Calculo Diferencial e Integral

Cálculo Diferencial e Integral I

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Académico Profr. Adrián Esquer Duarte Director Administrativo C.P. Gilberto Contreras Vásquez Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas Director Financiero Lic. Oscar Rascón Acuña CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Primera edición 2008. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Supervisión Académica: Jesús Arely Meza León Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Profr. Adrián Esquer Duarte Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2008. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 3,468 ejemplares.

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Ubicación Curricular COMPONENTE:

GRUPO:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

FÍSICO-MATEMÁTICO Y ECONÓMICOADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________

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Mapa Conceptual de la Asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Inician con el conocimiento de

Límites y continuidad Conforman las

Derivadas Se aplican

Funciones elementales

Funciones trascendentes Para derivar se usan

Reglas de derivación Se utilizan en

Aplicaciones A problemas de

Valores máximos y mínimos

Optimización en las ciencias naturales y sociales

Graficado de curvas complejas

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Índice Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7 Presentación.........................................................................................................8 UNIDAD 1. LÍMITES ................................................................................... 9 1.1. Límites. ..........................................................................................................11 1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.........................................11 1.1.2. Teorema o propiedades de los límites ...............................................16 1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. .................................18 1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito .................................................23 1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................29 1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................30 1.2.2. Teoremas de valor intermedio y de valores extremos ........................33 Sección de tareas ................................................................................................35 Autoevaluación .....................................................................................................45 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................47 UNIDAD 2. LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA .............................. 49 2.1. La derivada ...........................................................................................................51 2.1.1. Razón de cambio promedio e instantánea ..............................................51 2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea ....................................56 2.1.3. Interpretación geométrica de la derivada ................................................57 2.1.4. Diferenciabilidad en un intervalo ...............................................................61 2.2. Reglas de derivación ............................................................................................65 2.2.1. Reglas de la potencia ................................................................................65 2.2.2. Reglas del producto y del cociente de funciones ...................................68 2.2.3. Regla de la cadena ....................................................................................69 2.2.4. Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas............................................................................71 2.2.5.- Derivadas de funciones: exponencial y logarítmicas ..............................76 2.3. Derivación implícita...............................................................................................77 2.4. Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal ..........................................................................................................81 Sección de tareas ................................................................................................87 Autoevaluación .....................................................................................................97 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101

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Índice (continuación) UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES ....................................................................... 103 3.1. Aplicaciones de la primera derivada................................................................... 105 3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada .................................................................................. 105 3.1.2. Derivadas de orden superior .................................................................... 111 3.1.3. Cálculos de Valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada...................................................................................... 111 3.1.4. Funciones crecientes y decrecientes ...................................................... 114 3.2. Concavidad.......................................................................................................... 118 3.2.1. Criterio de la segunda derivada. .............................................................. 118 3.2.2. Puntos de inflexión .................................................................................... 120 3.2.3. Trazado de Curvas .................................................................................... 121 3.3. Aplicaciones de la derivada................................................................................. 123 3.3.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ......................................... 123 3.3.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales.................................................................................................... 127 Sección de tareas ............................................................................................... 131 Autoevaluación .................................................................................................... 139 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................... 141 Claves de respuestas .......................................................................................... 143 Glosario ............................................................................................................... 144 Bibliografía ........................................................................................................... 146

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Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase. Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

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Presentación El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales. La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como:

La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes. El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental. La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.

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Unidad 1 Límites. Objetivo: El alumno: Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Temario: ¾ Límites. ¾ Teorema de continuidad de una función.


Mapa Conceptual de Unidad CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

CONDICIONES DE CONTINUIDAD

TEOREMA O PROPIEDADES

TEOREMAS DE VALORES INTERMEDIO Y EXTREMO

FUNCIONES

INFINITOS Y EN EL INFINITO

10

Límites

1.1.

LÍMITES

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. Investigaremos qué sucede con las imágenes de f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) se acercan al valor específico x=c, tanto por la derecha como por la izquierda. Haremos esto tabulando los valores de la función para los valores de x cada vez más cercano al número. Consideramos la función f(x)=x+5 cuando x se acerca a -2. x -2.1 -2.01 -2.2001 -2.0001 -2.00001

x -1.9 -1.99 -1.999 -1.9999 -1.99999

F(x) 2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999

F(x) 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001

Como podemos observar que cuando x se acerca a -2 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 3, esto es, cuando x está muy cerca de 2, f(x) está próximo a 3. Este comportamiento se representa matemáticamente por medio del concepto de límites de una función, decimos en este caso que 3 es el límite de la función, cuando x tiende a -2 y lo escribimos como: F(x) Izquierda

3 cuando x

-2

derecha

La abreviación Lim fue usada, por primera vez, por Ginebrino Simón A.J. Ihuilier (1750-1840) en 1786 y la usó también Cauchy.

La noción que se adquiere de que f(x) tiende al número L cuando x tiende al número C, se detiene en general como la noción intuitiva de límite de la siguiente manera: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número A por ambos lados, entonces concluimos que “El límite de f(x) es L cuando x tiende a C”. El límite de una función se puede denotar de 2 formas: Lim f(x) = L

ó

F(X) = L1 SI X

C

11


Aquí también podemos definir los límites laterales como: A) L, es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a C por la izquierda y lo representamos como: Lim f(x)=L cuando xC se observa que f(x) se aproxima a L2 X C Propiedades de los límites laterales: El límite de la función f en x=c existen sus límites laterales y estos son iguales, por lo que tenemos: Lim f(x) = lim = lim f(x) X C X C X C Pero si sucede lo contrario, cuando los límites laterales son diferentes, se dice que el límite no existe y se representa como: Lim f(x) =E Ejemplo 1. Dada la función f(x)= x2-25 X–5 Elabora la tabla y la gráfica de la función y determina lim f(x) X Es importante saber que la existencia de una función f no depende si f está realmente definida C, sino solamente si f está definida para x cerca de C.

x 5.1 5.01 5.001 5.0001 5.00001 Derecha

x 4.9 4.09 4.009 4.0009 4.00009

F(x) 10.1 10.01 10.001 10.0001 10.00001

5

F(x) 9.9 9.99 9.999 9.9999 9.99999

Izquierda

Podemos observar que cuando x se acerca a 5 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 10, esto es cuando x está muy cerca de 5, f(x) está próxima 6 y lo escribimos como: F(x) 10 cuando x 5 O en su forma formal: lim X2 - 25 = 10 X- 5

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.límitesmatemáticos.c om

12

Límites

Al graficar la función, se observa que efectivamente, los valores de la función andan cerca de 10 cuando x se encuentra alrededor de 5. F(x) 10

Izquierda

derecha

A veces nos preguntamos por qué tenemos que hacer tanto procedimiento para determinar que lim x+5 = 3 X -2 Cuando por sustitución directa de x= -2 se encuentra el mismo resultado en la forma por demás más simple. Recuerda que aquí nos interesa encontrar el concepto de límite de una función y no el proceso mecánico para evaluar o determinar un límite. Debes observar que en casos como lim X2 -25 X–5 Si se sustituye x por 5 no es posible, esto nos lleva a una determinación en que para determinarlo requiere de artificios que nos permitan simplificar el factor que produce la indeterminación, en este caso sólo con factorizar así: (x-5)(x+5) = x+5, si x=5 X–5 Esto se verá cuando se apliquen los teoremas de límites en funciones independientes. Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén lim f(x) para la función: f(x) =2/x-2/ si x<3 x

2

El dominio de esta función son todos los números reales, como se vio en Matemáticas 4, sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos dará una forma de ver la otra parte de la función, nos dará media parábola. Lo que nos interesa es saber si las dos partes se unirán en un punto o nos apoyaremos en la recta numérica para saber que sucede para estos valores de x. Cuando x≥3 nos dice que se incluye el 3 en el dominio de la segunda parte de la función. En cambio si x<3 nos dice que es abierta y no se incluye absoluto, por lo que se pone paréntesis al 3 y a lo que resulte al momento de sustituirlo, por lo que la tabla de valores nos quedará:

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X<3 x -1 0 1 2 3

X≥3 x 3 4 5 6 7

F(x)=2/X-2/ 6 4 2 0 2

F(x)=X-3+1 1 2 2.41 2.73 3

La gráfica correspondiente a la función dada es:

Aquí se nota en la gráfica que las dos partes de la función quedan separadas. Ahora vemos qué pasa con este comportamiento en la obtención de límites. Elaboramos las tablas con x 3+ y con X 3- en la función. X 3+

X

x F(x)=2/X-2/ 2.9 1.8 2.99 1.98 2.999 1.998 2.9999 1.9998 2.99999 1.99998 Lim f(x)=2 X 3+ X

3x 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001

F(x)=X-3+ 1.31 1.1 1.03 1.01 1.003

Lim f(x)=1 3-

Llegamos a que estos dos límites son diferentes, por lo tanto el límite buscado no existe: Lim f(x) = E X 3+ Nota: En este caso el límite no existe, aunque este definida la función f(3). Interpretación de la gráfica: Ambos lados x=3, la función se dirige a diferentes puntos; por la izquierda a (2,3) y por la derecha, hacia (3,1)

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Límites

EJERCICIO 1: 1.

Dada la función f(x)=x2 – 2x + 3, completa las tablas y grafica los puntos para obtener el límite de la función cuando x tiende a 2. X F(X) 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

X

TAREA 1

F(X) Página 35.

1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

f no está definida para x=-3 1 -3 -2 -1

2

x

2.

¿Qué observas de los valores de la función conforme x se acerca al número C por la izquierda (xc)?

3.

¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (si o no)?

4.

Si la respuesta es afirmativa o negativa ¿Cómo se representaría en su forma formal?

5.

Escribe las notaciones de límite en el tipo de límite que representa.

a) Lim f(x()=L X C

( ) Límite por la derecha

b) Lim f(x)=L1 X C-

( ) Límite de una función

c) Lim f(x)=L2 X C+

( ) Límite por la izquierda

¿Notaste que los teoremas pueden estar combinados?

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1.1.2. TEOREMA O PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. En la sección anterior nos enfocamos a la tarea de llegar a la noción intuitiva de límites de manera informal. Encontramos que no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de valores para obtenerlo. Por consiguiente, daremos la estructura de cómo se denotan las propiedades o teoremas de los límites de funciones y que nos permiten, en algunos casos, encontrar los límites de una función de una manera mecánica o directa. 1. Si K es una constante: Limk=k si k es una constante Ejemplo: x c (Teorema básico) Lim 3=3 X 1

2. Si x es una identidad: Limx=e si x es una identidad Ejemplo: x c (Teorema básico) Lim x =-6 X -6 3. Si k es una constante que se multiplica por una identidad: Lim kx=kLimx = k(c) si x es una constante y x sea una identidad x c (También se le conoce como múltiplo escolar) Lim 7x = 7Limx= 7(2)=14 x 2 x 2 4. El límite de la suma o diferencia de funciones: Lim [f(x) +-g(x)1]=Lim f(x)+- lim g(x) x 2 x 2 x 2 Ejemplo: Lim (3x+5)= Lim 3x + Lim5 = 3 Limx + Lim 5 X 2 x 2 x 2 =3(2)+5=6+5=11 5. El límite del producto de funciones: Lim [f(x). g(x)] = Lim f(x). Lim g(x) X

2

X

2

X

2

Ejemplo: Lim x(x-3) = Lim x.Lim (x-3) X 2 X 2 Lim x [lim x – lim3] X

2

X

2

=2(2 – 3) = 2(-1)= -2

16

Límites

6.

El límite del cociente de funciones:

Lim [ f(x)/g(x) ] = lim f(x) , si Lim g(x) ≠0 X c x c

TAREA 2

lim g(x) X

2 Página 37.

Ejemplo: Lim [ x/7x-1] =

Lim x = x 4

Lim x x 4

Lim(7x-1) Lim 7x – Lim 1 x 4 x 4 x 4 Lim x x 4 = 4 = 4 7Limx – Lim7 7(4)-7 28-1

= 4 27

7. El límite de una función elevada a una potencia: Lim xn = [ Lim x ] n = cn (nen) (Teorema básico) x c x c Ejemplo: x

Lim x2 = [Lim x ]2 =72 = 49 7 x 7

8. El límite para funciones con radicales, Lim n√f(x) = n√Lim f(x) X c x c Siempre y cuando cumpla con las siguientes condiciones: a) si n es par, f(x) ≥ 0 Ejemplo: x

Lim √2x = √Lim 2x = √2Lim = √(2)(2) = √4 = 2 2 x 2 x 2

Recordar Factorización. 1. Factor común. 2. La diferencia de cuadrados perfectos. 3. Trinomios cuadrados perfectos. 4. Trinomios cuadrados imperfectos. Como también la racionalización y funciones.

b) si n es impar, f(x) es cualquier real. Ejemplo: Lim √6x – x2 = √Lim 6x – x2 = √6Limx – Lim x2 x 3 x 3 x 3 x 3 √6Limx - [ Limx ]2 = √6(3)-(3)2 = √18-9 = √9 = 3 x 3 x 3

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EJERCICIO 2

1. En el recuadro escribe el nombre del teorema del límite o la forma en que se denota el teorema, según lo que aparecerá en las columnas. Revisa la primera celda. Límite de la suma de funciones Lim[f(x).g(x)] = Lim f(x)+Limg(x) x c x c x c Lim [f(x).g(x)] = Lim f(x).Limg(x) x c x c x c Límite de una función elevada a una potencia. Lim k x=kLimx x c x c

Límite de la diferencia de funciones. Límite del cociente de una función. Lim K=c x c El límite de una función elevada a una potencia.

2. Relaciona mediante líneas la columna de la derecha con la columna de la izquierda lo siguiente: Lim 3x = 3(-1) x -1

Lim k = c x

c

Lim √5 = √5 x 1/2

Lim x = c x

c

Lim x= -7 x

Lim kx =k.c x c

-7

Lim x3 = 43 =64 x 4

Lim xn = xc x c

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Al desarrollar este subtema, encontraremos que existen funciones indeterminadas que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un valor real, utilizaremos técnicas que nos convertirán en funciones determinadas. Ejemplo 1: Hallar: Lim (4x2+3) x 2 Solución: Lim (4x2+3) = Lim 4x2 + Lim 3 Teorema 4 x 2 x 2 x 2 = 4[Lim x2] + Lim3 Teorema 3 x 2 x 2 = 4(2)2 + 3 = 4(4)+3 =16 + 3 = 19 Nótese que Lim (4x2 + 3) es un límite (para x p(x)=4x2+3 no es sino el valor de p en x=2

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2) de la función polinómica

Límites

Lim p(x)=p(2) = 4(2)2 + 3 = 19 x 2 La propiedad de la sustitución directa es válida para toda la función polinómica, tal como se establece el Teorema 9. Límite de un polinomio Si p es un polinomio y c es un número real, entonces Lim p(x) = p(c) x c Estrategias para calcular límites. 1. Aprenda a reconocer los límites calculables por sustitución directa. 2. Si el límite de f(x) cuando x c no puede evaluarse por sustitución directa, intente hallar una función g que coincida con f en todo x=c (elegir g de modo que su límite sea calculable por sustitución directa) Ejemplo 2: Hallar: Lim x2 + x + 2 x 1 x+1 Solución: Puesto que el denominador no es cero para x =1, se puede evaluar directamente quedando: Lim x2 + x + 2 = 12 + 1 + 2 = 1+1+2 = 4 = 2 x 1 x+1 1+1 1+1 2 Teorema 10. Límite de una función dada por r(x) es p(x)/q(x) y c es un número real tal que q(c) ≠ 0, entonces Lim r(x) = r(c) = p(c)/q(c) x c Ejemplo 3. Hallar: Lim x2 + x – 6 x -3 x+3 Solución: Puesto que el denominador es cero para x=-3, no se puede aplicar el Teorema 10, entonces se factoriza x2 + x – 6 X2 + x -6 = (x+3)(x-2) Lim (x+3)(x-2) x -3 x+3

Técnica de cancelación

Lim x2 + x -6 Lim (x-2) = -3-2 = -5 x -3 x+3 x -3

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El resultado se ilustra en la figura. y f(x)= x2 + x - 6 x+3 x

Ejemplo 4. Hallar: Lim √x+1 -1 x 0 x Solución: Puesto que el denominador es cero para x=0, no se aplica al Teorema 10, entonces se racionaliza el numerador. √x+1 – 1 = (√x+1 - 1) (√x+1 + 1) = (√x+1)2 – 1 X x √x+1 + 1 x(√x+1+1) En consecuencia; Lim √x+1+1 = Lim 1 = 1 = 1 = 1 =1/2 x 0 x x 0 √x+1 + 1 √0+1 √1+1 1+1 Teorema 11. Límites de funciones trigonométricas s c es un número real, se verifican las siguientes propiedades: 1. Lim senx = sen c x c 2. Lim cosx = cos c x c 3. Lim tgx = tg c x c 4. Lim ctgx = ctg c x c 5. Lim secx = sec c x c

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Límites

Ejemplos: Hallar: Lim senx = sen(0) x 0

Teorema 11 y 3

Teorema 12. Dos límites trigonométricas especiales. 1. Lim senx = 1 x 0 x

x

2. Lim 1-cosx = 0 0 x

* si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe. Ejemplo 7: Lim (senx)1-cos/x = 10 x 0 Ejemplos: Hallar: Lim tgx x 0 senx Solución: Si sustituimos directamente llegaríamos a 0/0, pero usando tgx =(sen)/(cosx), podemos reescribir la función como: tgx = (senx)(cosx) = 1 senx senx cosx Luego, Lim tgx = Lim 1 = 1 = 1 x 0 senx x 0 cosx 1 Ejemplo 9: Hallar: Lim (1+tanx) = 1+tan 45° =1+1=2 x 45°

El poder milagroso del Cálculo Moderno se debe a tres invenciones distintas: La notación arábiga, las fracciones decimales y los logaritmos. F. Cojori 1897

Ejemplo 10: Hallar: Lim (1+senx)3/2cosx = (1+sen00)3/2cos0 = (1+0)3/2(1) =13/2 = 1 La regla de exponente nos dice que no importa a que exponente se eleve el 1, su resultado siempre será 1.

