Calculo Diferencial -Rene Jimenez

GRÁFICAS

TRIGONOMETRíA ( x, y) 1

y

θ

x

x 2 + y2 = 1 y senθ = = = y 1 x cos cos θ = = = x 1 sen 2 θ + cos2 θ = 1

Identidades trigonométricas senθ tanθ = sen 2 θ + cos2 θ = 1 cosθ cosθ 1 ctgθ = sec θ = sen θ cos cos θ 1 sec 2 θ = 1 + tan 2 θ cscθ = sen θ csc 2 θ = 1 + ctg 2 θ sen θ = cos ( 90º −θ ) cos θ = sen ( 90º −θ )

Derivadas de funciones algebraicas

sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y

0

90 180 2 70 70 3 60 60

3. 0

180 270 270 90 180

cos ( x − y ) = cos x cos y + sen x sen y tan x + tan y 1 − tan x tan y

(

)

tan x − y =

tan x − tan y 1 + tan x tan y

cot x csc x

sec x

0

180 270 270 90 180

0

180 270 270 90 180

Ley de senos. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

cos 2 x = cos x − sen x = 2 cos − 1 = 1 − 2 sen x 2 tan x tan 2 x = sen 2 x = 2 sen x cos x 1 − tan 2 x 2

2

2

Fórmulas de medio ángulo 1 − cos 2 x 1 + cos cos 2 x sen2 x = cos cos 2 x = 2 2

cos cos B = cos cos C =

dx

()

cf x = c

d dx

()

f x

d

2.

x = 1 dx

4.

d n n −1 d v = nv v dx dx

d  f ( x ) + g ( x ) − h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) − h ( x ) dx 

6.

d  f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x ) g ( x ) + g ( x ) f ( x ) dx 

7.

( ) = g ( x ) f ' ( x ) − f ( x ) g '( x ) dx g ( x )  g ( x )  











d f x

2

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS loga e d d 1 d d u ln u = loga u = u 2. 1. dx

1.

u

dx

dx

u dx

d dx

au = au ln a

d dx

u

2.

d dx

eu = e u

d dx

u

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

a

c

3.

d d sen u = cos u u dx dx

2.

d d cos u = − sen u u dx dx

d dx

tan u = sec 2 u

d

u 4.

d d ctg u = − csc 2 u u dx dx

dx

C

5. b

6. A

d

c = 0

B

2bc a + c 2 − b2 2

2ab

dx

h

h→ 0

5.

1.

b2 + c 2 − a 2

2 ac 2 a + b2 − c 2

d

f ( x − h ) − f ( x )

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Ley de cósenos. El coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman menos el cuadrado del lado opuesto, todo dividido entre dos veces el producto de los lados que lo forman

cos cos A =

FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES 2

180 270 270 0 90 180

tan x

= lím

dx

90 180 270 360

a b c = = sen A sen B sen C

cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y

)

0

df ( x )

1.

sen ( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y

(

cos x

sen x

tan θ = ctg ( 90º −θ )

FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

tan x + y =

FÓRMULAS MATEMÁTICAS

d dx

sec u = sec u tan u

d dx

u

d d csc u = − csc uctgu u dx dx

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1.

2.

3.

d arcsen u = dx d dx d

arccos u = − arctan u =

1 1−u

2

u

1

1.

d

1 − u 2 dx 1

INTEGRALES

u

d

u 1 + u2 dx d 1 d 4. arcctg u = − u dx 1 + u 2 dx 5.

dx

d d 1 u arcsec u = dx u u2 − 1 dx

d d 1 arc csc u = − u 6. 2 dx u u − 1 dx Las funciones anteriores también se escriben así: sen−1u , cos cos −1 u , tan −1 u , ctg −1u , sec−1 u , etcétera.

Geometría Triángulo

Círculo r

Sector de círculo r q

b A =

1 2

1

P = 2π r

A=

A = π r 2

s = θ r rad

2

y = cos x ⇒ x = cos −1 y

u

n+1

5.

∫ u

n

du

n ≠ 1

= ln u + C au

6.

∫

7.

∫ e du = e

au du = u

ln a u

+ C

20.

∫

21.

∫

du 2

+a du

2

−a −u

a

a

2a

du a2 − u2

u−a u+a

∫ sen udu = − cos u + C

9.

∫ cos udu = sen u + C

u a

(

)

= ln u + u 2 ± a 2 + C

2

22.

∫

a 2 − u 2 du =

23.

∫

u2 ± a2 du =

u 2 a2 u a − u2 + arcsen + C 2 2 a u

2

∫ ud

∫ sec

11.

∫ csc

12.

∫ sec u tan udu = sec u + C

udu = tan u + C udu = − ctg u + C

Esfera

∫ csc uctgudu = − csc u + C

14.

∫ tan udu = ln sec u + C

y = sec x ⇒ x = sec y;

y = csc x ⇒ x = csc −1 y

17.

(

)

= uv − ∫ vdu

Geometría

13.

15.

2

ln u + u 2 ± a2 + C

INTEGRACIÓN POR PARTES

10.

2

a2

u2 ± a2 ±

v

2

+ C

= arcsen + C

du u ±a

ln

1 a+u ln + C 2a a − u

=

2

2

u

1

=

2

du 2

1

= arctan + C

2

+C

8.

y = ctg x ⇒ x = cgt y

−1

∫ a

∫ u du = n + 1 + C ,

y;

y = tan x ⇒ x = tan

−1

v

4.

16.

−1

− dw ) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw 19a.

∫ (du + d

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS y = sen x ⇒ x = sen −1 y;

∫ u

3.

r 2θ

( )

19.

∫ dx = x + C du ∫ cdu = c ∫ du

r bh

∫ u

2.

s

h

18.

∫ ctg udu = ln sen u + C

Cilindro

Cono

r

h

h r

r

A = 4π r 2

∫ sec udu = ln sec u + tan u + C ∫ csc udu = ln csc u − ctg u + C

V=

4 3

π

V = π r 2 h

V=

1

π

3

3

r

Formulario elaborado por: René Jiménez

r2 h

CÁLCULO

DIFERENCIAL

Este título cambia de acuerdo a los T1

CÁLCULO DIFERENCIAL

René Jiménez Colegio de Bachilleres

•

v

JIMÉNEZ, RENÉ Cálculo diferencial

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1019-9 Área: Matemáticas Formato: 19 × 23.5 cm

Páginas: 152

Editor:

Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editora de desarrollo: Claudia Claudia Celia Martínez Amigón Supervisor de Producción: Rodrigo Romero Villalobos PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de es ta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor editor.. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1019-2 ISBN 13: 978-970-26-1019-9 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 10 09 08 07

A g r a d e c i m i e n t o

Ser maestro es una gran responsabilidad, sin duda dejamos huella en nuestros alumnos y usted profesor René, dejó esa inquietud en mí: el gusto por las matemáticas; y por ello, me decidí a estudiar ingeniería. Al igual que usted, hoy me dedico a la docencia; Dios nos pone en el camino en donde Él nos necesita y por eso, le doy las gracias por haberlo puesto en el mío. Gracias por ser un buen maestro, por preocuparse por allegar a sus alumnos de los conocimientos necesarios para continuar con su camino. Ex alumna del Colegio de Bachilleres plantel núm. 1 y Tecnológico de Chihuahua Ing. Lucía Guadalupe Muñoz Calderón Coordinadora académica ESFER Salesianos

Contenido

INTRODUCCIÓN UNIDAD 1

UNIDAD 2

IX

LÍMITES Y CONTINUIDAD

1

Introducción Presentación preliminar Límites y continuidad Límite de una variable Límite de una función. Límites laterales Teoremas fundamentales de los límites Límites de funciones polinomiales Límites de funciones racionales Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos, funciones exponenciales, trigonométricas, etc.,) Continuidad Teorema del valor intermedio Teorema del valor extremo

2 3 4 6 6 8 9 12

RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA La derivada como razón de cambio Interpretación geométrica de la derivada Diferenciabilidad La velocidad como una razón de cambio Reglas para derivar Regla de la cadena Regla para derivar un producto

20 26 31 32

35 36 38 41 43 48 55 59

x •

Contenido

Regla para derivar un cociente Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas de funciones trigonométricas inversas Derivadas de funciones exponenciales Derivadas de funciones logarítmicas Derivadas de funciones implícitas Ecuaciones de la tangente y de la normal

UNIDA D 3

MÁXIMO S Y MÍNIMO S RELATIVOS Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo Funciones crecientes y decrecientes Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada Derivadas de orden superior Aceleración Concavidad y punto de inflexión Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada Trazado de curvas Más aplicaciones de la derivada

63 70 80 85 90 95 97

105 106 116 118 123 125 128 129 131 134

Prólogo

Aunque este libro fue pensado y diseñado para un curso básico de cálculo diferencial, cumple, además, con todas las prerrogativas del plan de estudios del Bachillerato general. Es un texto de matemáticas en el que se privilegia el valor y la comprensión de los conceptos, esencia de toda asignatura. Es importante mencionar que los temas se tratan de acuerdo con cuatro aspectos fundamentales en las matemáticas: el algebraico, el numérico, el geométrico y el verbal o descriptivo. El material se divide en tres grandes áreas del cálculo diferencial: los límites, la derivada y las aplicaciones de ésta. Los límites como un antecedente fundamental en la comprensión de la derivada, la l a derivada como una razón de cambio de un proceso o un fenómeno natural y la importancia de las aplicaciones para resolver problemas que se presentan en los diversos campos del conocimiento. A continuación, se mencionan algunas características relevantes: • • •

• •

Los temas se abordan abordan de una forma forma clara clara y precisa para una una mejor comprensión. La estructura didáctica tiene como propósito facilitar la tarea de los estudiantes y apoyar el trabajo docente. El rigor rigor matemático que se aplica no representa ningún obstáculo para que el estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo pueda acercarse enteramente a éste y comprender del todo los teoremas, justificaciones y métodos empleados. Donde ha sido necesario se han incluido ilustraciones que permiten visualizar visualizar,, reflexionar y resolver mejor los ejemplos ej emplos y ejercicios propuestos. Se ha procurado equilibrar la teoría del Cálculo Cálculo con con sus sus aplicaciones aplicaciones a fin de que el estudiante constate la importancia que tiene el Cálculo en la solución de problemas.

Finalmente, quiero agradecer a todas aquellas personas que me animaron y apoyaron para que este proyecto fuese posible, especialmente quiero mencionar a mis compañeros profesores y alumnos, porque es de ellos de quien más he aprendido. Y a quienes dediquen un poco de su tiempo a la lectura y reflexión del Cálculo: gracias. René Jiménez

U N I D A D

1 LÍMITES Y CONTINUIDAD

Introducción

2

Presentación preliminar

3

Límites y continuidad

4

Límite de una variable

6

Límite de una función. Límites laterales

6

Teoremas fundamentales de los límites

8

Límites de funciones polinomiales

9

Límites de funciones racionales

12

Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos, funciones exponenciales, trigonométricas, etc.)

20

Continuidad

26

Teorema del valor intermedio

31

Teorema del valor extremo

32 1

2 • UNIDAD 1


INTRODUCCIÓN ¿Qué es el cálculo? Para los romanos en tiempos del Imperio el calculus era una pequeña piedra utilizada para contar y para apostar; en la actualidad, significa lo mismo en el lenguaje coloquial médico. Siglos más tarde, calculare significaba calcular, contar o resolver. En la era moderna, en todos los campos del conocimiento la palabra cálculo denota una reformulación de las matemáticas elementales potenciadas con el concepto de límites; en otras palabras, el cálculo toma las ideas fundamentales de la matemática elemental y las extrapola a situaciones más generales. Veamos Veamos algunos ejemplos en la tabla siguiente. Matemática elemental

Pendiente de una recta

Cálculo

Pendiente de una curva y=f(x)

y=mx+b

Recta tangente a una circunferencia

Recta tangente a una curva más general

Velocidad media

Velocidad instantánea

Matemática elemental

Cálculo

Movimiento a lo largo de una recta con velocidad constante

Movimiento a lo largo de una curva con velocidad variable

Volumen de un sólido rectangular

Volumen de un sólido limitado por una superficie curva

Área de la superficie de un cilindro

Área de la superficie de un sólido más general

Plano tangente a una esfera

Plano tangente a una superficie más general

Aceleración instantánea

Aceleración media

Área de una región limitada por segmentos rectilíneos

Área de una región limitada por curvas

Longitud de un segmento de recta

Longitud de una curva

Suma de una colección finita de números

Suma de una colección infinita de números

a 1 + a 2 + . .. + a

a 1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n + ⋅ ⋅ ⋅

n

Centro de una esfera

Centro de gravedad de un sólido más general

Presentación preliminar

PRESENTACIÓN

PRELIMINAR

El concepto de límite ha sido parte fundamental en el desarrollo del cálculo y, en términos generales, de toda la estructura matemática; para comprenderlo será necesario abrir nuestra mente y hacer uso del razonamiento. Por ejemplo, al estirar un cable hasta romperlo, se dice que éste sobrepasó su límite de resistencia; si no hubiera fuerza de fricción, un péndulo seguiría oscilando y su movimiento no tendría fin; un globo se revienta cuando alcanza el límite de su capacidad, etcétera.

A1

A5 A2 A 3

Hace por lo menos 2 500 años que surgió el cálculo; los antiguos griegos hallaban áreas mediante el “método del agotamiento”. Esta técnica consistía en dividir el área A de un polígono en varios triángulos, y luego sumar las áreas de estos triángulos. La figura 1 nos muestra el método.

A4

A = A1 + A2

+ A3 + A4 + A5

Figura 1

Sin lugar a dudas, era mucho más difícil obtener el área de una figura curva. En este caso, el método del agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en torno a la figura y a continuación hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. La figura 2 nos muestra el método en el caso de un círculo, con polígonos regulares inscritos.

A1

A 2

A 4

A 3

Figura 2

A 5

•

3

4 • UNIDAD 1


Llamemos A el área del círculo y An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n de manera indefinida, parece que An se aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos A = lím An n→∞

Es conveniente aclarar que los griegos no aplicaron explícitamente los límites.

LÍMITES

Y C O N T I N U I D A D

Para comprender mejor el concepto de límite en matemáticas, analicemos el siguiente experimento. El triángulo de la figura 1 es equilátero y las figuras sucesivas son réplicas de éste, sólo que trazamos a partir de los puntos medios triángulos equiláteros invertidos, pero aumentamos cada vez más el número de ellos. El resultado es el triángulo de Sierpinski, un ejemplo de fractal. Supongamos que A = 1 y enseguida calculemos el valor de a1 , a2 , y a3 etcétera:

a1

? a 2 =

= 1 4

? a 3 =

a 2 A = 1

Figura 1

a 3

a1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Si siguiéramos trazando triángulos de manera indefinida y en la última figura sumamos todas las áreas sombreadas a1 con todas las áreas a2 y así sucesivamente hasta an en donde n es un número muy grande, es decir que n tiende hacia el infinito ( n → ∞) en lenguaje simbólico esta idea se escribe así; ∞

∑a n =1

n

= a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an

y se lee ‘’la suma de todas las a subíndice n desde n = 1 hasta n = . Con todo esto sería pertinente formular las siguientes preguntas.


1. ¿Hacia dónde tiende el valor de

(

)?

an cuando n tiende al infinito n → ∞

Respues Res puesta ta

2. ¿Cuál es el valor aproximado de

∞

∑a n =1

= a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an?

n


∞

3. ¿Cuál es el límite del valor de la diferencia diferencia A − ∑ an ? n =1


Por cierto, esta última idea se escribe de la siguiente manera; n

A − ∑ ak lím n →∞

k =1

n

y se lee “el límite del valor absoluto de la diferencia A − ∑ ak cuando n tiende al k =1 infinito”. Analiza la tabla siguiente para confirmar tus respuestas a las preguntas 1, 2 y 3 anteriores.

n

1

2

3

4

5

n

an

1 4

1 1 1 ⋅ = 4 4 16

1 64

1 256

1 1024

1 22 n

•

5

6 • UNIDAD 1


Todo lo antes dicho nos enseña que:

1. Cuando

n tiende al infinito, an tiende a casi cero como límite, esto se escribe así: a =0 lím n→∞ n

pero evidentemente an nunca llega a ser cero.

