Cables Beer

Introducción Los cables son uno de los tres elementos estructurales de forma activa 1. Por ello, a continuación se indica las propiedades del cable como elemento estructural sometido a tracción, con el propósito de indicar el comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con elementos tipo cable, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección transversal del cable requerido para el diseño arquitectónico. Para distinguir las propiedades del cable primero se define el elemento donde se indica las ventajas, comportamiento ante las cargas que se aplican, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios para garantizar la estabilidad del cable y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala las ecuaciones y metodología necesaria para establecer las fuerzas que se generan dentro del cable y así determinar las propiedades del cable necesario para cumplir con las necesidades del proyecto.

Propiedades de los cables Definición Los cables son elementos flexibles debido a sus dimensiones transversales pequeñas en relación con la longitud, por los cual su resistencia es solo a tracción dirigida a lo largo del cable. La carga de tracción se divide por igual entre los hilos del cable, permitiendo que cada hilo quede sometido a la misma tensión admisible. (Salvadori y Heller, 1998; Beer y Johnston, 1977)

Figura 1. Forma que toma el cable según la carga Nota. De Estructuras para Arquitectos (p.71), por Salvadori, M. y Heller, R., 1998, Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.

Comportamiento Por su flexibilidad, los cables cambian su forma de acuerdo a las cargas a las que está sometida y pueden dividirse en dos categorías:

1

Elementos que trabajan a tracción o compresión (los otros dos elementos estructurales son el arco y la

cercha). Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela, 12 julio 2011

1

Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina M.

1. Cables que soportan ca gas concentradas. Forma d polígono funicular , esta es la forma nat ral requerida para que las c rgas sean de t ensión.

. Cables que sostienen ca rgas distribuidas. Para una arga distribui a horizontal dquiere la for ma de una pa ábola y para l peso propio adquiere la forma denominada catenaria. Beer y Johnston, 1977; Sal adori y Helle , 1963)

Vent jas os cables son una solució n económica puesto que ell área necesar ia por tracció n es menor a la requerida por compr sión; pero a esar de la efi ciencia y eco omía, los cab les de acero no son solucio es común ente emplea as en estructuras pequeñas, ya que el cable es inestable y este es uno de los requisi tos básicos para las estru turas. or otra parte , el esfuerzo de tensión de un cable es inversamente proporcional a la altura h. El proble a económico de un cable c n una gran altura, es que es o implica una mayor longit d, pero reduc la fuerza e tracción. ( arshall y Nels on, 1995; Salvadori y Heller 1963).

Mate iales Debido a que l os cables solo sostienen fuer zas de tracció , se hacen de cero.

Elem ntos n cable no constituye una estructura aut portante a menos de contar con medios procedimientos para absorber su empuje. En el proyecto de puentes colgantes, este resultado se logra cana lizando sobre las torres la tracción del cable y ancl ando estos últimos en tier a. Compresió en las torre s, flexión en las armaduras y corte en los bloques de anclaje. (Salv adori y Heller 1998).

Figura 2. Esquema de puente colgante y puente estabilizado por cables. Nota. De Cable-stayed b ridge, por Wikipedia, 2011, [En Re ].

Usos l puente colgante y el puen e estabilizado por cables so las formas m ás usuales de bservar siste as formad os por cables véase Figura ), pero existe estadios en l s cuales el el mento de sop rte es un arco de concreto armado y el techo esta for ados por cables. n la Figura se observan disposiciones para techos d cables los c ales son una serie de siste as paralel s colgando desde el tope de columnas capaces de r esistir la flexiión y transmi ir la carga a la fundación, vigas o placas unen los cables paral los. De form similar se o serva la disposición de for ma radial onde el rang de luz entre apoyos es de 80 a 500 m para la disposi ción paralela 60 a 200 m de diámet o para los orie ntados de for a radial (Eng l, 2001; Salva dori y Heller, 1963).

Facultad de Arquitectura y Diseño Universi ad de Los Andes Venezuela, 12 juliio 2011

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Sistemas Estructurales 30 Prof . Jorge O. Medina M.

