Calculo integral. Ejercicios solucionados

Ejercicios Propuestos Fase 2

Primera parte (1 al 4) Encontrar la anti derivada general G(x) de las siguientes funciones: 1. 2. 3. 1+sen 2 ( x ) ( ) f x = 4. 1−sen2 ( x ) D (tanx )=

∫¿

1 2 =1+ tan x 2 cos x

1+sen 2 x 1+ sen2 x dx= ¿ ∫ cos 2 x dx 1−sen2 x

¿∫ ¿

1 sen 2 x dx+ ¿ ∫ cos 2 x dx=¿ cos 2 x

¿ tanx +∫ tan 2 xdx=¿ 1+ tan (¿¿ 2 x)dx−∫ dx=¿ ¿ tanx+∫ ¿ ¿ tanx +tanx−x +C=¿ ¿ 2tanx−x +C

Segunda Parte (punto 5 al 8) El conjunto de todas las anti derivadas de f(x) llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales: 5.

6. 2

7.

−x dx ∫ xx+1 Aplicando Sustitución por partes du u=x +1 → =1 dx

Y así: 3 du=¿ 2 du−¿∫ ¿ u ∫ udu+∫ ¿

(u−1−1)(u−1) x2 −x du ∫ x+1 dx=∫ u Se simplifica: ( u−1−1 ) (u−1) 2 du=∫ u+ −3 du ∫ u u Aplicamos la regla de la suma 2 udu+¿∫ du−∫ 3 du u 2 ∫ u+ u −3 du=∫ ¿ Ahora se resolvió las tres integrales nos queda: 2 ∫ udu= u2 2

∫ u du=2∈|u| ∫ 3 du=3 u

¿

u2 +2∈|u|−3u 2

Ahora sustituyendo u = x +1 nos queda: 2 u +2∈|u|−3u=¿ 2 2

¿

( x+ 1) + 2∈|x +1|−3 ( x +1 )=¿ 2

1 ¿ ( x +1 )2−3 ( x +1 ) +2∈| x+1| 2 Por Ultimo agregar la constante de integración 2 −x 1 2 dx= ( x+ 1 ) −3 ( x +1 ) ∫ xx+1 2 +2∈|x+1|+ C

8.

Tercera Parte (punto 9 al 12) 9. Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial descrito 0,1 t por P (t )=e ´, donde t está medido en días. Según lo anterior, determinar el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros 10 días de operación de la empresa.

El valor promedio de una Función en un intervalo de

[ a , b ] se calcula conla integral: b

1 f (´x)= ∫ f ( x ) dx b−a a ¿ P(´ x)=

10

1 1 e 0,1 t 10 0,1 t e = = =¿ 0 1(e 0,1∗10−e0 ) ∫ 10−0 0 10 0,1

¿ e−1=1,7182818

l día

10. 11. La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se reemplaza una vez se haya desarrollado el proceso de integración, b

teniendo en cuenta el siguiente criterio

∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a

conocido como el segundo teorema fundamental del Cálculo. x

Evaluar la siguiente integral:

∫ [ cos ( x ) tan ⁡( x)] dx 0

cosx∗senx dx=¿ cosx x

∫¿ 0

sens dx=¿−cosx ¿0π=−cosπ −(−cos 0 )=¿ x

¿∫ ¿ 0

−(−1 ) +1=2 12.

, generalmente