1.CÁLCULO 1. CÁLCULO DEL EMPUJE ACTIVO 1.1. EMPUJES ACTIVOS, PASIVOS Y AL REPOSO. INTRODUCCIÓN. INTRODUCCIÓN. Ya hemos visto en el punto anterior los diferentes tipos de empujes existentes. Para calcularlos existen diversas teorías enunciadas por diversos autores. Como hemos visto nos centraremos principalmente en el cálculo del empuje activo que es el generalmente actúa según las condiciones vistas en el punto anterior, en los muros ménsula. Cabe destacar que las teorías enunciadas por conocidos autores como Coulomb y Rankine son válidas para el cálculo del empuje activo en todo tipo de suelos (aunque existen -como veremos- algunas diferencias entre suelos granulares y cohesivos, sobre todo en el cálculo del "coeficiente de empuje"), e incluso en terrenos estratificados* estratificados * y con terreno horizontal o inclinado (nos estamos refiriendo relleno existente en el trasdós del muro, es decir "el terreno que hay que contener") y con presencia o no de agua en dicho relleno. Sin embargo si hubiera que calcular el empuje pasivo, las teorías propiamente dichas presentadas por Coulomb y Rankine en su día, no son fiables, por ello en la práctica hay que tener mucho cuidado a la hora de emplearlas, teniendo en cuenta una serie de correcciones, que se basan en la reducción de los valores obtenidos del empuje, en función también de la teoría empleada:
En la teoría de Coulomb se sobreestima mucho el empuje pasivo por lo que no se recomienda emplearla nunca para el cálculo de dicho empuje pasivo. En la teoría de Rankine Rankine al contrario que ocurre ocurre con Coulomb se subvalora subvalora el empuje por lo que tampoco es recomendable recomendable utilizarla.
De todas formas y como ya hemos comentado es complicado que se presente el empuje pasivo en muros de contención, ya que para ello, es necesario que se produzcan desplazamientos de la estructura contra el terreno que se intenta contener. En la mayoría de los casos estaremos siempre hablando de empuje activo que será el actuante en el muro de contención. co ntención. Veamos pues el cálculo del empuje activo, que es el que más nos interesa. Antes y con el fin de seguir un orden esquemático de la diferente casuística que se puede presentar en el cálculo de muros de contención (muros ménsula), en la figura 14 se presenta un cuadro donde se pueden ver las diferentes variantes que se pueden presentar en el cálculo de muros. Esta misma figura nos servirá también como algoritmo de cálculo, a la hora de realizar el planteamiento de nuestro muro de contención, no olvidándonos de las variables a tener en cuenta en dicho procedimiento de cálculo, algo que iremos viendo con más detalle en siguientes
puntos cuando empecemos a practicar resolviendo problemas paso a paso tanto a mano como con el programa informático RiloMuros. Párametros
1. Dimensiones de partida del muro y partes integrantes del mismo
2. Características y propiedades del suelo sobre el cual se asentará la cimentación y/o el muro y del relleno a contener, tomadas a partir del estudio geotécnico (perfil litológico)
Variantes de dichos parámetros - Altura del muro - Necesidad o no y tipo de cimentación - Con o sin talón (presencia de terreno colindante ajeno) - Con o sin puntera - Con tradós vertical o no - Con intrados vertical o no
- Cantidad de estratos existentes y sus propiedades - Tipo de suelo (granular denso o suelto o cohesivo duro o blando) para saber qué tipo de coeficiente de empuje "K" ó " λ" aplicar en función de la teoría para el cálculo de empuje elegida.
