Sistemas de Bombeo
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D
Este apéndice está dedicado a los sistemas de cálculo de redes de tuberías. Se exponen cuatro métodos: Nudos, Mallas, Newton-Raphson y Lineal. Los dos primeros son aptos para el cálculo manual de sistemas sencillos, los dos últimos sólo son aplicables aplicables con ayuda ayuda de ordenador. ordenador.
A.1 PLANTEAMIENTO GENERAL En el terreno académico, los problemas de cálculo de caudales y pérdidas de carga que se suelen explicar son una sencilla combinación de algún depósito, con una bomba y una o dos ramas en paralelo (aunque los alumnos no acostumbren a estar de acuerdo con lo de sencilla). sencilla). Y uno se puede preguntar, ¿qué pasa en la vida extra-académica? (no se utiliza el término vida real porque porque la vida académica también es real). Lo cierto es que los problemas no suelen ser mucho más complicados, salvo que los datos que se necesitan hay que buscarlos -con la requemante duda de si sobran o faltan- y no se tiene cerca al siempre amable y comprensivo profesor para preguntarle las dudas, ni se puede quejar uno de que el problema está mal planteado o faltan datos y no se puede hacer. En cualquier caso, los sistemas industriales se pueden reducir casi siempre a casos sencillos, sin más complicación que un sinfín de codos, válvulas y demás accesorios, al menos en lo que a caudal y pérdidas de carga se refiere. Harina de otro costal son los problemas problemas de cavitación y transitorios transitorios que, si no se han resuelto adecuadamente adecuadamente en el diseño, pueden aparecer después de construida construida la instalación instalación y muchas veces requieren la ayuda de un especialista. Cuando el sistema se enreda -empiezan a menudear los nudos y las tuberías en
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paralelo- la dificultad aumenta, pero no de forma lineal sino cuadrática, igual que no son lineales los sistemas de ecuaciones que hay que plantear. Para estos casos se van a explicar ahora unos métodos iterativos de resolución. Los dos primeros, nudos y mallas, son adecuados para la resolución manual, mientras que el método de Newton-Raphson y el lineal sólo son adecuados para la resolución con ordenador. En el fondo estos métodos son distintas formas de resolver un sistema de ecuaciones, en el que las incógnitas son el caudal por cada tubería y las alturas en los extremos de la tubería, o la pérdida de carga en ella. Las ecuaciones a resolver son la continuidad en los nudos (uniones de tuberías):
Q= 0
(A.1)
y la pérdida de carga en las tuberías: 2
h p = H j - H i = k Q
(A.2)
Téngase en cuenta que la resistencia de la tubería, k , no es del todo constante, sino que depende de Re. Aunque al plantear las fórmulas se va a considerar como una constante, debe corregirse en las sucesivas iteraciones.
A.2 MÉTODO DE NUDOS La idea general del método de nudos consiste en suponer unas alturas en los nudos (extremos de las tuberías) para calcular a partir de ellas el caudal que circula por cada tubería. Estas alturas se van ajustando iterativamente, hasta que se consigue hacer cumplir la ecuación de continuidad en los nudos.
A.2.1 CONDICIONES DE CONTORNO - La altura en los depósitos permanece siempre constante, sea cual sea el caudal que entre o salga. - Los caudales fijos C i que salen de un nudo también permanecen constantes independientemente de la altura del nudo.
