Calculo de Deflexiones Deflexiones Instantaneas La ecuacion para determinar la deflexion depende de las condiciones de carga y de apoyo Estos son solo algunos pocos ejemplos:
Lo complicado de determinar en deflexiones resulta el valor de la Inercia efectiva, esto debido al hecho que la secc ion resulta resulta una mez cla heterog het erogenea enea de m ateriales con propiedades propiedades bastante bastante diferentes (acero y concreto), y ademas se verá reducida por los valores de agretamiento presentes en ella. La expresion propuesta para el calculo de la Inercia Efectiva por el CHOC es la siguiente: 3
3
Mag M ag Ig 1 Ie = Iag M max Mmax
Mag = fr
Ig
h 2
fr = 2 f'c 3
Ig =
b h
12
Iag : Momento de inercia de la seccion agrietada transformada. Esta se obtiene al considerar la inercia de la porcion del concreto que se encuentra a compresion (despreciando toda la porcion a tension), transformando ademas el area de acero en concreto equivalente mediante la relacion "n" y luego calculando la inercia de esta seccion agrietada transformada. Una posible aproximacion conservadora de este valor se puede lograr mediante la siguiente expresion: Iag Iag = 0.35 0.35Ig Ig
Deflexiones a Largo Plazo Cuando sometemos un material a la aplicacion continua de carga, las particulas que componen el material comienzan a sufrir un reordenamiento segun la magnitud de la carga, y la propiedad ductil del material. Este reordenamiento es debido al flujo plastico del material. El concreto simple por naturaleza es un material fragil y por tanto concede muy poco espacio para el reacomodo de particulas a partir de flujo plastico. Sin embargo, el concreto reforzado tiene un valor de ductilidad superior al del concreto sim ple y por tanto si sufre de deformaci ones a partir de flujo plastico. Las deformaciones provocadas en esta manera son distintas a las deflexiones instantaneas comentadas en el apartado anterior. A diferencia de las deflexiones instantaneas, las deflexiones a largo plazo son aquellas que ocurriran bajo la accion sostenida de cargas. Esto, dado en un estado muy parecido al que provocara el agrietamiento, involucra las cargas de larga duracion. Sin embargo se debe considerar tambien el caracter de ductilidad de la seccion de concreto. Es asi que el CHOC define la expresion para el calculo de las deflexiones de larga duracion a partir de la siguiente expresion: ld = i siendo: Δ i : deflexion instantanea
=
1 50 '
ρ` : cuantia de acero a compresion en el punto donde se estima la maxima deflexion. ξ : factor de duracion de carga obtenido a partir de la siguiente figura
Es decir: 5 años o mas..... 2.0 12 meses.......... 1.4 6 meses............ 1.2 3 meses............ 1.0
La deflexion total resulta de la suma entre la deflexion instantanea y la de larga duracion T=
i
ld
Deflexiones Permisibles Las deflexiones permitidas en un elemento estructural dependerán de los elementos estructurales o no estructurales que se encuentren bajo estos, asi como la susceptibilidad de los materiales que componen a estos elementos a sufrir daños debido a estas deflexiones. El siguiente cuadro es el cuadro proveido por CHOC para la determ inacion de deflexiones m aximas permisibles en elementos de concreto reforzado. Ti po de miembro Techos planos que no soportan ni están unidos a miembros no estructurales que pueden ser dañados por grandes defecciones Pisos que no soportan ni están unidos a miembros no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones Construcciones de techo o piso que soportan o están unidas a miembros no estructurales que pueden ser dañados por grandes deflexiones Construcciones de techo o piso que soportan o están unidas a miembros no estructurales que probablemente no pueden ser dañados por grandes defle xiones
