SCG-XI Congreso Colombiano de Geotecnia, ISBN 958-33-9676-1
Cálculo de probabilidad de falla para taludes mineros y su aplicación en un Talud Talud de las Minas de Agregados del Tunjuelo en Bogota D.C. Probability of failure for mine slope and application in slope of gravel open pit in Tunjuelo Bogota D.C. Isabel C. Gómez Geotecnista, Rocas y Minerales Ltda.
J. Jairo Silva Geotecnista, Rocas y Minerales Ltda.
Pedro A. Hernández Geotecnista, Rocas y Minerales Ltda. Profesor de cátedra, Universidad Nacional de Colombia
Resumen Se presentan las hipótesis de trabajo para el tratamiento de las variables que intervienen el problema de la estimación de la estabilidad de un talud minero, ya sea determinístico o probabilístico. Se presentan los principios teóricos básicos del cálculo de probabilidades de falla por medio del método de estimación puntual (MEP) y Simulación de Monte Carlo. Los resultados de estos métodos se comparan con la propuesta de Hernandez (2001), llamado aquí, método de los parámetros requeridos (MPR). La comparación se hace por medio del cálculo de probabilidad de falla, con los métodos mencionados, en un talud minero en el Cono del Tunjuelo al sur de la ciudad de Bogotá.
Abstract The work hypothesis for managing the variables involved in the problem of the estimation of the stability of a mine slope are presented, either deterministic or probabilistic. The basic theoretical principles of probabilistic calculations of fault are presented through Punctual Estimation Method (PEM) and Monte Carlo Simulation. The results of such methods are compared with Hernandez proposal (2001), named in this article as Required Parameters Method (RPM). The comparison is done using probabilistic calculations of fault, with the mentioned methods, in a mine slope located in the Cono of Tunjuelo, in the south of Bogotá city.
1INTRODUCCIÓN
adquirido una Base de Datos, BD, de la caracterización geomecánica de los materiales que conforman los taludes de la zona. Esta BD, incluye resultados de análisis retrospectivos y ensayos de laboratorio. En este artículo, se ha querido aprovechar esta información para realizar una labor de contraste entre tres tipos de metodologías para el cálculo de la P falla de un talud. Las metodologías utilizadas son: Método de Estimación Puntual, MEP, Simulación de Monte
Para la evaluación de la Probabilidad de falla, P falla, de taludes se cuenta con diversas metodologías basadas en diferentes hipótesis de trabajo acorde con los niveles de información que se disponga de una zona a analizar. Rocas y Minerales Ltda., RyM, ha realizado actividades de consultoría geotécnica a las empresas CEMEX S.A. y HOLCIM S.A. en las Minas de Agregados de la zona del Tunjuelo al sur de Bogota D.C. Dentro de esta labor ha
99
Carlo y Método de los Parámetros Requeridos, MPR.
Para suelos, por lo general, se trabaja con la envolvente de Mohr Coulomb: cohesión, c, y fricción, φ , y para macizos rocosos se trabaja con la envolvente de Hoek: σ c, m y s (Hoek, 1998). Las variaciones de estos parámetros se obtienen a partir de análisis retrospectivos, resultados de ensayos de campo, resultados de ensayos de laboratorio y referencias bibliográficas, en situaciones excepcionales. Una primera hipótesis para el cálculo de P falla, en cuanto a los parámetros de resistencia, es considerar que la Esperanza y los primeros Momentos de las variable no tienen variabilidad en el espacio (El-Ramly et al. 2002). Así, teniendo en cuenta lo anterior, se debe estimar la Función de Distribución de Probabilidades, pdf, de estas variables aleatorias. Los parámetros que describen la pdf de una variable son la Media aritmética E[x], la varianza, 3 Var[x], el sesgo E[x-E(x)] , la Kurtosis E[x4 E(x)] , el valor mínimo de x y el valor máximo de x (Miller y Kahn, 1962 y Hoek, 1998). Si se cuenta sólo con información que permita conocer el valor de la media y la desviación estándar, lo recomendable es trabajar con pdf Normal o Log normal. A medida que se cuente con mayor información de la variable es adecuado trabajar con pdf Beta. Esta pdf es aconsejable para problemas de Ingeniería Civil (Harr, 1996). En caso de modelos geológicos complejos o estratificados en que se cuente con varios materiales, se recomienda primero efectuar un análisis de sensibilidad para establecer el material que controla la estabilidad del talud para ser tomado como el principal material en los análisis de probabilidad.
2CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE FALLA DE UN TALUD 2.1 Hipótesis de trabajo
Para el cálculo de estabilidad de taludes, se deben tener en cuenta las siguientes variables: -
El modelo geológico del área La geometría del talud Los valores de los parámetros geomecánicos de los materiales Condición del agua en la masa del suelo o macizo rocoso Fuerzas externas causadas por vibraciones ocasionadas por maquinaria o por sismos Métodos de análisis Superficie de falla más probable
A continuación se hace una breve discusión de cada una de estas variables y se presentan algunas hipótesis de trabajo que es necesario hacer en el caso de taludes mineros. 2.1.1 Geología Para el análisis de estabilidad de taludes se hace esencial la elaboración de modelos geológicos confiables, basados en información de sensores remotos, de campo y exploración del subsuelo. Por ejemplo, se pueden presentar casos de taludes en zonas estratificadas en las que capas gruesas de materiales competentes yacen sobre láminas de materiales con baja resistencia por los cuales se puede presentar la inestabilidad. Así, desarrollado un modelo geológico confiable, este modelo pasará a ser una variable determinística dentro del problema.
2.1.4 Condición del Agua La presión de poros es una variable temporal y espacial que dependerá de los periodos de retorno de las lluvias en el área del talud, de la geología, la geomorfología, las obras de drenaje y el programa de mantenimiento de los taludes. Frente a la complejidad del cálculo de la pdf de las presiones de poros en la masa del talud, se puede proceder así: - Cuando se cuenta con un modelo geológico e hidrogeológico, con un buen programa de monitoreo de niveles pizometricos y de aguas que se drenan, se pueden realizar modelos de redes de flujo para diferentes condiciones de agua dentro del talud y por lo tanto estimar de manera adecuada las variaciones de las presiones de poros en la masa del talud.
2.1.2 Geometría del Talud Se considera la condición geométrica del talud desde el principio de su conformación (ya sea corte o relleno), su condición actual y su condición futura, dentro del planeamiento que se tenga de la mina. De esta manera, al igual que en el caso de la geología, para los análisis efectuados, la geometría del talud pasará a ser una variable determinística. 2.1.3 Parámetros geomecánicos Estos parámetros se refieren al peso unitario de los materiales y a las constantes de las curvas de las envolventes de resistencia de los suelos o macizos rocosos. 100
-
En el caso de fallas planares o compuestas, la superficie crítica estará determinada por el modelo cinemático del área que se analiza. En cuanto a la escogencia de la superficie de falla, el análisis de mínimo global no deja de ser una hipótesis ya que se ha encontrado que no necesariamente la superficie en condiciones más críticas es la de mayor P falla (El-Ramly et al. 2002).
Cuando no se cuenta con suficiente información para modelar la red de flujo del talud, es adecuado trabajar con el parámetro ru (hw/hγ).
Si no se cuenta con información temporal y espacial suficiente que permita asignar una pdf a la condición del agua, se recomienda utilizar, de manera conservadora, la condición de agua más crítica que se espera dentro de la vida útil del talud y asumir que siempre se presentará esta condición crítica. Esto es recomendable para taludes mineros finales próximos al abandono de la Mina.
2.2 Métodos para el cálculo de probabilidad de falla utilizados en este artículo Según Harr (1996) y El-Ramly et al. (2002) existen tres tipos de metodologías para el cálculo de la P falla. Los métodos de Integración Numérica y Simulación de Monte Carlo, los Métodos aproximados entre los que están los Métodos de Momentos de primero y segundo orden y los Métodos de Estimación Puntual. Además de estos métodos, en este artículo se presenta el Método de los Parámetros Requeridos (Hernández, 2001). Aquí es importante puntualizar en el significado del coeficiente de correlación, ρ c,φ , entre c y φ . El coeficiente de correlación es la medida de la tendencia de dos variables de cambiar juntas (Harr, 1996). Para el presente articulo se considera que ρ c,φ es cero, esto es, c y φ no son correlacionables. Como premisa básica, se considera el Factor de seguridad, Fs, como una variable aleatoria en que
2.1.5 Sismo El sismo se incluye en el análisis seudo-estático como una fuerza horizontal ocasionada por la aceleración que presentan las partículas de la masa del talud debido al sismo. Para escoger la aceleración horizontal máxima y las probabilidades de excedencia para un periodo de retorno dado se deben consultar las Normas de los Códigos de Construcción de la zona en que se encuentra ubicado el Talud. 2.1.6 Método de Análisis Para el análisis de estabilidad se cuenta, entre otros, con los métodos clásicos de Equilibrio Límite y con técnicas de Reducción del Esfuerzo Cortante disponible en métodos de Elementos Finitos (Hammah et al., 2005). Esto último, gracias a los desarrollos computacionales recientes de programas de Elementos Finitos para geotecnia. Sin embargo, los autores de este articulo consideran adecuado, por ahora, seguir trabajando con los métodos de Equilibrio Límite debido a la corta experiencia práctica que se tiene en el medio de la aplicación de métodos de cálculo más sofisticados, que a su vez exigen la realización de ensayos de laboratorio y modelos de comportamiento del suelo más complejos.