2. Cuando decir:

n tiende

al infinito,

∞

∑a n =1

n

= a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an tiende a 1 como límite, es

n

lním ∑ ak = lním (a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an ) = 1 →∞ k

3. Cuando

→∞

=1

n tiende al infinito, A −

∞

∑a n =1

n

tiende a cero como límite, es decir:

n

A − ∑ ak = 0 lím n →∞

LÍMITE

DE

k =1

U N A V A R I A B L E

En general, si A es el área del triángulo inicial y ∑ an es la suma de las áreas de los pequeñísimos triángulos que se forman cuando n → ∞ es fácil concluir que la diferencia A − ∑ an llega a ser menor que cualquier número positivo pensado de antemano y se llama límite de una variable.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. LÍMITES LATERALES Para calcular y comprender el límite de una función, consideremos la función f ( x ) definida por la ecuación: x3 − 1 f ( x) = , x ≠ 1 x − 1 es claro que x ≠ 1 porque la función no está definida para este valor. Enseguida investigaremos valores de la función cuando x esté muy próximo a 1 por la izquierda y

Límite de una función. Límites laterales

•

por la derecha, es decir decir,, menores y mayores que 1 pero lo más cercanos posible a éste. A esto se le conoce como límite por la izquierda y límite por la derecha de f ( x ) y se representan de la siguiente manera Límite por la izquierda

lím f ( x ) = L1 , x < a

x→ a−

Límite por la derecha

lím f ( x ) = L2 , x > a

x →a+

Cuando L1 y L2 coinciden, se dice que el límite de f ( x ) cuando x tiende hacia a es L, y sólo se escribe así: lím f ( x ) = L

x→ a

En la tabla siguiente ilustramos lo que esto significa. Para una total comprensión te sugerimos que calcules los valores de f ( x ) para los valores dados de x: x se acerca mucho a 1 por la derecha

x se acerca mucho a 1 por la izquierda

x

–2

–0.5

0

0.9

0.99

0.999

1

1.001

1.01

1.1

1.5

2

?

f(x)

hacia dónde se acerca f(x) ?

hacia dónde se acerca f(x) ?

Al comparar ambos lados vemos que f ( x ) se aproxima a 3 a medida que x se aproxima a 1 por la izquierda o por la derecha. Lo que nos enseña este experimento es que cuando el límite por la izquierda es igual que el límite lí mite por la derecha se dice que el límite existe, es decir, en notación simbólica. lím f ( x ) = 3

x →1−

f ( x ) = 3 lím f ( x ) = 3, por lo tanto, escribimos xlím →1

x→1+

Para comprender la solución algebraica de este ejemplo conviene recordar que una resta y una suma de cubos se factorizan respectivamente de la siguiente manera: a3

− b3 = ( a − b) ( a2 + ab + b2 )

a3

+ b3 = ( a + b) ( a2 − ab + b2 )

7

8 • UNIDAD 1


Si utilizamos una técnica algebraica, el límite anterior puede calcularse de la siguiente manera:

f ( x) =

x3

−1 , x − 1

x ≠ 1

y

lím x 1 →

7

x 3 − 1 ( x − 1)(x 2 + x + 1) = lxí→m1 x − 1 x − 1

6 5

x 2 + x + 1) = xlím ( →1

4 3

2

= 1 +1+1= 3

2

El experimento se puede apreciar gráficamente en la ilustración mostrada a la derecha. El espacio vacío de f ( x ) cuando x = 1 significa que la función no está definida en ese punto.

1

x –3

–2

–1

1

2

3

En general, el análisis anterior nos conduce a la siguiente definición: Si f ( x) se aproxima de manera arbitraria a un número L cuando x se aproxima a a por la izquierda y por la derecha, decimos que el límite f ( x) cuando x tiende a a es L y escribiremos: f ( x) = L lím →a

x

Debemos observar que no es necesario que f ( x ) esté definido cuando x = a para que exista el límite, lo que importa es cómo está definida f cerca de a

TEOREMAS DE

LOS

FUNDAMENTALES LÍMITES

Reglas básicas de los límites f ( x) = L1 y que lím g ( x) = L2. Entonces, Suponer que xlím x → a →a

1. xlí→ma 2. xlí→ma

c ⋅ f ( x) = c ⋅ lxíma f ( x) = c ⋅ L1 →  f ( x) ± g ( x) = lxíma f ( x) ± lxíma g ( x) = L1 ± L2 →

→

Límites de funciones polinomiales

•

3. xlí→ma  f ( x) ⋅ g ( x) = lxí→ma f ( x) ⋅ lxí→ma g ( x) = L1 ⋅ L2 f ( x) L1 f ( x) xlím →a 4. xlím ; L2 ≠ 0 = = → a g ( x) g ( x) L2 lím x →a 5. xlím f ( x ) = f ( a ) →a

Las reglas anteriores pueden expresarse como sigue:

1. El límite de una constante constante multiplicada por una función función es la constante constante multiplicada por el límite de la función. 2. El límite de la suma o diferencia de dos dos funciones es la suma o diferencia de los límites. 3. El límite de un producto es el producto de de los límites. 4. El límite de un cociente es el cociente de los límites. 5. El límite de f ( x ) cuando x tiende hacia a es f ( a ).

LÍMITES

DE

FUNCIONES

POLINOMIALES

Veamos cómo es el comportamiento de la función f ( x ) = x 2 − x + 2 para valores muy cercanos a 2, e investiguemos si ésta tiende a un límite. La tabla adjunta nos muestra los cálculos para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. f ( x)= x2– x+2

y

f ( x) tiende a 4

4

0

2

Cuando x tiende a 2

x

x tiende a 2 por la izquierda

1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999

f ( x )

x tiende a 2 por la derecha

f ( x )

2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001

2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001

5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001

9

10 • U N I D A D 1


A partir de la tabla y de la gráfica de f ( x ) que se muestran en la figura anterior es fácil darse cuenta de que cuando x se acerca a 2 por la izquierda o por la derecha, f ( x ) se aproxima al 4 como límite.

Solución analítica De manera algebraica y si utilizamos la regla 5, el límite de f ( x ) = x 2 − x + 2 cuando x tiende a 2 puede expresarse y calcularse de la siguiente manera: lím ( x 2 − x + 2 ) = f ( 2 ) = 22 − 2 + 2 = 4

x →2

Observa que cuando una función está definida para un valor específico de x en su gráfica el punto  x, f ( x ) marca con un círculo relleno.

EJERCICIOS Calcula los siguientes límites tabulando los valores de la función cerca del punto que se indica y verifica tus resultados mediante la regla 5. Marca el límite con un punto.

x 2 − 2 ) = 1. xlím ( →2

R.

y

Izquierda

f ( x)= x2–2

x

0

2

Cuando x tiende a 2, ¿hacia dónde tiende f ( x)?

x

1.5 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999

f (x)

Derecha x

2.5 2.2 2.05 2.01 2.005 2.001

f (x)

2

Límites de funciones polinominales

2. xlím ( x + 2 ) = →−3 Izquierda x

f(x)

Derecha x

3. xlím x 2 − x − 2 ) = ( →1

f(x)

R. Izquierda x

f(x)

Derecha x

f(x)

4. xlím ( x 3 − x + 2 ) = →0 Izquierda x

f(x)

−2

Derecha x

f(x)

•

11

12 • U N I D A D 1

LÍMITES


DE

FUNCIONES

RACIONALES

Solución analítica

2 x + 3 mediante la regla 5. 3 x→− 3 x − 4

Ejemplo 1. Calcular lím

2

y

Solución:

 3  2 x + 3 = f  −  , porque f está  2  x →− 3 x − 4 2 3 definida en x = − entonces 2 lím3

f ( x) tiende a

0

3 – 2

0

x

3

x tiende a – 2

2 x + 3 2 ( − 23 ) + 3 = =0 lím3 3 ( − 23 ) − 4 x →− 3 x − 4 2

6 x − 3 mediante Ejemplo 2. Hallar lím x→− 1 2 x − 4 la regla 5.

Una función racional es de la forma

( ) = q

Solución:

lím1 x

6 x − 3 = f ( −1) 2 x − 4

lím1 x

6 x − 3 6 ( −1) − 3 3 = = 2 x − 4 2 ( −1) − 4 2

→−

→−

r x

( ); (x)

p x

( ) ≠ 0

q x

donde p y q son polinomios

x − 1 Ejemplo 3. Encuentra el valor de lím 2 x→1 x − 1 x−1

( ) = x2 − 1 no está definida para x = 1 sin embargo,

Solución: Observa que la función f x

recuerda que la definición de límite nos dice que se consideren valores cercanos a 1 por la izquierda y por la derecha y si en ambos casos el límite es el mismo, entonces éste existe. Con base en los valores de las tablas adjuntas conjeturamos que;


•

y

x

x − 1

lím x →1

x

2

−1

= 0.5 0.5 0

x

1

f(x)

<1

x

x − 1

x 2

−1

= lxí→m1

x − 1

0.666667

1.5

0.40000

0.9

0.526316

1.1

0.476190

0.99

0.502513

1.01

0.497512

0.999

0.500250

1.001

0.499750

0.9999

0.500025

1.0001

0.499975

Recuerda que la diferencia de dos cuadrados se factoriza así:

( x + 1) ( x − 1) 1 = = 0.5 x + 1 1 + 1 2

= xlím →1

1

=

1

Ejemplo 4. Encuentra el valor de lím

a2

x 2

x→− 3

− b2 = ( a + b ) ( a − b )

− x − 12 x + 3

Solución: Como x no está definida para –3 entonces, si se observa la expresión, es fácil

darse cuenta de que el numerador puede factorizarse y obtener el límite x 2

lím3 x →−

( x + 3) ( x − 4 ) − x − 12 = xl→ím−3 x + 3 x + 3 = xlím ( x − 4 ) →−3 = −3 − 4 = −7

Un trinomio como x 2 − x − 12 es de la forma x 2 + bx + c y puede factorizarse al multiplicar los binomios ( x + m ) ( x + n ) donde m+n = b mn = c

f(x)

0.5

Solución analítica: lím x→1

>1

13

14 • U N I D A D 1


Por lo tanto, en x 2 − x − 12; b = −1; c = −12; luego, dos números que sumados resulten –1 y multiplicados –12; son 3 y –4 que son m y n respectivamente. x 2

− x − 12 = ( x + 3) ( x − 4 )

EJERCICIOS Calcula los siguientes límites graficando y tabulando donde se te indica.

1. xlím →−1

x 2

x − 1

R.

− 2x + 1 Izquierda x < –1 f(x)

2.

−

Derecha x >–1 f(x)

x 2 − 1 lím x→− 1 x + 1 Izquierda x < –3

f(x)

Derecha x >–3

f(x)

1 2


3.

x 2 − 1 lím x →−2 x + 1

R.

−3

Grafica la función en computadora y pégala aquí.

4. xlím2 →−

x 2 − 4 x + 2


5.

x 2 − 9 lím x→− 3 x + 3

R. Izquierda x < –3

f(x)

−6

Derecha x >–3

f(x)

•

15

16 • U N I D A D 1


x 2

6. xlím →−1

x

2

+ 5x − 4 − 3x − 4 Grafica la función en computadora y pégala aquí.

x 2

7. xlím →−3

+ 4x + 3 x + 3

R.


8. xlím →2

x 2

x

4

−4 − 16 Grafica la función en computadora y pégala aquí.

−2


x 2

9. xlím →−3

+ 6x + 9 x 2 − 9

R.

0


10. xlím →−4

x 2 x

2

+ x − 12 + 6x + 8 Grafica la función en computadora y pégala aquí.

Cálculo de límites de funciones que se tienen que racionalizar EJEMPLO 1. Determinar lím x→1

x − 1 x − 1

Solución: Si utilizamos la regla 5 de los teoremas de límites es evidente que x no está

definida para 1, pero para evitar la indeterminación se racionaliza el numerador de la siguiente manera: lím x 1 →

x − 1 x − 1 = lxí→m1 x − 1 x − 1

= xlím →1 = xlím →1

x + 1 x + 1

x − 1

( x − 1) ( 1 x + 1

=

x +1

)

1 1 = 1 +1 2

•

17

18 • U N I D A D 1


Racionalización. Es el proceso mediante el cual transformamos una fracción que

tiene un numerador o denominador irracional en una fracción equivalente con numerador o denominador racional según convenga. Este proceso se lleva a cabo con tan sólo multiplicar la fracción por la unidad. 1 1 2 2 = = 2 2 2 2 Cuando la cantidad que se va a racionalizar es un binomio, se multiplica y divide por su conjugado. x − 1 x + 1 x − 1 x + 1

x − 1

( x − 1) (

x

EJEMPLO 2. Calcular lím x

=

→0

x + 1 − 1

x −1

)

=

1 x +1

y bosquejar su gráfica.

Solución: Como la función no está definida para x = 0 racionalizamos el denomi-

nador

lím

x →0

x x + 1 − 1

= lxí→m0 = lím x

x

x + 1 − 1 x

(

y

x + 1 + 1

x+1 +1

)

x + 1 − 1

→0

= lím

x + 1 + 1

x

x

(

→0

x+1 +1

x

)

x

lím ( x + 1 + 1) = 0 + 1 + 1 = 2

x→ 0

La gráfica de f ( x ) =

x x + 1 − 1

se muestra en la figura y puede obtenerse con un

programa para graficar o bien si se tabulan los valores en su ecuación.


EJERCICIOS Probar cada uno de los siguientes límites. x − 2 x − 4

=

1 4

2. xlím →2

x − 2 x − 2

=

3. xlím →0

x + 1 − 1 = x

1. xlím →4

1 2 2

1 2

•

19

20 • U N I D A D 1


4. xlím →0

x

1 − x − 1

C Á L C U L O

DE ESPECIALES

= −2

LÍMITES

DE

FUNCIONES

1

EJEMPLO 1. Determinar lím mediante tabulación y gráfica x →0 x y x < 0

x

– 0.100000

– 10

x > 0 0+

– 0.010000

– 100

0.000001

1000000

– 0.001000

– 1000

0.000010

100000

– 0.000100

– 10000

0.000100

10000

– 0.000010

– 100000

0.001000

1000

– 0.000001 -

– 1000000

0.010000

100

–

0.100000

10

0

Conforme x → 0; f ( x ) =

f(x)

f(x)

+

1

tiende hacia −∞ por la izquierda y hacia +∞ por la 1 derecha, de modo que los valores de f ( x ) tienden a un número; por lo tanto, xlím0 x

→

x

no existe. El símbolo ∞ significa que estamos hablando de un número muy grande respecto de otro.

