiene un valor universal. • Como reportan otros autores, no se detecta asociación de ΦPMP ni de PMP con rasgos geográficos o climáticos. Hay escasa variación de la media y el rango del factor de frecuencia, tanto al incorporar un 60 % de series adicionales en un mismo sector, como al cuadruplicar el área, incluyendo zonas más húmedas, bajas y llanas. • Aunque puede incrementar las estimaciones locales si los nuevos puntos son más críticos, aumentar el número de estaciones de una zona, bajando la exigencia de longitud de serie, no modifica el comportamiento general del factor de frecuencia. • Los resultados para la región completa se asemejan a los reportados en la literatura, tanto en lo referido al parámetro Φ0 como a las recurrencias máximas de la PMP. • En cambio, esos patrones son ampliamente rebasados en el sector serrano, sea al usar las series con más de 30 años o todas. Allí, el factor de frecuencia de la PMP es mucho más sensible a la variación de la media de máximos anuales de lluvia. • Dicho evento extremo tiene una probabilidad de ocurrir muy superior en los puntos con máximos más elevados, aunque los valores de PMP sean bastante homogéneos.
110
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
LAGU MAR
Figura 8.6 : Distribución espacial del factor de frecuencia máximo, Φ PMP , en Córdoba
Capí tulo 99 .
.
V a ri a l a P M P c o n l l a Du r a ci ó a ci ó ó n d e l ó n El e c ci ó l a E s c al a d e Di s ó n d e l se ñ o G a b riel C a a m a ñ o N el l li
9. 1
VARIACIÓN DE LA PMP CON LA DURACIÓN DE LLUVIA
Para diseño hidrológico, es común deducir láminas de inferior duración de los datos de lluvia diaria. García et al (1998) detectaron estrechos vínculos entre las máximas pluviométricas, las de 24 horas y las de menor duración en la región central de Argentina; propusieron un método para evaluar dichos cocientes, y establecieron límites y errores medios esperables en su utilización (Capítulo3). Aplicadas a las PMP diarias locales que aporta la técnica de Hershfield, esas relaciones permitirían estimar también las PMPd, para duraciones d inferiores, habida cuenta de que Caamaño Nelli et al. (1998a) demostraron la representatividad de los pluviógrafos de origen en sendas zonas asociadas, que cubren la totalidad del territorio cordobés. Otra opción es plantear los pares de valores PMPd versus duración, que parecen ajustar bien a una curva potencial, de la forma: b
PMPd = a ⋅ d
(9.1)
Brandao y Rodrigues (1999) utilizaron este criterio en Portugal sobre series locales, pero se podría aplicar regionalmente, dada la representatividad pluviográfica aludida. Las envolventes de registros mundiales de lluvia elaboradas por varios autores (Linsley et al., 1982; Chow, 1994; Viessman y Lewis, 1996) se ven reflejadas por expresiones similares a la (9.1), cuyo empleo para estimar láminas de PMP es práctica habitual en distintos lugares del planeta.
112
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Asumiendo que el valor del parámetro b calibrado sobre PMP se asemeja al de lluvias máximas medidas, Campos Aranda (1999), propone trazar en papel logarítmico (donde la pendiente de la función es constante) una paralela a la recta mundial, por el punto que representa la PMP regional de 24 horas, y extraer de ella los valores de PMP d. Este estimador (igual que los antes citados, excepto las envolventes planetarias) provee un valor único de PMP por duración, si se aplica a máximos regionales, o resultados diferentes por pluviómetro, que permiten apreciar la variación territorial de la PMP.
9. 2
CONTRASTE DE TÉCNICAS EN CÓRDOBA
Para estimar las precipitaciones máximas probables de 5 a 1440 minutos en los 140 pluviómetros adoptados en la Provincia de Córdoba, se ensayaron cinco alternativas: [a] Emplear el método de Hershfield con las 7 series pluviográficas zonales base, para cada duración. [b] Extraer de la envolvente diaria la PMP en 24 horas de cada pluviómetro y calcular, mediante los cocientes entre láminas, las PMPd de otras duraciones por localidad. [c] Aplicar la envolvente de registros máximos mundiales de lluvia de Chow (1994). [d] Usar la función (9.1) según la técnica de Campos Aranda (1999), con el exponente mundial (b=0,475), y deducir el valor del factor a de la serie regional para 24 horas. [e] Calibrar los dos parámetros de la ecuación (9.1) a escala regional, con 70 pares de valores PMPd versus d, surgidos de las siete series pluviográficas de Córdoba. En la opción [a], los valores de Φn-1, para las series de cada estación y cada duración, se calcularon con la ecuación (8.3) sobre las series truncas, excluyendo el dato mayor. Los parámetros de la serie completa, μn (variable independiente de la envolvente) y σn, de la relación (8.2), sufrieron dos correcciones, conforme a Hershfield (1961a): para compensar datos atípicos y equiparar los estadísticos a los de una serie de 50 años. Una vez ajustados los estadísticos de la serie de cada estación y representados los pares Φn-1 versus μn, se utilizó la exponencial negativa (8.4) como expresión analítica de las envolventes. Se fijó para todas las duraciones el valor del parámetro 0 de la curva de 24 horas, según propone la WMO (1973), y k se obtuvo aplicando la ecuación al punto extremo de cada muestra. Definida la función ΦPMP, los valores locales de precipitación máxima probable se calcularon con la ecuación (8.2). En la alternativa [b] se partió de PMP locales en 24 horas, que surgen de la envolvente de 140 pluviómetros (Figura 8.5), trazada en forma similar que en [a] (Caamaño Nelli et al., 1999b). Al aplicar a esos valores cocientes entre láminas de distintas duraciones (García et al., 1998), se obtienen PMPd puntuales, sin generar una familia de curvas ΦPMP comparable a la del caso anterior. La técnica [d] flexibiliza la ecuación planetaria de registros máximos [c], al incorporar información regional, y más aún la [e], que prescinde de los dos parámetros originales.
Variación de la PMP con la Duración. Elección de la Escala de Diseño
113
El carácter intrínseco de incógnita de las PMPd impide adoptar un patrón de contraste real para las estimaciones. En consecuencia, la representatividad que se atribuya a los resultados de cada metodología provendrá necesariamente de consideraciones lógicas, aun cuando la comparación de sus valores numéricos (entre si y con láminas asociadas a recurrencias altas) sea lo que las sustente. La Figura 9.1 muestra los pares Φn-1 versus μn, de 10 duraciones en los 7 pluviógrafos. 8
5
n- 1
10 15 30 60
6
4
120 180 360 720
2
1440
0 0
20
40
60
μ n [mm] 100
80
Figura 9.1: Φ n-1 por duración en los 7 pluviógrafos base de la región
En la Figura 9.2 se exhiben las envolventes de distintas duraciones, estimadas con la ecuación (8.4) y los puntos extremos de la Figura 9.1, según la técnica [a]. La Figura 9.2 incluye, además, la curva de 24 horas deducida de los datos diarios de 140 pluviómetros (Pm), de la que parte el procedimiento [b]. PMP
5'
10'
30
15'
30'
60'
120'
20
180'
360'
720'
1440'
Pm
10
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
n
(mm) 90
Figura 9.2: Envolventes Φ PMP por duración, según Hershfield, para Córdoba
114
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
En esta gráfica se ve que la envolvente para 24 horas basada en datos pluviométricos (Pm) supera en todo el rango a la que proviene de información pluviográfica (1440’). Esto tiene una explicación sencilla: como los 7 puntos con que se estimó la segunda curva se encuentran entre los 140 que emplea la primera, ésta está por encima porque hay otras estaciones de la región, carentes de pluviógrafo, que presentan condiciones más extremas, es decir factores de frecuencia mayores, a igualdad de máxima media. La incapacidad de la red pluviográfica para detectar los valores más críticos, debida a su baja densidad espacial, es, entonces, la causa de la subestimación que produce el método [a], que lleva a desecharlo para el cálculo de las PMPd cuando se dispone de pocos registradores continuos. Con mayor razón, cabe afirmar que resulta ilógico aplicar la técnica de Hershfield en un punto, sin el trazado previo de las envolventes regionales. El valor de Φn-1 estimado localmente para una duración dada no tiene porque ser el que determina la envolvente. La Figura 9.3 y la Tabla 9.1 exhiben la variación de la Precipitación Máxima Probable regional con la duración, según el método de cálculo. Incluyen las alturas de lluvia de retorno 200 años (Caamaño Nelli y García, 1999), útiles para el análisis, como se verá. 1000 PMP (mm)
100
Técnica [a] Técnica [b] Técnica [c] Técnica [d] Técnica [e] T=200 años
10 1
10
100
1000
Duración (minutos) 10000
Figura 9.3: PMP regional, en función de su duración, estimada con distintas técnicas
Tabla 9.1: Valores medios de PMP [mm] de las 140 estaciones de la región de estudio
Técnica de estimación [a] Hershfield: 7 series pluviográficas [b] Hershfield: 140 pluviómetros [c] Chow: envolvente mundial máx. [d] Campos: ec.(9.1) b=0,475; a = 84 [e] Brandao: ec.(9.1) b=0,087; a=289 Lluvias de recurrencia bicentenaria
5´ 10´ 49 54 82 120 130 180 26 36 233 247
15´ 55 150 218 44 256
30´ 1 h 2 h 3 h 6 h 12 h 24 h 59 151 170 233 328 316 328 200 239 267 294 321 358 380 304 422 587 711 988 1374 1909 60 84 117 142 197 274 380 272 289 307 318 337 358 380
48 69 82 108 139 177 197 225 241 243
Variación de la PMP con la Duración. Elección de la Escala de Diseño
115
En la gráfica se aprecia que la relación basada en datos pluviométricos, [b], supera en casi todo el rango a la proveniente de información pluviográfica exclusivamente, [a], debido, como se dijo, a la escasa densidad espacial de ésta. Un argumento más contundente para desechar el método [a] es que estima, en general, por debajo de las láminas de recurrencia bicentenaria para d < 3 horas, siendo que el período de retorno atribuido a la precipitación máxima probable es superior a 10 4 años (Campos Aranda, 1999). El comportamiento errático del estimador [a] refleja que, como el trazado de las envolventes ΦPMP es independiente para cada duración, sus resultados no guardan coherencia entre si. Dada la información que lo sustenta, el valor de PMP más confiable es el de 24 horas. De allí que la estimación con la función potencial [c] para máximos observados, cinco veces mayor, resulte desmesurada. Esto se debe a que la región de estudio no se caracteriza por lluvias excepcionales a nivel planetario, y no invalida la función, sino su aplicabilidad a este caso. Si la alternativa [a] se descartó porque evalúa por defecto las PMPd, hay sobrado motivo para hacer otro tanto con la técnica [d] propuesta por Campos Aranda, ya que en el contraste con láminas bicentenarias se sitúa por debajo para persistencias de lluvia menores que 12 horas. La situación se invierte cuando, con el método [e], la pendiente de la ecuación (9.1) se ajusta para que sea envolvente de los pares regionales d versus PMP d, obtenidos según Hershfield ([b]). La recta se aparta por exceso de dichos pares, más marcadamente a medida que la duración disminuye, a punto tal que, por debajo de 30 minutos, supera la curva de máximas planetarias [c], la cual, como se dijo, implica una sobrestimación inaceptable. Por lo tanto, cabe afirmar que las funciones potenciales PMP versus duración no se adecuan a la región de estudio. La técnica [b] (que combina el método de Hershfield con cocientes entre láminas) es la única que se mantiene en todo el rango entre los límites de la curva mundial y la altura de lluvia para 200 años. Además, preserva con esta última (de incertidumbre de estimación menor que la de la PMP) una proporción aproximada del orden de 1,5. La curvatura de su traza en la Figura 9.3 evidencia que la PMP depende mas bien de una potencia del logaritmo de la duración de lluvia. Se pudo inferir, por regresión, que responde a una expresión de la forma: PMPd = b ⋅ (ln d ) a + c
(9.2)
La Figura 9.4 exhibe el ajuste de una función de ese tipo a los resultados regionales de la técnica [b] para Córdoba.
116
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
PMP 400 (mm)
PMP d = 166,8 . (ln d)0,58 -143 R² = 0,998
300
200
100
Hershfield (técnica [b]) Potencia del logaritmo 0 1
10
100
1000
Duración (minutos) 10000
Figura 9.4: PMP estimada mediante el método de Hershfield (con datos de 140 pluviómetros) y como función potencial del logaritmo de la duración de lluvia
En vista de la dependencia regional detectada, resulta muy cuestionable, en la aplicación del método de Hershfield, el uso indiscriminado de las gráficas ΦPMP versus μn propuestas por la WMO (1973) para bajas duraciones. Estos ábacos son válidos solamente para la región en que se dedujeron y su intersección con el eje de ordenadas (Φ0) tampoco tiene un valor universal (Caamaño Nelli et al., 2000b). Conforme a lo expuesto, se recomienda la técnica [b] para estimar lluvias máximas probables de lapso inferior a 24 horas en los 140 pluviómetros, pese a que el empleo de cocientes adimensionales sea discutible para evaluar láminas de duración menor a 1 hora (García et al., 2001). Al respecto, en la Figura 9.2 se ve que las envolventes ΦPMP deducidas con el método [a], correspondientes a lapsos de 5 a 30 minutos, se apartan de manera apreciable del comportamiento general mostrado en duraciones superiores. Ese efecto se traslada a la evaluación de las PMPd, como lo evidencia la Figura 9.3. En esta gráfica, en cambio, el procedimiento [b] genera una traza cuya homogeneidad (más notable en la Figura 9.4) avala, para el presente objetivo, el uso de cocientes entre láminas, aún en bajas duraciones. En las figuras 9.5 a 9.7 se muestra la distribución espacial de la Precipitación Máxima Probable en la región, para 2, 6 y 24 horas de duración. En estos mapas de isohietas se puede advertir la uniformidad de la PMP, cuya escasa fluctuación no expone tendencias asociables a las características fisiográficas o climáticas dominantes, de igual modo que representaciones de esa índole elaboradas por otros autores.
Variación de la PMP con la Duración. Elección de la Escala de Diseño
LAGUNA MAR CHIQUITA
Figura 9.5: Isohietas de PMP(mm) en 2 horas para Córdoba
117
118
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
LAGUNA MAR CHIQUITA
Figura 9.6 : Isohietas de PMP(mm) en 6 horas para Córdoba
Variación de la PMP con la Duración. Elección de la Escala de Diseño
LAGUNA MAR CHIQUITA
Figura 9.7 : Isohietas de PMP(mm) en 24 horas para Córdoba
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120
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
9. 3
SELECCIÓN DEL NIVEL DE DISEÑO
El valor o nivel de una variable de diseño se adopta en un rango o escala, establecida de acuerdo a cuál de sus extremos, en general desconocidos, se tome como referencia. Se parte del límite inferior si se conoce el comportamiento probabilístico del evento, situación ligada a períodos de retorno de orden secular o menor y a obras pequeñas. En el caso contrario, donde la falla de grandes estructuras hidráulicas implica pérdida de vidas humanas y/o graves daños materiales, la prevalencia de la seguridad justifica usar un valor límite estimado, de recurrencia muy superior. Para lluvias en particular, las herramientas de estimación son, respectivamente, la función intensidad-duración-recurrencia (i-d-T) y la Precipitación Máxima Probable (PMP), analizadas en los capítulos 5 y 8. La amplia gama de estados intermedios (en cuanto a nivel, recurrencia e impacto) se suele cubrir operativamente extrapolando el vínculo i-d-T o empleando fracciones de la PMP, a costa de aumentar mucho la incertidumbre o de perder el sentido conceptual de la estimación, según el caso. En principio, no hay garantía de equivalencia entre las dos definiciones de la escala de diseño, ni motivo para que los valores respectivos converjan en un punto que permita la partición razonable del rango. Por otra parte, se anticipó (Capítulo 1) que la división por magnitud de estructuras bajo riesgo depende de aspectos diversos: daños en caso de falla, vulnerabilidad debida a dimensiones de la obra (vertedero, altura) e importancia de la amenaza, expresada mediante el monto de la variable (volumen, caudal, precipitación), su recurrencia o una fracción del valor límite. Aunque están correlacionados, no hay correspondencia unívoca entre estos aspectos, dando lugar a una indefinición que debe ser resuelta. En este contexto, se denominan pequeñas las estructuras diseñadas para soportar el efecto de lluvias con lapso de retorno T ≤ 100 años; medianas, las incluidas entre este umbral y T=1.000 años; grandes, las planteadas para lluvias de mayor recurrencia. Las dos escalas de diseño, productos de extrapolar la función i-d-T y de partir la PMP, se pueden comparar en todo el rango de valores, lo que en efecto se hizo en la región de estudio. No obstante, el análisis se reduce al intervalo definido para estructuras medianas, puesto que, cuando la serie de datos abarca 30 años o más, hay consenso en extender el uso de la i-d-T hasta un siglo de retorno, en tanto que se la descarta para predicciones de alcance más que milenario, en favor de porcentajes de PMP.
9. 4
PLANTEO EXPERIMENTAL
Basándose en Caamaño Nelli, Colladon y García (2002), se estudia aquí el sector de intersección de las curvas derivadas por ambos enfoques, para las 7 estaciones pluviográficas representativas de Córdoba (Capítulo 1), a saber: Córdoba Observatorio (OC), Laboulaye (LA), Ceres (CS), La Suela (SU), Río Cuarto (RC), Marcos Juárez (MJ) y Villa Dolores (VD), a fin de detectar posibles correspondencias y arribar a criterios para dimensionar obras de mediana envergadura.
Variación de la PMP con la Duración. Elección de la Escala de Diseño
121
Después de haber desarrollado las dos metodologías de predicción de láminas de diseño, recién a esta altura resulta factible contrastarlas, como corolario lógico. El intervalo definido para estructuras medianas (100 a 1000 años de período de retorno) fue caracterizado con las curvas intermedias de recurrencia 200 y 500 años. La relación i-d-T se dedujo con el modelo DIT descripto en el Capítulo 5. La PMP, como función de la duración del evento, fue estimada con la adaptación del método de Hershfield denominada técnica b en el presente Capítulo. Caamaño Nelli, García y Dasso (1999a) dedujeron con esta técnica las PMP diarias de 140 puntos de la Provincia. Estos autores (2000c) establecieron además que combinar la envolvente de datos diarios y cocientes entre láminas es el único modo de reflejar la tendencia de intensidades de lluvia extraídas de una i-d-T y que la PMP así predicha decae, no como una potencia de la duración, sino de su logaritmo (ecuación 9.2). Dado que esta conclusión provino de la regresión de medias areales, se la constató, ajustando la ecuación (9.2) a las PMPd de cada puesto pluviográfico. Más aún, habida cuenta de que la variable transformada (ln d)a es precisamente el factor de persistencia, δy, del modelo DIT, se asumieron los valores del exponente de la ecuación (5.12), a = q, calibrando sólo los parámetros b y c.
9. 5
ANÁLISIS DE RESULTADOS
En las regresiones sobre la ecuación (9.2) para las siete estaciones pluviográficas, los coeficientes de determinación variaron entre 0,995 y 0,999, reflejando excelentes ajustes, con un rango similar al resultante en la calibración original de parámetros del DIT, para los mismos puntos. Esto es relevante, en vista de la independencia de las técnicas de estimación de PMP e i-d-T, y de que en el trazado de la envolvente ΦPMP no se utilizaron datos de ninguna de estas estaciones. Significa que el factor de persistencia, δy, es realmente el mismo en ambos modelos. En otros términos, implica que la relación intensidad-duración, establecida para la función i-d-T por el DIT, con bajos períodos de retorno, es preservada para la Precipitación Máxima Probable por la ecuación (9.2). Con respecto al factor de frecuencia, Φy, es constante en cada traza de recurrencia determinada del DIT, por la correspondencia biunívoca con T establecida en (5.7). En cambio, no figura en la ecuación (9.2), ya que se desconoce la recurrencia del valor límite estimado. Cabe esperar que Φy varíe en las curvas de porcentajes de PMP (como se detectara para medias areales) y que éstas líneas intersecten a las anteriores. Eso es lo que efectivamente ocurre, como muestra la Figura 9.8 para tres de las estaciones. Únicamente por comodidad visual, las gráficas son presentadas en el plano altura-duración, en vez del respectivo intensidad-duración.
122
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
200
CÓRDOBA OBSERVATORIO
) m 150 m ( h , a d a m 100 i t s e a n i m á 50 L
60 minutos
1440 minutos 5 minuto s
200 años 500 años 60 % PMP 70 % PMP
0 1,5
3,5
5,5
ln de la duración
7,5
250
MARCOS JUÁREZ
) 200 m m ( h , a d150 a m i t s e100 a n i m á L 50
60 minuto s
1440 minutos 5 minuto s
200 años 500 años 50 % PMP 60 % PMP
0 1,5
3,5
5,5
ln de la duración
7,5
150
VILLA DOLORES ) m m ( h100 , a d a m i t s e a n 50 i m á L
60 minuto s
5 minuto s
1440 minutos
200 años 500 años 50 % PMP 60 % PMP
0 1,5
3,5
5,5
ln de la duración
7,5
Figura 9.8: Láminas estimadas extrapolando la función i-d-T y dividiendo la PMP
Variación de la PMP con la Duración. Elección de la Escala de Diseño
123
Aunque se da una gama de casos, según el orden OC-LA-CS-SU-RC-MJ-VD, que no sigue ningún patrón geográfico, los escenarios pueden agruparse en tres conjuntos: Para Córdoba Observatorio, Laboulaye, Ceres y La Suela, predominan porciones de 60 a 70 % de la PMP en la banda de recurrencia de 200 a 500 años; para Río Cuarto y Marcos Juárez oscilan, en general, entre 50 y 60 %; y, para Villa Dolores, las fracciones de PMP son menores en ese sector del gráfico. La pendiente media de las trazas porcentuales es inferior que la de las isolíneas de T en la mayoría de las estaciones (CS, SU, RC y MJ), indicando que la recurrencia tiende a decaer con la duración. En otras (OC, LA) sucede lo contrario y sólo Vª Dolores muestra proporcionalidad entre ambas familias de curvas, es decir, estabilidad del período de retorno en las fracciones de PMP. Como las curvas se cruzan, el procedimiento para establecer la escala es trascendente al estimar el nivel de diseño de la precipitación, en particular de estructuras medianas, donde existen mayores dudas entre extrapolar la función i-d-T o dividir la PMP. Por cierto, el determinar que los resultados difieren entre sí, no aporta un criterio para la elección, puesto que se ignora cuándo un determinado evento tiene un período de retorno de 500 años o representa verdaderamente el 60 % del valor límite físico. En estas circunstancias, cobran importancia consideraciones conceptuales tales como que “ El método probabilístico [i-d-T] es menos subjetivo y teóricamente más manejable que el método determinístico [PMP].” (Chow, Maidment y Mays, 1994). Por otra parte, tener de una idea de la recurrencia del valor estimado, aun con elevada incertidumbre, constituye una ventaja innegable de la técnica probabilística, que acaba por volcar en su favor la decisión en el entorno intensidad-duración bajo análisis.
9. 6
CONCLUSIONES
Como hay consenso en predecir lluvias máximas con la relación i-d-T para pequeñas obras y partir de la PMP para las grandes, la discusión se centró en el procedimiento para estructuras medianas, con lluvias de recurrencia 100 años < T ≤ 1.000 años. Las técnicas para estimar PMP (Hershfield modificada) e i-d-T (DIT) son coherentes, ya que el factor de persistencia (transformada de la duración) es el mismo, conceptual y numéricamente, en ambas, pese a la independencia metodológica y de datos. O sea, el valor límite estimado preserva la relación intensidad-duración de recurrencias bajas. El factor de frecuencia (transformada del retorno), constante en las curvas del DIT, varía con la duración en las de porcentajes de PMP, que intersectan a las anteriores. En consecuencia, el método para definir la escala es decisivo al estimar el nivel de diseño, en especial de obras medianas, pero se carece de una pauta experimental para elegirlo. Consideraciones conceptuales sobre objetividad, sustento teórico y período de retorno asociado, aconsejan, entonces, adoptar el método probabilístico (extrapolar la función i-d-T) al predecir lluvias de diseño para estructuras hidráulicas de porte intermedio.
Capí tulo 110 .
.
L á mi n C ue n c a n a d e Ll uvi a a a E s c al a d e C p a r a I n te rv al o s d e M á xi m m a A nu al C a rl o s G G a s t ó C a t a G a b riel C a a m a ñ o N el l li ó n C al i n ni y G
10.1 CARACTERIZACIÓN ESPACIAL DE LAS LLUVIAS DE DISEÑO La estimación de caudal a partir de precipitación implica asignar una cuenca de aporte. Los registros puntuales son siempre muestras en extremo limitadas de la lluvia sobre la cuenca, de modo que su conversión en un estimador areal demanda gran extrapolación. Lo más simple es promediar aritméticamente las cantidades registradas. Tal técnica da buen resultado en llanura, si los pluviómetros se distribuyen uniformemente y captan valores cercanos a la media. Al elegir dónde ubicarlos, estas condiciones se pueden lograr considerando influencias topográficas y representatividad areal (Valdés, 1981). Sin embargo, es más confiable ponderar las lluvias locales. Así, los pesos dados a las estaciones, que deben sumar 1, reflejarían la estructura espacial de la precipitación. Para ello, se emplean usualmente los métodos de Thiessen, Triangulación e Isohietas. Al elaborar un mapa de isohietas, el analista puede usar todo su conocimiento sobre efectos orográficos y morfología de la tormenta, para arribar a un patrón del campo de lluvia más real que el que surge sólo de los valores medidos. Si interpola linealmente entre estaciones, el resultado será en esencia igual al que aportan las otras técnicas indicadas. Además, un análisis inadecuado puede conducir a errores considerables. La Tabla 10.1 plantea las ventajas y desventajas de las técnicas de cálculo de media areal. El caso de lluvias de diseño, cuya evaluación exige series pluviográficas largas, es más problemático. En cuencas afectables en su totalidad por un evento pluvial, contar con un puesto pluviográfico es una circunstancia muy favorable. Esto explica en parte por qué el análisis de frecuencia de lluvia areal no está tan desarrollado como el puntual.
126
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla 10.1: Métodos para estimar lluvia media areal (adaptado de Wiesner, 1970)
Media Aritmética Objetivo Rápido
Thiessen y Isohietas Triangulación Lineal Subjetivo Tipo de Método Objetivo Objetivo Subjetivo Velocidad Rápido, si se saben Muy Lento Lento los factores de peso Efecto de la pérdida No permite bajar No permite Se pueden Se estiman de datos precisión extrapolar estimar fácilmente Contempla topografía No No No Si Muestra de datos y Pobre Pobre Buena Excelente corrección de errores Errores en el contorno No Pueden permitirse Inaceptables Aceptables Adaptación para PC Excelente Buena Pobre Pobre Precisión Satisfactoria con una buena red de Excelente en la mayoría estaciones y en terrenos planos de las circunstancias Se asume que las láminas locales representan la lluvia sobre áreas reducidas (2,5 a 25 km² en torno al pluviógrafo) dependientes de las características climáticas y topográficas de la región. Para superficies mayores, la precipitación media sobre la cuenca (PMA) difiere del máximo puntual de lluvia y deberá ser inferida, mediante algoritmos de atenuación, a partir de este valor, que es el único con estimación futura. Aun cuando se disponga de curvas intensidad-duración-recurrencia de varias estaciones, no se las debe usar para predecir máximos simultáneos, porque (habiendo sido deducidas localmente, sin relación entre si) no prevén la probabilidad de eventos conjuntos. La PMA se evalúa en torno de una estación núcleo, se trate del epicentro del evento o de un puesto fijo. La primera opción toma en cuenta que las estaciones de registro pueden estar cerca del centro de tormenta, cerca de los bordes o entre estos extremos. Fijar el centro de la distribución en una estación facilita el cómputo posterior, ya que se trabaja siempre con la misma configuración, pero sólo es razonable en dos casos: a) Cuando se adopta un punto central de la cuenca para emplazar el núcleo de la tormenta, pretendiendo maximizar el efecto hipotético del evento. b) Cuando se sabe que en determinada estación hay mayor probabilidad de que se produzcan los máximos de la cuenca, sea por efecto orográfico u otras razones. En fin, la estación núcleo debe reunir dos requisitos: reflejar las lluvias críticas sobre la cuenca y responder a una función i-d-T conocida, de la cual extraer la lámina local. Los ábacos de atenuación son gráficos con curvas para varias duraciones, que indican el porcentaje de lluvia local a tomar como promedio sobre la cuenca. El U.S. Weather Bureau (1958) dedujo un algoritmo de este tipo para cuencas situadas al este del río Mississippi, que se popularizó al publicarla la WMO (1983). Leclerc y Schaake (Valdés, 1981) ajustaron una ecuación polinómica a esas curvas, reproducida por la Figura 10.1.
