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Unidad de Organización Curricular (UOC) CIENCIAS BÁSICAS
MÓDULO # 1
CÁLCULO DIFERENCIAL
Este material es propiedad de la Universidad de Medellín y puede ser utilizado por los estudiantes y los profesores de la institución. Su contenido respeta los derechos de autor utilizándolos para fines educativos y no comerciales.
2009
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Cálculo diferencial
1
Módulo # 1
Esta asignatura tiene como objetivo “Inferir, deducir, comprender, aplicar e interpretar los distintos conceptos teóricos del Cálculo Diferencial en su campo de formación y como herramienta en el campo de la investigación”. A través de los contenidos de cada módulo usted podrá cumplir el objetivo y desarrollar las competencias de esta asignatura. Este documento de estudio, también llamado OVA (Objeto Virtual de Aprendizaje) tiene 3 módulos, organizados así: En el módulo 1, se trabajan dos grandes temas: 1) lìmites y 2) continuidad. En el módulo 2, está dedicado exclusivamente a todo lo relacionado con el tema de La Derivada. En el módulo 3, se desarrollan las coordenadas polares y, las diferenciales y antiderivadas. Este documento de estudio le presenta el desarrollo temático y todos los recursos digitales necesarios para el estudio de la asignatura.
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Cálculo diferencial
2
Módulo # 1
Bienvenido al curso de Cálculo Diferencial; en el presente módulo usted va aprender la teoría y el cálculo de límites de una función y=f(x) y. Con base en este trabajo, tendrá la posibilidad de abordar el estudio de la continuidad de una función planteada en la parte final del módulo. Las actividades que debe resolver y las referencias a sitios y direcciones de Internet, servirán para complementar y ampliar los temas propuestos. Finalmente encontrará un mapa conceptual de esta unidad, donde se desarrolla el concepto de limite, su notación y sus propiedades. Welcome to the differential calculus course, in this module you will learn the theory and calculation of limits of a function y = f (x) and, based on this work, you will be able to approach to the study of the continuity of a function, raised at the end of the module. The activities to be addressed and references to Internet websites, will complement and extend the proposed topics. Finally find a concept map of this unit, where developed the concept of limits, its notation and its properties.
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UOC CIENCIAS BÁSICAS Cálculo diferencial Módulo 1
1.
LÍMITES .......................................................................................5
1.1.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN .............................................................. 5
1.2.
DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE ..................................................... 8
1.3.
ÁLGEBRA DE LÍMITES (PROPIEDADES DE LOS LÍMITES) .................... 9
1.4.
LÍMITES ALGEBRAICOS ............................................................... 10
1.5. 1.6.
LÍMITES AL INFINITO .................................................................. 12 LÍMITES LATERALES ................................................................... 14
1.7.
LÍMITES INFINITOS .................................................................... 16
1.8.
ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES ................................... 18
1.8.1.
ASÍNTOTAS VERTICALES. ........................................................... 19
1.8.2.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES. ...................................................... 19
1.9.
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ....................................................... 23
1.10. DEFINICIÓN DE E ....................................................................... 24 2. CONTINUIDAD ............................................................................ 27 2.1.
CONTINUIDAD EN UN PUNTO ....................................................... 28
2.2.
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ................................................ 31
ANEXO 1 ............................................................................................. 38 ANEXO 2 ............................................................................................. 40 ANEXO 3 ............................................................................................. 42 ANEXO 4 ............................................................................................. 44 ANEXO 5 ............................................................................................. 45 ANEXO 6 ............................................................................................. 47 ANEXO 7 ............................................................................................. 49 ANEXO 8 ............................................................................................. 51
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ANEXO 9 ............................................................................................. 53 ANEXO 10 ........................................................................................... 54 ANEXO 11 ........................................................................................... 55 ANEXO 12 ........................................................................................... 58 ANEXO 13 ........................................................................................... 60 ANEXO 14 ........................................................................................... 62 ANEXO 15 ........................................................................................... 64 ANEXO 16 ........................................................................................... 68
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1. LÍMITES En esta unidad se explicará de manera intuitiva la noción de límite de una función y f x cuando la variable independiente x tiende, se acerca o aproxima a un valor x c tanto por la izquierda como por la derecha; de esta manera, usted se aprestará para comprender la definición rigurosa o precisa de límite de una función y f x
1.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Para comprender el sentido y lo que representa el límite de una función vamos a considerar, por ejemplo, la función: 2
y
f x
2 x
x 3 x 1
, con dominio
1
, puesto que si x = 1; entonces la
función y f x no estaría definida, dado que se presentaría una división entre cero. Veamos ahora que ocurre con los valores de y f x cuando x toma valores muy próximos a 1, sin tomar 1, es decir, cuando x se aproxima, por la derecha o por la izquierda de este valor. Por la derecha de x =1:
Notación: para denotar que x se acerca a 1 por la derecha, lo representamos así, , de forma general , se lee “x se acerca a c por la derecha”
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Por la izquierda de x =1:
Notación: para denotar que x se acerca (o tiende) a 1 por la izquierda, lo representamos así, , y de manera general como, , se lee “x se acerca a c por la izquierda” Evaluando la función para estos valores, con el empleo de una calculadora, se construye la siguiente tabla: x se acerca (tiende) a 1 por izquierda, x se acerca (tiende) a 1 por derecha
De la tabla se observa, que: y
f x
se acerca a 5
Por la izquierda: x 1 entonces f x 5 , Esto se lee “si x se acerca a 1 por la izquierda, entonces f x tiende a 5”. 5 , Por la derecha: x 1 entonces f x Esto se lee “si x se acerca a 1 por la derecha, entonces f x tiende a 5”
Observe que al construir la gráfica, se ve claramente que cuando x se acerca 1 por derecha e izquierda, la función, es decir, y , tiende a 5
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Resumiendo,
f ( x)
2 x 2
x 3
tiende a 5 cuando se evalúa con valores
x 1
cercanos a x =1, tanto por la derecha como la izquierda. En cálculo infinitesimal este hecho se escribe como:
y se lee “límite cuando x tiende a 1 de la función En general, si el límite existe se escribe: lim f ( x) x
c
L , siendo L
R
es 5”
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RECUERDE significa que, x está cerca de c, sin tomar el valor de c Gráficamente se puede analizar la existencia o no de un límite. En la siguiente gráfica usted puede ver que en la función correspondiente, el límite no existe en x = c Observe además, el salto o la discontinuidad que tiene la función en los puntos donde x = c La función anterior, como puede verse, es una función por tramos y puede notarse que en el valor c no existe el límite, puesto que cuando x se acerca por la izquierda toma un valor m diferente del valor n cuando x se cerca por la derecha.
