Series Definiciones: una sucesión es un conjunto de términos formados según una ley o regla determinada. Por ejemplo:
1, 4, 9, 16, 25 Y
1, x,
-
,-
Son sucesiones. Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión. Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series:
1+ 4 + 9 + 16 + 25 Y 1+x+
-
+
,-
Cuando Cuando el número número de términos términos es limitad limitado, o, se dice que la sucesión sucesión o serie serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama una sucesión infinita o una serie infinita. El término general o término enésimo enésimo es una expresión que indica una la ley de la formación de los términos. Ejemplo 1. En la primera sucesión anterior, el término general o término enésimo es
. El primer termino se obtiene haciendo n = 1, el decimo termino haciendo n=
10, etc.
Ejemplo 2 en la segunda sucesión, el termino enésimo, con excepción de n=, es . Si la suce sucesión sión es es infinit infinita, a, se indi indica ca por por puntos puntos suspe suspensi nsivos, vos, como como 1, 4, 9,…,
,…
Factoriales. Una expresión que se presenta frecuentemente en el estudio de las series series es el product producto o de números números enteros enteros sucesiv sucesivos os comenza comenzando ndo por 1, así, 1x2x 1x2x3x 3x4x 4x5 5 es una una expr expres esió ión n de esta esta clas clase, e, que que se llam llama a
factoria factoriall 5 .
Las
notaciones I o 5! Son las más usuales. En general, una expresión de la forma:
| =1 X 2 X 3 X 4 X 5 X… (
)x
Se llam llama a factor factorial ial n. se se entien entiende de que que expresión |
no tiene significado si
es un nume numero ro enter entero o y positiv positivo. o. La
no es un numero entero y positivo.
183. la serie geométrica. geométrica . Para la serie geométrica de
(1)
=
o también,
Empleándose la primera forma si |r |
Si |r| < 1, entonces
términos,
=
< 1 y la segunda si | r | > 1.
disminuye en valor numérico cuando
aumenta, y
(2) Luego vemos la formula (2) que (art 16)
(3) Por tant tanto, o, si |r| |r| < 1 la sum suma a
de una una serie serie geom geométr étrica ica tie tiende nde haci hacia a un limit limite e
cuando el numero de términos aumenta indefinidamente. En este caso se dice que la serie es convergente
si |r| > 1 entonces
se hará infinito cuando n aumenta indefinidamente Por tanto,
de la segunda formula de (2), la suma de
se hará infinita. En este caso se dice
que la seria es divergente. Un caso especial se presenta si r= -1. Entonces la serie es
a - a + a- a + a - a…
(4)
Si n es par la suma es cero. Si n es impar, la suma no aumenta indefinidamente y no tiende hacia un límite. Una serie de esta clase se llama oscilante. Ejemplo. Consideremos la serie geométrica en la que
a = 1, r= 1/. (5)
=1+
Según (2)
=
+
+… + 2 -
=2-
Entonces (6) 0
,
lo que esta de acuerdo con (3) cuando a= 1, r=1/2 2
1
Series convergentes y divergentes
La variable términos (
Caso 1
es una función de
. Ahora bien, si hacemos que el número de
) tienda al infinito, puede ocurrir una de las dos cosas siguientes:
Que
tienda hacia un limite, digamos ; es decir, que
(1) En ese caso se dice que la serie infinita es convergente y que converge al valor , o que tiene el valor . Caso 2. Que
no tienda hacia ningún limite. En este caso se dice que la serie
finita es divergente.
Ejemplos de series divergentes son 1 + 2 + 3 + 4 + 5…, 1 – 1 + 1 – 1 +…. Como ya hemos dicho, en una serie convergente el valor de la seria es un numero llamado a veces la suma que se define por ( ). A una serie divergente no se le asigna ningún valor. En aplicaciones de las series infinitas, las series convergentes son de mayor importancia. Es preciso, por tanto, tener medios para saber si una serie dada es convergente o divergente. 185 teoremas generales. Antes de desarrollar métodos especiales para probar las series, llamaremos la atención sobre los siguientes teoremas. Se prescinde de su demostración. Teorema 1 Si
es una variable que siempre aumenta cuando n aumenta, pero sin llegar
nunca a ser mayor que algún numero fijo definido A, entonces, cuando tiende a infinito,
tendrá un límite
no mayor que A.
