CÁLCULO TENSORIAL
José Geraldo Franco Méxas
CÁLCULO TENSORIAL
Niterói/RJ 2012
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M611 Méxas, José Geraldo Franco. Cálculo tensorial / José Geraldo Franco Mexas – Niterói: Editora da UFF, 2012. 176 p. ; il.; 23 cm. (Coleção Didáticos) Bibliografa. p. 177.
ISBN 978-85-228-0762-8 1. Cálculo tensorial. I. Título. II. Série. CDD 527.2 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor : Roberto de Souza Salles Vice-Reitor: Sidney Luiz de Matos Mello Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação e Inovação: Antonio Claudio Lucas da Nóbrega Diretor da Editora da UFF : Mauro Romero Leal Passos Setor de Editoração e Produção: Ricardo Borges Setor de Distribuição: Luciene Pereira de Moraes Assessoria de Co municação e Eve ntos: Ana Paula Campos
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Editora fliada à
Sumário Apresentação, 9 Capítulo 1 Introdução, 11 1.1. Mudança de coordenadas, 16 1.2. Linhas coordenadas, 19 1.3. Superfícies coordenadas, 23 1.4. Componentes contravariantes, covariantes e físicas de um vetor, 36 1.5. Mudança de sistema de coordenadas 37 1.6. Tensores de ordem p + q, p-vezes contravariantes e q-vezes covariantes no Rn, 44 1.7. Exercícios propostos, 54 Capítulo 2 Tensor elemento de linha ou tensor métrico, 65 2.1. Tensor métrico euclidiano, 65 2.2. Cálculo das componentes físicas de um tensor, 81 2.3. Exercícios propostos, 84 Capítulo 3 Os símbolos de Cristoffel e a derivada covariante, 89 3.1. Propriedades dos símbolos de Cristoffel, 93 3.2. A derivada direcional em coordenadas curvilíneas, 95 3.3. Cálculo dos símbolos de Cristoffel, 99 3.4. Derivada de um campo ao longo de uma curva em coordenadas curvilíneas, 107 3.5. Exercícios propostos, 115
Capítulo 4 O tensor elemento de volume ou tensor de Levi-Civita, 119 4.1. Produto vetorial em coordenadas curvilíneas, 127 4.2. Exercícios propostos, 135 Capítulo 5 Operações com tensores, 137 5.1. Operações algébricas com tensores e com campos tensoriais, 137 5.2. Operações de diferenciação de campos tensoriais no Rn, 141 5.3. O div e o rot de campos vetoriais e o laplaciano de campos escalares no R 3 em coordenadas curvilíneas, 142 5.4. Exercícios propostos, 153 Capítulo 6 Aplicações do cálculo tensorial, 157 6.1. Aplicações à geometria diferencial, 157 6.2. Aplicação ao eletromagnetismo, 163 6.3. Aplicação à mecânica analítica, 165 6.4. Exercícios propostos, 169 Referências, 175
Apresentação Algumas grandezas físicas, como a temperatura, são descritas por números reais. Outras, como a força, precisam da noção de vetor, representado por setas orientadas. No entanto, existe certos casos, como a curvatura de uma superfície, a deformação de um sólido, o movimento de um fluido, que o vetor não é suficiente para descrever o fenômeno em estudo. No espaço usual considerando uma base formada por 3 vetôres, a temperatura seria descrita por um único número T, um vetor por 3 números T i com 1 índice e um tensor de ordem 2 por 32 = 9 números T i j e 2 índices , ou seja, uma matriz 3 × 3. A teoria dos tensores foi publicada por Tullio Levi-Civita e Gregorio Ricci-Curbastro, em 1900 sob o título “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, dando prosseguimento aos trabalhos anteriores de Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel e outros como parte do cálculo diferencial absoluto. O presente texto é uma modesta contribuição para auxiliar os estudantes que se dedicam às áreas de estudos onde o tensor é imprescindível, tais como, geometria diferencial, relativida geral, mecânica dos sólidos, mecânica dos fluídos e mecânica analítica. 9
Capítulo 1 Introdução É inútil, vão e egoístico, o conhecimento que não se pode aplicar imediatamente para o bem dos outros. Auguste-Marie Chaboseau
Consideremos o problema de escrever a equação do movimento de uma partícula. U3 p U
2
v P
U1 Figura 1.1. Momento linear p de uma partícula de
velocidade v .