Lámina de Lluvia a Escala de Cuenca para Intervalos de Máxima Anual
127
100 l a u t n u p a i v u l l e d e j a t n e c r o P
(según ecuación polinómica de Leclerc y Schaake, 1972)
90
80 1/2 hora 1 hora 3 horas 6 horas 24 horas
70
60 0
200
400
600
800 Áre a (km ²) 1000
Figura 10.1: Reducción de altura de lluvia puntual a media areal de la cuenca La porción de lámina a considerar depende de la persistencia de las lluvias, debido a que las que más duran localmente (por mecanismo de precipitación, tamaño superior y/o más lento desplazamiento) tienen mayor probabilidad de superponerse en el tiempo con otras en su entorno. Por otra parte, investigaciones sobre lluvias extremas en diferentes puntos de la tierra (Occhipinti, 1989), muestran que la altura pluviométrica máxima varía con la inversa del cuadrado del área considerada. Determinar funciones de atenuación espacial para la Precipitación Máxima Probable es aún más difícil, por tratarse de un evento no registrado. No obstante, ciertas técnicas desarrolladas para ese caso pueden aplicarse a lluvias con recurrencia asignada. En USA se emplea un patrón de isohietas elípticas, cuyos semiejes mayor y menor, a y b, guardan la relación 2,5. Conociendo el área de la elipse A = .a.b, se puede deducir la longitud de los semiejes y de cualquier radio r que forme un ángulo con el mayor:
⎛ A ⎞ b=⎜ ⎟ π 2 , 5 . ⎝ ⎠
1/ 2
a 2 .b 2 r 2 2 a sen θ + b 2 cos 2 θ 2
(10.1)
(10.2)
Luego hay ábacos para calcular el área entre isohietas (con 14 niveles que van de 10 a 6500 mi²) y corregirla si la orientación que da mayor cobertura a la cuenca no coincide con la dominante. Las relaciones altura-área-duración resultantes han sido mapeadas ampliamente en USA.
128
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
10. 1. 1 CÍRCULOS DE INFLUENCIA DE LA ESTACIÓN NÚCLEO Los estudios tomados como base (García et al., 2000b; Catalini, 2001; Catalini et al., 2002) se realizaron en la cuenca del Río San Antonio (Capítulo 1). Esta cuenca fue elegida porque tiene instalado un subsistema de 10 pluviómetros de la red telemétrica CIRSA-INA, cuya calidad, cobertura espacial y alta frecuencia de registro aportan el nivel de información requerido por el presente tópico. Al explorar de qué manera corresponde modificar un valor puntual, para representar la precipitación media areal en su entorno, y asumido que el coeficiente de adaptación dependerá del área y de la duración del evento considerado, fue necesario establecer cuáles son las superficies a tener en cuenta y determinar la PMA en cada una de ellas. Con ese objeto, se trazaron círculos en torno a cada estación, incrementando en forma sucesiva el radio de influencia en 3 km. En la intersección entre cada círculo y la cuenca se computó la PMA por el método de polígonos de Thiessen. Por ejemplo, en la Figura 10.2, el círculo de radio 9 km centrado en la estación 400 (el tercero desde ese puesto) abarca porciones de polígonos de las estaciones 300, 500, 700, 1000 y 1200. Medidas estas porciones y la intersección círculo-cuenca, los factores de peso (Tabla 10.2) son los cocientes entre las áreas de aquéllas y la de ésta.
A A91200
P0
P1200
Figura 10.2: Círculos de influencia centrados en la estación 400
Lámina de Lluvia a Escala de Cuenca para Intervalos de Máxima Anual
129
Tabla 10.2: Factores de peso por puesto, con radio 9 km, en torno a la estación 400
A9300 A9400 A9500 A9700 A91000 A91200 Total Área (km²) 10,7375 33,3643 11,4455 0,8178 25,3521 31,322 113,0392 Coeficiente de peso 9,50% 29,52% 10,13% 0,72% 22,43% 27,71% 100,00% Para determinar el peso de la estación 1200 (en el círculo de radio de influencia 9 km centrado en 400) se establecieron primero las fronteras del sector representado por la estación, sean hidrológicas, siguiendo la divisoria de aguas de la cuenca (en el límite sur), dictadas por los polígonos de Thiessen (en el norte y el este) o dadas por el radio de influencia considerado (en el oeste). Luego se calculó el coeficiente de peso, dividiendo el área A91200 (para la estación 1200 y radio de 9 km, rayado de pendiente positiva en la Figura 10.2) por el área A (de influencia de 9 km, centrada en la estación 400, rayado de pendiente negativa). De forma similar se procedió para el resto de las estaciones inscriptas en el área en cuestión y para cada estación base potencial. Esto se expresó del siguiente modo:
CPk , A =
Ak A
(10.3)
donde Ak es el área del sector propio de la estación k, para un radio de influencia dado; A es el área definida por dicho radio; CP k,A es el coeficiente de peso de la estación k.
10. 1. 2 COEFICIENTE DE DECAIMIENTO AREAL Una vez computados los coeficientes de peso, para obtener la PMA de cada evento j, tanto en tormentas intensas como en intervalos de máxima anual, se multiplicó el valor de lámina precipitada en cada estación, P k , por el coeficiente de peso CP k,A (para dicha estación y el área considerada) y se acumularon los parciales por estación:
PMA j , A
n
Pk CPk , A
k 1
(10.4)
El coeficiente de decaimiento areal, CDA j,A, del evento j, resulta la relación existente entre el valor de PMA j,A y la lámina precipitada en la estación de referencia, P 0j:
CDA j , A
PMA j , A = P0 j
(10.5)
Los pares (A; PMA j,A) o (A; CDA j,A) se emplean luego para calibrar las ecuaciones y para trazar las curvas de conversión espacial, de la duración (o del rango de duración) de lluvia que corresponda.
130
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
10. 1. 3 ELECCIÓN DE LA ESTACIÓN NÚCLEO Los pasos de cálculo descriptos hasta aquí conducen a vincular la precipitación media sobre la cuenca con la lámina local predicha. Sin embargo, el planteo ha sido genérico y es necesario especificar cuál de los puestos debe ser la estación núcleo, o sea, dónde se presentan con mayor frecuencia las lluvias críticas y, al mismo tiempo, se dispone de una función intensidad-duración-recurrencia (i-d-T) para predecir la lámina local. Para varias duraciones de intervalos de máxima anual, alrededor de 2/3 de las mayores intensidades se producen en un reducido sector del SW de la cuenca, que abarca a las estaciones 500, 1200 y 400, con 31%, 23% y 13% de los casos, respectivamente (García, Catalini y Caamaño Nelli, 2000b). Según el primer requisito, entonces, le correspondería a la 500 el rol de estación núcleo. Por otra parte, ninguno de los pluviómetros de alta frecuencia de la red cuenta con registros de lluvia suficientemente extensos para deducir la función i-d-T. No obstante, la cuenca está incluida en la zona Sierras, una de las siete en que se dividió la región de ensayo para transponer tal relación a 141 pluviómetros (capítulos 1 y 7). Esta zona (con pluviógrafo base en La Suela) incluye 31 de ellos, uno de los cuales es Copina, coincidente con el puesto 400 del sistema telemétrico actual del San Antonio. Así, de acuerdo al segundo requisito, la estación núcleo sería ésta, pues la 500 carece de i-d-T. La discrepancia de ambos criterios fue resuelta gracias a dos hechos fortuitos: la similitud hidrometeorológica de los puestos 500 y 1200 y la existencia de registros previos en las inmediaciones de esta última. Lo primero resulta de la escasa diferencia de posición, horizontal y vertical, reflejada por las precipitaciones mensuales, anuales (curva de doble masa con pendiente 0,9619 y r² = 0,9997) y máximas, avalando el empleo indistinto de eventos de una u otra estación, que acumulan entre ambas el 54 % de los máximos anuales. A su vez, los registros citados nacen con la estación pluviográfica El Cóndor, en enero de 1972. A fines de 1979, llamándola Las Ensenadas, es desplazada 2 minutos al W y otro tanto al N (31º24’S, 64º47’W, 2100m snm), donde opera por cinco años. Allí, con equipo electrónico, pasa a ser la Estación 1200 de la red telemétrica en marzo de 1986. La homogeneidad temporal de la serie recuperada, de 18 años no consecutivos, se verificó con el test de las Rachas, el test de las Permanencias de Helmert (Fernández García, 1996) y una curva de doble masa frente a la La Suela. Esta estación, tiene representatividad zonal demostrada, en totales (Caamaño Nelli et al., 2001a) y en máximos anuales (Caamaño Nelli, García y Dasso, 1998a). Esta curva mostró una tasa de incremento similar (pendiente 1,0116) y fuerte correlación (r² = 0,9989) entre ambos puestos, complementando a las pruebas estadísticas para descartar la presencia de tendencias u oscilaciones por los cambios de lugar y de instrumental de medición. Para el período antedicho, la serie de intensidades en los IMA diarios extraída permitió transponer la relación i-d-T de La Suela, de igual modo que en la red de 141 pluviómetros satélite. Con ello, la 1200 reunió los requisitos de estación núcleo, donde medir o predecir la lámina local.
Lámina de Lluvia a Escala de Cuenca para Intervalos de Máxima Anual
131
10. 1. 4 CALIBRACIÓN DE ECUACIONES DE ATENUACIÓN Investigaciones sobre superficies pequeñas, con una densa red pluviométrica, sugieren ecuaciones que vinculan la precipitación media areal, PMA, de determinada duración, con el área, A, y el máximo local, P MÁX , en el foco de la lluvia. En general responden a expresiones de los siguientes tipos (Wiesner, 1970; Bertoni y Tucci, 1993):
PMA
P MÁX e
a Ab
(10.6)
PMA P MÁX a Ab
(10.7)
donde a y b son los parámetros a calibrar. En algunas versiones de la relación (10.6), a y b son constantes para un evento en particular y en otras, para una envolvente de duración dada. En cuanto a la expresión (10.7), a suele representar el gradiente medio de precipitación, en tanto que se asigna a b el valor constante 1/2. En los estudios tomados como base (García et al., 2000b; Catalini, 2001; Catalini, Caamaño Nelli y García, 2002) se ensayaron además, ecuaciones en las que la variable dependiente es el coeficiente de decaimiento, CDA. Dichas funciones, de tipo lineal, exponencial, logarítmico, potencial y polinomial, se simbolizan respectivamente en las expresiones (10.8) a (10.12), donde a, b y c son parámetros a calibrar:
CDA a A
(10.8)
CDA a e b A CDA ln( A)
(10.9) (10.10)
CDA
a A b
CDA
a A b A 2
(10.11)
c A3
(10.12)
Al ajustar por regresión lineal (en su forma logarítmica, cuando fuese necesario) las relaciones (10.6) a (10.12), se obtiene, en cada caso, un estimador del coeficiente de decaimiento areal, CDÂ, dependiente del área de interés y de la duración de la lluvia. Si se denomina P0 a la lámina de lluvia futura en la estación núcleo (predicha con la función i-d-T), CDÂ indica la porción genérica de P0 a emplear como Precipitación Media Areal estimada, PMÂ, al predecir la creciente de proyecto. De donde resulta: ^
^
P M A P0 C D A
(10.13)
La calibración de ecuaciones se realizó para duraciones fijas (IMA), con los resultados que se exponen a continuación, así como por rangos de duración (tormentas intensas), según se verá en el Capítulo 11. Se evaluó también el ajuste de una ecuación general a la familia de curvas generadas o al conjunto de puntos original, respectivamente.
132
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
10.2 REDUCCIÓN PARA INTERVALOS DE MÁXIMA ANUAL 10. 2. 1 RESULTADOS EN LA CUENCA DEL RÍO SAN ANTONIO La Figura 10.3 muestra los valores de lámina precipitada en intervalos de máxima anual de 8 duraciones predefinidas (30, 60, 90, 120, 180, 360, 720 y 1440 minutos). 90
] m m [ l a u 60 n a a m i x á m30 a n i m á L
92/93
93/94
94/95
96/97
97/98
Media
95/96
0 0
300
600
900
1200
d [min.] 1500
Figura 10.3: Láminas máximas anuales en la estación núcleo en el período 1992/98 La Figura 10.4 exhibe como ejemplo el mapa de isohietas del IMA de 180 minutos en la estación 1200, para el año hidrológico 1995-1996. Permite apreciar que, pese a ser el evento crítico en la estación núcleo, el valor de lámina no fue el máximo medido ese año sobre la cuenca del San Antonio.
Figura 10.4: Isohietas (mm) del Intervalo de Máxima Anual de 180 minutos en 1200
Lámina de Lluvia a Escala de Cuenca para Intervalos de Máxima Anual
133
Del análisis de todos los eventos del lapso 1992/98 se deduce que, para duraciones del IMA < 3 horas, en el 73 % de los casos el máximo valor puntual de lluvia se da en la estación núcleo y el 27 % restante en otras estaciones. En cambio, para duraciones mayores, es menos frecuente que el máximo ocurra en la estación núcleo, a pesar de que el período analizado es el crítico para ese puesto: en el 53 % de los casos se da en otra estación, siendo la más frecuente la 900, con un 26 %. En estos casos, la gráfica CDA versus área no es monótona decreciente. La Figura 10.5 muestra un ejemplo de ello para el IMA de 180 minutos del año hidrológico 1997/1998. En este caso, la lluvia caída en el puesto núcleo fue de 56 mm, mientras que el máximo valor registrado en la cuenca fue 106 mm (estación 500). Además, el valor del núcleo fue el 5º en orden de magnitud en la cuenca. 1,4
CDA 1,3 1,2 1,1 1,0 0
100
200
300
400
500
600 Áre a (km²)
Figura 10.5: Variación areal de lluvia en el IMA de 180 minutos del año 1997/98 Las trazas del coeficiente de decaimiento en función del área (Figura 10.6 a) muestran gran dispersión, sin un patrón definido, aun cuando se agrupan los eventos según la duración del IMA, como se ejemplifica en la Figura 10.6 b para 180 minutos. 1,6
a
l a e r 1,4 a o t n 1,2 e i m1,0 i a c e d 0,8 e d 0,6 e t n e 0,4 i c i f e 0,2 o C
0,0
1,6
b
l a e r 1,4 a o 1,2 t n e i m1,0 i a c e 0,8 d e d 0,6 e t n e 0,4 i c i f e o 0,2 C
0,0 0
200
400
600 Áre a (km²)
0
200
400
600 Áre a (km²)
Figura 10.6 : Variación del CDA en todos los eventos (a) y en los de 180 minutos (b)
134
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Para reflejar las tendencias medias de cambio, tras ajustar ecuaciones de tipo potencial y exponencial por duración, se adoptó la primera como más representativa. La línea trazada en la Figura 10.6 b responde a esta función: ^
C D A 25
k
A
k
^
o bien
ln C D A k ln A k ln 25
(10.14)
válida cuando A > 25 km² y k < 0. La justificación de esta estructura es que asume el valor de lámina local como un estimador válido en toda el área, cuando A es menor que 25 km², y más allá decae. De modo que, para A = 25 km², ln CDÂ = 0 y CDÂ = 1. La Figura 10.7 muestra las curvas generadas por la función potencial (10.14) calibrada con los pares de valores de cada una de las 8 duraciones elegidas, en tanto que la Tabla 10.3 presenta rangos y medias de los datos observados de CDA, para cada duración. 1,0
l a e r 0,9 a o t n 0,8 e i m i a 0,7 c e d e 0,6 d e t n 0,5 e i c i f e 0,4 o C
30 min 60 min 90 min 120 min 180 min 360 min 720 min 1440 min
0,3 0
100
200
300
400
500
600
Area (km ²)
Figura 10.7 : Curvas de atenuación espacial para ocho duraciones de IMA Tabla 10.3: Valores observados del coeficiente de decaimiento areal
Duración (minutos) 30 60 90 120 180 360 720 1440
Valores Observados de CDA Máximo Mínimo Promedio 49,474 % 17,557 % 33,515 % 89,045 % 10,352 % 49,699 % 103,850 % 10,352 % 57,101 % 113,565 % 10,352 % 61,959 % 111,109 % 22,535 % 66,822 % 107,746 % 21,509 % 64,627 % 111,900 % 52,598 % 82,249 % 116,954 % 56,717 % 86,835 %
Lámina de Lluvia a Escala de Cuenca para Intervalos de Máxima Anual
135
10. 2. 2 SÍNTESIS DE LA RELACIÓN ANALÍTICA: MODELO CoDA El paso final fue condensar la familia de curvas CDÂ versus A (calibradas de manera independiente) en una superficie tridimensional continua, o sea, una ecuación única. A tal fin, se estableció la dependencia del exponente -k con la duración d, mediante regresiones de forma potencial y logarítmica, optando por la expresión (10.15), del primer tipo, por el mejor ajuste a los datos parciales, que se aprecia en la Figura 10.8:
k 2.0759 d 0.5073
(10.15)
0,4
Potencial (datos)
-k = 2,0759 . d
-0,5073
R2 = 0,9855
Logarítmica (datos) -k = -0,0725 . ln(d) + 0,5557
R2 = 0,9643
0,3
k e t e n e 0,2 n o p x E
0,1
0 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600 d (min.)
Figura 10.8: Exponente de la ecuación tridimensional, -k, en función de la duración El algoritmo sintético, dado por las ecuaciones (10.14) y (10.15), se denominó CoDA y se empleó para recalcular (Tabla 10.4) y graficar (Figura 10.9) el coeficiente de decaimiento areal estimado, CDÂ. 1,0 30 min
A 0,8 D C l e d r 0,6 o d a m i t s E 0,4
60 min 90 min 120 min 180 min 360 min 720 min 1440 min
0,2 0
100
200
300
400
500
600
Áre a (km²)
Figura 10.9: Trazas de la superficie de atenuación areal de lámina del modelo CoDA
136
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla 10.4: Valores del CDA obtenidos con el modelo CoDA, según área y duración
Duración 30 min. 60 min. 90 min. 120 min. 180 min. 360 min. 720 min. 1440 min.
25 km² 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%
50 km² 100 km² 200 km² 300 km² 400 km² 509 km² 77,39% 59,90% 46,36% 39,90% 35,88% 32,82% 83,50% 69,73% 58,22% 52,40% 48,62% 45,66% 86,35% 74,56% 64,38% 59,09% 55,59% 52,83% 88,09% 77,59% 68,35% 63,46% 60,21% 57,61% 90,19% 81,34% 73,36% 69,06% 66,16% 63,83% 92,99% 86,48% 80,42% 77,07% 74,78% 72,92% 95,02% 90,28% 85,78% 83,26% 81,51% 80,07% 96,47% 93,06% 89,77% 87,91% 86,60% 85,53%
10.3 CONCLUSIONES PARA INTERVALOS DE MÁXIMA ANUAL Las técnicas clásicas requieren que el valor de lluvia a atenuar sea el observado en el epicentro de la tormenta. Al fijar la ubicación de la estimación puntual, no existen garantías de que el monto precipitado allí, durante un intervalo de máxima intensidad anual, será el mayor registrado en la cuenca en ese lapso. Sólo se sabe que es el que tiene mayor probabilidad, por ser ésta una condición intrínseca de la estación núcleo. En consecuencia, es factible que, como sucedió en varios eventos para la cuenca del Río San Antonio, el coeficiente de decaimiento areal no refleje una disminución, sino un aumento de la lámina media, al crecer el área. Los pares CDA-área, correspondientes a intervalos de máxima anual seleccionados, muestran una gran dispersión, haciendo necesario agruparlos por duración. Para reflejar la forma de los descensos para cada duración, forzada por la condición de tender a infinito cuando el área tiende a cero, se ensayaron dos tipos de ecuaciones sencillas, potencial y exponencial, y se adoptó como expresión general la primera, ya que se adapta mejor a la curvatura de los conjuntos. La misma condición hizo necesario truncar la función para los valores inferiores de área, asumiendo lámina homogénea (CDÂ = 1) hasta 25 km² (2,8 km de radio) en torno a la estación núcleo, hipótesis que halla respaldo experimental en la literatura. La síntesis del vínculo CDÂ-área condujo a un algoritmo único, al que se denominó CoDA, que compatibiliza las tasas para todas las duraciones. Este modelo postula que, para intervalos de máxima intensidad anual, el Coeficiente de Decaimiento Areal es proporcional a una potencia negativa del área considerada, cuyo exponente depende, a su vez, de una potencia negativa de la duración del intervalo.
Capí tulo 111 .
.
Re d u c ci ó T o r me n t a Seve r a s ó n A re al d d e T a s S E f e c t o C l li m o s Fi s si o o g r á f i c c o s y C m á ti c c o s C a rl o s G G a s t ó C a t a ó n C al i n ni y E ri k k D a niel Z Zi m m me r m a n n
11.1 INTRODUCCIÓN Aunque son cuestionables como patrones de diseño, las distribuciones espaciales o temporales típicas de tormentas intensas son elementos valiosos para interpretar el fenómeno natural y aportan técnicas de síntesis para intervalos de máxima anual. Empero, su utilidad más importante, en cuanto a reducción de láminas, es el contraste de comportamiento de las lluvias entre regiones, permitida por la mayor disponibilidad de estudios sobre tormentas. Éste es el objeto de su análisis en el presente capítulo. Definir tormentas severas (Capítulo 1) requiere umbrales de lámina, tiempo sin lluvia e intensidad (Huff, 1967; Eagleson, 1970; Medina y Moyano, 1975; Caamaño Nelli et al., 1994). Para el ensayo en la cuenca del Río San Antonio que aquí se comenta, Catalini et al. (2002) fijaron 20 mm, 2 horas y 0,1 mm/min (6 mm/h), respectivamente. Estos autores, siguiendo a García et al. (2000b), calibraron funciones de diversos tipos y optaron por una familia de logarítmicas, con curvas por duración que parten de 25km², por asumir que el estimador del coeficiente de decaimiento, CDÂ, es 1 si el área de interés en torno al puesto núcleo no supera ese valor. Siendo k un factor de ajuste, es: ^
C D A
1 k [ln( A) ln(25)]
(11.1)
La precipitación media areal estimada, PMÂ, para predecir la creciente de proyecto, se calcula luego como producto de CDÂ por la lámina de lluvia futura en la estación núcleo (extraída de la función i-d-T), P0, según la ecuación (10.13).
138
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
11.2 RESULTADOS PARA LA CUENCA DEL SAN ANTONIO En el caso de tormentas intensas, Catalini (2001) experimentó con la totalidad de los sucesos disponibles, considerándolos un único conjunto, y sobre el promedio de los valores registrados para cada área (lo cual, en esencia, sólo enmascara la aleatoriedad de los puntos CDA-área). En vista del ajuste obtenido en el primer ensayo, probó con 2 grupos de tormentas, de duración d > 3 horas y d ≤ 3 horas (el número de eventos no aconsejaba mayor partición). La Tabla 11.1 resume los resultados de las calibraciones.
Tabla 11.1: Ajustes de la función de decaimiento logarítmica, cuenca del San Antonio
Pares de Coeficiente de determinación valores r² r² ajustado Todos 210 0,673919804 0,669135115 Promedio 19 0,970938977 0,915383421 d > 3 horas 166 0,740572807 0,734512201 53 0,756967425 0,737736656 d ≤ 3 horas Eventos
Error típico Coeficiente k 0,110211712 0,027757277 0,096427130 0,113270062
-0,165544726 -0,166734152 -0,156160136 -0,194792702
En estas pruebas se fijó el centro de atenuación en el puesto 1200 de la red telemétrica, (Capítulo 1, Figura 1.3) pero no por ser la estación núcleo utilizada para intervalos de máxima anual (Capítulo 10). Antes bien, se constató que la mayoría de los eventos de máxima precipitación se da en las puestos de la cuenca alta. Las estaciones 1200, 500 y 400 reúnen el 0,67 de frecuencia relativa y la gran mayoría de los picos mínimos se registra en las estaciones ubicadas en la cuenca baja, sobre todo en la 600 (39 % de los casos).
11.3 CONTRASTE DE FUNCIONES DE REDUCCIÓN La transposición indiscriminada de relaciones para la corrección espacial de la lámina local, pese a saberse hace tiempo que no son universales, sigue siendo un procedimiento corriente, que conlleva errores de consideración. Es por ese motivo que el interés de analizar tormentas severas no reside en establecer la función de atenuación óptima, para una cuenca en particular, ni en desarrollar una mejor técnica de síntesis, sino en resaltar la invalidez de la práctica antedicha y, sobre todo, en detectar tendencias asociables a características climáticas y fisiográficas regionales, en las relaciones de corrección espacial. En consecuencia, a partir de aquí, el presente capítulo se centra en comparar 8 familias de curvas de decaimiento areal de diversas fuentes, seleccionadas de la literatura especializada, que son típicas de distintas partes del país y del mundo. Las regiones para las que fueron propuestas, en su mayoría más amplias que la utilizada en Córdoba, se describen en el siguiente subtítulo.
Reducción Areal de Tormentas Severas. Efectos Fisiográficos y Climáticos
11. 3. 1
139
FUNCIONES DE REDUCCIÓN Y SISTEMAS DE ORIGEN a) Sur de la Provincia de Santa Fe : Zimmermann (CONICET) dedujo en el 2000 estos ábacos en la Universidad de Rosario, para un área de llanura situada al sur de la ciudad homónima, en el centro-este de Argentina. b) Malaysia peninsular: Las curvas de la River Engineering Division, del Department of Irrigation and Drainage (2001) se utilizan para todo el país. Del norte hasta la mitad, la península malaya es dominada por cadenas montañosas, con picos de 2200 a 4000 m snm. Las costas que las rodean están densamente pobladas al oeste; al este son más estrechas y vegetadas; al sur son llanas. El clima es ecuatorial, con zonas afectadas por el monzón del noreste, con precipitaciones que alcanzan 5080 mm/año. c) Este del Mississippi: Este río de USA tiene más de 3800 km de longitud; nace en el Lago Itasca, a 512 m snm, y desemboca en el Golfo de México. Las curvas de abatimiento areal, deducidas para cuencas de 260 a 1100 km², sitas en su mayoría al este del río, son las recomendadas por la OMM (Chow, Maidment y Mays, 1994), que suelen tomarse como de uso general. En este caso, se partió del ajuste polinómico de Leclerc y Schaake a las familias de curvas publicadas (Valdés, 1981). d) Sierra Nevada: Cordillera de California (una pequeña parte llega a Nevada, cerca del lago Tahoe), en el oeste de USA. Se extiende de noroeste a sureste por 640 km, con una anchura de 65 a 130 km. Su pico más alto alcanza 4.418 m snm. Las curvas de abatimiento fueron planteadas por Corrigan, Fenn, Kluck y Vogel (1998). e) Reino Unido: El suelo es llano en gran parte y su elevación oscila entre 100 y 1343 m snm. Las relaciones (en forma gráfica y tabulada) abarcan la mayor área considerada en este análisis (30.000 km²), sin discriminación orográfica. f) Cuenca del río San Antonio : La descripción de esta cuenca y de su red telemétrica de captura de datos puede verse en el Capítulo 1. Las funciones obtenidas por García, Catalini y Caamaño Nelli (2000b) para esta cuenca corresponden a duraciones menores o iguales a 180’ y mayores a 180’. g) Central Valley: Valle central de California, USA. Es una cuenca de fértiles y profundos suelos aluviales, delimitada por cadenas montañosas al este (Sierra Nevada), al norte (de las Cascadas y montes Klamath) y al oeste (cordillera Costera); al sureste se hallan los desiertos de Mohave y Colorado. Las curvas de decaimiento son similares a las dadas para la Sierra Nevada por los mismos autores. h) Mendoza: Fernández, Fattorelli, Rodríguez y Fornero (1999) efectuaron un estudio detallado de tormentas intensas al oeste de la ciudad de Mendoza, Argentina, para obtener la lluvia de proyecto con distribución espacial. Contaron con la red de 24 pluviómetros del Centro Regional Andino, Instituto Nacional del Agua. Proponen factores de atenuación para tormentas convectivas, con duración de hasta 90 minutos. La Tabla 11.2 provee las fuentes bibliográficas de las funciones de estimación del CDA en las zonas antedichas, los rangos de superficie, duración de lluvia e invariancia de la lámina (CDA = 1), así como mayores precisiones sobre captura de datos, forma de presentación publicada y características topográficas y climáticas de los sistemas.