Datos necesarios para llevar a cabo el cálculo
- Altura "H" del muro en metros - Profundidad de la cimentación
- Tipo de empuje a considerar (activo, al reposo o pasivo) en función del tipo de suelo a cimentar (roca u otro estrato) y tipo de cimentación (superficial o profunda con pilotes) -Teoría de empuje a aplicar: Coulomb, Rankine. - Ángulo de rozamiento interno de los diferentes estratos a contener "ϕ", y ángulo de rozamiento entre el elemento contenido y el muro "δ" -Densidad aparente o Peso específico del relleno a 3 contener "γ" en kN/m o 3
t/m - También es muy interesante que el estudio geotécnico aporte información sobre la cohesión "C" en KPa y el módulo de deformación "e" en MPa de cada estrado 3. Ángulo del relleno contenido o del último estrato (el que esté más arriba por encima de todos), normalmente es el ángulo del talud natural, aunque el relleno o elemento puede estar compactado y ser diferente dicho ángulo
- Con relleno totalmente horizontal, "β=0º" - Con relleno inclinado ""β>0º"
- Ángulo "β" normalmente es el ángulo de talud natural del elemento contenido o igual a cero grados
4. Presencia de cargas en el relleno
- Sin cargas - Con cargas puntuales o concentradas - Con cargas uniformemente
- Cargas "P" en toneladas o "q" en toneladas por metro lineal
5. Presencia de agua en el relleno. Cota de nivel freático "NF" aportada por el estudio geotécnico
repartidas - Sin presencia de agua - Relleno totalmente anegado - Cota del nivel freático "NF" -Relleno parcialmente en metros anegado
Figura 14.- Parámetros a tener en cuenta en el planteamiento de cálculo de muros de contención. *Terreno estratificado.- Un terreno estratificado es aquel en el cual se presentan dos o más estratos con diferente composición. Esto se aprecia fácilmente en el perfil litológico del suelo aportado por el estudio geotécnico correspondiente. Cada estrato poseerá unas propiedades diferentes (densidad, ángulo de rozamiento interno, etc.). 1.2. MÉTODO DE COULOMB El método de Coulomb es una teoría desarrollada en 1.773, principalmente para hallar el empuje en suelos granulares bien drenados, es decir, en suelos sin cohesión, es un método que cuenta con cierto grado de error, pero los valores de empuje obtenidos entran dentro de los márgenes de seguridad, con lo que se puede decir que su precisión en el cálculo de empujes activos, es razonablemente buena. Prueba de ello es que es el método más empleado para el cálculo del empuje activo, y está totalmente reconocido hoy día, aparte de por la extinta norma "NTE-AE-88" (normas técnicas de edificación - acciones en la edificación - año 1998), por las siguientes normas en vigor:
CTE.- Código Técnico de la Edificación. Ministerio de Fomento.
Guía de cimentaciones para obras de carretera. Ministerio de Fomento.
No vamos a entrar a desarrollar exhaustivamente las teorías expuestas por Coulomb hasta obtener los resultados del empuje, puesto que ya existen numerosas publicaciones que tratan este desarrollo. Simplemente daremos una visión global de la teoría propuesta por Coulomb. Dicha teoría se basa en suponer que al moverse el muro bajo la acción del empuje, se produce el deslizamiento de una cuña de terreno MNC (ver figura 15), formada por el trasdós del muro MN y por un plano que pase por el pie del muro NC, así como por la superficie del terreno MC. Por tanto se establece una primera hipótesis, que es suponer una superficie de deslizamiento plano, lo cual no es del todo cierto, aunque el error introducido sea pequeño. El resto de los supuesto de partida se pueden sintetizar en los siguientes puntos:
Considera la existencia de fricción entre el terreno y el muro.
Supone que el terreno es un material granular (suelos granulares densos o sueltos -arenosos o francos- o bien grano a almacenar como trigo, cebada, maíz, etc.). Además se supone un material homogéneo e isotrópico y que el drenaje es lo suficientemente bueno como para no considerar presiones intersticiales en el terreno (veremos más adelante la importancia de un buen drenaje en el trasdós de un muro, tal es dicha importancia que prácticamente todos los fallos encontrados, en trabajos dedicados a la patología de muros, son debidos a la presencia simultánea de agua y arcilla -muros con mal drenaje en presencia de arcillas expansivas, de terrenos cohesivos-). De todos los posibles planos de de deslizamiento, el que realmente se produce es el que conlleva un valor de empuje máximo. La falla es un problema bidimensional. Considera una longitud unitaria de un cuerpo infinitamente largo.