A.2.2 CONVENIO DE SIGNOS * H i: altura del nudo i * Qij: caudal por la tubería del nudo i al j (positivo si va en la dirección i-j) * C i: caudal constante del nudo i (positivo si es saliente)
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Figura A.1 Ejemplo de sistema para el cálculo por el método de nudos
A.2.3 ECUACIONES Para calcular el caudal por la tubería i-j se utiliza: Qij =
H i - H j k ij | H i - H j |
(A.3)
De esta forma, el caudal se obtiene con el signo correcto. k ij es siempre positiva en cualquier dirección. Si hay alguna bomba en la tubería se utiliza: Qij =
H i - H j H B k ij | H i - H j H B |
(A.4)
El signo de la altura de la bomba es positivo si bombea de i a j, y negativo en caso contrario. H B depende del caudal, y a veces se puede modelizar mediante una parábola: 2 H B = A Q + B Q + C u otra ecuación, al menos en el tramo útil de funcionamiento. De todas formas, la ecuación A.2 habrá que resolverla de forma iterativa: suponer un caudal,
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calcular H B, calcular Qij, corregir, etc. Debe tenerse en cuenta que el caudal sólo puede circular en el sentido marcado por la bomba, porque de otra manera no tiene sentido físico. Además suele existir una válvula antirretorno para ayudar al sentido común. Si en algún momento se obtuviera un caudal en sentido inverso al de la bomba, habría que considerarlo nulo o replantearse las suposiciones iniciales de alturas en los nudos.
A.2.4 FORMA DE RESOLUCIÓN El esquema de resolución es el siguiente: Suponer unas alturas H * en todos los nudos libres. Repetir Para cada nudo i libre Calcular Q*ik con todos los nudos adyacentes (conectados) Corregir la altura con la fórmula ** * H i = H i + H i
(A.5)
Donde
Q
* ik
H i = - 2
+ C i
k *
Qik
(A.6)
* * H i - H k H Bik
Hasta que | H i*n-1 - H i*n | < error (en todos los nudos) Es decir, en cada nudo se calculan todos los caudales y se comprueba que no se cumple la continuidad en el nudo. A continuación se corrige la altura en ese nudo -bajar la altura si llega caudal en exceso y subirla si sobra-, luego se pasa al siguiente nudo y se repite la operación. Cuando se ha acabado con todos los nudos, se vuelve a empezar por el primero, pues las correcciones de los nudos adyacentes pueden haberlo desequilibrado. Así se continúa hasta que todo queda ajustado.
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A.2.5 FÓRMULA DE CORRECCIÓN La fórmula de corrección de altura supuesta (A.6) se obtiene exigiendo que se cumpla la ecuación de continuidad en el nudo:
Q + C = 0 ik
i
(A.7)
k
con Qik = f (H i-H k ). Pero H i no es la correcta, sino que se ha supuesto una altura H i* con un error H i. Desarrollando Qik = f (H i* + H i - H k ) en serie de Taylor, cogiendo los dos primeros términos y sustituyendo en A.7 se despeja H i , obteniéndose la fórmula A.6. Este es un método relativamente fácil de aplicar, especialmente indicado para resolver sistemas con depósitos y sin bombas. Su rapidez de convergencia depende mucho de lo buena que sea la hipótesis inicial. Una elección nada comprometida consiste en suponer en todos los nudos la misma altura, por ejemplo la media de los depósitos.
A.3 MÉTODO DE MALLAS O HARDY-CROSS Si el método anterior se basaba en suponer unas alturas en los nudos e iterar hasta conseguir que se cumpliese la continuidad, éste viene a ser su complementario pues se van a suponer unos caudales y se va a iterar de forma que se ajusten las pérdidas de carga. La ecuación que se va a forzar es que la suma de las pérdidas de carga alrededor de un camino cerrado -malla- es nula:
h p = 0
malla
Figura A.2 Ejemplo de sistema para el cálculo por el método de mallas
A.3.1 CONVENIO DE SIGNOS
(A.8)
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Para comenzar se divide la red en mallas cerradas, de forma que todas las tuberías formen parte al menos de una malla. Si alguna tubería no se puede encerrar en una malla deberá calcularse aparte. Se asigna un número a las tuberías de cada malla, y un sentido positivo arbitrario también a cada malla (véase la figura A.2). Las tuberías se conocen por dos subíndices: el primero corresponde a la malla, y el segundo al número de la tubería dentro de la malla. El caudal es positivo si tiene la misma dirección que el sentido positivo de la malla. Así se aseguran los signos adecuados en el sumatorio de h p (A.8). Puede haber tuberías que tengan no sólo varios nombres (números) sino diferentes sentidos. Debe coincidir entonces el módulo del caudal. Por ejemplo, en la figura A.2 se cumple: Q13 = - Q21.