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Funciones logarítmicas y exponenciales. Definición. ex es la inversa de lnx. Se sigue que el dominio de ex es el conjunto de todos los números reales y su rango es el conjunto de todos los números reales positivos. Como ex es la inversa de lnx. Propiedades de ex (Teorema 12) a) ex >0 para toda x el rango de ex es el conjunto de todos los reales positivos b) ln(ex) = x c) elnx = x Las propiedades e y b vienen del hecho que ex y lnx son inversas una de la otra. Ejemplo 11: Lim ln(ex . e2x) = Lim ln (e3x) x 5 x 5 = Lim 3x propiedad b x 5 = 3(5) = 15

Ejemplo 12: Lim [ln (4x)+2ln(3x) – ln(x+1) – 3ln(x-1)] x 2 =Lim [ln (4x)(3x)2 ] =ln [ 4(2)3(2)2 ] x 2 (x+1)(x-1)3 (2+1)(2-1)3 = ln (8)3(4) = ln (8)(12) = ln 96 (3)(1)3 (3)(1) 3 = ln 32 = 3.46 ≈ 3.5 Leyes de los logaritmos. Si m>0 y n>0, entonces 1. log m.n = logm + logn 2. log m/n = logm-logn 3. log mn=nlogm

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Límites

1. En los ejercicios siguientes hallar el límite (si existe); a) Lim x2 + 1 = x -1 x+1

x

b) Lim sen x = ▲/3

c) Lim (4 – x/2) x 4

d) Lim √2x2 – 2 = x 3

e) Lim tg (▲x) x 3

f) Lim x3 – 27 3

x

g) Lim (1+▲x)3-1 ▲ 0 ▲x i) Lim esenx = x 2¶

x

EJERCICIO 3

h) Lim x-3 = 3 x2-9

j) Lim cosx 90° ctgx

x

k) Lim [ln-2x – ln (2x+3) + ln (ex) + elnx] = x 1 L) Lim esenx/x . e 1-cosx/x = x 0 M) Lim ln x3 – ln7x = x -1 2. Anota las cuatro funciones trigonométricas en donde nos dice que si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe. 3. Realizar la gráfica de los siguientes límites ilustrando donde la función no está definida o si está ya definida. a) Lim x - 4 X 4 X2 – X-12

b) Lim (x2-4x+1) X 2

c) Lim x3 -27 X 3 X2-9

d) Lim √25-X2 X 4

1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real. Trataremos ahora con límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras. Se aplican las siguientes definiciones informales. A. Si x aumenta sin límites, se dice que tiende hacia un infinito positivo. Esto se designa por: x +∞ B. Si x decrece sin límite, se dice que tiende a un infinito negativo. Esto se designa por: x -∞

23


Consideremos la función f donde f(x) =1/x para {x : x>0} como se ilustra en la figura siguiente:

5 f(x) = 4 1/x para x >0 3 2 1 1 2 3 4 5

La gráfica muestra que x se hace más y más grande, el valor de la expresión 1/x se aproximará más y más hacia cero, simbólicamente, esto es: Lim 1/x =0 x +∞ Otro ejemplo, probablemente menos obvio, puede encontrarse en la función f donde: F(x) = 3x2 X2+1 Esta función se ilustra en la figura siguiente, como también la tabla, mostrándonos lo que sucede a f(x) cuando x se hace inusitadamente mayor. x F(x)

24

1 3/2

2 12/5

3 27/10

4 48/17

5 75/26

10 300 100

100 30000 10001

1000 3000000 1000001

10000 300000000 100000001

Límites

Puede verse que según x aumente sin límite a través de reales positivas, f(x) se aproxima a 3, simbólicamente podemos afirmar esto de las siguientes maneras: F(x)

3 cuando x

+∞ o x +∞

Lim [3x2/x2+1] = 3

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

123456

Podemos hacer a f(x) tan cercano a 3 como se desee, haciendo a x lo suficientemente grande. Esto es, decir que el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 3 (If (x)-3l) sea tan pequeño como se desee (menor que ε) haciendo a x lo suficientemente grande (mayor que algún número N>0). Esto es también verdad para f(x) 3 según que x -∞. La siguiente definición define formalmente el límite de una función cuando x aumenta y disminuye sin límite. Definición 1. Lim f(x) = L si y sólo si para todo ε>0; эN>0 x +∞ Tal que I f(x) - Ll <ε cuando x>N Definición 2. Lim f(x) = L si y solo si para toda ε >0, ЭN<0 X -∞ Tal que I f(x)-LI <ε cuando x
Con el objetivo de evitar el considerar a la dirección y tener que tratar con dos definiciones, presentamos la siguiente definición de un límite donde x se puede aproximar por +∞ ó -∞. Definición que se forma de 1 y 2 para límites infinitos. Lim f(x) = L si y sólo si para toda ε >0; ЭN>0 x ∞ Tal que l f(x)- L I<ε cuando IxI>N Mas allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es saber identificar lo que es un límite infinito y de manera sencilla podemos decir que un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está determinado.

El símbolo de igualdad en la expresión Lim f(x)=∞ no significa que el límite exista. Todo lo contrario, nos indica la razón de su no existencia: El comportamiento no acotado de f(x) cuando x tiende a c.

25


A continuación damos ejemplos de límites infinitos, tanto por la izquierda como por la derecha o de ambos lados: 1. Lim x = ∞ x 1+ x-1

2. Lim x = ∞ x 4- X+4

3. Lim x+5 = ∞ x 5 x2-25 Resolución de límites infinitos. Encuentra qué signo debe tener ∞ en las siguientes funciones con límites, cuando x tienda a la izquierda o a la derecha. 1. Lim x 2-

3x = Se toma un valor cercano a 2 por la izquierda o por x-2 la derecha. Tomaremos 1.999 y lo sustituiremos en la función.

3x = 3(1.999) = 5.997 = -5.997 x-2 1.999-2 -0.001 Como es negativo el resultado, entonces: Lim 3x = -∞ x 2- x-2 2. Lim x2 = x 4 4-x x2 = (4.001)2 = 16.008001 = -16008.1 4-x 4-4.001 -0.001 Entonces: Lim x2 = -∞ x 4+ 4-x 3. Lim 2x – 3 = x 1/5 5x+1 2x - 3 = 2(-0.2001)-3 = -0.4002-3 = -3.4002-3 5x+1 5(-0.2001)+1 -1.0005+1 -1.0005+1 = 6800.4 Entonces: Lim 2x – 3 = +∞ x -1/5 5x+1 Límites en el infinito. En la resolución de los límites infinitos se utiliza fundamentalmente un teorema sobre límites, el cual nos dice que el límite de una constante dividida entre una variable, cuando la variable tiende a infinito, es igual a cero. 26

Límites

Lim c = 0, si c = constante x ∞x Ejemplos: Hallar el límite de las siguientes funciones: 1. Lim 3x4 -5x3 +4x2 -3x+6 = 3x4/x4 – 5x3 + 4x2/x4 – 3x/x4 + 6/x4 x ∞ 6x4+8x3-4x2+8x+10 6x4/x4 + 8x3/x4 – 4x2/x4 + 8x/x4+10/x4 = 3 – 5/x + 4/x2 – 3/x3 + 6/x4 6 + 8/x – 4/x2 + 8/x3 +10/x4 x ∞

se aplica el teorema Lim c/x = 0

= Lim 3/6 = 3/6 = ½ x ∞ Hay que considerar que la variable de exponente más grande debe ser el mismo en el numerador como en el denominador. De no cumplir con el requisito le asignaremos el valor cero. 2. Lim 7x2 – 3x = 7/0 = ∞ No existe x ∞ 5x + 0 Como x2 no está en el denominador, esta parte vale cero. 3. Lim 10x3 + 6 = 10x3/x3 + 6/x3 = 10/-10 = -1 x ∞ -10x3-7 -10x3/x3 – 7/x3 4. Lim 2x3 + 6 = 0/8 = 0 x ∞ 8x5 +10x Como x5 no está en el numerador, esta parte vale cero. 5. Lim 3√x + √x = x1/3 + x1/2 = 1/-1 = -1 x ∞ 3√x + √x x1/3 x1/2 Como 1/2 >1/3 entonces ½ es el mayor exponente. 6. Lim (5 – 2/x2) = Lim 5 – Lim 2/x2 = 5-0 = 5 x ∞ x ∞ 7. Lim 2x -1 = 2x/x – 1/x = 2 – 0 = 2/1 = 2 x ∞ x+1 x/x + 1/x 1 + 0 8. Lim n = Lim n/n = Lim 1 = 1/1 = 1 x ∞ n+1 x ∞ n/n+1 x ∞ 1+1/n 9. Sea f(t) el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)= 1 es el nivel normal (sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se arroja materia orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por:

TAREAS 3 y 4

Páginas 39 y 41.

F(t) = t2 – t + 1 t2 + 1 27


¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el límite para t tendiendo al infinito? Solución: Cuando t = 1, 2 y 10, los niveles de oxígeno. F(1) = 12 -1 + 1 =1/2 = 50% 1 semana 12+1 F(2) = 22 – 2 + 1 = 3/5 = 60% 2 semanas 22 + 1 F(10) = 102 – 10 + 1 = 91/101 = 90.17 10 semanas 102 +1 Lim t2 – t + 1 = 1- 1/t + 1/t2 = 1 – 0 + 0 = 1 = 10% x ∞ t2 + 1 1 + (1/t2) 1 + 0 Contesta lo que se te pide. 1. Determina el signo que debe tener ∞ en las siguientes funciones al aplicar límites infinitos: A) Lim 6x = x 3- x-3 B) Lim x2 = x 2+ 4-x C) Lim 3x – 2 = x 1-/4 4x + 1 2. Resuelva los siguientes límites en el infinito: A) Lim 4x3 + 9x2 + 3x = x ∞ 6x3 + 3x + 5 B) Lim 10x2 + 5x – 3 = x ∞ 5x2 + 3x – 5 C) Lim 10x5 -3x4 + 3x2 = x ∞ 14x9 -5x7 + 3x2 + 5

28

Límites

1.2.

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto. Por ejemplo, cuando vamos caminando y encontramos un charco de agua, tenemos que brincar para poder seguir nuestro camino. En las gráficas se presenta el mismo caso; es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En caso contrario, cuando no despegamos el lápiz del papel decimos que la función es una función continua. Y cuando lo despegamos es una función discontinua. Analizaremos las siguientes figuras para obtener la definición de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva (informal). F(x)

C

x

f(x)

c

En forma intuitiva se puede decir que la gráfica que representa a esta función, puede dibujarse en un trazo interrumpido. Concluimos que es una función continua.

x La gráfica que representa esta función, da un salto; o sea, hay un trazo interrumpido. Concluimos que es una función discontinua.

En el subtema siguiente llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a establecer las condiciones para que una función sea continua.

29


1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD. Sea la función: 1. f(x) = (x+2)(x-5) x–5 Gráfica de la función: 9 8 7 6 5 4 3 2 1

f(x)

X 1 2 3 4 5 6 7

En esta función f(x) no está definida, esto nos dice que para toda x ε R, excepto cuando x=5, hay una ruptura en la gráfica en x=5 concluimos que la función f es discontinua en x=5 y continua para todos los otros valores de x≠5. Consideramos la función g: 2. g(x) =

x cuando x≠3 2 cuando x=3

No por el hecho de que g(x) está definida para todos los números reales x, hay una ruptura en su gráfica en x=3 y debemos afirmar que g es discontinua en 3, teniendo a una función definida en algún punto c es una condición necesaria para la continuidad en ese punto pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista. La siguiente definición explica la situación: Definición. Se dice que es una función f es continua en c si y sólo si las tres condiciones siguientes son verdaderas. I. f(c) está definida II. Lim f(x) existe x c III. Lim f(x) = f(c) x c Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que f es discontinua en el elemento c. Continuidad es un intervalo abierto: Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. 30

Límites

Una función que es continua en toda la recta real (-∞+ -∞) se llama continua en todas partes. Existen dos tipos de discontinuidad, las evitables y las esenciales. Por lo general, la discontinuidad es evitable cuando se rompe por factorización o cuando podemos cambiar alguna de las condiciones de la función, y será esencial cuando no podemos hacer lo anterior. Si no se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, entonces la función será discontinua en ese punto. Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos: 1. Una división entre cero. 2. Extraer una raíz de índice para una cantidad negativa. Si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores, la función será continua para ese valor. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en los puntos que se te indican: 1. f(x) =

2 si x= 1 2x2 + x – 3 si x ≠ 1 x–1

Aplicando las tres condiciones: I. f(x) existe f(1)=2 cumple II. Lim f(x) existe Lim (2x+3)(x-1) = Lim 2x+3 x c x c = 2(1)+3 =2+3=5 cumple Se factoriza 2x2 + x -3: (2x+3) (x-1) III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) no cumple ya que 2≠5 x c x c Es discontinua en x=1 2. F(X) 1/x-3 aplicando las tres condiciones de continuidad, Primeramente se toma x-3 del denominador y se iguala a cero para despejar x. x-3 =0 , x= 3 f(c) existe f(3) no existe por lo que f es discontinua en x=3 3. f(x) =

2x + 1 2x – 1

cuando x ≥ 5 cuando x < 5

31


Aplicando las tres condiciones de continuidad: I. f(c) existe f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 1 cumple II. Lim f(x) existe Lim 2x – 1 = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9 cumple x c x 5 III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) o sea 11 ≠ 9 no cumple x c x c Es discontinua en x= 5 EJERCICIO 3

Contesta lo que se te pide. 1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. a) f(x) 0 x2 – 1 b) f(x) = 3x + 5 c) f(x) =1/2 + x d) f(x) = x2 – 9 x+3 e) f(x) = √x-1 f) f(x) = 3x, si x ≥ 3 6x , si x ≤ 3 g) f(x) =

9x, si x <9 10, si x=9 X2, si x>9

h) f(x)=

x+3, si x= 3 x-3 3x, si x>3 X2, si x<3

2. Comprueba que las siguientes funciones son continuas en todas partes. a) f(x) = 3 sen(x) c) f(x) = 101/x

b) f(x) = Ix-2I d) f(x) = x/x2-1

3. Demostrar que la función f(x) = x2 – 1 es continua en x=3 TAREA 5

Página 43.

32

4. Dada la función f(x) =

3x – 2 cuando x≥ 3 kx+1 cuando x<3

Límites

Determina el valor de k que hará que f sea continua (-∞, +∞ ) 5. Determina si las siguientes funciones son continuas en el intervalo que se indica: a) f(x) = 3/5x + 3 , en [1,-5] b) f(x) = x – 6 , en [1,6] x–7 c) f(x) = √5 +x , en [-5,2]

El teorema no nos proporciona un método para encontrarlo. Tales teoremas se denominan teoremas de existencia.

d) f(x) = √3-x , en [3,7] e) f(x) = √x+2 , en [-3,2] 1.2.2. TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS. Definición de los teoremas: Teorema del valor intermedio. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b], tal que f(c)=k. El teorema de valor intermedio asegura la existencia de al menos un número c en el intervalo [a, b]. Puede, claro, haber más de uno, como se indica en la figura:

33


Teorema de valores extremos. Si f es continua es un intervalo cerrado [a, b] entonces f alcanza un valor máximo y también un valor mínimo en ese intervalo. Este teorema nos dice que en el recorrido de la función ésta deberá alcanzar un valor mayor y un valor menor. Estos valores son los valores extremos; es decir, los más alejados que tendrá la función. f(x) f(c+ S ) f(c) T(c- S ) 0 c- S c c+ S

¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento; esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.

