Cálculo de Parâmetros de Linhas de Transmissão Antonio Carlos S. Lima, Marco Polo Polo Pereira Pereira Departamento de Planejamento Planejamento da Transmissão Transmissão Furnas Centrais Elétricas Rua Real Grandeza 219, bloco C sala 1607.3 Rio de Janeiro 2283-090 RJ Brazil
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[email protected] Orlando Hevia Faculdad Regional de Santa Fe Universidad Tecnologica Nacional
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Resumo
Atualmente no ATP-EMTP existem duas subrotinas capazes de calcular os parâmetros das linhas de transmissão, a Line Constants e a Cable Parameters Parameters. Enquanto a primeira existe praticamente desde as primeiras versões de EMTP, a segunda rotina é uma evolução da Cable Constants, originalmente implementada em 1981. Apesar de ser originalmente desenvolvida para o cálculo dos parâmetros de configurações de cabos elétricos, a Cable Parameters Parameters é capaz de calcular os parâmetros de linhas de transmissão como um caso particular de um conjunto de cabos SC (Single Core) aéreos. A comparação dos resultados obtidos com as duas subrotinas é feita usando uma Linha de Transmissão de 500kV, 500kV, circuito simples. Compara-se os resultados obtidos tanto no cálculo das matrizes de impedâncias quanto na obtenção de modelos com parâmetros distribuídos constantes considerado a linha totalmente transposta e não transposta. Os modelos com parâmetros distribuídos constantes são usados tanto para testes transitórios (energização com a linha em aberto e curto-circuito nos terminais da linha), como para a comparação da variação dos parâmetros da linha com a freqüência usando as duas metodologias. Por usarem metodologias de cálculo bem distintas as subrotinas obtêm modelos e transformações com distintos porém equivalentes, equivalentes, como mostram os resultados dos testes realizados.
1
Intr Introd oduç ução ão
O cálculo dos parâmetros para a simulação das linhas de transmissão é uma parte importante não só para o projeto adequado de linhas novas, mas como para a correta avaliação no caso de reforços. De fato o cálculo dos parâmetros é tão importante quanto o desenvolvim desenvolvimento ento de modelos para as linhas linhas de transmissão. transmissão. É necessário conhecer conhecer as limitações de cada rotina bem como os casos onde melhor se adaptam as metodologias. Os Parâmetros unitários das linhas de transmissão, resistência por unidade compri mento ( R ), indutância por unidade de comprimento ( L ) e capacitância por unidade de comprimento (C ) não podem em geral ser considerados como concentrados e distribuem se igu igualm alment entee pela pela lin linha. ha. A condu condutân tância cia G normalment normalmentee pode ser desconside desconsiderada rada excetuand excetuandoose os estudos de Efeito Corona. Para estudos de fluxo de potência e curto circuito somente 1
os parâmetros de seqüência positiva e zero são necessários, podendo ser usadas fórmulas simplificadas. Contudo, estes valores não são adequados para estudos envolvendo transitórios ou efeitos de acoplamento indutivo, ou capacitivo, em regime permanente, necessitando-se de um cálculo mais preciso dos parâmetros da linha. Isto pode ser feito através das rotinas Line Constants e Cable Parameters . Por terem sido desenvolvidas em épocas distintas as rotinas utilizam diferentes metodologias. Além do mais, a Line Constants somente calcula os parâmetros de uma linha de transmissão, enquanto a Cable Parameters permite também o cálculo dos modelos de cabos aéreos e subterrâneos. É interessante, portanto, a comparação das rotinas para se avaliar a confiabilidade resultado, servindo até como uma forma de validação indireta dos cálculos dos parâmetros. Ambas rotinas podem ser usadas para os cálculos dos dados de entrada de todos os modelos de linha disponíveis do ATP-EMTP, desde a representação por um π, até a representação com parâmetros dependentes da freqüência como o modelo MARTI ou o IARMA. No caso do modelo de parâmetros distribuídos constantes utiliza-se a representação modal(decomposição em autovetores) desenvolvida por Wedepohl [1]. No ATP-EMTP existem dois possíveis modelos para a representação da linha com parâmetros distribuídos constantes, Clarke e K.C. Lee. O primeiro usa a transformação de Clarke, sendo aplicável para linhas de transmissão totalmente transpostas, enquanto o segundo pode ser usado para linhas não transpostas, devendo o usuário fornecer a matriz de transformação. O caso base para a comparação consiste de um circuito simples de 500kV com três cabos de 954MCM por fase e com dois cabos pára-raios. A comprimento do é de 210km, considerando-se duas situações para o circuito, linha totalmente transposta e não transposta. A freqüência para o cálculo dos parâmetros foi 60Hz. Compara-se também os autovalores calculados pelas rotinas com os resultados obtidos com um programa de cálculo matricial. Hoje existem na Internet diversos programas “freeware” como o Scilab e o Octave com algoritmos confiáveis e robustos para este cálculos.