Figura 15.- Teoría de Coulomb El problema consiste por tanto en determinar el plano de deslizamiento crítico que produce un valor máximo del empuje. Para ello se elige un plano arbitrario que forme un ángulo ϴ con la horizontal y se establece el equilibrio de la cuña MNC. Las fueras que intervienen son:
Peso de la cuña MNC del terreno "Pt".
Reacción "Ea" del trasdós sobre el terreno, que formará un ángulo δ con la normal al trasdós. Dicho ángulo será el rozamiento entre el muro y el terreno. Reacción "F" de la masa de suelo sobre la cuña, que formará un ángulo ϕ con la normal a la línea de rotura NC. Dicho ángulo será el de rozamiento interno del relleno.
Como se conoce el peso de la cuña "Pt" en magnitud y dirección y Ea y F en dirección, se podrá calcular también la magnitud de estas dos últimas fuerzas a través del polígono de fuerzas que forman. El peso de la cuña de terreno MNC viene dado por: Pt =
γ∙ ∙ α ∙ α ∙ α −ββ H2
sen
2 sen2
+ϴ
sen
+
sen
1
ϴ
Aplicando el teorema del seno al triángulo de fuerzas de la figura 15 se obtiene la relación:
−β −α− φ δ ∙ −φ −α− φ δ γ∙ ∙ α ∙ α ∙ α −ββ ∙ −α− −φ φ δ Ea
sen
=
ϴ
Pt
sen 180
ϴ
+
+
Y despejando Ea se obtiene: Ea =
Pt sen
ϴ
sen 180
ϴ
+
2
+
Combinando las expresiones [1] y [2] se tiene el valor del empuje activo: Ea =
H2
sen
2 sen2
+ϴ
sen
sen
+
sen
sen 180
ϴ
ϴ
ϴ
+
3
+
En dicha ecuación se puede observar que el valor del empuje activo es función de ϴ, Ea = f(ϴ), ya que el resto de los términos son constantes y conocidos ara una situación dada. Para obtener el valor del ángulo ϴ que hace máximo el empuje activo, se deriva e iguala a cero la expresión [3], e introduciendo su valor en la ecuación se obtiene: Ea =
1 2
∙γ∙ ∙ H
α φ α∙ α−δ ∙ φα−δδ ∙∙ φ−β α β sen2
2
+
2
sen2
sen
1+
sen sen
+
sen sen
+
Escribiendo esta expresión de una manera más sencilla quedaría:
4
Ea =
1 2
∙γ∙ ∙ H2 KA
5
Donde:
γ
= Densidad aparente o peso específico del suelo en (kN/m 3). H = Altura del muro en (m). Ea = Empuje activo de Coulomb en (kN/m).
Siendo KA el "coeficiente de empuje activo" que viene dado por:
α φ α∙ α−δ ∙ φα−δδ ∙∙ φ−β α β sen2
KA =
+
6
2
sen2
sen
1+
sen sen
+
sen sen
+
La distribución del empuje activo a lo largo de la altura del muro se puede obtener derivando la ecuación [5] con respecto a "H". dEa dH
=
γ ∙ ∙ H KA
7
Como se puede observar, la distribución es lineal, dando un diagrama triangular. El punto de aplicación del empuje activo será el centro de gravedad del diagrama de fuerzas, que en este caso estará situado a profundidad z = coronación del muro.