1.2. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE A continuación se define formalmente el concepto de límite de una función y f ( x ) Sea f(x) una función definida para todo x en su dominio, excepto posiblemente en c , entonces se dice límite de f(x) cuandox tiende a “c”, y se escribe: . Si se cumple que para cualquier ε > 0 existe , es L ó sea, un número >0, tal que, , siendo .
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ENLACE DE AMPLIACIÓN Usted puede ver ejemplos de demostraciones aplicando esta definición en el libro: Cálculo Diferencial una variable, Longman, editorial Addison Wesley, 1998, pág. 71), ISBN: 978-968-4442793.(Consúltelo si tiene acceso a este libro físico, de lo contrario continúe con el tema)
1.3. ÁLGEBRA DE LÍMITES (PROPIEDADES DE LOS LÍMITES) Las siguientes son propiedades o álgebra de límites y que algunos textos de cálculo los enuncian como teoremas; son fáciles de aplicar e incluso de demostrar. Las siguientes son las más empleadas y deberá tenerlas presentes cuando vaya a calcular límites o intentar demostrar alguna u otra propiedad. Sif(x) y g(x) son funciones y k es una constante, entones se cumple: 1. lim x
k f(x) = k lim f(x) x a
2. lim x
a
3. lim x
k = k (límite de una constante)
a
[f(x)
g(x)] =
lim
x
a
f(x)
lim
x
a
g(x)
a
lim 4. xlima [f(x) * g(x)] = 5 lim x
a
f ( x ) g ( x )
=
x
a
f(x) * xlima g(x)
lim f ( x) x
a
lim g ( x) x
; con g(x)
0
a
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6. lim x
n
f ( x)
n
lim f ( x)
x a
a
Teorema de estricción o del encaje. Sean f(x),u(x), g(x) funciones definidas en todo número x de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c , excepto posiblemente en c misma. Si u(x) f(x) g(x) y lim u ( x) L x
Ejemplo: Hallar lim2 g ( x) Si
c
g ( x)
3
g ( x) 3
5( x
2) 2
g ( x)
3 5( x
x
lim g ( x) entonces x
5x
c
2
2
lim f ( x) L x
c
para todo x
Solución: a Sii a x
x
5( x
2) 2
3 5( x
2) 2
a
h ( x )
lim h( x) 2
x
lim h( x) 2
x
lim g ( x) 2
x
2) 2
h ( x ) 2
lim (3 5( x
2) )
3
lim (3 5( x
2) 2 )
3
x
x
2
2
3
1.4. LÍMITES ALGEBRAICOS Son límites de la forma: lim f ( x) L x
c
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Donde c y L son números reales y, y= f(x), es una función algebraica. Para calcular este tipo de límites se acepta una sustitución inmediata del valor de c en la función y, el resultado obtenido es el valor del límite. Sin embargo, cuando al hacer el reemplazo se llega a una forma indeterminada 0/0, usted debe tratar de disolverla o eliminarla (quitar la indeterminación), empleando operaciones algebraicas como la factorización o la racionalización. Los siguientes ejemplos ilustran estos procedimientos al plantear el cálculo de los siguientes límites: 1. 2.
lim
x
4
lim
x
0
3 x 2
17 x
20
2
25 x
36
4 x
x
2 x
2
Ver solución de los ejemplos anteriores (ver Anexo 1)
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 2 al final de este archivo
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ENLACE DE AMPLIACIÓN Observe un ejemplo de límites a través de un vídeo http://www.youtube.com/watch?v=qkZ7xK36cLc&featu re=player_embedded
RECUERDE La indeterminación algebraicos, se racionalizando.
0 0
cuando se calculan límites
elimina
factorizando
o
1.5. LÍMITES AL INFINITO Los límites en el infinito son de la forma
lim f ( x) L
x
Donde L es un número real, si el límite existe y el símbolo , hace referencia a una cantidad muy grande o muy pequeña, respectivamente. Si al evaluar directamente en la función se obtiene la forma
, que es una
indeterminación, hay que tratar de eliminarla mediante métodos algebraicos; dividir cada término de la función a la cual se le va a calcular el límite por la mayor potencia de la variable independiente es una de esas estrategias.
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Un límite importante a tener en cuenta para completar el proceso del cálculo del límite respectivo, es el siguiente:
lim
x
k x
0
n
Ejemplos de aplicación: lim x
3 x 2
lim
0
x
4 x 2
3
2 x 2
1
lim Y
y y
2
4 4
Ver solución de los anteriores ejemplos planteados. (Ver anexo 3)
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de
estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 4 al final de este archivo
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RECUERDE Una estrategia para disolver la indeterminación
cuando
se calculan límites al infinito de funciones algebraicas, es dividir cada término de la función a la cual se le va a calcular el límite, por la mayor potencia de la variable independiente. No olvidar
lim
x
k x n
0
ENLACE DE AMPLIACIÓN Aquí, podrá observar el video con ejemplos sobre límites, donde se aplican la factorización y la radicación para disolver un indeterminante. http://www.youtube.com/watch?v=ZbcgziuOgM&feature=related
1.6. LÍMITES LATERALES Los límites laterales tienen que ver con el cálculo del límite, tanto por la derecha como por la izquierda de x=c . En el cálculo de los límites anteriores este detalle no es relevante, sin embargo, en algunas funciones hay que calcular los dos límites laterales, es el caso, por ejemplo, de las funciones definidas por tramos. En estos casos, para calcular, lim f ( x) L x
c
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Se procede a determinar el límite cuando x tiende a c por la derecha (algún poco mayor que c ), que se denota como lim f ( x) L1 x
c
De forma similar, el límite cuando x tiende a c por la izquierda (algún poco menor que c ), se escribe en cálculo como, lim f ( x) L2 x
c
Ahora bien, para concluir que, lim f ( x) L existe, se debe cumplir que: x
limc f ( x)
x
limc f ( x) L1
x
L2
c
L
De esta manera, puede entonces, darse cuenta que lim f ( x) L existe, si los x
c
límites laterales existen y son iguales Los siguientes ejemplos le permiten analizar y aprender a calcular límites laterales (Ver anexo 5)
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 6 al final de este archivo
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1.7. LÍMITES INFINITOS Cuando se trata de límites infinitos, la discusión se centra en estudiar la forma como se comporta la variable y, de la función y=f(x) al aumentar o disminuir libremente, cuando la variable independiente x se acerca a un valor fijo. En las siguientes gráficas, se interpreta el modelo
f ( x)
a
( x
b)
n
considerando
los posibles valores de a y n
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 7 al final de este archivo
Concluyendo: Cuando x tiende a c y , lim f ( x) x
f ( x ) crece
y
sin límite, se escribe
c
Y cuando x tiende a c y ,
y
f ( x) decrece
sin límite, se escribe
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lim f ( x) x c
Lo anterior indica que el resultado de un límite infinito es que el valor de y tiende Los siguientes ejemplos le ayudarán a afianzar la destreza que debe tener para calcular estos límites:
1.