2
Line Constants
A subrotina Line Constants é possivelmente a mais antiga do EMTP, tendo sido elaborada basicamente em conjunto com as primeiras versões do programa. É uma extensão do trabalho desenvolvido por Hesse [2] e utiliza a fórmula de Carson para terra homogênea. Como a fórmula de Carson se baseia em condutores perfeitamente horizontais acima da ¯ , do condutor é usada para os cálculo. Esta média é calculada da terra, a altura média, V seguinte forma, seguindo a nomenclatura usada em [3, capítulo XXI]: 1 3
2 3
¯ = V tower + V mid V
(1)
onde V tower é altura do condutor na torre, e V mid é a altura do condutor no meio do circuito, ponto mais baixo do condutor. Caso no arquivo de entrada de dados do ATP-EMTP um destes valores não seja especificado (deixado em branco), o programa toma como altura média o valor especificado diferente de zero. Com isto, se V mid é deixado em branco, V tower é considerado como altura média, caso V tower esteja em branco V mid é considerado como altura média. Esta rotina calcula as matrizes de capacitância e impedância tanto no domínio de fase quanto no domínio de seqüência e modal (para o caso da linha não transposta). Devese notar que estas matrizes, mostradas no arquivo de saída (.LIS) do ATP-EMTP, são de uma linha não transposta. Com isto, as matrizes de capacitâncias e impedâncias nas 2
coordenadas de fase são simétricas mas não possuem os elementos próprios iguais entre si, o mesmo ocorrendo para as mútuas. As matrizes com os valores de seqüência são cheias. Vale notar que a matriz de capacitância é calculada na forma nodal, as mútuas (C ik ) representam o inverso da soma de todas as capacitâncias entre os nós i e k . Para calcular os parâmetros modais para alinha totalmente transposta é necessário se efetuar a média dos elementos próprios e mútuos. Isto eqüivale a desconsiderar as mútuas na matriz de seqüência. Esta média é calculada internamente pelo programa, e obedece as seguintes equações (para o caso de um sistema trifásico com cabo pára-raios aterrado): Z s =
3 Z ii
∑
i=1
3 (2)
3
1 Z m = ∑ Z i j 3 i=1 j =1
i= j
onde Z s é a impedância série própria, e Z m é a mútua, lembrando que as matrizes são simétricas, Z i j = Z ji . Este mesmo procedimento aplica-se à matriz de capacitâncias. Em coordenadas de seqüência a ação da eq.(2) eqüivale a zerar os elementos que acoplam as seqüências. Para linhas totalmente transpostas a subrotina não calcula a matriz de transformação, ao invés, utiliza a transformação de Clarke, abc → 0αβ, como mostra eq.(3). Para o caso multifásico o programa usa uma generalização da transformação, como mostra a eq.(4.58) de [4].