2 3
∙
H desde la
1.3. PROCEDIMIENTO GRÁFICO. MÉTODO DE CULLMAN Este método se utiliza para hallar las componentes horizontal y vertical del empuje total por unidad de longitud de muro y es que la mejor forma de proceder en la práctica para determinar el empuje activo es el procedimiento gráfico. El procedimiento se basa en suponer una línea de rotura recta. Aparte deberá estar en equilibrio:
El peso "Pt" de la cuña de suelo comprendida entre el muro y la línea de rotura recta. La reacción "Ea" del muro contra el suelo que será igual y de sentido contrario al empuje activo sobre el muro. La reacción "F" del terreno sobre la cuña, que formará con la normal a la línea de rotura un ángulo igual al de rozamiento interno del terreno ϕ. Dicho ángulo de rozamiento interno del terreno " ϕ" se halla mediante ensayos directos aportándolo el estudio geotécnico, o bien, puede obtenerse de la tabla de la
figura S tomada de Calavera, que incluye además valores orientativos de las densidades secas de los distintos terrenos. El método consisten en proceder por tanteos sucesivos. Fijándose en la figura 15 y elegido un punto 1 como posible origen de una cuña de deslizamiento, se calcula el peso Pt de la cuña, y en el polígono vectorial de la figura se trazan los vectores Ea y F correspondientes, los dos de direcciones conocidas. El valor de Ea se lleva a partir un origen EF convencional. El cálculo se repite para varios puntos, aunque tres tanteos (puntos 1, 2 y 3 de la figura 15), suelen ser suficientes para determinar el punto G correspondiente a la cuña de empuje máximo, que es el empuje activo. Con ello se tiene le punto C y la posición NC de la superficie de rotura de la cuña correspondiente. La posición de la resultante de las presiones sobre el muro, es decir, el empuje activo, puede obtenerse con suficiente aproximación trazando por el centro de gravedad de la cuña MNC la paralela a NC hasta cortar el trasdós del muro.
Figura 16.- Presiones y empujes en el caso de un relleno limitado por una línea recta. También se observan los ángulos " α", " β" y "δ", los cuales es esencial conocer su valor para poder hallar los coeficientes de empuje activo horizontal " λh " y vertical " λ h ". Los valores de las componentes horizontal y vertical de la presión en un punto del muro a una profundidad "z" son:
γ γ ∙∙ ∙λ∙λ 8
Ph = Pv =
z z
donde "λh" y "λv" vienen dados por las expresiones:
h
v
λ 9
Donde:
h
α φ φ δ ∙ αφ−ββ α∙ α−δ∙ λ λ ∙ α−δ sen2
= sen2
sen sen
1+
v
=
h
+
+
sen sen
2
+
cotag
α
= Ángulo respecto a la horizontal del trasdós del muro. Si el trasdós es totalmente vertical (típico en terrenos colindantes ajenos), α = 90º. Ver figura 16. β = Ángulo de pendiente del relleno por encima de la coronación del muro. Si el
relleno es totalmente horizontal (no hay talud), β = 0º. Ver figura 16. Si el relleno no está compactado, puede ser el ángulo de talud natural y se puede obtener de la tabla de la figura 17. ϕ = Ángulo de rozamiento interno del relleno. Se obtiene por ensayo directo y aparece en el estudio geotécnico en caso de terrenos, aunque también se puede obtener de la tabla de la figura 18 para suelos (Calavera) o bien de la tabla de la figura 17 si hablamos de granos de productos agrícolas susceptibles de almacenar. δ = Ángulo de rozamiento entre el elemento contenido y el muro, es decir,
ángulo de rozamiento muro-relleno. Es necesario considerar un valor adecuado de este ángulo que nos aporta la fricción muro-relleno " δ". El considerar el valor de este ángulo nulo supone disminuir el valor del empuje en torno a un 7% respecto al considerar nulo este valor, es decir, que en la práctica si se considera nulo quedamos del lado de la seguridad. Sin embargo esto puede llegar a ser muy conservador penalizando mucho el proyecto del muro y sus comprobaciones y obteniendo valores en ocasiones muy elevados de empuje activo horizontal. Algunos autores recomiendan considerarlo al 50%, ya que si se considera todo el rozamiento puede llegar a disminuir la componente horizontal en torno a un 24%, lo cual para estos autores es excesivo, comprometiendo la seguridad (Ver aclaración esquemática de la figura 19) . Conclusión: deberá ser el proyectista el que deba elegir el valor del ángulo de rozamiento muro-relleno " δ", en base a los valores estimativos proporcionados en la tabla de la figura 20 o en base a otros que aporte su propia experiencia. También se pueden tomar los valores proporcionados en la tabla 21, que son los existentes en la parte 2 del CTE DB-SE-Cimientos.