Figura 3. Esquema de sistema de cables paralelos y radiales. Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.

Predimensionado Diseño del cable El tamaño del cable se determina según el diseño por tracción para elementos de acero, tomando en cuenta que la forma de la sección transversal será como la que se indica en la Figura 4. Cabe destacar que la tensión bajo carga horizontal uniformemente distribuida se multiplica por un factor de seguridad de 3 y los esfuerzos últimos de los cordones y cuerdas son respectivamente σult= 13600 kgf/cm2 y σult= 14200 kgf/cm2 (Segui, 2000; Suspension Bridge Technical Data, s/f).

Areq =

3T max σ ult

(1)

Tipos de cables Guaya galvanizado para cables de guayas paralelas de puentes. El diámetro recomendado 0,196 pulgada. Cordón galvanizado de puente: formado por varias guayas, de diámetros diferentes y unidos de forma enrollada. Cuerda galvanizada de puente: formada por seis cordones torcidos alrededor de un cordón central (véase Figura 4).

Figura 4. Tipos de cables. Nota. De Suspension Bridge Technical Data, [En Red]. Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela, 12 julio 2011

3


Cable parabólico Llamando w la carga por unidad de longitud (medida horizontalmente). La curva formada por cables cargados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola, cuyas ecuaciones se indican a continuación, según el esquema de la Figura 5 y 6.

T O =

T max Donde:

(2)

2 y

⎛ L ⎞ = T + ⎜ w ⎟ ⎝ 2 ⎠

2

2 O

(3)

T O ≡ Tensión mínima del cable en el punto más bajo, en la dirección horizontal (Véase Figura 5). T max≡ Tensión máxima, en la dirección tangente a la curva del cable, en el punto más alto (véase Figura 6); w≡ Carga horizontal uniformemente distribuida (véase Figura 6);

tan θ = Donde:

wx 2

wx

; y =

T O

wx 2 2T O

; W = wx

(4)

θ ≡ Angulo de la tangente con el cable (véase Figura 5); x, y≡ Coordenadas x e y medidas desde el origen en la parte más baja del ca ble (véase Figura 6).

Tmax θ

TO w

Figura 5. Esquema del cable parabólico Tmax

y θ

y=h TO x/2

x

W=w *L/2 W

x=L/2

Figura 6. Diagrama de cuerpo libre del cable parabólico

Catenaria Cuando el peso del cable se vuelve importante, se realiza el análisis con la carga uniforme a lo largo del cable. Se denomina w pp al peso del cable por unidad de longitud medido a lo largo del mismo, donde la magnitud W de la carga total soportada por una porción de cable de longitud s medida desde el punto más bajo a un punto a lo largo del cable es W = ws. Las ecuaciones para esta configuración se indican a continuación según los esquemas de las Figuras 6 y 7 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali y Sami, 1999).

Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela, 12 julio 2011

4


Tmax θ

y

TO

wpp

Y

c

x

X

Figura 7. Esquema de catenaria

s = c senh Donde:

x c

; y = h + c ; c

=

T max w pp

−h

(5)

s≡ Longitud del arco del cable (véase Figura 8), w pp ≡ Peso propio del cable, y, c, W y T se indican en la Figura 7 y 8.

Tmax y θ

s

TO w pp

W=w pp s c

x

Figura 8. Diagrama de cuerpo libre de la catenaria Los pasos para determinar las tensiones de la forma catenaria son: 0.

Estimar T h0, otorgando un valor a

α

que cumpla con la condición α > 1

; T h 0 =

wpp L 2α

y este

valor se toma como T h1 para el paso 1, 1.

Calcular α según la ecuación α =

2.

determinar T h2 con el valor de

3.

obtener T h3 según T h 3

α

w pp L 2T h1

(véase Figura 9),

obtenido en el paso 1, según

T h 2 =

w pp h cosh α − 1

,

= 2T h1 − T h 2 ,


5


4.

el nuevo valor de T h1=T h3 y se repite el procedimiento desde el paso 1 hasta que T h1≈T h3.

5.