T
1 1 1 = √ 3 1
√ 2 0 1 − √ 2 32 − √ 12 − 32
(3)
Os parâmetros obtidos com a eq.(3) são iguais aos parâmetros de seqüência. Para uma linha totalmente transposta, existem somente dois modos de propagação: o modo de seqüência zero, ou modo terra, e o modo de seqüência positiva, ou modo linha. Este último apresenta multiplicidade 2.
3
Cable Parameters
A rotina Cable Parameters foi desenvolvida originalmente por Ametani e chamavase Cable Constants . Esta rotina se baseia na metodologia desenvolvida pelo mesmo e apresentada em [5]. O primeiro objetivo da rotina é, como o próprio nome já leva a crer, o cálculo dos parâmetros de cabos elétricos para adapta-los para a simulação no ATP-EMTP. Até a presente data não existe no programa um modelo específico para cabos, o que se faz normalmente é adaptar os dados dos cabos para representá-los usando os modelos existentes para a representação de linhas de transmissão aéreas. A Cable Parameters é capaz de calcular os parâmetros para três possíveis configurações de condutores:
• Cabo SC (Single-Core – cabo com núcleo simples) enterrado ou aéreo; • Cabo PT (Pipe-Type – Cabo envolvido numa tubulação) enterrado ou aéreo; 3
• Linha de Transmissão aérea. Uma linha de transmissão aérea pode ser considerada como um cabo SC aéreo. Portanto o programa possui dois tipos de cálculo, sendo o terceiro apenas um caso particular. Um avanço da Cable Parameters com relação à Cable Constants está na possibilidade de cálculo dos parâmetros de cabos com dimensões assimétricas. A Cable Constants só permite o cálculo de condutores cilíndricos. O cálculo dos parâmetros de cabos elétricos envolve a solução das equações em coordenadas cilíndricas dos campos elétricos e magnéticos. Tal situação implicaria no uso de Funcões de Bessel para a representação das impedâncias. Só para efeito ilustrativo mostramos aqui o valor da impedância séria de uma cabo SC sem revestimento com raio interno r 0 e raio externo r 1 . Z (ω) =
√
√
jω µ I 0 ( x1 )K 1 ( x0 ) + K 0 ( x1 ) I 1 ( x0 )
2π x1 I 1 ( x1 )K 1 ( x0 ) − I 0( x0 )K 1 ( x1 )
(4)
onde x0 = r 0 jω µσ, x1 = r 1 jω µσ, ω é a freqüência que está efetuando os cálculos, µ é a permeabilidade do condutor, σ é a condutividade do condutor, I 1(.), I 0 (.), K 1 (.) e K 0 (.) são funções de Bessel do primeiro tipo de ordem 1 e 0, e funções de Bessel do segundo tipo de ordem 1 e zero respectivamente. Na Cable Constants aproximações polinomiais para a representação das funções de Bessel são usadas. Estas aproximações são bastantes precisas e possuem um pequeno erro. A referência [6] apresenta um exemplo destas aproximações. A estrutura do arquivo de dados da Cable Parameters é bem distinta da Line Constants. A começar pelos dados de entrada, enquanto na Line Constants usa-se o valor da resistência dc em Ω/km, a Cable Parameters usa o valor da resistividade, o que nem sempre é disponível. Felizmente sabendo as dimensões do condutor é possível calcular a resistividade do condutor através da equação: ρ = r dc A
(5)