Cálculo de límites de funciones especiales

1

y

EJEMPLO 2. Encuentra lím 2 x →0 x

x

Solución: Con la tabla y la gráfica

es fácil conjeturar que lím x →0

1

x 2

y =



2

x

no existe x

 

x 3 + EJEMPLO 3. Encuentra xlím →0 

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.01 0.001 

1

cos 5 x  10 000  

Solución: Mediante la regla 5 es fácil encontrar la solución

 

lím x 3 + x →0 

cos 5 x  3 cos 5 ( 0 ) 1 = 0 + = = 0.0001 0001  10 000  10 000 10 000

2 x 2 − 3x + 4 2 EJEMPLO 4. Encuentra lím 2 = x →∞ 3 x − 2 x − 5 3 Si usamos la regla 5 2 x 2 − 3x + 4 =∞ →∞ 3 x 2 − 2 x − 5

lím x

Entonces, para evitar la indeterminación se divide cada término del numerador y del denominador entre la potencia más grande de x que es x 2. Aquí te decimos cómo: 2 x 2 3 x 4 − 2+ 2 2 2 x 2 − 3x + 4 x l xím 2 lxím 2 x x = →∞ 3 x − 2 x − 5 →∞ 3 x 2 x 5 x 2

= xlím →∞

3 4 2− + 2 x

x

2 5 3− − 2 x

x

=

2 3

−

x 2

−

x2

•

1 __ x 2

1 4 25 100 400 10 000 1 000 000

21

22 • U N I D A D 1


EJEMPLO 5. Probar que si, f ( x) = 2 x 2

− 4 x entonces lím h→ 0

f ( x + h) − f ( x) h

= 4 x − 4

Primero busquemos f ( x + h ) ;

(

f x + h

2

) = 2 ( x + h )

− 4 (x + h)

= 2 x 2 + 4 xh + 2h2 − 4 x − 4h Enseguida restamos f ( x ) de f ( x + h ) ;

(

f x + h

) − f ( x ) = 2 x 2 + 4 xh + 2h 2 − 4x − 4h − ( 2x 2 − 4 x ) = 4 xh + 2h 2 − 4 h = h(4 x + 2 h − 4)

por lo tanto, lhím0 →

f ( x + h) − f ( x) h

= lhí→m0

h ( 4 x + 2h − 4 ) h

= lhí→m0 ( 4 x + 2 h − 4 ) = 4x − 4

EJERCICIOS 1 1. Determinar xlím por medio de tabulación y gráfica →∞ x

y

x

x

f(x)


2. Encuentra xlím →1

1

( x − 1)

2

por medio de tabulación y gráfica y

x

1

 3 x  3. Hallar lím  sen  Recuerda que π = 180 0 x→  2  π

4. Hallar xlím →0

f(x)

x

R. − 1

sen x sen x Recuerda que π = 1800. Sugerencia: sustituye tan x por . tan x cos x

•

23

24 • U N I D A D 1


5. Hallar xlím → π

sen x sen x . Sugerencia: sustituye tan x por tan x cos x

x

 1  6. Por medio medio de tabulación encuentra xlím  1 + x  →∞  

1

y

1 x (1+ ––) x

1 (1+ ––) x

x

2.00000

2.00000

5 10 100 1,000

(0,1)

10,000 100,000 1,000,000

x

10,000,000

7. Investiga por medio de tabulación y gráfica si existe xlím →0

x x

. y

x

f(x)

x


3 x 3 + 2 x 2 − 5 3 8. Demostrar que xlím = →∞ 5 x 3 − 3x + 2 5

3 x 2 + 2 x − 5 3 = 9. Demostrar que xlím →∞ 2 x 2 − 3 x + 2 2

Ejercicios 10-12. Determina para cada función, lím h→ 0

10.

( ) = 3x − 2

f x

f ( x + h ) − f ( x ) h

R. 3

•

25

26 • U N I D A D 1


( ) = x 2 − 2 x + 3

11.

f x

12.

f x

3

( ) = 2 x − 3

R.

−

6 2

( 2 x − 3)

CONTINUIDAD En matemáticas, el término continuidad significa lo mismo que en el lenguaje cotidiano. Decir que una función f es continua en x = a debe de entenderse como que su gráfica no sufre interrupción en a que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, en la figura siguiente se muestran tres valores de x en los que la función no es continua. En los demás puntos del intervalo (A, B) la gráfica no se interrumpe y decimos que la función es continua en ellos. Por lo tanto, definamos la continuidad de una función f como sigue:

Continuidad

•

27

Continuidad en un punto: Una función se dice continua en a si se verifican las

siguientes condiciones

1.

f (a) está definido.

y f(x) no está definido

2. xlím f ( x) existe. →a

f(x) tiene un salto

3. xlím f ( x) = f (a). →a lím f(x) no coincide A

B x

Continuidad en un intervalo abierto: Una función f se dice continua en un inter-

valo ( A,B) si es continua en todo número del intervalo.

Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, la velocidad de un móvil o la estatura de una persona varían de forma continua con el tiempo, pero en realidad se presentan discontinuidades como en las corrientes eléctricas o en el desplazamiento de la luz. EJEMPLO 1. Verificar si la función f ( x) =

1 x

es continua en el intervalo 0 < x < 1

Solución:

( ) está definida en el intervalo

f x

y

líma f ( x) existe en el intervalo

x

→

líma f ( x) = f (a) en el intervalo

x

→

Si trazamos la gráfica vemos que la función cumple las condiciones de continuidad en el intervalo 0 < x < 1. Es importante observar que la función en x = 0 no está definida y como vimos antes el límite ahí no existe cuando x tiende a cero; por lo tanto, la función en ese punto no es continua. Indica en qué punto son discontinuas y dibuja su gráfica.

0

1

x

28 • U N I D A D 1


EJEMPLO 2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en caso

contrario escribe los puntos de discontinuidad x2 − 1 1 a) f ( x) = b) g ( x) = 2 c) h( x) =   x     x − 1 x a) Solución:

En la ecuación de la función es evidente que no esté definida para f (1); por lo tanto, no es continua en el punto (1, 2 ). Aquí te mostramos su gráfica.

y

0

1

x

b) Solución:

En este caso la ecuación de la función tampoco está definida para f ( 0 ) y además xlím0 f ( x ) no existe; por lo tanto, → la función no es continua en x = 0 .

y

x

c) Solución:

La función h( x) =   x   se llama mayor entero y tiene discontinuidades en todos los enteros porque xlímn   x   → no existe; por lo tanto, la función no es continua si n es un entero.

y

x

EJEMPLO 3. Con la ayuda de la gráfica adjunta determina cada uno de los límites

siguientes

a) lím− f ( x ) x→ 2

b) lím+ f ( x ) x →2

c) lím f ( x ) x→ 2

Continuidad

29

•

Solución: y

a) lím− f ( x ) = 2 x →2

b) lím+ f ( x ) = 1 x→ 2

2

x

c) lím f ( x ) = −2 x→ 2

EJERCICIOS 1. Usa la gráfica y escribe los puntos puntos de discontinuidad de cada una de ellas (si los hay). hay). a) f ( x) = −

x3

y

b) f ( x) =

2

x2

−1

y

x

x

x

c) f ( x) =

x2

−1 x + 1

y

d) En f ( x) = 1 − x 2 escribe su intervalo de continuidad. y

x

–1

1

x

30 • U N I D A D 1


2. Determina si cada una de las siguientes funciones funciones son continuas; en caso caso contrario indica en qué punto son discontinuas. Dibuja su gráfica. 1 − x2 a) f ( x) = 1 + x

b) g( x) =

1

c) h( x) =   x  

x − 1

estacionamiento se cobran cobran $30 3. En un lote de estacionamiento por la primera hora (o fracción) y $15 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximo de $90. Grafica el costo de estacionar un automóvil, como función del tiempo que permanezca aquí.

Costo

90 60 30

0

1

2

3

4

tiempo

4. Con ayuda de las gráficas adjuntas determina cada uno uno de los límites pedidos a) lí m− f ( x ) =

a) lí m− f ( x ) =

y

x → 2

b) lí m+ f ( x ) = x → 2

c) lí m f ( x ) = x → 2

y

x →− 1

2

x y=f (x)

b) lí m+ f ( x ) = x →− 1

c) lí m f ( x ) = x →− 1

–1

x

y=f (x)

Teorema del valor intermedio

TEOREMA

D E L V A L O R I N T E R M E D I O

Una función continua sobre un intervalo no se salta, ni deja huecos, ni se interrum pe en ningún valor y como consecuencia, su gráfica es una cur va de un sólo trazo. Éste es el fundamento del teorema de los valores intermedios.

( )

Teorema del valor intermedio. Si y = f x es una función continua sobre el intervalo  a, b  y N es cualquier número estrictamente entre f a y f b Entonces,

()

() por necesidad, existirá un número c entre ( a, b) que cumpla que f (c ) = N y

y

y=f (x) f (b)

f (b)

f(c)=N

f(c)=N

f(a)

f(a)

a

c

b

x

y=f (x)

a

c1

c 2

b

x

Este teorema afirma que una función continua toma todos los l os valores intermedios entre los valores de la función f ( a ) y f ( b) Observa que el valor N se puede tomar una sola vez como en la gráfica de la izquierda o varias veces como en la gráfica de la derecha. Un uso de este teorema es hallar las raíces de ecuaciones, pero debido al desarrollo tecnológico de las calculadoras y las computadoras graficadoras, ya casi no se utiliza; sin embargo, el teorema del valor intermedio desempeña una función importante en estas máquinas ya que una computadora cuando grafica, calcula un número finito de puntos de la gráfica y hace aparecer los píxeles que contienen estos puntos calculados. Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos puntos consecutivos. Luego, la computadora une los píxeles al hacer aparecer los píxeles intermedios. EJEMPLO. Aplica el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación x 3 − 3x + 1 = 0 en el intervalo 0, 1 .

( )

•

31

32 • U N I D A D 1


Solución:

Estamos buscando un valor de c que este entre 0 y 1 que sea solución de x 3 − 3x + 1 = 0 es decir que f ( c ) = 0 . Por lo tanto, en el teorema anterior a = 0 b = 1 y N = = 0 .

( 0 ) = 03 − 3 ( 0 ) + 1 = 1 > 0 3 f (1) = (1 ) − 3 (1) + 1 = −1 < 0

*

f

x=0.347

= 0 es un número entre f ( 0 ) y f (1), es decir que la ecuación Esto significa que N = tiene por lo menos una raíz en el intervalo ( 0, 1) y si aplicamos de nuevo el teorema para precisar más el valor de la raíz tenemos, por ejemplo, que: 3

3

( 0.3) = ( 0.3) − 3 ( 0.3) + 1 = 0.127 > 0 y f ( 0.4 ) = ( 0.4 ) − 3 ( 0.4 ) + 1 = −0.136 < 0 3 3 f ( 0.34 ) = ( 0.34 ) − 3 ( 0.34 ) + 1 = 0.0193 > 0 y f ( 0.35 ) = ( 0.35 ) − 3 ( 0.35) + 1 = −0.007 < 0 Significa que una raíz debe estar en el intervalo ( 0.34 34, 0.35 35), de hecho, una compu f

tadora nos da el valor 0.3473. Vea Vea la gráfica.

TEOREMA

D E L V A L O R E X T R E M O

Hasta ahora hemos visto que las funciones pueden crecer o disminuir de valor en función de su gráfica. En el teorema siguiente se dan las condiciones que nos garantizan que una función tenga valores extremos.

( )

Teorema del valor extremo. Si y = f x es una función continua y está acotada en el intervalo  a, b  , entonces f x alcanza un valor máximo M y un valor mínimo m en el intervalo.

( )

y

M m a

b

x

Teorema del valor extremo

Es conveniente observar que cuando se omite cualquiera de las dos condiciones; continuidad o intervalo cerrado la función no tiene que poseer valores extremos.

y

y

x

Esta función tiene un mínimo de f (1)=1 (1)=1 pero no tiene valor máximo, no es continua.

x

Esta función no tiene ni mínimo ni máximo, es continua pero no tiene cerrado el intervalo.

La primera función de la figura f igura anterior, está definida en el intervalo cerrado 1, 5  pero falla la continuidad, fíjate que no tiene máximo, la función toma valores arbitrarios cerca de 7 pero nunca alcanza dicho valor. La gráfica de la derecha en la misma figura tiene continuidad en el intervalo abierto ( 0, 4 ) pero no tiene valor máximo ni mínimo. Por ahora quisimos adelantarnos sólo sobre las condiciones condicione s que debe tener una función para poseer valores extremos. Sin embargo, en secciones posteriores abordaremos abordaremos este teorema con más calma y profundidad, así como su utilidad práctica.

•

33

U N I D A D

2 RAZÓN

DE

CAMB IO

Y

LA

DERIVADA

La derivada como razón de cambio

36

Interpretación geométrica de la derivada

38

Diferenciabilidad

41

La velocidad como una razón de cambio

43

Reglas para derivar

48

Regla de la cadena

55

Regla para derivar un producto

59

Regla para derivar un cociente

63

Derivadas de funciones trigonométricas

70

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

80

Derivadas de funciones exponenciales

85

Derivadas de funciones logarítmicas

90

Derivadas de funciones implícitas

95

Ecuaciones de la tangente y de la normal

97

35

36 • U N I D A D 2

L A

Razón de cambio y la derivada

DERIVADA

COMO

RAZÓN

DE

CAMBIO

Si, en y = f ( x) calculamos: lím

∆ x →0

f ( x + h) − f (x ) h

lo que estamos encontrando por definición es la derivada de la función y = f ( x). dy

Por convención y para fines prácticos emplearemos el símbolo para denotar dx dicho límite. f ( x + h) − f (x ) dy = ∆lím Por lo tanto, decimos que si y = f ( x) su derivada es ; x →0 h

dx

y se lee “la derivada de y con respecto a x ”. Es importante aclarar que dicha expresión no debe verse como una fracción fracci ón sino como lo que es: “un límite” límite ” o un operador diferencial que nos está indicando una razón de cambio de una variable dependiente, con respecto de otra independiente, x . df ( x) Algunos otros símbolos para indicar la derivada son: y ', f '( x), , D x dx

EJEMPLO Si, f ( x) = x 2 − 2 x hallar su derivada Primero encontramos f ( x + h) f ( x + h) = ( x + h) 2 − 2 (x + h)

= x 2 + 2 xh + h2 − 2 x − 2 h luego restamos f ( x) f ( x + h) − f ( x ) = x 2 + 2 xh + h 2 − 2 x − 2 h

− x 2

+ 2x

2 xh + h 2 dividimos entre h; por lo tanto, f ( x + h) − f (x )

=

h

2 xh + h 2 − 2 h h

=

h(2 x + h − 2 ) h

= 2 x + h − 2

− 2h

La derivada como razón de cambio

por último calculamos el límite que estamos buscando y es precisamente la derivada lhí→m0 df ( x ) dx

f ( x + h) − f (x ) = lím ( 2 x + h − 2 ) , entonces h→ 0 h

= 2 x − 2 , que se lee “la derivada de f ( x) con respecto a x es 2 x − 2”.

EJERCICIOS En cada una de las funciones siguientes encuentra su derivada.

1.

f ( x) =

3.

s = t 3 − 12

2 − 3x

R.

R.

−3

2.

f ( x ) = 1 − x 2

3t 2

4.

y =

x−4

•

37

38 • U N I D A D 2

5.

6.

f ( x) =


1 x − 1

f ( x) =

x+1

INTERPRETACIÓN DE

LA

1

−

R.

(

x − 1

7.

y = ( x − 2)2

R.

2

)

2x − 4

GEOMÉTRICA

DERIVADA

La línea tangente El concepto de límite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripción de línea tangente. En la figura sea P un punto fijo y Q un punto móvil próximo a P. Observa que la recta secante que pasa por P y Q, tiene como posición límite la recta tangente en P cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.

Interpretación Interpretaci ón geométrica de la derivada

También vemos que la pendiente de la secante es m s e c =

f ( x + h) − f (x ) h

.

recta secante Q(x+h, f(x+h))

posición límite

posición límite P(x, f(x))

P(x, f(x))

recta secante

Q(x-h, f(x-h))

h

h x

x-h x+h

x

En consecuencia, la línea tangente es la recta que pasa por P con pendiente mt a n que satisface mt a n = lím h→ 0

( ms e c ) = lhí→m0

f ( x + h) − f (x ) df ( x ) = h dx

Definición. Se dice que la derivada de una función y = f ( x) desde el punto de vista geométrico es la pendiente de la recta tangente a f ( x) en un punto dado P ( x, y): dy dx

=m

EJEMPLO Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la f ( x) = x 2 − 1 en el punto P(2,3). Primero calcula: f ( x + h) − f (x ) h

y

=

+ h )2 − 1 − (x 2 − 1) ( x h

x 2 + 2 xh + ( h)2 − 1 − x 2 + 1 = h h( 2 x + h) = = 2 x + h h

2, 3 ) P( 2,

x y =4x-5

•

39

40 • U N I D A D 2


luego, mt a n = ∆l xím →0

f ( x + h) − f ( x ) = lím ∆x→0 h

(2 x + h) = 2 x

por lo tanto, mt a n = 2 x en cualquier punto; mtan = 2(2) = 4 en x = 2 . Recordemos que la ecuación de una recta está dada por y − y1 = m ( x − x1 ) por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: y − 3 = 4( x − 2) y = 4 x − 8 + 3 y = 4 x − 5

Ejercicio 1. Encuentra la pendiente de la tangente a la curva y = − x 2 + 2 x + 2 en el punto donde x = 2 y

2, 2 ) P ( 2,

x

R.

2x + y − 6 = 0

Ejercicio 2. Halla la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) = 1 − x 2 en el punto P(2, –3). Traza la gráfica.