Tabla 11.2: Ficha de las curvas de decaimiento areal seleccionadas
Zona y país de origen a) Sur de Santa Fe, Argentina b) Malaysia (peninsular) c) Este Río Mississippi, USA d) Sierra Nevada, Calif., USA e) Reino Unido de Gran Bretaña f) Cca. Río San Antonio, Córdoba, RA g) Valle Central, Calif., USA h) Mendoza (W ciudad)RA
Referencia Área Bibliográfíca km² Zimmermann et al., 2001
1000
Riv.Eng.Div. Malaysia,2001
200
Valdés, 1981
1000
Corrigan et al., 1998 Wanielista, Kersten y Eaglin, 1997 Catalini, Caamaño y García, 2002b Corrigan et al., 1998 Fernández et al., 1999
P = Presentación de origen
25900 30000 500 25900 1000
Información original Orografía y altitud Régimen climático y Duraciones CDA=1 Observación P media (m s.n.m.) lluvia media anual(mm) Llanura sedimentaria Templado, predominio 30´, 60´, 180´ N de muy baja ≈ 45 Puntual de tormentas frontales 360´, 1440´ pluviógrafos E (1100) pendiente (≈ 15) 30´, 60´, 180´ De 0 a T Cadenas montañosas Monzónico. Mayores No especifica 360´, 1440´ 10 km² G (750) lluvias: nov-mar (2540) 6 puestos (en 30´, 60´, 180´ Puntual prom.). Series E Llanuras (700) Sin estación seca (1100) 360´, 1440´ de 7 a 15 años 60´, 360´, 720´, Zona E abrupta y W Semi tropical, con De 0 a T 1440´, 2880´, No especifica desgastada (1830 a estación lluviosa 26 km² G 4320´ 3660) discontinua (165) 5´,10´,15´,30´,60´ radios medios Llanura sedimentaria Templado. Marítimo De 0 a T 120´, 180´, 360´, en torno a un dominante; montañas atlántico. Lluvias en 1 km² G 1440´, 2880’ máximo bajas antiguas (700) invierno (760) 10 pluvióm. N Sierra, pie de monte y De 0 a d ≤ 180´ de alta E valle, de 675 a 2400 Templado (900) 25 km² d > 180´ frecuencia G m de altitud (1500) 60´, 360´, 720´, De 0 a T Valle de 650 km de Norte húmedo (425). 1440´, 2880´, No especifica 26 km² G largo (50 a 200) Sureste desértico (58) 4320´ Tormentas convectivas De 0 a 24 pluv. Alta T Precordillera D ≤ 90´ 0,9km² frecuencia E (1000-3000) de verano (≈ 250)
N = Datos numéricos
T = Tabla de valores de la función
E = Ecuaciones
G = Gráficos
Reducción Areal de Tormentas Severas. Efectos Fisiográficos y Climáticos
141
11. 3. 2 ESTANDARIZACIÓN DE LAS FUNCIONES Las curvas de atenuación de la lámina local descriptas, fueron elaboradas con diversas metodologías, para distintas duraciones y áreas de aplicación. Para que el contraste permita inferir a grandes rasgos las características regionales (de la orografía o del régimen pluvial) que afectan a las gráficas y de qué modo lo hacen, las funciones fueron estandarizadas en su presentación, del siguiente modo. De algunas zonas hay una ecuación calibrada, sobre datos observados o familias de curvas publicadas, tal el caso del este del Mississippi, para la cual Leclerc y Schaake (Valdés, 1981) plantean una ecuación exponencial. Adaptada en su nomenclatura original, dividiendo el área por 2,59 (para emplear km² en vez de millas²) y multiplicando el resultado por 100 (para obtener porcentajes), responde a la expresión: ^
C D A
100 (1 e a e ( a
b A )
)
(11.2)
donde a y b simbolizan a
b
1,1 d 0, 25 0,01 2,59
(11.3) (11.4)
Pocas veces se partió de los datos de eventos históricos, como en la cuenca del San Antonio, donde la función logarítmica (11.1), que asume precipitación homogénea en un área de 25 km² en torno a la estación base, se ajustó para eventos de corta y larga duración (Catalini, 2001) siendo k = -0,1947927 para tormentas de hasta 180 minutos y k = -0,15616014 para persistencias mayores. Zimmermann et al. (2001) proponen diversos tipos de ecuación para el decaimiento areal en el sur de Santa Fe, pero la conveniencia de estandarizar las familias de curvas llevó a recalibrar el algoritmo (11.1) sobre los coeficientes de decaimiento. El coeficiente k resulta, entonces, función de la duración: k
0,0141 ln(d ) 0,1221
(11.5)
De Malaysia hay valores tabulados de los coeficientes, para varias duraciones. No obstante, dada la necesidad de extrapolar las curvas a un área mayor que la publicada, se calibró también la ecuación (11.1), suponiendo homogeneidad de precipitación en un área de 10 km². Como en el caso anterior, la elección correspondió a la función con mayor correlación de las ensayadas (exponenciales, potenciales y logarítmicas): ^
C D A
1 k [ln( A) ln(10)]
(11.6)
142
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
donde el coeficiente k adopta la siguiente expresión, en función de la duración
0,0787 d 0, 4738
k
(11.7)
Al homogeneizar la presentación en lo referido a Mendoza, se debió ajustar la función a los intervalos de área provistos por Fernández et al. (1999). Para ello, se asignó el valor del coeficiente de decaimiento al punto medio del intervalo correspondiente. La expresión de mejor aproximación a dicho conjunto de puntos resultó: ^
C D A
10,094 ln( A) 101,37 100
(11.8)
Por último, para Central Valley, Sierra Nevada y Gran Bretaña, los pares de puntos se extrajeron de tablas y gráficos dados por los autores, sin ningún tipo de ajuste. Para el contraste visual, el rango de área representado se uniformó entre 0 y 600 km², extrapolando o truncando las curvas según el caso.
11. 3. 3 ANÁLISIS DE RESULTADOS En la Tabla 11.3 se presentan las porciones del valor local de precipitación que proponen, para 600 km², las funciones de variación areal descriptas. Tabla 11.3: Porcentajes de lámina local a emplear para un área de 600 km²
Duración de la tormenta (minutos) 30 60 90 120 180 360 720 1440 Sur de Santa Fe, Argentina 77,8 80,7 82,4 83,6 85,4 88,3 91,2 94,1 Malaysia (peninsular) 50,7 67,0 83,2 87,8 91,8 Este del río Mississippi, USA 64,3 70,0 78,8 83,9 92,1 Sierra Nevada, California, USA 76,4 77,9 80,1 82,0 Reino Unido de Gran Bretaña 57,3 85,3 90,7 Cuenca San Antonio, Córdoba, RA 38,1 50,4 Valle Central, California, USA 68,9 73,5 77,0 80,1 Mendoza (oeste de la ciudad) RA 36,8
Zona y país de origen de la función a) b) c) d) e) f) g) h)
La Figura 11.1 muestra las curvas de decaimiento. Para facilitar el análisis, se ubican a la izquierda las provenientes de zonas llanas y a la derecha las de morfología más abrupta. A cada lado, se sitúan en orden descendente según la precipitación anual. Esto se hizo en la medida de lo posible, ya que algunas (principalmente las del Reino Unido) representan regiones muy amplias, con marcada variabilidad topográfica y climática. Así, no hay correspondencia de lluvia entre el par de gráficas de cada nivel.
Reducción Areal de Tormentas Severas. Efectos Fisiográficos y Climáticos
100% CDA
100% CDA
75%
75%
143
a) Sur Prov. Santa Fe, RA 30´ 90´ 180´ 720´
50%
60´ 120´ 360´ 1440´
25%
b) Malaysia
50%
30´ 180´ 1440´
60´ 360´
25% 0
200
400 A (km²) 600
100%
0
CDA
100% CDA
75%
75%
c) E Río Miss iss ippi, USA
50%
30´ 180´ 1440´
50%
400 A (km²) 600
d) Sierra, California, USA
60´ 360´
25%
200
60´ 720´
360´ 1440´
25% 0
200
400 A (km²) 600
0
100%
100%
CDA
CDA
75%
75%
e) Reino Unido G. Bretaña
50%
30´ 120´ 360´
400 A (km²) 600 f) Cuenca del San Antonio, Córdoba, RA
50%
60´ 180´ 1440´
25%
200
d <= 180´ d > 180´ 25%
0
200
400 A (km²) 600
0
100% CDA
100% CDA
75%
75%
50%
g) Valle Central, Cal., USA 60´ 720´
200
400 A (km²) 600
h) Mendo za, d <= 90´, RA
50%
360´ 1440´
25%
25% 0
200
400 A (km²) 600
0
200
400 A (km²) 600
Figura 11.1: Curvas de decaimiento areal seleccionadas
144
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
El análisis comparativo de las familias de curvas indica que, tanto en llanura como en montaña, el decaimiento areal es proclive a ser más pronunciado a medida que la tasa anual de precipitación es menor. La gradación es más nítida para duraciones de lluvia elevadas. En este caso, la variación es más brusca en zonas montañosas y lo contrario sucede en sectores de baja pendiente. Para regiones húmedas, es de esperar una preeminencia de procesos atmosféricos frontales, donde las tormentas abarquen grandes superficies con características homogéneas, conduciendo a coeficientes de decaimiento elevados. En otros términos, que la lámina local y la areal se asemejen numéricamente entre si. Por otra parte, se puede apreciar que la reducción de la lámina, a igual área de estimación, es más pronunciada en cuencas montañosas, de mayor altura. El ejemplo de Sierra Nevada es anómalo en este sentido, presuntamente porque las tormentas se concentran temporalmente, alcanzando una cobertura territorial considerable. En zonas de montaña es previsible la influencia de eventos convectivos, reducidos territorialmente, con la consecuencia de una rápida disminución espacial de las lluvias y los CDA, lo cual genera trazas con mayor curvatura: Fuerte caída inicial y pronta estabilización al crecer la superficie considerada. Como se evidenció en los estudios de altura areal de lluvia para diseño en la cuenca del río San Antonio (García, Catalini y Caamaño Nelli, 2000b; Catalini, 2001; Catalini, Caamaño Nelli y García, 2002) en estos sistemas la incidencia orográfica puede aumentar notoriamente la depresión de la lámina en torno a la estación de referencia, reforzando el efecto de los fenómenos convectivos. Cada sistema físico presenta una amplia gama de propiedades, tanto en lo que hace al clima como a la geomorfología, constituyendo conjuntos complejos de características, las que, además, interactúan entre sí. En consecuencia, cabe suponer que, aún cuando las tendencias generales de ambos orígenes siempre existan, la manera en que se combinen hará difícil predecir los resultados, basándose únicamente en los valores de altitud media y precipitación anual de unos pocos casos. Por ejemplo, en Malaysia se observa que, para las duraciones mayores, los coeficientes de decaimiento areal se aproximan a los de zonas de llanura, presuntamente por una preeminencia del régimen de precipitación monzónico, con tormentas prolongadas homogéneamente distribuidas. Para lapsos breves, en cambio, cuando la orografía puede predominar, las curvas muestran una marcada concavidad al principio (para áreas reducidas) y se asemejan a las obtenidas en las Sierras de Córdoba para eventos de persistencia superior a 180 minutos.
Reducción Areal de Tormentas Severas. Efectos Fisiográficos y Climáticos
145
11.4 CONCLUSIONES PARA TORMENTAS SEVERAS La interacción de los complejos conjuntos de propiedades fisiográficas y climáticas de cada sistema natural es de tal magnitud que dificulta identificar sus efectos individuales sobre la atenuación espacial de la lámina de lluvia, sustentándose solamente en datos de altitud media y precipitación anual de unos pocos casos. No obstante ello, es factible detectar tendencias generales de ambos orígenes y cabe esperar que, en la medida en que se precisen otras características a tener en cuenta y se amplíe la casuística, será posible predecir los resultados de cada combinación morfoclimática sobre el decaimiento areal de las lluvias. De este primer análisis surge que en la atenuación espacial influyen aspectos interdependientes del régimen de precipitaciones, como el total anual, la concentración temporal, el tipo (pluvial o nival) y la génesis de las tormentas (convectiva, orográfica, frontal). En líneas generales, el coeficiente de decaimiento areal disminuye marcadamente junto con la humedad, en una proporción que depende de la duración que se considere. Aunque la topografía de la región, que se ha supuesto reflejada por la altitud media, incide en todos los casos, adquiere mayor relevancia en climas secos, con tormentas convectivas y orográficas territorialmente más reducidas, dando origen a mayores curvaturas de las trazas. Las diferencias se acentúan en las curvas CDA-área de menor duración. El contraste de funciones decaimiento-área-duración de distintos lugares del mundo evidencia gran disparidad entre las distintas propuestas. Corresponde enfatizar, entonces, que su carácter regional hace desaconsejable usar estas curvas en zonas con rasgos fisiográficos y/o climáticos diferentes a los de la empleada para deducirlas, hasta tanto se establezcan relaciones funcionales firmes con tales características, que convaliden una transposición racional.
Capí tulo 112 .
.
Di s T e m p o r al I n te r n a: s t r ri b bu ci ó ó n T I Sí n te si s T o r me n t a n te n s a s s d e T a s I C l a a rí a D a s s o l ri t a t a M
12.1 DISTRIBUCIÓN TEMPORAL INTERNA: HIETOGRAMA TIPO La intensidad de la lluvia presenta gran variabilidad durante la secuencia temporal de una tormenta. Conocer esa distribución en tormentas intensas es muy importante en tópicos hidrológicos tales como escorrentía potencial, erosión de los suelos y física de las lluvias. Constituye, además, el dato esencial de entrada a los modelos lluviaescorrentía. Por tales razones, este tema se plantea aquí al presentar las técnicas de síntesis, pero cabe recordar que la variación en tormentas no refleja la que se da en láminas de diseño (Capítulo 1). Como esa distribución cambia de una tormenta a otra, para caracterizarla se requiere gran número de registros pluviográficos, de donde se puedan deducir unos pocos patrones de comportamiento que permitan su análisis o su uso posterior. La representación gráfica, continua o discreta, de cada uno de esos patrones, se denomina hietograma tipo. El hietograma tipo se expresa mediante la distribución porcentual acumulada del total de lluvia, en función del porcentaje de duración (Hershfield, 1962; SCS, 1976; Wilken, 1978). Es común también representarlo con un patrón adimensional discreto, dividido en percentiles, generalmente cuartiles (Huff, 1967, 1970) o sextiles, cuya forma, en especial la posición de la moda, es determinante en la de la consecuente crecida. Los métodos que se utilizan para determinar hietogramas tipo, pueden partir de la función intensidad-duración-recurrencia (i-d-T) o de series históricas de lluvias intensas. Este último caso, involucra una serie de decisiones y acciones metodológicas, antes y durante la síntesis de los eventos.
148
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
12.2 SÍNTESIS DE HIETOGRAMAS A PARTIR DE LA FUNCIÓN i-d-T En los métodos que parten de la función intensidad-duración-recurrencia (i-d-T) para obtener tormentas sintéticas, se toman n intervalos sucesivos de persistencia t, hasta la duración total (d = n. t) y se calcula la intensidad en cada uno por diferencia entre las láminas actual y previa, que surge de las tasas medias dadas por la curva i-d-T. Un patrón así obtenido tiene el pico al inicio, con intensidad decreciente a partir de allí. Muchos proyectistas reacomodan los intervalos, como en el método del bloque alterno, donde cada nuevo intervalo se acopla alternativamente a derecha e izquierda del máximo ubicado en la posición central. Pero los patrones así deducidos no resultan verosímiles porque, en una curva de frecuencia dada, las intensidades para varias duraciones son una serie de valores no relacionados de distintas tormentas y no la secuencia de un chaparrón intenso verdadero.
12. 2. 1 MÉTODO DE LA INTENSIDAD INSTANTÁNEA Con un criterio similar al método del bloque alterno, se basa en plantear dos ramas continuas a partir del pico, con duraciones da y db para la de ascenso y la de descenso, respectivamente. A medida que se reduzca la intensidad base i, con valores ia = ib en ambas ramas, se incrementará la duración d = da + db. El pico se ubica mediante un coeficiente de avance, r = da/d, de donde:
r =
da d − db db da db = =1− ⇒ db = (1 − r). d ⇒ d = = d d d r 1 − r
(12.1)
La lámina de lluvia h, en función de la duración, será el área bajo las curvas ia e ib da
db
0
0
_
h = ∫ ia . d da + ∫ ib . d db = d . i
(12.2)
siendo i la intensidad media y d el el símbolo diferencial. Derivando con respecto a d: d h d d
_
= ia = i b = i + d .
_
d i
d d
(12. 3)
y como se conoce la intensidad media en función de la duración para la recurrencia elegida, a través de la relación i-d-T, el problema queda resuelto. El hietograma triangular se puede considerar un ejemplo particular del método de intensidad instantánea. Para este caso, ubicando la intensidad máxima im según el coeficiente de avance, se tiene que:
Distribución Temporal Interna: Síntesis de Tormentas Intensas
d . im h= 2
⇒
_ 2.h =2i im = d
149
(12. 4)
Generalmente, las tormentas son adelantadas, con un coeficiente de avance inferior a 0,5, lo cual significa que la intensidad máxima se produce en la primera mitad del evento.
12.3 SÍNTESIS A PARTIR DE EVENTOS HISTÓRICOS CRÍTICOS 12. 3. 1 CARACTERIZACIÓN DE LOS EVENTOS Y LAS MUESTRAS Para caracterizar tormentas históricas severas se deben establecer criterios mínimos de corte (tiempo sin que se registre lluvia) de lámina y de intensidad. Un límite inferior de intensidad que suele usarse es 0,1 mm/min ó 6 mm/h (Medina y Moyano, 1975; Caamaño Nelli et al., 1994). Como lámina mínima se suele exigir una pulgada, o sea 25,4 mm, (Huff, 1967) o valores menores menores (10 ó 20 mm). El tiempo de corte entre eventos, generalmente fijado en 2 horas siguiendo a Eagleson (1970), se puede reducir a la mitad cuando el tiempo de concentración de la cuenca sea del mismo orden. Al aumentar el tiempo de corte se produce la unión de chaparrones antes aislados y se baja sistemáticamente el total de los eventos. Si bien la suma de chaparrones puede alcanzar la lámina exigida cuando éstos no lo logran individualmente, incluir tiempos prolongados sin lluvia puede también llevar la tasa media debajo del umbral impuesto y reducir la muestra aún más. Algunos estudios (Caamaño Nelli et al., 1994) muestran ese tipo de alteraciones de la muestra según el tiempo de corte, pero con poca sensibilidad de los resultados finales a esta elección. Una vez definidas las tormentas intensas y antes de la síntesis de los patrones, se deben establecer ciertos criterios para la desagregación, el agrupamiento y la selección final de los eventos. Desagregación Si bien la precipitación durante una tormenta es un proceso continuo, el modo de tratamiento hace aconsejable discretizarlo. En este caso, a diferencia de la partición habitual en intervalos de tiempo constantes, conviene adoptar fracciones de la duración, para poder comparar la forma en eventos de distinta duración total. Es decir, cada tormenta se debe dividir en una cantidad fija de lapsos iguales, entre 4 (cuartiles) y 10 (deciles), variando la duración de éstos de una tormenta a otra. Con menos de cuatro intervalos no es posible reflejar adecuadamente la distribución y con más de diez se pierde la visión de conjunto. La desagregación se completa determinando láminas parciales -absoluta y porcentual- precipitadas.
150
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Agrupamiento Como normalmente los hietogramas no presentan forma única, se buscan patrones de grupo, asociados a ciertos rasgos de los chaparrones. Un criterio de agrupamiento es la duración. No es recomendable una división detallada según este aspecto, porque reduce el número de eventos en cada categoría, lo cual no favorece el tratamiento estadístico posterior. En muchos casos, el agrupamiento no es posible por esa causa y en otros basta con considerar tormentas cortas (d ≤ 2 horas) y largas (d > 2 horas). La clasificación de tormentas por duración es afectada por el tiempo de corte, porque la unión de eventos causa corrimientos de intervalo, en desmedro del número de lluvias breves, con un incremento numérico menor de las más largas. Otro criterio de agrupamiento, que se aplica en vez del anterior o a continuación de él, es la posición del pico. La clasificación por percentiles conduce a resultados mucho menos sensibles al tiempo de corte y al método de síntesis de hietogramas. Además elimina el problema de selección de tormentas. Pero al agrupar eventos de distinta duración se pueden mezclar eventos causados por procesos físicos diferentes. Combinar ambos criterios de agrupamiento parece ser la alternativa más adecuada pero se debe cuidar que la cantidad de eventos incluida en cada grupo no reduzca la precisión en los resultados más de lo que la incrementa aumentar la partición. Selección Una decisión previa a la síntesis de hietogramas típicos es definir si ésta se hará sobre todas las tormentas disponibles o si se las seleccionará. En el segundo caso, cuando existe una tendencia definida a que el pico se produzca en un percentil determinado, se consideran sólo los eventos con pico que caen en esa ubicación. Si no, se toman aquellos con pico en la moda o en las posiciones adyacentes. Para resolver si esa tendencia existe, se puede aplicar el test de chi cuadrado, siendo la hipótesis nula que la probabilidad de ubicación del pico tenga distribución uniforme. Tanto en un caso como en el otro, se desechan las tormentas con pico alejado de la posición más frecuente, por no considerarlas representativas de la distribución del conjunto. Esto tiene el inconveniente de reducir el número de datos y de disminuir la confiabilidad de los resultados, cuando la cantidad de tormentas no es muy grande. El número de eventos siempre se torna crítico al agruparlos por sus características Síntesis Una vez caracterizadas las tormentas intensas, se procede a sintetizar los patrones típicos históricos. Las alternativas mejor fundadas para encontrar el hietograma tipo a partir de series históricas, son el método de ordenamiento de intervalos y el de la función de distribución acumulada. Ambos parten de desagregar las tormentas en un número fijo de percentiles y calcular el porcentaje de lámina en cada uno.
Distribución Temporal Interna: Síntesis de Tormentas Intensas
151
12. 3. 2 MÉTODO DEL ORDENAMIENTO DE INTERVALOS Desarrollado por Pilgrim, Cordery y French (1969) y Pilgrim y Cordery (1975), es el estándar para diseño hidrológico en Australia. La descripción de este método puede ser mejor comprendida con el ejemplo dado en la Tabla 12.1. El método consiste en: a) Desagregar las tormentas medidas en un número fijo de intervalos de tiempo y calcular en cada una el porcentaje de lámina por intervalo (en este caso sextiles, es decir, lapsos de 1/6 de la duración). Véase el cuadrante superior izquierdo de la tabla. b) Establecer un orden según dicho porcentaje, asignando valor 1 al pico (intervalo con mayor porcentaje de lluvia), 2 al 2º en magnitud y así sucesivamente (cuadrante superior derecho). c) Promediar por intervalo los órdenes sobre el total de tormentas (cuadrante inferior derecho). Asignar el pico a la posición de menor promedio, la segunda magnitud al segundo creciendo, y así sucesivamente. d) Obtener porcentajes de lámina del hietograma tipo por intervalo (cuadrante inferior izquierdo) promediando los correspondientes a cada número de orden en el total de las tormentas. Así, la media de los porcentajes de lluvia con posición original 1 (resaltado en negrita en la Tabla 12.1) es el porcentaje del pico y así sucesivamente. Tabla 12.1: Cálculo de un hietograma tipo según Pilgrim, Cordery y French (1969)
Tormenta I II III Tipo
Porcentaje de lámina por sextil 1º 2º 3º 4º 5º 6º 15 44 30 6 4 1 ⇒ 10 35 40 8 5 2 ⇒ 25 42 18 8 5 2 ⇒ 14
42
30
7
5
2
1º 3 3 2
Orden del sextil 2º 3º 4º 5º 1 2 4 5 2 1 4 5 1 3 4 5
6º 6 6 6
⇓
⇓
⇐ 2,67 1,33
⇓
⇓
⇓
⇓
2
4
5
6
12. 3. 3 MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Este método, desarrollado por Huff (1967, 1970) parte de las tormentas desagregadas y arriba a distribuciones empíricas de frecuencia acumulada para porcentajes de lámina. El procedimiento se ejemplifica en la Figura 12.1 con la obtención de la distribución empírica del 2º sextil de un conjunto de 10 tormentas. Debe repetirse para todos los intervalos y luego componerse el conjunto de resultados. La tabla adjunta muestra el porcentaje de lámina total acumulado en cada evento. Se establecen límites de clase (de 10 en 10 en este caso) para esta variable (eje x) y se observa qué porción de las tormentas tiene porcentaje menor o igual (eje y). Aquí, por ejemplo, el 60% de los eventos (1, 2, 3, 4, 6 y 9) acumula menos de 20% de la lámina.
152
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Porcentajes de lámina acumulada en 2ºsextil Tormenta % acum. número 2º sextil 1 7 2 9 3 15 4 19 5 35 6 17 7 31 8 22 9 19 10 41 Figura 12.1: Cálculo de un intervalo del hietograma tipo, con el método de Huff
Con estos datos se construye el polígono de frecuencia acumulada, como lo muestra la figura y de él se obtiene el porcentaje de lámina para una probabilidad de no excedencia cualquiera. En el ejemplo, el porcentaje de lámina acumulado en el 2º sextil para las 10 tormentas es 12% (indicado con la flecha) con un 50% de probabilidad de no excedencia (mediana de la muestra). Obtenidos los valores en todos los intervalos, en este caso para el 50%, se dibuja la curva de porcentajes acumulados, para esa probabilidad, del patrón representativo del conjunto de eventos. Cuanto más fino es el incremento de porcentaje de lámina acumulada (abscisas), menos error produce el trazado del polígono de frecuencias uniendo marcas de clase. El porcentaje de tormentas corresponde al número de tormentas con porcentaje acumulado menor que la clase considerada, dividido por el número total de tormentas. En la Figura 12.2 se muestran hietogramas tipo discretos, obtenidos con esta metodología. El ejemplo corresponde a tormentas con pico en el primer sextil, para duraciones largas y cortas ocurridas en la Estación Ceres (Provincia de Santa Fe). La Figura 12.3, en cambio, compara hietogramas tipo acumulados, sintetizados con los dos procedimientos descriptos, para tormentas de iguales características y en la misma estación que las de la figura anterior. Se observa que los patrones son muy similares. Estos resultados permiten sugerir que no se deseche a priori la técnica de Pilgrim et al., pese a que, al arreglar el diseño del hietograma (promediando valores ocurridos en intervalos diferentes de distintas lluvias), asocia distribuciones de baja probabilidad con láminas poco frecuentes y aumenta la recurrencia real de las tormentas estimadas.
Distribución Temporal Interna: Síntesis de Tormentas Intensas
60
60
53.25
a50 n i m 40 á l e d30 e j a t 20 n e c r10 o P 0
Tormentas cortas (d ≤ 2h) con pico en el primer sextil
18.75 11.17
Sextil
1
2
3
7.83
4
6.09
5
2.91 6
153
54.50
Tormentas largas (d > 2h) con pico en el primer sextil
a50 n i m 40 á l e d30 e j a t 20 n e c r10 o P 0
19.00 13.67 3.08
Sextil
1
2
3
4
6.92
5
2.83 6
Figura 12.2: Hietogramas tipo discretos de Ceres según el método de Huff (50%)
100
100
. 90 l u m u c80 a a n i m70 á l %
. 90 l u m u c80 a a n i 70 m á l %
Huff Pilgrim
60
CERES.HIETOGRAMA ACUMULADO. TORMENTAS LARGAS (d>2h) CONPICO ENEL PRIMERSEXTIL
50 1
2
3
4
5 Sextil 6
Huff Pilgrim
60
CERES. HIETOGRAMA ACUMULADO. TORMENTAS CORTAS (d<2h) CONPICO ENEL PRIMERSEXTIL
50 1
2
3
4
5 Sextil 6
Figura 12.3: Comparación de hietogramas tipo acumulados
12.4 HIETOGRAMAS DE TORMENTAS INTENSAS EN CÓRDOBA Los criterios y valores utilizados para considerar tormentas intensas en la Provincia de Córdoba (Caamaño Nelli, Dasso y García, 1999), fueron: a) condición mínima de intensidad media: 0,1 mm/minuto; b) lámina mínima precipitada: 20 mm; c) tiempo de separación entre eventos: se trabajó con 1 y 2 horas, paralelamente. Cada tormenta intensa así obtenida se desagregó en sextiles, calculando la lámina precipitada y el porcentaje del total de lluvia en cada uno. La ubicación del pico correspondió al sextil con mayor porcentaje. El total de tormentas intensas catalogadas por duración, fijando en 1 y 2 horas la separación mínima entre eventos, fueron de 1103 y 1038 respectivamente, como se observa en la Tabla 12.2.
154
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla 12.2: Tormentas intensas en estaciones base de la Provincia de Córdoba, clasificadas según su duración NOROESTE SIERRAS NORESTE CENTRO SUROESTE ESTE SUR REGIÓN ZONA CERES CÓRDOBA RÍO CUA RTO M. J UÁ REZ LA BOULA YE (PROVINCIA) ESTACIÓN V. DOLORES LA SUELA DURACIÓN Criterio de separación entre eventos: 2 horas sin lluvia 20 21 38 29 21 32 32 193 18,59% ≤ 1 hora 2 horas 16 20 48 27 13 27 38 189 18,21% 3 horas 18 21 57 22 22 19 25 184 17,73% 3 a 6 horas 24 37 107 57 29 49 44 347 33,43% > a 6 horas 5 19 46 17 10 10 18 125 12,04% Total 83 118 296 152 95 137 157 1038 100,00% DURACIÓN Criterio d e separación entre eventos: 1hora sin lluvia 24 25 50 35 28 35 35 232 21,03% ≤ 1 hora 2 horas 15 21 62 27 16 27 42 210 19,04% 3 horas 19 21 63 24 21 22 25 195 17,68% 3 a 6 horas 25 42 110 56 29 52 44 358 32,46% > a 6 horas 4 14 39 15 8 12 16 108 9,79% Total 87 123 324 157 102 148 162 1103 100,00%
La disminución del número de tormentas, para el caso de 2 horas sin lluvia, se debe a que, al extender el tiempo de separación entre eventos, las lluvias distanciadas por lapsos entre 1 y 2 horas formaron un solo suceso, reduciendo en un 6 % el total de eventos para el caso de 1 hora de corte. Las tormentas que surgen de este tipo de uniones son notablemente más largas que las definidas con una hora de corte y la frecuencia de eventos breves es menor. Pero pese a estas diferencias, la elección del lapso de corte no alteró la distribución regional y mantuvo el orden de importancia al agruparlas por duración. Por ello, a falta de fundamentos de peso en favor de una u otra alternativa, se adoptó el criterio de separación de 2 horas para definir las tormentas intensas en el territorio cordobés. Los criterios usados para agrupar los eventos fueron: duración, posición del pico y combinación de ambos. Según el primer criterio, se los clasificó en 5 grupos: eventos de hasta 1 hora duración, de 1 a 2 horas, de 2 a 3, de 3 a 6 y de más de 6 horas. La combinación contempló 12 conjuntos dados por la asociación entre tormentas de: duración inferior y superior a 2 horas, con posibilidad de pico en cada uno de los sextiles considerados. La Tabla 12.3 refleja la frecuencia relativa local y regional de las tormentas intensas en la Provincia de Córdoba, separadas con el criterio de 2 horas sin lluvia y clasificadas en tormentas cortas (duración ≤ de 2 horas) y largas (duración > de 2 horas), donde los intervalos de clase responden al sextil de ubicación del pico. Se excluyeron las tormentas con distribuciones bimodales (de interpretación ambigua) quedando reducido el número a 969 tormentas, de las cuales 621 (64 %) son largas. La tendencia más notoria pasó a ser la ubicación del pico de intensidad en el primer sextil, para tormentas largas y cortas, a excepción de La Suela y Laboulaye, donde se ubicó en el 2º sextil en las tormentas cortas.