Fs = f (c,φ )
(1)
En el presente artículo, sólo se consideraran como variables aleatorias c y φ . Se asumirá que el peso unitario y la condición del agua son variables determinísticas. Además, para todos los análisis de estabilidad se ha utilizando el Método de Equilibrio Límite de Bishop simplificado. Para taludes no homogéneos, se definen las pdf de c y φ ´ de los materiales que se consideran involucrados de manera importante en la estabilidad del talud y que de alguna manera controlan el tipo de falla. Esto se deduce ya sea por un análisis geológico o por un análisis de sensibilidad.
2.1.7 Superficie crítica En el caso de la superficie crítica a analizar, existen dos opciones (www.rocscience.com): una corresponde a definir una superficie de falla deterministica a partir de los parámetros de resistencia promedio, y unas condiciones de agua y de sismo dadas y luego determinar su P falla. Otra opción es, a cada una de las superficies críticas calculadas determinar la P falla para unas condiciones de agua y sismo dadas.
2.2.1 Método de estimación puntual (PEM) Rosenblueth (1975) y Rosenblueth (1981 en Harr, 1996) presenta el PEM para evaluar la Esperanza (media aritmética) y los primeros Momentos (varianza, sesgo y curtosis) de una variable aleatoria:
101
y = f ( x1, x2,..., xn)
Donde Ψ(h) es la integral de la distribución normal para un valor de Fs menor a 1.0. La función Ψ(h) se puede determinar con la ayuda de las tablas para tal fin que se encuentran en los libros de estadística básica.
(2)
dado que se conozcan la Esperanza y los primeros Momentos de las variables x1 , x2 ,...,xn. Así, aplicado para la estimación de la P falla de un talud se parte de la Ecuación (1), conociendo la esperanza y la varianza de c y φ , y el coeficiente de correlación, ρ c,φ , de estas variables. Así, se calcula c+= cm+σc c- = cm−σc c+= cm+σc c- = cm−σc
φ += φ m+σφ φ −= φ m−σφ φ −= φ m−σφ φ += φ m+σφ
2.2.2 Simulación de Monte Carlo Para la aplicación de este método se utilizó el programa SLIDE 5.0. El programa en general, procede de la siguiente manera (www.rocscience.com): Estima las pdf de los materiales, luego, selecciona, de manera aleatoria, valores de c y φ , basados en las pdf dadas. Con esta muestra se calcula el Fs de una superficie de falla dada. El procedimiento se repite un número dado de veces, N , así se tiene que:
Fs++ Fs - Fs+ Fs -+
Donde cm es la media de la c y σc es la desviación estándar de la c. φ m corresponde a la media de la φ y σφ es la desviación estándar de la φ . Fs++, Fs--, Fs+-, Fs-+ son los Fs de seguridad del talud para las combinaciones dadas. Estos Fs no necesariamente corresponden a una sola superficie crítica. Corresponden a las superficies críticas dadas las combinaciones de c y φ . La probabilidad de que ocurra una de las combinaciones dadas arriba (++, --, +-, -+) esta dada por p++ = p−− = p+− = p−+ =
1 4 1 4
(1+ ρ c,φ )
P falla
(3)
E [Fs] = Σ pij Fsij
(4)
σ [Fs] = Var ( Fs)
De esta manera se obtiene la media, E[Fs], y la desviación estándar, σ[Fs], del Fs. Con este nivel de información sólo se puede asumir que la pdf del Fs sea Normal. (Harr, 1996). Como ya se ha asignado la pdf al Fs y se conocen la esperanza y la varianza, para el cálculo de P falla definida como la probabilidad de que Fs<1 se tiene que:
P falla
N
f (c tanφ ) = f (c) f (tanφ )
(6)
(8)
Ya que f(c) y f (tanφ ) son pdf, las áreas bajo estas curvas es 1.0. Por lo tanto, f (c tanφ ) representa un volumen de 1.0, lo que se puede observar en la Figura 2.