3
f ( x)
y
2
( x 2.
lim x
3
x
5
x
3
2)
Ver solución de los anteriores ejemplos planteados (Ver Anexo 8)
RECUERDE Cuando x tiende a c y , escribe lim f ( x ) x
f ( x) crece
sin límite, se
c
Y cuando x tiende a c y , se escribe lim f ( x ) x
y
y
f ( x ) decrece
sin límite,
c
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Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 9 al final de este archivo
1.8. ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES ENLACE DE AMPLIACIÓN Video sobre asíntotas de una función http://www.youtube.com/watch?v=JX7g7vQIKQ&feature=related
Antes de continuar con la teoría de límites, particularmente, con los límites trigonométricos, es importante aprovechar los límites infinitos y los límites al infinito, para tratar el tema de las asíntotas horizontales y verticales, como se quiera que estos límites estén asociados a este concepto. Las asíntotas son rectas que direccionan las ramas de la gráfica de una función, curiosamente, no hacen parte de la gráfica, por eso, se trazan con
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líneas suaves o punteadas. A continuación, vamos a definir las asíntotas verticales y horizontales, las asíntotas oblicuas o inclinadas se verán más adelante en otra sección.
1.8.1.
ASÍNTOTAS VERTICALES.
(recta paralela el eje y) es una asíntota vertical de una función si las tiene, si se cumple alguno de los siguientes enunciados: x
a
1.
lim f ( x) x
2. 3. 4.
a
lim f ( x ) x
,
a
lim f ( x ) x
f ( x )
a
lim f ( x) x
y
a
En la práctica, para determinar las asíntotas verticales de la forma x a , se analizan los valores de x , donde la función no está definida. Observe entonces, que según la definición de asíntotas verticales se emplean los límites infinitos.
1.8.2. y
ASÍNTOTAS HORIZONTALES.
b (recta
paralela al eje x) es una asíntota horizontal de y tiene, si se cumple al menos uno de los siguientes enunciados: lim f ( x)
, si las
b
1) x Teniendo en cuenta que para algún N, si x 2) lim f ( x) b x
f ( x )
N entonces, f ( x )
b
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Si para algún N, si x
N entonces, f ( x )
b
Con el siguiente ejercicio usted se puede dar cuenta de la forma como se determinan las asíntotas y como se grafican este tipo de funciones. Tenga en cuenta el siguiente orden. 1) Se factoriza, si es posible, tanto el numerador como el denominador de la función. 2) Se determinan los interceptos de la gráfica con los ejes de coordenadas. 3) Se identifican las asíntotas verticales y horizontales. 4) Con los datos obtenidos se grafica la función. Así, por ejemplo; considerando la siguiente función: y
f ( x)
x 2 x
2
x
6 2
Factorizando, y f ( x)
x 2 x x
2
6
( x
x 3)( x
2)
Interceptos con los ejes. Con el eje x, se hace y 0 Es decir, 0
x
2
( x 3)( x
2)
, lo cual implica que 0 x 2 y, x 0
O sea, que el punto de corte de la gráfica con el eje x, es el punto (0, 0) Con el eje x, se hace y 0 Es claro que si y 0 entonces, x 0 y se tiene el punto (0, 0) Es decir, la gráfica corta, tanto al eje x como al eje y, en el punto (0, 0)
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Asíntotas verticales Observe que el dominio de la función y f ( x)
x x
2
2
x
x
6
2
( x 3)( x
2)
, es el
conjunto de los números reales excepto 3 y -2, entonces, las asíntotas verticales son x =3 y x =-2 Ahora se analiza los acercamientos a estos valores de x , tanto por la izquierda como por la derecha. Para x =3 Por la derecha:
x
lim x
x
( x 3)( x
3
Por la izquierda: lim 3
2
2)
x 2
( x 3)( x
2)
Para x = -2 Por la derecha:
lim x
2
Por la izquierda: lim x
2
x
2
( x 3)( x
2)
x 2
( x 3)( x
2)
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Asíntotas horizontales Recuerde los enunciados a tener en cuenta para determinar asíntotas horizontales; uno de ellos es: lim f ( x) b x En estas condiciones y recordando el cálculo de límites al infinito, usted va a tener que: y
lim f ( x )
lim
x 2 x 2
1
Es decir, y=1, es asíntota horizontal. x
x
x
6
Gráfica de la función Con toda la información obtenida se construye la gráfica de la función:
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RECUERDE Cuando se plantean este tipo de problemas tenga en cuenta que si tiene, x=0, se trata del eje y, mientras que y=0, es el eje x en un sistema de coordenadas cartesianas.
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 10 al final de este archivo
1.9. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS Ya más familiarizados con el cálculo de límites de una función, vamos ahora a aprender a calcular límites trigonométricos, para tal efecto es bueno estar al tanto de la definición de las funciones trigonométricas, de las relaciones entre ellas y de recordar las identidades fundamentales.
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Existen dos límites trigonométricos son muy importantes para calcular otros, en esta sección los vamos a enunciar como teoremas. Ellos son: Teorema lim
sent t
t 0
Teorema lim
1
t
0
1 cos t
0
t
Ver demostración de estos dos teoremas (Ver Anexo 11) A continuación, vamos a aprovechar estos resultados para calcular los siguientes límites. Observe que, al hacer la sustitución inmediata, casi siempre 0
se obtiene la forma indeterminada
0
, por eso hay que transformar las
expresiones para poder calcular los límites. En este documento (Ver Anexo 12) encuentra la solución de:
1) lim x
0
sen 3 x sen 6 x
2)
lim x
0
3 x 2
sen 2 2 x
cos 2 2 x
3) lim x
1 senx
x
2
2
1.10.
