SEMANA 8 CURSO : Cálculo II Tema :
Cálculo de volúmenes de sólidos sólidos de revolución: método del del disco de las arandelas
INTRODUCCIÓN En la sesión anterior descubrimos la relación entre el proceso de integración y las sumas de Riemann S P
n
f (c
k
)x k
k 1
asociadas con una partición P del del intervalo cerrado finito [a,b]. Ahí aprendimos que, para una función continua f en [a,b], el límite de S P cuando la norma de la partición P se aproxima a cero es el número b
f ( x)dx F (b) F (a) a
donde F es es cualquier antiderivada de f . Aplicamos esto a los problemas en que se nos pidió calcular el área entre el eje x y la gráfica de y f ( x) para a x b y para determinar el área comprendida entre dos curvas. En esta sesión veremos cómo la aplicación de estos conceptos nos permite determinar volúmenes, longitudes de curvas planas, centros de masas, área de superficies de volúmenes, trabajo y fuerzas de fluido sobre paredes planas. Todas estas medidas son límites de sumas de Riemann de funciones continuas en intervalos cerrados, esto es, integrales definidas que pueden evaluarse mediante el Teorema Fundamental del Cálculo. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: MÉTODO DE LOS DISCOS El sólido generado al hacer girar una región plana alrededor de un eje se denomina sólido de revolución. Para determinar el volumen de un sólido como el que se muestra en la figura, sólo necesitamos tener en cuenta que el área de la sección transversal A( x) es el área de un disco con radio R( x) , la distancia entre la frontera de la región plana y el eje de rotación. En consecuencia, el área es A( x) radio R( x) 2
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
2
Facultad De Ingeniería
De este modo, la definición de volúmenes nos da b
b
R( x) dx
a
a
V A( x)dx
2
A este método para calcular el volumen de un sólido de revolución se le denomina con frecuencia método de los discos, ya que la sección transversal es un disco circular con radio R( x). Si el eje de giro es la recta y = p , el radio del circulo en un punto de abscisa x es
f ( x) p
y el volumen queda entonces b
b
f ( x) p dx
a
a
V A( x)dx
2
Ejemplo (Un sólido de revolución alrededor del eje x) La región entre la curva y x , 0 x 4 , y el eje x se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determinar su volumen. Solución Dibujamos figuras que muestren la región, un radio típico y el sólido generado (ver figura anterior). El volumen es b
V
b
b
R( x) dx x dx xdx 2
a
Departamento De Ciencias
a
–
Cajamarca
2
a
x
2
2
4
0
(4) 2
2
8
Facultad De Ingeniería
Ejemplo (Volumen de una esfera) La circunferencia x 2 y 2 a 2 se hace girar alrededor del eje x para generar una esfera. Determinar el volumen de esta última. Solución Imagine que cortamos la esfera en delgadas rebanadas por medio de planos perpendiculares al eje x (ver figura) El Área de la sección transversal en un punto representativo x, entre a y a es A( x) y 2 a 2 x 2
Por lo tanto, el volumen es a
2 x 3 4 2 2 V A( x)dx a x dx a x a 3 3 a 3 a a a
a
Figura: La esfera generada por la rotación de la circunferencia x 2 y 2 a 2 alrededor del eje x. El radio es R( x) y
a2 x2
El eje de rotación en el ejemplo siguiente no es el eje x, pero la regla para calcular el volumen es la misma: Integrar radio2 entre límites apropiados.
Ejemplo (un sólido de revolución: rotación alrededor de la recta y = 1) Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar, alrededor de la recta y = 1, la región acotada por y x y las rectas y = 1, x = 4 . Solución Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
Dibujamos figuras que muestren la región, el radio típico y el sólido resultante.
El volumen es 4
V
4
R( x)
2
1
dx
x 1 dx 2
1 4
x 2 2 7 x 2 x 1 dx 2. x 3 / 2 x 3 6 2 1 1 4
Ejemplo (rotación alrededor del eje y) Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje y y la curva x 2 / y , 1 y 4 , alrededor del eje y. Solución Dibujamos figuras que muestren la región, un radio típico y el sólido resultante.