Diferenciabilidad

Ejercicio 3. Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función f ( x) = x 3 + 1 en el punto P(1, 2). Traza la recta tangente y marca el punto de tan-

gencia.

R.

( )

Ejercicio 4. Encuentra los puntos de la función f x =

–1/4. Traza las rectas tangentes en dichos puntos.

1 x

3x − y − 1 = 0

donde su pendiente es

DIFERENCIABILIDAD Tanto la continuidad como la diferenciabilidad son propiedades deseables para una función y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan entre sí. Si f es diferenciable en a o en todo un intervalo ( a,b ) entonces, f es continua en a y en el intervalo ( a, b ).

•

41

42 • U N I D A D 2


¿Cómo saber cuándo y dónde se puede derivar una función y = f ( x ) ? La interpretación geométrica de la derivada nos da la respuesta, ya que si una función f en algún punto no tiene tangente debido a que f tiene esquinas o retorcimientos o no es continua, evidentemente en esos espacios la función no es diferenciable. y

y

y

recta tangente

a

recta tangente

x

Una esquina, pendiente infinita

a

x

Un cambio de concavidad

a

x

Una discontinuidad

Otra manera de verificar la diferenciabilidad es a través de una calculadora graficadora.

y

Una función no diferenciable, en a con el acercamiento se ve mejor la esquina o el punto agudo que no se puede eliminar recta tangente a

x

y

Una función diferenciable, en a el acercamiento nos muestra que la gráfica se endereza y adquiere más y más la apariencia de una recta

a

x


L A DE

V E L O C I D A D CAMBIO

COMO

UNA

RAZÓN

v0

v

s 0

D s

s

Velocidad media. El móvil representado por un automóvil en la parte superior tiene un desplazamiento inicial s0 y cambia a un desplazamiento final s en un tiempo ∆t ; en

consecuencia, su velocidad promedio es: vmed

=

∆ s s − s0 = ∆t ∆t

Los experimentos demuestran que un cuerpo que cae libremente desde el r eposo se 2 desplaza s(t ) = 4.9t 2 metros en t segundos. De manera que cae 4.9 (1) = 4.9 metros en 2

1 segundo y 4.9 ( 2) = 19.6 metros en los 2 primeros segundos, y así sucesivamente: s

2

(1) = 4.9 (1) = 4.9 ;

s

2

( 2 ) = 4.9 (2 ) = 19.6

Es decir, en el intervalo de tiempo ∆t = (2 − 1)seg se desplazó ∆ s = (19.6 − 4.9 ) m; entonces, la velocidad promedio de caída es: vmed

=

∆ s (19.6 − 4.9)m = = 14.7 m / seg (2 − 1) seg ∆t

Velocidad instantánea. Pero si en el ejemplo anterior quisiéramos medir la velocidad v → 0) lo que estaríamos midiendo sería una velocidad en un instante t cualquiera ( ∆t → ∆ s

instantánea o verdadera por la precisión; ésta sería serí a el límite de la relación cuando ∆t el tiempo tiende a cero. Por lo tanto, y por la definición de derivada, la velocidad instantánea sería: v

∆ s s(t + ∆t ) − s(t ) = lím ∆t → 0 ∆t ∆t →0 ∆t

= lím

o bien

v =

ds dt

•

43

44 • U N I D A D 2


Se dice entonces que la velocidad instantánea de un móvil es también la deri deriv vada de su desplazamiento con respecto al tiempo : v =

ds dt

Por ejemplo, si quisiéramos saber la velocidad de caída de un objeto en el preciso instante de 1.2 segundos tendríamos que calcular: v

v

=

ds s(t + ∆t ) − s(t ) = lím dt ∆t →0 ∆t

= lím

∆t → 0

= lím

4.9(t + ∆t )2 − 4.9 t 2 ∆t

4.9[t 2 + 2t ∆t + ( ∆t )2 − t 2 ] ∆t

∆t → 0

= lím

∆t → 0

v

4.9 ∆t (2t + ∆t ) ∆t

= lím ( 4.9 ) ( 2t + ∆t ) = ( 4.9 ) (2 t ) = 9.8t ∆t →0

= 9.8t ⇒ v(1.2) = (9.8 )(1 .2 ) = 11 .76 m / seg

Otras razones de cambio Es importante aclarar que la derivada mide cualquier cambio con respecto al tiempo, y que en ese sentido la vamos a estudiar a lo largo de todo el curso; es decir, la derivada significa una razón de cambio de un fenómeno natural, social, económico, la velocidad de un móvil, la rapidez con que actúa un medicamento, etcétera. Los físicos se interesan por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo ( potencia), los químicos en una reacción química estudian la llamada velocidad de reacción. Un fabricante de acero se interesa en la razón de cambio del costo de producir x toneladas de acero por día ( costo marginal ), ), un biólogo se ocupa de la razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo, etcétera. Todas estas razones de cambio implican un significado de la interpretación geométrica de la derivada o interpretación de pendientes de tangentes no sólo en el sentido geométrico, sino que al mismo tiempo resolvemos situaciones que se presentan en los diferentes campos del conocimiento de la ciencia y la ingeniería en donde intervienen las razones de cambio.

EJEMPLO Una empresa productora de acero produce x toneladas de este material a un costo de C = f ( x ).


a) ¿Qué significa f ( x )? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Qué significado tiene f ( 500 ) = 100 ? 



Solución a)

f ( x ) significa la razón de cambio instantánea de C con respecto a x es decir, 

la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de toneladas de acero producidas. Los economistas llaman a esta razón de cambio costo marginal .

Como f ( x ) = 

dC dx

y C está expresada en dólares y x en toneladas, las unidades de f ( x ) son dólares por tonelada. 

b) La proposición f ( 500 ) = 100 significa que, después de fabricar 500 toneladas de acero, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 100 dólares por tonelada. 

EJERCICIOS Resolver cada una de las siguientes situaciones considerando la derivada como una razón de cambio.

1. a) Hallar la velocidad instantánea de un cuerpo que cae, partiendo del reposo, en el instante t = = 5.3 segundos. b) ¿Cuánto tardará el cuerpo en alcanzar una velocidad instantánea de 65 m / seg ? v =

51.94 m / seg seg t = 6.63seg

v =

9.8 t

•

45

46 • U N I D A D 2


de combustible combustible (medido en galones galones por hora) hora) de un automóvil que 2. El consumo de viaja a una velocidad de v millas por hora es c = f (v).

a) ¿Cuál es el significado de f ( v) ? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Qué significa f ( 20 ) = − 0.5? 



3. Suponer que un cuerpo cae desde el reposo s = 16t 2 pies en t segundos. entre t = 3 y t = 4? a) ¿Qué distancia caerá entre b) ¿Cuál será su velocidad media en el intervalo 3 ≤ t ≤ 4 ?

c) Encuentra la velocidad instantánea en t = 3.


que tiene una masa masa 4. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que gramos después de t horas. a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01?

C (t ) = R.

1 2 t + 1 2

0.0200 020055 gr

intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo R. 2 = 2 ? c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = R. 2

gr / hr gr / hr

tal modo que su beneficio total total después de 5. Un negocio está prosperando de tal 2 años es G(t ) = 1000 t .

t

a) ¿Cuánto producirá el negocio durante el tercer año, es decir, entre t = 2 y t = 3? b) ¿Cuál es su tasa promedio de utilidad (utilidad promedio marginal ) durante el primer semestre del tercer año (entre t = 2 y t = 2.5)? c) ¿Cuál es la tasa instantánea de utilidad ( utilidad marginal ) para t = = 2?

•

47

48 • U N I D A D 2

R E G L A S


PARA

DERIVAR

Calcular la derivada de una función a partir de su definición es un proceso tedioso y que demanda mucho tiempo. Ésa es la razón por la que se han desarrollado instrumentos (teóricos y tecnológicos) que permiten acortar el largo camino que hemos visto hasta aquí. Recuerda que la derivada de una función f ( x) nos produce otra función. Este proceso lo podemos esquematizar de la siguiente manera:

Operación y =f(x)

f´(x)

de derivar

Regla 1. La derivada de una función constante f ( x ) = c es cero. Cuando una función f ( x ) no tiene cambios su pendiente es cero. d (c ) dx

=0 m=0

y = c

EJEMPLO Si y = −5 ⇒

dy

=

d(−5)

dx dy dx

dx

=0

Regla 2. La derivada de la función identidad f ( x) = x es 1. La razón de cambio es 1 a 1. d( x ) dx

m=1

=1 y = x

Reglas para derivar

Para demostrar la regla número 3 es conveniente recordar que:

(

a+b

)

n

= a n + na n−1b +

n( n − 1)

2

d( x n ) = nx n−1 . Es decir, dx

Regla 3. Si f ( x) = x , entonces su derivada es, n

df ( x) = dx df ( x ) dx

= lím

x n + nx n −1 h +

lím

h →

a n− 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + nab n−1 + b n

( x + h)n − x n h

0

n n( n − 1) n− 2 x ( h)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + nx( h)n−1 + ( h ) − x n

2

h

h→ 0

= lím

h [ nx n−1 +

n −1 n( n − 1) n− 2 x h + ⋅ ⋅ ⋅ + nx(h) n− 2 + ( h ) ]

2

h

h→0

= nx n −1

Dentro del paréntesis todos los términos tienen como límite cero excepto uno, el que no tiene como factor a h.

EJEMPLOS 1) 2)

d( x 3 ) dx

= 3 x 2

d( x −5 )

= −5 x −6 = −

5

x 6

dx

n = 3,

n − 1 = 2

n = −5,

n − 1 = −6

3

3 12 3) dx x = dx = 2 x d

3

d( x) 2

n =

3 , 2

n − 1 =

1 2

Regla 4. Reg Regla la del mú múlti ltiplo plo co cons nstan tante. te. Si c es una constante y f ( x) una función, entonces: d dx

cf ( x) = c

La justificación se deja como ejercicio.

d dx

f ( x )

•

49

50 • U N I D A D 2


Regla 5. Regla de la suma. Si u,

v

y w son funciones de x entonces:

d du dv dw (u + v − w ) = + − dx dx dx dx

Justifica la regla como un ejercicio de tarea.

4)

d

( x dx

7

)

− 3 x 4 + 10 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 8 =

d

d d d d d x ) − 3 ( x ) + 10 ( x ) − 5 ( x ) + 2 x ) − ( (8 ) ( dx dx dx dx dx dx 7

( )

4

3

2

( ) ( ) ()

= 7 x 6 − 3 4 x 3 + 10 3 x 2 − 5 2 x + 2 1 − 0 = 7 x 6 − 12 x 3 + 30 x 2 − 10 x + 2

5) Encuentra los puntos de la curva y = x 4 − 6 x 2 + 4 donde la recta tangente sea horizontal.

Solución Aquí buscamos los puntos de la gráfica en donde la derivada sea cero porque se tienen tangentes horizontales. dy dx

( )

= 4 x 3 − 6 2 x + 0 = 4 x 3 − 12 x

4 x 3 − 12 x = 4 x ( x 2 − 3 ) = 0 Al resolver la ecuación anterior tenemos valores para x igual a 0, nos darían los puntos ( − 3, −5 ), ( 0, 4 ) , ( 3 , −5 )

EJERCICIOS Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.

3 , − 3 que

Reglas para derivar

1.

y = 2 x 3

3.

y =

5.

y = 3 − 2 x + π x 2 −

R.

R.

−2

R.

x 4

− 2 + 2π x +

8 x 5

2 x

4

6 x2

8 x 5

2.

y = π x 2

4.

y =

6.

f ( x) =

4 5 x 5

3

x5

. Reescribe 3 x 5 = x

5

3

•

51

52 • U N I D A D 2


3

7.

y =

9.

y = 11 x 3 − 2 x + 3 x 3 − 4

10.

x 3

y = −5 x 6 + 3x 5 − 19

R.

−

1 3

8.

y = − x 4 + 3x 2 − 6 x + 2 x − 1

x 4

R.

11.

y = 3x 7 + 3 x 2 − 21

33 3 3x2 − 2 +

R.

1 3

x 2

21 x 6 + 6 x

Reglas para derivar

12.

14.

y = 3 x −5 + 2 x −3

y =

1 + 2 x 2 x

13.

y =

15.

y =

2 x

−

1 x2

1 1 − 2 x 3 x 4

−

R.

R.

−

2 x 2

3 2 x 4

53

•

+

−

2 x3

4 x5

16. Encuentra todos los puntos de la gráfica de y = x 3 − x 2 donde la tangente sea horizontal. Grafica las tangentes horizontales.

54 • U N I D A D 2


puntos de la gráfica de y = 17. Halla los puntos

1 3 2 x + x − x donde la tangente tenga pendiente 1. 3 R. x1 ≈ 0.7320; x2 ≈ −2.7320

18. Un viajero espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva

y = x 2 Cuando apague sus

máquinas, se alejará a lo largo de la línea tangente en el punto donde esté en ese momento. ¿En qué punto deberá apagar las máquinas para alcanzar el punto (4, 15)?

19. Una mosca camina de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = 7 − x 2. Una araña espera en el punto (4, 0). Encuentra la distancia entre el insecto y el arácnido cuando se ven por primera vez. (Vea la figura). R. d = 45 6

5 4 3 2 1 –3 –2 –1

–1

araña 1 2

3

4

Regla de la cadena

20. La altura s en pies de una pelota sobre el piso a los s = −16t 2 + 40t + 100.

t

•

55

segundos está dada por

= 2? a) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando t = b) ¿Cuándo es cero la velocidad instantánea? 2

s = −16 t + 40 t + 100

de modo que su distancia s al punto 21. Una bola rueda hacia abajo en un largo plano inclinado de 2 de partida después de t segundos es de s = 4.5t + 2t pies. ¿Cuándo alcanzará la velocidad instantánea de 30 pies por segundo?

v

R E G L A

DE

LA

CADENA

Regla 6. Si y = f (u) y u = g ( x ) tenemos que, dun dx

= nun−1

du dx

Demostración Supongamos que y = un entonces,

dy du

=

d du

u n = nun−1 de acuerdo con la regla 3.

56 • U N I D A D 2


Ahora bien, estarás de acuerdo en que: dy

dy du

=

⋅

dx dy

=

du dx

d

 u n  ⋅ du du   dx

du

= nu n−1 . Por cierto, este proceso también se conoce como regla de Por lo tanto, dx la cadena. dx

EJEMPLOS 1) Encuentra la derivada de y = (3 − x 2 )3 .

Solución Hagamos n = 3 y u = 3 − x 2 ⇒ y = u 3 dy dx dy dx

= 3u2

du dx

du dx

= −2 x; por lo tanto:

si hacemos que u = 3 − x 2,

(

)(

= 3 3 − x 2 −2 x

(

= −6 x 3 − x 2

2) Encuentra la derivada de y =

)

al derivar y sustituir u y

2

)

du dx

al simplificar. 3 2

x − 5

.

Solución Hagamos n = − 12 y u = x 2 − 5 ⇒ y =

3

= 3u

−

du = 2 x ; por lo tanto: dx

1 2

si hacemos que u = x 2 − 5

u

 1 −3 du  3 = 3 − u 2  = − x 2 − 5 dx dx  2  2 dy

dy

(

dx

( x

2

−5

3 2

) (2 x )

3 x

=−

−

3

)

EJERCICIOS Calcula la derivada de las siguientes funciones.

al derivar y sustituir u y al simplificar.

du dx

Regla de la cadena

1.

2 x3 − 3

y =

1 2

2.

y =

4.

y =

6.

y =

Reescribe la función como y = ( 2 x − 3) . 3

dy

3 x 2

=

2 x 3 − 3

dx

3.