A.3.2 ECUACIONES La pérdida de la carga en las tuberías se calcula como: h pij = k ij | Qij | Qij H Bij
(A.9)
De esta forma el signo de h p es siempre el adecuado. En caso de existir alguna bomba, hay que tener en cuenta su dirección: (-) si coincide con la dirección de la malla y (+) al contrario. H B depende del caudal, pero como aquí es un dato del cálculo no hay ningún problema. En el caso de que el caudal sea en sentido contrario al de flujo de la bomba, se puede asignar a H B el valor máximo (correspondiente a caudal nulo) y dejar el sistema seguir adelante. Considerar nulo el caudal por esa tubería complica demasiado el asunto.
A.3.3 FORMA DE RESOLUCIÓN El esquema de resolución es el siguiente: Suponer Q* por todas las tuberías de forma que se cumpla la ecuación de continuidad en los nudos. Repetir Para cada malla i Calcular la pérdida de carga por cada tubería de la malla:
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* h pij= k ij |Qij| Qij H Bij *
*
(A.10)
Corregir el caudal de todas las tuberías de la malla: Qij = Qij + Qi **
*
(A.11)
donde Qi es el caudal de corrección de la malla:
(A.12) Hasta que | Qi| < error (en todas las mallas). Se han supuesto unos caudales por las tuberías, y ahora debe comprobarse que la suma de pérdidas de carga en cada malla sea nula. Si no lo es, se corrige el caudal de esa malla. Al sumar o restar el mismo valor a todas las tuberías de la malla se sigue manteniendo la continuidad en los nudos. Cuando se ha terminado con todas las mallas, se vuelve a empezar, porque las correcciones de una malla desequilibran a las laterales. Se procede así hasta conseguir un ajuste adecuado.
A.3.4 FÓRMULA DE CORRECCIÓN Se define de forma similar al método anterior, suponiendo que si el caudal real es Qij y el supuesto Q*ij: Qij = Qij + Qi *
(A.13)
A continuación se despeja en la ecuación A.9, se desarrolla en serie de Taylor y se sustituyen los dos primeros términos en A.8.
A.3.5 TUBERÍAS Y DEPÓSITOS SUELTOS Si hay una tubería o un depósito sueltos, no se pueden conectar en ninguna malla y es necesario calcularlos aparte.
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Figura A.3 Tuberías y depósitos sueltos en el método de mallas El caudal viene dado por las condiciones de contorno del sistema y la pérdida de carga se obtiene directamente. Si existen dos o más depósitos producen una indeterminación en las condiciones de contorno de la red y esto no se puede obviar. Deben encerrarse en mallas ficticias no cerradas. Para este caso:
h = - H
(A.14)
H D = H D1 - H D2
(A.15)
p
D
malla
donde:
con el sentido indicado en la figura A.4.
Figura A.4 Sistemas con dos depósitos en el método de mallas
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La ecuación de corrección toma la forma siguiente:
h
* pij
Qi = -
+ H D
j
2
j
*
(A.16)
h pij *
Qij
Este es un método también relativamente fácil, muy útil cuando hay bombas, y mejor si escasean los depósitos. Su rapidez depende de la hipótesis inicial de caudales.
A.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON La idea de fondo consiste en plantear el sistema de ecuaciones global del método de nudos, y resolverlo por medio del método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales.
