CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeficientes de Rigidez podem ser representados e resolvidos de forma compacta e elegante com auxílio da
Notação Matricial. (ALVES, 2003). Tem-se que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas tais como barras, chapas, etc., de maneira que facilite a compreensão do método de cálculo por elementos finitos de estruturas. Portanto:
Mola
1
2
f1
f2
F1
1
Barra
2
F2
EA/L
k x1
x2
d1
d2
a)
b)
Figura 1: a) Comparação entre Mola e b) uma Barra de um elemento Fonte: Alves (2003). Então, uma barra que submetida a uma força axial de tração ou compressão terá o comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão.
F = k . x ⇒ é similar a ⇒ F =
EA . d L
(1)
Onde F é a força, k é a rigidez da mola, x é a deformação da mola, d é a variação de comprimento e L é o comprimento inicial. Então para o caso específico mostrado na figura 2, tem-se que o Nó do elemento 1 é submetido a um deslocamento devido a força aplicada f 1, mantendo-se o Nó 2 bloqueado.
f1
1
Mola f2 = -f1 k
x1 Figura 2: Compressão de uma mola.
x2 = 0
Para o caso específico mostrado na figura 2 e tomando-se as condições de equilíbrio do sistema, tem-se que a reação encontrada no Nó 2 é f 2 = -f 1 pois tem sentido oposto a f 1. Desta forma colocando-se na forma Matricial tem-se: Para uma Mola:
f 1 k = f 2 − k
−
k x 1 . k x 2
(2)
= 0
Supondo que se tenham as forças como incógnitas tem-se para este sistema duas equações e duas incógnitas.
f 1 = k . x 1 + (− kx 2 )
Sendo, portanto:
f 2
= −
k .x 1 + kx 2
(3)
Substituindo x 2 por zero tem-se:
f 1 = k .x 1 + (− k .0 ) ⇒ f 1 = k .x 1 f 2
= −
k . x 1 + k .0 ⇒ f 2
= −
(4)
k . x 1
Para uma Barra de um elemento:
EA F 1 L = F 2 − EA L
−
EA L d 1 . EA d 2 L
= 0
(5)
Comparativamente tem-se da mesma maneira que k representa a rigidez da Mola, EA / L representa a rigidez da Barra de um elemento. Dados que o módulo de elasticidade E , a área A e o comprimento L são constantes, podese isolar estas constantes da Matriz.
F 1 EA 1 . = F L − 1 2
−
1 d 1 . 1 d 2
= 0
Quando o sistema possui mais de um elemento de mola tem-se:
Elemento 1
B
Elemento 2
A
C ka
kb
Figura 3: Sistema de mola com dois elementos
(6)
A
B
B
ka
-ka
-ka
ka
A
C
kb
-kb
B
-kb
kb
C
B
A
B
C
-ka
-ka
ka + kb
-kb
B
-kb
kb
C
0
0
A
ka
Figura 4: Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura. Fonte: Alves, 2003.
A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento unidirecional, permitindo a compressão ou tração devido a forças axiais. As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do elemento. A viga, no caso mais geral, pode transmitir forças axiais, momentos fletores em dois planos perpendiculares contendo seus eixos principais, forças cortantes e momentos torçores. Vide figura a seguir.
Figura 5: A viga e os graus de liberdade em um elemento. Fonte: Alves, 2003. Considerando-se o comportamento de vigas dos fundamentos da resistência dos materiais e impondo-se deslocamentos unitários transversais ∆ e de rotação
θ
ao elemento viga, resultam os
coeficientes de rigidez necessários.
M1
M2
6EI .∆ 2
M 1,2
=
L
(7)
R =
12EI .∆ 3
(8)
M 1
=
2EI .θ θ
(9)
M 2
=
4EI .θ θ
(10)
∆
L
R
L
R
Figura 6: Deslocamento em um nó.
M2
M1
θ
R
L
L
R
R = Figura 7: Inclinação em um nó.
L
6EI .θ θ 2 L
(11)
A disposisão dos “Elementos na Matriz”, que não comtempla forças axiais e apenas flexão, é vinculada aos quatro graus de liberdade.
