Calculo Diferencial unad Trabajo Colaborativo 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Cálculo diferencial Código: 100410

Trabajo colaborativo 1

Presentado a: Nelly Johana Mesa Solano Tutor

Presentado por: Ciro Alberto Clavijo González Código: 1071162578 David Ricardo Romero León Código: Edwin Enrique Peñuela Código: 1069302137 Juliana Acosta Garzón Código: 1032459097

Grupo: 100410_3

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Facultad de ingeniería 23 de abril de 2017


Introducción El presente trabajo colaborativo se abordara el tema de progresiones y sucesiones, donde se deberá realizar una investigación para comprender los términos básicos que las componen, de esta manera se presentan el desarrollo de unos ejercicios con el fin de reforzar los conocimientos adquiridos en el tema, y en base a la solución de problemas identificar qué tipo de progresiones son, si bien son aritméticas o geométricas, crecientes o decrecientes y determinar el termino general para las mismas. Lo anterior evidencia la necesidad que representan las sucesiones y progresiones en la vida profesional ya que son de gran ayuda para determinar ciertos fenómenos que ocurren en este ámbito y proporciona métodos para una fácil resolución.


Desarrollo estudiante 1 Juliana Acosta Garzón Anexo 1 Determinar la cota superior e inferior

22  {1, 12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,…} 21  1 21 22 1   2 22 23 1   3 23 24 1   4 24 25 1   25 5 26 1  26 6

Cota superior: 1


Cota inferior: 0 Se observa la gráfica y por medio de los valores que se le da a n se puede decir que a medida que n crece la sucesión tiende llegar a o. -4, 9, -16, 25, - 36, 49,… Es una sucesión alterna puesto que sus valores son de diferente signo, dado a esto su solución es la de pasar a potencias apartes las de signo negativo de las de signo positivo, así:

 =4, 9 ,  16, 2 5,  36, 4 9, …       2 ,3 ,4 ,5,6 ,7 ,…  ,7  21  3,5211  1 221 9  231 25  241 49     2 21 ,4 ,6  2 4  22 16  23 36

No es una sucesión monótona ya que sus términos están alternados por diferentes signos igualmente no converge ni diverge, puesto que es una sucesión alterna oscilante.

Problema 3: Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de 10kg. Responda las siguientes preguntas. ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? Primero se pasa los 10kg en gramos para poder saber cuántas monedas en total logrará recoger.

110 10000 1000 10000 5000  2 21   48    16    ú í á:  5000 

Ahora se hace la división de los gramos en el peso de cada moneda

¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo?


El último día recogerá

  221

  .−

(n es el número de días en que tarda en recoger todas las monedas) Reemplazamos en la fórmula de término general

− 50001. 2 50002− − log5000log2 log50001l o g2 1 lolg5000 o g2  lolg5000 o3.69897 g2 1  0.30103 1 13.28 í         ℎ

Tomando logaritmos en ambos lados

¿La progresión es aritmética o geométrica? Es una progresión geométrica porque cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón, que en este ejercicio es 2. ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar Es creciente ya que la razón es mayor que la unidad. Problema 4. En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000. Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas?

 3  9∗327 3∗39   .−

Se dice que por cada hora se obtienen las siguientes bacterias

Por medio de la ecuación de n términos

Hallamos la razón


Reemplazamos

  393 3.33.3−   81    4 ℎ.

¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? Por medio de la ecuación de n términos hallamos cuántas bacterias obtiene el científico en 8 horas. Razón

3

  .−   3.33.3−−   3.3

Por medio de la fórmula n términos, hallamos el total de las bacterias producidas en 8 horas.

   3.3 1  23   21 6561    1  6561    8 ℎ

Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? Por medio de logaritmos hallamos el tiempo requerido para producir un valor superior a 100.000 bacterias

− 100003. 3  10000 3 log10000log3 log10000n∗log3  log100000 lo5g3  0.477 10.46 ℎ        100000 .

Problema 5. Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 195 Kg y su peso ideal debería ser de 85Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 1Kg mensualmente. ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal?