(

s = t 2 − 5t + 2

)

5

ds = (10t − 25 ) t 2 − 5t + 2 dt

)

(

5.

f ( x) =

3 x 3 − 4

dy dx

10

(3 − 7x )

9 x 2

=−

(

x 3 − 4

2

)

5 3

5 x − 3

3

x2 − 2x + 1

4

•

57

58 • U N I D A D 2

7.

y = − 3 4


2 − 9x

8.

dy dx

9.

y = −

s =

1 t 2 − 2

27

= 4

(2 − 9 x )

3

1

10.

y =

x+ x

x + 1

dy dx

1

=

2 x

(

x +1

)

2

7500 = 0 re, donde t = 1 + 0.4t + 0.1t 2 presenta en (años) el momento de la compra. ¿A qué razón se deprecia el automóvil 2 años

11. Un automóvil se deprecia de acuerdo con la fórmula después de su compra?

V =

dV dt

1239.66 = 1239


R E E G L A

PARA

D E R I V A R U N

PRODUCTO

Regla 7. La 7. La derivada del producto de dos funciones derivables f ( x) y g( x) viene dada por: d  f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) + g ( x ) f ( x ) dx  



Demostración f x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) d  f ( x ) g ( x ) = lím ( h →0 dx h f ( x + h)g ( x + h) − f ( x + h ) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x )

= lím h→ 0

− ff ( x ) g ( x )

h

 g ( x + h ) − g ( x ) f ( x + h ) − f ( x )  f ( x + h ) g ( x ) = lím +   h→ 0 h h   g ( x + h ) − g ( x ) f ( x + h ) − f ( x ) = lhí→m0 f ( x + ∆h ) ⋅ lhí→m0 + g ( x ) ∆l xím→0 h

h

= f ( x ) g ( x ) + g ( x ) f ( x ) 



Sugerencia. Es conveniente memorizar la regla del producto de la siguiente manera:

La primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada multiplicada por la derivada de la primera función.

EJEMPLOS derivada de de y = x ( x 2 + 1 ) 1) Encuentra la derivada

Solución Primero hacemos f ( x) = x , entonces f ( x) = 1, luego, 

g ( x) = x 2

+1 y

g ( x) = 2 x 

•

59

60 • U N I D A D 2

Razón de cambio y la derivada Aplicamos la regla del producto: dy dx

= x ( 2 x ) + ( x 2 + 1) (1) = 2 x 2 + x 2 + 1 = 3 x 2 + 1

derivada de y = ( x − 2 ) 3 − x 2 2) Encuentra la derivada

Solución Hagamos f ( x) = x − 2 entonces f ' ( x) = 1; luego,

(

g( x) = 3 − x

1 2 2

)

y

1 g ( x) = ( 3 − x 2 2 x g ( x ) = − 



−

1 2

) ( −2 x )

1 2 2

( 3 − x )

Ahora aplicamos la regla 7:

  1   dy x 2 2 = ( x − 2 )  − + ( 3 − x ) (1) 1  dx 2  ( 3 − x ) 2    1 1  2  + 2 2 2 2 1 x x x 2 3 − + + −  − x + 2 x  ( ) = + ( 3 − x 2 ) 2 = 1  1 2 2  ( 3 − x 2 ) 2  ( 3 − x )   − x 2 + 2 x + ( 3 − x 2 ) − x 2 + 2 x + 3 − x 2 3 + 2 x − 2 x 2 = = = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 3 − x ) ( 3 − x ) ( 3 − x )

EJERCICIOS En los ejercicios siguientes encuentra la derivada mediante las reglas tratadas en esta sección.


1.

y = ( x 2

2.

y = (5 x 2

3.

y = ( x 4

dy

+ 2)(3x 3 − 2)

dx

= 15 x 4 + 18 x 2 − 4 x

+ 2)(3x 2 − 2 x + 7)

)( x 3 − 2 x 2 + 1) + 2)(

dy dx

= 7 x 6 − 12 x 5 + 4 x 3 + 6 x 2 − 8 x

•

61

62 • U N I D A D 2


4.

y = ( x 2

5.

y = x

6.

− 2) 2 1 + x

2 3

y = ( x 4

x

2

+3

− 1)( x 2 + 1)

dy dx

=

8 x 3 + 18 x

(

3 3 x 2

2

+ 3)


7.

y = ( x

2

+ 1)

R E E G L A

dy

x

dx

PARA

D E R I V A R U N

=

5 x 2

2 x

COCIENTE

Regla 8. Sean 8. Sean f ( x) y f ( x) dos funciones derivables y g ( x) ≠ 0 Entonces, d  f ( x)  g ( x ) f ( x ) − f ( x ) g ( x )   = dx  g( x)  g 2 ( x ) 



Demostración f ( x + h ) f ( x )

− g x h g ( x ) + ) (   d f ( x) lím =   dx  g ( x)  h→0 h g ( x) f ( x + h) − f ( x)g ( x + h) = lím h→ 0

h

⋅

1 g ( x) g ( x + h)

1 = lím g ( x) f ( x + h) − g ( x) f ( x) + f ( x)g( x) − f ( x) g( x + h) ⋅ h→ 0 h g ( x) g ( x + h)

  1 = lím  g ( x) f ( x + h) − f ( x) − f ( x) g ( x + h) − g ( x)      h→ 0 h h    g ( x ) g ( x + h )  =  g ( x) f ( x) − f ( x) g ( x)  

=



g ( x) f ( x) − f ( x)g ( x) 



g 2 ( x)

+1

•

63

64 • U N I D A D 2


Sugerencia. Memoriza la regla del cociente de la siguiente manera:

La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado.

EJEMPLOS derivada de y = 1) Encuentra la derivada

3x + 5 3 − 2 x

.

Solución En primer término hagamos f ( x) = 3x + 5, entonces f ( x) = 3; luego: 

1

g( x) =

3 − 2x

= ( 3 − 2 x)

2

y g ( x) = 

g ( x )



1 − 1 (3 − 2 x) 2 ( −2) 2 1

=−

(3 − 2 x)

1 2

Aplicamos la regla 8,

  1   (3 − 2 x) 2 (3) − ( 3x + 5)  − 1   (3 − 2 x) 2  dy  = 2 1 dx  ( 3 − 2 x ) 2    1

Para resolver la fracción resultante de la derivada multiplicamos y dividimos por 1

( 3 − 2 x) 2 . 1

(3)( 3 − 2 x) 2 dy dx

=

=

+

3x + 5

1   2 (3 − 2 x) 2  ( 3 − 2 x )    1 3 − 2 x   2  ( 3 − 2 x ) 

3(3 − 2 x) + 3 x + 5 3

(3 − 2 x)

2

1


=

9 − 6 x + 3 x + 5 (3 − 2 x)

=

3 2

14 − 3 x 3

(3 − 2 x)

2

1

2) Halla la derivada de y =

a + bx a − bx

=

(a + bx) 2 1

.

(a − bx) 2

Solución 1

1 − 1 En primer término hagamos f ( x) = ( a + bx) ; entonces, f ( x) = ( a + bx ) 2 ( b ) 2 2



b

=

(

2 a + bx

)

1 2

1

1 − 1 g ( x) = ( a − bx) ; entonces, g ( x) = ( a − bx ) 2 ( −b ) 2 2



=

1

−

( a − bx ) ( −b) 2 −b

=

(

2 a − bx Aplicamos la regla 8,

( a − bx) dy dx

=

1 2

1

b

⋅

(

2 a + bx

)

1

− ( a + bx) 2 ⋅

(

2 a − bx

2

1   ( a − bx) 2   

−b

2

)

1 2

1

)

1 2

2

•

65

66 • U N I D A D 2


Para resolver la fracción resultante multiplicamos y dividimos por 2(a + bx)

( a − bx )

1 2

. b ( a − bx )

1 2 1

dy dx

=

=

+

2 ( a + bx ) 2

b ( a + bx )

1 2 1

b(a − bx) + b ( a + bx ) 3 2

2 ( a − bx bx ) ( a + bx bx )

1 2

2 ab

(

2 a − bx bx

1

1



1 1   2  2 ( a + bx bx ) ( a − bx bx ) 2 

a − bx

=



2 ( a − bx ) 2  2 ( a + bx bx ) 2 ( a − bx bx ) 2 

3

1

2

2

bx ) ) ( a + bx

=

ab − b2 x + ab + b2 x 3 2

2 ( a − bx bx ) ( a + bx bx )

=

1 2

ab 3

1

2

2

bx ) ( a + bx bx ) ( a − bx

EJERCICIOS

1.

y =

3x − 2 5 − 3 x

dy dx

=

9 2

( 5 − 3 x )

1 2


2.

3.

4.

y =

y =

y =

3 + 2x 2 + 3 x 2

3x 3 − 2

dy

+3

dx

x 2

− 3x + 3 2 − 3 x

2 x2

=

3 x 4

+ 27 x 2 + 4 x

(

x 2

+ 3)

2

•

67

68 • U N I D A D 2


5.

6.

y =

+ 3x − 1 x 2 + 2 x − 3 x2

f ( x) =

dy dx

=−

x 2

+ 4x + 7

x 2

+ 2 x − 3)

(

2

− x2 c2 + x2

c2

7. La curva y =

1 x 2

+1

se llama bruja de María Agnesi. Encuentra y grafica la

( )

ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto 1, 12 .

x + 2 y − 2 = 0


puntos tiene tangente horizontal la gráfica de f ( x) = 8. ¿En qué puntos

9. La curva y =

x x 2

+1

x − 1

?

se llama serpentina. Encuentra y grafica la ecuación de

(

)

la recta tangente a esta curva en el punto 2, 0.4 .

10. La función f (t ) =

x2

3 x + 25 y − 16 = 0

− t + 1 mide el porcentaje del nivel normal de oxígeno en t 2 + 1

t2

un estanque, donde t es el tiempo en semanas contado desde que el desecho orgánico se arroja en él. Encuentra la razón de cambio de f con respecto a t cuando t = = 2.

•

69

70 • U N I D A D 2


introduce en un cultivo y crece en número 11. Una población de 500 bacterias se introduce de acuerdo con la ecuación P

= 500 +

2000t

con t medido en horas. Encuen50 + t 2 tra la razón de crecimiento de la población cuando t = = 2. dP dt

bacterias/ho /hora ra ≈ 32 bacterias

D E R I

VADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉ TRICAS

Reglas para derivar funciones trigonométricas 1.

d du sen u = cos u dx dx

2.

d du cos u = − sen u dx dx

3.

d du tan u = sec 2 u dx dx

4.

d du ct gu = − csc 2 u dx dx

5.

d

6.

d

dx

sec u = sec u tan u

du du dx

dx

csc u = − csc uctgu

du du dx

Derivar cada una de las funciones propuestas a continuación: Antes de abordar la deducción de las reglas para derivar las funciones trigonométricas analiza la tabla mostrada a continuación para comprobar que: 1 − cos h h→ 0 h

lím

h

1-cos h

1.0

0.5

0.1

0.01

sen h h→ 0 h

=0

lím

0

– 0.01

=1

– 0.1

– 0.5

–1

0.45970

0.24483

0.04996

0.00500

?

– 0.0050

– 0.04996 – 0.24483 – 0.4597

0.84147

0.95885

0.99833

0.99998

?

0.99998

0.99833

h

sen h h

0.95885

0.84147

Derivadas de funciones trigonométricas Regla 1. La derivada de sen x es cos x d sen x = cos x dx

Recordemos una vez más la definición de derivada: sen x cos h + cos x sen h 









sen ( x + h ) − sen x d sen x = lím h→ 0 dx h

= lím h→ 0

sen x cos h + cos x sen h − sen x h

 1 − cos h sen h  sen cos x x = lím − +  h→0  h h    1 − cos h   sen h  = − sen x  lhí→m0 + cos x  lhí→m0  h h     = ( − sen x) ( 0 ) + (cos x) (1) = cos x Pero si y = sen(u) y u = f ( x) entonces se presenta otra vez la regla de la cadena. cadena.

Como

dy du

= cos u, tenemos que

dy dx

=

dy du

⋅

du dx

por lo tanto,

d du sen u = cos u dx dx

EJEMPLOS 1) Derivar y = sen ( 2 x + 1)

Solución Hagamos u = 2 x + 1 entonces dy dx

cos x 2 2) Derivar y = cos

du dx

= 2 luego

= cos ( 2 x + 1 ) ( 2 ) = 2 cos ( 2 x + 1 )

•

71

72 • U N I D A D 2


Solución Hagamos u = x 2, entonces

du dx

= 2 x , luego

dy dx

= ( − sen x 2 ) ( 2 x ) = −2 x sen x 2

Nota: La deducción de la regla se sugiere como tarea.

EJERCICIOS Derivar cada una de las siguientes funciones.

1.

y = sen ( 2 x − 3 )

3.

y = 4 cos x − 2 sen x

dy dx

dy dx

cos ( 2 x − 3) = 2 cos

= −2 ( 2 sen x + cos x )

2.

y = cos ( 2 − 5x )

4.

y = cos ( 2 − 5 x )

2


5.

y = cos x

7.

y = x 2 sen 2 x

9.

dy dx

2

y = sen x cos x

dy dx

cos x sen x = −2 co

= 2 x ( x cos 2 x + sen 2 x )

dy dx

= cos x − sen 2

2

x

6. ¿Por qué vale cero la derivada de y = cos 2 x + sen 2 x ?

8.

s =

sen t t

10. v =

sen u cos u

•

73

74 • U N I D A D 2


3) Demostrar que: d dx

tan u = sec 2 u

Solución Derivamos tan u como un cociente mediante la identidad tan u =

sen u cos u

d d sen u tan u = cos u dx dx    identidad de tan u

 d   d  sen u − sen u  cos u  dx   dx 

cos u  =

=

cos2 u cos u cos u

du du − sen u ( − sen u ) dx dx 2 cos u

1       

=

sen 2 u + cos 2 u du dx cos2 u du du

= sec2 u

dx

4) Una rueda de la fortuna de 30 pies de radio gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, a una velocidad angular de ω = = 2 rad / seg ¿Con qué velocidad se eleva verticalmente un asiento en el borde cuando c uando está 15 pies arriba de la línea horizontal que pasa por el centro de la rueda? Recuerda que la velocidad angular ω es el desplazamiento angular θ entre el tiempo t .

Solución θ

Como ω = , entonces θ t

= ω t = 2t

Luego, en el triángulo de la figura: cos 2t x = 30 cos

y

sen ω = = sen 2t =

y = 30 sen sen2t

15 30

= 0.5, por lo tanto, 2t = = 30 º.

v y

v x

2 t

( x, 15)

Derivadas de funciones trigonométricas La velocidad tangencial de la silla en el punto P tiene dos componentes: uno hodx dy rizontal v x = y otro vertical v y = por cierto, éste último es el que nos interesa dt dt calcular. v

y

=

dy dx

=

d pies / seg seg ( 30 sen 2t ) = 60 cos 2t = 60 (cos 30 º) = 51.96 pies dx

5) Se aplica una fuerza en el extremo de un resorte horizontal horizontal y éste se desplaza hacia la derecha 4 cm mas allá de su posición natural o de reposo, enseguida se deja en libertad en el instante t = = 0 , tal como se muestra en la figura. Su posición en el instante t es: cos t . ( ) = 4 cos

x = f t

a) Encuentra la velocidad v en el instante t , es decir, v = velocidad del extremo del resorte en el instante t = =

2π 3

dx , b) halla la posición y la dt

y c) las gráficas de posición

y velocidad de la vibración en un periodo de 2π .

Solución

4 cm

Equilibrio

a) La velocidad en el instante t es:

b) La posición y la velocidad en t = = s = 4 cos

2π 3

= 4 cos 120˚ = −2

2π 4641 v = −4 sen = −3.4641 3

2π 3

0

–4

dx d v = = ( 4 cos t ) = −4 sen t dt dt

son respectivamente:

Recordemos que, π rad = 180˚

Por lo tanto: 2π 3

rad = 120˚

4

x

F = fuerza

•

75

76 • U N I D A D 2


posición y velocidad en un c) Gráficas de posición periodo de 2π :

4

v

x

Las gráficas nos enseñan que la oscilación del resorte ocurre desde −4 el punto más bajo hasta el punto más alto, es decir, 4; además de ilustrarnos la relación entre posición y velocidad.

