CAÍDA LIBRE NOMB NO MBRE RE : OMA OMAR R ROY ROY COPA COPA CARRERA CARRERA : ING. ING. INDUSTRIA INDUSTRIAL L FECHA
: 6 DE ABRIL de 2010
1. OB OBJE JETI TIVO VO 1.1. 1. 1. OB OBJE JETI TIVO VO GEN GENER ERAL AL Experimentar el Movimiento de Caída Libre, observando sus características; aceleración, velocidad, distancia y tiempo, comprobando la relación que existen entre éstas, y, con éste experimento desarrollar desarrollar la aplicación del Análisis de Gráficas vista en cursos previos.
1.2. 1. 2. OB OBJE JETI TIVO VOS S ESPE ESPECÍ CÍFI FICO COS S a) Estud Estudiar iar las caract caracter eríst ística icas s del del Movim Movimien iento to de Caída Caída Libre Libre de un
cuerpo (MRUA) b) Comprobar Comprobar la ecuación matemática: distancia ∝ tiempo2 (proporcional), y c) Comp distancia cia ∝tiemp ∝tiempo o es una pará Compro roba barr que que la gráf gráfic icas as:: distan parábo bola la (velocidad) y velocidad ∝tiempo es una recta (aceleración) d) Medi Medirr expe experi rime ment ntal alme ment nte e la acele celera raci ción ón de un cuer cuerpo po que que cae libremente (g)
1. FUNDAME FUNDAMENTO NTO TEÓRICO TEÓRICO 1.1. 1. 1. ACEL ACELER ERAC ACIÓ IÓN N MEDI MEDIA A Cambio que experimenta la velocidad instantánea de una partícula partícula en un intervalo de tiempo y está definida por la siguiente ecuación: a=∆v∆t
1.2. 1.2. ACELE ACELERAC RACIÓN IÓN INSTAN INSTANTÁN TÁNEA EA Es el límit límite e de la aceler aceleraci ación ón medi media, a, deriva derivada da de la aceler aceleraci ación ón con con respecto al tiempo, cuando ∆t tiende a cero, o bien como la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo dos veces, se la puede escribir como: a=lim∆t→0∆vy∆t=dvydt=d2vydt2
∆v ∆t t v
La a adopta la rapidez de la ∆v En la gráfica
1.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Se analizará el movimiento de una partícula restringid a moverse sólo a lo largo de la dirección vertical (eje y) con aceleración constante, es decir que la aceleración media coincide con la aceleración instantánea, a esta aceleración se denomina aceleración de la gravedad: g=a=a=constante. En este movimiento la velocidad del móvil varía uniformemente, es decir la velocidad aumenta o disminuye la misma cantidad en la unidad de tiempo.
A la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo se denomina aceleración. También la aceleración se puede interpretar como una medida de la rapidez con que varia la velocidad. Entonces se puede escribir: g=∆v∆t=v-vot-to considerando to=0 v=vo+gt
1)
Las graficas v – t y g – t que caracterizan a este movimiento, cuando el móvil parte del reposo, es decir vo=0 se las representa:
tv g
Cuando la velocidad cambia uniformemente con el tiempo, es decir la aceleración se mantiene constante, también la velocidad media para cualquier intervalo de tiempo está dada por: v=vo-v2
2)
Además por lo analizado anteriormente: v=∆y∆t=y-yot-to=yt 3) Si la posición original del móvil se encuentra en el origen: vo=0 y to=0 Igualando 2) y 3) se tiene: y=v0*t+v*t2 4) Reemplazando 1) en 4) se tiene: y=vo*t+12at2 5) La grafica de la ecuación 5) es una parábola como se representa:
tv