Defle xión a ser considerada Deflexión inmediata debida a la carga viva L Deflexión inmediata debida a la carga viva L La porción de la deflexión total que ocurre después de incorporar los elementos no estructurales (suma de todas las d eflexiones de larga duración causadas por toda la carga sostenida y la deflexión inmediata debida a b cualquier carga viva adicional)
Deflexión límite a
l /180
l /360
c
l /480
d
l /240
Para evitar problemas de deflexiones el principal aliado es el peralte de los elementos. Un peralte adecuado permitirá al elemento tener mayor inercia, y por tanto recibirá de manera menor los efectos de la deflexion. El CHOC hace una serie de recomendaciones en forma del peralte recomendado a partir de la luz existente. Se debe tratar de respetar estos peraltes dentro de lo posible para evitar problemas de deflexiones excesivas. Las recomendaciones estan resumidas en el siguiente c uadro:
T ipo de miembro Losas sólidas en una dirección Vigas o losas ne rvadas en una dirección
Simplemente apoyado
Un extremo continuo
Ambos extremos continuos
Voladizo
l / 20
l / 24
l / 28
l / 10
l / 16
l / 18.5
l / 2 1
l / 8
Estas y recomendaciones adicionales pueden encontrarse en la seccion 9 del CHOC
Ejemplo de Calculo de Deflexiones Instantaneas Calculo Aproximado de Iag Determine la deflexion instantanea al centro de la luz en la siguiente viga de entrepiso en la biblioteca de un centro educativo, considerando una luz de 8m, un intercolumnio de 5.5m y una losa de 25cm de espesor que descansa sobre la viga. Considere la viga simplemente apoyada con una carga viva de 625kgf/m2.
Propiedades Geometricas h 76cm b 35cm rec 7.5 cm d' 5cm d h rec 68.5 cm
Area de acero 2
As 8
( 1in) 4
2
40.5366 cm
2
A's 0cm
Caracteristicas de los materiales kgf
f'c 210
2
cm fy 4200
kgf cm
2
Ec 15100 f'c
kgf 2
cm Es 200GPa
u 0.003
218819.7889
kgf 2
cm
Determinacion de las Solicitaciones Com o estamos hablando de una deflexion instantanea , y el maximo valor de esta ocurre bajo carga maxima; es necesario utilizar las cargas con sus valores mayorados. luz 8m
Wviva 625
kgf m
2
5.5 m 3437.5
Wmuerta .76m .35 m2400
kgf 3
kgf m
0.25m 5.5m 2400
m
Mviva
8
3
3938.4
m
W 1.4Wmuerta 1.7Wviva 11357.51 Wviva luz
kgf
kgf m
kgf m
2
27500 kgf m 2
Mmuerta
Wmuerta luz 8
31507.2 kgf m
Mmax 1.4M muerta 1.7 Mviva 90860.08 kgf m
Obtencion del Momento de Agrietamiento (el m omento que produce el esfuerzo m aximo a tension del c oncreto en las fibras tensionadas) Para esto es necesario calcular el m aximo esfuerzo a tension que resiste el c oncreto. fr 2 f'c
kgf cm
2
28.9828
kgf cm
2
La inercia de la seccion bruta (inercia de la seccion de concreto) 3
Ig
bh
12
Ya con esto podemos determinar el Momento de Agrietamiento, o dicho de otra manera, el valor de momento que causa que se produzcan las primeras grietas sobre la superficie. Mag fr
Ig h 2
9765.2557 kgf m
La inercia agrietada transformada (inercia de la seccion considerando nada mas el area de concreto a compresion y la transformada del acero a tension), por ahora, la aproximamos con el siguiente calculo Iag 0.35 Ig
Al tener todos esos valores podemos determinar la Inercia efectiva 3 M 3 Mag ag 4 Ig 1 Iag 449154.5049 cm Ie M max Mmax
Al c omparar podemos ver que la Inercia efectiva resulta bastante simi lar a la inercia agrietada. 4
Iag 448121.3333 cm
pero muy distinto a la inercia bruta 4
Ig 1280346.6667 cm
Esto va a ser cierto siempre que el momento para el cual se este determinando la deflexion sea mucho mayor que el momento de agrietamiento. El calculo de la deformacion maxima sale del calculo de la deformacion al centro del claro en una viga simplem ente apoyada.