Cuando el proceso haya convergido se determina T max según T max

= T h cosh α , con los últimos

valores de T h y α. Tmax α

Th h

w pp

L

Figura 9. Esquema para el cálculo de las tensiones de catenaria

Ejemplo Predimensionar el arco de la figura:

h

w

L

h= 18 m; L= 50 m; = 500 kgf/m w

Cable parabólico Para la carga uniforme en la dirección horizontal de 500 kgf/m el cable adopta la forma de una parábola. Para resolverlo, se realiza un diagrama de cuerpo libre sobre la mitad del cable cortándose en la parte más baja del cable. Tmax B

θ

h

TO

L/2 W=w *L/2 L/4 w


6


Diagrama de cuerpo libre del cable. La distancia horizontal del punto más bajo al alto es L/2 y se realiza

ΣM en

∑ M B = 0 ⇒ 18T 0 − 500 * 25 *12,5 = 0 ⇒ T 0 = 8681kgf T max = T O2 + (wx )

el punto B para obtener T 0.

2

Según la Ecuación 2

; tenemos

T max = 8680,6 + (500 * 25) ⇒ T max = 15218,5kgf 2

2

Areq = El área requerida se determina al emplear la Ecuación 1 galvanizados de acero Areq

=

15218 14200

⇒ Areq = 3,22

3T max σ ult

donde σult=14200 kgf/cm2 de la Tabla para Torón

cm2

De la Tabla para Torón galvanizado de acero obtenemos que para el diámetro nominal de 3”; A=0,837 cm 2 y w pp=28,13 kgf/m por lo tanto, n cables

=

3,22 0,837

= 3,8 se colocan 4 cables de 3” por lo que

A=3,348 cm2 y w pp=112,5 kgf/m.

Catenaria Para el peso propio del cable, este toma la forma denominada catenaria, luego se aplica el método indicado para esta configuración. 1.

Se

T h 0 =

estima

w pp L 2α

según

T h0

⇒ T h 0 =

112,5 * 50 2 *1,1

un

valor

Se calcula α según la ecuación indicada si T h1=2557,3 α =

3.

Se

T h 2 =

w pp h cosh α − 1

con

T h2

⇒ T h 2 =

α

condición

= 1 ,1

⇒ T h0 = 2557,3 ,

2.

determina

la

el

112,5 *18 cosh (1,1) − 1

w pp L 2T h1

valor

⇒ α =

de

112,5 * 50 2 * 2557 ,3

⇒ α = 1,1

anterior

α

según

⇒ T h 2 = 3029,6 ;

= 2T h1 − T h 2 ⇒ T h3 = 2 * 2557,3 − 3029,6 ⇒ T h3 = 2084,9 ;

4.

Se obtiene T h3 según T h 3

5.

Se iguala T h1=T h3; es decir T h1=2084,9 y se vuelve al paso 2 hasta que T h 3

≈ T h1 .

La siguiente Tabla indica los valores que se obtienen de repetir los pasos 2 al 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Iteración h1 2557,27 2084,92 2253,55 2220,18 2229,16 2226,86 2227,45 2227,30 2227,34 2227,33

T

α

1,1 1,34921164 1,24825347 1,2670142 1,26191163 1,26321516 1,26287632 1,26296401 1,26294129 1,26294718

T h2 3029,62 1916,29 2286,92 2211,20 2231,46 2226,26 2227,61 2227,26 2227,35 2227,33

El procedimiento se repitió 10 veces hasta que T h= 2227 kgf luego con

α=1,26294718

se determina T max según

T max = T h cosh α ⇒ T max = 2227,3 cosh(1,26294718) ⇒ T max = 4253 kgf


7


Comprobación del cable Con los resultados obtenidos se comprueba que el diseño es capaz de resistir las cargas asignadas (carga horizontal más peso propio del cable). T max parabolico =15218 kgf ; T max catenaria=4253 kgf;

T max=T max parabolico +T max catenaria ⇒ T max=15218 + 4253=19471 kgf ; σ trabajo

=

T max A

⇒ σ trabajo =

19471 3,348

⇒ σ trabajo = 5815,8

Debido a que el esfuerzo de trabajo es menor al esfuerzo del cable (5815,8 kgf/cm 2 <14200 kgf/cm2), la solución de 4 cables de 3” es la adecuada.