1.4. CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS El ejemplo más sencillo del movimiento rectilíneo vertical con aceleración constante es el movimiento de un cuerpo que cae libremente por acción de la gravedad. La aceleración de la gravedad para todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre se puede representar como un vector que apunta verticalmente hacia abajo. Hacia el centro de la Tierra. Si la resistencia del aire no afecta en la caída de los cuerpos, es decir es despreciable, todos los cuerpos caen con la misma aceleración sobre la superficie de la Tierra. La aceleración de un cuerpo que cae libremente, cerca de la superficie terrestre tiene una valor aproximado de: g=9,8ms2=32pies2, donde su valor varía de acuerdo con la latitud y la altura del lugar. La resistencia que ejerce el aire a la caída de los cuerpos es despreciable en los casos de cuerpos de densidad grande como por ejemplo una esfera de metal, una piedra, un proyectil, un bloque de madera, etc. La resistencia que el aire ejerce a la caída de algunos cuerpos es despreciable y se debe tomar en cuenta, como por ejemplo la caída de un trozo de algodón, una pluma, un papel, un paracaidista, etc. El movimiento de caída libre de un cuerpo, es un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección vertical, por lo tanto se cumplen las siguientes ecuaciones. h=12gt2 donde vo=0 v=gt donde vo=0
2. MATERIAL Y MONTAJE 2.1. MATERIALES a) b) c) d) e)
Balanza de precisión Esferas de metal de dos tamaños Regla de madera mayor a 2 metros Prensa pequeña Soporte universal con accesorios f) Equipo de caída libre con accesorios g) Sensor de tiempo de vuelo
1.1. MONTAJE
a) Se instala el soporte universal cerca a una mesa firme y se sujeta con
la prensa pequeña b) Luego se instala el equipo de caída libre en el soporte universal a una altura de 138 cm c) Luego se conecta el sensor de tiempo de vuelo verificando que este funcione al dejar caer una espera de metal. d) Ubicar el sensor, este debe estar en la misma dirección donde caerá la esfera
1. PROCEDIMIENTO a) Se pesan las dos esferas en la balanza de precisión b) Luego cada una se lleva al equipo de caída libre y se realiza lo siguiente: – Con la mano derecha se introduce la esfera de metal en el equipo – Luego con el índice de la mano izquierda se sujeta la parte superior del – –
equipo Al mismo tiempo con el anular se presiona la parte inferior y Con el dedo medio presionar el resorte y sujetar con el tornillo de sujeción
a) Se deja caer la esfera aflojando el tornillo de sujeción b) Se repite esta operación cinco veces para cada una de las diez altura a
medir c) Registrar todos los datos
1. ANÁLISIS DE DATOS 1.1.
PARA LA MASA “A” Masa: 26 gramos
REGISTRO DE DATOS h(c m)
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
138, 0 135, 2 131, 0 127, 0 122, 0 117, 5 113, 7 107, 5 101, 3
t1
0,53 4 0,50 6 0,50 5 0,50 1 0,49 1 0,49 1 0,48 1 0,46 9 0,45 6 0,44 95,8 3
t2
t3
t4
t5
0,53 0 0,51 8 0,51 5 0,50 1 0,49 4 0,48 8 0,48 2 0,46 8 0,45 5 0,44 1
0,52 6 0,51 5 0,50 9 0,49 0 0,49 0 0,48 9 0,48 2 0,46 6 0,45 4 0,44 2
0,52 7 0,52 2 0,50 3 0,50 4 0,48 2 0,48 9 0,48 0 0,46 8 0,45 4 0,44 2
0,53 5 0,52 4 0,50 9 0,50 4 0,49 7 0,48 8 0,48 2 0,45 5 0,45 4 0,44 2
t(prome dio) 0,5304 0,5170 0,5082 0,5000 0,4908 0,4890 0,4814 0,4652 0,4546 0,4420
La ecuación de la curva representa a una parábola. La ecuación es: y=548,138x2,134
LINEALIZACIÓN DE LA CURVA h –t Ecuación de la curva: Identificación de la curva: Linealización de la curva: logh=A'+B'logt
Desarrollo de Cuadro h – t:
h=12gt2 y=AxB (Ecuación potencial) logh=log12g+2logt
N 1 2
t(prome dio) 0,5304 0,5170
3
0,5082
4
0,5000
5 6 7 8 9 10
0,4908 0,4890 0,4814 0,4652 0,4546 0,4420
h(c m)
log t
138, 0,275396 0 48 135, 0,286509 2 46 131, 0,293965 0 34 127, 0 -0,30103 122, 0,309095 0 45 117, 0,310691 5 14 113, 0,317493 7 91 107, 0,332360 5 29 101, 0,342370 3 57 0,354577 95,8 73 3,123490 ∑ 37
log h
(log t)
2
(log t)x(log h)
2,139879 0,075843 09 22 0,58931518 2,130976 0,082087 69 67 0,61054497 2,117271 0,086415 3 62 0,62240437 2,103803 0,090619 72 06 0,63330802 2,086359 0,095539 83 99 0,64488432 2,070037 0,096528 87 99 0,64314243 2,055760 0,100802 46 39 0,65269144 2,031408 0,110463 46 36 0,67515951 2,005609 0,117217 45 61 0,68666165 1,981365 0,125725 51 37 0,70254809 20,72247 0,981243 24 28 6,46065998