5 W luz
4
384 Ec Ie
61.631 mm
Com o vemos, se obtiene un valor bastante elevado y no cum ple con los requisitos establecidos en el CHOC. Esto en parte es debido al hecho que consideramos valores de carga considerablemente altos y una luz bastante grande. Cabe recalcar ademas que este resultado se obtiene tras el uso de calculos a partir de valores aproxim ados, sin em bargo es posible determ inar el valor de la deformacion de m anera m as acertada si hacemos uso de un procedimiento que aproveche los verdaderos aportes del acero estructural.
Ejemplo de Calculo de Deflexiones Instantaneas Calculo de Iag con mayor precision Para el caso del ejemplo anterior, se determino la deflexion instantanea en una viga haciendo uso de una aproximacion bastante conservadora del valor de la inercia agrietada transformada. Esto nos devolvio una respuesta que da una deformacion que posiblemente es mucho mayor a la que realmente oc urrira. Esto puede ser un problema especialmente c uando revisamos las deformaciones debido a las cargas y las comparamos con las maximas permitidas. Por este motivo resulta beneficioso para algunos casos, hacer el calculo completo. Hagamos uso de lo que sabemos de la seccion para determinar los valores de la inercia agrietada transformada. En primer lugar usaremos la misma viga anterior. Lo primero que debemos determinar es la profundidad del bloque de compresiones "c", para esto haremos uso del diagrama de compatibilidad de deformaciones.
En este diagrama tenemos posicionadas todas las deformaciones segun ocurriran en la seccion transversal. De aqui sabemos que: s d c
=
u c
y
's c d'
=
u c
y por tanto, al despejar s = u
d c c
's = u
c d' c
como se ha visto en ejemplos anteriores, la ley de Hooke tambien indica que f's = 's Es
fs = s Es
y
y al determinar la sumatoria de momentos en la seccion de concreto
M = A's f's ( d d') (As fs A'sf's) d
a 2
El calculo de "c" se podria llevar a cabo a partir de la sumatoria de fuerzas en la seccion, sin embargo si lo realizam os de esta manera estariamos calculando la profundidad del eje neutro a partir de los esfuerzos resistentes y no de las actuantes. Esto podria resultar inexacto en vigas con caracteristicas sobrediseñadas, ya que el esfuerzo resistente será mayor que el actuante. Esto implica que, al necesitar menor brazo el acero a tension, el valor de c será menor (habiendo predominio de la flexion) resultando en una inercia menor a la que realmente ocurriria. Para evitar este problema y considerando el hecho que en la mayor parte de los diseños será necesario algun grado de sobrediseño (ej. el acero requerido es 12cm^2 y se utilizan 3#8 que son igual a 15.2cm^2), es mejor calcular el valor de "c" a partir del momento actuante. Es importante recordar que a la hora de determinar deflexiones instantaneas necesitamos considerar las cargas mayoradas, por esta razon M es el momento maximo al cual estará sometida la viga Si comenzamos a hacer las respectivas sustituciones
M = A's 's Es ( d d') ( As s Es A's 's Es) d
Mmax = A's u
c d' Es ( d c
d') As u
c 1 2
d c Es A's u c d' Es d c 1 2 c c
De aqui podemos despejar el valor de c, para este ejemplo el calculo se realizo por aparte, y resulta lo siguiente: 2
9086008kgf cm = 40.5366cm 0.003 c 40.02cm
68.5cm c 2.039 106 kgf 68.5cm c 2 cm
0.85 c 2
con este valor revisamos los valores de f`s y de fs, si superan fy entonces los truncamos y recalculamos c, sin embargo en este ejemplo no hay acero a com presion, por tanto solo se revisa fs
fs u
d c Es 4354.0506 kgf 2 c cm
de aqui podemos observar que el acero a tension esta un poco pasado de la fluencia, lo que podemos hacer es truncar el valor a fy y recalcular el valor de c; al ser A`s=0 esto queda:
kgf
2
9086008kgf cm = 40.5366cm 4200
cm
2
68.5cm
0.85 c 2
c 35.61cm
Con este dato ya sabemos que porcion de la secci on se encuentra a compresion.
