UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERÍA-CURSOS BÁSICOS FÍSICA BÁSICA III (FIS 200) ___________________________________________________________________________________________________
Contenido Capítulo 1. EL CAMPO MAGNÉTICO ........................................................................................................................... 2 1.1.
Magnetismo .................................................................................................................................................... 2
1.2.
Campo Magnético - Fuerza Magnética ........................................................................................................... 2
1.2.1.
Problemas de Fuerza Magnética y Fuerza Eléctrica ................................................................................ 4
1.3.
Campo Magnético Terrestre. .......................................................................................................................... 7
1.4.
Efecto Hall. ...................................................................................................................................................... 8
1.5.
Medida de e/m. Ciclotrón ............................................................................................................................... 9
1.6.
Flujo Magnético ............................................................................................................................................ 10
1.7.
Fuerza Magnética sobre un elemento de Corriente...................................................................................... 11
Fuerza sobre un conductor rectilíneo ............................................................................................................ 11 1.8.
Momento de una Torsión sobre una espira de corriente.............................................................................. 12
...................................................................................................................................................................................... 14 CAPITULO 2 CAMPO MAGNÉTICO CREADO .................................................................................................................. 15 POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE .............................................................................................................................. 15 2.1.
Ley de Biot Sarvart. ....................................................................................................................................... 15
2.2.
Inducción Magnética producida por un conductor rectilíneo ....................................................................... 15
2.3.
Inducción Magnética creada por una espira circular .................................................................................... 17
2.4.
Inducción magnética producida por un solenoide ........................................................................................ 19
2.5.
Ley de ampere .............................................................................................................................................. 19
2.6.
Fuerza entre conductores paralelos .............................................................................................................. 20
2.7.
Campo Magnético de una carga en movimiento .......................................................................................... 20
2.8.
Ley de ampere aplicado a un medio conductor ............................................................................................ 20
2.9.
Potencial magnetostático y fuerza magnetomotriz .......................................... ¡Error! Marcador no definido.
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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Capítulo 1. EL CAMPO MAGNÉTICO 1.1.
Magnetismo
El magnetismo es un fenómeno físico por el que los objetos ejercen fuerzas de atracción o repulsión sobre otros materiales. Hay materiales que presentan propiedades magnéticas detectables fácilmente, como el níquel, el hierro o el cobalto, que pueden llegar a convertirse en un imán. Existe un mineral llamado magnetita que es conocido como el único imán natural. De hecho de este mineral proviene el término de
magnetismo, sin embargo existen imanes artificiales.
Figura 1. Líneas de Campo Magnético que salen del polo Norte y algunas ingresan por el polo sur
1.2.
Campo Magnético - Fuerza Magnética
Cuando una carga ingresa con una velocidad en una región donde existe un campo magnético, está experimenta una desviación, siempre y cuando la velocidad no sea paralela a la dirección del campo magnético. Experimentalmente se demostró que esta desviación se debe a una fuerza, llamada fuerza magnética,
que depende de la velocidad de carga “v”, el vector campo magnético
“B”, y el valor de la carga “q”; es decir:
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗
(
)
Está ecuación la podemos utilizar para definir la unidad del campo magnético en el sistema internacional si la fuerza está en newton, la velocidad en m/s y la carga en C (Coulombios), las unidades del campo magnético son los teslas:
⌈ ⌉ MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
[
]
[ ]
[
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Fig. 1.2. La carga que se movía en línea recta experimenta una desviación debido al campo magnético B, su velocidad y la magnitud de su carga
De acuerdo a la regla de la mano derecha esta fuerza es perpendicular, según el producto vectorial, al plano formado por los vectores velocidad y campo magnético. Analicemos los casos en que el campo magnético ingresa a una región donde el campo magnético es uniforme y estacionario
a) Campo magnético ingresa a una región donde la velocidad forma un ángulo recto con el vector campo magnético.
Fig. 1.3 Trayectoria que describe una partícula cargada que ingresa perpendicularmente a un campo magnético.
Cómo la única fuerza que actúa sobre la carga
será una fuerza normal, despreciando el peso,
la partícula en este caso describirá movimiento circular uniforme. Es decir la velocidad que ingresa será constante durante toda la trayectoria circular. MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
con la
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Descomponiendo la fuerza en la dirección normal y aplicando la segunda ley de Newton:
El radio de la trayectoria circular será:
(
)
La frecuencia de giro es independiente de la velocidad inicial:
(
)
Esta cantidad (conocida como frecuencia ciclotrón) permite identificar las partículas en los detectores de los aceleradores de partículas, donde estas trayectorias se observan habitualmente.
b) Campo magnético ingresa a una región donde la velocidad forma un ángulo distinto de 90º con el vector campo magnético.