Calculo de A’, B’ y g B'=Nlogt*logh-logt*loghNlogt2-logt2 B'=10*-6,46065998--3,12349037*20,722472410*(0,98124328)--3,123490372 B'=2,13429 A'=logh-BlogtN A'=20,7224724-2,13429*-3,1234903710 A'=2,73889
Pero:
12g=antilog A'=antilog2,73889 12g=548,13811 g=1096,2762 cms2 g=10,96 ms2
A'=log12g
La ecuación es:
La grafica h-t linealizada
y=2,134x+2,739
1.2. PARA LA MASA “B” Masa: 8,3 gramos
REGISTRO DE DATOS N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
h(c m) 138, 0 135, 2 131, 0 127, 0 122, 0 117, 7 114, 0 107, 8 101, 5
t1
0,53 0 0,52 7 0,52 1 0,50 7 0,50 1 0,49 5 0,48 3 0,47 0 0,45 7 0,44 96,2 4
t2
t3
t4
t5
0,53 4 0,52 4 0,51 4 0,50 8 0,50 3 0,49 1 0,48 3 0,47 0 0,45 6 0,44 4
0,53 5 0,52 4 0,51 3 0,50 8 0,50 1 0,49 2 0,48 3 0,46 9 0,45 5 0,44 4
0,53 5 0,52 6 0,51 3 0,50 7 0,50 1 0,49 2 0,48 3 0,46 9 0,45 4 0,44 4
0,53 4 0,52 7 0,51 6 0,50 8 0,50 0 0,49 1 0,48 3 0,47 0 0,45 4 0,44 3
t(prome dio) 0,5336 0,5256 0,5154 0,5076 0,5012 0,4922 0,4830 0,4696 0,4552 0,4438
La ecuación de la curva representa a una parábola. y=487,259x1,996 La ecuación es:
LINEALIZACIÓN DE LA CURVA h –t Ecuación de la curva: Identificación de la curva: Linealización de la curva:
h=12gt2 y=AxB (Ecuación potencial) logh=log12g+2logt
logh=A'+B'logt
Desarrollo de Cuadro h – t: t(prome N dio) 1 2
0,5336 0,5256
3
0,5154
4
0,5076
5 6 7 8 9 1 0
0,5012 0,4922 0,4830 0,4696 0,4552 0,4438
h(c m)
log t
138, 0,272784 0 18 135, 0,279344 2 64 131, 0,287855 0 59 127, 0,294478 0 39 122, 0,299988 0 94 117, 0,307858 7 39 114, 0,316052 0 87 107, 0,328271 8 91 101, 0,341797 5 75 0,352812 96,2 7 3,081245 ∑ 35
log h
(log t)2
2,139879 09
0,074411 21
2,130976 69
0,078033 43
2,117271 3
0,082860 84
2,103803 72
0,086717 52
2,086359 83
0,089993 36
2,070776 46
0,094776 79
2,056904 85
0,099889 42
2,032618 76
0,107762 45
2,006466 04
0,116825 7
1,983175 07
0,124476 8
20,72823 18
0,955747 51
(log t)x(log h) 0,5837251 6 0,5952769 2 0,6094683 7 0,6195247 3 0,6258848 7 0,6375059 1 0,6500906 8 0,6672516 5 0,6858055 7 0,6996893 6 6,3742232 1
Calculo de A’, B’ y g B'=Nlogt*logh-logt*loghNlogt2-logt2 B'=10*-6,37422321--3,08124535*20,728231810*(0,95574751)--3,081245352 B'=1,99576
A'=logh-BlogtN A'=20,7282318-1,99576*-3,0812453510 A'=2,68776
Pero:
A'=log12g
12g=antilog A'=antilog2,68776 12g=487,2591 g=974,5182 cms2 g=9,74 ms2
La ecuación es:
La grafica h-t linealizada
y=1,996x+2,688
1.3.
GRAFICA V – t PARA MASA “A” Cuadro de cálculo de V: t(prome N dio) g(m/s2) 1
0,5304
2
0,5170
3
0,5082
4
0,5000
5
0,4908
6
0,4890
7
0,4814
8
0,4652
9 1 0
0,4546 0,4420
10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2 10,96276 2
V 5,814648 96 5,667747 95 5,571275 65 5,481381 5,380523 59 5,360790 62 5,277473 63 5,099876 88 4,983671 61 4,845540 8
AJUSTE DE LA RECTA V –t Ecuación de la curva: Identificación de la curva: Linealización de la curva:
v=gt y=A+Bx (Ecuación lineal) y=Bx A=0
Cuadro del grafico V – t N
t(prome dio)
1
0,5304
2
0,5170
3
0,5082
4
0,5000
5
0,4908
6 7
0,4890 0,4814
V (m/s)
t2
txV
5,814648 0,281324 3,084089 96 16 81 5,667747 2,930225 95 0,267289 69 5,571275 0,258267 2,831322 65 24 28 2,740690 5,481381 0,25 5 5,380523 0,240884 2,640760 59 64 98 5,360790 2,621426 62 0,239121 61 5,277473 0,231745 2,540575
8
0,4652
9
0,4546
10
0,4420 4,8786
63 5,099876 88 4,983671 61 4,845540 8 53,48293 07
96 8 0,216411 2,372462 04 73 0,206661 2,265577 16 11 2,141729 0,195364 04 2,387068 26,16886 2 06
Calculo de A’, B’ y g B'=Nt*v-t*vNt2-t2 B'=10*26,1688606-4,8786*53,482930710*(2,3870682)-4,87862 B'=10,9627 A'=v-BtN A'=53,4829307-10,9627*4,878610 A'=0
La ecuación será: y=10,963x
1.4.