1
3
4 2
k=
1
2
12EI L3 6EI L2 12EI − 3 L 6EI L2
6EI 2
L 4EI L 6EI − L2 2EI L
3 −
4
12EI 3
L 6EI − L2 12EI L3 6EI − L2
6EI
L 2EI L 6EI − L2 4EI L 2
1 2 3 4
Figura 8: Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente.
Sabe-se que para a matriz de um elemento, como mostrada na figura anterior, bem como, na Matriz Global sempre tem-se uma matriz quadrada e que também haverá a simetria.
k=
12EI L3 6EI L2 12EI − 3 L 6EI L2
4EI L 6EI − L2 2EI L
Figura 9: Simetria da Matriz do elemento.
Simétrica 12EI L3 6EI 4EI − L2 L
Figura 10: Estrutura de pórtico Plano, constituida de Viga com Rigidez Axial e Rigidez á Flexão no Plano. (Alves, 2003).
Figura 11: Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas. (Alves, 2003).
2 REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL 2.1.
Generalidades
k 11 k 12 k 13 [K ] = k 21 k 22 k 23 k 31 k 32 k 33 1ª. Coluna
1ª. Linha
2ª. Linha
3ª. Linha
3ª. Coluna 2ª. Coluna
Figura 12: Exemplo de Matriz. Sendo:
K11 o elemento localizado na 1ª. Linha e 1ª. Coluna K23 o elemento localizado na 2ª. Linha e 3ª. Coluna Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número indicando a coluna em que está o elemento da matriz. De modo geral pode-se expressar a posição em que se encontra um elemento por K ij em que o elemento encontra-se na i-ésima linha e j-ésima coluna. A matriz pode ser expressa de maneira compacta como:
[K] = Kij
3x3
Figura 13: Exemplo de simplificação de uma Matriz. Neste exemplo tem-se uma matriz composta por 3 linhas e 3 colunas. Como esta possui o mesmo número de linhas e de colunas diz-se que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem 3.
Na equação {F}
= [K] . {U} normalmente se conhecem as forças e rigidez mas, tem-se os
delocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de isolá-los. Para realizar o isolamento desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez. O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz, os cofatores, a matriz transposta e a matriz identidade.
2.2
Determinante de Matriz
Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus elementos como mostrado no exemplo a seguir.
k 11 k 12 [K ] = ⇒ det K = k 11 . k 22 − k 21 k 21 k 22
k 12
Figura 14: Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz. Note que a determinante de uma matriz é um número.
2.3
Matriz Transposta
Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das linhas para colunas conforme exemplo a seguir. Isto é obtido fazendo-se com que um elemento que T
ocupe a posição i,j da Matriz [K] tenha a posição j,i da Matriz [K] .
[K ] =
3 5 6 4 1 7
3 4 [K ]T = 5 1 6 7
tem − se
Figura 15: Procedimento para transpor uma Matriz.
2.4
Cofatores de Matriz
Os cofatores de uma matriz são números obtidos em função de sua posição na matriz e os valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por (-1)i+j que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas, conforme exemplo a seguir. Para o elemento 1,1 da matriz do exemplo tem-se:
3 5 [K ] = 4 1 2 8
6 7 9
cof (K 11 ) =
1 8
(− 1)1 1. +
7 9
=
9.1 − 8.7 = −47
Figura 16: Procedimento para encontrar um dos cofatores de uma Matriz.
Para o elemento 3,2 da matriz do exemplo tem-se:
3 5 [K ] = 4 1 2 8
6 7 9
cof (K 32 ) =
3+2
(− 1)
3 6 . 4 7
= −
3 . 7 + 4 .6
=
3
Figura 17: Procedimento para encontrar outro dos cofatores de uma Matriz..
A matriz dos cofatores teria o seguinte aspecto:
[Cof K ] =
− 47 k 12 k 21 k 22 k 31 3
k 13
k 33
k 23
Figura 18: Resultado da matriz com os dois cofatores da Matriz.
Para inversão da matriz de rigidez tem-se então:
[K ]
1
−
=
1 T . [cofK ] det[K ]
Figura 19: Resumo da inversão de uma Matriz. Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira:
1
{U } = [K ] .{F } −
Figura 20: Equação simplificada dos deslocamentos globais. Onde
{U}
corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e
matriz coluna das forças.
{F}
corresponde a
Figura 21: Visão geral do método dos elementos finitos. (Alves, 2003).