Distribución Temporal Interna: Síntesis de Tormentas Intensas
155
Tabla 12.3: Frecuencia relativa de tormentas intensas en la Provincia de Córdoba, clasificadas por posición del pico y duración NOROESTE SIERRAS ZONA ESTACIÓN V. DOL ORES L A SUEL A
SEXTIL
NORESTE CERES
CENTRO
SUROESTE
ESTE
SUR
REGIÓN
CÓRDOB A RÍO CUA RTO M. J UÁ REZ L AB OUL AYE (PROVINCIA )
Tormentas Cortas: duración menor o i gual a 2 horas
Primero Segundo
34,29 22,86
15,79 31,58
26,44 25,29
34,69 30,61
27,78 22,22
44,07 18,64
27,27 29,55
30,46 25,57
Tercero Cuarto Quinto Sexto Total
20,00 11,43 8,57 2,86 42,68
13,16 21,05 7,89 10,53 34,55
12,64 19,54 11,49 4,60 29,59
14,29 12,24 6,12 2,04 36,03
16,67 11,11 16,67 5,56 38,30
13,56 11,86 10,17 1,69 43,07
15,91 20,45 2,27 11,99 18,94
14,66 15,80 9,20 4,31 35,91
SEXTIL
Tormentas Largas: dur ación mayor a 2 hor as
Primero Segundo
55,32 19,15
44,44 13,89
49,28 19,81
49,43 21,84
48,28 18,97
46,15 21,79
47,22 18,06
48,47 19,32
Tercero Cuarto Quinto
8,51 8,51 2,13
22,22 12,50 2,78
12,56 6,28 7,25
10,34 6,90 8,05
6,90 10,34 5,17
16,67 2,56 10,26
12,50 5,56 9,72
13,04 7,09 6,92
6,38 57,32
4,17 65,45
4,83 70,41
3,45 63,97
10,34 61,70
2,56 56,93
6,94 81,06
5,15 64,09
Sexto Total
La frecuencia relativa es el mejor estimador de la probabilidad de ocurrencia de lluvias con propiedades dadas. No obstante, para diseño hidrológico (donde aún se emplean patrones de tormentas pese a su incompatibilidad), la duración se establece en forma determinística según rasgos físicos de la cuenca de aporte. Por lo tanto, lo que interesa conocer es la probabilidad condicional del hietograma tipo (o de que la precipitación se distribuya de ese modo), dado que dura el tiempo establecido. En consecuencia, la frecuencia absoluta de las tormentas clasificadas en la Tabla 12.2 no aporta información útil para diseño. En cambio, sí brinda pautas la frecuencia relativa que se presenta en la Tabla 12.3, clasificando los eventos por ubicación del pico. En este caso, por ejemplo, se puede estimar que, en una lluvia de 3 horas en la Zona Este de la Provincia (representada por Marcos Juárez), la probabilidad de que el pico ocurra en los 30 minutos iniciales (primer sextil) es 0,46, en tanto que para los 30 finales no llega a 0,03. Tomando en cuenta que el coeficiente de avance (cociente entre tiempo hasta el pico y duración) es clave en la forma del hietograma tipo -e incluso de la consecuente crecida-, es posible valorar la importancia de esta información y resaltar lo irracional de elegir la distribución temporal desentendiéndose de su probabilidad de ocurrencia. En esta región el análisis puede limitarse a tormentas con pico del 1º al 4º sextil, (más del 75 % del total con criterio combinado y 82 a 90 % por posición del pico), ya que las restantes, dada su baja frecuencia relativa, no reflejan las distribuciones típicas que se busca identificar.
156
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
En cuanto a la síntesis de los patrones temporales, estos se efectuaron, tanto con el método de Pilgrim et al. como con el de Huff, utilizando en este último el 50% de probabilidad de no excedencia (la mediana de la muestra) en cada sextil. Los hietogramas tipo finales se expresaron en distribuciones porcentuales discretas, por estación (o zona) y en promedio regional re gional (provincia), ponderado este último con el cociente entre las áreas parciales de cada zona y el total provincial. La Figura 12.4 exhibe los hietogramas tipo de 106 tormentas cortas y 301 largas con pico en sextil 1 (criterio combinado) y del conjunto (por posición de pico), sintetizados con la técnica de Huff, mientras que la Figura 12.5 muestra los resultados equivalentes con la técnica de Pilgrim et al.
a 80 n i 60 m á L 40 e d 20
Duración h asta 2 horas hor as
% 0 V D(34)
80
a n i 60 m á L 40 e d 20 %
CS(26)
OC(34)
RC(28)
MJ(44)
LA (27)
REGION(30)
CS(49)
OC(49)
RC(48)
MJ(46)
LA (47)
REGION(48)
CS(42)
OC(44)
RC(40)
MJ(45)
LA (39)
REGION(42)
Duración mayor de 2 horas
0 V D(55)
80
a n i 60 m á L 40 e d 20 %
SU(16)
SU(44)
Total de tormentas
0 V D(46)
SU(34)
Figura 12.4: Hietogramas tipo de estaciones base de la Provincia de Córdoba, con pico en el primer sextil, sintetizados con el método de Huff
Distribución Temporal Interna: Síntesis de Tormentas Intensas
a 8 0 n i 60 m á L 4 0 e d 2 0
157
Duración hasta 2 horas
% 0 V D( D( 3 4 )
80
a n i 60 m á L 4 0 e d 2 0
S U( 1 6 )
CS ( 2 6 )
O C( 3 4 )
RC( 2 8 )
MJ ( 4 4 )
L A (2 (2 7 )
REG IO N( 3 0 )
Duración mayor de dos horas
% 0 V D( D( 5 5 )
80
S U( 4 4 )
CS ( 4 9 )
O C( 4 9 )
RC( 4 8 )
MJ ( 4 6 )
L A (4 (4 7 )
REG IO N( 4 8 )
CS ( 4 2 )
O C( 4 4 )
RC( 4 0 )
MJ ( 4 5 )
L A (3 (3 9 )
REG IO N( 4 2 )
Total de tormentas
a n i 60 m á L 4 0 e d 2 0 %
0 V D( D( 4 6 )
S U( 3 4 )
Figura 12.5: Hietogramas tipo de estaciones base de la Provincia de Córdoba, con pico en el primer sextil, sintetizados con el método de Pilgrim et al.
A primera vista, sobre el total de eventos, los dos gráficos son similares, debido a haber fijado la posición del pico, que condiciona en gran medida la forma del hietograma. Ésta decae hacia la derecha regularmente, sugiriendo que ajustaría bien a una función analítica (exponencial negativa o potencial inversa). Sin embargo, el descenso por el método de Pilgrim es siempre monótono y más parejo, suavizando las particularidades locales. La imposición de la moda en el primer sextil no explica la semejanza de porcentaje de lámina de ambos métodos en esa posición, que se da en todas las estaciones. Los incrementos (de 2,5 a 3,5 %, con máximo 6 % y mínimo 0,8 %) de Pilgrim con respecto a Huff se explican por la puesta en fase de picos en el primero. A pesar de ello, con este agrupamiento no parece relevante la elección de la técnica de síntesis. Además, cualquiera sea ésta, hay fuerte consistencia regional en el porcentaje de lámina máximo: de 45 a 54 % con Huff y de 51 a 57 % con Pilgrim et al. Esta particularidad es aún más notoria si se aplica a las tormentas largas, que por ser más numerosas modelan el resultado conjunto. En ellas, los incrementos van de -2 a 5 % (en general, de 2 a 2,5 %). El rango regional de lámina pico con ambos métodos es más estable: 52 a 57 % (Huff) y 53 a 58 % (Pilgrim et al.).
158
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Para tormentas cortas, los hietogramas con la técnica de Pilgrim son también monótono decrecientes, no así los sintetizados con Huff, que en algunas estaciones (SU y OC) muestran marcadas diferencias con los anteriores Los incrementos en el porcentaje de lámina en la moda, de Pilgrim et al. a Huff, varían entre -4 y 7 %. A nivel regional, la variación de lámina pico es más notoria: 37 a 55 % (Huff), 41 a 59 % (Pilgrim et al.). Los hietogramas tipo de la Figura 12.6 son producto de aplicar el método de Huff a las tormentas clasificadas de acuerdo a su duración. Los patrones de Huff exhiben formas muy diversas, con pico preferentemente ubicado en el 2º sextil, circunstancia que se da en el 40 % de los hietogramas locales, pero que tiene únicamente preponderancia clara para duraciones de 1 a 2 horas de lluvia. Le sigue la localización de la moda en el primer intervalo (23 % de los casos), que compite con la anterior en la banda de 3 a 6 horas. Sólo en el último sextil el pico está ausente en todos los hietogramas tipo por duración. No se advierte una tendencia geográfica en la posición del máximo. Por ejemplo, los cinco casos de ocurrencia en el 4º intervalo corresponden a sendas estaciones diferentes, en tanto que los siete en que se coloca en el 3º se reparten en seis de las estaciones. Los resultados del método de Pilgrim et al. son nuevamente más homogéneos. En los patrones de las tormentas más breves, el pico es proclive a ocupar el 2º sextil. Pero éste cede su preeminencia en favor del primer intervalo a medida que crece la duración de lluvia y no aparece con máximos en las tormentas más largas, acumulando sólo 34 % de las modas locales, contra 57 % del sextil inicial. Tres localizaciones del pico en el tercer intervalo (sin coincidencia geográfica o de clase entre sí) constituyen el 9 % restante, ya que no se dan casos con coeficiente de avance mayor. La variabilidad regional de la lámina en la moda es considerablemente mayor cuando se clasifica sólo por duración, siendo otra vez más fluctuante en los patrones de Huff. Establecida la duración de la tormenta, de acuerdo a los rasgos de la cuenca, esta clasificación provee un hietograma tipo único por estación, no cuatro (como fue por posición del pico, del 1º al 4º sextil) u ocho (como el criterio combinado). c ombinado). Es decir, deci r, se asume que la probabilidad de que la lluvia se distribuya siguiendo ese patrón es 1, haciendo innecesario optar entre varias alternativas. Pese a que con ello el procedimiento es más objetivo, el agrupamiento por duración (al no fijar la ubicación de la moda) compendia formas disímiles, por lo cual el resultado no necesariamente se asemeja a los hietogramas reales que le dieron origen.
Distribución Temporal Interna: Síntesis de Tormentas Intensas
60 a n50 i 40 m á L30 e20 d 10 % 0
Duración menor a 1 hora
NOROESTE
60 a n50 i 40 m á L30 e20 d 10 % 0
159
SIE SIERRAS
NORESTE
CENTRO
SUROESTE
ESTE
SUR
REGION
CENTRO
SUROESTE
ESTE
SUR
REGION
CENTRO
SUROESTE
ESTE
SUR
REGION
CENTRO
SUROESTE
ESTE
SUR
REGION
Duración de 1 a 2 horas
NOROESTE
SIERRAS
NORESTE
Duración de 2 a 3 horas 60 a n50 i 40 m á L30 e20 d 10 %0 NOROESTE
60 a n50 i m 40 á L30 e20 d 10 %0
SIERRAS
NORESTE
Duración de 3 a 6 horas
NOROESTE
SIERRAS
NORESTE
Figura 12.6 : Hietogramas tipo de estaciones base de la Provincia de Córdoba, con categorías por duración, sintetizados con la técnica de Huff
160
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
12.5 CONCLUSIONES El criterio de extender el lapso de corte entre tormentas puede bajar la frecuencia de las lluvias breves y elevar la de las largas, pero conserva la distribución regional y mantiene el orden de importancia al agruparlas por duración. Para diseño hidrológico (donde persiste el uso indebido de distribuciones temporales de tormentas) interesa la probabilidad (frecuencia relativa) de que una lluvia intensa se distribuya según cierto hietograma tipo, dado que dura un tiempo establecido de acuerdo a rasgos físicos de la cuenca. Por lo tanto, el hietograma tipo debe deducirse agrupando los eventos por duración y posición del pico, ya que la moda es clave en la forma de la distribución. Al aplicar esa selección combinada, tanto la técnica de Huff como la de Pilgrim et al. dan patrones y valores de pico similares, restando relevancia a la elección del método de síntesis. Con ambos, la porción de lluvia en el pico, regionalmente estable, tiende a superar levemente el 50 %. La regularidad de las distribuciones típicas sugiere que se ajustarían bien a funciones analíticas. Estas conclusiones son válidas en especial para tormentas largas. Al clasificar las tormentas sólo por duración, como ésta se establece según la cuenca, es innecesario optar entre alternativas, ya que se obtiene un hietograma tipo único por estación. Pero al no fijar la ubicación de la moda se compendian formas disímiles, los patrones no se asemejan necesariamente a los hietogramas reales y exhiben formas muy diversas, sin que se advierta tendencia geográfica en la posición del máximo. Los hietogramas tipo según Pilgrim et al. son más homogéneos regionalmente, sobre todo al clasificarlos por duración y/o en tormentas breves con pico en la primer mitad. Son, además, más empuntados que los de Huff, debido a que se promedian porcentajes pico al margen de su ubicación. En resumen, para la síntesis de hietogramas a partir de tormentas históricas severas, se aconseja clasificación combinada de los eventos, elección libre del método y asumir que la probabilidad de ocurrencia del hietograma tipo que se va a utilizar, es la frecuencia relativa de la posición del pico dentro del rango en que cae la duración de interés.
Capí tulo 113 .
.
Di s T e m p o r al I n te r n a: s t r ri b bu ci ó ó n T I I n te rv al o s d e M á xi m n te n si d a d A m a I d A nu al C l a a rí a D a s s o y C C a rl o s M a r cel o G G a r cí a l ri t a t a M
13.1 INTRODUCCIÓN Un procedimiento habitual en diseño, para caracterizar la variación temporal en lluvias intensas, es fraccionar la lámina media, extraída de una función intensidad-duraciónrecurrencia (i-d-T) mediante hietogramas tipo de tormentas severas (Capítulo 12). Pero los intervalos móviles que originan la i-d-T no tienen por qué coincidir con una tormenta (pueden cubrir parte de ésta, anexarla a un período sin lluvia o agrupar varias) y el histograma obtenido no corresponde al monto a repartir (Capítulo 1). Pese a haberse detectado hace tiempo esta incoherencia (Pilgrim y Cordery, 1975) y comprobado experimentalmente cómo se distorsionan la distribución y las características del pico (García, Caamaño Nelli y Dasso, 2000a), es generalizado al día de hoy el uso de tormentas sintéticas para distribuir la lámina extraída de la función i-d-T, sin advertir la incompatibilidad entre ambos algoritmos. A fin de subsanar tal inconsistencia, se plantea en este capítulo un nuevo enfoque para la distribución temporal interna de lluvias máximas. Es decir, el evento histórico severo que deberá ser analizado, para la síntesis de los patrones temporales, no es la tormenta intensa, sino el Intervalo de Máxima Intensidad Anual o IMA (Caamaño Nelli, García y Dasso, 1999b). O sea, el mismo intervalo de duración d en que se estima la intensidad media para la función i-d-T. De esta manera, los hietogramas de diseño coincidirán-conceptual y temporalmente- con la lámina a distribuir y reflejarán de manera más verosímil los patrones históricos, propiedad que no siempre conservan los que son deducidos de láminas extraídas de las curvas i-d-T.
162
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
13.2 COMPARACIÓN ENTRE HIETOGRAMAS DE TORMENTAS E IMA El análisis de hietogramas se asocia tradicionalmente a tormentas intensas, y definirlas significa fijar umbrales (Caamaño Nelli, Di Benedetto y Zamanillo, 1994): de corte (tiempo sin llover que basta para dar por concluida una tormenta), de lámina (monto total que justifica tomarla en cuenta) y de intensidad (tasa media de lluvia para considerarla intensa). Estas restricciones, en cierto modo arbitrarias, son improcedentes para los IMA, lo cual en esos aspectos simplifica notablemente el procedimiento. Por otra parte, para diseño, interesa conocer la probabilidad condicional de que una lluvia intensa se distribuya según cierto patrón, dado que dura un tiempo establecido de acuerdo a rasgos físicos de la cuenca (Caamaño Nelli, Dasso y García, 1999). Por ello, antes de sintetizar hietogramas de tormentas, se los debe agrupar por rangos de duración, cuya amplitud se ve condicionada por la cantidad de casos que incluya cada clase. En cambio, por definición, los intervalos de máxima anual duran lapsos exactos, elegibles con libertad, y cada conjunto contendrá tantos eventos como años tenga la serie.
13. 2. 1
SIMILITUDES Y DIFERENCIAS ENTRE LOS EVENTOS
A fin de comparar ambos enfoques, fué analizada en forma particular (García, Caamaño Nelli y Dasso, 2000a) la serie de la Estación Ceres (Provincia de Santa Fe), con 38 años de registros pluviográficos diarios, comprendidos en el período 1955-1993. Los eventos históricos contrastados fueron las 296 tormentas intensas (Capítulo 12, Tabla 12.2) y los 228 máximos anuales, a razón de 38 eventos por cada una de las 6 duraciones seleccionadas (30, 60, 120, 180, 720 y 1440 minutos). Se analizaron los principales errores causados al no proceder del modo debido, tratando de evaluar la magnitud de los mismos. Para facilitar el estudio, las láminas de los IMA se desagregaron en sextiles, al igual que las de tormentas intensas. Un examen de las muestras permitió comprobar que las tormentas que generaron los IMA son intensas, a excepción de dos con intensidad media menor que 6 mm/hora. Una incluye los máximos para 30 y 60 minutos y la otra el de 1440 minutos (24 horas). Por otra parte, en más de un tercio de la muestra de los IMA de las 6 duraciones prefijadas, los máximos corresponden a la misma tormenta. En el resto, los máximos pertenecen a distintos episodios lluviosos o están constituidos por más de uno. Otro aspecto observado, es que una elevada proporción de la lámina total de la tormenta, precipita en el intervalo de máxima (desde 64% para los IMA de 30 minutos a un 92% para los de 3 horas) y que ello ocurre en un lapso breve respecto a la duración total de la tormenta. El tiempo sin lluvia comprendido en un intervalo de máxima anual también es relevante. Se detectó, por ejemplo, que los IMA de duración 6 horas, incluían, en promedio, mas de un tercio de su duración sin lluvia, en tanto que para los IMA de 24 horas, hubo lluvia en apenas un poco más de la mitad del intervalo (unas 12 horas).
Distribución Temporal Interna: Intervalos de Máxima Intensidad Anual
163
En un análisis detallado de los IMA mayores a 3 horas, se pudo advertir que los intervalos de máxima anual de 24 horas llegaban a contener hasta 4 tormentas íntegras y que las distribuciones unimodales eran minoritarias (42,1%) frente al conjunto de los demás tipos de distribuciones presentadas. Para el caso de las unimodales la duración media de la lluvia fue de 437 minutos y de 1003 minutos para el tiempo sin lluvia. Si bien la duración media de la precipitación fue aumentando mientras disminuía el lapso sin lluvia (para las tetramodales, fueron de 825 y 615 minutos respectivamente) éste último se presenta como una característica de importancia al momento de encontrar la distribución temporal. Es justamente en los intervalos de 24 horas de duración donde se presentaron más claras las diferencias en la variación interna de ambos tipos de eventos. En consecuencia, si se distribuyera la lámina extraída de la curva i-d-T con hietogramas de tormentas intensas, se la estaría repartiendo en 24 horas, cuando en realidad sólo debería hacérselo en 7 horas, según el promedio histórico observado. Además, se asume de antemano que el hietograma es unimodal, siendo que ésta es solo una de las posibilidades y no la más probable. Para la síntesis de hietogramas de IMA, la técnica de Huff resulta satisfactoria. Desagregadas las láminas de IMA en sextiles, es posible elaborar las curvas adimensionalizadas (% de lámina acumulada versus % de tiempo) y encontrar, para cada conjunto (una duración de IMA) la función empírica de frecuencias acumulada. El hietograma tipo puede entonces sintetizarse para la probabilidad de no excedencia de la mediana de la distribución empírica (50%). O sea, de la misma manera que para la síntesis de los hietogramas de tormentas. En la Figura 13.1 se muestra el contraste entre hietogramas tipo sintetizados a partir de tormentas intensas y de Intervalos de Máxima Intensidad Anual. Para una mejor visualización de ambos tipos de patrones, cada hietograma de tormenta, para un rango dado de duración, es acotado por el par de hietogramas de IMA que lo limita. En el caso de Ceres, los contrastes de forma más destacados se dieron en los extremos de duración. Para tormentas intensas de duraciones menores que 1 hora, se observa un patrón bimodal, irregular, contra una distribución cuasi uniforme para el patrón del IMA de 30 minutos. En cambio, el hietograma tipo para tormentas con duraciones mayores que 6 horas presenta un aspecto mucho más achatado e irregular que los de IMA de 6 y 24 horas que exhiben picos iniciales altos seguidos por un descenso brusco en ambos casos. Este empuntamiento, al igual que el hecho que ambos sean unimodales, es debido a la duración de cada sextil (4 horas para el IMA más prolongado), que hace que el primero de éstos incluya la mayor proporción de la lluvia.
164
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
FIGURA 2: HIETOGRAMAS Hietogramas de Diseño DE DISEÑO PUNTUALES de Tormentas Intensas e DE TORMENTAS INTENSAS IMA en el rango E IMA EN EL RANGO 30 a 60 minutos. 30 A 60 MINUTOS
40 A N I M Á L E D E J A T N E C R O P
35 30 25 20 15 10
IMA de 60 minutos
5
Tormentas con d < 1 h
0 1
2
IMA de 30 minutos
3
4
5
6
SEXTIL
FIGURA 4: HIETOGRAMAS
Hietogramas de Diseño de DE DISEÑO PUNTUALES Tormentas Intensas e DE TORMENTAS INTENSAS IMA en el rango E IMA EN EL RANGO 120 a 180 minutos 120 A 180 MINUTOS
40 A 35 N I
M Á L E D E J A T N E C R O P
30 25 20 15 10
IMA de 18 0 minutos
5
Tormentas con 2h
0 1
2
IMA de 1 20 mi nutos
3
4
5
6
SEXTIL
FIGURA 6: HIETOGRAMAS Hietogramas de Diseño DE DISEÑO PUNTUALES de Tormentas Intensas e DE TORMENTAS INTENSA S IMA en el rango E IMA EN E L RAN GO 360Aa 1440 1440MINUTOS minutos 360
70 A N I M Á L E D E J A T N E C R O P
60 50 40 30 20
IMA de 14 40 mi nutos
10
Tormentas con d > 6 h
0 1
2
3
SEXTIL
IMA de 36 0 minutos 4
5
6
Figura 13.1: Contraste entre hietogramas de IMA y de tormentas intensas, en Ceres
Distribución Temporal Interna: Intervalos de Máxima Intensidad Anual
13. 2. 2
165
ERRORES EN POSICIÓN Y MAGNITUD DEL PICO
La comparación anterior entre las formas de los patrones, en buena medida cualitativa, tiende a brindar un panorama general. Para cuantificar ese contraste, se analizaron los dos parámetros que condicionan fuertemente la forma de la distribución: la posición y la magnitud del máximo del hietograma. La posición fué expresada mediante un coeficiente de avance (cociente entre el tiempo al pico y la duración total del evento). Comparando el coeficiente de avance de los hietogramas de IMA de duraciones menores que 3 horas con el de las tormentas que lo contienen, se observa que en las tormentas se mantiene relativamente constante, mientras que en los IMA se adelanta al crecer la duración (García, Caamaño Nelli y Dasso, 2000a). En cuanto a la magnitud del máximo, se analizó el error absoluto entre el promedio de lámina caída en tormentas de un rango dado y e l promedio de lámina caída en los IMA colindantes. Cabría suponer que, si la distribución de las tormentas fuese representativa de la de los intervalos de máxima anual, tanto el monto como la posición de su pico estarían entre los valores de los IMA que acotan su duración. Sin embargo, esto se cumple para la posición, no para la lámina, sólo en tormentas de duración menor que 2 horas y en las de 3 a 6 horas. Los errores (del orden del 7%) son positivos hasta 2 horas y negativos para lapsos mayores. Una vez más, el caso crítico se dió en las máximas duraciones, donde el hietograma sintético de tormentas intensas tiene un pico muy posterior al de los IMA, con un porcentaje inferior cercano al 30%. En síntesis, quedó demostrado experimentalmente que los patrones sintéticos de tormentas intensas no son compatibles con las láminas extraías de las curvas i-d-T, que se pretenden repartir temporalmente. En especial para eventos prolongados, donde se introducen errores importantes.
13.3 COEFICIENTES DE FORMA EN HIETOGRAMAS DE IMA Con el fin de caracterizar la intensidad máxima de los hietogramas de IMA (por su incidencia en el pico de la crecida) se definieron coeficientes de forma (Caamaño Nelli, Dasso y García, 2000) que expresan su posición y tamaño. Concretamente, representan las coordenadas relativas del máximo de intensidad del hietograma, a saber: •
•
coeficiente de avance, duración del IMA
a: tiempo hasta que se da el pico, dividido por la
coeficiente de pico, b: cociente entre la lámina en el sextil de máxima (hp) y la lámina total (ht) del IMA.
166
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
El coeficiente a, definido de esta manera, toma valores fijos en cada bloque del hietograma, partiendo de la mitad del primero. Así, será igual a 0,08; 0,25; 0,42; 0,58; 0,75 y 0,92 desde el primero al sexto sextil, respectivamente. El coeficiente b, en tanto, estará dado por la proporción de lámina respecto de la total, que cae en el pico.
13. 3. 1
CARACTERIZACIÓN DE LOS COEFICIENTES
Para caracterizar la forma de los hietogramas de IMA, en términos de magnitud y posición de la intensidad máxima, se analizaron estadísticamente (Caamaño Nelli, Dasso y García, 2000; Dasso, García y Caamaño Nelli, 2001) un total de 480 hietogramas de las Estaciones Ceres (304) y La Suela (176). En ambas muestras se pudo observar la presencia de hietogramas uniformes (igual proporción de lámina en cada sextil) o cuasi uniformes (hasta en 4 bloques de los seis) en una pequeña proporción, frente al resto con distribución unimodal, en algunos casos con forma muy empinada. Para la determinación de los coeficientes de forma en los casos uniformes, se tuvo presente la aparición del primer máximo.
Frecuencia del coeficiente de avance Para obtener la frecuencia de ocurrencia, la clasificación del coeficiente de avance, resultó automáticamente por sextiles . La Figura 13.2 expone para las estaciones Ceres y La Suela, la frecuencia relativa porcentual de ocurrencia del coeficiente a, en cada sextil. Los valores están expresados para cada duración, como porcentajes sobre el total de la muestra, de forma tal que cada evento representa aproximadamente un 2,6% en Ceres y un 4,5% en La Suela. En la Estación Ceres, la alternativa que el pico de intensidad se sitúe en el primer sextil (una de las menos frecuentes para 30 minutos) pasó a ser la dominante desde los 360 minutos y a partir de allí, su probabilidad supera el conjunto de las restantes. Entre 60 y 180 minutos, la preeminencia de la ubicación en el segundo sextil se acentúa, pero luego decae bruscamente a menos del 20%. Solo para la menor de las duraciones del intervalo de máxima anual, es más frecuente (si bien no exageradamente) hallar la mayor intensidad en la segunda mitad del hietograma. En la Estación La Suela, en cambio, si se tiene presente que la frecuencia mayor, dada en el primer sextil para las duraciones de 30 a 60 minutos, incluye un porcentaje de hietogramas con distribución cuasi uniforme (8 de los 9 con el pico en el primer sextil), los picos reales se situarían en el tercer sextil. Para 90 y 120 minutos, en porcentaje decreciente, el pico se situa en el segundo sextil. A partir de los 180 minutos, en cambio, se posiciona en el primer sextil, con una frecuencia relativa que varía entre un 40 y 50% (720 minutos). En síntesis, el hecho evidente en ambas estaciones, es el adelantamiento del pico a partir de los 180 minutos, siendo mayor esta probabilidad en la Estación Ceres.