Ahora lo que necesitamos es convertir el area de acero en un area equivalente de concreto. Para esto haremos uso de la relacion "n".
n
Es Ec
9.3201
Al multiplicar el area de acero por esta relacion nos brinda el area de concreto equivalente junto con el area de acero. Para obtener solo el valor del concreto equivalente lo calculamos usando la siguiente expresion As ( n 1)
Al tener el valor de c, lo que debemos determinar es el valor del centroide de la seccion transformada. Con respecto a las fibras comprimidas (en este caso las superiores). b c y
c
As ( n 1) d
2
28.6017 cm
b c As ( n 1)
luego determinamos las inercias para cada una de las figuras que restan, despreciando la inercia normal del acero la inercia de la seccion despreciando el concreto a tension: Icag
bc
3
12
2
c 4 b c y 276991.4183 cm 2
la inercia del area transformada: 2
4
Isag As ( n 1) ( d y) 536891.294 cm
la suma de las cuales nos brinda la inercia agrietada transformada: 4
Iag1 Icag Isag 813882.7123 cm
esto es mucho mayor a la inercia que determinamos en el ejemplo a partir del calculo aproximado
Ie
Mag
3
Mmax
Ig 1
3 Mag
Mmax
4
Iag1 814461.8071 cm
4
5 W luz
384 Ec Ie
33.9879 mm
Como se puede ver, el calcular la inercia agrietada transformada a partir de las verdaderas propiedades de la seccion brinda respuestas mas apegadas a la realidad y a la vez, beneficiosas para el diseño. Sin embargo implica un volumen de calculos mucho mayor. En este caso en particular la deflexion instantanea es demasiado grande para ciertos requisitos impuestos por el CHOC. Como se habia mencionado antes, esto es muy probablemente producto de la magnitud insual de las cargas consideradas (25cm de espesor de losa solida de concreto con una carga de 625kg/m^2).
Recomendaciones Queda a criterio del ingeniero cual de los metodos se empleara, sin embargo debe quedar claro que para aprovechar mejor los materiales es mejor buscar el metodo de mayor precision. Entre las recomendaciones que se podrian dar para mejorar las deflexiones en el elemento, podria encontrarse en el primer punto de prioridad el incremento del peralte. Esto directamente aumenta la inercia total del elemento y usualmente incide en un valor de "c" mayor. A mayor "c" mayor inercia agrietada transformada, y como se puede observar de los ejemplos mostrados, cuando el valor del momento actuante es mucho mayor al momento de agrietamiento (la mayoria de los casos), es la inercia agrietada transformada la que tendrá la mayor influencia en el valor de la inercia efectiva. Otra recom endacion podria involucrar aumentar la cantidad de acero, sin embargo aumentar el area de acero podria implicar que este no logre la fluencia y caemos en el fallo sobrereforzado. Ademas involucra un aum ento al c osto que podria resultar mayor que el aumento de costo producto de incrementar el peralte. Esta alternativa generalm ente es revisada cuando no es posible mejorar el peralte por restricciones arquitectonicas. En tercer lugar tenemos recomendaciones como mejoramiento de los materiales constructivos, principalmente hablando de la resistencia del concreto utili zada. La principal desventaja de esta alternativa esta en el hecho que el mejoramiento de los materiales generalmente implica un aumento de costo que rara vez es justificado por el mejoramiento en el comportamiento. En ultima instancia, si no se pueden hacer mejoras de alguna otra forma, la recomendacion final podria ser considerar modificaciones en el proyecto, sin em bargo esto im plica c ambios de orden mayor en la mayoria de los casos y reestructuracion del modelo analitico original. Realizar cambios de esta manera generalmente modificará no solo al elemento sino que elementos aledaños y por tanto no es muy recomendado.