⎛ E ( Fs) − 1.0 ⎞ 1 ⎟⎟ = − Ψ⎜⎜ 2 ⎝ σ ( Fs) ⎠ (5)
ó
<1
2.2.3 Método de los parámetros requeridos (MPR) Metodología propuesta por Hernández (2001). A continuación se explica esta metodología tal como los autores del presente artículo la han aplicado. Esta propuesta se basa en las cartas de estabilidad de tanφ vs. Número de estabilidad . Estas cartas se encuentran en la literatura para diferentes condiciones de agua, sismo, geometrías de talud, etc. Así, sea una carta tanφ vs. c en que se han graficado puntos de combinaciones de c y tanφ requeridos para alcanzar el equilibrio, esto es para que el Talud tenga un Fs=1, dados diferentes valores de aceleración horizontal. Las curvas unen puntos de igual Fs. Esto se muestran en la Figura 1 en la línea conformada por los tres puntos que se observan en la gráfica. Asumiendo que c y φ no son correlacionables ( ρ c,φ =0) y f (c) es la pdf de c y f (tanφ ) es la pdf de tanφ se tiene que:
Así, la esperanza, la varianza y la desviación estándar del Fs son:
P falla
NúmeroFs
Este método permite obtener la pdf del Fs. Además, es posible trabajar con cualquier pdf para las variables el problema.
(1− ρ c,φ )
2 2 Var ( Fs) = E [ Fs ] − ( E [Fs])
=
1
= − Ψ(h) 2
102
3.1 Geología y geometría del talud
C
En el sector conocido como el Cono del Río Tunjuelito, sobre la Formación Río Tunjuelito, la explotación minera ha conducido a un escenario de agotamiento del yacimiento en algunos sitios y a la conformación, en estos sitios, de rellenos antrópicos como el que se muestra en la Figura 3. Estos rellenos quedan apoyados sobre superficies de discordancia de origen antrópico, de las cuales es importante conocer su geometría final porque pueden, en determinas circunstancias, ser las superficies críticas de procesos de inestabilidad. Los rellenos están conformados por materiales estériles provenientes de la labor de descapote y del proceso de trituración y lavado. Por lo tanto, son depósitos con materiales de granulometría arcillo-limosa con algunos guijarros, cantos y gravas subredondeados de areniscas cuarzosas. La compactación normalmente la hacen con el paso de camiones mineros y de tractor. En los remanentes del depósito in situ se encuentran intercalaciones de cantos, gravas cementados y arenas con capas de arcillas con contenido orgánico variable.
C max
Combinación de c y Ø requeridos para Fs=1 bajo unas acciones determinadas
8
C min
1
) n i m Ø ( n a t
0 ) x a m Ø ( n a t
tanØ
Zona donde el volumen es la probabilidad de falla para las acciones dadas
Figura 1 Carta tanφ vs. c y curvas que unen puntos para Fs=1 ´
3.2 Análisis estadístico de las propiedades mecánicas de los suelos del Abanico del Tunjuelo Los materiales de la zona se han agrupado, desde el punto de vista geotécnico como: Terciario: Rocas sedimentarias básicamente arcillolitas y areniscas rojizas altamente meteorizadas en la superficie de discordancia. En las Tablas 2, 3 y 4 se observan sus propiedades geomecánicas.
Figura 2 Función de pdf de f (c tanφ ). Así, se tiene un volumen en el espacio tanφ vs. c vs. f (c tanφ ). Si las curvas mostradas en la Figura 1 se llevan al mencionado espacio, se tiene que la P falla es el volumen que representa la zona cortada por una de estas curvas en la Figura 2.
Cuaternario Fluvio-torrencial y Aluvial 1: Intercalaciones de capas de arenas y gravas, arcillas grises y negras y bloques y gravas cementadas (Conglomerado). En las Tablas 2, 3 y 4 se observan los valores de sus propiedades geomecánicas. En la Figura 4 se muestra la ubicación en la Carta de Casagrande de la fracción fina de las arenas y gravas y de las arcillas grises y negras, clasificadas como arcillas de baja plasticidad. Además, en clasificación de campo se han ubicado varias capas de Turbas, que en la Carta de Casagrande se han clasificado como arcillas de alta plasticidad y como orgánicos de alta plasticidad. En la Tabla 3 se observa que algunas arenas presentan valores altos de c. Esto se puede explicar debido al contenido de finos en estos
3CÁLCULO DE PROBABILIDAD DE FALLA PARA UN TALUD MINERO. A continuación se presenta el cálculo de P falla de un talud minero en el Cono del Tunjuelo al sur de la ciudad de Bogotá. A continuación se muestra como RyM a procedido para el cálculo de P falla en los taludes de esta zona.
