Cálculo Avanzado de Estructuras
Tema 1. Complementos de Pandeo Estabilidad M.A. Sanz Repaso del concepto de Pandeo y Carga crítica: carga crítica de Euler y Modos de Pandeo. Pandeo. Pandeo elásti elástico co e inelás inelástico. tico. Métodos energé energéticos ticos en el estudio de la estabilidad. Pandeo en MEF La vida no es en absoluto todo todo lo estable que quisiéramos (Jodi Picoult)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Teoría de flexi xió ón de segundo ord rde en en vig igas as configuation n) Teoría de primer orden: equilibrio en el estado sin deformar (reference ‐ initial configuatio
q x
z
F 0
q( x )
x
dM P
P
w x Pequeños desplazamientos:
dw x dx
V
V
dV
dx
V x d x dV x q x dx q x x M M 0 V x x x V x dx dx dM x
y x 1
dM P ds
dw x
P
V
dV
dM x dw x V x P 1 dx dx d s dV x cos y q x ds 3 d w dw x x P EI dx 3 dx M 0 4 dV d w x d 2 w x x P EI V x ds dM x Pdw x dx dx 4 dx 2
dx
y
ds dx cos 1
Grandes desplazamientos:
EI
d 4 w x dx 4
P
d 2 w x dx 2
dx
y x 1
P EI
K 2
dx 3 d 4 w x
EI
dx 4
V x ... q x
Ecuación de la elástica de Resistencia de Materiales
w IV x K 2 wII x
q x EI
w II x K 2 w x C0 x D0
q x
EI dx
w x A cos Kx B sin Kx
q x
1
q x dx C0 x D0 K EI 2
C
C0 K
dw x
d 3 w x
M x ...
Ec. diferencial con desplazamientos de segundo orden
F 0
V
dx 2
EI
(+) o (‐) dependen del criterio de signos elegido
configuration on) Equilibrio en el estado deformado (current configurati q( x)
EI
d 2 w x
w H A cos Kx B sin Kx
2
;
D
D0 2
K
1 wP Cx D 2 K
q x
EI dx
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en columnas: modelo continuo de Euler Ecuación diferencial ordinaria de 2º grado
EI
d 4 w x dx 4
P
d 2 w x
Interpretación física: planteamiento de equilibrio en la configuración deformada
q x 0
P
dx 2 P w '' w0 EI
R=H
Directriz original
2
f x
• Cam Cambio bio de parámetr parámetro o
d w x dx 2 K 2
M f
EI w ''
Pw x
P
dx 2
G S A M
P
x
x
EI
Pw x
A
z
R=H
w x A cos Kx B sin Kx Cx D
P
RH RV
RV = P
Solución Soluc ión homog homogénea: énea:
w H A cos Kx B sin Kx
EI
w x
d 2 w x
q x 0
• Soluci Solución ón genera generall EDO:
R=H
B Directriz deformada
• Ecu Ecuaci ación ón con consti stitut tutiva iva de flexion flexion (sóli (sólido do conti continuo/v nuo/viga) iga)
EI
P
f x
P w x 0
Mf
x
P w x
Soluci Sol ución ón par partíc tícula ularr (de est este e pro proble blema) ma)::
w 0 C x D P
Momento flector constitutivo y momento de la solicitación en el estado deformado: no hay solución particular en la edo
Recordatorio de Grado
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en columnas: modelo continuo de Euler • Solución general y particular
• Sistema homogéneo: solución trivial válida: A, B, C, D = 0
Las constantes A,B,C y D son términos de desplazamiento
w x A cos Kx B sin Kx Cx D
C 0 w 0 D 0 P x
• Condiciones de contorno (esenciales y naturales) Apoyo A
x 0
w0 0
0 0
Apoyo B
x L
w L 0
L 0
k11
0
k14 A
k13
K e ue 0
0
► Determinante nulo en la matriz de coeficientes (equivale a una solución de autovalores)
1. w x 0 0
K e K G 1K 0 I K 0 u K G u
B sin KL 0
A D 0
B sin KL 0 2 2 BK 0 sin K 0 0 B K 2 L2 sin KL 0
k12
ue
k det K e 0 k22 k 23 k 24 B 0 21 k31 k32 k33 k34 C 0 k41 k42 k 43 k 44 D 0 K - I u 0
(c.c. esenciales o de Dirichlet)
x 0 0 2. w x L 0 3. M x 0 EI w '' x 0 0 w '' x 0 0 4. M x L EI w '' x L 0 w '' x L 0
Ke
KL n
n 1,2,3
• La solución a la ecuación diferencial es periódica y no es única, hay varias, pero físicamente solo una ocurrirá 2
Sistema homogéneo de 4 ecuaciones y 4 incógnitas
n P K EI L 2
PC n
2
2 EI 2
L
C P
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Carga crítica de Pandeo: solución de Euler Cada carga crítica (autovalor ) aparece con un modo de pandeo diferente en sus desplazamientos (autovectores)
Solo se da una solución física: la que primero aparezca La solución de interés inmediato es n = 1
KL n 1,2,3 autovector
w x , n
w x x B sin n w B L
Autovector generalizado - normalizado
n 1
n 2
n 3
n
P
P
P
P
wmax
sin
2
P C
PC n
2 EI 2
L
2
2 EI L2
Pandeo P = PC ( prebuckling )
P
El pandeo ocurrirá antes en la dirección o eje de menor rigidez
L
2 L
n EI L P C
1
IY I Z wmax
1 wmax
1
P C
2 EI Z L2
Cálculo Avanzado de Estructuras
Equilibrio de fuerzas en Pandeo Camino primario de carga en compresión
P eq P eq1st
z
x
u x
P C
P0 L EA
u x Camino secundario de carga en flexión (compresión y pandeo)
z
( n 2)
x
P eq2nd
n 1
P eq P C n 2
( n 1)
Punto de bifurcación
u x
P0 L A
P C
2 I 2
L
P eq
2 nd
P C n 1
2 EI
L u x
1 st eq
P 2
P eq2nd
colapso
Linearized Pre- Buckling (LPB)
u z
Cálculo Avanzado de Estructuras
Columna en ménsula: modelo de Euler w II x K 2 w x C0 x D0 c.c. x L
M f EI
w x
d 2 w x dx
2
Alternativa:
f x
w H A cos Kx B sin Kx w P Cx D K 2
w II x L K 2 w x L C0 L D0
P f w x
M f x Pw x P f
A D 0 A D * x 0 w ' x 0 0 BK 0 B 0 * w x L f A cos KL B sin K L D EI K 2 A cos KL 0 * M x L E I w '' x L 0