Fig. 1.4. Una partícula cargada ingresa formando un ángulo con el campo Magnético, para luego describir una trayectoria circular.
1.2.1.
Problemas de Fuerza Magnética y Fuerza Eléctrica
PROBLEMA 1.1.
Una carga “q” de masa “m” ingresa en una campo magnético uniforme, estacionario y uniforme “B” para después pasar por un campo eléctrico uniforme “E” como se muestra en la figura. Determinar la máxima altura “H” que alcanzará la carga. Nota. Las regiones son cuadradas de lado “a”. MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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SOLUCIÓN: En la primera región la carga describirá MCU, con un radio igual a:
El ángulo con que sale de la primera región lo podemos calcular con ayuda del grafico, puesto que la velocidad permanecerá constante en su recorrido por la primera región.
Cuando la carga ingrese a la segunda región describirá un movimiento parabólico puesto que la única fuerza apreciable será la fuerza eléctrica (qE) hacia abajo. MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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Aplicando la segunda ley Newton para el cálculo de la aceleración que experimentará la carga en la segunda región:
De las ecuaciones de movimiento parabólico tomando en cuenta la aceleración a la cual estará sometida, la altura máxima que alcanzara en el movimiento parabólico será:
La altura H del grafico será:
( (
√(
)
√
)
)
PROBLEMA 1. Una carga “q” de masa “m” ingresa en una campo magnético uniforme, estacionario y paralelo a l eje “z” en el origen. Si la curva que describe la carga es la hélice ( ), donde a y b son constantes, dada por la ecuación vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) w es la frecuencia angular y t es el tiempo. Hallar: a) el ángulo formado por la velocidad inicial y el campo magnético. b) El módulo del campo magnético. c) La rapidez en cualquier instante. SOLUCIÓN:
a) Derivando con respecto al tiempo hallamos la velocidad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) (
)
Evaluando la velocidad en t=0, obtenemos la velocidad inicial de la partícula ( ). ( )
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(
)
(
)
(
)
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b) El radio de la hélice se obtiene de la ecuación de la trayectoria de la hélice: Elevando al cuadrado y sumando: Entonces el radio de la hélice será igual a “a”. Utilizando la ecuación (1.2), solo que la velocidad en este caso es la componente de la velocidad inicial en el eje “y”:
c) La rapidez es el módulo del vector velocidad.
√(
)
(
√(
)
)
Es importante notar que la rapidez es en módulo constante, pero no lo es en dirección y sentido.
1.3.
Campo Magnético Terrestre.
El campo magnético terrestre, es el campo magnético que se extiende desde el núcleo interno de la Tierra hasta el límite en el que se encuentra con el viento solar; una corriente de partículas energéticas que emana del Sol. Su magnitud en la superficie de la Tierra varía de 25 a 65 μT (microteslas). Se puede considerar en aproximación el campo creado por un dipolo magnético inclinado un ángulo de 11º grados con respecto al eje de rotación (como un imán de barra).
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Fig. 1.5. Líneas de Campo Magnético Terrestre
1.4.
Efecto Hall.
El efecto Hall se produce cuando se ejerce un campo magnético transversal sobre un cable por el que circulan cargas. Como la fuerza magnética ejercida sobre ellas es perpendicular al campo magnético y, las cargas son impulsadas hacia un lado del conductor y se genera en él un voltaje transversal o voltaje Hall descubrió en 1879 el efecto, que, entre otras muchas aplicaciones, contribuyó a establecer, diez años antes del
descubrimiento del electrón, el hecho de que las partículas circulan por un
conductor metálico tienen carga negativa
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Fig. 1.6 Esquema para medir el efecto Hall
Aplicaciones del efecto Hall
Mediciones de campos magnéticos Mediciones de corriente sin potencial. Emisor de señales sin contacto Aparatos de medida del espesor de materiales Se puede demostrar para la figura 1.6. que el voltaje Hall es igual a:
(
)
Donde: I= Corriente que circula por la placa; B= Campo magnético; n= Número de cargas por unidad de volumen; e=Carga eléctrica; d=Espesor de la placa. PROBLEMA. En un experimento diseñado para medir el campo Magnético terrestre utilizando el efecto Hall, una barra de cobre de 0.5cm. de espesor se coloca a lo largo de una dirección este-oeste. Si una corriente de 8.0A en el conductor da como resultado un voltaje Hall de 5.1 pV, ¿Cuál magnitud del campo magnético terrestre? (Suponga que n=8.48*10 la barra se gira hasta quedar perpendicular a la dirección de B)
1.5.