34

x b

Límites

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 1

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega resultados a tu profesor. A) Para las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye una tabla de valores para encontrar el límite dado.

1. Lim (1-2x) X

6. Lim x2 – 9

1

x

2. Lim √x-2

7. f(x) =

x

3 x–3 2x+1 si x<1

c

x+5 si x ≥ 1

3. Lim x2 – 2x x 0

8. g(x) =

x2 + 2x si x ≥ -1 1/4x+1/2

4. Lim f(x) x2 – 2x +3 x 2

9. Lim x2 + 5x + 6 x 6 x2+8x+16

5. Lim x + 1 x 3 x- 3

10. f(x)=

x2 si x < 2 -x+6 si x >2

B) Escribe cinco ejemplos de la vida real donde se apliquen los límites. 1. 2. 3. 4. 5.

35


Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

36

Límites

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 2


INSTRUCCIONES: En los siguientes límites de funciones indica el teorema que se aplica y evalúalos. a) Lim ¶ = x e

b) Lim x= x

-1

c) Lim 5x4 – 8x3 – 2x2 – 3x + 2 = x 1/2 d) Lim (3x2 + 2)(5x2 + 9) x √2 e) Lim (5x+1)3 = x 1 f) Lim √x2 +x x 1/9 g) Lim 3x + 2 x 4 5x+6 h) Lim [√x+6 + √x2+7] = x -2 i) Lim 9x + 5 = x 7/3 3x-8 j) Lim [(3x6)(9x+7)] + √8x/x = x 8

37



38

Límites

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 3


INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te indica en cada caso y entrega el resultado a tu profesor. I. En los siguientes ejercicios aplicarás los teoremas sobre límites. 1. Sea f(x)= 3x2-2x+1, g(x)=x2-4 y h(x) = 4x-3 Hallar ; a) Lim [f(x) + g(x) – h(x)] x 2 b) Lim [f(x). g(x)] x 1 h(x) c) Lim [ h(x) . g(x) – f(x)] x 5 f(x) 2. De los siguientes límites, indica cuáles son determinados, y cuáles, indeterminados. a) Lim 2x-10 = __________________________ x -5 x+5 b) Lim (x+3)2 = __________________________ x -2 (x-2)2 c) Lim 5x2 – 4x – 12 = ______________________ x 6/5 (5x+6)(x-2) d) Lim xcosx = ____________________________ x ¶ e) Lim h2 – 2h +1 = ________________________ h 0 h-1 f) Lim e9k = _______________________________ x 6 g) Lim ln [2x+2x] = ________________________ x -1

39


3. ¿A qué conclusión llegaste en los teoremas de límite en el subtema 1.1.2 en los teoremas del subtema 1.1.3 al aplicarse en los ejemplos de las funciones? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 4. ¿Qué son funciones determinadas y funciones indeterminadas? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 5. ¿Cuáles son las técnicas o procesos para convertir una función indeterminada en determinada? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 6. Una escalera de 25 pies se apoya en una casa y su base se separa de la casa a razón de 2 pies por segundo. Sabiendo que su extremo superior desciende por la pared con velocidad, r=

2x pies/seg √625-x2 a) Hallar la velocidad cuando x es 7 pies. b) Hallar la velocidad cuando x es 15 pies. c) Hallar el límite de r cuando x es 25


40

Límites

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 4


INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide y entrega un reporte a tu profesor. 1. De las funciones siguientes encuentra el signo que debe de asignarse al ∞. a) Lim 5x = x 5 x-1 b) Lim 4x + 9 = x 3 2x+3 c) Lim __x__ x 1+/2 2x-1 2. Resuelve los siguientes límites en el infinito para comprobar las siguientes desigualdades. a) Lim 6x3 – 5x2 + 3 = -3 x ∞ 2x3 +4x -7 b) Lim ax4 + 6x2+c = 0 x ∞ dx5+cx3+fx c) Lim 4x2 – 3 = 1 x ∞ 2x3+3x2 d) Lim 3h+2xh2+x2h3 = 1/2x x ∞ 4-3xh-2x3h3 e) Lim √x+1 = 1 x ∞ x-1 f) Lim 3+cosx = 0 x ∞ x g) Lim n/n+1 = -1 h) Lim x+3 = 5 x ∞ x2+5x+6

41



42

Límites

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 5


INSTRUCCIONES: 1. Determina si las funciones son continuas o discontinuas y compruébalas con la gráfica de cada una de ellas. a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = 3x+5 c) f(x) = 1/3+x d) f(x) = x2 – 16 x+4 e) f(x) = /x/ si x ε (-4,4) f) g(x) =

2x2 si x ε [0,2] 5x-2 si x ε (2,4)

g) f(x) =

1/x , si -5 = x ≤ -1 √x2+1 , si -1
h) f(x) =3/x-1 i) f(x) =

2x+3, si x ≥ 4 3 , si -4 < x < 4 3-2x, si x ≤ - 4

2. Para cada uno de los problemas determina si la función es continua sobre el intervalo dado: a) f(x) = 1/x+2 : (-∞, -2); (-∞, -2] ; (-2, +∞); [-2, +∞) b) f(x) = √x2 – 9 : (-∞, -3] ; [-3,3) ; [3,+∞) ; (3, +∞) c) f(x) = senx : (-∞, +∞) ; [¶/2, ¶/4] ; [0,¶]

43


3. Realiza una gráfica para representar el teorema de valor intermedio y de valores extremos.


44

Límites

Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la letra que corresponda: 1. Lim x2 – 25 = x -5 x+5 A. 6 B. -10 C. No existe límite (∞) D. 1 2. Lim (x2-4k+1) = x 2 A. 0 B. 7 C. -3 D. 2 3. Lim 4 – x2 = x 2 3-√x2 +5 A. 1/7 B. 2x C. 5 D. 6 4. Lim 3x – 2 = x ∞ 9x+7 A. 1/3 B. 6/5 C. 0 D. -2 5. Lim senx = x ¶/2 A. ∞ B. 1 C. 0 D. -1

45


6. El valor de k en la función f(x) = x+3 , x ≤ 2 es: Kx+6 , x >2 A. 2 B. -∞ C. -1/2 D. 4 7. Lim Ln (2e2x . 3e4x) = x 3 A. -32 B. 8 C.100 D.180 8. La siguiente gráfica corresponde a una función: f(x)

x

A. continua en x=0 B. discontinua en x=0 C. constante en x=0 D. constante en x<0 9. Lim x2 – 4 es: x 2 A. continua B. continua removable C. discontinua D. discontinua removable 10. La función f(x) = 1/√2-x es continua: A. [2, +∞) B. (-2,-∞) C. (3, +∞) D. (3,-∞)

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. 46

Consulta las claves de respuestas en la página 141.

Límites

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un reporte a tu profesor. 1. Obtén los siguientes límites: a) Lim [ x3 – 27 ]= x 3 x-3 b) Lim [ (x+5)2 - 25] = x 0 x c) Lim [ √x – 2 ] = x 4 x-4 d) Lim [ 2 + 3senø]= x ø e) Lim senø (cotø + tanø) = ø 0 cos22 f) Lim x3 – 2x2 – 5x+6 x 1 x3-3x2-x+3 g) Lim ex + e-x = x 0 3 h) Lim Ln [(2x-8)2 + 5x3] x 2 i) Lim (x2 – 3x + 2 ) (x-3) x -3 j) Lim 4x + 4 = x ∞ 2x+5 k) Lim 3x + 4 = x ∞ √2x2-5

47


2. Determina el signo + o – del ∞ resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos. a) Lim 5x = x 2+ -x+2 b) x

3- x 2 = x-3

c) Lim 2x-3 = x 2-/7 7x+2 3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado. a) f(x) = 3x + 5 x=2 b) f(x) = 5(x+2)2 – 7 x= -1 c) f(x) = -1/x-1/ + 4 x= 0 d) f(x) = x2 – 36 x–6

x= 6

e) f(x) = 1/2x3 si x ≤ 2 x=2 -(x+1)2+5 si x > 2

f) f(x) = 3(x+1)2-1 si x < -1 1 si x = -1 x-1 si x > -1 g) f(x) = /x/

si x ε (-4,4)

h) f(x) = 2x2 si x ε [0,2] 5x-2 si x ε (2,4) 4. Hallar la discontinuidad de las siguientes funciones. Determinar si son removibles o no son removibles. a) f(x) = 2/x b) f(x) = x3 - 27 x2 – 9 c) f(x) = 0 si x = 0 2 si x ≠ 0 5. Trazar las gráficas de las siguientes funciones y determinar si son tentativas en el intervalo cerrado [0,1]: a) f(x) = . b) f(x) = 1 48

1/x si x > 0 si x ≤ 0 si 0 < x ≤ 1

Unidad 2 Las razones de cam b i o y l a derivada.

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económicoadministrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

El libro de la naturaleza “El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito… Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos matemáticos). Galileo Galilei Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.

Temario: ¾ ¾ ¾ ¾

La derivada. Reglas de derivación. Derivación implícita. Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal.


Mapa Conceptual de Unidad La Derivada

Se obtiene por

Derivación implícita Las reglas de derivación

Razón de cambio promedio e instantánea.

Regla de la potencia

De las cuales obtenemos

Interpretación geométrica de la derivada Para concluir en

Las cuales son

La diferenciabilidad en un intervalo

Graficado de curvas complejas

Reglas del producto y del cociente

Regla de la cadena

Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Las cuales se emplearán en

Ecuaciones de la tangente y normal, longitudes de la subtangente y subnormal.

50

Las razones de cambio y la derivada

2.1.

LA DERIVADA

Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1. 2. 3. 4.

Gottgried Wilhem Leibniz (16461716) Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal

El problema de la tangente. El problema de la aceleración. El problema de máximos y mínimos. El problema del área.

Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

2.1.1. Razón de cambio promedio e instantáneo. En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta llamada “m” y se concluyó lo siguiente: a) La pendiente de toda recta paralela al eje “x” es cero.

b)

La pendiente de una recta que forma un ángulo positiva.

c)

Una recta paralela al eje “y” no tiene pendiente.

d) Si la recta forma un ángulo negativa.

θ

θ

entre 0° < θ < 90° es

entre 90° < θ < 180° la pendiente es

51


Veamos la siguiente gráfica.

y = f ( x) = mx + b

y=f(x) P2

y2 y1

∆y

P1

∆x x1

x2

Sea P1 ( x1 , y 2 ) yP2 ( x2 , y 2 ) dos puntos de la recta. Recuerda que la pendiente del segmento P1 y P2 se define:

m=

y 2 − y1 x2 − x1

Y por lo tanto:

m=

∆y ∆x

∆ Es una letra griega llamada delta. Que significa: CAMBIO.

Donde:

∆x = x2 − x1 . Es la diferencia de las abscisas (x) ∆y = y 2 − y1 . Es la diferencia de las ordenadas (y) Por lo tanto:

∆y se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”. ∆x

La razón de cambio:

∆y es el mismo para cualquier par de puntos que se ∆x

tomen en la línea recta. Para demostrar esto veamos lo siguiente: Tomamos la ecuación de la recta:

( y − y1 ) = m( x − x1 )

P1 ( x1 , y 2 ) yP2 ( x2 , y 2 ) dos puntos de la recta y − y1 m= 2 es la pendiente de la recta que pasa x2 − x1

Sean y

por dos puntos.

52

( y − y1 ) = m( x − x1 ) Es la ecuación de la recta de la forma punto pendiente


Y como " x" y " y" de la ecuación ( y − y1 ) = m( x − x1 ) pueden tomar cualquier valor que satisfaga esa ecuación; es decir, es válida para cualquier punto por donde pasa la recta. Entonces:

( y − y1 ) = m( x − x1 ) quedaría: ( y 2 − y1 ) = m( x2 − x1 ) Y despejando la pendiente tenemos: y − y1 m= 2 x2 − x1 Esto demuestra que la pendiente es la razón de cambio promedio. Por lo tanto podemos definir que:

Razón de cambio promedio.

Sea f una función tal que y = f (x ) y P1 ( x1 , y 2 ) yP2 ( x2 , y 2 ) un par de puntos de f . Definimos la razón de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como:

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = x2 − x1 ∆x x2 − x1

Razón de cambio instantáneo. Sea y = f (x) una función definida en todos puntos del intervalo de cambio instantáneo de la función en x.

( x, y ) Definimos la razón

∆y

lim ∆x x →0

O bien:

lim x →0

f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que la diferencia entre ambas es que la razón de cambio promedio es una razón de incrementos, mientras que la razón de cambio instantáneo es el límite de una razón de incrementos.

53


Ejemplo 1. Determinar la razón de cambio promedio de la función

f ( x) = 3 x + 1 en el intervalo [3,7] Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

x

y = f (x)

∆x

∆y

3

f (3) = 10

4 −3 =1

f (4) − f (3) = 13 − 10 = 3

4

f (4) = 13

5− 4 =1

5

f (5) = 16

6 −5 =1

6

f (6) = 19

7 − 6 =1

7

f (7) = 22

f (5) − f (4) = 16 − 13 = 3 f (7) − f (6) = 22 − 19 = 3

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = Observamos la tabla para sustituir los x2 − x1 ∆x x2 − x1 resultados y tenemos:

∆y 3 = =3 ∆x 1 Por lo tanto la razón de cambio promedio de la función en el intervalo de 3. Ejemplo 2. Determinar la razón de cambio promedio de la función:

f ( x) = 5 x 2 + 2 x − 6 En el intervalo [−1,4] Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

x

x1 = −1 x2 = 4

54

y = f (x) f ( x1 ) = −3 f ( x2 ) = 82

∆x

4-(-1)= 5

∆y

82-(-3) = 85

[3,7] es



∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = ∆x x2 − x1 x2 − x1 ∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) 85 = = = = 17 3 ∆x x2 − x1 x2 − x1 ∆y = 17 ∆x

Geométricamente,

∆y = 17 es la pendiente de la recta secante que une ∆x

Los puntos (-1,-3) y (4,82).

Ahora veremos problemas en donde interviene la razón de cambio Instantáneo. Ejemplo 3. Las leyes de la física indican que si un cuerpo cae libremente a una distancia de “s” pies en “t” segundos, entonces

S = 16t 2

Hallar

∆s en el intervalo de valores de t ∈ [3,3.5] ∆t

Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

t

t1 = 3 t 2 = 3 .5

y = s (t ) s (3) = 144 s (3.5) = 196

∆s

∆t

196 - 144 = 52

3.5 - 3 = 0.5

El símbolo "∈" significa pertenece o está en.


∆s s 2 − s1 s (t 2 ) − s (t1 ) 52 = = = = 104 ∆t t 2 − t1 t 2 − t1 0.5 ∆s = 104 ∆t

Y como vimos en la materia Física I, la siguiente definición:

∆s desplazamiento = = velocidad promedio del cuerpo en el intervalo del ∆t tiempo

tiempo. Por lo tanto: La razón de cambio instantáneo es:

∆s pies = 104 ∆t seg.

55


EJERCICIO 1

En equipo: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los miembros de tu equipo. 1.- Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan. a) y = x , para 2

x ∈ [-3, 4]

b) y = x (7 x − 3) , para x ∈ [1, 6] 2

2.- Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se se te da en las siguientes funciones: a) y = x2 + 5x – 8, x e [1,1.2]

b) y = x2 + 2x, x e [1, 1.5]

Respuesta:

Respuesta:

∆y = 7.2 ∆x

∆y = 4.5 ∆x

c) Hallar ∆y, dado que y = x2 – 3x + 5, y ∆x = 0.01. Entonces, ¿cuál es el valor de “y” cuando x = 4.9? Respuesta: ∆y = - 0.0699 Y = 14.9301 3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas. Recordar que: V = 4 ∆ r3 3 b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son: 0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Si o no. e ¿A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica.

2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea. En el tema anterior se llegó a que una razón de cambio instantáneo es una Función definida en todos los puntos del intervalo [x, x + ∆x] si ∆x>0; En el intervalo [x + ∆x, x] si ∆x<0, lo cual se define como:

lim x →0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x

Por lo tanto, la derivada es en sí una razón de cambio instantáneo de dos variables relacionadas.