x z
A cos KL 0
Solución de Primer Orden (RM)
w x L
EI dx
* w x 0 0
G S A M
x L
q x
K n
2 L
L
L
2 EI
P f
2
n 1 PC
Autovectores normalizados
w x
w x
0 2
;D
D0 2
K
EI
C 0 D f
EIw '' P w P f
w '' K 2w K 2 f
det K e 0 f
wmax
1
n 1, 3, 5...impar 1 2 EI 4 L2
P
w cos Kx 1 A
P f EI 2
KL n
C C K
P
cos x 1 A 2 L n 1
w x
G S A
M
cos x 1 L 2
Solución de Segundo Orden (normalizada)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Columnas con otras condiciones de apoyo • Ecuación diferencial
w x ''
P EI
w x f x
K 2
P EI
• Solución general:
w x A cos Kx B sin Kx Cx D w H A cos Kx B sin Kx
w P Cx D 0
P C 2.045 w 0 0
w 0 0
0 w ' 0 0
0 w ' 0 0
w L 0
w L 0
M L EIw '' L 0
L w ' L 0
2 EI 2
L
P C 4
2 EI L2
KL
tan KL
w 1 cos Kx 0.223 sin Kx x w
w x A
wmax 1
2 x L
w 1 cos
w
w x
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Pandeo de conlumnas: longitud efectiva Recordatorio de Grado
PC
2 EI L2
Le
L
P C
2 EI
C
L2e
2E
Le
2
r giro
2 E e2
Tensión crítica y esbeltez
1
4 Le 2 L
e e
e e Puntos de inflexión
?
MASG
1
2
4
Le L
Le 0 7 L
Le 0 5 L
.
.
Le ?
Cálculo Avanzado de Estructuras
Apoyos elásticos en estabilidad Apoyo elástico lineal
A
w '' A
k m
M x L EI
w A m
z
x
0 R km
1 M A km
k m
x
R
z
x
EI
k m
w ''' A
k m
w ' A A
R
L2
k m
w A 0 k m
AE
V A
Apoyo elástico angular
EI k m
M k m
w '' A
3 EI L2
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en vigas: aplicación P L/2
P H
k m
3 EI L 2
m
Viga con apoyo elástico
Rigidez equivalente (RM)
k m z
Equilibrio estático en el estado deformado: hay solución particular en la edo x
L
V L x M k Pw x
M x EIw '' x
V =H
Pw
Deformada elástica f
EIw " x
w ''
Pw
P EI
w
1
H L x M m
EI
w x
w x A cos Kx B sin Kx Cx D
x
R2=H
wh A cos Kx B sin Kx
R1=P
C
H P
w p Cx D D
1 EI
HL M m Hx
HL M m P
Condiciones de contorno w 0 0 w '' 0 0
w L 2 0 w ' L 2
EI w '' L 2 k m
KL 3.972
Sistema homogéneo de cuatro ecuaciones
Solución exacta
P C 1.598 Le
L 1.598
2 EI L2
0.791 L
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en vigas: aplicación
Ke
k11 k12 k 21 k22 k31 k32 k41 k42
Solución iterativa de una ecuación no lineal
k13 k23 k33 k43
ue
k14 A
0
0 k24 B 0 k34 C 0 k44 D 0
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en vigas: aplicación Improvisación: aplicación del método aproximado con los autovalores “linealizados”
Ke
k11 k12 k 21 k22 k31 k32 k41 k42
k13 k23 k33 k43
ue
0
k14 A
0 k24 B 0 k34 C 0 k44 D 0
…Solución Fuerte de la ecuación diferencial
Deformada elástica sin normalizar
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en vigas: aplicación
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en vigas: aplicación
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Ejercicio de trabajo personal P 45º
1
2
CAE 1.1. Calcula la carga crítica y estima/calcula la deformada de pandeo en sus tres primeros valores, considerando la teoría clásica de Euler modificada por apoyos elásticos. P0=1000N Longitud: L2=1m, L1=0.5m Sección circular: R1=10mm, R2=10mm E=70GPa
3
Solución: P C ~ 23 KN
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Cálculo Avanzado de Estructuras
Cargas desviadoras y Carga crítica q x q0
z
• Sistema de ecuaciones no homogéneo y tiene solución distinta de la trivial (A,B,C,D=0), válida si P ≠ P C
x
w IV x K 2 wII x
k11 k12 k 21 k22 k31 k32 k41 k42
q0 EI
w II x K 2 w x w A cos Kx B sin Kx
w L 2
1 qL4 384 EI
M L 2
8
k
EI 2 C0 K 2
2
P P C
C0 x D0 D0 K2
P
2 PC
q0
• x2
K 2 EI 2
C 0 0 D0 0
24 1 cos k 12k 2 cos k 5k 4 cos k
f 2 k
qL f 2 k 2
KL
x
f1 k
f1 k
1
q0 x 2
P C
2 1 cos k k 2 cos k
2 EI L2
lim f1 k , f 2 k 1 k 0
La carga transversal modifica los desplazamientos
k13 k 23 k33 k 43
q0 0 0 k 24 B p0 K e u e p k34 C 0 A, B, C , D 0 k 44 D 0 k14 A
P C no depende de q, no depende de las cargas aplicadas:
en la “parte homogénea” (q=0):
K e ue 0
det K e 0
LPB camino de carga no lineal
Cálculo Avanzado de Estructuras
Cargas excéntricas y Carga crítica w II x K 2 w x C0 x D0 c.c. x L Alternativa:
M f EI
d 2 w x dx 2
x
f x
q x
EI dx
w H A cos Kx B sin Kx
w II x L K 2 w x L C0 L D0
C C K
0 2
;
D
wP Cx D D0 2
K
K 2
P EI
C 0 D f e
P f w x e M f x Pw x P f e w '' K 2 w K 2 f e
w x 0 0
A f e 0 x0 w ' x 0 0 BK 0 El sistema de ecuaciones no es homogéneo w x L f A cos KL B sin KL f e f EI K 2 A cos KL P e M x L EI w ''' x L 0 e A B0 cos KL
z
f e cos KL e
f KL
e 1 cos KL cos KL
lim f KL
KL 0
A cos KL 0 KL n
Solución de Primer Orden (RM) x L w x L
L
P e EI L2 2 EI
n 1 w n 1 wmax
P e
L2 2 EI
2
e sec KL 1
LPB
P e
n 1,3,5...impar
P C
1 2 EI
P C P
_ 1
4 L2
e
1 cos Kx cos K L f e sec K L 1
La excentricidad no modifica la carga crítica, pero si los desplazamientos (el camino de carga), las tensiones
camino de carga no lineal (perturbado)
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Fallo en compresión: Pandeo inelástico P
1.