Medida de e/m. Ciclotrón
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
23
es la
electrones/m , y que el plano de 3
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Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una muestra que poseen distinta relación carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos.
Fig. 1.7 Espectrómetro de masas
En la figura 1.7. se ionizan átomos (esto se puede realizar, por ejemplo, calentando un filamento) para luego ser acelerados mediante una diferencia de potencial “V” ingresando los iones a la cámara semicircular donde existe un campo magnético “B” saliendo del papel. Como los iones ingresan con una velocidad “v” perpendicular al campo este describirá una trayectoria circular como se puede ver en la figura e impactaran en la placa fotográfica y así de esta manera es fácil medir el radio “R” de la trayectoria circular.. Cómo la muestra de átomos posee isotopos existirán distintos radios. La relación carga/masa calculada con el espectrómetro de masas y aplicando además el principio de conservación de energía a la entrada será:
(
1.6.
)
Flujo Magnético Fig. 1.8. Flujo Magnético a través de una superficie
El flujo magnético es una cantidad escalar y se define como la integral de área del producto escalar entre el vector campo magnético y el vector área: MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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∬ ⃗ ⃗⃗⃗⃗
(
)
que el flujo magnético a través de una superficie es nula:
∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗
Se sabe que hasta el momento no se han podido aislar los polos magnéticos y eso tiene como consecuencia
1.7.
(
)
Fuerza Magnética sobre un elemento de Corriente
Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Conocida ya la fuerza que el campo B ejerce sobre una única carga, calculamos ahora la fuerza sobre un conductor por el que circula una corriente. Fuerza sobre un conductor rectilíneo Imaginemos un conductor rectilíneo de sección A por el que circula una corriente I. La fuerza a la que se ve sometido cuando se encuentra en un campo B uniforme será la suma de la fuerza sobre todas las cargas. Si n es el número de cargas q por unidad de volumen, y vd la velocidad de desplazamiento de las mismas, el número de cargas en un elemento de volumen de longitud l y área A es:
Por lo que la fuerza total se calculará multiplicando el número de cargas por la fuerza ejercida sobre cada una de ellas: Definimos el vector ⃗⃗⃗ como un vector de módulo la longitud del conductor y dirección y sentido el que indica la intensidad de corriente. Recordando la expresión de la intensidad I podemos escribir la fuerza como:
⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ )
(
)
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En ocasiones, es especial cuando el conductor no es rectilíneo, se puede utilizar la ecuación (1.8.) en forma diferencial, tomando la longitud cómo un diferencial de longitud.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ )
(
)
Es importante notar que cuando el campo B es paralelo al conductor, la fuerza magnética ejercida sobre el conductor es nula.
PROBLEMA 1.2 Se encuentran en un mismo plano un conductor muy largo y una espira cuadrada de lado “b” separados una distancia “b”. Calcular la fuerza que ejerce el conductor muy largo sobre el lado horizontal superior de la espira cuadrada y su respectivo punto de aplicación. SOLUCIÓN: Para que la carga se mueva en línea recta la fuerza eléctrica y la fuerza magnética tienen que tener la misma dirección y módulo pero sentidos opuestos.
El campo magnético resultante de los conductores en el eje de movimiento tiene que ser igual a B: ( ( )
1.8.
)
( )
Momento de una Torsión sobre una espira de corriente.
Una espira con corriente en un campo magnético puede experimentar un torque. Este fenómeno es la causa que hace trabajar los motores de corriente directa y el galvanómetro. Imaginémonos una espira rectangular de área “A” que transporta la corriente i colocada en un campo magnético uniforme y en la dirección mostrada, cuya dirección forma un ángulo con la normal al plano de la espira (figura 1.9.) Evaluando las dos fuerzas en los dos conductores de lado “a” se puede ver que las dos fuerzas opuestas producen un momento de torsión igual a: MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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Evaluando las otras dos fuerzas en los dos conductores opuestas
de lado “b” se puede ver que las dos fuerzas
tienen la misma línea de acción y por lo tanto no producen ningún momento o par, es decir si
sumamos todas la fuerzas que actúan sobre la espira se cancelan dos a dos, sin embargo existe una par igual a:
Para N espiras la anterior ecuación se transforma:
(
)
EJEMPLO:Una bobina rectangular formada por 100 espiras de alambre tiene un ancho de 16 cm y una longitud de 20 cm. La bobina eta montada en un campo magnético uniforme de densidad de flujo de 8 mT, y una corriente de 20 A circular atreves del devanado. Cuando la bobina forma un ángulo de 30 con el campo magnético, ¿Cuál es el momento de torsión que tiende a hacer girar la bobina? Sustituyendo en la ecuación T= (100 espiras) (8 X 10
tenemos:
T) (0.16 m X 0.20 m) (cos 30º )
T = 0.443 N.m
Entre las más importantes aplicaciones tenemos a los motores eléctricos y los galvanómetros. MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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CAPITULO 2 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE 2.1.