A.4.1 ECUACIONES El sistema de ecuaciones global es el que se obtiene de sustituir: 1
Qij =
k ij
H i - H j
(A.17)
en la ecuación de continuidad de los nudos:
Q + C = 0
(A.18)
i
ij
j
Es decir:
k
-1/2 ij
1/2
( H i - H j ) + C i = 0
(A.19)
j
donde las H son las incógnitas. El método de Newton-Raphson plantea lo siguiente: sea un sistema de ecuaciones f ( x) cuya solución correcta es x0 (es decir, f ( x0) = 0). Si se parte de una primera aproximación
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a la solución, x1, resulta que x1 + x1 es una mejor aproximación de la solución, si: x1
=
f ( x1 ) f ( x1 )
(A.20)
Esto se obtiene al desarrollar en serie de Taylor: f ( x1 + x1 ) = f ( x1 ) + f ( x1 ) x1 +
f ( x1 ) 2
2
x1 +
(A.21)
Despreciando los términos desde el segundo orden en adelante: 0 = f ( x1 ) + f ( x1 ) x1
(A.22)
Este es el sistema que hay que resolver, donde la incógnita es aproximación anterior.
x1,
y x1 es la
Si la función tiene n componentes, y depende de n variables, se puede desarrollar el sistema en forma matricial:
f f ...... f x1 f 1 1 2 1 x1 x2 xn . . ...... ...... ...... ...... . = - . . . f n ...... ...... f n xn f n x n x1
(A.23)
En el caso particular de un sistema de tuberías, las ecuaciones son: f i ( x1 x n ) =
Q
ij
+ C i
(A.24)
j
f i ( x1 x n ) =
k
-1/2 ij
j
-1/2
( H i - H j ) ( | H i - H j | )
+ C i = 0
(A.25)
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-1/2 f i f i k ij -1/2 = =( | H i - H j | ) x j H j 2
(i j)
(A.26)
k ij-1/2 f i -1/2 = ( | H i - H j | ) xi j , j i 2
(A.27)
Las funciones f i sólo se plantean en los nudos libres, así como las derivadas de f i sólo se calculan respecto a las alturas de los nudos libres adyacentes. Hay que tener en cuenta que tanto al hallar f i como sus derivadas parciales debe contarse también con los nudos fijos adyacentes. Si en la rama i-j hay una bomba se plantea de la forma siguiente: Qij = k -1/2 ij ( H i - H j H B ) ( | H i - H j H B | )
-1/2
-1/2 f i k ij -1/2 =( | H i - H j H B | ) H j 2
(A.28)
(A.29)
con + H B si bombea en la dirección i-j y -H B en caso contrario. Se puede empezar el cálculo con H B máxima (Q = 0) y en las sucesivas aproximaciones calcularla a partir del caudal hallado en la iteración anterior. Se comienza suponiendo unas alturas en los nudos. Con esas alturas se calculan las f i y sus derivadas parciales. Se plantea y resuelve el sistema de ecuaciones -por Gauss u otro método cualquiera-, se corrigen las alturas y se vuelve a empezar.
A.4.2 FORMA DE RESOLUCIÓN El esquema de resolución es el siguiente: Suponer H * en los nudos libres. Repetir Para cada nudo i libre Calcular Q*ij con los nudos adyacentes Calcular f i = Qij + C i
j
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f i H j f i Calcular H i Calcular
Resolver el sistema
d f *
d H ** * Corregir H = H + H Hasta que
H <
*
H = - f ( H
)
error
Este es un método bastante rápido, que maneja bien tanto bombas como depósitos pero que, por la necesidad de resolver grandes sistemas de ecuaciones, no es apto para el cálculo manual. Como dice una de las leyes de Murphy: "Para hacer las cosas difíciles es suficiente con uno mismo, pero si se quieren hacer realmente complicadas hace falta un ordenador".
A.5 MÉTODO LINEAL De manera análoga al método anterior, este se apoya en las ecuaciones del método de mallas para plantear un sistema no lineal global y resolverlo iterativamente.