onde r dc é a resistência unitária do condutor, e A é a área do condutor. A eliminação do feixe de condutores, reduzindo-o a um condutor equivalente por fase, também é feita de forma distinta da Line Constants . A Cable Parameters aproxima através do raio médio geométrico o efeito do feixe, enquanto a Line Constants calcula os parâmetros para cada condutor e depois obtêm o condutor equivalente através do paralelismo dos condutores na mesma fase. Uma outra diferença se dá com relação o cálculo da altura média dos condutores. Diferentemente da Line Constants , a Cable Parameters considera que se V mid ou V tower são deixadas em branco o seu valor é zero. Portanto, caso disponha-se somente ¯ = V mid = V tower . da altura média dos condutores, deve-se usar V No arquivo de saída da rotina pode ser impressos as matrizes das impedâncias de fase e modais bem como a matriz de capacitâncias. Um ponto interessante é que o programa já apresenta as matrizes com os devidos valores médios, no caso do sistema transposto. Todos os parâmetros devem ser especificados tendo o metro como parâmetro de comprimento. Esta ação impede que o modelo convencional (linhas transpostas) com parâmetros distribuídos, usando a transformação da eq.(3), seja usado, pois este modelo supõe o uso da distância em km. O uso da distância em metros para um circuito é possível através do modelo de K.C. Lee [3, capítulo IV], onde qualquer unidade corrente de distância pode ser usada e a matriz de transformação entre o domínio modal e o de fase é especificada após os dados da linha. 4
4
Parâmetros da Linha
A configuração do sistema exemplo é apresentada na Tabela 1. Conforme dito anteriormente os condutores de fase são 3x954MCM e com dois cabos pára-raios é de 3/8. Os parâmetros foram calculados para a freqüência de 60Hz. Tabela 1: Espaçamento entre os condutores Distância (m) Fase a Fase b Fase c Para-raio Horizontal -9.75 0.0 9.75 ±7.98 Vertical 16 21.60 16.0 25.90
4.1
Sistema transposto
As equações (6) e (7) apresentam, respectivamente, os parâmetros unitários das linhas de transmissão em Ω/km, para o sistema totalmente transposto. Os subscritos lc e cp indicam a rotina usada para a obtenção destas matrizes. A diferenças ocorrem em torno da quarta casa decimal. Rslc
Xslc
0.142955 = 0.119925
0.119925 0.119925 0.142946 0.119923 0.119923 0.142955 0.119925 Rscp = 0.119923 0.142946 0.119923 0.119925 0.119925 0.142955 0.119923 0.119923 0.142946
0.7047786 = 0.357808
(6)
0 .357808 0.357808 0.704805 0.357812 0.357812 0.704779 0.357808 Xscp = 0.357812 0.704805 0.357812 0.357808 0.357808 0.704779 0.357812 0.357812 0.704805 (7)
A eq.(8) mostra as matrizes de capacitâncias calculadas pelas subrotinas em nF/km. Similar ao caso da impedância série da linha, as diferenças ocorrem em torno da quarta casa decimal. Clc
11.27162 = −1.42467 −1.42467
−1.42467 −1.42467 11.27162 −1.42467 C −1.42467 11.27162
cp
11.27107 = −1.42457 −1.42457
−1.42457 −1.42457 11.27107 −1.42457 −1.42457 11.27107 (8)
A impedância característica é então calculada como: Zcaract =
Zs Y
(9)
onde Zs é a matriz de impedância série e Y = jωC é a matriz de admitância. Para uma matriz diagonal o cálculo de (9) é trivial mas para matrizes cheias é necessário usar métodos envolvendo autovalores e autovetores. O processo de calcular a impedância característica nada mais é que um problema de cálculo de autovalores e autovetores. No ATP-EMTP a impedância característica é 5