Teorema 2n Si
es una variable que siempre disminuye cuando n aumenta, pero sin llegar
nunca a ser menor que algún numero fijo definido B, entonces cuando n tiende a infinito,
tendera hacia un limite u no menor que B.
Consideremos ahora una serie convergente
En la que
Representando gráficamente en una recta orientada los puntos determinados por los valores
entonces, cuando n aumenta, aumenta, estos puntos
se acercaran al punto determinado por u (teniendo todos los términos de
el
mismo signo) o se agruparan alrededor de este punto. Así es evidente que ( A) Es decir, en una serie convergente el término general tiende a cero. Recíprocamente, si el término general de una serie no tiende a cero cuando n tiende a infinito, la serie es divergente. Pero (A) no es condición “suficiente” para la convergencia de la serie; es decir, si el termino enésimo tiende a cero, no por eso podemos afirmar que la serie es convergente. En efecto consideraremos la serie armónica 1+
+ +… ,
En este caso,
;
lo que nos dice que se cumple la condición A sin embargo, demostremos en el articulo 186 que la serie es divergente ahora vamos a deducir criterios especiales de convergencia que por lo común se aplican mas fácilmente que los teoremas anteriores. 186 criterios de comparación. En muchos casos es fácil determinar si una serie dada es o no convergente, comparándola, termino a término, con otra cuyo carácter se conoce. Criterio de convergencia. Sea (1) Una serie de términos positivos que deseamos saber si es o no convergente. Si se puede encontrar una serie de términos positivos que sepamos de antemano que es convergente, a saber, (2) Cuyos términos no sean nunca menores que los términos correspondientes de la serie dada (1), entonces la serie (1)es convergente y su valor no excede al de la serie (2) Demostración. Sea
Y supongamos que
Entonces puesto que
Y También es
, . Portento, según el teorema 1 del artículo 185,
tiende hacia
un limite y la serie (1) es convergente y su valor no es mayor que A, como se quería mostrar. Ejemplo 1. Averiguar si la serie
(3)
1+
Es convergente Solución comparándola con la serie geométrica
(4)
1+
Que se sabe que es convergente, se observa que los términos de (4) nunca son menores que los términos correspondientes de (3). Portento, la serie (3) es también convergente.
Por un razonamiento análogo al que hacemos aplicando a (1) y (2) podemos demostrar el criterio de convergencia. Sea (5)
Una serie de términos positivos que deseamos saber si es o no convergente. Si estos términos no son nunca menores que los términos correspondientes de una serie de términos positivos tal como
(6) De la cual se sabe de antemano que es divergente, entonces (5) es una serie divergente Ejemplo 2. Demostrar que la serie armónica (7)
1+
Solución. Escríbase (7) como se indica a continuación y compárese la serie con la escrita debajo de ella. Los paréntesis se introducen para ayudar a la comparación. (8)
(9)
Observamos que los términos de 8 nunca son menores que lo términos correspondientes de 9 es divergente, puesto que la suma de los términos en cada paréntesis es ½. De suerte que
aumentara indefinidamente cuando n se hace
infinita. Luego (8) es divergente Ejemplo 3 averiguar la convergencia o divergencia de la serie
Solución esta serie es divergente, puesto que sus términos son mayores que los que los términos correspondientes de la serie armónica (7) que es divergente Vamos ahora a estudiar la serie (10)
Llamada a veces “serie
Teorema. “serie
p”, pues es útil para aplicar el criterio de comparación.
p”, es convergente cuando p>1; es divergente para otros valores
de p. Demostración. Escríbase (10) como se indica a continuación, y comparece con la serie que se escribe debajo de ella. Los signos de paréntesis se emplean para ayudar a la comparación. (11)
(12)
Si p > 1, los términos de (12) nunca son menores que los términos correspondientes de (11). Pero en (12) las sumas dentro los paréntesis son:
Y así sucesivamente. Por tanto afín de averiguar la convergencia o divergencia de (12), podemos considerar la serie (13)
Cuando p>1, la serie (13) es una serie geométrica de razón menor que la unidad; luego, es convergente. Luego (10) también es convergente. Cuando p=1, la serie (10), es la serie armónica y es divergente cuando p<1, los términos de la serie (10), con excepción del primero, so mayores que los términos correspondientes de la serie armónicas, luego en este caso (10) es también divergente. El teorema queda, por consiguiente, demostrado. Ejemplo 4 demostrar que la serie (14)
Solución. En (14), un <
, o sea
un <
; es decir, que
un es menor que el
termino general de la serie p cuando p=2. Por tanto, la serie en la que cada uno de sus términos es la mitad del termino correspondiente en (14) es convergente; luego (14)también es convergente .