103
materiales (en promedio 20%) como se observa en la Figura 5.
Cuaternario Antrópico: Rellenos, ya sea botaderos de escombros, lagunas de sedimentación o terraplenes. Estos materiales se han clasificado como arcillas de baja plasticidad (Figura 4).
Cuaternario Aluvial 2: Arcillas terracota de baja plasticidad (Figura 4). Yace sobre el Cuaternario Fluvio-torrencial Aluvial 1. En las Tablas 2, 3 y 4 se observan sus propiedades geomecánicas. S O R E T R O M A T N A L P
Qar.t
ESCOMBRERA DE SANTA MARIA
LAGO SANTA MARIA
Qal.l
Plano de falla 04/96 Nivel agua
Qra.d Drenaje
?
Perforacion Perforación (Proyc.)
?
Perforación (Proyc.)
Terciario ? D i s c o r d a n c i a Acuiferos
?
?
? FORMACIÓN UNE
Figura 3 Perfil Geológico – Geotécnico para análisis
Tabla 2. Pesos unitarios promedio. Material
Número de Peso unitario observaciones (KN/m3)
Arenas y gravas Arcillas grises y negras Relleno Turbas Arcillas terracota Conglomerados Roca meteorizada
22 50 33 4 9 12 4
19.82 18.93 19.91 15.21 19.23 22.27 22.07
2
Tabla 3. Cohesión KN/m . Material
Número de Valor medio observaciones
Desviación estándar
Arenas y gravas con 20% de finos 22 16.68 17.66 Arcillas grises y negras 50 20.20 24.53 Rellenos 28 24.53 16.68 Turbas** 3 41.20 Arcillas terracota** 9 32.37 Conglomerado (La Fiscala)* 164.81 Conglomerado (Santa. María)* 196.20 Roca Meteorizada** 4 4061.34 * Parámetros deducidos por análisis retrospectivos ** Parámetros deducidos por ensayos de laboratorio y análisis retrospectivos
104
Valor Mínimo
0 0 0
Valor Máximo
64.75 147.15 71.65
Tabla 4. Fricción. Material
Número de Valor medio observaciones
Desviación estándar
Valor Mínimo
Arenas y gravas con 20% de finos 22 32.86 6.32 Arcillas grises y negras 50 20.71 5.87 Rellenos 28 23.65 6.92 Turbas** 3 23.73 Arcillas terracota** 9 18.07 Conglomerado (La Fiscala)* 38 Conglomerado (Santa. María)* 21 Roca Meteorizada** 4 24.65 * Parámetros deducidos por análisis retrospectivos ** Parámetros deducidos por ensayos de laboratorio y análisis retrospectivos
Valor Máximo
19.7 5.1 12.7
43 33.2 45
80
70
60 d a d i c i t s a l P e d e c i d n Í
CH
50
OH - MH CL
40
30 Finos de arenas y gravas
20
Arcillas negras y grises Rellenos
10
Turbas
CL-ML
OL - ML
Arcillas Terracota
ML
0 0
10
20
30
40
50
60 70 Límite Liquido
80
90
100
110
120
Figura 4 Cartas de Casa Grande. 100 90
Arenas y gravas Arcillas negras y grises Rellenos Arcillas terracota
80 70 ) % ( o d i n e t n o C
60 50 40 30 20 10 0 Gravas
Arenas
Finos
Figura 5 Granulometrías promedio de los materiales. Número de observaciones: 85 105
130
Dado que se tiene un número de observaciones aceptable es posible, en este caso, establecer una relación entre los parámetros de resistencia c y φ , de los diferentes materiales, esta correlación se consigna en la Tabla 5. No obstante, a esta BD no se le ha realizado análisis de valores extremos, así, es posible que la correlación sea mayor.