Tensión admisible de plastificación o fractura (condicionado por el material)
P A
admisible
Sólidos sin esbeltez
F yield cy ultimate Fcu
P
2.
Carga crítica – Bifurcación (buckling ) (condicionado por la rigidez)
P P critica
P. inelástico
• Pandeo inelástico • Pandeo elástico Sólidos Esbeltos
P. elástico
Cálculo Avanzado de Estructuras
Esbeltez de columnas en compresión
Esbeltez
L
A r 2iro
r giro_min
parábola de Euler
yield
Fallo en Compresión (con estabilidad)
1 5 10 20
pequeña esbeltez
,
Pandeo Inelástico
Pandeo tras la Bifurcación (o Postpandeo-no lineal) material
“Esbeltez de transición” (cuidadín con esto!!!):
1
2
Pandeo Elástico
2 25 50 80 100 según material ,
•
,
Pandeo Inelástico/Irreversible: elementos poco esbeltos
2
•
Pandeo Elástico/Reversible: elementos muy esbeltos 2
Pandeo inelástico
2
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad en columnas según la esbeltez Pandeo Elástico (reversible) • Elementos muy esbeltos
Recordatorio de Grado
50
• Fallo: pérdida de rigidez en la bifurcación (fórmula de Euler ). El colapso en el postpandeo es posible. • Postpandeo: comportamiento no lineal del camino secundario más allá de la carga crítica
P
Pandeo Inelástico (irreversible) • Elementos poco esbeltos
50
• Fallo por colapso: deformación plástica localizada o fractura en materiales poco dúctiles (cerca del punto de bifurcación) • fórmulas de Engesser, Johnson…
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Estabilidad frente a Vuelco lateral Viga simplemente apoyada (sin restricción de alabeo)
z
3
y
z 3
x
1
y 2
x
Carga de flexión pura: M y = cte
y
2
Configuración inicial
1
referencia no deformada
x
Vuelco Lateral
flexural ‐torsional buckling
Se aplica flexión (M f ) y el pandeo puede aparecer si la rigidez a flexión en un eje es mucho mayor que en el otro eje:
k z
k y
M z EI z M y EI y
z 2 v x x 2 y 2 w x x 2
IY I Z
M z 0
k z 0 Vuelco Lateral por desplazamientos secundarios
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad frente a Vuelco lateral 2
Vista Vertical
Equivalencia de los vectores de momentos y curvaturas
u y
z
3
1
w x
1
x
G S A M
x
x 1
z
T1 M y sin z M y z
y
3
3
2
Vista con Vuelco Lateral
y
1
2
v x
1
x
u z
1
configuración deformada
Curvaturas
k1
(modo deformado)
1 T 1 s GJ1 deformada
T x x k x x GJ x 0
Sin deformar
k y k2 cos x k 3 sin x ...
M 3 M y sin x M y x
k z k2 sin x k 3 cos x ...
k y
M 2 EI 2 M 2 EI 2
M 3 EI 3
x
x
M 3 EI 3
Ejes intrínsecos de la viga (1,2,3)
x
intrínsecas
k x k1
M 2 M y cos x M y
k z
Curvaturas
cos x 1 sin x x
k z d 2 v x M y x EI 3 2 dx I 1 3 I 2 1, I I 3
2
T1 GJ 1 2 M y2 d 2 x dx x GJ 1 2 dv x x 2 dx EI 3 T1 M y z M y dx d x
d 2 x
2 M 2 k2 s EI 2
2 y w x M y k y 2 x x EI y 0
GJ1
3 M 3 k3 s EI 3
2 z v x M z k z EI z x x 2 0
d 2 x dx 2
dx 2
M y2 EI 3
K x 0 2
x 0
K 2
M y2 EI 3GJ1
Ecuación diferencial del vuelco lateral de la viga (apoyos simples y torsión libre)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad frente a Vuelco lateral Integración y Condiciones de contorno en torsión libre d 2 x
K x 0 2
dx 2
x cos Kx B sin Kx Cx D P C 0 D 0 H x x
M C C 0
Corrección por carga
EI z GJ L
C 0 1 365
C 0 1
.
MASG
x 0 0
A 0 0 B sin KL 0, KL n n 1, 2, 3
x L
2 y
n EI 3GJ1 L M
2
M C
EI 3GJ 1
L
Momento flector crítico de vuelco
J1 J x
I z 1 3
C 0 1879 .