Neste caso devemos usar a segunda Lei de Newton, 11
12
Introdução
d
F = d t p
onde, como p e v são paralelos, o momento linear é dado por, p = mv
Podemos escrever esta equação vetorial em termos de suas componentes p = p1U 1 + p2U 2 + p3U 3 v = v 1U 1 + v 2U 2 + v3U 3
tomando como referência a base canônica ε = U 1, U 2, U 3}
{
do
3
R
formada pelos vetores U 1 = i , U 2 = j , U 3 =
k,
Podemos relacionar as componentes, em relação a base ε, através de uma equação matricial,
= p1 p2 p3
m 0 0 0 m 0 0 0 m
v1 v2 v3
Neste caso a massa é representada, em relação à base canônica do R3, por uma matriz diagonal M ,
13
Introdução
= p1 p2 p3
M 11 M 21 M 31
M 12 M 22 M 32
M 13 M 23 M 33
v1 v2 v3
M
onde M = mI e I é a matriz identidade.
ω
U
U3
L
P
U2
1
Figura 1.2. Momento angular L de um sólido com
velocidade amgular ω
No caso da equação do movimento de um sólido além da translação temos a rotação, em cada ponto P ǫ R3, que é descrito pela equação, d
N = dt L
onde, como o momento angular L e a velocidade angular ω não são em geral paralelos temos necessáriamente uma relação matricial entre estes vetores,
14
Introdução
L = (I P ) ω
Esta equação vetorial pode ser escrita, em relação à base ε, em termos de suas componentes, L = L1U 1 + L2U 2 + L3U 3 w = w1U 1 + w2U 2 + w 3U 3
Desta forma podemos relacionar as componentes dos vetores, em relação à base ε, em cada ponto P , através de uma equação matricial,
( = ( L1 L2 L3
I P )1 1 (I P )1 2 (I P )1 3 I P )2 1 (I P )2 2 (I P )2 3 (I P )3 1 (I P )3 2 (I P )3 3
w1 w2 ω3
I P
Neste caso temos uma matriz I P que em geral não é diagonal. A matriz I P representa, em relação à base ε, as componentes do “Tensor de Inércia”, que mede a distribuição da massa do corpo em relação à base ε tomada como referência. No caso da equação do movimento de um elemento de volume infinitesimal δv de um fluido de densidade de massa ρ = ρ(x, y, z ) temos, em cada ponto P ǫ R3, a equação dada por, dV
F ext + F int = ρ(δv ) dt
15
Introdução
U3 Fi U2
v P
U1
Figura 1.3. Forças internas sobre um elemento de
volume infinitesimal de um fluido em movimento.
U3
dS F
dS P
n
int
U2
U1 Figura 1.4. Forças internas do fluido sobre um ele-
mento de área dS .
16
Introdução
onde a as forças internas F int são exercidas pelo fluido sobre as faces dS do elemento de volume. Notemos que também neste caso, em geral, os vetores F int e dS não são paralelos, donde devemos estabelecer uma equação matricial entre estes vetores. Considerando as componentes em relação à base ε, F int = F 1U 1 + F 2U 2 + F 3U 3 dS = a1U 1 + a2U 2 + a3U 3
podemos escrever ponto P ,
a equação matricial em cada
( = ( F 1 F 2 F 3
T P )1 1 (T P )1 2 (T P )1 3 T P )2 1 (T P )2 2 (T P )2 3 (T P )3 1 (T P )3 2 (T P )3 3
a1 a2 a3
T P
Neste caso a matriz T P não é em geral diagonal. A matriz T P representa, em relação à base ε no ponto P , as componentes do “Tensor de Tensão”, que mede a distribuição das forças do fluido em relação às faces de um elemento de volume formado a partir da base ε tomada como referência.
1.1 Mudança de coordenadas Consideremos o problema da mudança das coordenadas cartesianas de um ponto P do espaço para as coordenadas esféricas.
Capítulo 4 O tensor elemento de volume ou tensor de Levi-Civita, 119 4.1. Produto vetorial em coordenadas curvilíneas, 127 4.2. Exercícios propostos, 135 Capítulo 5 Operações com tensores, 137 5.1. Operações algébricas com tensores e com campos tensoriais, 137 5.2. Operações de diferenciação de campos tensoriais no Rn, 141 5.3. O div e o rot de campos vetoriais e o laplaciano de campos escalares no R 3 em coordenadas curvilíneas, 142 5.4. Exercícios propostos, 153 Capítulo 6 Aplicações do cálculo tensorial, 157 6.1. Aplicações à geometria diferencial, 157 6.2. Aplicação ao eletromagnetismo, 163 6.3. Aplicação à mecânica analítica, 165 6.4. Exercícios propostos, 169 Referências, 175
