Cálculo Avanzado PEP 1

MaCatalán

Cálculo Avanzado: Resumen PEP 1 1

Series e Integrales de Fourier

b) Extensión Par – Serie de Cosenos

Relaciones de Ortogonalidad i) Si my n son números enteros distintos y no negativos:

Con

ii) Para cualquier par de enteros no negativos m y n:

,

y

Derivación serie de Fourier iii) Para cualquier entero positivo n:

Sea una función continua en es seccionalmente suave en

con si donde existe se tiene:

Serie de Fourier Sea f una función Riemann integrable en

Integración Serie de Fourier Sea

a) Coeficientes de Fourier:

una función seccionalmente suave en

Fourier, entonces para cada

2. 3.

con serie de

se tiene

para

b) Seccionalmente continua en 1. es continua en [a,b] excepto en un número finito de puntos 2. Ambos, y , existen y son finitos. 3. no es continua en , y los límites y existen y son finitos.

c) Seccionalmente Suave en Si

y

Identidad de Parseval Sea seccionalmente continua en es seccionalmente continua en

y tal que

también

:

son seccionalmente continuas en

.

d) Convergencia de la serie de Fourier: Si es seccionalmente suave en la serie de Fourier converge: i) A la extensión periódica de , en los puntos que la extensión periódica sea continua. ii) Al promedio de los límites laterales en los puntos donde la extensión periódica tenga una discontinuidad de salto.

Integral de Fourier Sea definida en seccionalmente continua en cada intervalo finito y tiene derivadas por la derecha e izquierda en todo punto y tal que Converge:

Desarrollo de Medio Rango a) Extensión Impar – Serie de Senos

Con

y

Convergencia Integral de Fourier Si es seccionalmente continua en para todo tal que existe, entonces converge a: Con

y

y

Integrales de Fourier de Senos y Cosenos

Recta por un punto de la Curva

Sea una función definida en , podemos extender esta función en y calcular la integral de Fourier: a) Recta Tangente:

a) Integral de Fourier Cosenos: con

b) Recta Normal b) Integral de Fourier Senos: c) Recta Binormal

con

2

Funciones Vectoriales

Planos por un punto de la Curva

Camino Regular Se dice que cada .

describe un camino regular si

, para

Longitud de Arco

Parametrización por Longitud de Arco

Si

describe una curva de

y s es

parámetro de longitud de arco, entonces:

Vectores Unitarios

Cumplen con:

a) Plano Normal: determinado por

Fórmulas útiles

Torsión

Radio de curvatura. Radio de torsión. La curva es plana (Se encuentra en un plano). Es una recta. Circunferencia. Hélice Circular.

Fórmulas de Frenet

en el punto

b) Plano Rectificarte: determinado por

c) Plano Osculador: determinado por

Curvatura

y

y

y

en el punto

en el punti

.