C 0 1132 .
Fuente: EC “eurocódigo”
Cubierta de la Plaza de toros de las Ventas (2012)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Corolario: Bifurcación y Caminos de equilibrio Después de la bifurcación hay varias configuraciones de equilibrio posibles: camino inicial (primario) y postpandeo (secundario) Postpandeo Plástico
F
Punto Límite (snap point )
L
Postpandeo estable
Punto Crítico: Bifurcación (Pandeo‐Buckling)
L Punto crítico “defectuoso”
P C
B
L
Postpandeo inestable/Colapso Snap through
Postpandeo biestado bimorphing
Estado inicial de referencia
Pre‐Pandeo comúnmente Linealizado linearized prebuckling
Postpandeo No lineal postbuckling
u
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad y Pandeo en estructuras
Cálculo Avanzado de Estructuras
Estabilidad y Pandeo en estructuras aeronáuticas Buckling: Wrinkling, Crippling, Crimping, Dimpling…
Cálculo Avanzado de Estructuras
Tensión diagonal y carga crítica Campos de semi‐tensión diagonal: Cortadura en la placa‐panel
Ensayos de cortante pura / tensión diagonal
Cálculo Avanzado de Estructuras
Carga crítica en torsión Inestabilidad Elástica en Torsión: camino primario de cortante, camino secundario en flexión
2 1
1 max
2
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pandeo de láminas-membranas en depósitos
▼
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pandeo en MEF Carga Crítica: cálculo computacional de autovalores y autovectores en MEF. Introducción al cálculo no lineal.
Modos de pandeo
Autovectores normalizados de pandeo (dicen los alumnos que es más de lo mismo, y también yo digo que es lo mismo de siempre, a ver cuando pasan a la acción y se convierten en los protagonistas de su carrera…)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Potencial elástico y Equilibrio en medios continuos Energía Potencial en equilibrio: Energía de deformación interna y Energía potencial externa int
int ext
dV
12
tensile U axil
V
1
S
Energía interna de Flexión
2
du E Adx N x x ds EA dx 2 L 2L 2L dx 1
2
ext b u dV t u dS P i ui
Energía interna de deformación Axil 1
: ε dV
V
bending U flex
2
d 2w ... M f k f ds EI 2 dx 2 L 2L dx 1
1
k y
Energía interna en Cortadura
shear
dv du U cortadura ... Vc c ds GA 2 L 2L dx dy 1
1
d 2 w x dx 2
Energía interna en Torsión 2
Adx
twist U torsor
2
d ... M t t ds GJ dx 2 L 2L dx 1
1
P
P
Cálculo Avanzado de Estructuras
Energía Potencial externa con desplazamientos secundarios Desplazamientos de segundo orden por Flexión 1
Energía Potencial Externa o de las cargas aplicadas (en grandes desplazamientos) q( x)
1
u x= Δ L x
z
dx
x
du dx ' dx 1 dx dx
dL x
axil 1er orden << flexion 2do orden
L ' L L
L dL x
P 0
ds
u z =w( x) Configuración deformada
L
Grandes desplazamientos en flexión: hay acortamiento en la longitud de la viga (2do orden)
ds 2 dx 2 dz
2
1 dw 2 ds dx 1 2 dx 1 2 dx dx serie de Taylo r: 1 a 2 1
dL x ds dx
1 dw
2
dx
2 dx
1 dw
2
dx
2 dx
dw dx
1 a 2 a 4 . .. 2 8
1 dw ... dx 2 dx du
ext V1 st q x w x dx P0
1
giro
L
L
du x dx
dx
despreciable (axil 1er orden)
Potencial externo de Cargas con desplazamientos de segundo orden (con acoplamiento axil‐flexión)
ext V2 nd
axil 1er orden << flexion 2do orden
E x
Potencial externo de Cargas con desplazamientos de primer orden
dw2
2
dw P0 dLx P0 dx 2 L dx L NO despreciable 1
(flex. 2do orden)
2
► deformaciones finitas de Green (1er orden + 2o orden)
Problema: ¿cómo predecir w(x)?
• Rayleigh‐Ritz
MEF
Cálculo Avanzado de Estructuras
Interpretación energética en deformaciones finitas q( x)
Desplazamientos en flexión con deformaciones finitas: Deformaciones “pequeñas” y Giros grandes (:‐/)
u x= Δ L x
z
dx
x
int ext
Axil de 2do orden. Por esto algunos dicen que son pequeñas…
P 0
ds
u z =w( x)
cuidadín!
E1 D = ex0 + Ex
E x =
int 2 L 2 2 d u z 1 EI 2 dx 2 L dx
U axil U flex
1
du x dx
2
+
1 æç du z ÷ö
2
1 æç du y ÷ö
÷÷ + çç ÷ + çç çç ÷ è ø è 2 dx 2 d x ø 2 è d x
d 2u y
d 2u z
÷÷÷ - z dx 2 - y dx 2 ø
;
0
e x
»
P 0 E A
Flexión de 2do orden Por esto realmente no son pequeñas… cuidadín!
E EAdx
axil
1
2 L
2
EA x0 Ex dx
flex ...