A.5.1 ECUACIONES Las ecuaciones que se pueden plantear en un sistema de bombeo son las de continuidad en los nudos y las de pérdida de carga:
Q + C = 0 H i - H j = k ij Q
(A.30)
2
Las variables de altura H i se eliminan sumando las pérdidas de carga en mallas cerradas y resulta un sistema con sólo los caudales como incógnitas:
Q + C = 0 nudo
k Q malla
2
=0
(A.31)
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La forma de resolver este sistema no lineal es sustituyendo: k = k Q
(A.32)
De esta forma, las ecuaciones de las mallas se convierten en lineales:
k Q
=0
(A.33)
malla
Como no son conocidos los valores de Q para hallar k' , se comienza suponiendo unos -o bien tomando k' = k - y se itera cambiando los valores de k' con el caudal hallado en la iteración anterior. En realidad en la bibliografía consultada se dice que en vez de utilizar el caudal de la iteración anterior ,se halla la media de los dos anteriores:
Qn- 2 + Qn-1 k = k 2 n
(A.34)
Los autores sugieren que en vez de esta ecuación se pruebe con: n k = k Q
n- 2
Q
n -1
(A.35)
que sería más correcta según la filosofía del método. Pero no aseguran que se obtenga algo decente.
A.5.2 CONDICIONES PARTICULARES Según las condiciones de contorno, depósitos y bombas, habrá que tener en cuenta los siguientes criterios a la hora de plantear el sistema de ecuaciones:
Sistemas con todos los caudales entrantes/salientes al sistema definidos Sobra una de las ecuaciones de continuidad en los nudos (dependiente de las demás). Hay que eliminarla al resolver el sistema.
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Figura A.5 Sistema con todos los caudales definidos
Sistemas con un depósito En realidad el caudal por la tubería a-b es conocido por la continuidad global del sistema, con lo que se puede reducir al caso anterior. Se puede mantener Qa-b como variable, sin utilizar la continuidad en el nudo a para que el sistema sea independiente, pero se está aumentando en una dimensión para hallar un dato conocido. La altura del depósito sirve como referencia para hallar las alturas en los nudos a través de las pérdidas de carga.
Fi ura A.6 Sistema con un de ósito Al no poder incluir la tubería a-b en ninguna malla, la pérdida de carga en ella no se obtiene tras resolver el sistema y hay que calcularla aparte.
Sistemas con varios depósitos Debe definirse una malla ficticia (ver método de mallas):
h p = H dep
(A.36)
No hace falta incluir la ecuación de continuidad en los nudos que son depósitos, pero sí todas las demás ecuaciones.
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Figura A.7 Sistema con dos depósitos
Bombas en una malla En vez de sustituir H B en función del caudal, resulta mejor considerar que la pérdida de carga en la malla es igual a la altura que proporciona la bomba:
k Q = H B
(A.37)
introduciendo H B en los términos independientes. Se calcula con el caudal de la iteración anterior.
Figura A.8 Sistema con una bomba
A.5.3 SISTEMA PLANTEADO Va a constar de una parte invariante: continuidad en los nudos, y otra que cambia en cada iteración: pérdida de carga en las mallas. Los términos independientes de la primera son los caudales salientes, y los de la segunda la diferencia de altura entre depósitos, altura de las bombas, o cero:
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A.5.4 FORMA DE RESOLUCIÓN El esquema de resolución es el siguiente: Asignación de la parte invariante del sistema (continuidad en nudos) Repetir Para cada malla Calcular las k' Calcular H b Resolver el sistema de ecuaciones Hasta que | Qn-1 - Qn | < error .