56


Es decir, la razón de cambio es una función continua y suave en un intervalo [a, b]. Si x es un punto del intervalo, entonces la derivada de la función en tal punto se representa como f ´(x) y se define como:

f ´(x) = lim ∆x → 0

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

Pero existen varias formas para denotarlas:

f ´(x) = Se lee efe prima de x, muy usada en funciones. (Lagrange) dy = Se lee derivada de y con respecto a x, muy usada en los formularios. dx (Leibnitz)

y´ = Se lee y prima, la más usada en la resolución de problemas. Es necesario continuar con el otro tema para comprender más ampliamente lo anterior, mediante la gráfica para ver como se comporta y por qué se denotó de esta manera.

2.1.3. Interpretación geométrica de la derivada. En el tema 2.1.1. aprendiste que cuando se conocen las coordenadas de dos puntos de una recta, se puede determinar su pendiente por medio de la expresión:

m=

f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

m=

∆y ∆x

Donde: ∆x = x2 − x1 y ∆y = y 2 − y1

Obsérvese el caso de una recta que se interseca en dos puntos a la gráfica de una curva cuya ecuación es de la forma y = f ( x ) ; la recta se conoce como secante a la curva.

57


Por el triangulo rectángulo que tenemos, podemos decir que:

tan(α ) =

∆y ∆x

Veamos ahora lo que ocurre cuando hacemos tender ∆x a cero, lo cual básicamente significa que el punto x se va acercando al x0

Siguiendo con este proceso, podemos ver como en el momento que se "juntan" los dos puntos (es decir, en el límite) la recta que cortaba la curva se convierte en una tangente a la curva en ese punto, y por lo tanto el valor de la fracción se convierte en la tangente del ángulo.

Así pues, la derivada de una función en un punto es el valor de la tangente del ángulo que la recta tangente a la curva en se punto forma con el eje de las abscisas. Fórmula de la derivada según su definición:

f ´(x) = lim ∆x → 0

58

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x


Otras notaciones:

f ´(x) = lim x →0

f ´(x) = lim x →0

f ( x) − f (a) x

f ( x + h) − f ( x ) h

Concluimos que la derivada es la razón de cambio instantáneo.

Ejemplo 1. Calcular la derivada de la siguiente función utilizando la fórmula por definición de esta misma.

f ( x) = 3x + 2 Solución: Paso 1.- Obtener los resultados de la función evaluada en (x+h). Es decir, sustituir en lugar de x a (x+h). así:

f ( x) = 3 x + 2 f ( x + h) = 3( x + h) + 2

f ( x + h) = 3x + 3h + 2 Paso 2.- Sustituir lo que se obtuvo en el paso anterior en la fórmula de la derivada por su definición.

f ´(x) = lim x →0

Sabemos que: Entonces:

f ( x + h) = 3 x + 3h + 2 y

f ´(x) = lim

3 x + 3h + 2 − (3 x + 2) h

f ´(x) = lim

3 x + 3h + 2 − 3 x − 2 h

f ´(x) = lim

3h =3 h

x →0

x →0

x →0

f ( x + h) − f ( x ) h

f ( x) = 3 x + 2

Por lo tanto la derivada de la función f ( x ) = 3 x + 2 es:

f ´(x) = 3

59


Ejemplo 2.- Calcular la derivada de la siguiente función utilizando la fórmula por su definición.

f ( x) = x 2 − 1 Solución: Paso 1.- Obtener los resultados de la función evaluada en (x+h). (Es decir sustituir en lugar de x a (x+h). así:

f ( x) = x 2 − 1 f ( x + h) = ( x + h) 2 − 1 Se tiene que desarrollar el binomio al cuadrado antes de realizar el paso 2. Binomio al cuadrado:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

f ( x + h) = ( x + h) 2 − 1 f ( x + h) = x 2 + 2 xh + h 2 − 1 Paso 2.- Sustituir lo que se obtuvo en el paso anterior en la fórmula de la derivada por su definición.

f ´(x) = lim x →0

f ( x + h) − f ( x ) h

Tenemos: f ( x + h) = x + 2 xh + h − 1 y Entonces: 2

f ´(x) = lim x →0

2

f ( x) = x 2 − 1

x 2 + 2 xh + h 2 − 1 − ( x 2 − 1) h

x 2 + 2 xh + h 2 − 1 − x 2 + 1) h x →0 2 2 xh + h f ´(x) = lim h x →0 f ´(x) = lim

Hacemos uso de la factorización para poder eliminar las h así:

h( 2 x + h ) h x →0 h( 2 x + h ) f ´(x) = lim h x →0 f ´(x) = lim (2 x + h) = 2 x + 0 = 2 x f ´(x) = lim

x →0

Por lo tanto, la derivada de la función f ( x ) = x − 1 es: 2

f ´(x) = 2 x Y la pendiente de la recta tangente de esta función para x = 3 es: m = 2 x entonces m = 2(3) = 6 .

60


I. Realiza en equipo lo que se te pide en cada caso. Comprueba los resultados con tus compañeros.

EJERCICIO 2

1.- Obtén la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones en el punto indicado. a) ƒ(x) =x2 ; x = 1

b) ƒ(x) =√X + 2 ; X = - 1

c) f(x) = x2/3 + x + ½; x = 3

d) r(x) = x3 – 2x2 + x – 4; x = -2

2.-Obtén la derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de la derivada. a) g(x) = 5x – 3 c) H(x) = 1/x2 – x e) p(x) = 1/x + 1

b) f(x) = 4x + 2 x–5 d) m(x) = x2 – 3x + 4 f) n(x) = √x + 2

2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO. Así como existen límites unilaterales, también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado. DERIVADA POR LA DERECHA: Si derecha se define como:

f ´+ ( x1 ) = lim ∆x →0 +

f está definida en x1 , la derivada por la

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) , si el límite existe. ∆x

DERIVADA POR LA IZQUIERDA: Si f está definida en x1 , la derivada por la izquierda se define como:

f ´− ( x1 ) = lim ∆x →0 −

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) , si el límite existe. ∆x

Una función definida en un intervalo abierto que contiene a x1 es diferenciable en

x1 si y sólo si f ´+ ( x1 ) y f ´− ( x1 ) existen y son iguales.

61


Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes: 1. La función es discontinua en el punto. 2. La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0). 3. La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto. La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos: Ejemplo 1.-

Sin embargo:

− x−0 x−0 x →0 − −x = lim(−1) = −1 f ´− (0) = lim x x →0 − x →0 − f ´− (0) = lim

Y

f ´+ (0) = lim

x−0 x−0

f ´+ (0) = lim

x = (1) = 1 x lim x →0 +

x →0 +

x →0 +

Y como podemos ver: f ´(0) no existe. Ver la siguiente gráfica.

62


x≥0 x Si f ( x) =| x |=  x<0 − x

Ejemplo 2. La función f ( x) = x ; − 1 ≤ x ≤ 2 que se lee (x es mayor o igual que – 1 y x es menor o Igual a 2). 2

Solución. Es diferenciable en [- 1, 2] puesto que f´(x) = 2x para todo Número x en (- 1, 2) f´- (2) = 4 y f´+ (- 1) = - 2 4

y = x^2

y

3 2 1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4

63


Ejemplo 3. Como f ( x ) =

1 es discontinua en x = 0, f no es diferenciable en ningún x

intervalo que contenga a 0. Observa la gráfica.

f ´(x) =

−1 x2

f ´(0) No existe. 4

y = 1/x

y

3 2 1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4

EJERCICIO 3

En equipo determina si las siguientes funciones son diferenciables en el punto dado, calcula la derivada por la izquierda y por la derecha si existen. Realiza la gráfica.

2. Demostrar que f(x) = x2 es diferenciable en [0,1] 3. Demuestre que la función continua dada no es diferenciable en el valor x Indicado.

F(x) =

64

-x + 2, si x es menor igual 2 ;x=2 2x – 4, si x> 2


2.2.

REGLAS DE DERIVACIÓN

DEFINICION DE LA DERIVADA: La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se expresa así:

derivada = lim

∆x →0

∆y ∆x

Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada. El Valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. La definición de la derivada tiene la desventaja que es muy laborioso y difícil de aplicar. Se verá ahora que la derivada de una función tal como F(x) = 6x100 + x35 puede obtenerse, por así decirlo, de un “golpe”. Es por eso que primero veremos algunas reglas para calcular la derivada de una manera más fácil.

2.2.1. REGLA DE LA POTENCIA. REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS.

1.- Regla de la función constante.

Si f ( x) = k , donde "k " es una constante, para cualquier x es (ver la siguiente figura)

f ´(x) = 0

Es decir:

f ( x) = k ⇒

f ´(x) = 0 El símbolo “ ⇒ ” se lee: Como: “entonces”.

k

f(x) = K

65


Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1)

f ( x) = 5 ⇒

f ´(x) = 0

Nota: Para comprender este teorema, se le proporciona la siguiente explicación: La gráfica de la función constante f ( x ) = k es una recta horizontal, que por lo tanto, tiene pendiente cero en todas partes.

2.- Regla de la función identidad: La gráfica f ( x) = x es una recta que pasa por el origen con pendiente igual a uno; podríamos esperar que la derivada de la función sea 1 para toda x . (ver la siguiente figura) Es decir:

f ( x) = x ⇒

f ´(x) = 1

f(x) = x

Ejemplos: calcular la derivada de las siguientes funciones identidades. f ´( y ) = 1 1) f ( y ) = y ⇒ 2)

g ( z) = z

g ( z) = 1

⇒

3.- Regla de potencias: Si f ( x ) = x , donde n es un entero positivo, entonces f ´(x ) = nx n

f ( x) = x n

⇒

f ´(x) = nx n−1

⇒

f ´(x) = 2 x 2−1 = 2 x

Ejemplo:

66

1) f ( x ) = x

2

2) f ( x) = x

−3

⇒

f ´(x) = −3 x −3−1 = −3x −4

n −1


1

3) f ( x ) =

x que la podemos representar:

f ( x) = x .2

1

1 −1 ⇒ f ´(x) = x 2 y restando los exponentes quedaría 2 −1 1 1 f ´(x) = x 2 por lo tanto f ´(x) = 2 2 x 4.- Regla del múltiplo constante. Si k es una constante y g es una función diferenciable, entonces:

f ( x) = k ( g ( x))

⇒

f ´(x) = k ( g´(x))

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1)

f ( x) = 3x

f ´(x) = 3(1) = 3

⇒

2) f ( x ) = −5 x

3

3) f ( x ) =

5 −2 x 3

4) f ( x ) =

5

⇒ f ´(x) = (−5)(3) x 3−1 = −15 x 2 ⇒

f ´(x) =

5 10 10 (−2) x −2−1 = − x −3 = − 3 3 3 3x 2 5

x , es decir f ( x) = x ⇒ 2

2

−3

2 −1 2 2 f ´(x) = x 5 = x 5 = 5 5 5 5 x3

5.- Regla de la suma y diferencia de funciones:

Si f y g son funciones diferenciables, entonces: ( f ± g )´(x) = f ´(x) ± g´(x) . Es decir, la derivada de una suma es la suma de las derivadas; o bien, la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.

F ( x) = f ( x) ± g ( x)

⇒

( f ± g )´(x) = f ´(x) ± g´(x)

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1) f ( x ) = 4 x + 6

⇒ f ´(x) = 4(1) + 0 = 4 4 −1 3 2) g ( x ) = −2 x + 8 x − 7 ⇒ g ( x ) = −2( 4) x + 8(1) − 0 = −8 x + 8 4

67


EJERCICIO 4

Individual: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) f ( x ) = 3 x − 5 x + 7 3

2) g ( x) = −4 x + 7 x 5

3) h( x) =

−2

+ 8x − 9

x5 1 4

4) f ( x ) = 6 x + 4 x − 9 x + 3 2

5) g ( x ) =

7

x 2 + 5x − 1

2.2.2. REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE DE FUNCIONES. 6.-Regla del producto de funciones. La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Sea f(x) = g(x) h(x) Como g(x) y h(x) están en función de x, cuando x se incrementa entonces:

f `( x) = g ( x)h`( x) + h( x) g `( x)

Ejemplo: Sea f(x) = (3 – x) (2 + x) Señalamos g(x): g(x) = 3 – x ⇒ g´(x) = -1 Señalamos h(x): h(x) = 2 + x ⇒ h´(x) = 1 Por lo tanto, sustituimos en la fórmula y obtenemos: f´(x)= (3-x) (1) + ( 2+x) ( -1) f´(x)= 3-x-2-x f´(x)= 1 – 2x

7.- Regla del cociente de funciones. La derivada del cociente de funciones es igual a una fracción que tiene por numerador: El denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. Es decir: Como g(x) y h(x) están en función de x, cuando x se incrementa entonces:

68


f ( x) =

g ( x) h( x )

⇒

f `( x) =

h( x) g `( x) − g ( x)h`( x) [h( x)]2

Ejemplo: 1) f ( x) =

x3 4x

Señalamos: → g´ (x)= 3x2 g(x) = x3 h(x) = 4x → h´ (x) = 4 Por lo tanto: f `( x) =

(4 x)(3 x 2 ) − ( x 3 )(4) (4 x) 2

12 x 3 − 4 x 3 8 x 3 = 16 x 2 16 x 2 x f `( x) = 2

f `( x) =

En equipo de cuatro, deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus resultados con los de tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

EJERCICIO 5

1) f ( x ) = (3 x + 6)(5 x ) 4

2) f ( x ) = ( −6 x − 3 x)(4 x − 8) 3

3) f ( x ) = ( 4 x + 5 x)( x − 3 x + 1) 2

4

5x 3 + 3 5x 3x 2 − 5 x 5) f ( x ) = 6x + 2

4) f ( x) =

2.2.3. REGLA DE LA CADENA Ahora trataremos de encontrar la derivada de la siguiente función: F(x) = (2x2 – 4x + 1) 60

TAREA 1

Página 87.

Sería difícil de resolver la derivada de esta función, pero por fortuna hay un mejor modo de proceder. Después de que hayas aprendido la regla de la cadena, serás capaz de escribir la respuesta tan rápido como puedas mover el lápiz: F(x) = 60 (2x2 – 4x + 1) 59 (4x – 4) En efecto, la regla de la cadena es tan importante que rara vez derivarás cualquier función sin usarla.

69


8.- Teorema de la regla de la cadena. Definición de una función compuesta: si David puede mecanografiar dos veces más rápido que Mary, y ésta mecanografía tres veces más rápido que José, entonces David puede mecanografiar 2.3 = 6 veces mas rápido que José. Las dos razones se multiplican. Supóngase que: y=f(u) y u= g(x) Determinan la función compuesta: y= f ( g(x) ).

Sea y = f(u) y u= g(x) que determinan una función compuesta Es decir: y = f (g(x)) que esto quedaría de la siguiente manera: y = f (g(x)) = (f o g) (x) Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en u= g(x), entonces f derivable en x y quedaría:

o

g es

( f o g ) (x) = f´( g(x) ) g´(x) Ejemplos resueltos: Encuentra la derivada de la siguiente función: 1)

F(x) = (3x2 + 1) 7

Solución: Paso 1.- Nombrar a f = g 7 y g= 3x2 + 1 Donde: f´= 7(g) 6 y g´= 6x Paso 2.- Sustituyendo en la fórmula de la regla de la cadena. (f o g) ´(x) = f´ (g(x)) g´(x) (f o g)´ (x) = 7 ( 3x2 + 1)6 (6x) Por último, la derivada de la función queda: F´(x) = 42x (3x2 + 1)6

2)

F(x) = (x3 – 6x)3

Solución: Paso 1.- f = g 3 y g= x3 - 6x Donde: f´= 3(g) 2 y g´= 3x2 – 6 Paso 2.- Sustituyendo en la fórmula de la regla de la cadena. ( f o g ) ´(x) = f´ (g(x)) g´(x) ( f o g )´ (x) = 3 (x3 -6x)2 (3x2 – 6) ( f o g )´ (x) = 3 (3x2 – 6) (x3 -6x)2 ( f o g )´ (x) = (9x2 – 18) (x3 -6x)2

Binomio al cuadrado: (a+b)2= a2 + 2ab + b2

Desarrollando el binomio al cuadrado, multiplicando y simplificando el polinomio resultante, quedaría de la siguiente manera: ( f o g )´ (x) = 9x8 – 126x6 + 540x4 -648x2 Por último, la derivada de la función queda: F´(x) = 9x8 – 126x6 + 540x4 -648x2

70


EJERCICIO 6

En equipo de cuatro personas deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión. a) F(x) = ( 2x2 + 8)5 b) F(x) = ( -5x3 + 6 )7 c) F(x) = ( -x4 – 3x ) 3 d)

f ( x) = 4 (5 x − 3) 5

e)

f ( x) = 4 x 3 + 6

TAREA 2

Página 89.