ext V 1 st V 2 nd q x w x dx P0 0 dx L
2
1 æç du x ÷ö
1 2
P 0
2
EAL x0 EA x0 Ex dx L
1 2
Ex
EA
L
2
dx
►Elemento BARRA ►Elemento VIGA
… sin acabar… Funciones de forma N de elementos finitos
L
0 u 0 K 0u K G u f 0 K 0 K G u u f u 2 2 0 0 K K u 0 K K 0
Cálculo Avanzado de Estructuras
Deformación finita de Green-Lagrange (1839) Deformación cuadrática unidimensional
E 1 D =
1 t l 2 - 0l 2 0 2
2
l
=
1
(l 2
t 2
aplicación
-1)
Alargamiento (stretching): t t
l=
0
l
= 1+
l
t
t æ t l - 0l ÷ö ç ¬ ç e = 0 ÷÷ çè l ÷ø
e
Deformación cuadrática tensorial
E xx = Eij =
2
1 æç du x ÷ö
du x
+ ... + ç ÷ ... + çç ÷ ... 2 çè dx ÷ø 2 è dx ÷ø
dx 1 2
2
1 æç du z ÷ö
(u
i, j
+ u j ,i ) +
(1er orden)
1 2
giros
(u
k ,i
uk , j )
(2do orden)
Forma Tensorial (F tensor de deformaciones):
E=
=
1
(F F - I ) 2
1
T
¬ F = I + u 1
(u + u ) + 2 (uu) 2 T
Cálculo Avanzado de Estructuras
Planteamiento energético con Rayleigh-Ritz Funciones Rayleigh‐Ritz funciones cinemáticamente compatibles con las condiciones de contorno
u ( x) u ( x )
n
C N i
( x)i
( x) N C w
int
P 2
P C
beam
ext1 st q x w x dx C
T
L
L
Sistema de ecuaciones: solución determinada
K 0 K G C f
0 i 1...n K 0C K G C f 0 C i
f 2 P1 , C N f 3 P2 , C N'
K0 f
d f 1 d C
d f 2 d C
KG
T
L T
“matriz de rigidez inicial o material”
“vector de fuerzas equivalentes”
L
d f 3 d C
N' P2 N' dx T
T
q x dx f 2 P1 , N , C
“matriz de rigidez geométrica”
T
N C
T
C N
L
1 T T dx C N' P2 N' dx C f 3 P2 , N', C 2 dx 2 L
1 dw
Sistema de ecuaciones: solución homogénea 2 0
2 Se cumple cuando se alcanza la carga 0 crítica (bifurcación) 2 C i
Sistema determinado
N'' EI N'' dx
N q x dx
N
2
1
C K 0 K G f
(resultados de 2º orden‐no lineal)
f1 EI , C N''
2
d 2 w 1 T T EI 2 dx C N'' EI N'' dx C f1 EI , N'', C 2 L 2 dx L 1
ext 2 nd P2
Deformada elástica
notación matricial
int ext
N C
i
0
N N1
C1 ... N n , C Cn
K 0 K G P2 P C 0
Sistema homogéneo:
solución de AUTOVALORES
(‐) compresión
PC P2
det K 0 K G P 2 0
La carga crítica se interpreta a través del cambio de rigidez en la bifurcación: el equilibrio genera otro camino de carga alternativo al primario con menor rigidez. Pérdida de rigidez: pequeños incrementos de carga causan grandes desplazamientos.
T
Cálculo Avanzado de Estructuras
Planteamiento energético con Rayleigh-Ritz Funciones Rayleigh‐Ritz expresar el campo de desplazamientos con una serie de funciones cinemáticamente compatibles con las condiciones de contorno
C 1 u ( x) u ( x) Ci Ni N1 ... Ni N C i C i n
P 2 Deformada elástica
( x) C1 N1 w La variable del problema es el desplazamiento:
Trial functions
n 1
C1 N1 C2 N 2
Ci son constantes de desplazamiento (desplazamientos “generalizados”)
n 2 ...
x 0, L w Condiciones de contorno Esenciales (Dirichlet) ¶Wu ' x 0, L w N x EI w '' x 0, L M x t Condiciones de contorno Naturales (Neumann) ¶W EI w ''' x 0, L dM x dx
Las funciones de R‐R no garantizan el equilibrio estático del cálculo, solo la compatibilidad cinemática… y tienden a sobreestimar la rigidez
Cálculo Avanzado de Estructuras
Funciones de Rayleigh-Ritz (… de grado)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Aplicación de las funciones de Rayleigh-Ritz P 2
C
Solución de primer orden (sin acoplamiento)
2
d 2 w x int U flector EI dx dx 2 2 L ext V1 st P1 w L 1
x L
u u z C sin
x 2
Sol. exacta fuerte 2 L L L3 P1 wmax P1 0 C1 4 P1 EI 48.7 EI 48 EI Cn 3
0
x C N x w
n 1
max w x w
L
L
C N x 2 C
3
2
Solución de segundo orden (con acoplamiento) 2
d 2 w x int U flector EI dx dx 2 2 L
Cumplimiento de las condiciones cinemáticas ¶Wu x x0, L sin w 0 L L
x ' x cos w 0 L L x t N x sin Condiciones de contorno estáticas: ¿se cumplen? ¶W L 2 x M x 0 EI w '' x 0, L sin 0 L L 3 dM x x V x 0 R EI w ''' x 0, L cos ... dx L L
1
ext V1 st V2 nd P1 w
L x 2
0
2 0
d dC n d 2 dC 2
0 C1
2 2 EI
2 L L2
2
dw x P2 dx 2 L dx 1
2 L3 2 2 EI P2 L2
P 1
2 EI 2 0 si P P2 P C 2 2 2 L C Bifurcación/Pandeo
Cálculo Avanzado de Estructuras
Ejercicios de trabajo personal Ejercicio CAE 1.2. Funciones de Rayleigh‐Ritz. Resuelve el problema de la viga simplemente apoyada, cargada con una fuerza transversal distribuida q(x) y una carga de compresión P2 utilizando al menos 2 funciones de forma de Rayleigh‐Ritz. 1.
Determina la matriz de rigidez inicial y calcula el desplazamiento máximo de la viga para la carga transversal principal considerando los desplazamientos de primer orden. Compara el resultado con el exacto de la solución fuerte (RM).
2.
Determina la matriz de rigidez geométrica y calcula el desplazamiento del punto central de la viga considerando los desplazamientos de segundo orden inducidos por la carga lateral. ¿Qué pasaría con estos resultados si la carga lateral fuera de tracción?, ¿habría cambios de extensión en la distancia entre apoyos de la viga?
3.