DEFINICIÓN DE E ENLACE DE AMPLIACIÓN Video sobre el tema http://video.google.com.co/videosearch?hl=es&source =hp&q=limites%20de%20funciones%20reales&rlz=1R 2GPEA_esCO344&um=1&ie=UTF8&sa=N&tab=wv#q=limite+de+una+funcion+real&hl =es&emb=0&start=10
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Consideremos la siguiente función:
y
f ( x)
1
1 x
x
, ahora vamos a
evaluarla para los siguientes valores de x: Si x=1000, entonces, y
f (1000 )
1000
1
1
2.7169239 ....
1000
Si x= 1 000 000, al evaluar se obtiene el siguiente valor: y
f (1000000 )
1
1
1000000
2.7182805 ....
1000000
Y si usted le sigue aumentando el valor a x, se acerca cada vez más a e
2.7182818 ...
Lo cual indica que si x tiende a lim 1
x
1
, entonces,
x
e
x
Usted puede demostrar fácilmente que, en general, si k es un número real, entonces, lim 1
z
k
x
x
¿Qué pasa
e
k
si y
1 x
, en
lim 1
x
1 x
x
e?
En los siguientes ejemplos puede verse la versatilidad y contundencia de esta definición de e cuando se calcula.
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1) lim 1 x
2 x
x
e
2
2) lim x
1
2 x
x
e 2
1
3) lim 1 x x
0
x
e
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 13 al final de este archivo
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2. CONTINUIDAD La continuidad o no de una función y f ( x) permite conocer más acerca del comportamiento de la misma; el manejo de este concepto, en cálculo infinitesimal, ha permitido la construcción de otros conceptos no menos importantes, de esta extraordinaria herramienta matemática. Un gran los grupo de funciones gozan de serdominios; continuasalgunas en todos puntos definen valores de sus respectivos delos ellas son: que las funciones polinómicas o polinomiales, la función logarítmica, exponencial, trigonométricas directas e inversas y funciones racionales entre otras; todas ellas, que por sus características de continuidad sirven para modelar comportamientos físicos, químicos, económicos y en general, aspectos que tienen que ver con la vida ordinaria o cotidiana. Para que usted tenga un concepto simple, pero limpio de función, imagínese recorriendo la gráfica de una función sin tener ningún tipo de interrupción, singularidad o salto; si esto ocurre, la función es continua, en otro caso, la función se dice discontinua.
ENLACE DE AMPLIACIÓN Análisis de continuidad en una función por tramos http://www.youtube.com/watch?v=VvILwqxWG8g&feat ure=player_embedded#
El análisis de la continuidad de una función se puede hacer en tres situaciones claramente definidas.
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Continuidad en un punto o puntual Se trata de estudiar la continuidad de una función en el punto donde x=a. La mayoría de los textos de cálculo hacen referencia a esta situación, sin entrar en más detalle de la continuidad de una función en un número a. Continuidad en un intervalo En algunos procedimientos del cálculo, tiene mucha importancia el estudio de la continuidad de una función en un inérvalo cerrado o abierto del conjunto que define su dominio. Sin embargo, por su importancia, se hará más énfasis en la continuidad en un punto.
2.1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función es y f ( x) continua en un punto donde x=c, si está definida en un intervalo abierto que contenga al número c y si lim f ( x) f (c) x
Ahora bien, una función tres enunciados: 1) 2) 3)
f (c)
c
lim f ( x) x
c
f ( x) ,
es continua x=c si se cumplen los siguientes
existe
lim f ( x) existe, x
y
c
o sea, si,
lim f ( x) x
f (c)
c
lim f ( x) x
c
En caso contrario, se concluye que la función no es continua en x=c Cuando la función no es continua, es posible que sea una discontinuidad de cualquiera de los siguientes tipos:
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Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 14 al final de este archivo
ENLACE DE AMPLIACIÓN Límites: Explicación con ejemplos http://www.youtube.com/watch?v=yAB1Z5F0imI&featu re=related Los siguientes ejemplos ilustran la forma como puede analizarse la continuidad de una función en el punto donde x=c, además, el resultado puede confrontarse gráficamente. En este documento (Ver Anexo 15) se analiza la continuidad de cada función:
1.
y
f ( x)
3 x
si x
1
3 x
si x
1
en x=c=1
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2. es o no continua en x=c=4 1
3.
y
f ( x)
si x
x
2 9 x
3
en x si
3
3 x
RECUERDE La discontinuidad de una función puede ser: Removible o evitable De salto Asintótica Esencial
Para ver este contenido debe hacerlo desde el documento de estudio en la plataforma También puede consultar el Anexo 16 al final de este archivo
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2.2. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ENLACE DE AMPLIACIÓN Continuidad de una función en un intervalo http://www.vadenumeros.es/segundo/continuidadde-funciones-en-un-intervalo.htm Se dice que y f ( x) es continua en el intervalo abierto (a,b), (http://enciclopedia.us.es/index.php/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)si es continua para todo punto c de ( a, b) , es decir, si se cumple que, lim f ( x) f (c) x
c
y, es continua en el intervalo cerrado [a,b], (http://enciclopedia.us.es/index.php/Intervalo_(matem%C3%A1ticas) si es continua en (a, b) y es continua a la derecha de a a y a la izquierda de b, o sea lim f ( x) x
f (a) y lim f ( x) x
a
f (b)
a
Ahora bien, una función y continua en
( a, b)
f ( x )
es continua en un intervalo [a, b) , si es
y es continua a la derecha de
a,
es decir,
lim f ( x) x
a
De manera similar, una función es continua en un intervalo continua en si
lim f ( x) x
a
(a, b)
( a , b]
f (a)
, si es
y es continua a la izquierda de b, es decir,
f (b)
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ACTIVIDAD 8 Con toda la teoría vista sobre continuidad, usted debe analizar la continuidad de la siguiente función en todo su dominio. x y
f ( x)
1
si x
1 1 x 1
x 2
si
2 x
si 1 x
Tenga en cuenta el dominio de la función y los intervalos de definición de cada uno de los tramos de la función. No olvide trazar la gráfica de la función.
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Álvarez, R., & Fernández, H. (1997). Polimpresos.