195  85 

Lo que tiene que bajar en el tratamiento es de 1 kg, como es diferencia lo dejamos en negativo: -1. (n número de días que tarda en bajar de peso) Utilizamos la ecuación de progresiones aritméticas

  1∗ 851951∗1 851951 851951 1101 1101 111 111 í     ℎ         

Reemplazamos

Multiplicamos a los dos lados por menos para poder dejar los términos positivos

¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar Es una progresión aritmética ya que la diferencia de los términos sucesivos son una constante diferencia.

19558.5136.5 0.30∗19558.   30%5       1∗ 136.51951∗1 136.58.5 195∗1 5 1 59.5 59.5 í       30%    

¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual?

Utilizamos la ecuación de término general Reemplazamos

Multiplicamos a los dos lados por menos para poder dejar los términos positivos ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar Es una progresión aritmética decreciente porque la razón es menor que 1. Anexo 2

1.   5∗3−

 5∗3−  5∗3  


 5∗3−  5∗3  −  5∗3   5∗3  −  5∗3   5∗3  −  5∗3   5∗3  −  5∗3   5∗3    5,15,45,135,405,1215,…

Razón común


Reemplazando

La razón común es 3

+  155 3

Es una progresión geométrica creciente ya que el siguiente número es mayor que el anterior.

2.  10  5

  10  51   10  5      10  52   10  10      10  53   10  15      10  54   10  20      10  55   10  25      10  56   10  30    15,20,25,30,35,40,…


Diferencia común

 +  20155

Reemplazando con los términos

La diferencia común es 5 Es una progresión aritmética creciente por el termino siguiente es mayor que el anterior. Anexo 3 En Ingeniería ambiental el uso progresiones y sucesiones es importante ya que permite calcular en número de microorganismos que se reproducen en un tiempo determinado en las aguas residuales, agua potable o en el aire; también permite realizar diagnósticos mediante de las emisiones de una chimenea, las partículas de PM 10, PM 2.5 que se emiten al aire, adicionalmente a lo anterior también son de gran utilidad para determinar las cantidades de contaminantes que se vierten en un afluente o a los suelos en un determinado tiempo.


Desarrollo estudiante 2 David Ricardo Romero León Anexo 1

5 5 5, 5, 5, 5, 5,…

De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior.

Reemplazamos en los naturales.

Por tener términos constantes el todo el dominio, la sucesión no presenta cotas ni inferior ni superior. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta

8,3,2,7,12,. . [ 135]

Se puede reemplazar la sucesión con el siguiente modelo. Se puede denotar que la función es decreciente en su dominio, en este caso presenta monotonía. Ahora analizamos según el criterio de convergencia

lim [135]∞ → Por tal motivo la sucesión diverge ya que no tiende hacia un valor en particular y no es acotada. Problema 1: Sergio ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando 200mg de multivitamínico el primer día e ir tomando 20 mg más cada día durante los 90 días que el doctor le ha programado la dieta. 1 mg de multivitamínico cuesta 10 Pesos. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta? b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar

Desarrollo a)

 200  20020  200


Donde la diferencia común es 20

 200901∗20  1980  902001980  98100 2 98100∗10981000 

b) para el costo total se multiplica el valor consumido total por 10 pesos

¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar La progresion es aritmetica, ya que el valor de la funcion crece de acuerdo a la sumatoria de la diferencia comun. ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar La progresión es creciente

 200

A mayor tiempo mayor costo. En una progresión geométrica el primer término es 7. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11? Desarrollo

Despejando se tiene que:

 7   5011   1  5011  17 50177 505077  2750

Problema 7: Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8 Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término. Primer termino La razón común es:

u 12


q8 u q8−  ∗12U  49152  128 1 56172   8156172   8 ∗1216106127

El termino enésimo lo calculamos con la siguiente formula.