Determina los autovalores/factores de carga de pandeo de la viga utilizando las matrices inicial y geométrica. ¿Cuánto valdrán sus autovectores asociados?
4.
Verifica el valor de las fuerzas de reacción calculadas con aplicando la cinemática de RR, compáralo con el resultado obtenido del usar el equilibrio de fuerzas y momentos. L = 1m, EI=100Nm2, q0=5000Nm, P2=250N
q0 P 2
max ?
Cálculo Avanzado de Estructuras
Matriz de rigidez tangente: matriz inicial y geométrica 1
=0 int ext u T K u - u T f equilibrio δΠ
2
... u 0 =0 0 K u estabilidad u K u = u f K 0 ??? 0 Ku =
T
f
2
δ Π
T
Si la estructura pandea, al iniciar la bifurcación, pequeñas variaciones de carga causaran grandes desplazamientos
f
K 0
K
Linealización de K
f , u K T
f ,
K f
K
f
u, u
u
serie f 0 0
= K f0
d K f0 df
f f 0 +
2 1 d K f 0
2!
df2
2
... = K 0 K G
•
K0 matriz de rigidez inicial o material: término independiente de f y u
•
KG matriz de rigidez Geométrica, diferencial o de tensiones iniciales: término de primer orden, linealizado sobre el equilibrio inicial (geometric stiffness ‐ differential stiffness)
Pandeo linealizado (linearized prebuckling LPB)
δΠ
=0
Equilibrio ►
K 0 K G f ref u f ref
Problema de Autovalores eigenvalues
En un punto crítico el determinante de K se anula: 2
δ Π
=0
Bifurcación/Pandeo ►
K 0 K G f C u 0 u 0 fcrit = nf ref
Parametrización con “λ ” sobre la referencia o precarga f ref
1
K G f ref K 0 I 0 1 , 2 ,... n
K 0 M 0 2
dinámica
La carga crítica se obtiene a través del factor de carga “λ ” (autovalor escalar), f ref es una precarga necesaria para construir KG
Cálculo Avanzado de Estructuras
Autovalores y Autovectores Paso 1: f ref solución del problema de precarga de referencia
Paso 2: K G( f ref ) cálculo de la matriz de rigidez geométrica
K 0 K G f ref u f ref … f compresión (‐) K 0 K G f ref u = 0
K 0 K G f ref u = 0 K 0u = K G u
fC = n f ref
1
K G K 0 u = u
K - I u = 0
Paso 3: autovalores y
K u = u
autovectores
K
eigenvals K G 1K 0
ref
Ejemplo: matriz cualquiera, aplicación de la definición de autovalores y autovectores
K
eigenvecs 1
u K 0 K G f ref f C
Los autovalores λ son positivos (si negativos: la carga crítica es contraria a la precarga aplicada f ref ) Los autovectores uφ son los desplazamientos asociados a las carga críticas (autovalores), están también escalados por λ . No son correctos porque heredan la linealización de K ► λ 1, u1 ► λ 2, u2 ► λ 3, u3
Cálculo Avanzado de Estructuras
Programas MEF: módulo de autovalores Seleccionar la solución LPB (autovalores…)
Obtención de autovalores y autovectores del pandeo linealizado (matriz de rigidez lineal)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pandeo computacional (elementos 3DSolid lagrangianos) Subcase 1 Precarga estática: Deformada bajo la carga de “precarga“
Subcase 2: los autovalores no dependen de la carga Primer modo de pandeo y factor de carga crítica
Peuler = 575N
Sección cuadrada 10x10 longitud 500
Cálculo Avanzado de Estructuras
Bifurcación real y Carga crítica Confianza de las predicciones de carga crítica con la hipótesis de cálculo en modelos con rigidez geométrica linealizada KG (L.P.B. linearized prebuckling)
B = bifurcación
Cálculo Avanzado de Estructuras
Matriz de rigidez y funciones de forma del MEF Elemento BARRA articulada con desplazamientos de segundo orden
Estado deformado en desplazamiento secundario
y
x
2
E, A, L
u1
F 0
u5 u2
1
1
2
u4
N 2 1 2
1
Desplazamiento de segundo orden: acortamiento aparente (ver diapositiva anterior) 2 1 dy 2 dy ds dx dy dx 1 dx 1 2 dx dx 2
1
2 1
1
uˆ1
dN 2 uˆ 1
L 1 1 Equilibrio: Potencial mínimo 1 T T ˆ u B EA B J d uˆ int ext ext 2 1 axil 1st 2 nd u 0 ext 1 uTf (primer orden) 2 1 1 du y 1 1 T ext 2 F0 K 0 K G u f dx Buˆ F0 Buˆ J d 2 1 dx 2 1 int axil
1
dN N 2 ] x B12 uˆ 1 uˆ1 ˆ dx uˆ 2 dx u2 uˆ 2 B 1 4 uˆ4 dN d dN 2 d dN dN 2 uˆ5 u x u B12 1 J 1 1 d d dx d dx d
L u x N uˆ [ N1 x x1 N 2 x L N 1
f 4, f 5
f 1, f 2
x2 x
N1 x
1
2
2
EA x dx
1
1
Buˆ 2
T
EA Buˆ J d
(segundo orden)
2
Serie Taylor: 1 a 2 1
dL x ds dx
1 dy
2
1 2
a2
1 8
du
a 4 ...