Distribución Temporal Interna: Intervalos de Máxima Intensidad Anual
167
70 ) 60 % ( 50 a i c 40 n e 30 u c 20 e r F 10
63
Estación Ceres
55 47 39
39
42
34 29 26 18 13 13
21 16
18
21
21
21 11
18
13
11 5
21
18 13
11
8
8
8
5
3
0
18
0
16
13 5
1 1 11
8 3
0
11 11
3
0 0
0 30
60
90
120
180
360
720
1440
70 ) 60 % ( 50 a i c 40 n e 30 u c 20 e r F 10
Estación L a Suela
50 45
41
41 32
41
32
41
32
23
23 18
1414
14
14
9
23 23 18
14141 4
18 1414
18 14
9
14 9
9
5 0
0
0
18
14 9 9 9 5
0
5
9 9 5
0
0 30
60
90
120
180
360
720
1440
D u r a c i ó n d e l In t e r v a lo d e M á x i m a A n u a l (m i n u t o s )
Figura 13.2: Frecuencia del Coeficiente de Avance en hietogramas de IMA
Frecuencia del coeficiente de pico Para el coeficiente de pico, los rangos de clases fueron los deciles, desde 0-0,1 hasta 0,91. La naturaleza del vínculo exige que el pico alcance un valor de b superior a 1/6, lo cual excluyó la existencia de casos en las dos clases iniciales, ya que para no exceder 0,2 se requiere una distribución cuasi uniforme, ausente en la práctica. Se enfocó el análisis por duraciones, prescindiendo de la posición del pico. La Tabla 13.1, muestra la frecuencia relativa de la proporción de lámina para cada rango de duración del IMA. Puede observarse en Ceres que, para duraciones pequeñas (d = 30 y d = 60 minutos), los picos tienden a destacarse poco en los hietogramas, ya que en alrededor de la tercera parte de los eventos el valor de b está entre 0,2 y 0,4 ( 30% en 0,3-0,4 y más del 40% en 0,2-0,3). ∼
Para duraciones intermedias (d = 90 a 180 minutos), el coeficiente se sitúa en 0,3-0,5 entre el 50 y el 58% de las veces. En intervalos largos (d = 360 a 1440 minutos) las mayores frecuencias relativas se dan para dos clases distantes entre si: 0,4-0,5 y 0,9-1. En esta última, cuyo peso crece con la duración, prácticamente toda la lámina precipita en el sextil pico, debido al aumento de extensión de los bloques (para IMA de 1440 minutos, cada sextil dura 4 horas). De hecho, el 96% de los eventos que caen en esta categoría duran 360 minutos o más.
168
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla 13.1: Frecuencia del Coeficiente de Pico en hietogramas de IMA.
Estación Ceres Clase 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Total
30
60
0,1 0 0,2 0 0,3 0,447 0,4 0,316 0,5 0,158 0,6 0,053 0,7 0,026 0 0,8 0 0,9 0 1
0 0 0,421 0,289 0,184 0,053 0,026 0 0 0,026 1 1
90
120
180
360
720
1440
Fr
0 0 0,158 0,421 0,158 0,211 0,053 0 0 0 1
0 0 0,184 0,263 0,316 0,132 0,026 0,079 0 0 1
0 0 0,079 0,263 0,237 0,132 0,105 0,105 0,079 0 1
0 0 0,026 0,132 0,342 0,079 0,132 0,079 0,026 0,184 1
0 0 0,132 0,105 0,158 0,105 0,132 0,079 0,132 0,158 1
0 0 0 0,105 0,184 0,132 0,079 0,079 0,105 0,316 1
0 0 0,181 0,237 0,217 0,112 0,072 0,053 0,043 0,086 1
360
720
1440
Fr
Estación La Suela Clase 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Total
30
60
90
120
180
0 0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0 0 0,2 0 0,3 0,364 0,409 0,227 0,136 0,227 0,091 0,182 0 0,4 0,182 0,318 0,409 0,364 0,091 0,136 0,5 0,18 0,182 0,182 0,273 0,409 0,136 0,318 0,6 0,08 0,05 0,091 0,227 0,182 0,364 0,227 0 0 0,091 0,091 0,7 0,08 0,04 0,045 0,8 0,06 0 0 0 0,045 0,05 0,091 0 0,045 0 0 0,045 0,045 0,9 0,05 0 0 0 0 0,045 0,091 0,045 1 1
1
1
1
1
1
0 0 0 0,091 0,227 0,273 0,091 0,136 0,091 0,091 1 1
0 0 0,205 0,199 0,238 0,187 0,055 0,048 0,035 0,034 1
En La Suela, el comportamiento es similar. Para duraciones de 30 a 60 minutos los mayores valores de b se ubican en el rango 0,2 - 0,4 con valores levemente inferiores que en el caso previo. A medida que aumenta la duración, los mayores valores de b se desplazan. En efecto, para duraciones intermedias (entre 90 y 180 minutos) se sitúan entre 0,3 y 0,5 y para duraciones mayores a 360 minutos el rango es de 0,4 a 0,6. Otro aspecto evaluado, fueron los valores medios y extremos de b. Pueden presentarse casos a partir de las 3 horas de duración del IMA, en que la lámina total del evento o una proporción superior al 80% se concentre en un único sextil. Cada sextil en estos IMA dura un lapso prolongado de 0,5 horas (para d = 180 minutos) a 4 horas para un día. En promedio la proporción de lámina en cada sextil aumenta con la duración, desde un 34% para 30 minutos a un 70% en 1440 minutos. En resumen, a medida que se prolongan los intervalos de máxima anual, los valores de b ascienden, indicando que los hietogramas son proclives a empuntarse.
Distribución Temporal Interna: Intervalos de Máxima Intensidad Anual
13. 3. 2
169
RELACIÓN ENTRE COEFICIENTES Y DIMENSIONES DEL IMA
El análisis anterior, tanto para el coeficiente de avance como para el de pico, permite inferir que a medida que crece la duración del intervalo, a disminuye y b aumenta, lo que significa que varían en sentido inverso uno del otro. Igual comportamiento pudo observarse con respeto a la lámina total (ht) precipitada en el IMA. Dilucidado el comportamiento cualitativo de los coeficientes, en relación con las dimensiones básicas del hietograma, d y ht, se ensayaron distintos tipos de vinculaciones para encontrar el grado de dependencia de aquellos con estas variables. Un primer análisis se efectuó planteando ambos coeficientes como funciones de la lámina precipitada en el intervalo. Bajo estas circunstancias, los valores presentaron gran aleatoriedad, cualesquiera sean el coeficiente y la extensión de intervalo que se consideren (r² inferiores a 0,3). De ello se desprende que, establecida la duración del IMA, la posición y la magnitud del pico de intensidad son prácticamente independientes entre si y del monto de lluvia caído. Sin embargo, los análisis anteriores habían detectado tendencias generales, no casuísticas, en función de la duración, no fijando esta variable. Se plantearon entonces las relaciones para valores medios en cada duración, de a, b, ht y hp (lámina en el pico), tomando a la duración como variable independiente. La Figura 13.3 muestra las vinculaciones de los coeficientes de forma, la lámina total y la lámina en el pico, con la duración, en las estaciónes Ceres y La Suela. En la Estación Ceres, los valores medios de los coeficientes tienen una fuerte dependencia con la duración y su comportamiento es el previsto, b aumenta y a decae en similar proporción, habida cuenta del valor de los exponentes de las funciones. Las 2 curvas de regresión y el r indican una fuerte correlación de los coeficientes con d, en especial para b. La interpretación de estos resultados es que, en tanto y en cuanto los IMA se prolongan, su pico de intensidad se torna comparativamente más grande y se desplaza hacia el inicio. Cabría suponer que la variación de b tendría que modificarse en forma inversa a la lámina (y, por lo tanto, a d), y no directa como lo hace. Por otra parte, ht debe crecer con la duración y de hecho se dá (r² = 0,841). Podría pensarse entonces que la dependencia de b con respecto a d ha sido impuesta. La única explicación para ello es que la lámina de máxima hp se incremente más que la total con la duración. Esto en efecto sucede y la correlación (r²= 0,932)es mayor que la que se estableció para ht. En la Estación La Suela el comportamiento es similar. Tanto b, como hp y ht varían potencialmente con la duración con una fuerte dependencia. Los coeficientes de 2 determinación r para estas funciones son incluso levemente superiores que los anteriores. La excepción se plantea en el comportamiento del coeficiente de avance, cuyos valores medios, en el orden de 0,33, se mantienen constantes para cualquier duración del IMA, siendo prácticamente independientes de esta variable.
170
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
100 )
1.0
Estación Ceres
ht = 12,959 d
0,2722
2
0.8
80
r = 0,8405
s e t n0.6 e i c i f 0.4 e o C
s a n i 60 m á L
0,1998
b = 0,1683 d 2
r = 0,9637
hp = 2,2247 d
0,4599
40
2
r = 0,932
0.2
a = 0,9616 d
-0,2132
20
2
0.0
0 500
100
Estación La Suela
s e t n 0.6 e i c i f e 0.4 o C
ht = 14,63 d
0,2422
2
r = 0,9748
b = 0,137d
80
0,2146
2
r = 0,93
hp = 1,7641d
60 0,4734
2
r = 0,9682
a = 0,3767d
0.2
b
hp
1000 d (minutos) 1500
1.0 0.8
a
ht
r = 0,8433
0
m m (
2
40
) m m ( s a n i m á L a
-0,0241
20
b
r = 0,1314 ht
0.0
0 0
500
1000 d (minutos) 1500
hp
Figura 13.3: Correlación de los coeficientes y dimensiones del IMA con la duración
13.4 CONCLUSIONES Emplear intervalos de máxima anual en vez de tormentas intensas tiene la ventaja de no exigir criterios mínimos de corte, de lámina y de tasa, eliminando la subjetividad que implica fijarlos. Para intervalos de máxima anual menores que 2 horas, una elevada proporción de lámina precipita en el IMA y ello ocurre en un tiempo breve respecto a la duración de
Distribución Temporal Interna: Intervalos de Máxima Intensidad Anual
171
la tormenta. Al utilizar patrones de distribución de tormentas intensas para estas duraciones, se incrementa el monto relativo del pico en poco más del 20 %. El tiempo sin lluvia en un intervalo de máxima anual es relevante, especialmente para duraciones mayores que 3 horas. Para duraciones de 12 horas, por ejemplo, las láminas extraidas de curvas i-d-T, incluyen, en promedio, cerca de la mitad de la duración sin lluvia. Las mayores diferencias en la distribución interna de ambos tipos de eventos son más nítidas en 24 horas, donde los intervalos de máxima anual pueden contener hasta 4 tormentas íntegras, predominando los hietogramas con varios máximos relativos (polimodales). Cuando se distribuye la lámina de 24 horas con hietogramas de tormentas intensas, se la está repartiendo en ese total cuando, según el promedio histórico, debería hacérselo en alrededor de 15 horas. Esto indudablemente reduciría el monto relativo del pico en más del 50 %. Las suposiciones de un hietograma unimodal y de lluvia permanente, implícitas en los patrones de tormentas intensas, afectan notablemente la forma del hietograma para duraciones mayores a 3 horas, asignándole un aspecto mucho más achatado e irregular. Sólo en la banda de transición entre 2 y 3 horas, hay cierta correspondencia de lámina, porcentaje de ésta en el pico, moda y forma entre ambos tipos de eventos severos. Caracterizando los hietogramas de IMA a través de sus coeficientes a y b, mediante un análisis de frecuencias, queda demostrado que el pico de intensidad sufre un adelantamiento a medida que se prolongan los intervalos de máxima anual, en tanto que su tamaño relativo se incrementa, conduciendo a hietogramas más empuntados. En promedio la proporción de lámina en cada sextil aumenta con la duración. Puesto que, según aumenta la extensión del IMA, a disminuye y b aumenta, los coeficientes de forma varían en sentido inverso uno con respecto al otro. Si el análisis se hace para duración de IMA fija, la posición y la magnitud del pico de intensidad son prácticamente independientes entre si y del monto de lluvia caído. Pero, si se vinculan las medias de los valores de estos coeficientes con la duración, los parámetros de forma siguen las tendencias predichas: a decae, b crece y lo hacen en proporción similar. Ambos guardan una fuerte correlación con la duración, especialmente la proporción de lámina. Esta dependencia responde a f unciones de tipo potencial.
Capí tulo 114 .
.
P re d i c C re cie n te s d e P r o ye c t o c ci ó ó n d e C o a p a r ti r r d e Ll uvi a a s d e Di s se ñ o G a b riel C a a m a ñ o N el l li y L au r a C C ol l a l d o n
14.1 CONCEPTOS Y EXPERIMENTOS El análisis de precipitaciones pluviales severas está asociado a problemas diversos, tales como interpretación de fenómenos climáticos, inundaciones y erosión de suelos. No obstante, desde el punto de vista hidrológico, el interés primordial del tema se debe a la demanda de parámetros para la planificación territorial, la defensa civil y el dimensionamiento de obras destinadas a conducir, contener o sortear cursos de agua. En estos casos, la magnitud de los emprendimientos guarda relación directa con las descargas máximas a las que se verían expuestos en el futuro. Dichos caudales de proyecto, por su carácter aleatorio, sólo pueden ser estimados en forma probabilística. Por lo general, el análisis se realiza sobre las precipitaciones causantes del proceso. La combinación de las lluvias de diseño resultantes con modelos de transformación y de tránsito, para la predicción de valores de proyecto, constituye la alternativa usual a la inferencia estadística directa de descargas máximas, impedida por la carencia de series históricas de niveles de río. En los últimos años, se ha prestado particular atención al desarrollo de modelos estadísticos de pronóstico y predicción para evaluar picos de crecida futuros en la zona serrana cordobesa, especialmente de la cuenca del Río San Antonio (Capítulo 1). Un modelo de pronóstico, como los desarrollados para la cuenca (Colladon y Caamaño Nelli, 2000)- provee a la población bajo riesgo un anticipo a corto plazo, ante un fenómeno peligroso real inminente; por ello, integra un sistema de alerta y cumple su función en una emergencia.
172
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Un modelo de predicción -por ejemplo, el ensayado en dicho sistema (Caamaño Nelli et al., 2001b)- evalúa probabilísticamente, a mediano o largo plazo, la magnitud de un evento hipotético crítico, con fines de planificación y diseño de obras para el área que resultaría afectada. En la cuenca del Río San Antonio, el modelo de alerta fue un precedente clave del de diseño, por su similitud estructural. Sin embargo, ambos difieren en varios aspectos. El primero se alimenta con valores medidos del estímulo recibido (lámina caída y niveles de río aguas arriba, en el pico de la crecida) y las condiciones iniciales del sistema (niveles previos a la crecida). Los insumos del modelo predictor, en cambio, son valores estimados de entrada de lluvia, en función de la recurrencia, y de variables que representan el estado inicial. Lo que se pronostica es la máxima altura de agua, a la salida de la cuenca, y el horario en que ello se producirá, siendo la precisión de ambos resultados de igual importancia para el alerta. Lo que se predice es sólo un caudal o nivel pico, a ocurrir en algún momento de un período de varios años, por lo cual resulta improcedente asignarle un horario. Dicho así, predecir crecidas de proyecto no platea problemas: se calibra un algoritmo lluvia-caudal, se le dan láminas de diseño y valores de estado inicial y se lo corre. Sin embargo, se esto da por sentadas condiciones difíciles de conjugar: ¿Hay datos para calibrar el modelo?. ¿Existen curvas i-d-T de donde extraer las lluvias?. Si así fuera (y suponiendo que las características del plan territorial o de la obra a dimensionar fijan el período de retorno) ¿qué duración adoptar? ¿cómo llevar a escala de cuenca la intensidad local?. ¿Qué estado inicial asignar al sistema en un instante incierto de los próximos 20 años, por ejemplo?.
14.2 INFORMACIÓN PARA CALIBRAR LOS MODELOS 14. 2. 1 PRECIPITACIÓN Aun teniendo curvas intensidad-duración-recurrencia (i-d-T) de varias estaciones, no deberían usarse a la vez, porque al ser deducidas localmente, sin relación entre sí, no prevén la probabilidad de eventos conjuntos. Hay que elegir una estación núcleo (Capítulo 10) donde estimar la lámina, que luego se reducirá para hallar la media areal. Definida la estación núcleo, falta conocer cuál es la duración de lluvia que se utilizará. La lámina de lluvia no es la total, sino la precipitada en el intervalo de máxima intensidad de la tormenta (IMT), de duración a determinar. El concepto de IMT es el definido para identificar los IMA (Capítulo 1), sólo que en lugar de obtener el valor anual para cada duración, se busca uno por evento y por duración. Así, el evento de entrada es el IMT.
Predicción de Crecientes de Proyecto a partir de Lluvias de Diseño
173
Se procesaron las lluvias para 6 duraciones (120, 180, 240, 300, 360 y 720 minutos), discretizadas cada 5 minutos, obteniendo como resultado seis IMT de cada evento, sus horas de inicio y las láminas precipitadas antes, durante y después de cada intervalo de máxima. Identificada la hora de comienzo, para cada duración del IMT en la estación núcleo, se calculó la lámina de lluvia areal , L, sobre la cuenca, promediando las precipitaciones de los 10 puestos, para idéntico intervalo, ponderadas por el método de polígonos de Thiessen. El cociente entre la lámina local en la estación núcleo y la media en la cuenca provee el coeficiente de reducción areal , r (Zimmermann, 2000), para cada duración del IMT considerada.
14. 2. 2 CONDICIONES INICIALES La magnitud de un pico de crecida depende de la precipitación en el evento y de lo húmedo que esté el sistema. Tal condición inicial se debe a lluvias previas al IMT, recientes o más antiguas, que el modelo expresa en sendos factores potenciales. Para evaluarla, se probaron dos técnicas. En una, el efecto de largo plazo lo dio el Índice de Precipitación Antecedente, I, operado con paso diario. Supone una reducción de la humedad (por evapotranspiración y descarga) que es función exponencial del tiempo, corregida paso a paso por adición de la lámina media de la cuenca. Se asumió una pérdida de humedad de 20% al día, es decir, un valor 0,8 para la base de la potencia. Se iteró desde el 1/9/92 hasta el 31/12/99, usando 0, 5, 10 y 50 mm para el valor inicial incógnita del Índice. A los pocos días, el valor de I se unifica (con 50 mm, lleva cerca de un mes), tornando irrelevante el dato de partida, ya que el primer evento seleccionado ocurrió el 11/11/93. Por su parte, la condición inicial inmediata representa la corrección de I, desde la hora cero del día de un evento hasta el inicio del IMT, dada por la diferencia entre las láminas de lluvia media sobre la cuenca y de descarga a la salida, con evapotranspiración nula. Tal actualización por balance deviene del método del Índice de Humedad de Suelo (Dasso y Bustamante, 1979), propuesto para paso horario y ajustado con más de 20 tormentas en la cuenca del Río de La Suela. El otro modo de describir el estado del sistema (Caamaño Nelli, Libovich y Colladon, 1998b) supone que el nivel de base del río en el cierre de la cuenca, h, sintetiza la incidencia de lluvias de más larga data. Según esto, la lámina caída entre el inicio de la tormenta y el del IMT en la estación núcleo, llamada precipitación previa, p, es la variable que actualiza la humedad por estímulos inmediatos. La precipitación previa varía para cada evento en función de la duración de IMT que se considere, porque este comienza en momentos diferentes.
174
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
14. 2. 3 TIEMPO DE RESPUESTA El tiempo de respuesta, t es el lapso entre que la cuenca reciba un estímulo pluvial y que éste se manifieste en el nivel a la salida. Proviene del estimador original de alturas pico (Caamaño Nelli et al., 2001a) y es una variable auxiliar, pues la demora en el sistema es irrelevante para predicción. Como ni la precipitación ni la descarga son instantáneas, fue necesario precisar un punto en cada una. Para la entrada se suele tomar al baricentro o final de la lluvia efectiva, o bien el centro de gravedad del hietograma total. Pero la lluvia efectiva se desconoce e interesa contemplar el intervalo de máxima intensidad, estímulo clave del proceso. Se optó por comenzar el tiempo de respuesta en el inicio del IMT, pero luego se comprobó que el punto más representativo de la entrada, con la estructura adoptada, es su máxima intensidad instantánea. Concretamente, dada la precisión de los datos, se utilizó el principio de los 5 minutos de lluvia más intensa del IMT. Las alternativas usuales para situar la salida (Bertoni et al., 2000) son el pico, la mitad del volumen erogado, el centro de gravedad o el punto de inflexión descendente del hidrograma. En el presente caso para caracterizar el hidrograma de salida, se eligió por lógica el pico, que es justamente lo que se busca estimar. Así, el tiempo de respuesta es el lapso transcurrido entre el inicio de los 5 minutos de lluvia más intensa del IMT elegido y el pico de crecida en la salida. 14. 2. 4 CAUDALES Y NIVELES PICO DE LAS CRECIENTES Siendo el objetivo predecir crecidas máximas, no se utilizaron para calibrar todos los eventos registrados, sino los que presentaban las descargas más severas a la salida. En principio, se estableció como condición que el umbral del nivel pico del río, H, a considerar debía superar la media de los máximos anuales, es decir, 3,63 m. No obstante, puesto que los registros del Sistema Telemétrico CIRSA sólo cubren el período 1991-1999, en caso de tomar este valor como mínimo, quedan únicamente cuatro eventos para ajustar el modelo. Si a ello se suma que los valores de 1991 y 1992 podrían estar subestimados, por falta de datos de los meses lluviosos, la situación se torna crítica: Descartando estos años, el promedio de los máximos asciende a 4,11 m y sólo 2 eventos superan esa exigencia. Tomando en cuenta ambas restricciones (cantidad de datos y altura de los picos), se impuso H ≥ 3 m (± 4 cm, que es la precisión de la medición) que corresponde a un caudal de 546 m3/s. Los caudales provienen de la curva h-Q del río San Antonio, en la estación de aforo de Barrio El Canal. Esta curva se calculó con aforos del período 1970-1987 hasta un nivel de 3,08 m, promedio de escala del máximo aforado. A partir de allí, se la extrapoló por el método de curvas altura-área y altura-velocidad hasta 7,93 m, altura de la costanera en la margen izquierda del río. La margen derecha se encuentra por debajo de los 7 m.
Predicción de Crecientes de Proyecto a partir de Lluvias de Diseño
175
14. 2. 5 EVENTOS SELECCIONADOS El número de eventos, que reunieron requisitos y datos necesarios, ascendió a 13. Se procesaron los datos de las variables involucradas, de la manera antes indicada. A modo de ejemplo, la Figura 14.1 muestra la precipitación sobre la estación núcleo, destacando la lluvia causal del pico (ocurrida en el IMT de 180 minutos) y el hidrograma observado en el cierre de cuenca durante uno de los eventos seleccionados. EVENTO Nº 10 - 17 de febrero de 1998 1000
0.0
Hidrograma en 600 IMT de 180 minutos
800
Tormenta completa
0.5
1.0
) m m ( 1.5 a d i a 2.0 c a n i m 2.5 á L
) s 600 / 3 m ( l a d u 400 a C 200
3.0
0
3.5
00:00 02:03 04:03 06:03 08:03 10:03 12:03 14:03 16:03 18:03 20:03 22:03 00:03 02:03
Tiempo (horas)
día 17
día 18
Figura 14.1: Precipitación en estación núcleo e hidrograma de salida.
14.3 ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE PREDICCIÓN Las funciones del modelo de predicción, sea en la definición de las variables o la forma de vincularlas, surgieron en gran medida de manera empírica, guiada por el de pronóstico. En ambos, el estimador del nivel ó caudal máximo de agua en 600 es de tipo estadístico y las ecuaciones son productos de potencias. Para predicción, esto se cumple incluso en los factores de lluvia (que en pronóstico eran exponenciales), ya que no hay riesgo de que se anulen, por tratarse de eventos máximos. La descripción para el predictor de caudales máximos de agua es válida también para el modelo de niveles pico, a condición de reemplazar las variables de descarga por las de nivel, es decir, Q por H y q por h.
176
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
El planteo parte de asumir que el caudal pico de la crecida, Q, depende de sendas potencias, de la lámina media precipitada sobre la cuenca, L, y del tiempo de respuesta del sistema, t, vinculados por parámetros (f , m, n):
Q = f . Lm . t n
(14.1)
L resulta de multiplicar la lámina local, l, por el coeficiente de reducción areal, r. La lámina local se expresa como producto de la intensidad de lluvia, i, por la duración, d, del intervalo de máxima, sea de la tormenta (IMT) al calibrar o del período de retorno (IMA) al explotar el modelo (Caamaño Nelli et al., 2001b):
L=r.l=r.i.d
(14.2)
El tiempo de respuesta se interpreta como función de la intensidad i y de las condiciones iniciales del sistema, p y q, ya definidas
t = g . i u . qv . pw
(14.3)
siendo g, u, v, w constantes desconocidas. De las relaciones (14.1), (14.2) y (14.3), el estimador del caudal pico resulta función del coeficiente de reducción areal, la intensidad de lluvia local y el estado inicial, con parámetros k, m, a, b, c:
Q = k . r m . i a . q b . pc
(14.4)
Para facilitar la calibración, efectuada por regresión lineal, se empleó la versión logarítmica de la ecuación (4), es decir
ln Q = m .ln r + a .ln i + b .ln q + c .ln p + ln k
(14.5)
Los conceptos de tiempo de respuesta, duración de lluvia causal del pico y las variables que expresan las condiciones iniciales del sistema fueron propuestos para estimar el caudal máximo y la altura del pico. Su utilidad se constató con ensayos sucesivos en la cuenca del Río San Antonio.
14.4 CALIBRACIÓN DE LOS MODELOS El mayor problema en esta etapa fue ignorar cuál era la duración de lluvia para calcular la intensidad. Es habitual utilizar a tal fin el tiempo de concentración de la cuenca, que, precisamente, depende de la severidad de la lluvia, llevando a un cómputo recursivo. Se lo evaluó con varias fórmulas empíricas, pero se obtuvo un rango de valores muy amplio, entre 5 y 13 horas, y, lo que es peor, situado por encima de la duración total en la gran mayoría de las tormentas registradas.
Predicción de Crecientes de Proyecto a partir de Lluvias de Diseño
177
Por otra parte, el tiempo de concentración no guarda relación, conceptual o experimental, con el intervalo de máxima intensidad, que no sólo se está reconociendo como el estímulo clave del proceso, sino que es el único lapso que contará con datos de intensidad a futuro, en la explotación. En cuanto al tiempo de respuesta, quedó definido en el punto 14.2.3. Para encontrar la duración de lluvia a utilizar, se calibraron paralelamente las 6 duraciones de IMT seleccionadas, tratando de identificar una duración de lluvia causal del pico, es decir, aquella que explique razonablemente el tiempo de respuesta en cada evento y, por extensión, el mayor caudal alcanzado por el río en la salida. En cada opción, el juzgar primero la validez conceptual de los valores bastó para eliminar las duraciones de entrada de más de 4 horas, donde el exponente c de la ecuación (14.4) fue negativo, implicando contra toda lógica que, si la precipitación previa es mayor, el nivel a la salida disminuye. Así, un lapso entre 2 y 4 horas, sería responsable de la magnitud del pico de crecida. Por lo tanto, se asume la existencia de una duración de lluvia causal , cuyo valor para este sistema, basándose en el coeficiente de determinación, es 180 minutos. La ganancia numérica que podría aportar el precisar esta extensión, no justifica lo laborioso de procesar los datos de lluvia para otros intervalos. El ajuste logrado (figuras 14.2 y 14.3) se considera muy satisfactorio, habida cuenta del escaso conjunto de eventos disponible. Estaci ón Bº El Canal (600 )
4000 3500
Q = 65,66 . r 1,019 . i1,197 . q0,0099 . p0,0564
) s / 3000 3 m ( a 2500 d i l a s a 2000 l n e o 1500 m i x á 1000 m l a d 500 u a C
Q.Medido Q.Estimado
0
0
5
10
15
20
25
Intensidad de lluvia en la estación núcleo (mm/h)
Figura 14.2: Caudal máximo de crecida, en función de la intensidad media de lluvia, en el IMT de 180 minutos
178
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Estación Bº El Canal (600) 7 ) m ( a d i l a s a l n e o m i x á m l e v i N
6
H = 1,345 . r 0,388 . i0,461 . h0,017 . p0,023
5 4 3 2
H observado
1
H calculado 0 0
5
10
15
20
25
Intensidad de lluvia en la estación núcleo (mm/h)
Figura 14.3: Nivel máximo de crecida, en función de la intensidad media de lluvia, en el IMT de 180 minutos
Un aspecto notorio es que tanto el caudal como el nivel del pico de crecida resulta explicado, en esencia, por la intensidad de la lluvia en el intervalo de máxima, i, y por el coeficiente de reducción areal, r, en ese orden. Las condiciones iniciales, cuyos exponentes en la ecuación (14.4) toman valores absolutos pequeños (con lo cual los factores correspondientes se acercan a 1 y se tornan irrelevantes para el producto), aportan poco al respecto.
14.5 PREDICCIÓN DE PICOS DE CRECIENTES 14. 5. 1 EXPLOTACIÓN DE LOS MODELOS Por su estructura, dada en la ecuación 14.4, la explotación de los modelos demanda 4 datos de entrada: La intensidad de la lluvia causal, i; el coeficiente de reducción areal, r; la precipitación de la tormenta, previa al IMA, p, y el nivel base, h, o el caudal base, q, del río antes de la tormenta. Intensidad La intensidad local, para los diferentes T, se obtiene de las curvas i-d-T de la estación núcleo. Esta es una de las condiciones imprescindibles para poder explotar el modelo (subtítulo 14.2.1). La duración resultó de la calibración y es de 180 minutos.
Predicción de Crecientes de Proyecto a partir de Lluvias de Diseño
179
Se estimó para eventos de período de retorno prefijado y para la Precipitación Máxima Probable (PMP), dato de diseño en obras cuya falla implique grave riesgo (Chow, Maidment y Mays, 1994). En el primer caso, se usó el modelo DIT (Capítulo 5) y para la PMP el método explicado en el Capítulo 9.