Ahora la sumatoria de los términos

El décimo termino seria

Anexo 2 Progresión aritmética decreciente, diferencia común menos tres

Progresión geométrica creciente, razón común 2,3


Anexo 3 En la rama de la ingeniería ambiental, es de vital importancia las progresiones aritméticas o geométricas, ya que con esto se puede prever comportamientos sobre el crecimiento de tipo bacteriano en una represa o en un proceso donde incluya interacción con microorganismos, esto nos puede dar una noción de cómo se puede regular la cantidad de microorganismo para que sus emisiones de gases metano y sulfuros de hidrogeno no vayan a generar problemas ambientales severos en la población o lugar donde se esté haciendo el estudio ambiental.


Desarrollo estudiante 3 Ciro Alberto Clavijo González Anexo 1 1.

− +

3n5 1 7 5 13 {1, ,1, , , n1 3 5 3 7 ,...} 315 2  11 2 1 325 1  21 3 335 4  31 4 1 345 7  41 5 355 10 5  51 6 3 365 13  61 7


Cota superior: 3 Cota inferior: -1 2. 5, 10, 17, 26, 37, 50,

5

10 5

17 7

2

26 9

2

37 11

2

Método de la regla practica

50 13

2

 ( 2)   2   2 3 12  (22)  3 222


  312    2n2

La sucesión si es monótona por que la suma de los números los términos va aumentando su valor. La sucesión converge por que la suma de los números dentro de la sucesión se aproxima al infinito. Problema 4. En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? Reproducción de bacterias cada hora:

  33  3  ∗−  ó    93  3  , −  ∗   3∗3 3∗3−   381 1    ∗ 33 1   81∗ 31 3811   3∗802   2   3.40 120   ñ      3∗3 3  6561

a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas?

b)

¿Logra

el

científico

cultivar

la

cantidad

de

bacterias

que

requiere?


, 6561  100.000>6561 c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?

− 100000 3∗3  100000 3 100000 ∗  3 5 100000/3  0.477  10,48 ℎ 

Problema 31. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 12 términos, siendo el primero 1 y el último 2048? ¿Cuál será la suma de los términos de esta progresión, y cuál el décimo término?

12  1  2048−    ∗      20481  √ 2048   2 2 ∗    1   2048∗21 21  4095    ∗−

Mediante la fórmula de la suma hallamos:

Mediante la fórmula de cálculo del último término hallamos el décimo:


Anexo 2

1.   4∗4−

  1∗2−   2      4∗4−−   4∗4    4∗4   −   4∗4    4∗4   −   4∗4    4∗4   −   4∗4    4∗4   −   4∗4    4∗4   −   4∗4    4∗4     4,16,64,256,1024,4096,…


Razón común

Reemplazando

La razón común es 4

+  6416 4

Es una progresión geométrica creciente ya que el siguiente número es mayor que el anterior.

2.  4  3

  4  3   41  3   4 3      42 3   8  3      43 3


  12  3      44  3   16  3      45  3   20  3      46  3   24  3     7,11,15,19,23,27,…

Diferencia común

 +  1174

Reemplazando con los términos

La diferencia común es 4


Es una progresión aritmética creciente por el termino siguiente es mayor que el anterior. Anexo 3

Desarrollo estudiante 4 Edwin Enrique Peñuela Anexo 1 De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior. -1 n-1. 2n

1 ×2n − U−  1 ×21 → 1×2 2 U   2 U= 1− ×22 → 1 × 44 U= 1− ×23 → 1 × 66 U= 1− ×24 → 1 × 88 U= 1− ×25 → 1 ×1010 U= 1− ×26 → 1 ×1212 U= 1 ×27 → 1 ×1414 Entonces tenemos la sucesión “n” así:

n-1

, ahora buscamos los términos reemplazando U2 = -4 U3= 6

U4= -8

U5= 10

U6= -12 U5= 14

La sucesión dada no es acotada En este ejercicio no se pueden encontrar cotas ni inferior ni superior ya que a medida que aumenta el término, el resultado varía entre positivos y negativos por que el número base en negativo y además su exponente no es una constante, esto hace que la sucesión no tenga limites finitos, considero que es una sucesión divergente por que los enésimos términos no tienen limite. De la siguiente sucesión. Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 6, 11, 18, 27, 38, 51,…

Buscamos la diferencia común

 +  1165 →5

 .