π

-4

M ÁS E JE RC IC IO S: 11. Derivar y = x 2 tan x

dy dx

12. Demostrar que

= x 2 sec 2 x + 2 x tan x

13. Derivar y = x sen 2 x

dy dx

d ctg x = − csc 2 x dx

= 2 x sen x cos x + sen 2 x

14. Derivar y = sen 3 ( x 2 + 3)

π

2

t


15. Derivar y = x 2 sen x + 2 x cos x − 2 sen x

dy dx

17. Derivar y =

16. Derivar f (θ ) =

18. Derivar y =

dx

1 − sen θ

cos x = x 2 cos

sen x 1 − cos x

dy

θ

=−

1 1 − cos x

1 + csc csc x 1 − csc csc x

•

77

78 • U N I D A D 2


de la figura. La rueda tiene 1 pie de radio y gira en sentido 19. Observa y analiza la rueda-pistón de contrario a las manecillas del reloj 2 rad / seg La varilla de conexión tiene 5 pies de longitud. Cuando t = = 0 el punto P está en (1,0). Encuentra:

a) Las coordenadas de b) La velocidad de

P en el instante t . Q

Q en el momento t .

P

(1,0)

a) P ( cos 2t , se sen 2t ) b)

v

y

= 2 cos 2t

modo horizontal sobre una superficie lisa, en un movimiento movimiento 20. Una masa en un resorte vibra de modo armónico simple. Su ecuación de movimiento es x ( t ) = 8 sent sent . Encuentra:

a) la velocidad y la aceleración en el instante t , y b) la posición y la velocidad de la masa en el instante t = =

2π . 3

Equilibrio

F 0

x

x


una pared vertical. Sea 21. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una

•

79

θ el ángulo entre

la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia entre el extremo inferior de aquélla y la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x con respecto a θ cuando θ =

π

3

?

dx dθ

pies / rad = 5 pies

θ

x

22. Un bloque bloque con peso

W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo ϑ con el plano,

entonces, la magnitud de la fuerza es: F =

µ W µ sen θ + cos θ

θ

donde µ es una constante llamada coeficiente de fricción . W

a) Encuentra la razón de cambio de F con respecto a θ . b) ¿Cuándo es igual a cero esta razón de cambio? c) Si W = = 50 libras y µ = = 0.6 dibuja la gráfica de F como función de θ mediante una calculadora graficadora.

80 • U N I D A D 2


DERIVADAS

DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Definición: Cuando hablamos de las inversas de las funciones trigonométricas básicas es necesario aclarar que nos estamos refiriendo a los ángulos cuyas funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente, etcétera, por ejemplo si: y = sen x entonces, x = sen −1 y , lo cual significa que x es el ángulo cuyo seno es y.

Es importante mencionar que para obtener las inversas de las funciones trigonométricas se restringe el dominio y el rango se mantiene lo más grande posible, según la función de que se trate.

π

y = arc sen x

y = sen x

1

–π

π

–1

–1

1

−π

Dominio restringido

π

y = cos x

y = arc cos x

1

–π

π

–1 Dominio restringido

–1

1

Derivadas de funciones trignométricas inversas y =

tan x

y =

arc tan x

π

2

1

–π

π

1

–1 –1 π

2 Dominio restringido

A continuación, presentamos algunas derivadas de las funciones trigonométricas inversas:

1. 3. 5.

1

d sen −1 u = dx

du 1 − u2 dx

d

1

dx d dx

tan −1 u = sec −1 u =

2.

du

4.

1 + u 2 dx 1

du

u u2

− 1 dx

6.

d dx

cos cos−1 u = −

d dx

csc csc −1 u = −

1

du 1 − u2 dx

Si y = sen −1 u ⇒ u = sen y , luego du dy

= cos cos y y

du

1 − u2 dx

d 1 du ctg ctg −1 u = − dx 1 + u2 dx

Demostración de la regla 1: d sen −1 u = dx

1

1 du cos cos y dy

=

1

du

u u2

− 1 dx

•

81

82 • U N I D A D 2


Como y = f (u ) y sen 2 y + cos 2 y = 1 , tenemos que: dy dx

=

dy du ⋅ du dx

=

du du 1 du 1 1 du = = cos y dx 1 − sen2 y dx 1 − u2 dx

Demostración de la regla 3: d dx

tan −1 u =

1

du

1 + u 2 dx

.

Si y = arctan u ⇒ u = tan y, luego, du dy

= sec2 y y

1 du sec sec 2 y dy

=

Como y = f (u ) y sec 2 y = 1 + tan 2 y, se tiene que: dy dx

=

dy du

⋅

du dx

=

du 1 du 1 1 du = = sec 2 y dx 1 + tan 2 y dx 1 + u2 dx

EJEMPLOS 1) Derivar y = tan −1 2 x 2

Hagamos u = 2 x 2 ; entonces, dy dx

=

du dx

= 4 x , y mediante la regla 3 se tiene que: 1

4x

4 x ) = 2 ( 2 1 + 4 x4 1 + ( 2 x )

2) Derivar y = sec−1

a x

Derivadas de funciones trignométricas inversas

a

du

a

= − ax −2 = − 2 y mediante la regla 5 se tiene Hagamos u = = ax −1 ; entonces, x dx x que: dy dx

dy dx

1

=

2

 a  −1  x   

a x

1

=

a2

− x2

 a  =  − x 2   

1 a2 x 2

−1

 1   − x   

 1   − x   

x 2 dy dx

=−

1 a2

− x2

 1  = −  x   

1 a2

− x2

x

3) Derivar y = x sen −1 ( 2 x )

Esta función se debe derivar como un producto. Hagamos f ( x ) = x ; f ' ( x ) = 1; g ( x ) = sen −1 ( 2 x ) g ' ( x ) =



2 2

; luego

1 − ( 2 x )

 ( 2 ) + sen−1 ( 2 x ) (1) 2  1 − ( 2 x ) 

dy = x  dx

dy dx

1

 2 x  −1 sen = + ( 2 x )   1 − 4 x 2 

EJERCICIOS Encuentra la derivada de y con respecto a x en cada una de las funciones siguientes.

•

83

84 • U N I D A D 2

1.

y = cos cos−1 3x

3.

y = xcsc–1 3x

5.

y = a 2


dy dx

dy dx

− x 2 + a sen −1

=−

= csc csc −1 3 x −

x a

3 1 − 9 x 2

2.

y = cot cot −1 ax 2

1

4.

y = tan–1

9 x 2 − 1

a x

dy dx

=

a− x a+ x


DERIVADAS

DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Derivada de la función exponencial

u

a

La derivada de la función exponencial y = au, donde u = f ( x) es: d dx

au

= au ln a

du dx

Demostración y = au

Al obtener el logaritmo en ambos lados de la función: ln y = ln au Al aplicar las propiedades de los logaritmos: ln y = u ln a Al derivar de manera implícita con respecto a x 1 dy y dx dy dx

= y ln a

= ln a du dx

Derivada de la función exponencial

du dx

= au ln a

du dx

u

e

y y=e

La derivada de la función exponencial y = e u, donde u = f ( x ) es: d dx

eu

= eu

du dx

x

(0, 1)

x

•

85

86 • U N I D A D 2


Demostración Si en la fórmula de la derivada de a sustituimos a por e, lo que tenemos es: u

d dx

du du

= eu ln e

eu

dx

pero como ln e = 1, resulta que: d dx

eu

du

= eu

dx

EJEMPLOS 1) Derivar

y = e 2 x +3

Hagamos u = 2 x + 3 entonces,

du dx

= 2, y dy dx dy dx

= e 2 x+ 3 ( 2 ) = 2e 2 x +3

2) Hallar la derivada de y = 3e x

Hagamos u = x 3 ; entonces,

du dx

3

= 3 x 2, y dy dx dy dx

= 3e x ( 3x 2 ) 3

= 9 x 2 e x

3

3) Derivar y = 10 5 x


Tenemos que u = 5 x ; entonces,

du dx

= 5, la derivada de y = 10 5 x es:

dy dx

= 10 5 x ln10 ( 5)

dy dx

= ( 5) 10 5 x ln10

4) Encontrar la derivada derivada de: y =

5 2e 4 x

du 5 = −4 Si rescribimos la función, tenemos que y = e −4 x ; luego, u = −4 x y dx 2 dy dx dy dx

=

5 −4 x e ( −4 ) 2

= −10e −4 x = −

10 e 4 x

5) Derivar s = e t

Al reescribir la expresión: t

s =

e2

,

u=

t

2 t

ds dt

=

e2

,

1 dt 2

du

 1   2   

1 2t = e dt 2

ds

6) Derivar y =

( 3x − 1) e 2

x

=

•

87

88 • U N I D A D 2


Solución Al derivar como un producto tenemos que: dy dx dy dx dy dx

= ( 3 x − 1) e 2 x ( 2) + e 2 x ( 3)

“La primera por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera”.

= ( 6 x − 2 ) e 2 x + 3e 2 x = e2 x ( 6 x − 2 + 3) = ( 6 x + 1 ) e2 x

EJERCICIOS Derivar las siguientes funciones exponenciales.

1.

3.

y = e

x 2 − x

y = e

dy

2 x +3

dx

dy dx

= 2e

= ( 2 x − 1) e

2 x+ 3

x 2 − x

2.

y = e

4.

y = e

x+1

2 x


5.

y = e

ln x

7.

y = e

x

9.

y = e

dy dx

+

3sen x

e

x

dy dx

=

1 2 x

dy dx

e

=

x

1 x

+

= 3 cos xe

e

ln x

e x

2

3 sen x

6.

y = e x

8.

y = e

2

ln x

1

10.

x

+

1 e x

y = e x cos x

•

89

90 • U N I D A D 2

11.


− e− x y = x e + e− x e x

dy dx

DERIVADAS

DE

FUNCIONES

=

4

(e

x

+ e− x )

LOGARÍTMICAS

Cuando estudiamos las funciones exponenciales, mencionamos que e = 2.7182 718281 8181 81 es un número irracional que aparece de manera natural en fenómenos físicos, biológicos, sociales económicos, etcétera, y que se define como: x

1  1  x e = lím  1 +  = lím (1 + x ) = 2.71828181 x →∞  x  x → 0

Derivada de log

a

u

La derivada del logaritmo de base a de u con respecto a x es: d loga u = dx

loga e du u

⋅

Propiedades de los logaritmos

dx

1. log ( ab) = log a + log b

Demostración

a

Si y = log log a u y u = f ( x ) , entonces:

(

y + ∆y = log log a u + ∆u

)

∆ y = loga (u + ∆u ) − log a u = log a

2. log = log a − log b b

3. log an = n log a

u + ∆u (recuerda las propiedades de los logaritmos). u


∆u u

Luego, si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad por 1, pero escrito como ⋅ u , tenemos:

∆u

∆ y = loga

u + ∆u u

∆u u

⋅

u y si dividimos entre ∆ x : ∆u u

u + ∆u ∆u ∆ y u ⋅ = loga   u + ∆u   ⋅ ∆u (otra propiedad de los logaritmos). = log a ∆ x ∆ x u u∆x  u  u∆x ∆u

u

 u + ∆u  1 ∆u ∆ y ⋅ ⋅ = loga  ∆ x  u   u ∆ x u   ∆  ∆u  u  1 ∆ y ∆u  ⋅ lím lím log lo g lím + 1 = a  ∆ x→0 ∆ x ∆ x→0   u    u ∆ x→0 ∆ x   dy loga e du ⋅ . = ∆u

dx

u

dx

EJEMPLOS 1) Derivar

Hagamos u = 3x ; luego,

y = log du dx

( 3x )

=3

entonces: dy dx

2) Hallar la derivada de

=

log e log e 3) = ( x 3 x

y = log

Hagamos u = 2 − 3x ; luego,

du dx

( 2 − 3x )

= −3

entonces: dy dx

=

log e − 3 log e −3) = ( 2 − 3 x 2 − 3 x

•

91

92 • U N I D A D 2


Derivada de la función logaritmo natural

y

La derivada de y = ln u es:

y=lnx

d dx

ln u =

1 du

(1, 0)

u dx

Demostración Recordemos que: loge u = ln u Luego, si recurrimos a la derivada de los logaritmos de base a: d dx

log loge u =

d dx

ln u =

log loge e du u

dx

=

1 du u dx

1 du u dx

EJEMPLOS 1) Derivar

y = ln

Hagamos u = 2 − 3x ⇒

du dx

( 2 − 3x )

= −3; luego,

dy dx

=

1 3 −3) = − ( 2 − 3x 2 − 3x

2) Derivar y = x ln x

Aquí debemos derivar como producto, entonces hagamos: f ( x ) = x;

f ( x ) = 1 

y

g ( x ) = ln x; luego, g ( x ) = 

1 x

x


Por lo tanto:

 1  = x   + ln x (1) = 1 + ln x dx  x  dy

3) Derivar f ( x) = ln

3

1 − x2

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos: f ( x) = ln

3

1 − x = ln (1 − 2

1 2 3 x

)

1 = ln (1 − x 2 ) , al aplicar log a n = n log a . 3

Esta última expresión es más sencilla de derivar:

 1 1 =  − x 2  ( ) dx 3  1 − x 2  dy 1  −2 x  =   dx 3  1 − x 2  dy 2 x =− dx 3 (1 − x 2 ) dy

EJERCICIOS Encontrar la derivada en las funciones siguientes.

1.

y = ln

( l − x2 )

dy dx

=−

2 x 1 − x

2. 2

y = ln x 4

− 4x

•

93

94 • U N I D A D 2

3.

y = ( ln x )

5.

y =

7.

y = ln


dy dx

3

ln x

dy

x 2

dx

x−1 x + 1

dy dx

=

=

3 = ln2 x

4.

y = ln x x 2

1 − 2 ln x

6.

y = ln ( sen x )

8.

y = ln

x

(

−1

x 3

1

( x − 1) ( x + 1 )

sen x − 1 sen x + 2

)

Derivadas de funciones implícitas

9.

(

y = ln x + x 2

10.

y =

x2

−1

)

dy dx

3x − 2 2

( x − 1)

DERIVADAS

DE

FUNCIONES

IMPLÍCITAS

Hasta aquí, hemos estudiado casi todas las funciones que se pueden describir al expresar de forma explícita una variable en términos de otra. Sin embargo, a veces las funciones están definidas de manera implícita, es decir, alguna de sus variables no está despejada. Vea la tabla siguiente para comprenderlo mejor. Función implícita xy = 2

Función explícita y=

Derivada

2

dy

x

dx

=−

2 x2

=

•

95

1 x 2

−1

96 • U N I D A D 2


El ejemplo nos enseña que es relativamente fácil despejar y de la función implícita para así, obtener su derivada. Pero sabemos que a veces en ciertas funciones, no se puede despejar la y o es muy difícil hacerlo; entonces hay que preguntarse si dichas funciones se pueden derivar de manera implícita . La respuesta es sí, y es necesario hacerlo término a término considerando que la ecuación determina a y como función de x .

EJEMPLOS 1) Derivar x 2 + y2 = 25. Al derivar término a término tenemos que: d

x 2 dx

+

d

y2 dx

2 x + 2 y 2 y

=

dy dy

dx

d dx

( 25)

0

x

=0

dx

dy dy

y

2

2

x + y = 2 5

= −2 x

dy dx

y

=−

2 x x =− 2 y y 0

x 2

y = 2 5 − x

Comprobación del ejemplo 1. y 2

Si en el ejemplo 1 hacemos explícita la función, entonces: y = dy dx

y =− 25 −x

0

x

25 − x 2

−1 1 2 2 = ( 25 − x ) ( −2 x ) = − 2

x 1 2 2 x

( 25 −

x

=−

25 − x 2

)

Pero si en el denominador sustituimos 25 − x 2 por y , obtenemos el mismo resultado que en el ejemplo 1. dy dx

=−

x y


ECUACIONES Y D E

LA

DE LA NORMAL

•

97

TANGENTE

EJEMPLOS 1) Con relación al ejemplo 1, encuentra la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva x 2 + y2 = 25 en el punto ( 3, 4 ) .