2.2.4.- DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. I.- Derivadas de funciones trigonométricas. Nuestro mundo moderno viaja sobre ruedas. Las cuestiones relativas a la rotación de ruedas y velocidades de los puntos de ellas conducen de manera inevitable al estudio de las derivadas de senos y cosenos. La figura 1 y 2 nos recuerda la definición de las funciones seno y coseno. En lo que sigue, se deberá pensar en x como un número que mide la longitud de un arco del círculo unitario o, lo que es equivalente, como el número de radianes del ángulo correspondiente. Entonces, f ( x ) = senx y g ( x ) = cos x son funciones en la que tanto el dominio como el rango son números reales.

Fig. 1.- Función Seno

Fig. 2.- Función Coseno.

71


Demostración de la Derivada de la función coseno: PARA DEMOSTRAR: f(x) = cos x que su derivada es f´(x) = -sen x Tenemos:

cos( x + h) − cos x h →0 h

F´(x) = lim

cos x cosh − senxsenh − cos x h  senh 1 − cosh F´(x) = lim  cos x sen x h →0 h h  F´(x) = lim h →0

F´(x) = (-cos x). 0 – (senx) .1

  

F´(x) = -senx

a) TEOREMAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS. 1.- FUNCION SENO: f(x) = Sen x ⇒ f`(x) = x´ Cos x 2.-FUNCION COSENO: f(x) = Cos x ⇒ f`(x) = - x´ Sen x 3.- FUNCION TANGENTE: f(x) = tan x ⇒ f`(x) = x´ sec2 x 4.- FUNCION COTANGENTE: f(x) = Cot x ⇒ f`(x) = - xćsc2 x 5.- FUNCION SECANTE: f(x) = Sec x ⇒ f`(x) = x´ tan x Sec x 6.- FUNCION COSECANTE: f(x) = Csc x ⇒ f`(x) = - xĆot x Csc x Ejemplos: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas. 1) f(x) = sen 3x + cos 2x Aplicando las fórmulas anteriores tenemos: f`(x)= 3 cos x – 2 sen x

72


2.- f (x) = cos x X Utilizando la regla del cociente de funciones tenemos:

f `( x) =

( x)(− senx) − (1)(cos x) ( x) 2

f `( x) =

− xsenx − cos x x2

3. - Sea f(x) = sen (3x2 + 4) Solución:

f `( x) = 6 x cos x(3x 2 + 4) 4.- Sea f(x) = -3 tan (3x2 – 1) Solución: f´(x) = (-3)( 6x) sec2 (3x2 -1) f´(x) = -18x sec2 (3x2 -1)

5.- sea f(x) = cot (5x3 -7x +2) Solución: f´(x) = - (15x2 -7) csc 2 (5x3 -7x +2)

6.- sea f(x) = sec4 (5x + 6) Solución: f(x) = [sec ( 5x + 6)]4 f´(x) = (4) [sec ( 5x + 6)]3 ( 5) sec(5x +6) tan(5x+6) f´(x) = 20 sec (5x + 6)4 tan(5x+6)

Individual:

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

EJERCICIO 7

trigonométricas y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1. - f ( x ) =

senx x

2. - f ( x ) = sen5 x − tan 2 x 3.- f ( x ) = tan x

2

4.- f ( x ) = tan x 2

5.- f ( x ) = cot(1 − 2 x ) 2

6.- f ( x ) = sec (6 x + 3) 6

73


b) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Las funciones seno y coseno no son uno a uno, por lo cual no tienen funciones inversas. Sin embargo, es posible restringir el dominio de las funciones trigonométricas de tal manera que se vuelvan uno a uno. La gráfica de y = sen x (ver figura 3), muestra que en el intervalo

−π

-1

La función sen se lee: seno inverso, y también se representa como: arc sen que se lee como arco seno.

2

≤ X ≤ -1

π

2

la restricción de senx es uno a uno. De esta manera, se

define sen x como la función inversa correspondiente. El dominio de dicha función es [-1, 1], el cual es el rango de sen x. Es decir: si y solo si y = x. 1. sen -1 x = y 2. el dominio de sen-1 x es [-1,1]. 3. El rango de sen-1 x es [ − π

2

,

π

2

]

La gráfica de sen-1 x se obtiene de la gráfica de sen x por reflexión en la recta y = x. ver figura fig.4

Figura 3

figura 4

TEOREMAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. 7.- LA DERIVADA DE SENO INVERSA:

f ( x) = sen −1 x ⇒

f `( x) =

x` 1− x2

8.- LA DERIVADA DE COSENO INVERSA:

f ( x) = cos −1 x ⇒ f `( x) = −

74

x´

1 − x2


9.- DERIVADA DE TANGENTE INVERSA:

f ( x) = tan −1 x ⇒

f `( x) =

x´ 1+ x2 Recuerda que la

10.- DERIVADA DE COTANGENTE INVERSA:

f ( x) = cot −1 x

⇒

f `( x) = −

notación: x´ significa: La derivada de x.

x´ 1+ x2

11.- DERIVADA DE SECANTE INVERSA:

f ( x) = sec −1 x

⇒

f `( x) =

x´ x x2 − 1

12.- DERIVADA DE COSECANTE INVERSA:

f ( x) = csc −1 x

⇒ f `( x) = −

x´ x x 2 −1

EJEMPLOS: CALCULAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS: 1.- Sea f(x) = cos -1 x2 entonces su derivada se calcula: Solución: Paso1.- Hacer el cambio de variables para utilizar la regla de la cadena. Sea f(x) = cos-1 (g(x)) y g(x) = x2 Si f(x) = cos-1 x entonces f´(x) = -

Ahora f(x) = cos

-1

x´

1 − x2

(g(x))

75


Paso 2.- Sustituyendo en la fórmula de derivada nos quedaría: F´(x) = -

F´(x) = -

g´(x) 1 − (g ( x) )

2

2x

1 − (x 2 )

2

.

Finalmente, la derivada es: F´(x) = -

2X 1− x4

2. - Sea f(x) = sen -1 (x - 3) Solución: Paso 1. Aplicando el teorema que le corresponde tenemos: Si f(x) = sen -1 x entonces Nombremos a g(x) = x – 3

f´(x) =

x´ 1 − x2

y por lo tanto

g´(x) = 1

Paso 2.- Ya una vez hecho el cambio de variable para sustituir nos queda:

f `( x) =

f `( x) =

g´(x) 1 − (g ( x) )

2

1

⇒

f `( x) =

DE

FUNCIONES

1 − (x − 3)

2

1 − x + 6x − 8 2

2.2.5- DERIVADAS LOGARITMICAS.

EXPONENCIALES

13.- Derivada de la función exponencial.

f ( x) = e x ⇒ f `( x) = xè x Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales. 1) si f(x) =

e ( 5 x + 3)

2) si f(x) =

e (-3x + 7) , entonces f´(x) = -3 e (-3x + 7)

3) si f(x) =

76

e cos 4 x

, entonces f´(x) = 5

e ( 5 x + 3)

, entonces f´(x) = -4 sen 4x

e cos 4 x

Y


14.-Derivada de la función logaritmo natural.

x´ x

f ( x) = ln x ⇒ f `( x) =

EJEMPLOS: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) f(x) = ln ( x4 – 3x2 + 6), entonces la derivada es:

4x3 − 6x f´(x) = 4 x − 3x 2 + 6

TAREA 3

2) f(x) = 3 ln (sen x3 + 1), entonces la derivada es: Página 91.

f `( x) =

2

(3)(3x ) cos x senx 3 + 1

2

3

=

3

9 x cos x senx 3 + 1

Individual: Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas, entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1. - f (x) = sen-1 (5x) x2 +2

2.- f ( x ) = ln e 3.- f (x) = tan-1 ( 3x2 ) 4. - f(x) = 5.- f(x) =

e ( −8 x+4 ) 3

h( x) = 5 ln(cos x 6 − 3)

8. - f (x) = cos-1 (4x + 3) 9. - f (x) = cot-1 (5x3)

e sen5 x 3 11.- f ( x ) = ln(5 x + 3 x + 6)

10. - f(x) =

e cos( 3 x + 4 x −3)

6.- g ( x ) = e

7.-

EJERCICIO 8

4 x 2 +3 x −6

2.3.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Hasta el momento, las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x. Y por otro lado: Es función implícita de la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Un ejemplo de una función implícita seria:

y 3 + y 2 + 5 xy + x 2 + x + y = 0 77


En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra. Otros ejemplos serían: La siguiente notación

2x + y = 4

x y =1 Se lee como: la derivada de” y” con respecto a “x”

x2 + y2 = 9 Estas ecuaciones no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita. Se puede utilizar un método conocido como derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada. La notación:

Se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada de “y” con respecto a “x” implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa respecto de “x”. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a “x”, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con “y” se aplica la regla de la cadena.

Ejemplos: Deriva la siguiente función representada implícitamente. a) x 2 + y 2 = 5 Solución:

Paso 1.- Derivamos término a término con respecto a x.

d 2 (x ) = 2x dx d 2 dy (y ) = 2y dx dx d (5) = 0 dx Paso 2.- Sustituimos en (

x 2 + y 2 = 5 ) la función dada. Y tenemos:

d 2 dy ( x + y 2 − 5) = 2 x + 2 y − 0 dx dx 2x + 2 y

78

dy = 0 (A) dx


Paso 3.- Se despeja

2y

dy de la ecuación (A): dx Este ejercicio lo podemos expresar en forma explícita y obtener su derivada, utilizando la regla de la cadena.

dy = −2 x dx

Por lo tanto, quedaría:

y = 5 − x2

dy − 2 x = (B) dx 2y

¡Inténtalo!

Paso 4.- Despeja “y” de la función original dada ( x

2

+ y2 = 5 )

y = 5 − x 2 (C) Paso 5.- Sustituye en (B) a (C).

dy − 2 x = dx 2y

− 2x dy = dx 2 5 − x 2

Por lo tanto, su derivada nos quedaría: Recuerda, para derivar:

−x dy = dx 5 − x2

d dy ( xy ) = x + y dx dx se utilizó la regla del producto de derivadas.

b) Deriva

5 x 2 − xy + y 2 .

Solución:

Paso 1.- Derivamos término a término con respecto a x.

d (5 x 2 ) = 10 x , dx

d dy ( xy) = x + y dx dx

d 2 dy (y ) = 2y dx dx

79


Paso 2.- Sustituimos en ( 5 x

2

− xy + y 2 ) la función dada. Y tenemos:

d dy dy (5 x 2 − xy + y 2 ) = 10 x − x − y + 2 y dx dx dx

10 x − x

dy dy − y + 2y = 0 dx dx

(A)

Paso 3.- Se despeja

10 x − x x

dy de la ecuación (A): dx

dy dy − y + 2y = 0 dx dx

dy dy + 2y = −10 x + y dx dx

dy ( x + 2 y ) = −10 x + y dx

Nota: En general, los resultados de las funciones implícitas incluyen a “x” y a “y” como en este ejemplo.

dy − 10 x + y = dx x + 2y

EJERCICIO 9

de las siguientes EQUIPO: 1.- Encuentra la derivada de “y” respecto a “x” expresiones, coteja tus resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1) 4x2 2) 2y3 3) x + 2y 4) xy3 5) x2 + y2 = 9 6) x2y3 = 1 TAREA 4

Página 93.

80

7) sen y = x


2.4.

ECUACIONES DE LA TANGENTE Y NORMAL, LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL

Ecuación de la tangente: El significado geométrico de la derivada es la pendiente de la curva en uno de sus puntos. Al establecer antes el concepto de derivada, señalamos que: El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Además, recordamos la expresión que vieron en Matemáticas III:

m = tan α = tan θ = ∆ →0

∆y ∆x

Esto nos permite resolver, entre otros, problemas como el siguiente:

Ejemplo: Obtener el valor de la pendiente m de la parábola coordenadas (3,y). Solución: Paso1.-Derivamos

y = x 2 en los puntos de

y = x2

y`= 2 x La cual es la pendiente de cualquier punto. ( y = m = 2 x) Paso2.- Como nos interesa obtener el valor de la pendiente m en el punto x = 3 , sustituimos:

m = 2 x = 2(3) = 6

Ahora, ¿qué pasaría si se nos pidiera la ecuación de la recta tangente a esa parábola en x = 3 ? En Matemáticas III vimos y − y1 = m( x − x1 ) que la ecuación de la recta que pasa por un punto ( x1 , y1 ) y dada su pendiente m , se representa por la ecuación punto–pendiente: Y siguiendo con nuestro ejemplo anterior, donde: m = 6 y para aplicar la ecuación punto–pendiente necesitamos el valor de la ordenada y , la cual la obtendremos de la función original cuando la variable independiente es x = 3 .Es decir:

y = x2 f (3) = (3) 2 y=9 Por lo tanto las coordenadas del punto son (3,4); sustituimos en la ecuación punto–pendiente:

y − y1 = m( x − x1 ) y − 9 = 6( x − 3)

y − 6x + 9 = 0

Ecuación de la recta tangente de la parábola en

x=3.

81


Ecuación de la normal. La recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto se llama normal a la curva en dicho punto.

La pendiente de la recta tangente es “m” y como se señaló en Matemáticas III que la pendiente de una recta perpendicular es “

−

1 ” de donde, mediante m

sustitución en la ecuación punto–pendiente:

y − y1 = m( x − x1 )

queda:

y − y1 = −

Que es la ecuación para obtener la normal.

1 ( x − x1 ) m

Ejemplo: Calcula la ecuación normal de la siguiente función.

y = 2 x 3 − x 2 + 2 x − 12 en el punto de abscisa x = 2 . Procedimiento: Paso 1.- Se deriva la función.

y´= 6 x 2 − 2 x + 2 Paso 2.- Encuentra la pendiente "m" en el punto x = 2 . f ´(x) = 6 x 2 − 2 x + 2 f ´(2) = 6(2) 2 − 2(2) + 2 f ´(2) = 22 m = 22 Paso 3.- Encuentra el valor de la ordenada “ y ”. En la función original se sustituye el valor de x = 2 para obtener el valor de “ y ”. y = 2 x 3 − x 2 + 2 x − 12 y = 2(2) 3 − (2) 2 + 2(2) − 12 y=4 Paso4.- Calcula la ecuación de la normal sustituyendo en la ecuación:

y − y1 = −

1 ( x − x1 ) m

Con los datos ya obtenidos en los pasos anteriores que son:

−

82

1 1 =− ; x1 = 2 ; y1 = 4 m 22


1 1 ( x − x1 ) ⇒ y − 4 = − ( x − 2) 22 m 22 y − 88 = − x + 2 x + 22 y − 90 = 0 Ecuación de la normal y − y1 = −

LONGITUD DE SUBNORMAL.

LA

TANGENTE,

NORMAL,

SUBTANGENTE

Y

LONGITUD DE LA TANGENTE Y SUBTANGENTE: A la porción de la tangente que se encuentra entre el punto de tangencia y el eje de las “x”, se le llama longitud de la tangente; su proyección sobre el eje de las “x” es la longitud de la subtangente.

p r

rr A

B

D

AP = Longitud de la tangente. AB = Longitud de la sub. tangente. PD = Longitud de la normal. BD = Longitud de la sub normal. Los ángulos “r” perpendiculares. En el triangulo APB,

AB =

son

iguales

tan r = m =

por

tener

sus

lados

respectivamente

PB ; si despejamos tenemos: AB

PB y1 = m m

Esta es la fórmula para obtener la longitud de la sub tangente. En el triángulo BPD,

tan r = m =

BD , cuando despejamos: BP

BD = m( BP) = my1 Esta es la fórmula para obtener la longitud de la sub normal.

83


Longitud de la tangente: La longitud de la tangente corresponde a la hipotenusa del triángulo APB; para calcularla utilizamos el teorema de Pitágoras con los valores de la sub tangente

AB y de

PB en el triángulo citado.