Prueba de la razón (D’Alembert). En la serie geométrica infinita.
La razón de los términos consecutivos
es r. si sabemos que esta serie
es convergente cuando |r| <1, y divergente para otros valores. Ahora vamos a a explicar un criterio que usa la razón de un termino al precedente y que puede aplicarse a cualquiera serie. Teorema. Sea (1)
Una serie infinita de términos positivos. Consideremos dos términos generales consecutivos
, y formaremos la razón de un
término cualquiera al
anterior, o razón D’Alembert: Razón D’Alembert
.
Hallemos ahora el limite de esta razón D’Alembert cuando n tiende a infinito. Sea este límite
Entonces I. Cuando
< 1, la serie es convergente.
II. Cuando
> 1, la serie es divergente.
III. Cuando
= 1, el criterio falla.
Demostración
I
Cuando
< 1. Según la definición del limite (art. 14) podemos
elegir n tan grande, digamos n=m, que cuando n de
la razón
diferirá tampoco
como queramos, y, en consecuencia, será menor que una función propia r.
Luego
Y así sucesivamente. Por tanto, después del termino
, cada termino de la serie
(1) es menor que el termino correspondiente de la serie geométrica
+…
(2)
Pero, puesto que r<1, la serie (2) es convergente; luego la serie (1) también lo es (art.186). II. cuando
> 1 (o
). Razonando como en I, puede demostrarse que la serie
(1) es ahora divergente. III. Cuando criterio
= 1, la serie puede ser convergente o divergente; es decir, que el falla.
en
efecto
consideremos
la
“serie
p”
La razón D’Alembert es
Y
Luego
, cualquiera que sea el valor de. Pero en el articulo 186 hemos
demostrado que cuando p > 1 la serie es convergente y cuando p divergente. Así queda comprobado que
1 la serie es
puede ser igual a 1, tanto como para
series convergentes como para las divergentes. Cuando esto ocurre pueden aplicarse otros criterios, pero el plan de nuestro libro no nos permite considerarlos.
Para la convergencia no vasta que la razón de un termino anterior sea menor que la unidad para todos los valores de n. este criterio exige que el limite de la razón sea menor que la unidad que la unidad. Por ejemplo, en la serie armónica la razón de un termino al anterior es siempre menor que 1; pero el limite es 1. La exclusión de un grupo de términos al principio de una serie afectara el valor del limite pero no a su existencia. 188. series alternadas. Se da este nombre a las series cuyos términos son alternativamente positivos o negativos. Teorema. Si
Es una serie alternada, en, la que cada termino es numéricamente menor que el que le procede, y , si
Entonces la serie es convergente Demostración. Cuando
es par,
puede escribirse en las dos formas
(1) (2) Cada expresión entre paréntesis es positiva. Por tanto, cuando n aumenta tomando valores pares, (1) muestra que
que
aumenta, y (2) muestra que
por tanto según el teorema 1 del artículo 185 también tiende hacia ese limite
puesto que
es siempre menor
tiende hacia el limite pero
=
y limite de
. Luego, cuando n aumenta tomando todos los valores enteros, convergente.
y la serie es
EJEMPLO. Averiguar si la serie alternada
Es convergente Solución cada termino es numéricamente menor que el que le precede .
, luego
Además,
. Luego la serie es convergente
Una consecuencia importante de la demostración anterior es la siguiente proposición: Si en una serie alternada convergente se suprimen los términos que siguen a uno determinado, el error que se componente no excede, numéricamente, el valor del primero de los términos que se desechan. En esta proposición se supone que la serie se ha continuado suficientemente para que los términos disminuyan numéricamente. Convergencia absoluta Se dice que una serie es absolutamente o incondicionalmente convergente cuando es convergente la serie formada por los valores absolutos de sus términos. La
otras
series
alternadas
convergentes
se
llaman
condicionalmente
convergentes. POR EJEMPLO, la serie
Es absolutamente convergente, puesto que la serie (3) del articulo 186es convergente
Es condicionalmente convergente puesto que la serie formada por los valores absolutos de sus términos es la serie armónica que es divergente Una serie con algunos signos positivos y algunos negativos es convergente si la serie se que se deduce de ella tomando todos los términos con signo positivo es convergente. Se omite la demostración de este teorema.