Matemática Básica. Medellín:
Lehmann, C. (1994). Geometría Analítica. México D. F.: Limusa. Leithold, L. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México D. F.: Harla. Leithold, L. El Cálculo con Geometría Análitica. Harla. López Saura, I., & Wisniewski, P. M. (2006). Cálculo Diferencial de una Variable con Aplicaciones. México: Thomson. Mejía Duque, F. G., Arias Londoño, E. L., & Escobar Urrego, J. A. (2007). Cálculo Diferencial con Aplicaciones. Medellín: Sello editorial Universidad de Medellín. Mejía, F. (1991). Matemáticas Operativas Básicas. Medellín: Colección Universidad de Medellín. Purcell, E. J., & Varberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Análitica. México: Prentice Hall. Smith, S. (1998). Trigonometría y Geometría Analítica. México D. F.: Addison Wesley Longman de México, S.A. Spiegel, M. (2000). Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada. 2 ed. Madrid: McGRAW-HILL. Stewart, J. (2001). Precálculo. 3 ed. México D.F: Internacional Thomson Editores, S.A. Sullivan, M. (1997). Precálculo. 4 ed. México D. F.: Prentice Hal.
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Thomás, G., & Finney, R. (1998). Cálculo de una variable.México: Pearson(Addison Wesley Longman). Vance, E. (1960). Fundamentals of Mathematics. 3 ed. Massachussets-USA: Addisson-Wesley.
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Indeterminación
0 0
En esta dirección se resuelve la indeterminación http://video.google.com.co/videosearch?hl=es&source=hp&q=limites%20de% 20funciones%20reales&rlz=1R2GPEA_esCO344&um=1&ie=UTF8&sa=N&tab=wv#q=limite+de+una+funcion+real&hl=es&emb=0 L’ Hopital
Esta dirección explica el límite de aplicando L’ hospital http://video.google.com.co/videosearch?hl=es&source=hp&q=limites%20de% 20funciones%20reales&rlz=1R2GPEA_esCO344&um=1&ie=UTF8&sa=N&tab=wv#q=limite+de+una+funcion+real&hl=es&emb=0 0
Indeterminación 0
Un ejemplo de
0 0
pero con factorización y radicación
http://www.youtube.com/watch?v=PwBdwnc621g&feature=related Indeterminaciones Video sobre las indeterminaciones más comunes http://www.youtube.com/watch?v=VDHSg2MQOxY&feature=related La asíntota Se explica teóricamente, cuando es una asíntota sólo teóricamente http://www.youtube.com/watch?v=JX7g7vQI-KQ&feature=related
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1) ¿El límite cuando x tiende a un valor real, da como resultado el valor exacto de y? ¿O también es una tendencia? Es una tendencia, ya que cuando x tiende a un valor, y tiende al valor obtenido al calcular el límite. 2) ¿Cuál es la diferencia entre límites al infinito y límites infinitos? Que el límite al infinito, si existe, da un valor real; en cambio, el resultado de los límites infinitos es la tendencia a , dependiendo del límite 3) En cálculo, es frecuente hablar de indeterminaciones. ¿Cuáles son algunas? Algunas son:
0 , 0
0
,0 ,0 ,
,.....
4) ¿Con cuál tipo de asíntotas están asociados los límites al infinito? ¿Los límites infinitos? Asíntotas horizontales, con límites al infinito. Asíntotas verticales, con límites infinitos
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5) ¿Se pueden calcular las asíntotas inclinadas u oblicuas empleando límites? En el módulo sólo hicieron alguna mención. Sí. Una asíntota oblicua o inclinada, de una función y f ( x ) es de la forma y mx b , es decir, una recta con pendiente m. Aquí la noción de límite sirve para calcular la pendiente m y el valor de b. 6) ¿Cuáles funciones son continuas en todo su dominio? Funciones polinómicas, trigonométricas.
racionales,
exponencial,
7) ¿Para qué sirve la noción de límite de una función
y
logarítmicas,
f ( x) ?
Para la construcción de gran parte de los conceptos del cálculo infinitesimal, particularmente, la definición de derivada que se estudiará en el módulo 2. 8) ¿Cómo se analiza la continuidad de una función en todo su dominio? Depende como se defina la función, pero en todo caso puede incluir el estudio de la continuidad en un punto o en un intervalo abierto o cerrado al mismo tiempo.
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ANEXO 1 Este documento algebraicos”.
hace
parte
del
tema
“Límites
Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema.
EJEMPLO 1 lim
x
4
3 x 2
17 x
20
2
25 x
36
3 x 2
17 x
20
0
2
25 x
36
0
4 x
Solución: Al reemplazar por x =4, se obtiene,
lim
x
4
4 x
Que es una indeterminación; para quitarla hay que factorizar la función, como se puede ver a continuación. lim
x
4
3 x 2
17 x
20
2
25 x
36
4 x
lim
x
4
(3 x
5)( x
4)
(4 x
9)( x
4)
lim x
4
3 x
5
7
4 x
9
7
1
Note que al factorizar, el factor que produce la indeterminación se cancela.
EJEMPLO 2 lim
x
0
x
2 x
2
Solución:
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Al hacer la sustitución directamente se llega a la indeterminación
0 0
Sin embargo, si se racionaliza el numerador de la función a la cual hay que calcularle el límite, se obtiene el siguiente resultado:
x
lim x
2
2
x
0
lim
x
( x
2
0
x( x
2 )( x
2
2
2)
2)
lim x
0
x
2
x( x
2
2 2)
lim
x
0
x x( x
2
2)
lim x
0
1 ( x
2
1 2)
2
1 2)
2 2
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ANEXO 2 Este documento algebraicos”.
hace
parte
del
tema
“Límites
Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 1 Calcule los siguientes límites algebraicos; antes de intentarlo puede repasar la factorización y la racionalización de expresiones algebraicas. lim
1.
2.
y
t
6.
s
t 2
4 t
x 2
3 x
1
4 t
0
lim
9
2
0
x
27
4t
2
lim
5.
2
2
lim
4.
8
8t 3
lim t
3
y
2
lim3 t
3.
y
2
t
5 x 6 x 12
s3
1
s
1
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lim
7.
y
2
y3
8
y
2 y 2
lim
8.
2 y
3
y
9
2
7 y
1
lim
s
3 2
s
4
x 2
10. y
2
2
s
9.