calculada no domínio modal onde as matrizes envolvidas são diagonais, o valor da matriz no domínio de fases é obtido através da transformação inversa entre fase→modal. Para o sistema transposto a diagonalização é feita usando a transformação de Clarke, eq.(3). A Tabela 2 mostra os parâmetros de seqüência calculados pela Line Constants . Tabela 2: Parâmetros de seqüência calculados pela Line Constants Seqüência Zero Positiva Z caract (Ω) 680.670 −7.54159 269.538 −1.89872 v (km/s) 175957 292376 R (Ω/km) .382804 .0230303 X (Ω/km) 1.42039 .346972 B ( µS/km) 3.17513 4.78639 Os autovalores calculados pela Line Constants (impedância característica de seqüência zero e positiva foram verificados através do cálculo dos autovalores da matriz de impedância característica em coordenadas de fase obtida através da eq.(9)
674.774 −7.5416 Λ=
269.386 −1.8987
269.386 −1.8987
(10)
Assumindo os valores calculados pelo programa matemático como sendo a referência os erros encontrados ficam abaixo de 1%, caso os valores obtidos pelo ATP-EMTP como referência os erros ficam abaixo de 0.9%. Como já dito anteriormente, a Cable Parameters não usa o modelo de linha transposta pois as distâncias estão em metros. Ao invés, a rotina usa uma subrotina semelhante a EISPACK[6, 4] para o cálculo dos autovalores e autovetores. Para o exemplo apresentado aqui, considerando o circuito totalmente transposto, A matriz de transformação de corrente em 60Hz é dada por: Ti
−1 − 32 2 0 −1 32
1 1 = 1 3 1
(11)
e Ti = Tt v , onde Tv é a matriz de transformação de tensão. A impedância modal e a admitância modal são obtidas através da eq(12). 1 Zmodal = T− v Zs Ti
Ymodal = T−1 Ys Tv
(12)
i
A Tabela 3 mostra os resultados da Cable Parameters. Deve-se notar que as rotina calcula três modos para a linha de transmissão, o que a príncipio parece ate contradição vista que teoricamente a linha deveria ter apenas dois modos. Contudo, enquanto a constante de propagação modal e consequentemente, a velocidade de propagação do modo são unicamente definidos, o mesmo não ocorre com a impedância série e a admitância nas coordenadas modais e, naturalmente, acarreta em uma matriz de impedância característica modal não única. Isto ocorre devido a ambigüidade nos autovetores. Impedâncias, 6
ou admitâncias, modais só fazem sentidos quando especificadas juntamente com os autovetores correspondentes. É por esta razão que as impedâncias características modais diferem nas Tabelas 3 e 2, todavia as velocidades de propagação dos modos são bem próximas os modos Linha e Entrelinha trafegam com a mesma velocidade que o modo de seqüência positiva calculada pela Line Constants , o mesmo acontecendo com os modos de seqüência zero ou modo terra. A diferença entre estas velocidades é de cerca de 2km/s, abaixo de 0.0015%. Tabela 3: Parâmetros modais calculados pela Cable Parameters Modos Modo 1 Modo 2 Modo 3 Z surto (Ω) 226.897 −7.5 199.111 −25.6 134.7027 −1.9 v (km/s) 175959 292374 292374 R (Ω/km) .1275971 0.01534930 0.01151197 X (Ω/km) .4734762 0.2313289 0.1734966 B ( µS/km) 9.524975 7.179218 9.572291
Note-se que estes modos são combinações lineares dos valores de seqüência zero e positiva. Para 60Hz a relação é a seguinte: modo1
= 13 Z 0 ;
modo2
= 32 Z pos ;
modo3
= 12 Z pos ;
• Z • Z • Z 4.2
Sistema não transposto
Na linha não-transposta surge um segundo modo, comente chamado de modo entrelinha, lembrando que para um sistema de N-condutores haverá N-modos.