Coeficiente de reducción areal Para evaluar el coeficiente de reducción areal r, en función de la duración del evento y del área de la cuenca, el modelo CoDA (Catalini, 2001) parecía la opción ideal, por haberlo desarrollado justamente en el sistema del San Antonio, lo cual garantizaba su aplicabilidad y la disponibilidad de los datos que requiere. Sin embargo, debió ser descartado ante el bajo valor que aportó: r = 0,64. La razón de ello es que el CoDA vincula la lámina media sobre la cuenca y la local, cuando en la estación 1200 ocurre el máximo anual en 3 horas, que, como se ve, supera bastante a la precipitación simultánea del resto del sistema. El coeficiente del predictor de niveles responde a igual definición, pero para escenarios de crecidas severas. Los eventos de calibración indican que estos fenómenos son efecto de lluvias espacialmente generalizadas, no de montos excepcionales en el puesto Las Ensenadas. El déficit que causa el CoDA en el valor de H ó Q es apreciable. En el caso de predicción de H, va de 1,06 m (7,36-6,30, para T = 25 años) a 1,55 m (10,70-9,15, para la PMP). Por tal motivo, el coeficiente de reducción areal utilizado es el que resultó de la media de sus valores en los eventos de ajuste. Esta variable resultó próxima a la unidad (0,956) implicando que el aporte del factor respectivo es poco relevante en las predicciones. Condiciones iniciales del sistema La especificación a futuro de las condiciones iniciales (tanto del nivel o del caudal base del río antes de la tormenta, como de la precipitación previa al IMA durante la tormenta) implica a priori un problema, ya que no se cuenta con un modelo que describa su comportamiento ni con una serie prolongada de mediciones, que permita deducir valores con representatividad estadística. Cabe adoptar una característica muestral arbitraria de cada variable, como para r. Más aún, dado que la influencia de sus factores en la ecuación (14.4) es menor, elegir la media, el máximo o el mínimo de h o q y de p debería incidir poco en el pico de crecida predicho. Sin embargo, según muestra la Tabla 14.1, los rangos de estas variables son muy amplios, desvirtuando esta suposición. Tabla 14.1: Rangos de valores de las condiciones iniciales en la cuenca del Río San Antonio, para los eventos de calibración
h (m)
q (m3 /s)
p (mm)
0,22 – 1,98
0,32 – 171
0,1 – 64,0
180
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Las pruebas realizadas permiten afirmar la suposición, ya que, en relación con los máximos, los picos estimados decaen entre 0,46 ( T = 25 años) y 0,63 m ( PMP), cuando se emplean las media o bien entre 1,24 (T = 25 años) y 1,80 m (PMP), usando sus valores mínimos. Por otra parte, considerando el reducido número de eventos disponibles, su probabilidad de ocurrencia conjunta es impredecible. En consecuencia, entendiendo que el objetivo es emular los escenarios futuros más riesgosos, la explotación se efectuó para las condiciones iniciales máximas.
14. 5. 2 RESULTADOS OBTENIDOS La Figura 14.4 expresa la variación de los picos, tanto de altura (a) como de caudal, (b) predichos por la ecuación (14.4), en función de la recurrencia de la lluvia causal (la ubicación de la PMP en 105 años es sólo indicativa). Esta es una aproximación primaria al período de retorno de la crecida, que no considera las probabilidades de ocurrencia de las condiciones iniciales ni de la distribución espacio-temporal de la precipitación. Las predicciones se contrastan con los umbrales de las calles costaneras. Se observa que la margen derecha es superada por los valores predichos para un período de retorno de 25 años, explicando así la alta frecuencia de desborde sobre dicha margen. 15000
11
13500 10 ) 9 m ( a r u 8 t l A
Margen izquierda H = 7,93 m
Margen derecha H = 6,46 m
7
Q= 4075 m3/s
4500 3000
6
(a)
) 12000 s / 3 m10500 ( l 9000 Margen izquierda a d Q= 6994 m3/s u 7500 a C 6000 Margen derecha
10
100
1,000
10,000
PMP 100,000
T (años)
(b)
10
100
1,000
10,000
100,000 PMP
T (años)
Figura 14.4: Variación del pico de crecida predicho, (a) nivel y (b) caudal, en función de la recurrencia de la lluvia causal, en la Estación 600, Barrio El Canal
A diferencia de los modelos de pronóstico, un predictor no se puede verificar por aplicación a eventos posteriores, salvo que la extensión de la serie permita estimar su recurrencia, y no es éste el caso. No obstante, a fin de evaluar de algún modo la exactitud de las predicciones, se adoptaron:
Predicción de Crecientes de Proyecto a partir de Lluvias de Diseño
181
- El sesgo relativo, para error sistemático, que representa el grado en que la estimación se aleja, en más o en menos, de la realidad. El valor 1 de sesgo relativo significa un error medio de 100% - El coeficiente de determinación de la predicción (diferente de r 2), para desvíos aleatorios, que pondera la dispersión en torno del valor verdadero. Su valor unitario indica ausencia de error. La Tabla 14.2 muestra los resultados de aplicar estos índices a las estimaciones de picos de los eventos de calibración, respetando el dato real de intensidad local y asignando los valores que se aplicarían a futuro a las restantes variables independientes: coeficiente de reducción areal medio y condiciones iniciales máximas. El sesgo relativo es de un orden de magnitud superior en el caso del caudal, pero aún así es bajo (5%). Los coeficientes de determinación se consideran satisfactorios teniendo en cuenta el escaso número de eventos de la muestra.
Tabla 14.2: Errores de los modelos al estimar los eventos de calibración
Índice de Error Sesgo relativo Coeficiente de determinación
H 600 -0,0054 0,8937
Q 600 -0,0544 0,9293
14.6 CONCLUSIONES Aunque la escasez de datos de campo condicione la validez de los resultados numéricos, el ensayo del San Antonio brindó avances conceptuales y operativos en el tema, con el desarrollo tecnológico mayor en la definición y evaluación de las variables de entrada y de estado del sistema. Demostró que la predicción de picos de crecida, a partir de lluvias extremas, no implica elaborar un algoritmo complejo ni medir variables exóticas. Exige, sí, un cuidadoso procesamiento y control de información. Al obviar las probabilidades de ocurrencia del estado inicial y de la distribución espacio-temporal de la precipitación, adopta, a sabiendas, una recurrencia aproximada. El enfoque de estación núcleo (donde ocurren con mayor frecuencia los máximos anuales de la cuenca) y del coeficiente de reducción areal de las lluvias asociado, fue particularmente útil. Otro tanto puede decirse del nivel de base, considerado el reflejo de estímulos de larga data. Se evidenció que el intervalo de máxima intensidad anual, IMA, no sólo es el único lapso vinculable con una recurrencia futura: Constituye el estímulo clave del proceso y, por lo tanto, debe ser asumido como el evento de entrada, en lugar de la tormenta completa.
182
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Un logro importante fue caracterizar el tiempo de respuesta, transcurrido entre el estímulo de lluvia que recibe la cuenca y la salida, en términos de nivel, que ésta devuelve. Dicha variable quedó definida entre el comienzo de los 5 minutos de lluvia más intensa y el pico de la crecida. El tiempo de concentración no guarda relación, conceptual ni empírica, con el anterior ni con el IMA. Se pudo establecer la existencia de una duración de lluvia causal, responsable del tiempo de respuesta en cada evento y, por extensión, de la mayor altura alcanzada por el río en la salida. La calibración demostró que la variable dominante es la intensidad local de lluvia, seguida por el coeficiente areal. En contraste, las condiciones iniciales inciden poco en los picos predichos. La experiencia, la tecnología y los valores regionales, producidos con anterioridad, fueron herramientas esenciales en esta investigación. En especial, los predictores de láminas de diseño, para recurrencias dadas y para la precipitación máxima probable, basados en factores de frecuencia. Hasta donde permite inferir el conocimiento sobre esta cuenca, el modelo predijo picos de crecida razonables, si bien superan el rango de registro, debido a los períodos de retorno impuestos. Sin embargo, no hubo una comprobación formal, ya que un predictor no puede ser verificado por aplicación a eventos posteriores, salvo que la extensión de la serie permita estimar su recurrencia, y no es éste el caso.
Apéndice .
.
P r ro cesos H i id d r r o l ó g i ic os y M od el os P r ro babi l lí í s t i ic os G abr i C ol l ie l C aamaño N el l li i y y Laur a C la d on
A.1
INTRODUCCIÓN
Para deducir la probabilidad de ocurrencia de una precipitación futura, es necesario contar con registros continuos (pluviografía), escasos en Argentina (al igual que en muchos lugares del mundo), tanto por su cobertura espacial como por la extensión temporal de sus series. Existen, en cambio, grandes volúmenes de datos diarios (pluviometría), a partir de los cuales, con técnicas apropiadas, se pueden estimar lluvias extremas de duración menor, asociadas a un período de retorno (Capítulo 5). Los eventos hidrológicos parecen erráticos, como caprichos o incertidumbres de la naturaleza, que no pueden ser conocidos de antemano. Por ejemplo, no es posible saber cuál será la evolución de temperatura, viento, heliofanía, lluvia, evaporación o caudal a lo largo del tiempo y del espacio. Esto puede atribuirse a un conocimiento insuficiente del origen de l os fenómenos (¿por qué suceden?) y/o de sus leyes físicas (¿cómo se producen?). Otra razón puede ser que esas leyes resulten inaplicables por motivos prácticos, porque el modelo matemático se torne exageradamente grande, complicado en su comprensión o difícil de manejar, o bien requiera datos no disponibles. Ambas alternativas suponen que los procesos son causales y que la incertidumbre es circunstancial, es decir, que el desarrollo de la ciencia y la tecnología terminarán por resolverla.
184
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Pero también sería válido admitir que los eventos hidrológicos provienen de procesos subyacentes con componentes intrínsecamente estocásticos, o sea, que la casualidad o el azar forman parte de su naturaleza y será necesario asumir permanentemente su aleatoriedad para poder analizarlos. Por necesidad o conveniencia, la mayoría de los procesos hidrológicos se pueden interpretar y explicar solo en sentido probabilístico, lo cual produce una dificultad básica en la programación de las actividades humanas, ya que están vinculadas a sus efectos. Esto es especialmente serio en diseño y planeamiento de obras hidráulicas, siempre relacionadas con eventos hidrológicos futuros. Por ejemplo, al dimensionar un puente o un canal, se pretende que tenga capacidad para evacuar una creciente hipotética, que normalmente no se ha producido en el lapso con registros de descarga (más aún, que quizás nunca se dio). Pero, necesariamente, esa creciente de diseño deberá ser estimada, con esos datos de caudal o los de variables causales, o bien transponerse desde otra cuenca. En todo caso, habrá que recurrir a la probabilidad y a la estadística, disciplinas que establecen instrumentos para tratar la aleatoriedad, ya que proveen vías para sintetizar los datos observados a información precisa y significativa, para determinar las características subyacentes del fenómeno observado y para hacer predicciones sobre su comportamiento futuro. Las cantidades de los datos hidrológicos pueden ser expresadas en términos estadísticos y tratadas con teorías probabilísticas.
A.2
CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA APLICADOS A HIDROLOGÍA
La estadística descriptiva se ocupa de computar y organizar datos muestrales. Esa aplicación de métodos requiere pocas decisiones y representa poco riesgo, pero es esencial, porque los fenómenos hidrológicos naturales no pueden ser reproducidos, al menos en escala real. La probabilidad encara la medición de casualidad y desarrolla modelos teóricos de procesos aleatorios, según sus características. Ambas convergen mediante el ajuste de los modelos teóricos al patrón empírico. De este modo se resuelve el problema inferencial más común, que es describir todo el rango de ocurrencias posibles (población) cuando solo una parte de él (muestra) ha sido observada. Ello permite interpretar los registros de eventos hidrológicos históricos en términos de probabilidades de ocurrencia futura. La estadística inferencial resultante impone decisiones que conllevan algún riesgo; requiere comprensión de los métodos empleados y del peligro involucrado en predicción y estimación. ¿Para qué ocuparse de desarrollar y calibrar modelos teóricos, si ya se tiene uno experimental?. Porque éste representa las características de la muestra, no de la población, y no se puede extrapolar. Además, el ajuste reduce la incidencia de errores de datos que introducen información ajena al proceso.
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
185
A.2.1 VARIABLES HIDROLÓGICAS ALEATORIAS Analizar un proceso aleatorio supone ante todo su cuantificación, a través de una variable que depende del tiempo y del espacio tridimensional, como el proceso. Las dificultades de manejo que esto implica y las limitaciones de información, hacen que uno u otro (en general la ubicación) se fije de antemano. La variable es continua cuando puede tomar todos los valores del rango de ocurrencias, incluyendo cifras que difieren solamente en un monto infinitesimal. Es discreta si está restringida a valores incrementales específicos. Los procesos hidrológicos son generalmente continuos en el tiempo y en el espacio. Ello causa dificultades de tratamiento en una civilización que optó por las computadoras digitales. Por esa razón es habitual representar los procesos con variables aleatorias discretizadas, evaluadas en instantes o lapsos sucesivos y en puntos geográficos definidos. Para programar el abastecimiento de agua a una ciudad, desde un río que la cruza, bastará un dato de caudal medio semanal. Pero, para prevenir los efectos de crecientes, serán necesarios valores instantáneos. Si se construye una presa aguas arriba, se requerirá la media diaria al dimensionarla y operarla. En cambio, será suficiente el promedio mensual para planificar la regulación. El ejemplo muestra que (dependiendo de sus rasgos y de los objetivos) un proceso puede ser representado por distintas variables, cuyos sucesivos valores constituyen las series o muestras empleadas en el análisis temporal. Tales secuencias se suponen resultados de procesos físicos estacionarios, o sea, de rasgos inmutables por tendencias a largo plazo u otros efectos). Habitualmente, la longitud de registro, así como la vida útil de un proyecto ingenieril son cortos comparados con la historia geológica y tienden a atemperar, si no a justificar, la suposición de estacionariedad. Un tratamiento que suele hacerse a series hidrológicas es dibujarlas en función del tiempo. La gráfica da idea del comportamiento medio, la variabilidad temporal y la periodicidad, pero es insuficiente para un manejo operacional. Para esto, la distribución de las variables se define en términos de la frecuencia relativa con que los diferentes valores ocurrieron o de la probabilidad con que pueden ocurrir. En casos de amenaza por valores hidrológicos extremos, la probabilidad se asocia a los conceptos de riesgo R y de período de retorno o recurrencia T.
A.2.2 NOCIONES DE PROBABILIDAD La frecuencia relativa de un evento simple, Ei, se define como cociente de la frecuencia ni (número de ocurrencias) del evento, sobre la cantidad n de pruebas de la muestra:
186
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
fr (Ei) = ni/n.
(A.1)
La probabilidad representa el mismo concepto, pero aplicado a la población:
P (Ei) = ni/n.
(A.2)
Como la población no se conoce, se acepta esta definición para un tamaño de muestra (o sea, un número de pruebas) muy grande. Estrictamente, debería ser para n tendiendo a infinito, lo cual explica porque la longitud de las series hidrológicas puede llegar a ser estadísticamente insuficiente. Las leyes probabilísticas subyacen en todo estudio estadístico de observaciones o pruebas repetidas y a menudo se las conoce intuitiva o empíricamente. Al lanzar una moneda P(cara) = P(cruz) = ½. Cada resultado de un lanzamiento tiene una probabilidad finita y la suma de todas éstas es 1. Los resultados son mutuamente excluyentes. En dos pruebas, sucesivas o simultáneas, hay 4 resultados posibles ( , ⊗ ⊗, ⊗, ⊗ ), cada uno con probabilidad ¼. En este caso, al ser una prueba independiente de la otra, la probabilidad de cada resultado es establecida por P (prueba 1) . P (prueba 2) = ½ . ½ = ¼. Otra vez, la suma de las probabilidades de los resultados posibles es 1. Nótese que la probabilidad de obtener una cara y una cruz en el experimento (sin interesar el orden) es P ( ⊗) + P (⊗ ) = ½. Sintetizando las reglas indicadas con el lanzamiento de la moneda: 1) La probabilidad de un evento no es negativa ni excede 1:
0 ≤ P (Ei) ≤ 1
(A.3)
2) La suma de las P de los resultados posibles de una prueba es 1:
Σ P (Ei) = 1
(A.4)
3) La probabilidad de eventos independientes y mutuamente excluyentes es la suma de las probabilidades de los eventos separados (unión o probabilidad de que se dé Ei y/o Ej):
P (Ei∪Ej)= P (Ei)+ P (Ej)
(A.5)
4) La probabilidad conjunta de que ocurran eventos independientes, sucesiva o simultáneamente, es el producto de las P individuales (intersección o probabilidad de Ei y Ej):
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
187
P (Ei ∩Ej)= P (Ei) . P (Ej)
(A.6)
Considérese este ejemplo de eventos dependientes, no excluyentes: Un canal de drenaje urbano alcanza el nivel de inundación con una frecuencia relativa de 0,1; las fallas de fuerza motriz en las industrias a lo largo del canal ocurren con una P de 0,2; la experiencia muestra que cuando hay inundación, la P de falla eléctrica se eleva a 0,4. Los planteos de probabilidad son: P (inundación)
= P (I) = 0,1
P (falla motriz)
P (no inundación) = P (I) = 0,9 P (condicional)
= P (M) = 0,2
P (no falla motriz) = P (M) = 0,8
= P(M|I) = 0,4 = probabil. de falla eléctr. dado que hay inundación.
Las reglas 3 y 4 no son aplicables. Si se aplica 3: P (I ∪ M) = P (I) + P (M) = 0,3 Si los eventos permanecen independientes, las P conjuntas serán: P (I ∩ M) = 0,1 . 0,2 = 0,02
∩ M) = 0,1 . 0,8 = 0,08 P (I ∩ M) = 0,9 . 0,8 = 0,72 P (I
P (I ∩ M) = 0,9 . 0,2 = 0,18
y, en ese caso, la probabilidad de inundación o falla durante el verano debería ser la suma de las tres primeras P conjuntas anteriores: P (I ∪ M) = P (I ∩ M) + P (I ∩ M) + P (I ∩ M) = 0,28 No obstante, la P condicional indica que los eventos son dependientes. Si hay inundación, con P(I)= 0,1, hay una P= 0,4 de falla motriz, y la probabilidad conjunta real es: P(I). P(M|I) = 0,04. Luego, la unión de probabilidades será: P (I ∪ M) = P (I) + P (M) - P (I ∩ M) = 0,26 Nótese la diferencia: para eventos mutuamente excluyentes
P (I ∪ M) = 0,30
para eventos conjuntos pero independientes
P (I ∪ M) = 0,28
para otros casos
P (I ∪ M) = 0,26
5) La regla general para la unión de probabilidades es:
P (Ei∪Ej) = P (Ei) + P (Ej) - P (Ei∩Ej)
(A.7)
6) y la sexta regla para probabilidad condicional sería:
P (Ei |Ej)
=
condicional
=
P (Ei ∩Ej)
/ P (Ej)
conjunta
/
marginal
(A.8)
188
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Si los eventos son independientes :
P (Ei |Ej)= P (Ei)
(A.9)
El ejemplo muestra algunos rasgos interesantes de probabilidades y riesgos asociados con fenómenos hidrológicos. P (I) = 0,1 implica 10 % de chance anual de alcanzar o superar el nivel de inundación. En una serie larga, ese nivel será alcanzado en promedio una vez cada diez años. Así, 7) El período de retorno o recurrencia se define como:
T = 1 / P (I) = 1/ [1 - P (I)]
(A.10)
8) La P de que haya inundación en un año será: (A.11)
P (I) = 1/ T 9) La P de que no haya inundación en un año será:
P (I) = 1 - P (I) = 1 – (1 / T)
(A.12)
10)La P de no inundación en n años sucesivos será:
P(I).P(I) ..... P(I) = P (I)n = [1– (1 / T)]n
(A.13)
11)La probabilidad (o riesgo) de que haya inundación al menos una vez en n años sucesivos será:
R = 1 – [1 – (1 / T)]n = 1 - P (I)n
(A.14)
Ejemplo: ¿Qué período de retorno debe usar un ingeniero para diseñar una alcantarilla crítica, si está dispuesto a aceptar un 10% de riesgo de inundación en los próximos cinco años?
⇒ 0,1 = 1– [1– (1/T)]5 ⇒ ⇒ T= 1 / (1– 0,91/5) = 47,96 ⇒ T ≅ 48 años.
R = 1 – [1– (1/T)] n
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
189
A.2.3 DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS Las variables aleatorias, continuas o discretas, están caracterizadas por la distribución de las probabilidades de ocurrir que tienen sus valores. El número de días lluviosos en una semana es una variable discreta, (Figura A.1) ya que solo puede tomar valores enteros, de 0 a 7, en cada acontecimiento (o sea, en cada semana observada). En cambio, la probabilidad de esos valores es fraccionaria, salvo que se trate de un evento seguro, con P = 1 (que llueva todos los días de todas las semanas de la serie), o imposible, con P = 0 (que no llueva nunca). P(x)
F(x)
Función de Frecuencia Relativa
0.25 0.20
0.8
0.15
0.6
0.10
0.4
0.05
0.2
0.00
0.0 1
2
3
4
5
6
Función de Frecuencia Acumulada
1.0
1
7
2
Valores de la variable X
3
4
5
6
7
Valores de la variable X
Figura A.1: Funciones de frecuencia de variables discretas
Tabulando las probabilidades individuales y acumuladas, en correspondencia con los valores de la variable, tras gran número de observaciones, se puede tener la Función de Frecuencia Relativa (FFR) y la Función de Frecuencia Acumulada (FFA) como sigue: X = días con lluvia / semana FFR FFA
0 0,05 0,05
1 0,15 0,20
2 0,25 0,45
3 0,20 0,65
4 0,15 0,80
5 0,10 0,90
6 0,08 0,98
7 0,02 1,00
donde la FFA o F (x) es monótona, creciente de 0 a 1, que refleja la probabilidad de que un resultado de X sea menor o igual que un valor x dado, F(x) = P(X ≤ x) En variables continuas (Figura A.2) los histogramas se dibujan de modo que el área en cada intervalo represente probabilidad y así el área total resulte 1. f(X)
F(X)
Función de Densidad de Probabilidad
0.25
1.00
0.20
0.80
0.15
0.60
0.10
0.40
0.05
0.20
0.00
Función de Distribución Acumulada
0.00 0
4
8
Valor de la Variable X
12
16
0
4
8
12
Valor de la Variable X
Figura A.2: Funciones de frecuencias de variables continuas
16
190
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Para ello, la frecuencia relativa se divide por el ancho del intervalo. La relación (n. x) es la probabilidad por unidad de longitud en el intervalo.
ni /
Esta FDP cumple que En el límite, cuando FDP.
f(x)
∫
∞
−∞
=
x
n
lim
i n →∞ Δx → 0 n .Δx
f ( x ) . dx
0 y n
=
, define la Función de Densidad de Probabilidad
P(x ) i n →∞ Δx Δx → 0 lim
=
lim
n →∞ Δx → 0
ΔF(x) Δx
=
dF(x)
=1
(A.15)
dx (A.16)
b
∫ f (x) . dx = P (a ≤ X ≤ b) a
(A.17)
La Función de Distribución Acumulada, FDA, se puede definir ahora a partir de la FDP
F( x )
=
∫
x
−∞
= P (−∞ ≤ X ≤ b) = P (X ≤ x )
f ( x ) . dx
(A.18)
Análogamente, para variables discretas se puede plantear que n
∑ fr (x i ) = 1
(A.19)
i =1
xi ≤ b
∑ fr (x i ) = P(a ≤ X ≤ b)
xi ≥ a
(A.20)
k
∑ fr ( x i ) = P (X ≤ x i =1
k
)
(A.21)
Cuando las probabilidades se calculan con datos muestrales se denominan objetivas o posteriores. Cuando se estiman para eventos futuros se denominan subjetivas o anteriores. Ahora bien, ¿Cómo se evalúa la probabilidad de un evento histórico? O, en otros términos, ¿Cómo se le asigna la posición de graficación o de “ploteo”, para ubicarlo en el histograma?. La mayoría de los numerosos métodos propuestos responden a fórmulas empíricas. Siendo n el total de valores a graficar y m la posición de un valor
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
191
xm en una lista ordenada de mayor a menor, dan la probabilidad de excedencia de xm , es decir, P (X ≥ xm). Algunos ejemplos son: a)
b)
n
n
m − 0,3
m − 0,5
m − 1
m
c)
d)
n
m e)
n + 0,4
n +1
(A.22)
La primera, conocida como fórmula de California, conduce a una probabilidad de 100% para m = n, difícil de graficar en un papel probabilístico. A tal fin, puede modificarse, obteniendo la fórmula b), pero ésta da P = 0 para m = 1, causando el mismo inconveniente en el otro extremo. Entre las dos anteriores deberían ubicarse las posiciones de ploteo adecuadas, tal las propuestas por: c) Hazen; d) Chegodayev y e) Weibull, la más usual para valores extremos. La localización de Weibull es la de mejor sustento estadístico. Supone que, si los n valores se distribuyen uniformemente entre el 0 y el 100 % de probabilidad, habrá n+1 intervalos, de los cuales n-1 caerán en el rango muestral y 2 en los extremos. La recurrencia asociada es T = (n+1)/n. El ajuste gráfico es una técnica de trazado en un papel probabilístico específico para cada FDA. La frecuencia acumulada se ve rectilínea si ese modelo es una aproximación razonable de la muestra. La ordenada, indica el valor de la variable reducida (x- μ)/σ, en escala lineal o logarítmica y la abscisa provee la probabilidad de que ocurra un evento menor o igual que dicho valor. Es común complementar o suplantar esta escala con ejes de período de retorno y/o de factor de frecuencia. Al rectificar la FDA, el método facilita la comparación y la extrapolación, pero trae pérdida de precisión, como toda técnica gráfica, y a menudo amplifica el efecto de errores muestrales.
A.2.4 MOMENTOS Y CARACTERÍSTICAS DE LAS DISTRIBUCIONES Las propiedades de las distribuciones estadísticas pueden definirse en términos de momentos de la distribución, que son parámetros con sentido físico o geométrico en general. El momento de orden
μ ´r =
∞
∫
−∞
r
x . f (x) . dx
r con respecto al origen se define como μ ´r =
1 n
n
.
n
∑ xi = ∑ x i =1
r
i =1
r i
. f ( x i )
(A.23)
El primer momento, μ, es la media o promedio. Define la distancia del centroide de la FDP al origen. Los restantes pueden definirse con res pecto a μ.
192
μ r =
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
∞
∫
−∞
μ r =
(x −μ ) . f (x) . dx r
1 n
n
.
∑ (xi − μ ) i =1
r
(A.24)
Raramente es necesario computar más de 3 momentos para definir completamente una distribución. En varias importantes bastan 2. Algunas relaciones útiles son:
μ1 = 0
μ2 = μ´2 - μ²
μ3 = μ´3 - 3 . μ´2 . μ + 2 . μ3
(A.25)
Las distribuciones probabilísticas son modelos paramétricos, cuyas características se describen mediante parámetros. Por su parte, éstos son funciones de los momentos. El estadístico X , definido como media discreta de la muestra, es el mejor estimador de la media μ y el más usual de la tendencia central de la variable. Otros son la mediana (valor que divide la distribución en partes iguales) y la moda (valor más frecuente en variables discretas y de mayor densidad de probabilidad en las continuas). La dispersión se puede representar con el rango o el desvío promedio respecto a la media, pero el parámetro de importancia estadística es la varianza o segundo momento respecto a la media
σ
2
=
∞
∫
−∞
(x −μ )2. f (x) . dx
(A.26)
pero, al desconocer μ, se usa: 2
S
=
1 n −1
n
.
∑= ( xi − x)
2
(A.27)
i 1
El n-1, que aparece en lugar de n cuando los parámetros se estiman por el método de máxima verosimilitud, proviene de la pérdida de un grado de libertad, causado al fijar X.. El desvío estándar ( σ o S) es la raíz cuadrada de la varianza. Resulta en las mismas dimensiones que la variable y que la media, lo cual facilita el manejo y comprensión. El coeficiente de variación, Cv = σ/μ ó S/X, adimensional, indica la dispersión relativa y sirve para comparar muestras. El tercer momento respecto de la media mide la asimetría (As), en tanto que su valor 3 dividido el cubo de la desviación tipo define al Coeficiente de Asimetría Cs = α / σ 3 o Cs = a / S . Si la distribución es simétrica Cs = 0, si Cs es positivo la desviación es a la derecha y si es negativo a la izquierda. Este coeficiente es estadísticamente cuestionable para muestras con menos de 50 datos.
As
=
1 n
n
.
∑ ( xi − μ ) i =1
3
(A.28)
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
as
=
193
n
1 (n − 1).(n − 2)
.
∑ ( xi − x)
3
(A.29)
i =1
Los momentos impares de una distribución simétrica son nulos. En una sesgada, no.
A.3
DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS USUALES EN HIDROLOGÍA
La Tabla A1 sintetiza los conceptos de función de distribución de probabilidades y de los momentos de primero y segundo orden, mientras que en las tablas A.2 y A.3 se presentan los modelos de distribución más usuales en Hidrología.
Tabla A.1: Función de probabilidad para variables aleatorias
DISTRIBUCIÓN
DEFINICIÓN
FDP f(x)
FFR P(x i)
P(x ) i n →∞ Δx → 0 Δx lim
ni n
RANGO
x ≥ −∞ x ≤ ∞
MEDIA μ x
VARIANZA
S2
∞
∫ x. f ( x).dx −∞
1
n
∑ xi n
∞
∫
−∞
1
(x −μ ) .f (x).dx 2
n
∑ ( x i − μ ) n
2
i =1
i =1
Tabla A.2: Modelos de distribución para variables aleatorias discretas
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
POISSON
FDP f(x)
FFR P(x i)
n!
p x (1 − p ) x )!
x ! (n
−
λ x .e − λ x!