3
f ( x)
si x
ax
b
si
2 x
6
si
Hallar el valor de a y b, tal que 3
11) lim h 0
2 2 x
2
2 x
lim f ( x)
x
2
y
lim f ( x)
x
2
existan.
h 1 1 h
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ANEXO 3 Este documento hace parte del tema “Límites al infinito”. Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema. EJEMPLO 1 3 lim x 2
x
0
Observe que en este ejemplo K= 3 y n=2, de igual forma da cero si k es una constante y n es un entero positivo. Aquí K es una constante y n pertenece a los números enteros positivos Con los siguientes ejemplos se dará cuenta de la forma como se calculan este tipo de límites. Una forma práctica para calcular este tipo de límites que conducen, en primera 0
instancia, a las formas indeterminadas ó 0 , es aplicando la Regla de L’ Hopital, ésta se discutirá en el Módulo 3, en aplicaciones de la derivada. EJEMPLO 2 lim
x
4 x 2
3
2 x 2
1
Solución: Al evaluar directamente el límite de la función se llega a la forma indeterminada
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Recuerde que para eliminarla se debe dividir cada término entre la mayor potencia de x , en este caso, entre x 2 y aplicar, lim
x
k
0
x n
4 x 2 lim
x
4 x
2
2 x
2
3 1
3
2
lim x 2 x 2 x x
x 1
2
x
3
4
2 x
2
4
x 2 1
lim 2
2
2
x 2
EJEMPLO 3 lim
Y
y2
4
y
4
Solución: Al reemplazar directamente se obtiene la forma Se divide entre la mayor potencia de y , en este caso, y ¿Por qué?
lim
y
y y
2
4 4
lim
y
y y
2
4 4
lim
y
y2 y2
4 y 2
y
4
y
y
1
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ANEXO 4 Este documento hace parte del tema “Limites al infinito”. Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 2 Calcule los siguientes límites al infinito, procure seguir las sugerencias dadas para resolver este tipo de límites.
1)
4)
7)
lim
x
lim
x
lim s
2
lim 10)
x
2 x 1
5 x
2
x 2
2 x
7 x 3
2)
s
5
x 1
1
x
3 x 2
s
4 5
2
5)
3 2
s
lim
4
8)
lim
2s
2
2s
2
5 1
x
2
lim
x
11)
t
12 x
4 x 2
lim ( t 2
6)
1 x
x
5 x 3
3)
1
t
9)
7
lim
x
lim
x
lim
X
4
x
3 x
2
x
5
2
x
2 x 1 5 x
2
x 2
4
x
t2
4)
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12) xlim
x
4
1
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ANEXO 5 Este documento hace parte del tema “Límites laterales”. Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema.
EJEMPLO 1 Dada la función
f ( x )
y
, definida a continuación. Calcular lim f ( x) para el x
c
valor dado de c f ( x )
y
3 x
si x
1
3 x
si x
1
c =1
Solución: Se calcula lim f ( x ) y vamos a calcularlo al tramo x
lim 3 x x
y
f ( x )
3 x
, es decir,
1
2
1
Ahora se calcula lim f ( x) y vamos a calcularlo al tramo x
1
y
f ( x )
3 x
, o
sea, lim 3 x 4 x
1
Como podrá ver, los límites laterales son diferentes y se concluye que lim f ( x) , no existe. x
1
Se le recomienda límite no existe. hacer una gráfica de la función y verificar visualmente que el EJEMPLO 2 El siguiente ejemplo fue resuelto por un estudiante, note el orden de exposición del discurso matemático que utiliza.
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ANEXO 6 Este documento hace parte del tema “Límites laterales”. Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 3 Intente calcular los siguientes límites laterales para la función dada y el valor de c sugerido; si tiene dificultades repase y comprenda bien los ejemplos resueltos. x 2 y
f ( x )
4 si x
2
si x
2
4 4 x
1)
x y
f ( x)
2
f ( x)
2 x
2
si
4 x
si x
x
4)
f ( x )
x
c=2
4
c=2 y c=4
3
2
x
2
si
9 x
y
2 x
4 si x
1
3) y
si
2 x x
2)
2
1 2
2 x
si
3 x
si x si
c=3
1 1 x 1
si 1 x
c=1 y c=-1
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Cálculo diferencial Módulo # 1
y
f (r )
5)
6) y
f ( z )
2r 3 si
r 1
2
si
r 1
7
2r si x
2z
3
,
1
r=1
z=0
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Cálculo diferencial Módulo # 1
ANEXO 7 Este documento hace parte del tema “Límites infinitos”. Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema. GRÁFICAS DE LÍMITES INFINITOS
FUNCIÓN
y
f ( x )
con a
y
b) 2
( x
,
0 y n par
f ( x )
con a
a
GRÁFICA
a
( x
b) n
0 y n par
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Cálculo diferencial Módulo # 1
FUNCIÓN
y
f ( x )
con a
y
a b) n
( x
0 y n impar
f ( x )
con a
GRÁFICA
a
( x
b)
n
0 y n impara
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ANEXO 8 Este documento hace parte del tema “Límites infinitos”. Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema. EJEMPLO 1 Para empezar, si tomamos la función y f ( x)
3 ( x
2) 2
¿Qué ocurre cuando x toma valores próximos a 2? Si en la tabla se consignan los valores, resultado de evaluar la función en valores muy próximos a 2, tanto por la izquierda como por la derecha de este valor,
Entonces, se obtiene la gráfica con las siguientes características:
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Cálculo diferencial
52
Módulo # 1
Y es claro, visto desde la gráfica que: lim f ( x ) x
2
lim x
2
3 ( x
2)
y
2
lim f ( x ) x
2
lim x
2
3 ( x
2) 2
EJEMPLO 2 Ahora vamos a calcular el siguiente límite:
lim x
3
x
5
x
3
En la práctica, para calcular este tipo de límites, usted puede intentar definir el signo que tendrá tanto el numerador como el denominador de la función, el producto de los signos definirá la tendencia del límite. Para el ejemplo, el numerador será positivo, en tanto el denominador tendrá también signo positivo; recuerde que 3 por la derecha es algo mayor que 3. x
5
Con estas consideraciones, entonces, lim x 3 x 3 Como ejercicio, usted puede calcular, haciendo un análisis similar, lim x
intentar graficar la función y
f ( x )
x
5
x
3
3
x
5
x
3
e
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Cálculo diferencial Módulo # 1
ANEXO 9 Este documento hace parte del tema “Límites infinitos”. Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 4 Calcule los siguientes límites, haga el cálculo mental y escriba la tendencia del límite pedido. Intente graficar o bosquejar la gráfica de la función con esta información. 1) lim
x 5
5
x
3) lim 5
x
5) 7)
2
1 x
4
lim x
4
x
6)
x 1 2 x
1
x2
1
lim sen( x) x x 0
8)
lim x
4
x
0
lim
16 x 2 x
lim x
x 5
x
lim
3 x 2
4)
1
2 lim cos x x x 0
x
9)
2)
1
x
0
10) lim t
csc( 2 x)
2
t 2 t 2
4
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Cálculo diferencial
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Módulo # 1
ANEXO 10 Este documento hace parte del tema “Asíntotas verticales y horizontales”. Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 5 Determine las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones, tenga en cuenta que ya tiene más argumentos para dibujar la gráfica.