1 du y
2
dx 2 dx dx
2 dx
K0
d int
K = K 0 EA + K G f
1
B EA B J d T
KG
1
f1 1 f 2 EA 0 f 4 L 1 0 f 5
d ext d u
1
B F0 B J d T
1
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 F 0 0 1 0 L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
u1 u 2 u4 u5
Cálculo Avanzado de Estructuras
Equilibrio en una Barra con desplazamientos secundarios Equilibrio en desplazamientos de Primer orden: Matriz de rigidez inicial (o material) Por Equilibrio estático ►
f n = K eu n
f1 u1 K f 2 u 2
f1 F 0 u1 1 f 2 0 K u2 K EA 0 0 f F u L 1 4 0 4 0 f5 0 u5
pn = K e u n
f1 F 0 EA 1 1 u1 f F L 1 1 u 2 2 0
1 0 0 0 0 Planteamiento 0 1 0 bidimensional 0 0 0
0
Planteamiento unidimensional
Equilibrio en desplazamientos de Segundo orden: Matriz de rigidez geométrica (o de tensiones iniciales) Equilibrio estático y desplazamientos de primer y segundo orden ► f1 F0 sin F0 F0
1
f 2 F0 cos F0
u5 u2 L
u u2 f 4 F0 sin F0 F 0 5 L f5 F0 cos F 0
Expresión matricial ▼
f = K Ge u n
L cos L 1 u5 u2 L sin y u5 u2 L
n
f1 u1 0 F 0 f 2 u2 K Ge K G f = 0 f u L 0 4 4 f5 u5 0
0 1 0 0 0 1 0
F0 : fuerza axial interna sobre la barra (local)
0
0
1 0 1
Cálculo Avanzado de Estructuras
Matriz de rigidez de un elemento finito “viga” Elemento Viga de continuidad C1 (beam 2D) u6
2' u1
u3
1'
2
1 u5
u2
1
2
u4
e = d w = N i , x uˆ f
N, N ', N '' 2 d w e f = = N i , xx uˆ dx 2 dx
1 T K 0 1 N '' EI y N '' Jd uˆ 0 1 T f N f Jd 1 2 uˆ 0 1 K G N 'T F0 N ' Jd 1
Elemento viga con desplazamientos de segundo orden
u1 e u axial = N axil u4
N e = N i axial
e
e
u1 u 2 u3 e e u = u2 u 4 u e 3 u5 e u flex = N flex u5 u6 u6
AE 0 0 L 12 EI 6 EI 0 L3 L2 6 EI 4 EI 0 2 L L K = K 0 + K G AE 0 0 L 12 EI 6EI 0 3 2 L L 6 EI 2 EI 0 L2 L
N
e
N i flex
=
1 N 1 1 2 N 4 1 1 “Polinomios de Lagrange” 2
N 2
1
N 3
1
N 5 N 6
2 3 4
4 1 4 1
3
1
“Polinomios de Hermite”
3
2
2 3 3
1 4
2
3
Grados de libertad sin interés para el pandeo en ejes locales de una viga SIN EMBARGO SIN EMBARGO si si son son de interés en el pandeo pandeo de de pórticos pórticos ¿por ¿por qué…? qué…?
AE
0
0
0 12 EI 6 EI 0 0 3 L L2 6 EI 2 EI 0 2 0 L L F 0 L 0 AE 0 0 L 0 12 EI 6 EI 0 3 2 L L 0 6 EI 4 EI 0 2 L L L
0
0
6
L
5
10
L
2 L2
10 0
15 0
6 5
L 10
0 0
6
0
L
0
L 10 L
30
0
5
10 0 6
0
2
0
0
5
L 10
L
10 L2
30 0
L 10
15
2 L2
Cálculo Avanzado de Estructuras
Resumen: Matriz de rigidez en elementos barra y viga
Barras (truss‐rod )
Ku f
1 0 EA 0 K0 L 1 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
K = K 0 + K G
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 F 0 0 0 K G L 0 0 0 1 0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
N ' EAN ' dx T
K0
L
KG
N ' F N ' dx T
0
L
Vigas (beam) u6
AE 0 0 L 12 EI 6 EI 0 L3 L2 6 EI 4 EI 0 2 L L K0 = AE 0 0 L 12 EI 6EI 3 2 0 L L 6 EI 2 EI 0 L2 L
AE
0
0
0 12 EI 6 EI 0 0 3 L L2 6 EI 2 EI 0 0 2 F 0 L L K G L 0 AE 0 0 L 0 12 EI 6 EI 0 2 3 L L 0 6 EI 4 EI 0 2 L L L
0
0
6
L
5
10
L
2 L2
10 0
15 0
6 5
L 10
0 0 0 0
L 10
0
2
L
30
0
0 6
0
L
5 10 L L2 10 30 0 0 6 L 5 10 L 2 L2 10 15
1
u3 u1
u5
u2 u4
K0
N '' EI N '' dx T
L
KG
N ' F N ' dx T
0
L
2
Cálculo Avanzado de Estructuras
Ejercicio de trabajo personal CAE 1.3. Calcula la carga crítica del pórtico de la figura considerando dos casos: estructura articulada (a), y estructura reticulada en el nodo de carga‐nodo rígido (b), considerando el uso de dos elementos barra en el primer caso, y dos elementos viga en el segundo. Úsense las matrices de rigidez calculadas en los apuntes para cada tipo de elementos. P0 = 1N Longitud: L=1m Rigidez axil: EA = 100 N Rigidez flectora: EI = 1 Nm2
1
2
P
P
45º
45º
1
2
(b)
(a)
3
3
L/2
M3
P
1
R1
2
e1 R2
L
e2 y
3
x
R7 M9 R8
Fuerzas axiles
autovalores
autovector 1
Cálculo Avanzado de Estructuras
Introducción al Pandeo de Placas
Curvatura simple: flexión “cilíndrica” de Euler ‐Bernoulli ‐ flexión de vigas
Curvatura acoplada: bending‐twisting de Kirchhoff ‐Love ‐ flexión de placas
Cálculo Avanzado de Estructuras
Teoría de Flexión de Segundo orden en placas
Ecuaciones fundamentales de equilibrio
Configuración deformada (current ) vista desde plano XZ
F
N N Q N x dy sin zx N x x dx dy sin zx zx dx Qxz dy cos zx Qxz xz dx dy cos zx zx dx N xy dy sin zy N xy xy dx dy sin zy zy dx x x x x x x zy N xy zy Q xz zx N x zx N xy N x dxdy Q x , x N x w, xx N x , x w, x N xy w, xy N xy , x w,y dxdy x x x x x x