UNIFORME
1 b
−a
n−x
RANGO
MEDIA μ x
VARIANZA
x≥ 0 x≤ n
n.p
N . p . (1-p)
(b+a) / 2
(b-a) / 12
S2
x≥ 0 x≥ a x ≤ b
2
194
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Tabla A.3: Modelos de distribución para variables aleatorias continuas
DISTRIBUCIÓN
FDP f(x)
EXPONENCIAL GAUSS o NORMAL LOG NORMAL
FFR P(xi)
λ . e
− λ . x
⎡ (x − μ )2 ⎤ exp⎢− ⎥ 2 2.π ⎣ 2.σ ⎦
1 σ
1 xσ 2.π
RANGO
MEDIA μ
x≥ 0 x≤ ∞ x ≥ −∞ x≤ ∞
⎡ (y − μ y )2 ⎤ exp ⎢ − ⎥ y≥ 0 2 ⎢⎣ 2.σ y ⎥⎦ y ≤ ∞
GAMMA − λ . x β β − 1 λ . x . e DE 2 PARÁ( β ) METROS PEARSON λ β .( x − ε ) β −1 .e − λ .( x −ε ) TIPO III o GAMMA DE Γ ( β ) 3 PARAM. LOG λ β .( y − ε ) β −1 .e − λ .( y − ε ) PEARSON x . Γ ( β ) TIPO III GUMBEL o ⎡ x −u 1 x − u ⎞⎤ VALORES exp⎢− − exp⎛ − ⎜ ⎟ EXTREMOS α ⎣ α ⎝ α ⎠⎥⎦ TIPO I
Γ
x
VARIANZA S2
x≥ 0 x≤ ∞
y
σ
y
μ
β
β
x ≥ ε
ε + σ β
λ
β
y ≥ ε
ε + σ y β
λ
β
x > −∞ u + 0,5772 .α x< ∞
α .π
6
A.3.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución Normal surge del Teorema del Límite Central: Si n variables aleatorias son independientes e idénticamente distribuidas, con media y varianza ², su suma tiende hacia una distribución Normal, con media n y varianza n ², a medida que n aumenta (Figura A.3). Esto es cierto al margen de cual sea la distribución probabilística de las n variables. Variables como el total de lluvia anual, que son suma de efectos de muchos eventos independientes, tienden a seguir una Normal. Sin embargo, las principales limitaciones de esta distribución están dadas por su rango [- ∞, ∞], y por su simetría alrededor de la media. Características que no reunen la mayor parte de las variables hidrológicas, que son positivas y de tendencia asimétrica.
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
195
Figura A.3: Función de densidad de probabilidad Normal (tomado de Gray, 1973, página 12.3)
A.3.2 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Ciertas secuencias hidrológicas, como el inicio de lluvia, se pueden considerar procesos de Poisson, en los que los eventos son instantáneos e independientes. El tiempo entre éstos es descripto por una distribución exponencial, cuyo parámetro λ es la tasa media de ocurrencia de los eventos. La exponencial se usa para representar tiempos entre arribos de estímulos aleatorios (verbigracia, volúmenes de escorrentía de diferente calidad aportados a los ríos por la lluvia). Las ventajas de la distribución radican en que es fácil estimar λ a partir de observaciones y en su correspondencia con modelos hidrológicos teóricos, tal como el de probabilidad de permanencia para embalse lineal (donde λ es la inversa de la constante de almacenamiento k). La exigencia de que la ocurrencia de cada evento sea independiente de los demás puede ser un supuesto no válido según el proceso (el arribo de un frente, por ejemplo, puede generar varias lluvias interdependientes).
196
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
A.3.3 DISTRIBUCIÓN GAMMA Describe el tiempo que lleva la ocurrencia de un número β de eventos en un proceso de Poisson. La distribución Gamma (Figura A.4) es la de una suma de β variables aleatorias independientes e idénticas, distribuidas exponencialmente. Es muy útil para describir variables asimétricas sin recurrir a transformación logarítmica. Se ha aplicado como distribución de alturas de lluvias en tormentas. Tiene límite inferior nulo, desventaja para aplicarla a variables acotadas a la izquierda por un valor positivo.
Figura A.4: Función de densidad de probabilidad Gamma de 2 parámetros (tomado de Yevjevich, 1972, página 144)
A.3.4 DISTRIBUCIÓN PEARSON TIPO III Denominada también Gamma de 3 Párametros, porque agrega a esta función un límite inferior ∈, de manera tal que éste, λ y β se pueden deducir de los momentos muestrales (media, desvío estándar y coeficiente de asimetría). Es una distribución muy flexible y se puede demostrar que la Normal es un caso particular de la Pearson Tipo III. Se la aplicó por primera vez en Hidrología (Foster, 1924) como distribución de picos máximos anuales de crecida.
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
197
A.3.5 DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS La Teoría de Extremos nace con Fréchet en 1927 , quien introdujo el postulado de estabilidad y obtuvo la primer distribución asintótica de máximos (tipo II), y con Fisher y Tippett (1928), que resolvieron otros dos tipos básicos y establecieron que las distribuciones de valores extremos, de conjuntos de muestras de cualquier distribución, convergen a uno de los tres tipos (I, II ó III) cuando el número de valores extremos extraídos tiende a infinito. Gumbel (1941) fue el primero en emplear teoría extremos en Hidrología, para analizar frecuencia de crecidas y desarrolló la distribución tipo I. Weibull (1939) hizo otro tanto con la tipo III. Jenkinson (1955) demostró que las tres eran casos especiales de una distribución única, llamada GEV. Pese a lo atractivo del enfoque, es insuficiente para elegir una distribución de extremos en Hidrología (Kelman, 1987), porque no se cumplen las hipótesis iniciales. Por ejemplo, para máximos anuales hay dependencia serial y desigual distribución (estacionalidad) entre observaciones diarias. Es dudoso también que la cantidad de observaciones anuales sea suficiente para aproximarse a la distribución asintótica, con lo cual cobra relevancia la distribución poblacional subyacente. La función Gumbel (Figura A.5), sin cota inferior, no sería aplicable a variables intrínsecamente positivas. En estudios de máximos, sin embargo, la cola inferior pierde interés práctico (Yevjevich, 1972).
Figura A.5: Comparación entre las funciones de densidad Normal y de Valores Extremos (tomado de Gumbel, 1958, página 180)
198
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Según trabajos citados por Chow (1964), la función sobreestima los máximos de temperatura y subestima los de lluvia en períodos largos. Aunque varios aspectos conceptuales tornen cuestionable su aplicación, la función de Gumbel se ha mostrado satisfactoria en numerosos problemas de extremos. Benjamin y Cornell (1970), reflejan quizá el argumento real de sus usuarios: "... los ingenieros civiles que han usado distribuciones de valores extremos para describir crecidas usaron solo Tipo I, es probable que por conveniencia computacional simplemente. Nuestro ejemplo mantendrá esta tradición porque permitirá a los conocedores del problema comparar las conclusiones con estudios similares (...), ello nos permite reforzar la idea que el uso hecho del modelo influencia fuertemente su elección.".
A.3.6 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL La lógica de usar logaritmos de variables hidrológicas radica en que la mayoría de éstas, como precipitación y descarga, tienen límite inferior nulo y pueden suponerse sin cota superior. Sus logaritmos, entonces, van de - ∞ a +∞, como la distribución normal. Esta transformación fue propuesta por Galton (1875). Hazen (1914) la introdujo al estudio de crecidas. En 1932 Gibrat y Grassberger la usaron por separado para descargas diarias, y este último para su máxima anual. Trabajos de la década de 1940, citados por Yevjevich (1972), implican que, bajo ciertos supuestos, el tamaño de grano de arenas naturales sigue esta distribución. Otro tanto sucede con la conductividad hidráulica en medios porosos (Freeze, 1975). En 1954, Chow dio una interpretación teórica del comportamiento lognormal: Si un evento hidrológico se produce por combinación de muchos procesos causales, la variable que lo representa es el producto de gran número de magnitudes independientes. El logaritmo de esa variable es, por lo tanto, la suma de los logaritmos de tales factores y, por el teorema del límite central, resulta normalmente distribuido cuando la cantidad de procesos causales se torna infinitamente grande. En otros términos, un producto de variables aleatorias no lognormales, independientes o dependientes, con distintos momentos de la distribución de sus logaritmos converge a la distribución lognormal cuando el número de variables crece (Yevjevich, 1972). Se puede asumir que los factores físicos causales de muchos procesos hidrológicos aleatorios son interdependientes, con efectos multiplicativos. A medida que avanzan diversas hipótesis sobre procesos físicos, se ve con frecuencia que sus funciones de densidad de probabilidad deberían ser lognormales (Figura A.6). Pero no es este el caso general y la función se aplica empíricamente a numerosas variables gracias a su buen resultado. Chow (1954) demostró que la función de valores extremos es un caso especial de la Lognormal o, mejor dicho, que es prácticamente idéntica a esta última para un coeficiente de asimetría de 1,139 y un coeficiente de variación igual a 0,364. Se ha fundamentado que ambas tienen un ajuste satisfactorio a las funciones de frecuencia de lluvias (Wiesner, 1970).
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
199
Figura A.6: Función de densidad Lognormal para distintos valores de los parámetros (tomado de Yevjevich, 1972, página 135)
A.4
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
Los estudios de procesos hidrológicos demandan muchas veces la estimación de variables en condiciones carentes de registro, sea al mismo tiempo pero en ubicación diferente a la de medición (análisis regional), sea en un lugar fijo para intervalos futuros (pronóstico). También se da el caso de requerir datos de una variable con observaciones escasas, como sucede en general con el ca udal. Felizmente, los procesos hidrológicos están vinculados en el tiempo, en el espacio, y entre sí en forma causal (por ejemplo, el escurrimiento con la precipitación). Para aprovechar este hecho, es necesario establecer cuáles son las relaciones existentes y en qué medida permiten buena estimación de las incógnitas. En términos estadísticos, hay que conocer parámetros de regresión y correlación. La correlación cuantifica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias. Se evalúa mediante el Coeficiente de Correlación, que es una forma normalizada adimensional de la covarianza. Por su parte, la regresión expresa, mediante una ecuación, la relación entre dos o más variables, a fin de determinar el valor de una de ellas (variable dependiente) en función de las otras (variables independientes).
200
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
En principio, la ecuación de regresión puede corresponder a cualquier tipo de función (logarítmica, polinómica u otra). Sin embargo, la más utilizada para vincular variables hidrológicas es la lineal. Más aún, cuando su forma original lo permite (como en los casos potencial y exponencial), la ecuación se suele llevar a una estructura lineal, por aplicación de logaritmos. Por ello, a título ilustrativo, la exposición se limita a regresiones lineales simples, que involucran sólo dos variables. La recta que mejor representa a los valores muestrales es aquella que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias, en el eje de ordenadas, entre los puntos observados y la recta. Si un resultado se da por la ocurrencia de eventos xi e yi de dos variables aleatorias X e Y, es posible definir las funciones de densidad conjunta, condicional y marginal. El momento conjunto de orden r y s respecto al origen es:
μ ´r ,s =
∞ ∞
∫∫
−∞ −∞
xr . ys. f (x, y) . dx . dy
(A.30)
y se demuestra que para
r = 1, s = 0
⇒ μ´1,0 = μx
(A.31)
r = 0, s = 1
⇒ μ´0,1 = μy
(A.32)
Cuando los momentos se toman con respecto a las medias correspondientes:
μ r ,s
∞ ∞
= ∫−∞ ∫−∞(x − μ x )r . (y − μ y )s. f (x, y) . dx. d
(A.33)
y se demuestra que para
r = 2, s = 0
⇒ μ 2,0 = σ²x
(A.34)
r = 0, s = 2
⇒ μ 0,2 = σ²y
(A.35)
Hay un tercer tipo de momento de 2º orden, donde para
r = 1, s = 1 σ 1,1 =
∞ ∞
∫∫
−∞ −∞
⇒ μ 1,1 = σ x y
(x − μ x ) . (y − μ y ) . f (x, y) . dx. dy
es la covarianza o varianza conjunta. El coeficiente de correlación, ρ, será:
(A.36) (A.37)
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
=
ρ x , y
σ x, y σ x . σ y
=
201
Co var ianza x, y Varianza x ⋅ Varianza y
(A.38)
aproximado por el estimador muestral
r x , y
=
s x, y
(-1 ≤ r ≤ 1)
sx . sy
(A.39)
El coeficiente de correlación varía entre -1 y 1 y da el grado de dependencia o de asociación lineal entre ambas variables. Un valor elevado de r indica que los valores grandes de X se presentan asociados a valores grandes de Y y viceversa, de modo que la pendiente de la recta de regresión es positiva. Un valor bajo de r indica que los valores grandes de una están ligados a valores pequeños de la otra y que la recta tiene pendiente negativa. En ambos extremos del rango (-1 y 1) existirá una dependencia funcional lineal definida o determinística. Si X e Y son linealmente independientes, r = 0. El hecho que la relación lineal sea débil (reflejado por un coeficiente de correlación cercano a cero) implica solamente que los puntos de la muestra no se alinean en torno a una recta. No aporta información sobre otro tipo de dependencia entre las variables, es decir, sobre la posibilidad que los puntos sigan un patrón geométrico diferente, como podría ser una parábola.
A.4.1 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El modelo muestral que la describe es de la forma:
Y = a + b ⋅ X
b=
s x , y s 2 x
a
= y − b ⋅ x
(A.40)
Los parámetros de regresión, a y b, se estiman analíticamente mediante el método de mínimos cuadrados de las desviaciones en Y, con respecto a la recta de ajuste, resultando: Donde: X e Y son respectivamente, las variables aleatorias independiente y dependiente; con medias muestrales x e y. Para la población, el modelo general responde a la forma:
Y = α + β X + ε ( 0 ,σ 2 ) Donde: y
son los parámetros del modelo. Estimados mediante a y b.
(A.41)
202
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
término aleatorio. Representa la diferencia entre el valor observado (yi) y el estimado ( ŷi .). El error (e) es una variable aleatoria independiente de distribución 2 normal con media cero y varianza σ . Es constante en todos los puntos de la recta de regresión
ε i = yi − yˆ
∑
ei2
(A.42)
= ∑ [ yi − (α ˆ + β ˆ . xi )]
2
(A.43)
La Varianza de los errores es la Varianza residual . Son los errores cometidos por el modelo. Es un estimador insesgado, puede ser obtenido:
S ε 2
=
1 (n − 2)
∑
ei2
(A.44) 2
El Coeficiente de Determinación (r ), (cuadrado del Coeficiente de correlación), indica la relación existente entre la varianza explicada por la curva teórica ajustada y la varianza total de la muestra. Da el porcentaje de variación explicada. Es una medida de la capacidad predictiva del modelo.
( yˆ − y) ∑ r = ∑( y − y) 2
2
i
2
= 1−
i
∑e
2 i
∑
( yi − y)2
(A.45)
A.4.2 EVALUACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL Una hipótesis es una especificación acerca de la población, la cual puede ser confirmada o refutada, sobre la base de la información obtenida de los datos observados. Los pasos a seguir son:
Planteo de la hipótesis cierta: H0
Planteo de la hipótesis alternativa: Ha
Adopción del estadístico de prueba, en función de la hipótesis planteada.(Jicuadrado, t de Student, F de Fisher)
Determinación del nivel de significación (α). Comúnmente se adoptan valores de 0,10 (10%), 0,05 (5%) ó 0,01 (1%). El área que re presenta α constituye la zona de rechazo de la H0.
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
203
Obtención, en las tablas de distribuciones estadísticas, del valor crítico. Estimación del estadístico en base a la muestra (estimador puntual) Comparación del estimador puntual con el valor crítico. Si el estimador puntual o valor observado de la muestra es mayor al valor crítico, se rechaza la hipótesis cierta.
Al efectuar estas pruebas podemos cometer errores de 2 tipos:
Tipo I: cuando se rechaza la hipótesis siendo correcta. Su probabilidad de ocurrencia es α (nivel de significación o zona de rechazo)
Tipo II: cuando no se rechaza la hipótesis siendo esta falsa. La probabilidad de ocurrencia no se puede determinar, solo se puede demostrar que se hace grande cuando el valor supuesto se acerca al valor verdadero
Evaluación del modelo El estadístico adoptado es la F (Fisher), cociente entre dos distribuciones Ji-Cuadrado Representa el cociente de las varianzas de dos muestras. Su valor esperado es 1.
( y i
− y ) = ( yˆ i − y ) + ei
(A.46)
desvio de yi = varianza explicada + error
∑ ( y
i
− y ) 2 = ∑ ( yˆ i − y ) 2 + ∑ (e i ) 2
(A.47)
Representa la varianza total
F =
2 y y ( − ) ˆ ∑ i
1 n−2
∑
.
ei2
=
var ianza exp licada var ianza residual
(A.48)
En el caso que nos ocupa, modelo de regresión lineal, se espera un valor muy superior a 1 porque la varianza explicada debe ser muy superior a la varianza de los errores (Capítulo 6). La relación entre la variación explicada y la no explicada es una buena representación de cómo se ajusta la recta a los datos muestrales. O la sensibilidad de la recta ante los cambios de la variable dependiente.
Pruebas de hipótesis de la regresión lineal sobre el coeficiente β Se evalúa la pendiente de la recta de regresión. La variable aleatoria presenta media poblacional conocida (o se le asigna un valor, como β=0) y varianza desconocida.
204
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Siguiendo los pasos indicados en (A.4.2): Planteo de la H0: β=0 y la Ha: β ≠ 0. Definición del nivel de significación y el estadístico de prueba (t de Student.) De la Tabla de Distribución Acumulativa de Student (presente en los textos de Estadística) se extrae el valor crítico correspondiente. El Tcalc. será :
T calc
=
Si
b − β S T calc.
.
< t c A.5
(A.49)
se rechaza la H0
(A.50)
PRUEBAS DE AJUSTE NO PARAMÉTRICAS
Las pruebas estadísticas no paramétricas, son otra herramienta para detectar la existencia de probables tendencias en muestras cronológicas, aparentemente aleatorias. (Capítulo 6) En general los tests estadísticos para análisis de homogeneidad que pueden utilizarse se basan en la hipótesis nula (H0) que no existe interferencia (por lo tanto los datos son homogéneos) y rechazar o no esta hipótesis con un cierto nivel de confianza (Paoli et al., 1996). Los test no paramétricos solo necesitan la suposición de independencia de las observaciones. Entre los más utilizables en extremos se han seleccionado:
Mann–Kendall
Kolmogorov-Smirnov
A.5.1 TEST DE MANN–KENDALL A partir de los datos cronológicos de la muestra X i, i=1,2...N, donde i representa el año de registro, se calcula:
VS =
N −1
∑= vs(i)
(A.51)
i 1
donde vs(i) es el número de valores de X j > X i, siendo i < j ≤ N. Para cada valor de Xi ordenado cronológicamente se calcula cuantos valores posteriores lo superan.
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
205
Asimismo se calcula:
VI =
N −1
∑= vi (i)
(A.52)
i 1
donde vi(i) es el número de valores X j < Xi, siendo i < j ≤ N. Para cada valor de Xi ordenado cronológicamente se calcula cuantos valores posteriores son menores. Con los valores de VS y VI calculados se define el índice:
I = VS − VI
(A.53)
el cual debe cumplir la condición que I es próximo a cero si la hipótesis nula es verdadera. Por lo tanto debe verificarse que:
I < I crít (α )
(A.54)
o sea que el índice calculado sea menor que un valor de I crít , el cual se encuentra en tablas y es función del tamaño de la muestra y de los diferentes niveles de significación. Para tamaños de muestras mayores a 10, se puede utilizar una forma simplificada, donde se transforma el índice I a V por la expresión:
V =
I − 1
⎛ N ⋅ ( N − 1) ⋅ (2 N + 5) ⎞ ⎜ ⎟ 18 ⎝ ⎠
(A.55)
0.5
Los valores de V crít se presentan en la Tabla A.4. Tabla A.4: Valores de V crit. en función del nivel de significación ( α )
V cri
0,01 2,33
0,05 1,64
0,10 1,28
A.5.2 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Se utiliza para determinar si dos muestras pertenecen a la misma población. Cobra importancia cuando se sospecha a priori a partir de que año se presentan interferencias, posibles cambios, o cuando se pretende comparar datos medidos hasta una cierta fecha a partir de la cual los registros se obtienen indirectamente.
206
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
Por lo tanto de los valores Xi disponibles se identifican previamente dos muestras X1...Xn y Xn+1...Xn+m. Cada submuestra es n y m respectivamente y el total de los datos es n+m. Para la aplicación de esta prueba los datos son ordenados de menor a mayor sin distinción de la submuestra. Para cada valor de Xi ordenado se calculan: RS(i), que es el número de valores de X menores o iguales a dicho X i que pertenecían a la submuestra “n” RI(i), que es el número de valores de X menores o iguales a dicho X i que pertenecían a la submuestra “m” Con estos datos se calcula el índice d(i):
d (i ) =
RS (i ) RI (i) n
−
(A.56)
m
Esta diferencia tiende a cero cuando la hipótesis nula es verdadera. Por lo tanto d(i) debe ser testeado utilizándose para ello la función de Smirnov. Se calcula D el cual es el máximo valor absoluto de d(i) y
⎛ n ⋅ m ⎞ Z = D ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ n + m ⎠
0.5
(A.57)
Los valores de “Z crít ” son los presentados en la Tabla A.5, los cuales nuevamente se obtienen de una distribución de probabilidad normal y varían en función del grado de significación: Tabla A.5: Valores de Z crít. en función del nivel de significación ( α )
Z cri
A.6
0,01 1,628
0,05 1,358
0,10 1,224
FACTORES DE FRECUENCIA
Cuando se adopta un tipo de modelo, quedan establecidas solamente sus características generales. Sus rasgos específicos -requeridos para inferir la probabilidad de ocurrencia, en función del valor de la variable, o viceversa- deben ser calibrados con las muestras observadas. Esto se puede hacer de tres maneras: ajuste gráfico, estimación de parámetros o empleo del factor de frecuencia.
Procesos Hidrológicos y Modelos Probabilísticos
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Se dijo ya que el ajuste en un papel probabilístico, al rectificar la FDA, facilita la extrapolación, la interpolación y la comparación de modelos, pero trae pérdida de precisión, como toda técnica gráfica, y a menudo amplifica el efecto de errores muestrales. Los modelos probabilísticos son paramétricos, es decir, incluyen valores que se supondrán constantes a la hora de aplicar el modelo, pero, como se desconocen a priori, variarán cuando se los evalúa. Para estimar estos parámetros se usan los clásicos métodos de máxima verosimilitud y de los momentos, cuyo extenso tratamiento en la bibliografía específica exime de mayor presentación. Varias funciones de distribución acumulada comunes, incluida la Normal, son integrales sin solución analítica. Se las puede aproximar por medio de polinomios (Zelen y Severo, 1972), lo cual permite elaborar las tablas usuales dadas en la literatura, para paso constante de la variable y. Cuando la FDA no es invertible, al buscar el valor de la variable a partir del período de retorno, T = 1/[1-F(y)], el uso de la tabla se revierte. Este es el planteo para diseño de obras hidráulicas. Si la probabilidad correspondiente a T no coincide con un dato tabulado, ese método conduce a interpolar el valor de y, con pérdida de exactitud en recurrencias altas. Para calcular la magnitud de eventos extremos en distribuciones no invertibles, Chow (1951) introdujo el concepto de factor de frecuencia razonando así: La variable aleatoria y puede expresarse como la media μy más el desvío Δy de la variable respecto a la media, y = μy +Δy. Ese desvío depende del tipo y de la dispersión de la distribución probabilística, igual que el desvío estándar σy, y se puede asumir que es el producto de éste por un factor de frecuencia, Φy, es decir, Δy = σy . Φy. De donde, siendo Cvy = σy/μy el coeficiente de variación
y = μ y + σ y . Φ y
o bien
y μ y
= 1 + Cv y . Φ y
(A.58)
Esta relación indica que Φy es el número de desvíos estándar entre el dato y la media. Propuesta por Chow (1951) como ecuación general para análisis de frecuencia hidrológica, daría la solución al problema anterior -tras calcular los parámetros de la muestra- si el factor de frecuencia se pudiera expresar como función analítica de la recurrencia correspondiente. En la mayoría de las FDA esto no ocurre y la relación Φ-T se plantea mediante curvas o tablas, retrotrayéndose a otro método de calibración con los inconvenientes citados.
Re f e re n ci a a s Bi b bl i o o g r á f i c c a s
APARICIO MIJARES, F. J.; 1993. Fundamentos de Hidrología de Superficie. Editorial Limusa. México. ARNAIZ, M. M.; J. M. ARAGONÉS; L. LÓPEZ GARCÍA; 1976. Nociones de Estadística Aplicada a la Hidrología. Hidrología Subterránea. Tomo I, Sección 3. En Custodio y Llamas. Editorial Omega. Barcelona, España. ATECA, M. R.; 2002. Análisis de la Distribución de la Precipitación en la Provincia de Córdoba, existen evidencias de Cambio Climático?. XIX Congreso Nacional del Agua, 41-42. Trabajo en CDROM. CPCNA. Villa Carlos Paz, Argentina. BELL, F. C.;1969. Generalized Rainfall-Duration-Frequency Relationships. Journal of Hydraulic Engineering. ASCE. Vol.95, N°1. BENJAMIN, J. R.; C. A. CORNELL; 1970. Probability, Statistics and Decision for Civil Engineers. Mc Graw-Hill Book Company. New York, USA. BENSON, M.A.; 1962. Plotting Positions and Economics of Engineering Planning. Jour. of Hydraulics Division. American Society of Civil Engineering. N° 88, 57-71. USA. BERNARD, M.; 1932. Formulas for Rainfall Intensities of Long Duration. Transaction American Society of Civil Engineers, Vol. 110, 697-733. USA. BERTONI, J. C.; C. M. TUCCI; 1993. Precipitação. Capítulo 5 en Hidrologia, Ciência e Aplicação. Editor: C. M. Tucci. Editora da Universidade. UFRGS-EDUSP. Porto Alegre, Brasil. BERTONI, J. C.; P. CHEVALLIER; C. BOUVIER; M. DESBORDES; 2000. Análisis Relativo a la Estimación del Tiempo de Concentración: Aplicación a Tres Cuencas Semi Urbanizadas de la Región Central de Argentina. XIX Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Tomo II, 249-358. AIIH .Córdoba, Argentina.
210
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
BRANDÃO, C.; R. RODRÍGUEZ; 1999. Probable Maximum Precipitation (PMP) for five Portuguese Raingauges. XXVIII IAHR Congress. Graz, Österreich. BRAS, R. L.; I. RODRÍGUEZ – ITURBE; 1993. Random Functions and Hydrology. Dover Publications, Inc. New York, USA. CAAMAÑO NELLI, G. E.; 1994, 1995, 1996 y 1999. Regionalización de Precipitaciones Máximas para la Provincia de Córdoba. 2º, 3º y 4º Informes Parciales e Informe Final al CONICOR. Inéditos. CIRSA-INA. V.C. Paz, Córdoba, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; 2001a. Láminas de Lluvia para Diseño Hidrológico: Conceptos Fundamentales y Técnicas Convencionales. Programa de Seminarios Quincenales 2001, 1ª Conferencia. DiPAS. Córdoba. CAAMAÑO NELLI, G. E.; 2001b. Láminas de Lluvia para Diseño Hidrológico: Técnicas Desarrolladas para la Prov. de Córdoba. Programa de Seminarios 2001, 2ª Conferencia. DiPAS. Córdoba, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. G. CATALINI; 2002. Adaptación de Técnicas para Estimar Lluvias de Diseño a la Predicción de Crecientes en Lagos y Embalses. XIX Congreso Nacional del Agua, 43-44. Trabajo en CDROM. CPCNA. Villa Carlos Paz, Argentina CAAMAÑO NELLI, G.; L. COLLADON; C. DASSO; I. PAZOS; 2001a. Prevención de Daños por Crecientes en Áreas Serranas. Tema 2. Modelación Matemática. Informe Final CONICOR. CIRSA-INA. V. C. Paz, Córdoba, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G.; L. COLLADON; C. DASSO; I. PAZOS; 2001b. Predicción de Crecientes Severas en Villa Carlos Paz, Cuenca del Río San Antonio, Argentina . Seminario Internacional sobre Manejo Integral de Cuencas Hidrográficas. CDROM. Rosario, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; L. COLLADON; C. M. GARCIA; 2002. Criterios de Selección del Nivel de Diseño Hidrológico para Lluvias. XIX Congreso Nacional del Agua, 3-4. Trabajo en CDROM. CPCNA. Villa Carlos Paz, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. DASSO; C. M. GARCIA; 1999. Síntesis de Patrones Temporales de Tormentas Intensas en la Provincia de Córdoba, Argentina. XIV Congreso Chileno de Ingeniería Hidráulica. Memorias, 227-238. Santiago, Chile. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. DASSO; C. M. GARCIA; 2000. Coeficientes de Forma en Hietogramas de Diseño. XIX Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Tomo II, 287-295. AIIH. Córdoba, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; H. M. DI BENEDETTO; E. A. ZAMANILLO; 1994. Hietogramas Típicos de Tormentas Intensas en la Estación La Suela, Provincia de Córdoba. Tomo 2, 225-237. XV Congreso Nacional del Agua. CPCNA. La Plata. Argentina.