Longitud de la normal: La longitud de la normal corresponde a la hipotenusa del triángulo BPD, para calcularla utilizamos el teorema de Pitágoras con los valores de la subnormal

BD y de

PB en el triángulo citado. r

P r

A

B

D

EJEMPLOS: Obtener las ecuaciones de la tangente, de la normal; las longitudes de la sub tangente y de la normal de la elipse x + 2 y = 18 en el punto de coordenadas (4, 1). Paso 1.- Deriva la función y encuentra la pendiente de la curva. 2

x 2 + 2 y 2 = 18 4y

⇒

2x + 4 y

2

dy dy = 0 y despejando tenemos. dx dx

dy = −2 x dx

dy 2x x =− =− dx 4y 2y La pendiente en cualquier punto de la curva es

m=−

m=−

x ; en el punto ( 4,1) 2y

4 4 = − = −2 2(1) 2

Paso 2. Calcular la ecuación de la tangente, sustituimos en y − y1 = m( x − x1 ) con m = −2; x1 = 4; y1 = 1

y − 1 = −2( x − 4) ⇒ y − 1 = −2 x + 8 y por último Tenemos:

84

y + 2x − 9 = 0

Ecuación de la tangente


Paso 3. Calcular la ecuación de la normal, sustituimos en:

y − y1 = −

1 ( x − x1 ) ; con m = −2; x1 = 4; y1 = 1 m

1 1 y − 1 = ( x − 4) ⇒ y − 1 = ( x − 4) y por último tenemos: 2 2

2y − 2 = x − 4

⇒

x − 2y − 2 = 0

Ecuación de la normal.

Paso 4. Calcular la longitud de la sub tangente, sustituimos en:

AB =

y1 m

AB = −

Con m = −2; y1 = 1

1 Longitud de la subtangente. 2

TAREA 5

Paso 5. Calcular la subnormal, sustituimos en:

BD = my1

BD = −2

Con m = −2; y1 = 1 Longitud de la subnormal

Calcula en equipo las ecuaciones de la tangente, normal; las longitudes de la subtangente y de la subnormal de las siguientes funciones en los puntos que se indican, compara tus resultados con tus compañeros y entréguenselos a tu profesor para su revisión. a)

Página 95.

EJERCICIO 10

y = x 3 − 5 x en (2,−2)

b)

yx = 9

c)

x 2 + y 2 = 10 en (1,−3)

d)

2 xy − y 2 = −3 en (1,3)

en

(1,2)

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.virtual.unal.edu.co/.../ cap5/trigo7.html

85


¡Ojo! Recuerda que debes resolver la auto evaluación y los ejercicios de reforzamiento; esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.

86


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 1


INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

a)

f(x) = 5x + 2

b)

g(x) =

3x 3 − 6 x + 3

c)

l(x) =

5x − 2 6x 2

d)

f(x) =

1 3x + 2

e)

k(x) =

4x −1 6x + 2

f)

s(x) =

(3x + 3)(−2 x − 5)

g)

t(x) =

(7 x 4 − 6 x −3 )(−4 x 2 − 3)

h)

2 x 3 − 3x + 7 F(x) = − 4x + 3

i)

F(x) = (

j)

( x − 1)( x 2 + 3) H(x) = x+4

x + 3) (

x -3)

87



88


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 2


INSTRUCCIONES: Encuentra las derivadas de las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena. a)

f ( x) = (3x 4 + 2 x 3 − 3 x + 6) 5

b)

h( x) = −5(4 x 5 − 3) 4

c)

j ( x) =

d)

f ( x) =

1 (5 x − 2) 6 −4 5

4x3 + 6 x −1 x+6

e)

t ( x) =

f)

f ( x) = 3 (5 x − 2) 4

g) g ( x ) =

h)

( 6 x − 2) 6 (3 x + 2) 2

f ( x) = 5 (4 x − 2) 3

89



90


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 3


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales y logarítmicas, utilizando las fórmulas que le corresponda. a)

f ( x) = sen(3x + 2)

b)

h( x) = sec x 4

c)

g ( x) = cos(5 x 3 + 3) 3

d)

f ( x) = sen 3 (4 x + 6)

e)

f ( x) = tan(5 x + 2)

f)

g ( x) = tan( x + 2 )

g)

f ( x) = sen −1 (9 x − 2)

h)

h( x) = tan −1 (8 x 3 )

i)

t ( x) = cot −1 (3 x 4 )

j)

R( x) = cos −1 (7 x − 4) f ( x) = 5 ln( x 5 − 6 x + 8)

K) l)

g ( x) = ln e 9 x +3

m)

k ( x) =

e3x + 1 e3x − 1

n) f ( x ) = e ñ)

h( x ) =

x 5 + 6 x −3

e cos x + 1 e senx − 1  x 2 −1  x −1 

o) f ( x) = ln

   91



92


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 4


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de y con respecto a x en las siguientes funciones por el método de derivación implícita.

1)

5x 2 + y 2 = 1

2)

x2 − 5y2 = 3

3)

5 − y3 = x

4)

5 xy − 1 = 0

5)

x − 5y2 = 3 y

6)

2 xy − y 2 = −1

7)

3 y 2 + xy − 5 = 0

8)

5 xy − 1 = 0

9)

x2 − y2 = 5y

10)

2 y 3 + xy − 4 = 0

93



94


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 5


INSTRUCCIONES: Calcula las ecuaciones de la tangente, de la normal; las longitudes de la subtangente y de la subnormal de las siguientes funciones en los puntos que se indican.

1) y

2

− 8x = 0

en ( −3,1)

2)

y 2 − 3x − 8 y + 10 = 0

en

(−3,3)

3)

y = x3 − 4

en

(1,−3)

4)

x2 + 2 y2 = 3

en (1,1)

95



96




INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. la derivada la función

f ( x) = 2 x 2 − 3 según su definición y el valor de la pendiente en x=2, sería:

A) f `( x ) = 4 x y m=8.

f `( x) = 4 y m=0. C) f `( x ) = 2 x y m= 4. D) f `( x ) = 6 x y m=12. B)

2. La derivada de la función f ( x ) = 3 x A) f `( x) = 4 x

4

− 5 x + 6 es:

− 5x . B) f `( x) = 12 x − 5 . 4 C) f `( x) = 12 x − 5 3 D) f `( x) = −12 x − 5 x 3

3

3. La derivada de la función f ( x) =

x3 es: 4x

3x − x 3 4 3x − 1 B) f `( x) = 4 3x 2 C) f `( x ) = 4 2x D) f `( x ) = 4 A) f `( x) =

4.- La derivada de la siguiente función f ( x ) = (5 x A) f `( x) = 105 x

2

− 1)(−3 x 5 ) es:

+ 15 x 4 6 4 B) f `( x) = −105 x + 15 x 6 3 C) f `( x) = −105 x − 15 x 4 3 D) f `( x) = 105 x − 15 x 6

97


5.- La derivada de la siguiente función f ( x ) =

4x2 − 6x + 3 es: x −1

4x 2 − 8x + 3 x2 − 2x + 1 4 x 2 − 8x B) f `( x ) = 2 x − 2x +1 − 12 x 2 − 8 x + 3 C) f `( x) = ( x − 1) 2 A) f `( x )

=

D) f `( x) =

− 12 x 2 − 8 x ( x − 1) 2

6.- Según la regla de la cadena, la derivada de la siguiente función f ( x ) = A)

f `( x) = 5 (2 x + 4) 3

B)

f `( x) = −5 (2 x + 4) 3

C)

f `( x) = −5 (2 x + 4)

D)

f `( x) = −5 2 x

7. Según la regla de la cadena, la derivada de la siguiente función

f ( x) = (4 x 4 − 5 x + 2) 5 es:

f `( x) = 16 x 3 − 5 3 4 B) f `( x) = (16 x − 5 x) 3 4 5 C) f `( x) = 5(16 x − 5)(4 x − 5 x + 2) 3 4 4 D) f `( x) = (80 x − 25)(4 x − 5 x + 2) A)

8. La derivada de la siguiente función exponencial

y = e −3 x + 4 es:

y`= e −3 x −3 x B) y`= 3e −3 x C) y`= −3 xe −3 x + 4 D) y`= −3e A)

9. La derivada de la siguiente función logaritmo

6x2 2 x 3 − 3x 6x 2 − 2x B) y`= 2 x 3 − 3x 6x2 − 6x C) y`= 2 x 3 − 3x 2 + 5 − 12 x 2 − 6 x D) y`= 2 x 3 − 3x 2 + 5 A) y`=

98

(2 x + 4) 5 sería:

y = ln(2 x 3 − 3x 2 + 5) es:


10.- La derivada de la función

f ( x) = tan −1 (6 x 2 − 3) es:

− 12 x . 1 + (6 x 2 − 3) 2 12 x B) f `( x) = 1 + (6 x 2 − 3) 2 12 x C) f `( x) = (6 x 2 − 3) 2 12 x D) f `( x) = 1 − (6 x 2 − 3) 2 A)

f `( x) =

11.- Una persona de 1.60 m de estatura corre alejándose de un poste de alumbrado que tiene una altura de 8 m. Si se desplaza a razón de 4 metros por segundo, ¿qué tan rápido cambia la longitud de la sombra? A)

dy m =1 dt s

dy m =2 dt s dy m C) =8 dt s B)

12.-La Derivada de la siguiente función que esta en forma implícita A)

dy 7 + e y = dx 6 y − x

B)

dy ey = dx 6 y − xe y

3 y 2 − xe y = 7 x + 5 es:

dy 7 x + e y C) = dx 6 y + xe y D)

dy 7 + ey = dx 6 y − xe y

13.- Las ecuaciones de la tangente y de la normal de la siguiente función

7 x − 4 y − 1 = 0 Ecuación tangente. 8 x + 14 y − 29 = 0 Ecuación normal. B) 7 x − 4 y + 1 = 0 Ecuación tangente. 8 x + 14 y = 0 Ecuación normal. C) x − 4 y − 1 = 0 Ecuación tangente. 8 x + 14 y − 9 = 0 Ecuación normal D) 7 x + 4 y − 1 = 0 Ecuación tangente. 8 x − 14 y − 29 = 0 Ecuación normal

y=

2x +1 3 en (1, ) . 3− x 2

A)

99


ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

100





INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión. I.- Resuelve el siguiente problema de aplicación de la derivada como razón de cambio. Una escalera de 13 metros de largo está recargada contra una pared vertical; la base de la escalera resbala horizontalmente alejándose de la base de la pared a razón de 2 metros por segundo. ¿Con qué rapidez resbala hacia debajo de la pared la parte alta de la escalera, cuando la parte baja de la misma se encuentra a 4 metros de aquélla? II.- Calcula la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla según le corresponda.

f ( x) = (−2 x 3 + 3x − 6) 5 3 b) f ( x) = ( 4 x − 3 x)(7 x − 2)

a)

− 6x 4 + 9x f ( x) = c) 5x 2 + 3 3 3 d) f ( x) = 5 (4 x − 5) f ( x) = sec −1 (2 x − 4) −1 3 x f) f ( x) = cot ( ) 5 −1 4 g) f ( x) = tan (8 x − 2) −1 2 h) f ( x) = csc ( 2 x + 1) f ( x) = sen(6 x 2 + 5 x) e)

i)

f ( x) = cot 3 (6 x − 2) 2 2 k) f ( x) = tan x sec x cos x l) f ( x) = x 3 m) f ( x) = cos 3 x n) f ( x) = ln(sen2 x) ñ) f ( x) = ln(3 x − 9) 3 o) f ( x) = x ln x csc 3 x p) f ( x) = e j)

q) f ( x ) = e

8 x 3 −3 x + 6

101


III.- Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y de la normal de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se te señalan:

a)

x 2 − y 2 − 5 y = 1 en (1,0)

b)

x 2 + 3 y 2 = 7 en (2,1)

c)

4 x 2 + y 2 = 41 en (2,5)

III.- De los ejercicios de la parte II; encuentra las longitudes de la tangente y de la normal de cada inciso.

102

Unidad 3

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones. Objetivo: El alumno: Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función mediante la aplicaron de los criterios de la primera y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.

Organizador anticipado: El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias de ingeniería, ciencias naturales, económico administrativas y sociales. En esta unidad se verá como utilizar la derivada para resolver problemas de la vida diaria. La mayor parte de los problemas de las ciencias sociales son propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aun, la computadora, exacta y rápida para manejar cantidades discretas. Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos primero en curvas continuas? Por esta razón los invito a ver el contenido de esta Unidad.

Temario: ¾ ¾ ¾

Aplicaciones de la primera derivada. Concavidad. Aplicaciones de la derivada.


CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVOS Y SUS APLICACIONES

APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA

CONCAVIDAD

APLICACIONES DE LA DERIVADA

104

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

3.1.

APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada. A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, en problemas de esta naturaleza puede formularse, de tal manera que involucre maximizar o minimizar, una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que se verá en esta unidad. Supongamos entonces que nos dan una función

f y un dominio S como en la

figura 1. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un mínimo en S . Suponiendo que tales valores existen, queremos determinar los valores máximos y mínimos.

Isaac Newton 1642-1727 Descubrió el Teorema del binomio, los elementos de Cálculo tanto Diferencial como Integral, la Teoría del color y la Ley Universal de la Gravitación.

y Y=f(x)

S

x

Figura 1.

DEFINICION: Sea c un punto del dominio de S de f . Decimos que: a) f (c) es el valor máximo de f en S si: f (c) ≥ f ( x ) Para toda “ x ” que pertenezca a S . b) f (c ) es el valor mínimo de f en S si: f (c ) ≤ f ( x ) Para toda “ x ” que pertenezca a S . c) f (c) es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.

f un máximo o un mínimo en S ? La respuesta depende, antes que todo, del conjunto S . Veremos algunos teoremas que

La cuestión de existencia ¿tiene

responde a las pregunta para algunos de los problemas que se presenten en la práctica.

105


TEOREMA DE EXISTENCIA DE MAXIMOS Y MINIMOS: Si f es continua en un intervalo cerrado a, b , entonces f tiene un valor máximo y un mínimo allí.

[ ]

Es decir: Se requiere que f sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.

f definida en un intervalo I que contiene al punto c . Si f (c ) es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es

TEOREMA DEL PUNTO CRÍTICO: Sea

decir, tendrá que ser uno de los tres casos: a) Un punto frontera de I . b) Un punto estacionario de f ( f ´(c) = 0) . c) Un punto singular de f en el que f ´(c ) no existe.

Máx.

Máx.

Min.

Min.

Puntos estacionarios

Puntos frontera Máx.

mín

Puntos singulares.

106


CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS: Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al punto crítico c . (i) Si f ´(x) > 0 para toda x de (a, c) y f ´( x ) < 0 para toda x de (c, b), entonces

f (c) es un máximo local (o relativo) de f . (es decir: si f ´(x) cambia de positiva a negativa en c ). (ii) Si f ´(x) < 0 para toda x de (a, c) y f ´( x ) > 0 para toda x de (c, b), entonces f (c) es un mínimo local (o relativo) de f . (es decir: si f ´(x) cambia de negativa a positiva en c ). f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de c, entonces f (c) no es un (iii) Si extremo local de f .

Máximo relativo en

Mínimo relativo en

En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua f en un intervalo cerrado I .

107


Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

 1  En I = − ,2  2  Paso 1.- Encuentra los puntos críticos de f en I . f ( x ) = −2 x 3 + 3 x 2

a) Derivamos la función:

f ´(x) = −6 x 2 + 6 x

b) E igualamos a cero f ´(x) para obtener las raíces x1 , x 2 . Resolviendo la siguiente ecuación cuadrática tenemos. Los valores del Intervalo como son:

−

1 2

y

2

se

consideran puntos críticos sólo por ser puntos frontera de I . (Teorema del punto crítico).

− 6x 2 + 6x = 0 6 x(−x + 1) = 0 Por lo tanto: 6x = 0 y

x1 = 0

− x +1 = 0

x2 = 1

Los puntos críticos son: −

1 ,0,1,2 2

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo. a) En

x=−

1 tenemos: 2

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 f (−1 / 2) = −2(−1 / 2) 3 + 3(−1 / 2) 2

⇒

f (−1 / 2) =

f (−1 / 2) = 1 b) En x1 = 0 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f ( x) = −2(0) 3 + 3(0) 2 f (0) = 0 c) En x2 = 2 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f (2) = −2(2) 3 + 3(2) 2 f (2) = −4 d) En

x = 1 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f (1) = 1 108

f (1) = −2(1) 3 + 3(1) 2

2 3 + ⇒ 8 4


Acomodando los datos en una tabla, tenemos:

x

f ( x)

-1/2

1

0

0

1

1

2

-4

El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4.

4

y = -2X^3+3X^2

3 2 1 −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4

Esta es la gráfica correspondiente a la función

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2

Ejemplo 2.- Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función. f ( x) = x 2 + 3 x En I = [− 2,1] Paso 1.- Encuentra los puntos críticos de a) Derivamos la función:

f en I .

f `( x) = 2 x + 3 b) E igualamos a cero f ´(x) para obtener la raíz x1 . f ( x) = x 2 + 3x

⇒

Resolviendo la siguiente ecuación tenemos.