Criterio de la raíz Discutiremos ahora el llamado criterio de la raíz que es otra herramienta conveniente para estudiar el comportamiento de las series en relación con la convergencia. Supongamos que
es una serie de términos no negativos con la propiedad de
que a partir de algún punto en adelante tenemos
≤ r n, donde 0 < r <1 La serie geométrica
converge claramente, de modo que
(5) converge
también por el criterio de comparación. El hecho de que las desigualdades (5) puedan escribirse en la forma ≤r≤1
(6)
Nos lleva a un enunciado conveniente del criterio de la raíz: Si
es una serie de términos no negativos tales que
,
Entonces
(7)
(a) si
< 1, la serie converge;
(b) si
> 1 la serie diverge;
(c) SI
= 1, el criterio no es concluyente.
La demostración descansa en las observaciones anteriores. Para (a), si es cualquier numero talque
< r < 1, entonces el significado de (7) nos dice que suficientemente grandes, de modo
(6) se verifica para todos los valores de
que
converge para (b), si
adelante de modo que diverge porque que
> 1, entonces
≥ 1 desde algún punto en
≥ 1 para todos los n suficientemente grandes, y la serie
no tiende a cero. Finalmente, establecemos (c) observando
= 1 tanto para la serie divergente dado que
< 1 y r
→1 cuando
como para la serie convergente
.
Tenemos
Dado que
< 1, la serie converge.
Serie de potencias Una serie cuyos términos son monomios de potencias enteras, positivas y ascendentes de una variable digamos
de la forma
(1)
En donde los coeficientes
son independientes de , se llaman serie
de potencias en . Tales series son de mayor importancia en el análisis matemático.
Una serie de potencias de , o para ningún valor con excepción de converger para algunos valores de valores.
, o puede
distintos de cero y ser divergentes para otros
Vamos a examinar la serie (1) solo para el caso de ser los coeficientes tales que
Siendo un numero determinado para ver el criterio de esto apliquemos el criterio D’Alembert a la serie (1) omitiendo el primer termino. Entonces tenemos
Luego para cualquier valor fijo de x,
Tenemos dos casos: I.
SI
,
la serie (1), será convergente para todos los valores de x
puesto que II.
Si
no es cero, la serie será convergente cuando
es
numéricamente menor que 1, es decir, para valores de x en el intervalo
Que se llama intervalo de convergencia o campo de convergencia, y será divergente para valores de x fuera este intervalo. Los extremos del intervalo deben examinarse separadamente. Para toda serie dada debe formarse la razón de D’Alembert y determinarse el intervalo de convergencia aplicando lo dicho en el articulo 187
EJEMPLO 1. Hallar el intervalo de convergencia de la serie (2)
Solución aquí la razón de D’Alembert es
según el articulo 18
luego
la serie converge cuando
la x es numéricamente menor que 1. Ahora examinemos los extremos del intervalo, sustituyendo en (2) x= 1 Obtendremos
Que es una serie alternada convergente. Sustituyendo en (2) x=-1, obtenemos
Que es convergente por comparación con la serie
.
La serie del ejemplo dado que tiene [-1, 1] como intervalo de convergencia. Esto se puede escribirse
o puede indicarse gráficamente como se
indica la siguiente figura
X`
-1
1
X
Intervalo de convergencia Para empezar por el principio una serie de potencias es una serie de la forma
Serie de Taylor y representación de funciones. Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al propósito de calcular el valor de la función que representa para valores pequeños de x (próximos a cero). Ahora deduciremos un desarrollo de potencias de x-a siendo a un número fijo. La serie que así se obtiene se adapta al objeto de calcular la función que representa para valores de x cercanos a (a) Supóngase que (1)
Y que la serie representa la función. La forma necesaria de los coeficientes , etc., es decir derivando sucesivamente (1) con respecto a x, suponiéndose que esto es posible. Así tenemos ,
Etcétera sustituyendo x=a en estas ecuaciones y en (1) y despejando a obtenemos
Sustituyendo estos valores en (1), el resultado es la serie (B)
La serie se llama serie o formula de Taylor.* Ahora examinaremos la serie (B). Haciendo b=x se obtiene: (2)
En donde
El término
se llama termino complementario o residuo después de n términos.