Solución dy

x

Como la derivada de la función es = − , tenemos que la pendiente en dx y el punto ( 3, 4 ) es m=−

x y

=−

y

3 4

(3,4) Normal 0

Por lo tanto, la ecuación de la tangente al círculo en ( 3, 4 ) es: y − 4

= − 43 ( x − 3) o 3 x + 4 y = 25

La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el punto ( 3, 4 ) ; luego, su ecuación es: y − 4 =

4 ( x − 3) o 4 x − 3 y = 0 3

Recta normal. Recta perpendicular a otra. Condiciones de perpendicularid perpendicularidad. ad. Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes m1 y m2 son recíprocas y de signo contrario. m1

=−

Tangente

1 m2

x

98 • U N I D A D 2


dy

2) Calcular

dx

y

la ecuación sen y = x

sen y=x

d dx sen y = dx dx dy dy

cos cos y dy

=

dx

dx

=1

–1

1 cos cos y

3) Derivar x 3 − xy + y 2 = 9

 dy  dy x y (1) +  + 2 y dy = 0 3 x −  dx dx    derivada del producto xy 2

      

3 x 2 − x

dy dy − y (1) + 2 y dx dx

=0

dy − x + 2 y ) = y − 3x 2 ( dx dy dx

EJERCICIOS Hallar

dy dx

de forma implícita.

=

y − 3 x 2 2 y − x

al igualar a cero. al transponer términos.

1

x


1.

3.

5.

x

2

dy

2

− y = 16

x

+

y

=9

y3 − y = x

dx

dy dx

dy dx

=

=

=−

x

2.

x 2

− y3 = 0

4.

x 2

+ y2 = 2

y

y x

1 3 y2 − 1

6.

y

= x − 2y

•

99

100 • U N I D A D 2

7.


dy

x 2 y + y2 x = −2

9.

11.

3

( x + y)

xy

3

=x +y

= x − 2y

dx

3

=−

2 xy + y2 x 2 + 2 xy

2 xy + y2 =− 2 dx x + 2 xy dy

dy dx

=

2 x − 5 y 5 x − 8 y

8.

y2

10.

=

x2

−9 x 2 + 9

x 3 y3

−y=x

12. sen x cos y = 1


13.

e xy

dy

+y=3

dx

=−

14.

ye xy

xe y

− 3x + ln y = 4

1 + xe xy

Aplicaciones EJEMPLOS 1) Se deja caer una roca sobre un estanque en reposo y, al hacerlo, produce ondas circu pies / seg seg. lares concéntricas. El radio de la onda exterior crece al ritmo constante de 1 pies Cuando su radio es de 3 pies, ¿a qué ritmo está creciendo el área A de la zona perturbada? Área de la onda: A = π r 2;

Solución En estos casos, la variable independiente es el tiempo t , de manera que hay que derivar la variable A con respecto al tiempo. Crecimiento del radio: Crecimiento del área:

dr dt dA dt

=1

=

pies pies / seg seg , cuando r = =

d

( dt

dA dt

π

r2

) = 2

π

3.

dr dr r ; luego, si r = = dt

= 2π (3 )(1) = 6π

pies pies2 seg seg

3 , entonces:

•

101

102 • U N I D A D 2


2) Suponer que la escalera de la figura se está deslizando sobre el piso a razón razón de 3 pies pies / seg. ¿A qué velocidad se desliza la parte superior de la escalera en el momento dy

en que la base está a 8 pies del muro? Es decir, ¿cuál es el valor de dx dt

= 3 y x = 8?

dt

cuando

Solución El teorema de Pitágoras nos da la relación: x 2

+ y2 = 102 , de donde y = 100 − x 2

10 y

x

Si derivamos x 2 + y2 = 102 con respecto al tiempo,

+ 2 y

dy

al despejar

dy

=−

al sustituir

dy

2 x

dx dx dt

dt

dt

dt

=− =−

=0 2 x dx x dx . =− 2 y dt y dt x

dy

100 − x 2 dx 8 pies / seg seg. ( 3) = 4 pies 2 100 − 8

EJERCICIOS Resolver los siguientes problemas.


1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente tangente y normal al círculo x 2 + y2 = 9 el

(

)

punto 2, 5 . La recta normal en en un punto es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. (2, 5 )

=3 r =3

2. La curva y2 = x 3 + 3x 2 se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentra y dibuja las ecuaciones de la tangente y la normal en el punto (1, 2 ). y

(1, 2)

x

3. Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4.5 pulgadas cúbicas cúbicas por minuto. Hallar la razón de cambio del radio cuando éste es de 2 pulgadas.

•

103

104 • U N I D A D 2


4. Sobre un montón cónico cae cae arena a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del cono es de alrededor el doble de su altura. ¿A qué ritmo está cambiando la altura del montón cuando su altura es de 15 pies?

h = altura

r= radio

5. Un aeroplano que viaja viaja a 390 pies por segundo segundo a una altitud de 5 000 pies vuela directamente sobre un observador como se muestra en la figura. a) Encuentra una ecuación que relacione a x y r . b) Halla el valor de x cuando r es 13 000. c) ¿A qué velocidad está cambiando la distancia distancia entre el aeroplano y el observador cuando el aeroplano está a 13 000 pies del observador? Es decir, ¿cuánto vale

dr dt

cuando

dx dt

= 390 y r = = 13000?

x

5000 r

Observador

U N I D A D

3 MÁXIMOS Y

MÍNIMOS RELATIVOS

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo

106

Funciones crecientes y decrecientes

116

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada

118

Derivadas de orden superior

123

Aceleración

125

Concavidad y punto de inflexión

128

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada

129

Trazado de curvas

131

Más aplicaciones de la derivada

134

105

106 • U N I D A D 3

Máximos y mínimos relativos

A P L I C A C I O N E S

DE LA DERIVADA: V A L O R M Á X I M O Y V A L O R M Í N I M O Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial dife rencial se presentan cuando queremos encontrar la mejor manera de hacer algo. Esta situación se puede resumir como la determinación del valor máximo o mínimo de una función. Para comprender mejor el tema de máximos y mínimos consideremos la siguiente situación: Tenemos un rectángulo que tiene 100 cm de perímetro (figura mostrada) y queremos expresar su área A como función de x . También deseamos calcular la base y la altura que nos da la figura de mayor área. Veamos Veamos lo que tenemos que hacer: Si el perímetro es 100 cm, entonces: 2 x + 2 y = 100 x + y = 50 y = 50 − x

A=xy

al despejar y

y

El área del rectángulo es: x A = xy

(

A = x 50 − x

)

A = 50 x − x 2

al sustituir el valor de y al simpli simplificar. ficar.

Con la ecuación del área A = 50 x − x 2 completa la siguiente tabla y grafica los valores obtenidos para el área.

x

A 800

Que la función área es una parábola, que

700

= m es

600

igual a cero en donde A es máxima. Por lo tanto:

500

dA dx

dy

dx

10

20 30 30

40

50

A

¿Qué nos enseña la gráfica?

existe un valor máximo para A y que

0

400 300

= 50 − 2 x

50 − 2 x = 0 x = 25 cm y = 50 − x y = 25 cm

200 100 10 20 30 40 50 60

x

Aplilica Ap caci cion ones es de la de deri riva vada da:: va valo lorr má máxi ximo mo y va valo lorr mí míni nimo mo Conclusión. La base y la altura del rectángulo deben medir 25 cm para obtener el rectángulo de mayor área. Asimismo, se concluye que una parábola con concavidad hacia haci a arriba tiene un valor mínimo y que su derivada en ese punto también es cero.

EJEMPLOS 1) Determina si la parábola

y = x 2

− 2 x − 2 tiene un

y

valor máximo o mínimo. Primero hay que obtener la derivada de y = x 2 dy dx

− 2 x − 2. x

= 2 x − 2 m=0 m= 0

A partir de la gráfica es evidente que hay un punto mínimo; por lo tanto, 2 x − 2 = 0 x =

2 2

=1

⇒

2

()

y = 1

− 2 (1 ) − 2 = −3

(

)

Esto significa que la función tiene un valor mínimo en el punto P 1, −3 y no tiene máximo.

2) Se desea elaborar una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 4 pulgadas de lado, cortando cuadraditos iguales de cada esquina y doblando por las líneas de puntos de la figura. Hallar el volumen máximo que puede lograrse con una caja así. x

El volumen de la caja es el área de la base por la altura: V

2

= (4 − 2x)

4-2 x x = 16 x − 16 x

2

+ 4x

3

Luego, al derivar obtenemos: dV dx

16 − 32 x + 12 x 2 4 − 8 x + 3 x 2

x x

4-2x

x

= 16 − 32 x + 12 x 2 x

= 0 si el volumen es máximo o mínimo. = 0 al sacar cuarta a la ecuación.

4-2 x 4-2 x

•

107

108 • U N I D A D 3


x =

8 ± 64 − 4 8 6

De donde x1

=

=

8±4 al utilizar la fórmula general. 6

8+4 6

=2 5

y x2

Pmáx (0.66, 4.74)

4

=

8−4 6

2 3

3

= .

2 1

La solución factible es x2 = 2 3 , porque x1 = 2 partiría la pieza cuadrada en cuatro partes iguales.

1

2

3

Gráfica de la función volumen

superficie de la Tierra, se se lanza un proyectil hacia arriba con una veloci3) Desde la superficie dad inicial de 160 pies / seg ( s = 160t − 16t 2 ) . Las gráficas de posición, velocidad y aceleración se muestran abajo. Hallar:

a) La velocidad del proyectil en un tiempo t , b) el tiempo para alcanzar la altura máxima, c) la altura máxima que alcanza el proyectil.

Solución calculemos la derivada de la función, función, que reprea) Primero calculemos senta la velocidad del proyectil en cualquier tiempo.

=

v

ds = 160 − 32t . dt

b) Sabemos que cuando alcance su altura máxima v = 0 , por tanto, 160 − 32t = 0 en el punto más alto, luego, al despejar t : t = =

− 160 = 5 seg es el tiempo para llegar al punto −32

más alto.

Aplilica Ap caci cion ones es de la de deri riva vada da:: va valo lorr má máxi ximo mo y va valo lorr mí míni nimo mo

•

109

2

c) La máxima altura es pues, smáx = 160 (5 ) − 16 ( 5 ) = 400 pies. a

v

s

400

200

300

100

200

5

t

–32

100

t

EJERCICIOS Resuelve los siguientes problemas.

1. Encuentra dos números positivos de manera tal que la suma del doble de uno más el otro, sea mínima, si el producto de dichos números es 288.

R. 1 2 y 2 4

2. Halla dos números, cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea mínimo.

t

110 • U N I D A D 3


3. Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares (figura mostrada). ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máxima? R. 50 * 33.3 pies

y

x

x

4. Diseña un envase cilíndrico con capacidad de 300 cm3 de forma que la cantidad de material usado en su construcción sea mínima. (Calcula las dimensiones).

r

A= π r 2 r

A=2 π rh

h

2 π r Material necesario

h


•

111

5. Se supone que la tos humana incrementa el flujo del aire hacia los pulmones y, al hacerlo, desplaza partículas que bloquean la tráquea. La velocidad del aire a través de una tráquea con un radio r 0 es de alrededor de V ( r ) = cr 2 ( r0 − r ) , para una constante c. Calcula el radio que maximice la velocidad del aire de la traquea.

r=

6. Se lanza un proyectil hacia arriba a una velocidad inicial de 49 m / s

2 r . 3

( s = 30 + 49t − 4.9t ) desde 2

un edificio de 30 m. Encuentra:

a) b) c) d)

La altura máxima que alcanza el proyectil. El tiempo para alcanzar alcanzar esa altura. La velocidad en un tiempo t . Las gráficas de posición, posición, velocidad y aceleración. aceleración.

30 m

s

a

v

t

t

t

112 • U N I D A D 3


Aplicaciones a la economía Antes de abordar los ejemplos de la aplicación de la derivada en la economía definamos los siguientes conceptos. Función de costo C ( x ) . Es el costo de producir x unidades de cierto producto.

( )

Costo marginal. Es la razón de cambio de C x con respecto a x , es decir, la deri-

vada C ( x ) de la función costo. 

Costo promedio. Es el costo por unidad cuando se producen x unidades:

(

c x

)=

( )

C x x

Función de ingreso total. Es la venta de x unidades al precio por unidad o función de demanda p x , entonces el ingreso total es:

( )

( ) = xp ( x )

R x

Función de ingreso marginal. Es la derivada R ( x ) de la función de ingreso. 

Utilidad total P ( x ). Si se venden x unidades de un producto, la utilidad total se obtiene mediante la expresión:

( ) = R ( x) − C ( x)

P x

Función de utilidad marginal. Es la derivada P ( x ) de la función de utilidad total. 

EJEMPLOS compañía estima que el costo en dólares de producir producir x artículos es: 1) Una compañía

( ) = 2600 + 2 x + 0.001x

C x

2

a) Encuentra el costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000 artículos. producción el costo promedio promedio será el más bajo y cuál será el b) ¿A qué nivel de producción costo promedio mínimo?


Solución costo de producir producir 1000 artículos es: a) El costo

(

C 1000

2

001( 1000) ) = 2600 + 2 (1000) + 0. 00

(

La función de costo promedio es c x 1000 artículos se puede calcular así:

(

c 1000

)=

(

C 1000

1000

)=

= 5600 dólares.

( ) = 2600 + 2 + 0.001 x , pero para

C x x

x

) = 5600 = 5.6 dólares por artículo. 1000

( ) = 2600 + 2 x + 0.001x , es 2

La función de costo marginal es la derivada de C x decir: C ( x ) = 2 + 0. 00 002 x 

Por lo tanto, C (1000 ) = 2 + 0.002 ( 1000) = 4 dólares por artículo. 

será necesario derivar el costo promedio: promedio: b) Para minimizar el costo promedio, será

( )=

c x

2600 x

001 x + 2 + 0. 00

Enseguida igualar a cero y resolver para x : c ( x) = − 

−

2600 x 2

2600 x 2

+ 0.001

+ 0.001 = 0 x =

al igualar a cero 2600 0.001

≈ 1612

al despejar x

Por lo tanto, el costo promedio mínimo es:

(

c 1612

2600

001 (1612 ) = 5. 22 22 dólares por artículo. ) = 1612 + 2 + 0. 00

•

113

114 • U N I D A D 3


compañía 2) Encuentra el nivel de producción que maximizará la utilidad para una compañía mediante funciones de costo y demanda.

( ) = 3.5 − 0.01x

C ( x ) = 84 + 1.26 x − 0.01x 2 + 0.00007x 3

p x

Solución P( x)

La función de ingreso es:

( ) = xp ( x ) = x ( 3.5 − 0.01x ) = 3.5x − 0.01x

R x

2

70

De modo que la función de utilidad es:

( ) = R ( x ) − C ( x ) = 2.24 x − 0.00007x

P x

103 3

− 84

x

3

P( x)= 2.24 x − 0.00007 x − 84

Luego, la utilidad marginal es la derivada de la función de utilidad: P ( x ) = 2.24 − 0.00021x 2 

2.24 − 0.00021 x 2

=0

⇒

x ≈ 10 3

al igualar a cero y resolver para x.

Lo que significa que un nivel de producción de 103 unidades maximiza la utilidad.

EJERCICIOS 002 x. 1. El costo promedio de producir x unidades de un artículo es c ( x ) = 21.4 − 0.00

Encuentra el costo marginal para un nivel de producción de 1000 unidades. ¿Qué implica tu respuesta?

17.4 $ / unidad


2. Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

( ) = 1600 + 8 x + 0.01x

C x

2

Encuentra: a) El costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000 unidades. producción que que minimizará el costo costo promedio. b) El nivel de producción c) El costo promedio mínimo.

3. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producción que maximizará la utilidad.

( ) = 680 + 4 x − 0.01x

C x

2

( ) = 1 2 − x / 500

p x

333 unidades

4. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producción que maximizará la utilidad.

( ) = 1000 + 28 x − 0.01x

C x

2

+ 0.002x 3

02 x ( ) = 90 − 0. 02

p x

•

115

116 • U N I D A D 3


Más de máximos y mínimos Hemos estudiado sólo la aplicación de la derivada para funciones que, por su naturaleza, tienen máximos y mínimos relativos, y en donde la derivada siempre es horizontal y, y, por lo tanto, igual a cero. Sin embargo, ahora hay que preguntarnos si existen métodos más exhaustivos que garanticen cómo encontrar los máximos o mínimos de una función, porque ocurre que hay funciones con valores extremos en donde la derivada no es cero o bien que la derivada en un punto de una gráfica es igual a cero y no un valor máximo o mínimo. y

y

x

Si f(x)=x3, entonces f´ (0)=0, (0)=0, pero f no tiene máximo ni mínimo

y

x

Si f(x)=|x|, entonces f (0)=0 (0)=0 es un valor mínimo, pero en ese punto la derivada no existe

x

Esta función tiene un valor máximo, pero la derivada no existe en ese punto

posee un máximo local (o máximo relativo) en un valor Definición. Una función f posee crítico c, si f c ≥ f x cuando x está cerca de c. De la misma manera, f tiene tiene un

()

( ) mínimo local en c, si f ( c ) ≤ f ( x ), cuando x está cerca de c.