2x + 3 = 0 3 x1 = − 2 Los puntos críticos son:

3 − ,−2,1 2

109


Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo. a) En

x=−

3 tenemos: 2

f ( x) = x 2 + 3x

⇒ f (−3 / 2) = (−3 / 2) 2 + 3(−3 / 2) ⇒ f (−3 / 2) = −

9 4

b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla de valores queda de la siguiente manera:

x

f ( x)

-3/2 -2 1

-9/4 -2 4

El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4. 4

y = x^2+3x

y

3 2 1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4

Esta es la grafica correspondiente a la función

f ( x) = x 2 + 3 x

INDIVIDUAL. EJERCICIO 1 Identifique los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos,

realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

I = [0,3] 3 b) f ( x) = x 3 − 3x + 1 en I = (− ,3) 2 3 2 c) h(t ) = 4t + 3t − 6t + 1 en I = [− 2,1] a)

110

f ( x) = − x 2 + 4 x

en


3.1.2. Derivadas de orden superior.

TAREA 1

f y produce una nueva función f ´ . Si ahora se deriva f ´ se producirá otra función como f `` (se lee “f biprima) y que se llama segunda derivada de f . Esta a su vez puede ser derivada para producir f ´´´, que se llama la tercera derivada de f , etcétera. Por ejemplo, sea La operación derivada toma una función

Página 131.

f ( x) = 3x 3 − 5 x 2 + 3x − 9 Entonces

f ´(x) = 9 x 2 − 10 x + 3 f ´´(x) = 18 x − 10 f ´´´(x) = 18 f ´´´´(x) = 0 Dado que la derivada de la función cero es cero, todas las derivadas de mayor orden serán cero.

EJERCICIO 2

INDIVIDUAL. Encuentra la primera, segunda, tercera, cuarta derivada de las siguientes funciones. Entrégaselas a tu profesor para su revisión

f ( x) = 5 x 3 + 4 x 2 − 6 x − 6 2 2) f ( x) = −8 x − 9 x − 3 2 4 3) f ( x) = (5 x − 9) 4) f ( x) = sen(3 x) 1)

3.1.3. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sean f ´ y f ´´ dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo abierto (a, b) que contenga a c . Supóngase que

f ´(x) = 0 .

f ´´(x) < 0, f (c) es un máximo local de f . (ii)Si f ´´(x) > 0, f (c) es un mínimo local de f . (i)Si

111


Ejemplo 1.- Para f ( x) = x 2 − 6 x + 5 , use la prueba de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos. Paso 1.- Derivar la función.

f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒

f `( x) = 2 x − 6

Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de x1

2x − 6 = 0 x=3 ⇒

x1 = 3

Este es un punto crítico. Paso 3.- Sustituimos en la segunda derivada.

f ´´(x) = 2

f ´´(3) > 2 (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.) f ´´(x) > 0, f (c) Es un mínimo local de f . Y en la primera derivada f ´(x) = 2 x − 6 ⇒ f ´(3) = 2(3) − 6 f ´(3) = 0 f (3) Es un mínimo local. f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒ f (3) = (3) 2 − 6(3) + 5 ⇒ f (3) = −4 . Paso 4.- Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos. x

f(x)

3

-4

El valor mínimo de la función es -4.

Ejemplo 2.- Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada de la función.

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 2 Paso 1.- Derivar la función

f `( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces de

x1 , x2

6 x 2 − 6 x − 12 = 0 x2 − x − 6 = 0 ( x − 2)( x + 1) = 0 x1 = 2 y x2 = −1 Los cuales son puntos críticos.

112


Paso 3.- Sustituimos las raíces en la segunda derivada.

f ´´(x) = 12 x − 6 f ´´(2) = 18

f ´´(2) = 12(2) − 6 ⇒

Por el criterio de la segunda derivada como

f ´´(2) > 0 hay un mínimo en

x1 = 2 . Y

por

otro

lado,

para

⇒ f ´´(−1) = −18 Por lo tanto, para este valor

x2 = −1 tenemos:

f ´´(−1) = 12(−1) − 6

f ``(−1) < 0 entonces hay un máximo en x2 = −1 .

Paso 4.- Calculamos las coordenadas y tabulamos. X

f(x)

-1

9

2

-18

f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 f (−1) = 2(−1) 3 − 3(−1) 2 − 12(−1) + 2 f (−1) = 9 El valor del máximo está en (-1,9). Y es 9 f (−1) = 2(2) 3 − 3(2) 2 − 12(2) + 2 f (−1) = −18 El valor del mínimo está en (2,-18). Y es -18.

EN EQUIPO:

Calcula los valores máximos y mínimos de las siguientes EJERCICIO 3 funciones, utilizando el criterio de la segunda derivada. 1)

f ( x) = 2 x 3 − 6 x + 3

2)

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 + 12 x + 15

3)

f ( x) = x 3 + x 2 − 5 TAREA 2

Página 133.

113


3.1.4.- Funciones crecientes y decrecientes. Considere la gráfica de la figura 1 y de la figura 2. A nadie sorprenderá que se diga f decreciente a la izquierda de c y creciente a la derecha., entonces existe un mínimo en c de la función; por lo tanto, existe un máximo en el caso contrario. Pero para asegurarse que estamos de acuerdo en las técnicas, precisamos las definiciones. y y=f(x)

Decreciente

Creciente

c

x

Figura 1

DEFINICION: Definamos una función f sobre un intervalo (abierto, cerrado o ninguno de los dos). Se dice que: (i) f es creciente sobre I si, para cada par de números x1 y x2 que pertenezcan a

I,

x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) (ii) f es decreciente sobre I si, para cada par de números x1 y x2 que pertenezcan a I , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) (iii) f es estrictamente monótona sobre I si es creciente o decreciente sobre I.

TEOREMA DE MONOTONIA: Sea f una función continua en un intervalo interior de I . (i) Si f ´(x) > 0 para toda x interior a

I y diferenciable en todo punto

I , entonces f es creciente en I . (ii) Si f ´(x) < 0 para toda x interior a I , entonces f es decreciente en I .

114


y y=f(x) Decreciente

Creciente f`(x)>0

f`(x)<0

x

c Figura 2

Ejemplo 1.- Encuentre en que intervalo la función es creciente y decreciente. f ( x) = 3x 2 + 12 x + 3 Paso 1.- Encuentra la derivada.

f `( x) = 6 x + 12

Paso 2.- Aplicando el Teorema de monotonía. Si f `( x) > 0 entonces la función es creciente en ese intervalo.

6 x + 12 > 0 x > −2

La función es creciente en el intervalo ( −2, ∞)

f `( x) < 0 entonces la función es decreciente en ese intervalo. 6 x + 12 > 0 x < −2 La función es decreciente en el intervalo (−∞,−2)

Si

Paso 3.- Realizar la grafica de la función. X -3 -2

f(x) -6 -9

f`(x) -6 0

Monotonía Decreciente Punto de separación de intervalos

-1 0 1

-6 3 18

6 12 18

Creciente Creciente Creciente

115


Existe un mínimo que es -9 En esta tabla se ve claramente los resultados obtenidos en el paso anterior. y = 3x^2+12x+3

y

x

f ( x) = 3 x 2 + 12 x + 3 .

Esta es la gráfica de la función

Ejemplo 2.- Encuentre en que intervalos la función es creciente y decreciente. f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7 Paso 1.- Encuentra la derivada.

f `( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 = 6( x + 1)( x − 2) Las desigualdades se resuelven: Tipo I: Caso1. (a)(b)>0 → a>0 y b>0 Caso2. (a)(b)>0 → a<0 y b<0 Tipo II: Caso1. (a)(b)<0 → a<0 y b>0. Caso2. (a)(b)<0 → a>0 y b<0.

Paso 2.- Aplicando el teorema de monotonía. Si

f `( x) > 0 entonces la función es creciente en ese intervalo. ( x + 1)( x − 2) > 0

Encuentra el conjunto solución. a) ( x + 1)( x − 2) > 0 caso1. ( x + 1)

> 0 y ( x − 2) > 0 caso2. ( x + 1) < 0 y ( x − 2) < 0 x > −1 y x>2 x < −1 y x < 2 (− ∞,−1) (2, ∞)

En estos intervalos la función es creciente. Si f `( x) < 0 entonces la función es decreciente en ese intervalo.

( x + 1)( x − 2) < 0

( x + 1)( x − 2) < 0 Caso1.- ( x + 1) < 0 y ( x − 2) > 0 caso 2.- ( x + 1) > 0 y ( x − 2) < 0 x < −1 x > −1 y x < 2 Y x>2 (− ∞,−1)y (2, ∞ ) (− 1,2)

b)

En estos intervalos la función es decreciente. Los puntos de separación son el -1 y el 2; ellos dividen el eje de las x en tres intervalos que son: (− ∞,−1), (− 1,2 )y (2, ∞ )

116


Paso 3.- Realizar la grafica de la función. Tomando valores que pertenecen a esos intervalos que obtuvimos en el paso anterior y sustituyendo en la función podemos obtener la siguiente tabla de valores. X -3 -2 -1

f´(x) 60 24 0

f(x) -38 3 14

monotonía Creciente Creciente

0 1 3

-12 -12 24

7 -6 -2

Decreciente Decreciente Creciente

Tiene un máximo en (-1,14)

Punto de separación de intervalos

En el intervalo (− ∞,−1) tomamos -2 y lo sustituimos en la derivada:

f ´(x) = 6 x 2 − 6 x − 12 f ´(−2) = 6(−2) 2 − 6(−2) − 12 f ´(−2) > 0 Esto comprueba de que la función es creciente en este intervalo. y = 2x^3-3x^2-12x+7

TAREA 3

Página 135. Esta es la gráfica de la función

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7

EN EQUIPO:

EJERCICIO 4

Calcula los intervalos en que cada una de las funciones siguientes es creciente o decreciente. Realiza su gráfica y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

f ( x) = x 2 − 4 x + 2 2 2) f ( x) = 2 x − x 3 3) f ( x) = x − 1

1)

117


3.2.

CONCAVIDAD

3.2.1.- Criterio de la segunda derivada. Observemos las figuras a y b que a continuación se indican; si un punto A(x, y) describe una curva, la tangente en A varía en la forma siguiente: La pendiente de tangente aumenta cuando el punto “A” describe el arco; de donde la primera derivada es una función creciente de x, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Cuando la tangente queda por debajo de la curva, el arco es cóncavo hacia arriba figura a.

TEOREMA DE CONCAVIDAD: Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto

I.

f ´´(x) > 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . (ii) Si f ´´(x) < 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . (i) Si

Ejemplo 1.- Usa el teorema de concavidad para determinar donde es cóncava Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).

hacia arriba y donde es hacia abajo de la siguiente función.

f ( x) = x 3 − 12 x Paso 1.- Encuentra la primera y segunda derivada de la función.

f ´(x) = 3x 2 − 12 Los puntos críticos son: -2,2

118

f ´´(x ) = 6 x


Paso 2.- Aplicando el criterio de la segunda derivada. (i) Si f ´´(x) > 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia arriba en

I.

6 x > 0 ⇒ x > 0 la función es cóncava hacia arriba en (0, ∞) (ii) Si f ´´(x) < 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . f ´´(x ) = 6 x 6 x < 0 ⇒ x < 0 la función es cóncava hacia abajo en (−∞,0) Paso 3.- Tabular para graficar la función. X

f(x)

f´´(x)

-3

9

-18

-2

16

-12

0

0

0

2

-16

12

Aquí podemos ver que la segunda derivada es menor que cero. Aquí la segunda derivada es mayor que cero.

Además, la función tiene un máximo en el punto (-2,16) y un mínimo en el punto (2,-16). El valor del máximo es 16 y el valor del mínimo es -16. y 16

x −21 −18 −15−12 −9 −6 −3

3

6

9

12 15 18 21

−16

Esta es gráfica de la función f ( x) = x 3 − 12 x

119


3.2.2.- Puntos de inflexión. Si la concavidad de una curva cambia de sentido, entonces la segunda derivada cambia de signo, y en consecuencia es igual a cero en el punto de inflexión.

f una función continua en c . Decimos que (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f si f es cóncava hacia arriba a un lado de c y cóncava hacia abajo en el otro lado. Ver la siguiente PUNTOS DE INFLEXION: Sea

figura.

Puntos de inflexión

Cóncavo hacia arriba

Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba

EJEMPLO 1.- Calcula los puntos de inflexión de la siguiente función.

f ( x) = x 4 + 2 x 3 − 7 Paso 1.- Calculamos la primera y segunda derivada.

f ´(x) = 4 x 3 + 6 x 2 f ´´(x) = 12 x 2 + 12 x Paso 2.- Igualamos a cero la segunda derivada.

12 x 2 + 12 x = 0 12 x( x + 1) = 0 12 x = 0 x1 = 0

Y x +1 = 0 Y x 2 = −1 Tenemos que los puntos críticos son x= 0 y x=-1.

120


Paso 3.- Analizamos con valores alrededor de estos puntos críticos en la segunda derivada realizando una tabla de valores. x

f(x)

f´´(x)

Signo de la 2da. derivada

-2

-7

24

+

-1

-8

0

-1/3

-8

-24/9

-

-3

-

-1/2 0

-7

0

1

-4

24

Alrededor del -1 cambia de signo, quiere decir que: (-1,8) es un punto de inflexión y el (0,-7) es otro punto de inflexión.

+

Paso 4. - Realizar la gráfica. y = x^4+2x^3-7

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

−1 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 12

y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314

3.2.3.- Trazado de curvas. Para bosquejar la gráfica de una función y = f ( x) procedemos en la forma siguiente como se ilustra en el ejemplo 1, haciendo todo lo que se vio anteriormente en toda esta unidad.

EJEMPLO 1.- Encuentra los puntos críticos, calcula los valores máximos y mínimos, determine en que intervalo la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y, además, señala los puntos de inflexión. Dibuje después la gráfica.

f ( x) =

1 3 x − 2x 6

121


Paso 1.- Encuentra la primera y segunda derivada.

f ´(x) =

1 2 x −2 2

Los puntos críticos son: x1 = −2 y

x2 = 2 .

f ´´(x) = x Paso 2.- Aplicamos el teorema de monotonía. Para un valor de x < x1 y x > x1 , podemos realizar la siguiente tabla X -3

f(x) 3/2

f´(x) 5/2

f´´(x) -3

-2

8/3

0

-2

-1

11/6

-3/2

-1

8 (−2, ) Punto de inflexión 3 f ´(x) < 0 f Es decreciente.

0

0

-2

0

(0,0) Es un punto de inflexión

1

-11/6

-3/2

1

f ´(x) < 0 f Es decreciente

2

-8/3

0

2

3

-3/2

5/2

3

f ´(x) > 0 f Es creciente.

(2,−8 / 3) Punto de inflexión. f ´(x) > 0 f Es creciente.

Paso 3.- Aplica el Teorema de concavidad. La segunda derivada ( f ´´(x) > 0 ) es positiva desde (0, ∞) , por lo tanto es cóncava hacia arriba en ese intervalo. La segunda derivada ( f ´´(x) < 0 ) es negativa desde ( −∞,0) , por lo tanto es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Paso 4.- Realizar la gráfica.

y = 1/6x^3-2x

y 7 6 5 4 3 2 1

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

122

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9


EJERCICIO 5

EN EQUIPO : Encuentra los puntos críticos, calcula los valores máximos y mínimos, determina en qué intervalo la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y además señala los puntos de inflexión. Dibuje después la gráfica. 1)

f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4

2)

f ( x) = x 2 − 4 x − 1

3.3.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.matematicastyt.cl/... /inicio.htm

3.3.1.- Problemas prácticos de máximos y mínimos. Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo, menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de máximos y mínimos. Se presentan los siguientes casos: a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su solución. b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con los datos disponibles. c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda: 1) De ser posible trazar una gráfica. 2) Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en el problema. 3) Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y expresarla en función de las otras cantidades. 4) Si resulta una función de una sola variable aplicamos los procedimientos ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos.