Longitud del cable La longitud necesaria de cable se determina según la Ecuación 5. T max catenaria=4253 kgf; w pp= 112,5 kgf/m; tenemos que c es

c=

T max w pp

−h⇒c =

s = c senh

4253 112,5

− 18 ⇒ c = 19,8m

⎛ 25 ⎞ ⇒ s = 19,8 * senh ⎜ ⎟ ⇒ s = 32,19m c 19 , 8 ⎝ ⎠

x

Dado que s es la mitad del cable, la longitud total del cable es L=2s⇒ L=2*32,19⇒ L=64,38 m

Referencias Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A. Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. México D.F., México: Editorial Limusa S.A. de C.V. Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A Marshall, W. y Nelson, H. (1995). Estructuras. México D.F., México: Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall. Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher. Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. Suspension Bridge Technical Data (s/f). Suspension Bridge Technical Data [En Red]. Recuperado 9 de marzo, 2004. Disponible en: http://www.inventionfactory.com. Wikipedia (2011, 20 de junio). Cable-Stayed Bridge [En Red]. Recuperado 12 de julio, 2011. Disponible en http://en.wikipedia.org/wiki/Cable-stayed_bridge.


8


Cuerda galvanizados de acero Todos los cordones contienen 7 guayas

Torón galvanizada de acero

Diámetro nominal plg

Diámetro nominal Peso Area 2 cm plg kgf/m 1/2 0.77 0.0231 9/16 0.98 0.0295 5/8 1.22 0.0361 11/16 1.47 0.0440 3/4 1.76 0.0521 13/16 2.07 0.0614 7/8 2.40 0.0724 15/16 2.75 0.0817 1 2.98 0.0894 1 1/16 3.42 0.1028 1 1/8 3.88 0.1164 1 3/16 4.35 0.1307 1 1/4 4.79 0.1443 1 5/16 5.33 0.1612 1 3/8 5.79 0.1752 1 7/16 6.38 0.1922 1 1/2 6.99 0.2108 1 9/16 7.60 0.2294 1 5/8 8.21 0.2480 1 11/16 8.90 0.2682 1 3/4 9.60 0.2899 1 13/16 10.30 0.3100 1 7/8 11.04 0.3317 1 15/16 11.83 0.3550 2 12.62 0.3767 2 1/16 13.36 0.4015 2 1/8 14.09 0.4216 2 3/16 15.08 0.4495 2 1/4 16.12 0.4821 2 5/16 16.80 0.5038 2 3/8 17.58 0.5255 2 7/16 18.23 0.5456 2 1/2 19.72 0.5906 2 9/16 20.54 0.6076 2 5/8 21.53 0.6402 2 11/16 22.56 0.6712 2 3/4 23.63 0.7022 2 7/8 25.83 0.7688 3 28.13 0.8370

Peso Area 2 cm kgf/m 5/8 0.97 0.0282 3/4 1.41 0.0415 7/8 1.90 0.0560 1 2.49 0.0730 1 1/8 3.14 0.0924 1 1/4 3.93 0.1155 1 3/8 4.78 0.1404 1 1/2 5.68 0.1668 1 5/8 6.71 0.1969 1 3/4 7.80 0.2279 1 7/8 8.97 0.2620 2 10.19 0.2976 2 1/8 11.50 0.3364 2 1/4 12.89 0.3751 2 3/8 14.30 0.4170 2 1/2 15.77 0.4604 2 5/8 17.29 0.5069 2 3/4 18.96 0.5549 2 7/8 20.69 0.6061 3 22.49 0.6588 3 1/4 26.79 0.7812 3 1/2 31.25 0.9037 3 3/4 35.72 1.0416 4 40.18 1.1718

σu

2

(kgf/cm )

13600

σu

2

(kgf/cm )

14200

Cables Beer

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