¿Cómo encontrar un primer método para analizar los máximos y mínimos relativos en la gráfica de una función y = f ( x)?

FUNCIONES

C R E C I E N T E S Y D E C R E C I E N T E S

Comencemos por analizar si las funciones son crecientes o decrecientes y observemos cómo es la pendiente o derivada en cada punto de las gráficas.

Funciones crecientes y decrecientes

m siempre es

m siempre es

positiva

negativa

Función creciente. Es cuando x crece y también lo hace y. Su pendiente o derivada siempre es positiva.

Función decreciente. Es cuando x crece y decrece y. Su pendiente o derivada siempre es negativa.

Ahora bien, si complementamos los conceptos de funciones creciente y decreciente de las gráficas anteriores al analizar la concavidad de una curva, veremos pues que una cur va cóncava hacia abajo, sin lugar a dudas tiene un valor máximo y su derivada cambia de positiva a negativa , es decir, decrece y que en una cur va cóncava hacia arriba tiene un mínimo y la derivada cambia de negativa a positiva , es decir, crece. Esta idea nos da la pauta para encontrar un criterio que garantice cómo encontrar los valores extremos de una función. Función cóncava hacia abajo

Función cóncava hacia arriba

m =0

m positiva

m negativa

Valor máximo

m positiva

m negativa m =0 Valor mínimo

Una función tiene un máximo relativo cuando su pendiente es cero y su derivada pasa de ser positiva a ser negativa haciendo el recorrido de izquierda a derecha.

Una función tiene un mínimo relativo cuando su pendiente es cero y su derivada pasa de ser negativa a ser positiva haciendo el recorrido de izquierda a derecha.

Con todo lo antes dicho y el análisis de las ilustraciones anteriores ya estamos en condiciones de formular el primer método para calcular los máximos y mínimos relativos de una función y = f ( x).

•

117

118 • U N I D A D 3


C Á L C U L O CON

EL

D E M Á X I M O S Y M Í N I M O S CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Criterio de la primera derivada para calcular los máximos y mínimos relativos de una función. función. derivada de y = f ( x). 1. Calcular la derivada de y = f ( x) y resolver la ecuación, estas soluciones se 2. Igualar a cero la derivada de llaman valores críticos. signo de de 3. Analizar el signo

dy dx

un valor antes y uno después de cada valor crítico sin

omitir alguno de ellos: a) Si la derivada de y = f ( x) cambia de (+) a (−) se trata de un máximo. b) Si la derivada de y = f ( x) cambia de (−) a (+) se trata de un mínimo. ni máximo ni mínimo. c) Si no hay cambio de signo no es ni

4. Graficar.

EJEMPLOS máximos y mínimos mínimos de la función función y = x 3 − 6 x 2 + 9 x . Graficar 1) Calcular los máximos Primero calculamos la derivada de la función dy dx

= 3 x − 12 x + 9

4

Máx (1, 4)

3

2

2 1

igualamos a cero la derivada de la función 3 x 2

− 12 x + 9 = 0

1

2

3

4 Mín (3, 0)

al factorizar y resolver la ecuación, tenemos que

(

)(

3 x − 3 x − 1

) = 0,

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada entonces los valores críticos son: x1

= 1 ⇒ y1 = 4

x2

= 3 ⇒ y2 = 0

Análisis del valor crítico x1

=1

Si x < 1, por ejemplo 0.9

⇒

dy dx

= 3( − ) ( − ) = +

x > 1, por ejemplo 1.1

⇒

dy dx

= 3( − )( + ) = −

( )

Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto 1, 4 hay un máximo relativo.

Análisis del valor crítico x2

= 3.

Si x < 3, por ejemplo 2.9

⇒

dy dx

= 3( − ) ( + ) = −

Si x > 3, por ejemplo 3.1

⇒

dy dx

= 3( + )(+ ) = +.

( )

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto 3, 0 hay un mínimo relativo.

2) Calcular los máximos y mínimos de la función y = sen x en el intervalo  0, 2π  . Graficar

Primero calculamos la derivada de la función dy dx

cos x = cos

igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos para x cos cos x = 0, entonces x1

=

π

2

= 90º y

x2

=

3 π = 270º, etcétera. 2

•

119

120 • U N I D A D 3


Análisis del valor crítico x1 π

Si x < Si x >

2 π

2

, entonces

, entonces

=

dy dx

π

2

= 90 º

=+

dy dx

= −.  π 

Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto  , 1  2  hay un máximo relativo. Análisis del valor crítico x2

=

3π 2

= 270 º

Si x <

dy 3π , entonces =− dx 2

Si x >

dy 3π , entonces = +. dx 2

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto

 3π  hay un mínimo relativo. Por ultimo, verificamos mediante una gráfica.  2 , −1   y 1

π

2

–1

π

3π 2

2π x

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada

EJERCICIOS 1. Calcular los máximos y mínimos de la función y = 2 x 2 − x 4.

1

–2

–1

1

2

–1

2. Comprobar que la función y = x 4 − 4 x tiene un sólo valor extremo, y que es un mínimo en (1, −3).

y

x

4

y = x − 4 x

•

121

122 • U N I D A D 3


3. Hallar los máximos y mínimos de y = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2. Enseguida te mostramos la gráfica como referente. y

x

4

3

y = 3 x − 4 x −12x

2

( −1, −5) Máx. ( 0, 0 ) Mín. ( 2, −32 ) Mín.

2

4. Determinar los máximos y mínimos de y = x 2 + . x

y

x y = x

2

+

2 x

Derivadas de orden superior

DERIVADAS

DE

ORDEN

SUPERIOR

Hemos visto que, la derivada de una función de x, es también otra función de x. Si ocurre que esta nueva función es derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llamará segunda derivada. De forma semejante, la derivada de la segunda derivada se denomina tercera derivada, y así, de forma sucesiva hasta la enésima derivada. Ejemplo: Si y = 5 x 3

⇒

dy dx

= 15 x 2 y

 dy  tcétera   = 30 x, etcétera dx  dx  d

Símbolos para indicar las derivadas sucesivas: y



y



y

= f ( x) = 

= f ( x) =



IV

y



dy , significa la primera derivada de y con respecto a x dx d2 y

= f ( x) = 

dx 2

d3 y dx 3

= f ( x) = IV

, significa la segunda derivada de y con respecto a x

, significa la tercera derivada de y con respecto a x

d4 y dx 4

, significa la cuarta derivada de y con respecto a x etcétera.

EJEMPLO 1) Derivar y = 2 x 2 − 5x + 2 hasta la segunda derivada dy dx dy dx

= 4 x − 5

Primera derivada

=4

Segunda derivada

•

123

124 • U N I D A D 3


EJERCICIOS 1. Hallar la tercera derivada de: y = x 4

(

+ 5x − 4

y = x − 2

3. Hallar la segunda derivada de:

(

)(

y = x − 3 x + 3

2. Hallar la segunda derivada de:

)

2

)

4. Hallar la segunda derivada de: y =

3− x

Acel Ac eler erac ació iónn

gráfica s de f , f y f . Identifica cada curva y explica 5. En la figura se muestran las gráficas 



tus elecciones.

y

y

y

x

x

x

A C E L E R A C I Ó N Sabemos que la aceleración media de un móvil es la relación del cambio de velocidad entre el tiempo transcurrido. En símbolos esto se expresa así: amed =

∆v ; por lo tanto, ∆t

la aceleración instantánea será el límite de dicha relación cuando el tiempo tienda a cero. a = lím ∆ t → 0

∆v dv = ∆t dt

ds d  ds  d 2 s Pero como v = ⇒ a =   = 2 , es decir, la segunda derivada del despladt dt  dt  dt zamiento con respecto a t es la aceleración del móvil.

La derivada de la aceleración es la tercera derivada de la posición de un móvil y se conoce como tirón y y,, de hecho, debe su nombre a que un gran tirón o jalón implica un cambio súbito en la aceleración.

•

125

126 • U N I D A D 3


EJEMPLO hacia arriba 1) Desde lo alto de un edificio de 160 pies de altura, se arroja una pelota hacia con una velocidad inicial de 64 pies / seg .

a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima? c) ¿Cuándo llega al piso? d) ¿Con qué velocidad llega al piso?

160 pies

e) ¿Cuál es la aceleración al momento t = 2?

Solución ¿Qué sabemos? Que s0 = 160 pies, quier tiempo es:

v0

seg, = 64 pies / se

s = s0

+ vt +

gt 2

2

a = −32 pies / seg eg2 y que la posición en cual-

= 160 + 64t − 16t 2

Por lo tanto,

=

v

ds = 64 − 32t dt

¿Qué queremos saber? pelota alcanza alcanza su altura máxima cuando v = 0, luego, 0, luego, a) Que la pelota

−32t + 64 = 0 , de donde t = = 2 seg . 2

= 2 seg , s = −16 (2 ) + 64 (2 ) + 160 = 224 pies. pies . b) Cuando t = c)

s = 0, cuando la pelota golpea el suelo, es decir;

−16t 2 + 64t + 160 = 0

Acel Ac eler erac ació iónn

= Al dividir entre 16, t =

4 ± 16 + 40 2

= ± 5.74

= 5.74 segundos tiene sentido, no hay tiempo negativo. Sólo t = = 5.74 segundos, v = −32 ( 5.74 ) + 64 = −119.73 m / seg. d) Cuando t = e) La aceleración siempre es −32 pies / s2 .

EJERCICIO 1. Un punto se mueve a lo largo de un eje horizontal de tal forma que su posición en el momento t está está dada por: s = t 3

a) b) c) d)

− 12t 2 + 36t − 30 pies / seg

¿Cuándo es igual a cero cero su velocidad? ¿Cuándo es positiva la velocidad? velocidad? ¿Cuándo el punto punto se mueve a la izquierda? izquierda? ¿Cuándo es negativa la aceleración? aceleración?

Sugerencia: Grafica en una computadora las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración.

•

127

128 • U N I D A D 3


CONCAVIDAD

Y P U N T O

DE

INFLEXIÓN

Concavidad de una curva. Cuando recorremos una curva de izquierda a derecha y la tangente de ésta en cada punto gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que la curva es cóncava hacia arriba; si gira en sentido opuesto, la gráfica es cóncava hacia abajo . Luego, es evidente que la derivada de una función con concavidad hacia arriba es creciente, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Por otro lado, si la concavidad es hacia abajo, la primera derivada es decreciente y su segunda derivada es negativa. Por inflexión. último, un cambio de concavidad se encuentra en un punto llamado punto de inflexión Los diagramas siguientes nos ayudarán a comprender mejor todo esto. Función cóncava hacia arriba

f´ ( x)

f ( x)

Gráfica de la primera derivada

f"( x)> 0 valor mínimo f ( x) es creciente, luego f ( x) positiva y la función tiene un mínimo 

x

f ( x) es creciente, luego f ( x) es positiva 





Función cóncava hacia abajo

f´ ( x)

f ( x)

Gráfica de la primera derivada

valor máximo

decreciente, luego f ( x) es decreciente, f ( x) negativa y la función tiene un mínimo 



x

f"( x)< 0

x

f ( x) es decreciente, decreciente, luego x f ( x) es positiva 



Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada Punto de inflexión. El significado de este punto es que la razón de cambio de la función alcanza su valor máximo precisamente en ese punto. y

Punto de inflexión

Concavidad hacia arriba

C Á L C U L O EL

DE CRITERIO

x

Concavidad hacia abajo

M Á X I M O S Y M Í N I M O S C O N DE LA SEGUNDA DERIVADA

Si analizamos y sintetizamos estas ilustraciones podemos concluir un segundo método para calcular los máximos y mínimos de una función y = f x .

( )

1. Calcular la primera derivada. 2. Encontrar los valores críticos. 3. Hallar la segunda derivada. 4. Evaluar la segunda derivada en cada uno de los valores críticos para conocer el signo de ésta:

a)

Si f



( x ) es negativa, la función tiene un máximo.

b)

Si f



( x ) es positiva, la función tiene un mínimo.

c)

Si f



( x ) es cero o no existe, por lo general, es un punto de inflexión.

5. Graficar

•

129

130 • U N I D A D 3


EJEMPLOS 1) Hallar los valores máximos y mínimos de f ( x) =

1 3 x − x 2 − 3x + 4. 3

Solución

( )

Al derivar f x tenemos: f ( x ) = x 2 

y

− 2x − 3

Luego, x

x 2

− 2 x − 3 = 0 en un máximo o mínimo.

Al resolver la ecuación los valores críticos son: x1

= −1 y

x2

=3

Calculamos la segunda derivada: f

Evaluamos f



( x ) en x1 = −1



( x) = 2x − 2

y x2

=3

f ( −1) = 2 ( −1) − 2 = −4 , es negativa, por lo tanto, hay un máximo x = −1 . 

f ( 3) = 2 ( 3) − 2 = 4 , es positiva, por lo tanto, hay un mínimo 

≈ 5.67 en

= −5 en x = 3 .

2) Analiza la curva y = x 4 − 4 x 3 y verifica la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales.

Trazado de curvas

Solución Obtenemos la primera derivada y los valores críticos

y 4

y = x − 4 x

dy dx

(

4 x 2 x − 3

= 4 x 3 − 12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3)

) = 0 , de donde x

1

x Puntos de inflexión

=0

(2,−16)

y x2

3

=3.

(3,−27)

La segunda derivada es d2 y 2

dx

= 12 x 2 − 24 x = 12 x ( x − 2 ) .

Si evaluamos la segunda derivada en x2 = 3; y = 12 ( 3) ( 3 − 2 ) = 36 > 0 significa que en el punto 3, −27 es un mínimo local. Observa también que la segunda derivada en x = 0 y x = 2 es igual a cero, por lo tanto, allí hay dos puntos de inflexión porque las concavidades de la gráfica se comportan de la siguiente manera:

(



)

Intervalo

f

( x ) = 12 x ( x − 2 ) positiva negativa positiva

x < 3 0 < x < 2 x > 2

TRAZADO

 

DE

Concavidad

hacia arriba hacia abajo hacia arriba

CURVAS

Con el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se puede graficar la curva.

•

131

132 • U N I D A D 3


EJERCICIOS 1. Halla los máximos y mínimos f ( x) = x 3 − 3x + 4 . Grafica.

2. Analiza la curva f ( x) = x 4 + x 3 y verifica la concavidad, puntos de inflexión, y máximos y mínimos locales.

Trazado de curvas

3. Analiza la curva f ( x) = 5 x 2 − 3x − x 3 + 4 y verifica la concavidad, puntos de inflexión, y máximos y mínimos locales.

y

x

4. Analiza la curva f ( x) = 5 x 2 − 3x − x 3 + 4 y verifica la concavidad, puntos de inflexión, y máximos y mínimos locales.

y

x

•

133

134 • U N I D A D 3

M Á S


A P L I C A C I O N E S

DE

LA

DERIVADA

1. El área del papel de un tríptico debe tener 600 cm2, con márgenes inferior y laterales de 2 cm y superior de 4 cm. Determina las dimensiones del papel que permitan el área impresa mayor. mayor.

4

2

a e s r p m i e a r Á

2

2

2. Hay que construir una caja abierta rectangular con base cuadrada que contenga 6400 cm3 a un costo de $1.00 por cm2 para la base y $0.50 por cm2 para el área lateral. ¿Cuáles son las dimensiones que producen el costo mínimo para construir la caja?

6400 cm3

y

x x

Más aplicaciones de la derivada

3. Se desea construir un envase cilíndrico vertical con tapa, el costo de las paredes del cilindro $1.25 el cm2 y el de la tapa $2.00 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones que producen el costo mínimo para construir el envase?

radio

h

•

135

Calculo Diferencial -Rene Jimenez

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