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
El volumen es 2
2 V R( y ) d y dy y 1 1 4
4
2
4
1 3 2 dy 4 4 3 4 y y 1 1 4
4
Ejemplo (Rotación alrededor de un eje vertical) Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar la región comprendida entre la parábola x y 2 1 y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3. Solución Dibujamos figuras que muestren la región, un radio típico y el sólido resultante. Observe que las secciones transversales son perpendiculares a la recta x = 3.
R( y) 3 y 2 1 2 y 2
El volumen es 2
V
2
R( y )
2
2
d y
2 y d y
2 2
2
5 4 3 y 2 4 4 4 y y d y 4 y y 3 5 2 2
Departamento De Ciencias
–
2
2
64 2 15
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO DE LAS ARANDELAS Si la región que se hace girar para generar un sólido no se acerca al eje de rotación ni está en él, el sólido tendrá un agujero (ver figura). En lugar de discos, las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas (la superficie circular en la parte central de la imagen de la figura).
Las secciones transversales del sólido de revolución generado son arandelas, no discos, por lo que la fórmula cambia ligeramente. Las dimensiones de una arandela representativa son
Radio exterior: Radio interior:
R( x) r ( x)
El área de la arandela es
A( x) R( x) r ( x) R( x) r ( x) 2
2
2
2
En consecuencia, la definición de volumen nos da b
b
R( x)
a
a
V A( x)dx
2
r ( x) dx 2
Este método para calcular el volumen de un sólido de revolución se denomina método de las arandelas, ya que cada pieza es una arandela circular con radio exterior R( x) y radio interior r ( x) . Análogamente, si el eje de giro es la recta y = p, b
f ( x) p g ( x) p dx
a
a
V A( x)dx
Departamento De Ciencias
–
b
Cajamarca
2
2
Facultad De Ingeniería
Será necesario conocer la posición relativa de las funciones f y g para lo cual es fundamental tener una idea de las gráficas de las mismas.
Ejemplo (Arandelas como secciones transversales: rotación alrededor del eje x) Para generar un sólido se hace girar la región acotada por la curva y x 2 1 y la recta y x 3 alrededor del eje x. Determinar el volumen del sólido. Solución 1. Dibuje la región y haga el bosquejo de un segmento de recta que la cruce y sea perpendicular al eje de rotación (el segmento en la parte central de la figura). 2. Determine los radios exterior e interior de la arandela que se generaría al hacer girar este segmento alrededor del eje x.
Estos radios son las distancias entre los extremos del segmento de recta y el eje de rotación (ver figura) Radio exterior: R( x) x 3 Radio interior:
r ( x) x 2 1
3. Determine los límites de integración determinando las coordenadas x de los puntos de intersección de la curva y la recta de la figura. x 1 x 3 2
x x 2 0 2
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
( x 2)( x 1) 0 x 2, x 1
Facultad De Ingeniería
4. Evalúe la integral del volumen b
V
R( x)
2
r ( x) dx 2
x 3
2
x 2 1 dx 2
2
a 1
1
8 6 x x
2
x 4 dx
2 1
3 5 x x 117 2 8 x 3 x 3 5 2 5
Para determinar el volumen de un sólido formado al hacer girar una región alrededor del eje y utilizamos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, pero integramos respecto de y en lugar de hacerlo respecto de x. En esta situación, el segmento de recta barre una arandela representativa perpendicular al eje y (el eje de rotación), y los radios exterior e interior de la arandela son funciones de y.
Ejemplo (Arandelas como secciones transversales : rotación respecto del eje y) Para generar un sólido, se hace girar la región acotada por la parábola y x 2 y la recta y 2 x en el primer cuadrante alrededor del eje y. Determinar el volumen del sólido. Solución Primero bosquejamos la región y trazamos un segmento de recta en la región, que sea perpendicular al eje de rotación (eje y). Ver figura
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
Los radios de la arandela barrida por el segmento de recta son R( y) y , r ( y) y / 2 . La recta y la parábola se intersecan en y = 0 y y = 4, por lo que los límites de integración son c 0 y d 4 . Integramos para determinar el volumen: d
V
R( y) r ( y) dy
2
2
c 2 2 y y dy 2 0 4
4
y 2 y 2 y 3 8 y dy 4 2 12 0 3 0 4
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
EJERCICIOS PROPUESTOS Método del disco. I. En los siguientes ejercicios, determine los volúmenes de los sólidos generados al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y curvas alrededor del eje x. 1. y x 2 , y 0, x 2
3. y x 3 , y 0, x 2
2. y 9 x 2 , y 0 x 2
4. y x x , y 0
5.