Ahora bien, la seria del segundo miembro de la (2) concuerda con la serie de Taylor (b) hasta n términos. Representando la suma de estos términos por
, de
(2) se deduce
Si suponemos ahora que para un valor fijo n se hace infinita, entonces
el residuo r tiende a cero cuando
(3)
Y (B) converge para
y su limite es
Teorema la serie infinita B representa la función para aquellos valores de x, y solamente para aquellos, para los cuales el residuo tiende a cero cuando el número de terminos aumenta indefinidamente. Si la serie es convergente para valores de x para los cuales el residuo no tiende a cero al crecer n infinitamente, entonces para tales valores de x la serie no representa la función
.
Por lo común es mas fácil determinar el intervalo de convergencia de la serie que determina el intervalo para el que el residuo tiende a cero; pero en los casos sencillos lso dos intervalos son idénticos.
Cuando los valores de una función y de sus derivadas sucesivas son conocidas, y son finitos para algún valor fijo de la variable, como x=a, entonces (B) se emplea a fin de hallar el valor de la función para valores de x cercanos a
y (B) se llama también desarrollo de
en la vecindad de x=a. Ejemplo Desarrollar In x en potencias de (x-1) Solución
Sustituyendo en (B), Esta serie converge para valores de x entre 0 y 2, y es el desarrollo de las la vecindad de x=1.
en
Otra forma de la serie Taylor. Si en (B) del articulo pasado reemplazamos a por y hacemos
,es decir
el resultado es
(C)
En esta segunda forma el nuevo valor de
cuando x cambia de
a
Se desarrolla en una serie de potencias de h, que es el incremento de x. EJEMPLO. Desarrollar
en una serie de potencias de h cuando x pasa de
Solución aquí el trabajo como sigue.
a
. Derivemos, y y dispongamos
Etc.…
etc.…
Sustituyendo en (C) obtenemos
Formula aproximadas deducidas de la serie de Taylor Se obtienen formas aproximadas empleando solamente algunos términos de las series (B) o (C) Por ejemplo si
tenemos
1
Como primera aproximación. Tomando tres términos de la serie, resulta como segunda aproximación: 2
De (1), trasponiendo sin a y dividiendo por x-a, obtenemos 3
Puesto que
es constante, esto quiere decir que (aproximadamente):
La variación del seno es proporcional a la variación del ángulo para valores del ángulo próximos a La formula (3) expresa el principio de interpolación por partes proporcionales Ejemplo dado
calcular los senos de 31 y
formula aproximada (1). Para
por tanto,
por la
Análogamente,
.
Estos valores, dados por (1), tienen solamente 3 cifras exactas. Si se desea mayor exactitud, podemos emplear (2). Entonces
Estos resultados son exactos hasta la cuarta cifra.
Prueba de la integral Prueba de la integral aplicar la prueba de la integral para determinar para determinar si una serie finita es convergente o divergente. en esta sección y en la siguiente estudiaremos diversas pruebas de convergencia que se aplican a series con términos positivos. Teorema 8.10 la prueba de la integral Si
es positivas, continua y decreciente para
y
, entonces
Ambas son convergentes o ambas son divergentes. Demostración Se empieza por dividir el intervalo
en n-1 intervalos unitario, las aéreas
totales de los rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos son los siguientes. Area inscrita
Area circunscrita
El área exacta bajo la grafica de apartir de las áreas inscrita y circunscrita
Usando
la
enésima
suma
esta comprendida entre
,
parcial
esta
desigualdad se puede escribir como
Ahora suponiendo que
converge hacia , que se infiere que para
en consecuencia esta acotaday es monotona, es convergente por tanto converge. Para la otra direccion de la prueva, suponga que la ntegral impropia diverge. Entonces
se aproxima al infinito cuando
desigualdad
implica que
diverge. Portanto
y la diverge.
Ejemplo Aplique la prueva de la integral a la serie
Solucion.puesto que
satisface la s condiciones para la prueva de
la integral (verifique esto). Se puede ntegrar para obtener
Portanto la serie es divergente.
Bibliografía:
Calculo diferencial e integral, autor: Granville editorial noriega, paginas 413-457
Calculo diferencial e integral séptima edición, LARSON-HOSTETLER-EDWARDS, editorial Mc GRAW HILL, páginas 560-590.
Calculo integral y geometría analítica segunda edición, George F.SIMMONS, P. 441-538