Rslc
0.1393455 = 0.1218122
0.1218122 0.1161497 0.1393354 0.1218010 0 .1161475 0.1501741 0.1218122 Rscp = 0.1218010 0.1501686 0 .1218010 0.1161497 0.1218122 0.1393455 0.1161475 0.1218010 0 .1393354 (13)
Xslc
0.706526 = 0.370770
Clc
11.20941 = −1.812248
0.370770 0.331883 0.701284 0.370770 0.331883 0.370770 0.706526
−0.6495027
Xscp
0.70654936 = 0.37077924
−1.812248 −0.6495027 11.396050 −1.8122520 −1.812252 11.209410 7
0 .37077924 0.33187697 0 .70131658 0.37077924 0.33187697 0 .37077924 0.70654936 (14)
Clc
11.20895 = −1.8122513 −6.4921623
−1.81225 −0.64922 11.39531 −1.81225 −1.81225 11.20895 (15)
5
Testes Transitórios
Para testar os modelos de linha obtidos com as rotinas, mas especificamente o modelo de parâmetros distribuídos constante, realizou-se dois testes relativamente simples: energização direta da Linha de Transmissão com um terminal em aberto e curto circuito terminal na linha. A Fig.1 mostra o unifilar para estes testes. Note-se que ele não visa avaliar as sobretensões ocorridas na linha, nem se o modelo é o mais adequado para este cálculo. Hevia em [7] apresenta os resultados comparativos da tensão terminal para os possíveis modelos de linha disponíveis no ATP-EMTP. 500kV 60Hz
Figura 1: Unifilar do sistema para testes transitórios A Fig.2 mostra a tensão terminal na fase “a” para o caso da energização direta considerando tanto o sistema transposto como não transposto. Como pode-se ver que os resultados obtidos com as duas rotinas são quase idênticos. Há uma mínima diferença de fase e, após o sistema entrar em regime, em torno de 400ms, a diferença entre os resultados fica em torno de 300V, menos de 0.08%. Semelhante resultado é encontrado nas demais fases. 800
800
CP LC
600 400
400
200 ) V k (
200 ) V k (
0
V
0
V
−200
−200
−400
−400
−600
−600
−800 0
CP LC
600
50
100 tempo (ms)
150
200
(a) Sistema transposto
−800 0
50
100 tempo (ms)
150
200
(b) Sistema não transposto
Figura 2: Tensão Terminal da Linha de Transmissão No caso do curto circuito trifásico a diferença entre as correntes é uma curva senoidal de valor máximo igual a 3.4A, enquanto a corrente de curto é de 5659A. Portanto a diferença fica em torno de 0.06%, abaixo até do encontrado no caso da energização. Para o 8
curto monofásico tanto as correntes nas fases sãs como a corrente de falta foram basicamente as mesmas. O curto circuito monofásico apresentou comportamento semelhante no que se refere à equivalência de resultados obtidos com os modelos obtidos através das rotinas. A Fig. 3(a) mostra a tensão em uma das fases sãs para o curto monofásico, e nota-se que mais uma vez os resultados são basicamente idênticos. A Fig. 3(b) mostra a diferença entre as correntes de curto obtidas com o sistema usando os parâmetros calculados pela Line Constants e pela Cable Parameters. 30
800
CP LC
600
20
400
10 200 ) V k (
) A ( I
0
V
−200
0
−10
−400
−20 −600 −800 0
50
100 tempo (ms)
150
200
(a) Tensão de na fase “b” durante o curtocircuito monofásico
−30 0
50
100 tempo (ms)
150
200
(b) Diferença entre as correntes calculadas pela Line Constants e pela Cable Parameters
Figura 3: Curto-Circuito Monofásico
6
Variação dos Parâmetros com a Freqüência
Ambas as rotinas são capazes de calcular as matrizes de impedância série e admitância para várias freqüências [3, XXI-D]. Portanto, é importante avaliar qual o comportamento das rotinas em uma faixa larga de freqüência, notadamente para avaliar se existem diferenças sensíveis nos resultados em baixas ou altas freqüências devido aos diferentes equacionamentos apresentados nas rotinas como: possíveis diferenças entre as fórmulas de Carson, usadas pela Line Constants com relação as fórmulas de Pollaczek, usadas pela Cable Parameters, ou até erros nas aproximações usadas para estas representações. Calculou-se as impedâncias de seqüência positiva e zero para uma faixa de freqüência de 6mHz até 60MHz. A Cable Parameters não calcula os parâmetros de seqüência positiva e zero sendo necessário obtê-los através da seguinte equação: Z pos = Z s