λh = Coeficiente de empuje activo horizontal (adimensional).
λv = Coeficiente de empuje activo vertical (adimensional).
Material del relleno
Grava Arena Limo Arcilla Tierra vegetal Terraplén Pedraplén Avena Cebada Trigo
Ángulo de talud Ángulo de natural rozamiento interno "β" "ϕ" TERRENO NATURAL 34-45º 17-20º 17-20º 15-22º RELLENO 25º 30º 40º PRODUCTOS AGRÍCOLAS - ALMACENAMIENTO 26-28º 30º 25-29º 25º 25º
Peso específico = Densidad aparente "γ" (kN/m3) 19-22 17-20 17-20 15-22 17 17 18 4,5 6,5 7,5
Figura 17.- Ángulos de talud natural " β" y ángulos de rozamiento interno " ϕ" , así como valores de densidad aparente o peso específico " γ " de varios rellenos, pudiendo ser tierras y otros productos agrícolas susceptibles de almacenamiento, proporcionados por diversos autores. Lo ideal es que todos estos parámetros sean aportados por el estudio geotécnico y no se tenga que usar esta tabla en los cálculos reales, sin embargo si no se cuenta con datos, no quedará más remedio que trabajar con los datos de esta tabla. Clase de terreno Grava arenosa Arena compacta Arena suelta Pedraplén
Ángulo de rozamiento interno "ϕ" 35-45º 35-45º 30-35º 35-45º
Densidad seca "γ" (kN/m3) 20 20 17 18
Figura 18.- Ángulos de rozamiento interno " ϕ" de suelos granulares y densidades secas de los mismos según Calavera. Consideración del ángulo de rozamiento rellenomuro "δ"
Disminución o aumento del valor del empuje activo "Ea"
Resultado obtenido en el cálculo del proyecto del muro Demasiado conservador. Nulo = 0º Un 7% más de "Ea" Siempre del lado de la seguridad Al 50% de su valor Ideal Ideal Un 24% menos de "Eh" Puede que se comprometa Al 100% de su valor Empuje horizontal la seguridad del muro Figura 19.- Tabla esquemática que facilita la comprensión sobre la elección adecuada del valor del ángulo de rozamiento muro-relleno " δ".
Trasdós
Suelo
Suelos granulares y cohesivos a largo plazo
Trasdós perfectamente liso Trasdós de acero
0 2 3
∙φ ∙φ
Suelos cohesivos a corto plazo 0 0
2 Trasdós prefabricado de 0 hormigón 3 Trasdós hormigonado ϕ 0 contra el terreno Figura 20.- Valores del ángulo de rozamiento muro-relleno " δ", en función del tipo de trasdós y características del material de relleno en dicho trasdós, siendo" ϕ" como bien sabemos el ángulo de rozamiento interno del relleno (ver tabla de la figura 17). Con la extinta norma NBE-AE/88 siempre se tomaba el valor de δ = 2/3 de ϕ, salvo justificación especial. Hoy en día muchos técnicos siempre toman directamente este valor. Con la nueva norma CTE Parte 2 - DB-SE-Cimientos se recomiendan utilizar otra serie de valores, que se pueden observar en la tabla de la figura 21.