PROBLEMA 1.- Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de t4 2 15 minutos según la ecuación s = 144t − + 100 ; si se mide el tiempo y el 4 espacio en metros, calcula: a) Distancia que recorre el móvil. b) Velocidad máxima que alcanza. c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

123


RESOLUCION: a) Distancia que recorre en 15 minutos. La primera derivada en física se le llama velocidad y a la segunda derivada se le llama aceleración.

s = f (t ) = 144t 2 −

t4 + 100 4

Cuando t = 15 tenemos:

f (15) = 144(15) 2 −

(15) 4 + 100 ⇒ f (15) = 19,844 min 4

b) Velocidad y aceleración.

f ´(t ) = 288t −

4t 3 4

⇒ f ´(t ) = 288 − t 3 ⇒ f ´´(t ) = 288 − 3t 2

Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo, debe haber aceleración (positiva) en el momento en que la aceleración es cero; y pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a disminuir; por esto, el punto crítico es cuando a = 0 (aceleración igual a cero).

a = f ´´(t ) = 288 − 3t 2 288 − 3t 2 = 0 − 3t 2 = −288 288 t2 = 3 t = 96 = 9.8 min es un punto crítico.

Entonces:

Analizamos en la aceleración:

a = 288 − 3t 2 Con t = 9.8 Para un valor menor de t = 9.8 , sea t = 9 f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(9) = 288 − 3(9) 2 = 45 La f ´´(t ) > 0 . (La aceleración resultó positiva) Para un valor mayor de t = 9.8 , sea t = 10

f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(10) = 288 − 3(10) 2 = −12 La

f ´´(t ) < 0 . (La aceleración resultó negativa)

Como pasa de positiva a negativa, decimos que existe un máximo en t = 9.8 . Y la velocidad máxima en ese tiempo es:

f ´(t ) = 288 − t 3 f ´(t ) = 288 − (9.8) 3 = 1881.21 v = 1881.21m / min

124


c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

s = f (t ) = 144t 2 −

t4 + 100 4

f (9.8) = 144(9.8) 2 −

(9.8) 4 + 100 = 13,829.76 − 2305.67 + 100 = 11,624m 4

SOLUCION: El móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624 metros.

PROBLEMA 2.- Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de 900 metros cuadrados de área, como se muestra en la figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?

y x PLANTEAMIENTO: Área = A = 1800m2 Perímetro = P

A = 2 xy P = 4x + 3y

Paso 1.- Como no estamos acostumbrados a utilizar dos incógnitas, despejaremos una de ellas de la ecuación del área. Y la sustituiremos en la ecuación del perímetro, ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales.

A = 2 xy 1800 = 2 xy 1800 y= 2x y=

900 x

P = 4x + 3y  900  P( x) = 4 x + 3   x  2700 Así quería el perímetro en función de “x”. P ( x) = 4 x + x

125


Paso 2.- Derivamos P(x).

P ( x) = 4 x +

2700 x

Esta función también se puede expresar de la siguiente

manera:

P ( x) = 4 x + 2700 x −1 Ya que así es más fácil para derivarla. P´(x) = 4 − 2700 x −2 Es decir:

P´(x) = 4 −

2700 x2

Paso 3.- Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces.

P´(x) = 4 − 4−

2700 x2

2700 = 0 Despejamos “x”. x2

2700 = −4 x2 x = 675

x = (15) 2 (3) = 15 3 Este es un punto crítico. Paso 4.- analizamos los valores de la primera derivada para x = 15 3 = 25.98 Tomamos un valor menor a x = 25.98 , sea x = 24 .

P´(x) = 4 −

2700 x2

P´(24) = 4 − La P´(x) < 0

126

2700 = −0.6875 (24) 2


Tomamos un valor mayor a x = 25.98 , sea x = 27 .

P´(27) = 4 − La

2700 = 0.2962 (27) 2

P´(x) > 0

Eso quiere decir que tiene un mínimo en x = 25.98

900 x 900 y= = 34.64 25.98 y=

SOLUCION: Los valores que deben medir “x” y “y” son: x = 25.98 y y = 34.64 y la mínima cantidad de barda que se necesita es de 207.84 metros.

3.3.2.- Aplicaciones en las ciencias naturales, económicoadministrativas y sociales. PROBLEMA 3.- Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a $5.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá vender 10 piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad máxima y cuál sería el ingreso al venderlas. PLANTEAMIENTO: 1000+x número de unidades por vender.

 x 5 − 0.02  = 5 − 0.002 x Precio de cada unidad.  10  Paso 1.- El ingreso I es igual al número de unidades por el precio unitario.

Vocabulario económico: Como la economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos, su profesor puede definir el costo marginal de x como el costo de producir una unidad adicional, esto es,

C ( x + 1) − C ( x)

Y

dC dx

Es el costo marginal

I = (1000 + x)(5 − 0.002 x)

I = 5000 + 5 x − 2 x − 0.002 x 2 I = 5000 + 3x − 0.002 x 2 Paso 2.- Calculamos la derivada de I .

I = f ( x) = 5000 + 3x − 0.002 x 2 f ´(x) = 3 − 0.004 x Paso 3.- Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.

3 − 0.004 x = 0 3 x= 0.004

x = 750 Punto crítico. 127


Tomamos un valor poco menor a x = 750 , sea x = 700

f ´(x) = 3 − 0.004 x f ´(700) = 3 − 0.004(700) f ´(700) = 0.200 La f ´(x) > 0

Tomamos un valor poco mayor a x = 750 , sea x = 800

f ´(800) = 3 − 0.004(800) f ´(800) = −0.200 La f ´(x) < 0 Como pasa de positivo a negativo, decimos que existe un máximo en x = 750 . SOLUCION: El ingreso es máximo si se vende 1000 +750 =1750 piezas a $4.98 cada una; se obtiene un ingreso de $8,715.00 pesos.

¿Cómo crees que se calculan los ingresos? Los Ingresos se calculan multiplicando el precio de artículos vendidos

PROBLEMA 4.- El director de una editorial ha observado que si fija el precio de un determinado libro, $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso? PLANTEAMIENTO:

I = Ingreso x = número de pesos en que se incrementa el precio del libro. 20 + x = es el nuevo precio del libro. 400 x = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que aumenta el precio. 10,000 − 400 x = es el nuevo número de ejemplares vendidos. Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos en que se aumenta el precio del libro es:

I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.http://actividadesinfor. webcindario.com/.com/deri vadasaplicaciones.htm www.cidse.itcr.ac.cr/cursos -linea/calculodiferencial.

128

Esta función I (x ) recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que requiere optimizar.


SOLUCION: PASO1.- Aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante, para encontrar el valor de x.

I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) I ´(x) = (1)(10,000 − 400 x) − 400(20 + x) I ´(x) = 10,000 − 400 x − 8000 − 400 x I ´(x) = 2000 − 800 x Igualando a cero tenemos:

− 800 x + 2000 = 0 Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:

− 2000 − 800 x = $ 2 .5

x=

Que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el máximo Ingreso.

TAREA 4

De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye x=2.5 en la función objetivo y resulta:

I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) I (2.5) = (20 + 2.5)(10,000 − 400(2.5)) I (2.5) = 202,500.00 Que representa el máximo Ingreso.

EQUIPO:

Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y

Páginas 137.

EJERCICIO 6

mínimos, compara con tus compañeros los resultados obtenidos y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía particular por semana es C ( x ) = 1000 + 33 x − 9 x + x encuentre: a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo. b) El costo marginal mínimo. 2

2.- Para la función precio dada por P ( x ) =

3

800 − 3 encuentre el número de x+3

x1 de unidades que hace máximo el ingreso total y establezca el valor de éste. ¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número óptimo x1 de unidades? 3.- El gas de un globo esférico se escapa a razón de 1,000

cm 3 en el mismo min

instante en que el radio es de 25cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?

129


130


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 1


INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1)

f ( x) = −3x 2 ; I = [− 2,2]

2)

f ( x) = x 2 + 5 x + 2 ; I = [− 3,4]

3)

f ( x) = x 2 + 6 x − 1; I = [0,3]

4)

f ( x) = x 2 − 3x; I = [− 2,1]

5)

f ( x) = −4t 3 + 3t 2 − 6t + 1; I = [− 2,1]

131



132


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 2


INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1) f ( x ) = x − 3 x + 2 3

2

2)

f ( x) = x 3 − 4 x + 5

3)

f ( x) =

4)

f ( x) = 3x 4 − 4 x 3

1 4 x +1 4

133



134


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 3


INSTRUCCIONES: De las siguientes funciones encuentra en qué intervalos son crecientes y decrecientes; además, señala de dónde a dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y encuentra los puntos de inflexión e indica en qué punto tiene un máximo o un mínimo y realiza su gráfica. 1) f ( x ) = 4 x − 2 x

2

2) f ( x ) = 4 x + 9 x − 13 3

2

3) f ( x ) = x + 5 x + 6 2

4) g (t ) = t − 9t 4

5) g ( x ) = x − 27 3

6) f ( x ) = x − 3 x 6

7) f ( x ) = ( x − 3)

8) f (t ) = 9 − t

4

2

2

135



136


Nombre ____________________________________________________________

TAREA 4


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas.

1.- Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 900 metros cuadrados de área, como se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se necesita?

y

x 2.- Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de largo por 9 de ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados, como se muestra en la figura, encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

x x 9

x

15

15- 2x 9-2x

3.- La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de P ( x ) = 10 − 0.001x dólares, donde x es el número producido cada mes. Su costo mensual total es

C ( x) = 200 + 4 x − 0.01x 2 . La producción máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima mensual y qué nivel de producción da esta utilidad?

137



138




INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1.

El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) = 3 x + 6 x + 1 utilizando el criterio de la primera 2

derivada en el intervalo I = [−2,1] es:

(−1,−2) y el valor máximo está en (1,10) B) El valor mínimo está en (−1,2) y el valor máximo está en (−1,10) C) El valor mínimo está en (−1,4) y el valor máximo está en (−1,9) D) El valor mínimo está en (1,5) y el valor máximo está en (1,10)

A) El valor mínimo está en

2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) =

x4 +1 , según el criterio de la segunda derivada x2

son: A) El valor mínimo está en (−2,2) y un máximo está en ( 2,6) . B) El valor mínimo está en (1,2) y un mínimo está en (−1,2) .

(5,2) y un mínimo está en (−2,2) . D) El valor mínimo está en (1,6) y un máximo está en (−1,5) . C) El valor mínimo está en

3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) = x − 6 x + 8 , según el criterio de la segunda derivada son: A) El valor mínimo está en (0,2) y un máximo está en ( 2,−3) . 3

2

(−4,2) y un máximo está en (4,6) . C) El valor mínimo está en (4,−24) y un máximo está en (0,8) . D) El valor mínimo está en (−2,0) y un máximo está en (0,6) .

B) El valor mínimo está en

4.- Los intervalos en que la función f ( x ) = 3 x + 6 x + 1 es creciente o decreciente son: 2

A) En ( −∞,−1) es decreciente y en ( −1, ∞) es creciente.

(−∞,−2) es decreciente y en (2, ∞) es creciente. C) En (−∞,1) es decreciente y en ( −1, ∞) es creciente. D) En (−∞,−5) es decreciente y en ( −4, ∞) es creciente.

B) En

5.- La concavidad de la siguiente función f ( x ) = 2 x − 6 x + 3 está dada en los intervalos: 3

2

(−∞,3) y cóncava hacia arriba en (3, ∞) . B) Cóncava hacia abajo en (−∞,1) y cóncava hacia arriba en (1, ∞) . C) Cóncava hacia abajo en ( −∞,−1) y cóncava hacia arriba en ( −1, ∞) . D) Cóncava hacia abajo en (−∞,−4) y cóncava hacia arriba en (3, ∞) . A) Cóncava hacia abajo en

139


6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función f ( x ) = ( − x + 2) son: 3

A) (5,0) y (3,2) B) ( −1,4) y ( 2,3)

(2,0) D) (3,2) C)

7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son: A) Un número es el 12 y el otro es el 24 . B) Un número es el 10 y el otro es el 20 . C) Un número es el − 12 y el otro es el − 24 . D) Un número es el 11 y el otro es el 22 . 8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de este es: A) Cuando x = 6 se obtiene un máximo igual a 3,456 . B) Cuando x = 3 se obtiene un máximo igual a 1,289 . C) Cuando x = 8 se obtiene un máximo igual a

8,496 . D) Cuando x = 6 se obtiene un máximo igual a 3,956 . 9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea de área máxima. El área y sus dimensiones son: 2

A) El área máxima es de 1600m ; las dimensiones del rectángulo son de 40m por lado.

3600m 2 ; las dimensiones del rectángulo son de 60m por lado. 2 C) El área máxima es de 2500m ; las dimensiones del rectángulo son de 50m por lado. 2 D) El área máxima es de 4900m ; las dimensiones del rectángulo son de 70m por lado. B) El área máxima es de

10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en dólares) están dados por:

p( x) = 5.00 − 0.002 x C ( x) = 3.00 + 1.10 x

Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total. A) La utilidad máxima es de p (995) = $1998.25

p (562) = $898.25 C) La utilidad máxima es de p ( 255) = $698.55 D) La utilidad máxima es de p (975) = $1898.25

B) La utilidad máxima es de

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. 140





INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.

I = [−2,2] . b) f ( x ) = 3 x − 6 x + 1 en I = [−3,2]

a) f ( x ) = x + 5 x en 2

3

2.- Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones. a) f ( x ) = 5 x − 6 x + 3 x + 9 4

3

b) f ( x ) = (8 x − 6 x ) 3

5

c) f ( x) = csc(4 x) 3.- Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones. Realiza su gráfica. a) f ( x ) = 5 x + 2 x + 1 2

b) f ( x ) = −6 x − 3 x + 6 3

2

4.- Encuentra en que intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1. 5.- utiliza el teorema de concavidad para determinar donde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además indica cuales con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica. a) f ( x ) = x − 2 x + 2 4

3

b) f ( x ) = x + 2 x + 1 3

2

RESUELVE LOS SIGUIENTGES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MAXIMOS Y MÍNIMOS. 6.- Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto que tiene como radio b = 4cm y como altura a = 12cm . Ver la figura.

7.- El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo directo de $110. Por cada unidad producida. Escriba una expresión C (x ) , el costo total de fabricar muebles en un mes.

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Claves de Respuestas UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3

1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. A

1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 8. D 9. C 10. B 11. A 12. D

1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. B 10. D

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Glosario CÁLCULO DIFERENCIAL

Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado. CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva. CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas. FUNCIÓN Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la CRECIENTE variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) también aumenta. FUNCIÓN Una función es decreciente cuando al aumentar la variable DECRECIENTE independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) disminuye. FUNCIÓN Es aquella en la es posible expresar una variable en EXPLÍCITA términos de la otra. FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra. LIMITE DE UNA Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente FUNCIÓN cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. PUNTO DE Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un INFLEXIÓN cambio en la concavidad de la gráfica. RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente. RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto a la curva en dicho punto. VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. VELOCIDAD Es la distancia entre la primera posición y la segunda, PROMEDIO dividida entre el tiempo consumido. FUNCIÓN Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento de X le corresponda uno y solamente uno de los elementos de Y. DOMINIO DE UNA Es el conjunto de los elementos del conjunto. FUNCIÓN RANGO DE UNA Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son FUNCIÓN imagen de un valor X. LÍMITES DE UNA Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente, FUNCIÓN cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. EVALUAR O Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten DETERMINAR EL convertir a una función indeterminada a una función LÍMITE DE UNA determinada. FUNCIÓN COC IENTE GRÁFICA DE UNA Representación en un sistema rectangular de coordenadas FUNCIÓN de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular. PAR ORDENADO Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama 144

CONTINUIDAD

ordenada. Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el dominio de f(x) y si:

1) f(c) está definida 2) Lim f(x) existe x c 3) Lim f(x)=f(c) x c LÍMITES LATERALES Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones. DISCONTINUIDAD Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad. RAZÓN Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra. PENDIENTE DE UNA La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación RECTA por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m DERIVADA DE UNA Existencia de límite: (definición) FUNCIÓN Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo x 0 h PENDIENTE DE UNA La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de CURVA ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la curva en p. LEYES DE Si M > 0 y N > 0 entonces; LOGARITMOS 1. Log M . N = Log M+ Log N 2. Log M/N = Log M – Log N 3. Log MN = N Log M DISCONTINUIDAD Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función REMOVIBLE En x0 produce una función que es continua en x0. DISCONTINUIDAD Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto DE SALTO Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x) x x0x x0+ x x0x x0+ tal discontinuidad no es removible. TEOREMA DE Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo VALOR número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0 INTERMEDIO en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c TEOREMA DE Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M VALOR EXTREMO y un valor máximo M en el infinito. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f( ∆X cambio en X h

VELOCIDAD PROMEDIO DE UN CUERPO EN UN INTERVALO DE TIEMPO

∆S = desplazamiento ∆t tiempo

alnx = x Ln(ax) = x

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Bibliografía General

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AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V. FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill. MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Prentice Hall. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.

Calculo Diferencial e Integral

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