GRAFICA V – t PARA MASA “B” Cuadro de cálculo de V: t(prome N dio) g(m/s2)
V (m/s)
9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2 9,74518 2
5,20002 912 5,12206 766 5,02266 68 4,94665 438 4,88428 522 4,79657 858 4,70692 291 4,57633 747 4,43600 685 4,32491 177
1
0,5336
2
0,5256
3
0,5154
4
0,5076
5
0,5012
6
0,4922
7
0,483
8
0,4696
9 1 0
0,4552 0,4438
AJUSTE DE LA RECTA V –t Ecuación de la curva: Identificación de la curva: Linealización de la curva:
v=gt y=A+Bx (Ecuación lineal) y=Bx A=0
Cuadro del grafico V – t t(prome N dio) 1
0,5336
2
0,5256
3
0,5154
4
0,5076
5
0,5012
6
0,4922
V (m/s)
t2
txV
5,20002 912 5,12206 766 5,02266 68 4,94665 438 4,88428 522 4,79657 858
0,28472 896 0,27625 536 0,26563 716 0,25765 776 0,25120 144 0,24226 084
2,77473 554 2,69215 876 2,58868 247 2,51092 176 2,44800 375 2,36087 598
0,4438
4,70692 291 4,57633 747 4,43600 685 4,32491 177
4,9272
48,0165
7
0,4830
8
0,4696
9 1 0
0,4552
0,23328 9 0,22052 416 0,20720 704 0,19695 844 2,43572 016
2,27344 376 2,14904 807 2,01927 032 1,91939 584 23,7365 363
Calculo de A’, B’ y g B'=Nt*v-t*vNt2-t2 B'=10*23,7365363-4,9272*48,016510*(2,43572016)-4,92722 B'=9,7428 A'=v-BtN A'=48,0165-9,7428*4,927210 A'=0
La ecuación será: y=9,7428x
2. COMPARACIÓN DE LA GRAVEDAD DE LA MASA A Y B ∆g=gA-gB=10,96-9,74 ms2=1,22ms2 El valor más confiable de la gravedad en este caso es el obtenido de la masa B, puesto que su valor de 9,74 m/s 2 se encuentra más cercano a la gravedad en la ciudad de La Paz que tiene una valor promedio de 9,78 m/s 2. La variación de la gravedad de la masa A con respecto a B es muy grande, en teoría deberían ser ambos iguales, factores como el mal procedimiento al medir, pudieron afectar a este dato. En caída libre la aceleración de la gravedad no está influenciada por la masa de los cuerpos en estudio, ya que en el vacio ambos cuerpos caen al mismo tiempo, independientemente de su masa.
3. CONCLUSIONES En el estudio de las características de la caída libre se concluye lo siguiente: ✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
Es un movimiento rectilíneo en dirección vertical con aceleración constante (gravedad) realizado cuando se deja caer un cuerpo. Este movimiento está en función de la altura (distancia de recorrido), tiempo que emplea en cambiar de posición, aceleración constante y velocidad variable. Con la ecuación y=12gt2 siendo vo = 0, cumple el enunciado que indica que la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo elevado al cuadrado, además Que la grafica h – t es una parábola, por su forma y por su ecuación encontrada. En cambio la grafica V – t es una recta donde su pendiente representa a la aceleración. Se obtuvieron de las 2 masas datos muy interesantes como el valor de la aceleración de la gravedad, velocidad, tiempo que emplean estos cuerpos en llegar a un determinado punto. La masa A arrojo un dato de aceleración de la gravedad un poco alejada del valor promedio, debido tal vez, a la inexactitud en el manejo del equipo de caída libre. Mientras que la masa B dio un dato muy cercano al valor promedio de la aceleración de la gravedad. Se concluye el presente informe argumentando que se utilizaron hasta 6 decimales para cálculos, a fin de no afectar y alejarse, de los datos señalados por el programa Excel.
1. BIBLIOGRAFÍA Física para Ciencias e Ingeniería, Serway Jewett, Séptima Edición.
Dinámica, Mecánica Vectorial para Ingenieros, R.C. Hibbeler, Decima Edición. Guías de Laboratorio para Física Básica 1, Ing. Delgado. Mecánica, Física Experimental, Manuel R. Soria, Segunda Edición.