P falla= 13.1% P falla= 26.8% P falla= 48.4%
3.3.2 Método de simulación de Monte Carlo Como se ha mencionado, con la ayuda del programa SLIDE, al hacer el análisis con esta herramienta, se obtienen los siguientes resultados para este talud:
Tabla 5. Coeficientes de correlación ρ c,φ . Material
Número de observaciones
ρ c,φ
22 50 28
Arenas y gravas Arcillas grises y negras Rellenos
P falla = 11.1% P falla = 23.6% P falla = 43.8%
0.37 -0.41 -0.11
En el caso del talud analizado (Figura 3), luego de un análisis de sensibilidad, se establece que la superficie crítica esta controlada por el relleno, por lo que los análisis se centran en este material. Se tomo un valor de ru constante de 0.25 y se consideró que c y φ no son correlacionables.
P falla = 4.1% P falla = 18.9% P falla = 38.2%
Para los análisis de estabilidad de taludes, ya sean determinísticos o probabilísticos se hace esencial la realización de un modelo geológico confiable que permita hacer inferencias sobre las presiones de poros, las geometrías de falla y los análisis de sensibilidad pertinentes. Si se cuenta con un modelo geológico que se aleje de la realidad aumenta el nivel de incertidumbre de los análisis y ende de los resultados.
23.65º 6.92º 12.7º 45º
De los tres métodos utilizados para cálculo de probabilidad de falla, el método MEP presenta las mayores probabilidades de falla. Además, es un método con alto grado de incertidumbre. El método MPR condujo a menores probabilidades de falla.
A partir de estos valores se tiene que: 2
φ +=30.57ο φ -=16.73ο
Se recomienda utilizar el MEP cuando se cuenta con poca información sobre las variables del problema. Los métodos MPR y la Simulación de Monte Carlo son adecuados para cálculos detallados ya que permiten utilizar pdf que involucran mayor conocimiento de las variables (Distribución Beta).
Como se mencionó, se asume para efectos prácticos que ρ c,φ =0 de donde: p++ = p−− = p+− = p−+ =
para 0g para 0.1g para 0.2g
4CONCLUSIONES
3.3.1 Método de estimación Puntual Los parámetros de la c para el relleno son: 2 Media aritmética E[c]: 24.53 kN/m Desviación estándar σ[c]: 16.68 Valor mínimo de c: 0 kN/m 2 Valor máximo de c: 71.65 kN/m
c+=41.20 kN/m 2 c-=7.85 kN/m
para 0g para 0.1g para 0.2g
3.3.3 Método de los parámetros requeridos (MPR) Utilizando esta metodología, para los tres escenarios se obtienen los siguientes resultados:
3.3 Resultados obtenidos
De la misma manera los de φ son: Media aritmética E[φ ]: Desviación estándar σ[ φ ]: Valor mínimo de φ : Valor máximo de φ :
para 0g para 0.1g para 0.2g
1 4 1 4
Efectuando los análisis de estabilidad considerando los tres escenarios de aceleración horizontal de 0g, 0.1g y 0.2g se obtienen las siguientes P falla:
Si bien el método MPR es preciso y fácil de manejar, asume que c y φ no son variables correlacionables. Los métodos aproximados y la simulación de Monte Carlo permiten tener en cuenta la correlación de c y φ . Por lo anterior, se 106
Hammah, R., Yacoub, T, Corkum, B., Curran, J., (2005). " A comparison of finite element slope stability analysis wity conventional limit Equilibrium investigation" www.rocscience.com: 18. Harr, M. (1996). " Reliability-Based design in Civil Engineering" Dover Publications, Inc. Hernández, F.H. (2001). "Cálculo de probabilidad de falla de taludes" Bitácora de un Geotecnista, Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ingeniería. Volumen 1. Hoek, E. (1998). " Rock Engineering. Course notes" www.rocscience.com Miller, R.L., Kahn, J.S., (1962). " Statistical analysis in the geological sciences" Jhon Wiley Sons, Inc. Rosenblueth, E., (1975). " Point estimates for probability moments" Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Vol. 72, No. 10, pp. 3812-3814. Mathematics. www.rocscience.com " Tutorial_08_Probabilty"
considera importante realizar mayores consideraciones de carácter matemático sobre el método MPR, a pesar de ser un método muy preciso y que permite involucrar toda la información que se tenga de las variables. AGRADECIMIENTOS Rocas y Minerales Ltda. expresa su agradecimiento a Cemex Concretos de Colombia S.A. y a HOLCIM S.A. por facilitar la divulgación de la información que utiliza en este articulo. También, al Profesor Félix Hernández por discutir con los autores aspectos del presente articulo. REFERENCIAS El-Ramly, H., Morgestern, N.R., Cruden, D.M., (2002). "Probabilistic slope stability analysis for practice" Can. Geotech. J. 39: 665-683.
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