1) y
f ( x)
4) y
f ( x)
7) y
f ( x)
3 x 2 2 x
1
2
8
5 x
3
x 1 x
2
2) y
f ( x)
5) y
f ( x)
8) y
f ( x)
3 x 2 x
2
3 x x 4 x x
6
2 x 3 3 4
3
2
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3) y
f ( x)
6) y
f ( x)
9) y
f ( x)
x x
2
2
3 x 2
6
x
2
2 x
x
2
2 x 1
3
2
x
2 x 1
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Cálculo diferencial Módulo # 1
ANEXO 11 Este documento hace trigonométricos”.
parte
del
tema
“Límites
Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema.
TEOREMA lim t 0
sent t
1
Demostración tomada del libro Cálculo diferencial con aplicaciones. Francisco G. Mejía Duque, Elkin L. Arias Londoño, José A. Escobar Urrego Sello Editorial Universidad de Medellín. 2007. ISBN: 9789589827208. Pàgs. 33 y 34.
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Cálculo diferencial Módulo # 1
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Cálculo diferencial Módulo # 1
lim t
TEOREMA
1 cos t
0
t
0
Demostración. lim t
0
lim t
0
1
1 cos t
lim
t
t
sen 2 t
1 cos t 1 cos t t
0
lim
t (1 cos t )
t
0
sent
t
1 cos t
0
0
1 cos(0)
1 1
2
luego lim t
0
1 cos t t
1 cos t
sent
sen(0)
lim t
lim t
0
0
1 cos 2 t t (1 cos t )
sent t
lim t
0
sent
1 cos t
0
0
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Cálculo diferencial Módulo # 1
ANEXO 12 Este documento hace trigonométricos”.
parte
del
tema
“Límites
Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema.
EJEMPLO 1
lim x
0
sen 3 x sen 6 x
Solución: lim x
0
Sen3 x x lim x 0 sen6 x
sen3 x sen6 x
3Sen3 x 3 x lim x 0 6 sen 6 x
3(1)
1
6(1)
2
6 x
x
Y se concluye que,
lim x
0
sen 3 x
1
sen 6 x
2
EJEMPLO 2
lim x
0
3
sen 2 2 x
x 2
cos 2 2 x
Solución: lim x
0
sen 2 2 x
3 x
2
3 lim x
3 lim
2
cos 2 x
sen2 x
0
x
Luego,
lim
x
x
3 2 2 lim
2 x
lim
0
sen 2 x
sen2 x
1
x
x
cos 2 2 x
0
sen2 x
lim
x
0
sen 2 x
0
x
x
lim
x
0
x
0
sen 2 x
2 x
3
sen 2 2 x
x 2
cos 2 2 x
1 cos 2 2 x
lim
x
0
1 2 cos 2 x
3 2 2 1 1 1 12
12
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Cálculo diferencial Módulo # 1
EJEMPLO 3
lim
1 senx
x 2
2 x
Solución: En este caso se propone una sustitución así: sea
x z
2
1 sen lim z
0
z
0
Luego, reemplazando se tiene
y
z
sen cos
1 sen
z .
2
z
2
sen
lim
x
2
sen cos
z
1 ( sen lim
z
Por lo tanto,
teniendo
z
lim x
2
cuenta
la
identidad
se tiene que
cos z z
0
1 senx 2
2
en
senz cos
2
) lim z
1 cos z
0
z
0
0
x
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Cálculo diferencial
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Módulo # 1
ANEXO 13 Este documento hace parte del tema “Definición de E”. Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 6 Los siguientes ejercicios le plantean límites trigonométricos y la definición de e, trate en lo posible de resolverlos, empleando los argumentos que la teoría le ha dado. 1) lim x
0
lim
4) x
0
sen 5 x sen 2 x
5 sen x
7) xlim
x
x
0
5) x
2 x
0
lim
8) xlim
13
16)
x
11)
lim X
1 cos x 2 x 2
0
0
14)
sen x X
17)
22)
n
1 n
9) xlim
lim x
n
0
lim X
0
12)
1 cosx senx
15)
1 cos3 x
0
sen3 x
18)
lim
θ
0
20)
1 e
23)
limΠ X
X
lim 1
x
X
X
2
1
21)
1
cotθ
3
lim 1
X
X
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24)
lim
X
csc3θ
K
Π
2
tan x
2
lim
2
0
X
x 2
1 cosx
lim x
3
x
tanX
19) Xlim0 X sen 3 X lim 1
x 1
n
n
6) n
x 2 lim x Π/ 2 cos x
1
2
1
1
lim 1
π
sen5 x sen2 x
x
sen x
0
x
x
x
sen 3 x
0
2
lim
2
1 cos x
3) lim
1 cos 3 x
x
1 x
lim
1 cos 2 x
2) lim
sen 2 x
2
10)
X
X X
X 1
X
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Cálculo diferencial
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Módulo # 1
25)
lim
X
X 1 X
X 2
lim 1
3
lim (cosX)1/X
28)
31) 34)
37)
40)
X
0
lim
X
0
lim
X
29) cos X X
a
lim
X
1
0
lim
X
26)
cos a
32)
a
sen2X
2
5senX
5
2
X
3 X
35)
X
lim h
38)
X
e
1
0
1/2
h)
senX
h
sen(X
30)
X 1 X2 eX X
1
cosX
33)
Π/2)
cos X
2
lim
41)
sen(X
0
X
27)
limΠ
X
2
0
lim
eX )
ln(1
X
X
lim (cosX)1/X
X
e
n
n
lim (1 senX) 1/X
n
X
X 1
36)
X
0
lim
X
4
limΠ
X
2
sena
X
cos
a
senX
cosX
1 tanX
cosX
1
sen2X
2
2X
1 4
senX
a
limΠ
X
lim
39)
X
1 X2
X 1
1
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ANEXO 14 Este documento hace parte del tema “Continuidad en un punto”. Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema.