7. y x , y 2, x 0
8. y 1 / x, y 0, x 1, x 3
2
y 2
8
, y 0,4 x 4
6. y x 2 6 x 9, x 0, y 0 9. y e x , y 0, x 0, x 1
II. En los siguientes ejercicios, determine el volumen de cada uno de los sólidos generados al hacer girar la región acotada por las rectas y curvas dadas alrededor del eje y. 1. x 5 y 2 , x 0, y 1, y 1
2. x 2 /( y 1), x 0, y 0, y 3
3. y 4 x 2 , y 0
4. y
5. y x , y 2, x 0
6. y 3(2 x), y 0, x 0
7. y 9 x 2 , y 0, x 2, x 3
8. x y 2 , x y, x 6
x 2 3
, y 4, x 0
Método de las arandelas. I. En los siguientes ejercicios, determine el volumen del sólido generado al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y las curvas dadas alrededor del eje x. 1. y x, y 1, x 0
2. y 2 x , y 2, x 0
4. y 4 x 2 , y 2 x
5. y 4 x 2 , y x 2
3. y x 2 1, y x 3 6. x y 2 , x 0 , y 1
II. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar cada región alrededor del eje y. 1. La región circundada por el triángulo con vértices (1,0), (2,1) y (1,1). 2. La región en el primer cuadrante, acotada en la parte superior por la parábola y x 2 , en la inferior por el eje x, y a la derecha por la recta x = 2.
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
3. La región en el primer cuadrante, acotada a la izquierda por la circunferencia x 2 y 2 3 , a la derecha por la recta x 3 , y en la parte superior por la recta y 3 . Volumen de sólidos de revolución. En los siguientes ejercicios determine el volumen del sólido generado al hacer girar cada región alrededor del eje dado. 1. La región en el primer cuadrante, acotada en la parte superior por la curva y x 2 , en la parte inferior por el eje x, y a la derecha por la recta x 1 , alrededor de la recta x 1 . 2. La región en el segundo cuadrante, acotada en la parte superior por la curva y x 3 , en la parte inferior por el eje x, y a la izquierda por la recta x 1 , alrededor de la recta x 2 . 3. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por y x y las rectas y 2, x 0 alrededor de la recta a) y = 2 b) x = 4 4. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por la parábola y x 2 y la recta y = 1, alrededor de a) la recta y = 1 b) la recta y =2 c) la recta y = – 1 III. Diseño de un sartén Se le pide diseñar una sartén con forma de tazón esférico con asas. Su experiencia doméstica le indica que puede obtener una sartén con capacidad para 3 L si la construye con 9 cm de profundidad y un radio de 16 cm. Para asegurarse de ello, imagine la sartén como un sólido de revolución semejante al que se muestra a continuación y calcule su volumen con una integral. ¿Qué volumen tiene la sartén realmente? Redondee la respuesta al centímetro cubico más cercano 3 (1L=1000 cm ) IV. Diseño de una plomada se le ha pedido que se diseñe una plomada que pese alrededor de 190 g. Para cumplir su cometido, decide que su forma debe ser parecida a la del sólido de revolución que se muestra a continuación. Determine el volumen de la plomada. Si para su fabricación elige latón que tiene un peso de 3
8.5 g / cm , ¿Cuánto pesará la plomada (redondee al gramo más cercano)? Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
11. El volumen de un tanque de combustible Un tanque en el ala del avión de motor de reacción tiene la forma de un sólido de revolución generado al girar la región acotada por la gráfica de y el eje x alrededor del eje , donde y son medidos en metros. (Fig. 8)
Departamento De Ciencias
–
Cajamarca
Facultad De Ingeniería