 51  5116  52111  53116

Entonces nuestro término general será

Encontramos que el 16 no corresponde al 3er termino ósea que la diferencia no es constante en todos los términos por ello no es una sucesión aritmética.

+  2718 1.5 −    ∗   −   6∗1. 5  9 − 6∗1.5  13.5

Entonces buscamos la razón común

No coinciden los valores y la razón tampoco es la misma para todos los términos por tanto tampoco es una progresión geométrica. Se realizaron las operaciones y no fue posible encontrar ni la diferencia ni la razón común. Problema 2: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones. Primero averiguo cuanto es el 130% de la deuda

×130÷10026000 ÷241083.33 esta tambn seria nuestra diferencia  1 – →  1083.33 entonces d1083.33 . UnU1n1 d → Un26000 1083.3324916.67 este es el termino general. 24916.67201.1083.33 4333.4 20000

en este caso el 130% de la deuda es 26000

Ahora divido el total de la deuda en los 24 pagos fijos así: 26000

Entonces nuestra progresión será U n (26000, 24916.67, 23833.34, 21666.68...U n) Buscamos Ahora

la diferencia

buscamos

el

común .

término

d Un

general

Un

24916.67-

26000

así:

Luego averiguamos el término 20 de la progresión así: U20 U20

este es el saldo de la deuda en el momento en que Pedro se gana el chance.


Ahora comprobamos buscando otro enésimo término así:

24916.6741.1083.3321666.68

U4 igual a 21666.68

efectivamente en nuestra progresión U 4 es

a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance? RTA- El saldo de la deuda es de 4333.4 en el momento que se gana el chance. b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance? RTA- No, No le alcanza pues el saldo de la deuda supera el valor del premio c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué. RTA- La progresión es aritmética por que la diferencia común entre los términos es constante, en este caso nuestra diferencia común d= 1083,33. d) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué. RTA-La progresión es decreciente por que a medida que “n” crece los térmi nos de la progresión decrecen.

ANEXO 2

 52. 1 →  523  52. 2 →  541   52. 3 →  561  52. 4 →  583   52. 5 →  5105




= 3.2n-1

−   3.2 →  3.2 3  −  3.2 →  3.2 6  −   3.2 →  3.2 12  −  3.2 →  3.2 24  −   3.2 →  3.2 48

Anexo 3 En la ingeniería ambiental las progresiones aritméticas y geométricas, son fundamentales pues sirven para realizar proyecciones sobre cualquier tipo de contaminación, puede ser la contaminación de aguas, el crecimiento de bacterias en ellas, o la contaminación atmosférica prediciendo patrones de contaminación por CO 2, o una proyección de la cantidad de residuos sólidos que genera una comunidad en determinado periodo de tiempo y mostrar el gran impacto socio-ambiental que trae consigo este problema, para así poder determinar una solución oportuna y acertada en beneficio de la comunidad y el medio ambiente.


Conclusiones Se pudo concluir que el uso de sucesiones y progresiones son de gran utilidad en la resolución de problemas de la vida profesional y cotidiana, además de lo anterior permite determinar resultados futuros, de esta forma se pueden tomar decisiones, para posibles soluciones ante problemas propuestos. Al investigar, profundizar y desarrollar los ejercicios propuestos se obtuvieron los conocimientos necesarios para comprender a cabalidad el tema, determinar su aplicación en problemas de la vida laboral. El uso del software geogebra permitió realizar graficas de forma fácil y sencilla lo cual es de suma importancia ya que en el ámbito laboral es necesario utilizar gráficas para ilustrar datos recopilados durante una investigación determinada, además de ello el objetivo principal de este aplicativo van en pro de la interpretación de sucesiones numéricas de forma práctica.


Referencias bibliográficas Cabrera, J. (2106). Progresiones Aritméticas. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/11565 Cabrera, J. (2106). Progresiones Geométricas. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/11564 García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?url=http://search.ebscohost.com/login.a spx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 1 – Análisis de Sucesiones y Progresiones. Pág. 7-38. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11570

Calculo Diferencial unad Trabajo Colaborativo 1

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