− Z
m
Z 0 = Z s + 2 Z m
(16)
onde Z s é a impedância série e Z m é a impedância mútua. Naturalmente este valor tem que ser recalculado para cada freqüência. A Fig.4 mostra a variação dos parâmetros de seqüência positiva e onde R1 é o valor da resistência calculado pela Line Constants e R1cp , o valor calculado pela Cable Parameters. A Fig.5 apresenta os parâmetros de seqüência zero. 9
1
10
1
R
L
1
R 1cp
L
1
1cp
0.95 0
10
) m k /
) m k / H 0.9 m ( L
Ω
( R −1
10
0.85
−2
10
0
−2
10
2
10
10
4
10
0.8
6
−2
10
10
0
10
f(Hz)
2
10
6
4
10
10
f(Hz)
(a) R pos
(b) L pos
Figura 4: Parâmetros de seqüência Positiva em função da freqüência
3
10
8
R
L
0
0
R 0cp
2
10
L 0cp 6
1
10 ) m k /
) m k / 4 H m ( L
Ω ( R
0
10
2
−1
10
−2
10
−2
10
0
2
10
10
4
10
0
6
10
−2
10
f(Hz)
0
10
2
10
4
10
6
10
f(Hz)
(a) R zero
(b) L zero
Figura 5: Parâmetros de seqüência Zero em função da freqüência
7
Conclusão
Este trabalho apresentou uma drescrição das rotinas usadas pelo ATP-EMTP para o cálculo dos parâmetros de linhas de transmissão. As matrizes calculadas pelos dois programas são essencialmente iguais. Com relação a matriz de capacitância esta igualdade não é uma surpresa pois os valores das capacitâncias são decididos pela matriz de Potencial de Maxwell e esta por sua vez depende das distâncias e dimensões dos condutores. É interessante notar apesar de usarem métodos distintos para o cálculo da matriz de impedância série há entre as subrotinas uma forte concordância. Em termos do arquivo de dados, os modelos obtidos são bem distintos, Caso se compare apenas os valores modais, os modelos obtidos são bem distintos, mas levando em conta a matriz de transformação a representação do sistema torna-se bastante similar. Isto 10
era esperado pois as matrizes que descrevem a linha calculadas pelas rotinas são bastantes semelhantes. A comparação dos parâmetros com a freqüência mostra que as rotinas calculam parâmetros aproximadamente iguais para um larga faixa de freqüência, de alguns mHz até a casa dos MHz. Vale ressaltar que para freqüências mais baixas, as diferenças se situavam em torno da quarta casa decimal, enquanto para freqüências mais altas esta diferença chega a segunda casa decimal. É possível que acha uma freqüência limite acima da qual os valores encontrados pelas rotinas não mais coincidem. Contudo este valor seria atingido num freqüência tal elevada além da faixa de interesse de estudos típicos de transitórios. Em todos os casos estudados, as rotinas obtiveram matrizes de capacitância que são constantes (independentes da freqüência). A alta concordância apresentado nos casos estudados não garante que, para todos os casos possíveis, o mesmo ocorra. Estudos adicionais envolvendo outras configurações, como por exemplo circuito duplo vertical, são necessários para se avaliar corretamente a equivalência entre as rotinas.
Referências [1] L. M. Wedepohl, “Application of matrix methods to the solution of travelling-wave phenomena in polyphase systems,” Proc. IEE , vol. 110, pp. 2200–2212, Dec 1963. [2] M. H. Hesse, “Electromagnetic and electrostatic transmission-line parameters by digital computer,” IEEE Trans. on PAS , vol. 82, pp. 282–290, Jan. 1963. [3] Leuven EMTP Center–LEC, ed., Alternative Transients Program Rule Book . K.U. Leuven, July 1987. [4] H. Dommel, Electromagnetic Transients Program Reference Manual— EMTP Theory Book . BPA, 1986. [5] A. Ametani, “A general formulation of impedance and admittance of cables,” IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-99, pp. 902–910, May 1980. [6] W. Press, S. Teukolsky, W. Vettering, and B. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77 . Cambridge University Press, 2nd ed., 1996. [7] O. Hevia, “Comparación de los modelos de línea del atp,” Revista Iberoamericana del ATP, Marzo 1999. http://iitree.ing.unlp.edu.ar/estudios/caue/Vol1_Num1.htm.
11
