CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACIO TEMA VIII Mgr. Mgr. Iván Iván Ruiz Ruiz U.
CAMPO MAGNÉTICO El Campo Eléctrico esta generada por cargas en reposo. El Campo Magnético esta generada por cargas en movimiento, por ejemplo, el movimiento de los electrones alrededor del núcleo, o la corriente eléctrica en alambres conductores.
LEY DE BIOT SAVART Permite calcular el Campo Magnético en cualquier punto del espacio P, generado por una corriente eléctrica que fluye por un alambre conductor. Experimentalmente: i) La magnitud del diferencial del campo magnético dB en algún punto P del espacio, generado por el diferencial de alambre d r 'que lleva una corriente I, es proporcional: a la corriente eléctrica, a la magnitud del diferencial de alambre, al sen(), e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: dB
I dr 'sin d 2
Introduciendo la constante K de proporcionalidad: I dr 'sin dB K 2 d
LEY DE BIOT SAVART La unidad en el S.I. del campo magnético es el Tesla T. La constante de proporcionalidad esta dada por: K
0 4
10
7
Tm A
0 4 107 (T m/A), es la permeabilidad del vacio
ii) El vector diferencial de campo magnético d B es perpendicular, tanto al vector d y al vector d r ' . Por tanto, el vector diferencial de campo magnético se puede escribir en la forma: I d r ' d d B K d 3
El campo magnético total en el punto P de todo el alambre esta dada por:
I d r ' d d B K d 3
B K I
d r ' d d 3
LEY DE BIOT SAVART Considerando un sistema referencias, se tiene:
r ' d r
de
d r r '
El campo magnético total en el punto P de todo el alambre esta d r ' (r r ') dada por: B K I 3 r r ' i) El campo magnético y eléctrico son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. ii) El campo eléctrico es generado por cargas en reposo, en cambio el campo magnético es generado por cargas en movimiento. iii) El campo eléctrico tiene dirección radial, en cambio el campo magnético es perpendicular al diferencial del alambre d r y al vector desplazamiento d '
LEY DE BIOT SAVART PARA CARGAS DISCRETAS Considerando un partícula cargada q que se mueve con una velocidad v respecto de un sistema de referencias O, esta genera un campo magnético en todos los puntos del espacio.
La ecuación de Biot Savart se puede escribir en la forma: I d r ' (r r ') dq ' d r ' (r r ') d r ' (r r ') B K K K dq ' 3 3 3 dt dt r r ' r r ' r r ' Como la velocidad de la partícula esta dada por: v ' d r ' dt y la variable de integración es q’ , se obtiene: B K
(r r ')
dq ' v ' r r '
3
K
dq '
v ' (r r ') r r '
3
LEY DE BIOT SAVART PARA CARGAS DISCRETAS La integral da la carga de la partícula, por tanto el campo magnético generado por una partícula cargada en movimiento: q ' v ' (r r ') B K 3 r r ' Considerando N partículas cargadas en movimiento, el campo magnético generado por la i-esima partícula es: q 'i v 'i (r ri ') Bi K 3 r r i ' Por tanto, el campo magnético generada por las N partículas cargadas en movimiento respecto del sistema de referencias O, esta dada por: N q 'i v 'i ( r ri ') B K i 1 3 r r i '
LEY DE AMPERE Es una identidad integral que permite calcular la magnitud del campo magnético en distribuciones de corriente eléctrica con alta simetría, cilindro infinito, solenoide infinito, toroide. La Integral de línea del campo magnético a través de una trayectoria cerrada, llamada circulo de ampere CA, es proporcional a la corriente eléctrica total encerrada por el circulo de ampere.
B d r I
0 T
CA
Donde, IT es la suma algebraica de las corrientes encerrada por el CA. I T
N
I
i 1 i
El Campo magnético es el definido en el CA.
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE AMPERE Se considera un alambre infinito que lleva una corriente eléctrica I. El campo eléctrico que genera alambre sobre el circulo de Ampere: B
0 I
,
d r d
3
4 Alam
d
0 I
,
d r ud
2
4 Alam
d
0 I
B d r
0 I
d z sin u
d 2
4 Alam
d z sin u d 2
4 Alam
Multiplicando escalarmente diferencial de línea del CA d r
el
con 0 I
el d z sin u d r
d 2
4 Alam
Considerando el producto escalar:
u d r u (d du d d d u dz u z ) d d
La integral se transforma en: B d r
0 I 4
d z sin u d r
d 2
0 I 4
d z sin d d d 2
0 I 4
d z sin d d
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE AMPERE Por análisis grafico se tiene: d
d z
dz d d
ó
d
Por tanto, la integral se transforma en: B d r
0 I
d z sin d
4 Alam
d
0 I
d d sin d
4 Alam
d
Integrando sobre el circulo de ampere 0 I
0 I
B d r 4 sin d d 4
CA
2
0
CAAlam
d
0
sin d
Resolviendo la integral:
B d r
CA
0 I
4
2
0
d
0
sin d
0 I 4
2 2
Finalmente, la Ley de Ampere esta dada por:
B d r 0 I
CA
LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO Tienen las siguientes características: i) El campo magnético es tangente a la línea de campo. ii) Las líneas de campo son cerradas. iii) Las líneas de campo magnético nunca se cruzan. iv) El numero de líneas de campo por unidad de área es proporcional a la intensidad de campo. Líneas de Campo Magnético de Un Cilindro Infinito Son trayectorias circulares concéntricas sobre el plano perpendicular al cilindro, y cumplen la regla de la mano derecha, es decir: B B u
LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO Líneas de Campo Magnético de Un Solenoide Infinito Son líneas rectas paralelas al eje del solenoide y cumplen la regla de la mano derecha, es decir:
B B u x
Líneas de Campo Magnético de Un Toroide Son líneas circulares cumplen la regla de la mano derecha, es decir: B B u