A.5.5 PROPUESTA DE NOMENCLATURA Y CONVENIO DE SIGNOS * Numerar los nudos. * Definir tuberías y caudales por los nudos de los extremos: T ij , Qij * Definir como sentido positivo el que va del nudo con menor número al nudo con mayor número. Así: Q13 = Q31
Q13 > 0 si va de 1 a 3, y Q13 < 0 si va de 3 a 1
* Definir las mallas por los nudos que los componen según el orden de recorrido: 1-28-7 * Los coeficientes k' tendrán signo positivo en el sistema si al recorrer la malla se pasa de un nudo menor a otro mayor y negativo en caso contrario, así la línea de esta malla en el sistema sería: k 12 ... - k 17 ... k 28 ... - k 78
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A.5.6 COROLARIO Este es el método más rápido de los cuatro explicados. Tiene el inconveniente de utilizar a la vez nudos y mallas, lo que hace confusa la nomenclatura y engorrosa la definición de los convenios de signos. Por otra parte, de las tuberías que no están incluidas en ninguna malla sólo se obtiene el caudal, y así la bomba de la figura A.8 no contaría en absoluto a la hora de resolver el sistema. Pero esto no quiere decir que el método no sea bueno, únicamente que se debe complementar con otros cálculos.
A.6 EJEMPLOS EJEMPLO 1 Dado el sistema de tuberías de la figura, plantear un método de resolución y realizar una iteración.
D = 0.2m L = 1000m -6 2 v = 10 m /s (Para todos los tramos de tubería)
Datos:
= 0.4mm
Resolución Al tener varios depósitos, en este caso el método más adecuado es el de nudos. En principio, se supone flujo turbulento completamente desarrollado. Se obtienen los siguientes valores para la resistencia de las tuberías: f = 0.0234
k = 6053
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Al llegar a la solución final habría que comprobar que la suposición inicial es correcta, y en caso contrario corregir los valores. Se hace una suposición de alturas en los nudos: H D = 40m
H E = 30m
H G = 50m
H F = 40m
La primera iteración consistiría en lo siguiente: Nudo (i)
Tubería (i-j)
H i-H j
Qij
Qij / ( H i-H j)
H i
D
DA DE DG
0 10 -10
0 0.04 -0.04
0.004 0.004
0
ED EB EF
-10 10 -10
-0.04 0.04 -0.04
0.004 0.004 0.004
6.6
FE FG C F
3.4 -10 -
0.023 -0.04 0.2
0.007 0.004 -
-33.2
GC GD GF
-10 10 43.3
-0.04 0.04 0.08
0.004 0.004 0.002
-16
E
F
G
Con los valores obtenidos H i se corrigen las alturas de los nudos: H D = 40m
H E = 36.6m
H F = -33.2m
H G = 34m
EJEMPLO 2 Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga k constantes.
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Datos:
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k 12 = 1800
k 23 = 20000
k 34=1800
k 14 = 680
k 24 = 6000
Resolución En primer lugar, debe hacerse una suposición de caudales: Malla I: Malla II:
Q12 = 350 l/s Q23 = 240 l/s
Q14 = -650 l/s Q34 = -760 l/s
Q24 = 110 l/s Q24 = -110 l/s
La primera iteración será: Tubería
Qi
h pi
h pi / Qi
Malla I
1-2 1-4 2-4
0.35 -0.65 0.11
220.5 -287.3 72.6
630 442 660
-0.0016
Malla II
2-3 3-4 2-4
0.24 -0.76 -0.1084
115.2 -1039.6 -70.5
4800 1368 650.4
-0.003
Qi
Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Nótese que el caudal Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor Q I = -0.0016 obtenido previamente en la malla I. A continuación se repite el proceso: Tubería
Qi
h pi
h pi / Qi
Malla I
1-2 1-4 2-4
0.348 -0.652 0.111
217.9 -289 73.9
626.4 443.3 666
-0.0008
Malla II
2-3 3-4 2-4
0.237 -0.763 -0.11
112.3 -1047.9 -72.6
4740 1373.4 660
-0.00018
Qi
La aproximación es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal son los siguientes: Q12 = 0.3472 m3/s Q14 = -0.6528 m3/s Q23 = 0.2368 m3/s 3 Q34 = -0.7632 m /s 3 Q24 = 0.1104 m /s