Referencias Bibliográficas
211
CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; 1994; El Vínculo entre Pluviometría Máxima y su Recurrencia a Escala Regional. XVI Congreso Latinoamericano de Hidráulica. AIIH. Santiago de Chile. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; 1997. Estimación de Máximos en Hidrología: Factores de Frecuencia Normal y Lognormal. Cuadernos del CURIHAM, Año 3, Nº 3, 1-17. UNR. Rosario, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; 1998a. Precipitación Máxima Probable en 24 Horas: Ensayo en el Noroeste de Córdoba, Argentina. Cuadernos del CURIHAM, Año 4, Nº 2, 13-26.UNR. Rosario, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCÍA; 1998b. Estimación de la Función i-d-T a escala Regional mediante el Factor de Frecuencia Normal . II Simposio de Recursos Hídricos del Cono Sur y XVII CN Agua, Tomo 2, 157-167. Santa Fe, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCÍA; 1999. Relación Intensidad-Duración Recurrencia de Lluvias Máximas: Enfoque a través del Factor de Frecuencia, Caso Lognormal. Ingeniería Hidráulica de México. Vol. XIV, N°3, 37- 44. D.F., México. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; C. M. DASSO; 1998a. Zonalización de Tormentas de Diseño para la Provincia de Córdoba, Argentina. II Simposio de Recursos Hídricos del Cono Sur y XVII CNAgua, Tomo 2, 168-178. Santa Fe, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCÍA; C. M. DASSO; 1999a. Estimación de la PMP en 24 horas para la Provincia de Córdoba, Argentina. Congreso Argentino de Grandes Presas y Aprovechamientos Hidroeléctricos, 69-78. Comité de Grandes Presas. San Martín de los Andes, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCÍA; C. M. DASSO; 1999b. Hietograma Puntual de Diseño: Correspondencia entre la Estimación y la Distribución de la Altura de Lluvia. XIV Congreso Chileno de Ingeniería Hidráulica. Memorias, 157168. Santiago, Chile. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; C. M. DASSO; 1999c. Intensidades de Lluvias Locales para Diseño Hidrológico en la Provincia de Córdoba. Revista Oficial del INA. AñoII, Ago-set, 4-6. Secretaria de Recursos Naturales y Desarrollo Sustentable. Presidencia de la Nación, Buenos Aires, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; C. M. DASSO; 2000a. Coherencia entre la Lámina y su Distribución en la Estimación del Hietograma Puntual de Diseño. En Usos y Preservación de los Recursos Hídricos en los Umbrales del Siglo XXI, 25-26. Trabajo en CDROM. XVIII CN del Agua. Termas de Río Hondo, Argentina
212
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; C. M. DASSO; 2000b. Precipitación Máxima Probable de Lapso Variable para Córdoba, Argentina. En Usos y Preservación de los Recursos Hídricos en los Umbrales del Siglo XXI, 5-6. Trabajo en CDROM. XVIII C N del Agua. Termas de Río Hondo, Argentina CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCÍA; C. M. DASSO; 2000c. Variación de la Precipitación Máxima Probable con la Duración de Lluvia: Contraste de Estimadores en la Región Central de Argentina. XIX Congreso Latinoamericano de Hidráulica. AIIH. Tomo II, 297-308. Córdoba, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G., C. GARCIA; C. DASSO; I. BERNASCONI; 1995. Lluvias Intensas: Alternativas de Transposición en la Provincia de Córdoba . Tomo I, 43-61. Primera Reunión Nacional de Geología Ambiental y Ordenación del Territorio. UNRC. Córdoba, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; C. M. GARCIA; E. A. ZAMANILLO; 1994.. Regionalización de Precipitaciones Máximas Diarias para la Provincia de Córdoba. Tomo 2, 437-449 XV Congreso Nacional del Agua. CPCNA. La Plata. Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; G. E. LIBOVICH; 1996. Hidrología en Tiempo Real y Sistema Telemétrico CIRSA. Curso de Hidrología y Meteorología Operativa. Facultad. Ciencias Exactas y Naturales., UBA. Buenos Aires, Argentina. CAAMAÑO NELLI, G. E.; G. E. LIBOVICH; L. COLLADON; 1998b. Pronóstico estadístico en tiempo real de crecidas para cursos serranos. II Simposio de Recursos Hídricos del Cono Sur, Tomo 2, 383-393. CONCAP. Santa Fe, Argentina. CAMPOS ARANDA, D.;1999. Estimación estadística de la Precipitación Máxima Probable en San Luis de Potosí . Ingeniería Hidráulica en México, V. XIII, N° 3, 4566. México. CATALINI, C. G.; 2001. Altura Areal de Lluvia para Diseño en la Cuenca del río San Antonio. Trabajo Final de Ingeniería Civil, Universidad Católica de Córdoba. Córdoba, Argentina. CATALINI, C. G.; G. E. CAAMAÑO NELLI; C. M. GARCIA; 2002. Efectos Fisiográficos y Climáticos sobre las Curvas de Reducción Areal de Lluvias de Diseño. XIX Congreso Nacional del Agua, 7-8. Trabajo en CDROM. CPCNA. Villa Carlos Paz, Argentina. CETESB; 1979. Drenagem Urbana: Manual de Projeto. São Pablo, Brasil. CHEN, C.; 1983. Rainfall intensity-duration-frequency formulas. Jour. of Hydr. Eng. ASCE. V.109, N°12,1603-1620. USA. CHOW, V. T.; 1951. A General Formula for Hydrologic Frequency Analysis. Transactions American Geophysical Union. Vol. 32. USA.
Referencias Bibliográficas
213
CHOW, V. T.; 1953. Frequency Analysis of Hydrologic Data with Special Application to Rainfall Intensities. University of Illinois Eng. Exp. Sta. Bulletin. 414. USA. CHOW, V. T.; 1954. The Log-Probability Law and its Engineering Application. Proceedings American Society of Civil Engineers. Vol. 80, Nº 536 CHOW, V.T.; 1955. On the Determination of Frequency Factor in Log-Probability Plotting. Transactions American Geophysical Union. Vol. 36. USA. CHOW, V. T.; 1959. Determination of Hydrologic Frequency Factor . Proceedings American Society of Civil Engineers. Jour.of Hydraulic Division. Vol. 85, Nº HY7 USA. CHOW, V. T.; 1964. Frequency Analysis. Handbook of Applied Hydrology, Secc. 8-1. V. T. Chow, editor. Mc Graw-Hill Book Company. New York. CHOW, V. T.; D. R. MAIDMENT; L. W. MAYS; 1994. Hidrología Aplicada. Capítulo 13, Diseño Hidrológico. Mc Graw Hill Interamericana S.A. Santafé de Bogotá, Colombia. CLARKE, R. T.; 1993. Hidrología Estatística. Hidrología, Ciência e Aplicação, Capítulo 17. Editor: Carlos M. Tucci. Editora da Universidade de São Paulo. São Paulo. COLLADON, L.; 2000 a. Síntesis Estadística Pluviométrica de la Cuenca del Río San Antonio. Inédito. CIRSA-INA. Villa Carlos Paz, Argentina. COLLADON, L.; 2000 b. Manual de Uso del Modelo Unificado de Pronóstico de Crecidas. Inédito. CIRSA-INA. Villa Carlos Paz, Argentina. COLLADON, L.; G. E. CAAMAÑO NELLI; 2000. Pronóstico Alternativo a Tiempo Real para Villa Carlos Paz. Uso y preservación de los Recursos Hídricos en los umbrales del siglo XXI, 11-12. Termas de Río Hondo, Argentina COLLADON L.; G. E. CAAMAÑO NELLI; 2001. Tendencias Climáticas en Lluvias Máximas del Centro de Argentina. IV Diálogo Interamericano sobre Gerenciamiento de Aguas. Libro de Resúmen, Trabajo en CDROOM, Foz de Iguazú, Brasil. COLLIER, E. P.; 1965. Flood Frequency Curves- Single Station Analysis. Water Resources Branch. Department Environment. Ottawa, Canada. COMMITTEE ON STORMWATER STANDARDS; 1958. Australian Rainfall and Runoff . The Institution of Engineers, Sydney, Australia. CORRIGAN, P.; D. FENN; D. KLUCK; J. VOGEL; 1998. Probable Maximum Precipitatio for California: Calculation Procedures. National Weather Service, USDCNOAA Silver Spring, MD. USA. CUNANE, C.; 1989. Statistical Distributions for Flood Frequency Analysis. WMO. OHR33. Geneva, Suiza.
214
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
DASSO, C. M.; 1997. Análisis de Interiores de Tormentas Intensas en la Estación La Suela. Inédito. INA-CIRSA, Córdoba, Argentina. DASSO, C. M.; E. J. BUSTAMANTE; 1979. Investigación del Escurrimiento Directo en la Cuenca del Río de la Suela. IX Congreso Nacional del Agua, Tomo 1, 198209. San Luis, Argentina. DASSO, C. M.; C. M. GARCIA; I. BERNASCONI; L. DE SALVO; 1997. Procesamiento de series pluviográficas en la Estación Ceres (Prov. de Santa Fé). Determinación de curvas i-d-T e Hietogramas Tipos. Inédito. INA-CIRSA, Córdoba, Argentina. DASSO, C. M.; C. M. GARCIA; G. E. CAAMAÑO NELLI; 2001. Hietogramas de Lluvias Intensas en la Región Central de Argentina. IV Diálogo Interamericano de Gerenciamiento de Aguas. Libro de Resúmenes, 25 ; Trabajo en CDROM. Foz de Iguazú, Brasil. DASSO, C. M.; G. E. CAAMAÑO NELLI; L. COLLADON; 2002. Contraste de Técnicas de Transposición de la Función Intensidad-Duración-Recurrencia de Lluvias Máximas. XIX Congreso Nacional del Agua, 27-28. Trabajo en CDROM. CPCNA. Villa Carlos Paz, Argentina. DI BENEDETTO, H. M.; 1992. Análisis y Elaboración de Metodologías para el Aprovechamiento de Datos de Lluvia Diaria en la Estimación de Intensidades. Informe Final a CONICOR. Inédito. CIRSA – INA. Córdoba. Argentina. DRAPER, N. R.; H. SMITH; 1966. Applied Regression Analisys. John Wiley & Sons. New York, USA. EAGLESON, P. S.; 1970. Dynamic Hydrology. Edit. McGraw-Hill. New York, USA. FERNÁNDEZ GARCÍA, F.; 1996. Manual de Climatología Aplicada. Clima, Medio Ambiente y Planificación, 1-285. Editorial Síntesis S.A. Madrid, España. FERNÁNDEZ, P. C.; S. FATTORELLI; S. RODRÍGUEZ; L. FORNERO; 1999. Regional Analysis of Convective Storm. Journal of Hydraulics Division. Amer. Society of Civil Eng., Vol. 4, N° 4. USA. FISHER, R. A; L. H. C. TIPPETT; 1928. Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest or Smallest Member of a Sample. Proc. Cambridge Phil. Soc., 24. FOSTER, H. A.; 1924. Theoretical Frequency Curves and your Application for Engineering Problems. Transactions American Society of Civil Engineers. Vol. 87 FRANÇA PIRES, C. L.; 1994. Análise de Freqüência: Revisão Metodológica. A Água em Revista. Ano II, Nº 3. Companhia de Pesquisa de Recursos Minerais, CPRM (Serviço Geológico do Brasil). Belo Horizonte, Brasil.
Referencias Bibliográficas
215
FRANCO, V.; R. DOMINGUEZ MORA; 1996. Método para calcular la Lluvia Media de Diseño en una Cuenca Urbana, usando Factores de Ajuste por Duración, Área y Período de Retorno. XVII Congreso Latinoamericano de Hidráulica, 237-247. Guayaquil, Ecuador. FRÉCHET, M.; 1927. Sur la Loi de Probabilité de L'ecart Maximum. An. de la Soc. Polonaise de Math., 6. Cracow. FREEZE, R. A.; 1975. A Stochastic-Conceptual Analysis of One-Dimensional Groundwater Flow in Nonuniform Homogeneous Media. Water Resources Research. Vol. 11, Nº 5. USA. FRENCH, R. H.; 1983. Precipitation in Southern Nevada. Jr. Hydr. Eng. Vol.109, N° 7,. 1023-1036. USA. FROEHLICH, D. C.; 1995. Intermediate Duration-Rainfall-Intensity Equations. Jr. Hydr. Eng. V.121, N°10. USA GALTON, F.; 1875. Statistics by Intercomparison with Remarks on the Law of Frequency of Error . The London, Edimburgh, Dublin Phil. Mag. Journal Sci., 4ª Serie, Vol. XLIX (enero-junio). Dublin, Eire. GARCIA, C. M.; 1994. Regionalización de Precipitaciones Máximas Diarias en la Provincia de Córdoba. Trabajo Final de Ingeniería Civil, Universidad Católica de Córdoba. Córdoba, Argentina. GARCIA, C. M.; 2000. Lámina de Lluvia Puntual para Diseño Hidrológico. Tesis de Maestría en Cs. de la Ingeniería, Mención en Rec. Hídricos. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba, Argentina. GARCÍA, C. M.; G. E. CAAMAÑO NELLI; C. M. DASSO; 1998. Relaciones entre lluvias máximas de igual recurrencia y distintas duraciones para la región central de Argentina. Anales II Simposio de Recursos Hídricos del Cono Sur. Tomo 2, 179-188. Santa Fé. Argentina. GARCÍA, C. M.; G. E. CAAMAÑO NELLI; C. M. DASSO; 2000a. Coherencia entre la lámina y su distribución en la estimación del hietograma puntual de diseño . Uso y Preservación de los Recursos Hídricos en los Umbrales del Siglo XXI, 25-26. XVIII Congreso Nacional del Agua. Termas de Río Hondo, Argentina. GARCÍA, C. M.; C. G. CATALINI; G. E. CAAMAÑO NELLI; 2000b. Distribución Espacial de la Lámina de Diseño en una Cuenca de Montaña. XIX Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Tomo II, 309-318. AIIH. Córdoba, Argentina GARCIA, C. M.; G. E. CAAMAÑO NELLI; C. M. DASSO; 2001. Estimación de Láminas Máximas de Lluvia a partir de Información Pluviométrica Diaria. Ingeniería del Agua, Vol. 8, Nº 2, 179-189. Córdoba, España.
216
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
GIBRAT, R.; 1932. Amenagement Hydroélectrique des Cours d'Eau: Statistique Mathématique et Calcul des Probabilités. Revue Générale de l'Electricité. Vol. 32, Nº 15, Nº 16. Paris, France. GILMAN, Ch. S.; 1964. Rainfall. Handbook of Applied Hydrology, Sección 9. Editor: V. T. Chow. Mc Graw-Hill Book Company. New York. GRASSBERGER, H.; 1932. Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Wasserführung der Gewaesser . Wasserwirtschaft, 25-55. GRAY, D. M.; 1973. Handbook of the Principles of Hydrology. National Research Council of Canada. Water Information Center Inc. Port Washington, New York. GRISOLLET, H.; 1948. Estudios de los Aguaceros Tempestuosos de la Región Parisién. La Meteorología, Nº 11, 175-195. Paris. GUMBEL, E. J.; 1941. The Return Period of Flood Flows. Ann. Math. Statist. Vol12, Nº 2,163-190. GUMBEL, E. J.; 1958. Statistics of Extremes. Columbia University Press. New York, USA. HALL, A. J.; 1977. Temporal Patterns of Rainfall Bursts. Australian Rainfall and Runoff. The Institution of Engineers, Australia. Sydney. HARGREAVES, G. H.; 1981. Simplifed Method for Rainfall Intensities. Journal of Irrigation and Dranaige Engineering. ASCE. Vol. 107, N° IR3, 281 - 289. HARGREAVES, G. H.; 1988. Extreme rainfall for Africa and other developing areas. Jour. of Irrigation and Dranaige Engineering. ASCE. Vol. 114, N° 2, 324 - 333. HAZEN, A.; 1914. Discusión de: Flood Flows, de W. E. Fuller . Trans. Am. Soc. Civ. Eng. Vol.77. USA. HAZEN, A.; 1921. The Frequency of High Rates of Rainfall. Engineer News-Records, Nov. 1921, pág. 858. Consulting Engineer. New York. HERSHFIELD, D. M.; 1961a. Estimating the Probable Maximum Precipitation. Journal of Hydraulic Division, Vol. 87. ASCE. USA. HERSHFIELD, D. M.; 1961b. Rainfall Frequency Atlas of the U. S . for durations from 30 min. to 24 hours and return periods from 1 to 100 years. Technical Paper 40, U.S. Department of Commerce, Weather Bureau. Washington, USA. HERSHFIELD, D. M.; 1962. Extreme Rainfall Relationships. Journal of Hydraulic Division, ASCE. Vol. 88, Nº 6, 73-92. New York, USA
Referencias Bibliográficas
217
HERSHFIELD, D. M.; 1965. Method for Estimating Probable Maximum Precipitation. Journal American. Water. Works. Assosiation.,V 57, Nº8. New York, USA. HERSHFIELD, D. M; 1981. The Magnitude of the Hydrological Frequency Factor in Maximum Rainfall Estimation. Hydrological Sciences Bulletin, 26, 2, 6/1981. Pp. 171177. USA. HUFF, F. A.; 1967. Time Distribution of Rainfall en Heavy Storms. Water Resources Research, vol. 3, Nº 4, 1007-1019. USA. HUFF, F. A.; 1970. Time Distribution of Rainfall Rates. Water Resources Research, Vol. 6, Nº 2, 447-454. USA JENKINSON, A. F.; 1955. The Frequency Distribution of the Annual Maximum (or Minimum) Values of Meteorological Elements. Quart. Journal Royal Meteorological Society. Vol. 81, Nº 348 . KEEGAN, R. A.; J. M. KEEGAN; 1993. Atlas de la República Argentina. ADISA, Agrupación de Diarios del Interior S.A. - Graf Editorial. Córdoba, Argentina. KEIFER, C.; H. CHU; 1957. Synthetic Storm Pattern for Drainage Design. Journal of Hydraulics Division. Amer. Society of Civil Engineering, vol 83, Nº 4, pp. 1-25. USA KELMAN, J.; 1987. Cheias e Aproveitamentos Hidroelétricos. Revista Brasileira de Engenharia, RBE. ABRH. Rio de Janeiro, Brasil. KITE, G. W.; 1985. Frequency and Risk Analyses in Hydrology. 3ª ed. Water Res. Publ. Littleton, USA. KOTHYARI, U. C.; R. J. GARDE; 1992. Rainfall Intensity-Duration-Frecuency Formula for India. Journal of Hydraulic Engineering. ASCE. Vol.118, N°2, 323-336. LAFRAGUA CONTRERAS, J.; F. APARICIO MIJARES; 1996. Curvas i-d-T para la Vertiente del Golfo de México. XVII Congreso Latinoamericano de Hidráulica. Guayaquil. LANNA, A. E.; 1993. Elementos de Estatística e Probabilidades. Ciência e Aplicação,. Editor: Carlos M. Tucci. Editora da Universidade -EDUSP. Porto Alegre, Brasil. LETTENMAIER, D. P.; E. F. WOOD; 1993. Hydrologic Forecasting. Cap. 20 en: Handbook Hydrology. McGraw Hill Inc. New York, USA. LINSLEY, R.; M. KOHLER; J. PAULHUS; 1982. Hydrology for Engineers. McGraw-Hill. N. York, USA. LLAMAS, J.; 1989. Hidrología General. Principios y Universidad Autónoma de México. D. F., México.
Aplicaciones. Cap. 2.
218
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
LUCERO, O. A.; 1994. La Tormenta de Proyecto Estadística para la Ciudad de Buenos Aires. Inédito. CIRSA- INA. Córdoba, Argentina. LUCERO, O. A.; 1995. Characteristics of a Rainfall Climate Change on an Urban Watershed: the case of Córdoba City (Argentina). Ninth Conference on Aplied Climatology. American Meteorologic Society. Dallas, USA LUCERO, O. A.; 1996. La Función de Distribución de Probabilidad de la Lluvia Anual cuando ocurre un Cambio Climático. XVI Congreso Nacional del Agua. Neuquén, Argentina. LUCERO, O. A.; 1998. Invariance of the Design Storm in a region under a Ranifall Climate Change in Northern Córdoba (Argentina). Intern. Symp. on Hydrology in a Changing Environment, Exceter, United Kingdom. LUCERO, O. A.; 1999. La Función de Distribución de Probabilidad de la Lluvia Anual cuando ocurre un Cambio Climático. Revista del Instituto Nacional del Agua y del Ambiente, Vol. II, Nº3, 34-38. Buenos Aires, Argentina. LUCERO, O. A.; N. C. RODRÍGUEZ; 1998. Decadal and Bidecadal Oscillation of Annual Rainfall in Central Argentina. Informe Final a CONICOR. CIRSA-INA-UNC. Inédito. Córdoba, Argentina. Mc KAY, G. A.; 1973. Precipitation. Secc. II en Handbook of the Principles of Hydrology. D. M. Gray edit. National Resources Council of Canada. Water Information Center. Port Washington (N. Y.), USA. MCGUINNESS, J. L.; D. L. BRAKENSIEK; 1964. Simplified Techniques for Fitting Frequency Distributions to Hydrologic Data. Supt. of Documents. Government Printing Service. Washington, USA.. MEDINA, L.; M. C. MOYANO; 1975. Estudio Piloto de Lluvias Intensas en la República Argentina. Instituto Nacional de Ciencia y Técnica Hídricas. Buenos Aires, Argentina. MEYER, A. F.; 1917. The Elements of Hydrology. John. Wiley y Sons. Boston, USA. MEYER, A. F.; 1928. The Elements of Hydrology. 2ª Edición. John Wiley y Sons. Boston, U SA. MONSALVE SÁENZ, G.; 1999. Hidrología en la Ingeniería, Cap. 7. Ed.Alfaomega. Bogotá, Colombia. MUÑOZ ESPINOSA, H. R.; 1981. Chuvas de Projeto na Bacia do Rio Uruguai: Comparação de Resultados Mediante Análise de Frequência e o Método Hidrometeorológico. 4º Simposio Brasileiro de Hidrologia e Recursos Hídricos, Fortaleza, Anais V.2, ABRH. São Paulo. Brasil.
Referencias Bibliográficas
219
NEMETH, E.; 1963. Hydrologie et Hydrometrie. Traduction Nº 4113. Bureau de Recherches Geologiques et Minieres. p 10-14. París. NERC (National Environment Research Council); 1975. Floods Estudies Report. Vol. 1. London OCCHIPINTI, A. G.; 1989. Hidrometeorologia en Engenharia Hidrológica. ABRHUFRJ. Río de Janeiro, Brasil. ORSOLINI, H. E.; 2000. Estadística Hidrológica: Lluvias de Diseño. Capítulo IX en Hidrología: Procesos y Métodos. H. E. Orsolini, E.D. Zimmermann y P. A. Basile. UNR Editora. Rosario. Argentina. OSBORN, H. B.; K. G. RENARD; 1988. Rainfall Intensities for Southeastern Arizona. Jour. of Irrigation and Dranaige Engineering, ASCE. Vol.114, N°1, 195 -199. OYEBANDE, L.; 1982. Deriving rainfall intensity - duration - frecuency relationships and estimates for regions with inadequate data. Journal des Sciences Hydrologiques. Vol.27, N°3, 353 - 367. PAOLI C. U.; P. A. CACIK; J. A. BOLZICO; 1994. La Incertidumbre en el Análisis de Frecuencia de Picos de Crecida. Tomo 2, 253-265. XV Congreso Nacional del Agua. CPCNA. La Plata, Argentina. PAOLI C. U.; P. A. CACIK; J. A. BOLZICCO; 1996. Análisis de frecuencia de variables hidrológicas. Maestría de Ingeniería en Recursos Hídricos y Curso para Graduados. Hidrología Estadística. FICH-UNL.Santa Fe, Argentina. PETERSON, M.; 1986. Short-Duration Precipitation for Billings, Montana. Journal of Hydraulic Engineering. ASCE. Vol.112, N°11, 1089 - 1093. PFASFTETTER, O.; 1957. Chuvas Intensas no Brasil. DNOS. 419 p. Río de Janeiro. PIERREHUMBERT, C. L.; 1977. Rainfall Intensity-Frequency-Duration Estimation. Capítulo 2 en: Australian Rainfall and Runoff. The Institution of Engineers. Canberra, Australia. PILGRIM, D.; I. CORDERY; R. FRENCH; 1969. Temporal Patterns of Design Rainfall for Sydney. Civil Engi. Transactions, vol. CE 11, Nº 1. The Institution of Engineers, Australia. Sydney. PILGRIM, D.; I. CORDERY; 1975. Rainfall Temporal Patterns for Desing Flood . Journal of Hydraulics Division. Amer. Society of Civil Engineering, Vol 101, Nº Hy1, 81-95. USA. REICH, B. M.; 1963. Short Duration Rainfall Intensity Estimates and Other Design Aids for Regions of Parse Data. Journal of Hydrology. Vol.1. N° 1.
220
Lluvias de Diseño. Conceptos, Técnicas y Experiencias
REMENIERAS, G.; 1971. Tratado de Hidrología Aplicada. Editores Técnicos Asociados. 155-162. Barcelona, España. RIVER ENGINER DIVISION- DEPT. OF IRRIGATION AND DRAINAGE MALAYSIA; 2001. Urban Stormwater for Malaysia Management Manual. RÜHLE, F. G. O.; 1966. Determinación del Derrame Máximo Superficial de las Cuencas Imbríferas. La Ingeniería, Nº 987. Centro Argentino de Ingenieros. 2ª edición. Buenos Aires. SCHREINER, L. C.; J. T. RIEDEL; 1978. Probable Maximum Precipitation Estimates U. S. East of the 105th Meridian. NOAA Hydrometeorol. Report Nº 51. U.S. National Weather Service. Washington, USA. SCS-USDA; 1976. Earth Dams and Reservoirs. Technical Release N° 60. Washington, USA. SCS-USDA; 1986. Urban Hydrology for small watersheds. Technical Release N° 55. Washington, USA SERVICIO METEOROLÓGICO NACIONAL, FAA; 1976. 1985. 1992. Estadísticas Climatológicas. No 35, 36 y 37. Buenos .Aires, Argentina . SHERMAN, C. W.; 1931. Frequency and Intensity of Excessive Rainfalls at Boston, Massachussets.. Transactions American Society of Civil Engineers. ASCE. 95. 951 960. USA. SUGAI, M. R. B.; H. D. FILL; 1990. Tempo de Recorrência Associado à Precipitação Máxima Provável na Região Sul do Brasil. Revista Brasileira de Engenharia. Caderno de Rec. Hídricos, Vol. 8, Nº 1. Rio de Janeiro, Brasil. TABORGA, J. T.; 1974. Prácticas Hidrológicas. Transcon. Río de Janeiro, Brasil. THE INSTITUTE OF ENGINEERS; 1977. Flood Analysis and Design, Capítulo 7 en: Australian Rainfall and Runoff. Australia. U. S. NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES; 1983 Safety of Existing Dams: Evaluation and Improvement . National Academy Press. Washington D. C., USA. U. S. WATER RESOURCES COUNCIL; 1967. A Uniform Technique for Determine Flood Flow Frequencies. Bulletin Nº 15, U. S. Geological Survey, WRC. Washington, USA. U. S. WEATHER BUREAU; 1958. Rainfall-intensity-frequency regime. Technical Paper 29, Part 2, Southeastern United States. Washington, USA.
Referencias Bibliográficas
221
U. S. WEATHER BUREAU; 1960. Generalized Estimates of Probable Maximum Precipitation for the United States West of the 105th Meridian. Technical Paper Nº 38. Washington, USA. VALDEZ, J. B.; 1981. Distribución Espacial y Temporal de la Precipitación. Seminario Interno de Actualización en Modelos Matemáticos. CIHRSA - INCYTH. Inédito. Villa Carlos Paz, Argentina. VAZQUEZ, J. B.; R. A. MIATELLO; M. E. ROQUE; 1979. Geografía Física de la Provincia de Córdoba. Editorial Boldt. Buenos Aires, Argentina. VIESSMAN, W.; G. LEWIS; 1996. Introduction to Hydrology. Harper Collins College Publ. New York, USA. VIESSMAN, W.; J. W. KNAPP; G. L. LEWIS; T. E. HARBAUGH; 1977. Introduction to Hydrology. 2ª Edición. Harper y Row Publishers Inc. New York, USA. WANIELISTA, M.; R. KERSTEN; R. EAGLIN. 1997. Hydrology, Water Quantity and Quality Control. UK Meteorological Office. Ed. John Wiley & Sons. New York, USA. WEIBULL, W.; 1939. A Statistical Theory of Strength of Materials. Ing. Vetenskaps Akad. Handl. Vol. 151. Estocolmo, Suecia. WIESNER, J. C.; 1970. Hydrometeorology. Edit. Chapman & Hall Ltd. London, UK. WILKEN, P. S.; 1978. Engenharia de Drenagem Superficial. CETESB,477p. San Pablo, Brasil. WMO; 1983. Guide to Hydrological Practices, Vol. II, Analysis, Forecasting and Other Applications. World Meteorological Organization, Nº 168, Geneva, Schweiz. WMO;1973. Manual for Estimation of Probable Maximum Precipitation. World Meteorological Organization. Geneva, Schweiz. YEVJEVICH, V.; 1972. Probability and Statistics in Hydrology. Water Resources Publ. Fort Collins, USA. ZAMANILLO, E. A.; G. E. CAAMAÑO NELLI; 1993. Regionalización de Precipitaciones Máximas para la Provincia de Córdoba. 1er Informe Parcial. CONICOR. Inédito. Villa Carlos Paz, Argentina. ZANAZZI, J. L.; 1985. Hidrología Estocástica. Informe Final Beca CONICET. Inédito. CIRSA-INA. Villa Carlos Paz, Argentina. ZELEN, M.; N. SEVERO; 1972. Probability Functions. Cap.26 en: Handbook of Mathematical Functions, 9ª ed.. M. Abramowitz e I. Stegun, Dover Publ.Inc. New York, USA