REMOVIBLE O EVITABLE Se caracteriza porque existe el límite de la función en el valor x=c, pero f(c) no existe, o si existe, es diferente del límite; se llama removible o evitable porque se puede redefinir la función para que sea continua.
DE SALTO Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero diferentes.
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Cálculo diferencial Módulo # 1
ASINTÓTICA Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
ESENCIAL Se caracteriza porque no existe (no está determinado) alguno de los límites laterales (o ambos), puede serlo por la derecha o por la izquierda o por ambas direcciones.
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ANEXO 15 Este documento hace parte del tema punto”.
“Continuidad en un
Luego de estudiarlo debe regresar al documento de estudio y continuar con el tema. Analizar la continuidad de la función y
f ( x )
3 x
si x
1
3 x
si x
1
en x=c=1
Se debe analizar lo siguiente, recuerde las tres condiciones: 1.
existe, entonces, si c=1, vamos al primer tramo de la gráfica, es decir, f ( x) 3 x
f (c )
y f (1)
2.
Existe
4
lim f ( x) x
c
lim f ( x) x
c
existe, o sea
lim (3 x) x
y
c
c
lim f ( x) x
entonces,
c
2
1
lim f ( x) x
lim f ( x) x
lim (3 x) x
1
4
Por lo tanto, 2
lim (3 x) x
1
lim (3 x) x
4
1
Como los límites laterales no son iguales, entonces, lim f ( x) , no existe y se x
1
concluye, sin verificar que el límite no existe y la función no es continua, como podrá darse cuenta la discontinuidad es esencial, es decir, no se puede evitar. La siguiente gráfica confirma este hecho.
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Módulo # 1
Analizar si la función es o no continua en x=c=4 1. f (c) existe, entonces, si x=4, entonces, función
y
7,
f ( 4)
por definición de la
3
2.
lim f ( x ) x
c
existe, o sea
lim f ( x)
x
4
lim x x 4 x
2
64 4
lim ( x
x
4
4)( x x
4 x 16) 4
48
entonces, Aquí el límite existe y es 48 pero es diferente de, y función no es continua en x=4.
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f ( 4)
7,
por lo tanto, la
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Cálculo diferencial Módulo # 1
Un detalle importante, comopara el límite existe; la discontinuidad es removible, decir, se redefine la función que sea continua de la siguiente manera: es x
3
x y
64
si x
4
4
f ( x )
48
si x
4
La siguiente gráfica da cuenta de la función continua
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Analizar la continuidad de la función 1
si x
x
f ( x)
y
3
en
2
si
x
3
3 x
9 x
1.
f (c)
2.
existe, entonces, si x=c=3, entonces,
lim f ( x) x
c
. lim f ( x) x
existe, o sea
lim
c
3
x
y
c
2
1
9 x
9 3
3
c
lim x
3
1 x
lim f ( x) x
2
lim f ( x) x
lim f ( x) x
y
f (3)
2
2
1
9 3
6
3
entonces,
c
1 3
Como los límites laterales son iguales, se concluye que el límite existe y es lim f ( x) x
3)
3
lim f ( x) x
c
1 3
f (c)
Como el resultado obtenido en 1, es el mismo obtenido en 2, es decir, lim f ( x) f (3) entonces, se concluye que la función es continua en x=3 x 3 La gráfica de la función confirma la continuidad de la función y valida el análisis matemático respectivo.
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ANEXO 16 Este documento hace parte del tema “Continuidad en un punto”. Luego de resolverlas debe regresar al documento de estudio para continuar con el tema. No olvide escribir las dudas al profesor a través del foro inquietudes.
ACTIVIDAD 7 Analizados los ejemplos anteriores, ahora usted puede estudiar la continuidad de las siguientes funciones en el valor de x=c dado, identificar el tipo de discontinuidad y redefinir la función, si es posible, para que la función sea continua en el valor dado de x. Recuerde que la gráfica es fundamental para confirmar la continuidad o discontinuidad de la función. La sugerencia es hacer la gráfica en todos los casos. en
.
en x 2 y
f ( x)
4 si x
2
2 x
si
2 x
2
si
4 x
x
4
en
y en x
x
2
x
2
4
en x 2 y
f ( x )
4 si x
2
4
si x
2
4 x 2
si
en
2 x
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x y
f ( x )
si x
1
1
x 2
si
2 x
si 1 x
1 x 1
en
x 1
y en
en
y
f (r )
2r 3 si
r 1
2
si
r 1
7
2r si 1
en
x
1
.
r 1
r
en
Dada la función:
Determinar para que valor de
la función es continua en
Analizar qué clase de discontinuidad presenta la función definida por:
En Si la discontinuidad es evitable, redefinir la función de tal manera que sea continua en Analizar qué clase de discontinuidad presenta la función definida por:
En Si la discontinuidad es evitable, redefinir la función de tal manera que sea continua en
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Discontinuidad Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Discontinuidad De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. Discontinuidad Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Discontinuidad Evitable: Cuando existe el límite pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). Dominio de definición de una función f : Es el conjunto de valores de los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f) .
x para
Función:Consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. Imagen de una funciónf : Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y . Lo representamos por Img(f) . Número fraccionario (o quebrado): Número que expresa una o varias partes de la unidad. Tienen la forma Número imaginario: Número que resulta de extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo Número impar: Número que no es divisible exactamente por dos. Ejemplos: 7, 13, 101,.. Número mixto: Número compuesto de entero y fracción. Ejemplos:
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Número negativo: Número menor que 0. Ejemplos: -3, -7,… Número positivo: Número mayor que 0. Ejemplos: 2, 5,… Número primo: El que sólo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… Números reales: Es el conjunto formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, se denota por R Racionalizar: Operación que consiste en eliminar la raíz del denominador. Radical: Ejemplos:
Símbolo
que
indica
la
operación
de
extraer
raíz,
Raíz de una función: Todo punto para el cual f(x) = 0 Recta orientada: Una recta orientada es un plano unidimensional, metrizado y con un sentido convencionalmente escogido. Simplificar: Es transformar una fracción en otra equivalente, dividiendo por términos iguales en el numerador y el denominador. Valor Absoluto: El valor absoluto de un número real x , que representa un punto en una recta numérica, denotado como, x , es la distancia medida desde x , al punto de referencia cero.
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APOYO DE LOS GRUPOS DE INVESTIGACIÓN
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