F
z x
z y
Q
y, y
N y w, yy N y , yy w, x N xy w, y N xy , y w,x dxdy ... equilibrio
F z 0
Q xz Q yz q x , y x y
q x, y N x
q ' x, y N x q x , y
w w w 2 2 2 4 4 D x x y y 4
4
4
2 2 w x, y
2w 2w 2 w w N x N xy w N y N xy N 2 N y xy x 2 y 2 xy x x y y y x
2w 2w 2 w N y 2 2 N xy N x w, xx N y w, yy 2 N xy w, xy 2 x y xy q x, y D
q x, y q ' x, y
2 2 w x
D
“Fuerza de acoplamiento”
Ecuación diferencial de equilibrio Saint‐Vennant (1883)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Teoría de flexión de primer orden (recordatorio)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Equilibrio en Pandeo de una placa simplemente apoyada con curvatura simple Placa simplemente apoyada en extremos opuestos (flexion cilíndrica) 2 q ' x N x w x 1 2w 2 w 2 w N y N xy 0 2 2 w x, y N x 2 N y 2 2 N xy D D D x2 x y xy q x, y 0 N x x t
y
x
2 4 w N x w x 0 x 4 D x 2
2 w N x w x 0 x 2 D w x , y A cos K1 x B sin K1 x Cx D N x b N x P K K 1 1 3
2w 0 2 w L 0 0 x 2 x 2 2 w 0 2w L w y 0 0 w y b 0 0 0 x 2 x 2 M xy 3w 3 w V y Qy D x 3 2 2 0 x x y y w x 0 0
z
w x x
w x a 0
► flexión “cilíndrica”
EI
k
n=1
n
b a
n
w x a 0
2
A sin K1a 0
K1a n
N x
D
n 2 2 a
2
...
NC n2
2 D a
2
1
C NC t
2
n=2
C n2 k
n: número de onda… modo de pandeo
D
Condiciones de contorno
Coeficiente de placa
k
E * 12 t b
a b
C E
2 D a2 t
k E
n 1... E 2
D b 2t
2
E t 2 2 12 1 2 b
Tensión crítica de Euler
Parámetro de placa… carga adimensional de pandeo
N C n1
2 a
2
D...
2 E * b
2
t E
a b
“aspect ratio” … esbeltez de placa
Cálculo Avanzado de Estructuras
Cálculo Avanzado de Estructuras
Placa simplemente apoyada con curvatura acoplada. Modos de pandeo
Curvatura acoplada (flexion no cilíndrica)
Cálculo Avanzado de Estructuras
Equilibrio de Pandeo de una placa de Navier Placa simplemente apoyada en los 4 bordes 2 q ' x N w x N y N xy 0 2 2 w x x D D x 2 q x, y 0 N x x t
y
x
w x
x y sin n b a
w sin m 0
m,n
w x 0 0
z
w x a 0
2 w 0 2w L 2 w 0 2 w L 0 0 w 0 w 0 0 0 y 0 y b x 2 x 2 x 2 x2
w x x
x 2 x 2 N x 2 w0 m n x m w0 a b D a
NC C t
w0 0...
m,n: números de onda (modos de deformación)
2 2 2 D a 2 x x 2 D a2 b2 NC m n a b b 2 m 2 1 m2
m 2 n 2 a b
2
; k C E
Parámetro/coef. de pandeo de la placa 2 2 a a 2b 2 m n k 2 b m a b
2
m a n2 b m a b
2
2
k n=1
a
k
k=4 E
2
D b 2t
2 kC,min m 1
b 2 a
NC t E kC dK C d
m k C m
b
6 kC,min m 2
0 ... kC,min m 4 si N
4 t
a b
a m ...? b
Cálculo Avanzado de Estructuras
Modos de pandeo en placas apoyadas en los bordes • • • •
La carga crítica en la práctica permanence constan cuando ϕ=a/b>1 es minima para una longitud “a” múltiplo entero “m” de la anchura “b” el modo de pandeo y el numero de ondas son función de la relación de aspecto cuando ϕ =∞ el número de ondas será mayor y la carga crítica será kmin=4
n=1
k
n=1
Números de onda en Nastran
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pandeo de Placas con Rayleigh-Ritz: placa en cortadura
Placa en cortadura simplemente apoyada en los 4 bordes N xy x t N x N y 0 p x, y p
y
w x en contorno: w x, y 2 2 w x 2 N xy x 2 2 2 x 0, a y 0, b w 0 w x , y w x , y 0 x , y x 2 y 2 2
Esto es tensorial
¿ u x, y
x y sin n a b
2
C
mn
sin m
m ,n 1
int ext
0 K 0 K G N xy C f C K 0
D n n 2
2
i
j
1 0 dA
A
K G N xy
N A
xy
ni n j ni n j x y y x dA
N 2 0 C 2 N C xy
?
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pandeo de Placas con Rayleigh-Ritz: placa en cortadura
Nx = Ny = 0
↑
Si usáramos una sola función RR, no habría término de cortante Nxy
Autovalores
Ambos sentidos de cortante son críticos Autovalores de carga unidad:
Web stiffeners en Vigas ¿cuantos términos (m,n) necesitaríamos en la serie para converger al resultado exacto? ... Consultar Timoshenko
1 C N C 1 9 2 1 k C 1 E t E 32 2 2
k C 11.10
K exacto 9.35 k C 8.67 K exacto 6.6
Solución de Segundo orden (con carga de pandeo)
deformada elástica normalizada
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pandeo de vigas y placas
Pandeo Local: pandeo de Placas
Pandeo Global: pandeo de Vigas
Cálculo Avanzado de Estructuras
Pospandeo de paneles curvos rigidizados
Cálculo Avanzado de Estructuras
Cálculo Avanzado de Estructuras
Cálculo Avanzado de Estructuras
Cálculo Avanzado de Estructuras