Ley de Biot Sarvart.
Los científicos franceses Jean-Baptiste Biot y Félix Savart descubrieron la relación entre una corriente y el campo magnético que esta produce
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(
)
Fig. 2.1. Términos de la ley de Biot-Savart
2.2.
Inducción Magnética producida por un conductor rectilíneo
Una aplicación sencilla de la ley de Biot-Savart se refiere al campo magnético que genera una corriente rectilínea en el espacio que la rodea.
(
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
)
(
)
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Fig. 2.2. Líneas de campo magnético para un conductor rectilineo
A partir de la resolución de la integral de campo de la ley de Biot-Savart para este caso particular, se concluye que:
El modulo del campo magnético total en un punto cualquiera es inversamente proporcional a la distancia a que se encuentra del conductor.
La dirección del campo es perpendicular al conductor.
Su sentido se determina según la regla de la mano derecha, y coincide con el del giro de un tornillo con rosca a derechas, que avanzara en el sentido de la corriente.
Para el caso en que el conductor es muy largo los dos ángulos de la ecuación (2.2.)
serían
iguales a 90º y la ecuación se reduciría a:
(
)
PROBLEMA 2.1. Calcular el vector campo magnético en el origen, para el circuito triangular que se muestra.
SOLUCIÓN.MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
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Para uno de los conductores de longitud finita el campo magnético está dado por:
(
De la misma manera para los otros dos conductores se tiene:
)
(
)
(
)
Donde el campo magnético total será igual a la suma vectorial de los tres campos magnéticos producidos por cada conductor. ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Es importante notar que los sentidos y direcciones del campo magnético ⃗⃗⃗⃗ será paralelo al eje y, ⃗⃗⃗⃗ paralelo al eje z y ⃗⃗⃗⃗ paralelo al eje x (es decir serán mutuamente perpendiculares. También y son ángulos complementarios. Es decir: (
)
Reemplazando: ⃗⃗⃗⃗⃗
( 2.3.
)
[(
)
Inducción Magnética creada por una espira circular
Fig. 2.3. Campo magnético para una espira circular MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
(
)
(
) ]
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Para la figura 2.3. la dirección del campo magnético será paralela al eje x y el módulo del campo magnético será igual a:
(
(
)
)
Para calcular el campo magnético en el centro de la espira se hace a=0.
(
)
PROBLEMA 2.2. Por la placa circular muy delgada perforada mostrada circula una corriente I. Calcular el campo magnético en el centro de la placa.
SOLUCIÓN: Como es una placa delgada podemos tomar un diferencial de radio como se muestra en la figura:
Asumiendo densidad de corriente constante y espesor de placa “e”, tenemos : (
)
(
) (
Para este diferencial de radio dr corresponde un diferencial de corriente dI. El campo magnético que produce dI en el centro será:
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
∫
)
( )
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2.4.
Inducción magnética producida por un solenoide
Una aplicación sencilla de la ley de Biot Savart es el cálculo del campo magnético en un punto del eje del solenoide
El campo magnético en el punto P (Fig. es igual a: (
(
)
Si el solenoide es muy largo los ángulos
) y el módulo del campo magnético en el
centro del solenoide será:
(
)
El campo magnético en un extremo del solenoide sobre el eje se hace si los ángulos
(
)
Es decir que el módulo del campo magnético en un extremo será la mitad del campo magnético en el centro.
2.5.
Ley de ampere
La ley de Ampere indica que la integral de línea cerrada del campo magnético es igual a:
∫ ⃗ ⃗⃗⃗ MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE
(
)
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2.6.
Fuerza entre conductores paralelos
Si por dos conductores circula una corriente, cada uno sufrirá el efecto del campo magnético del otro. Si la corriente es de igual sentido aparece una fuerza de atracción entre ambos y una fuerza de repulsión en el caso de corrientes de sentido opuesto.
2.7.
Campo Magnético de una carga en movimiento
2.8.
Ley de ampere aplicado a un medio conductor
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE