Cantidad de Movimiento Lineal

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 2.4. Conservaci ón de la cantidad de movimiento lin ea eal. 1. Una pelota pelota de béisbol béisbol de 273g se mueve mueve hacia el bateador bateador con una una velocidad de de 13.4 m/s, m/s, y al ser bateada, bateada, sale en dirección contraria con una velocidad de 2.! m/s. "ncuentre el impulso y la #uer$a media e%ercida sobre la pelota si el bate estuvo en contacto con la pelota por un lapso de &.&1 s. SO L UC IÓN 'upongamos (ue la pelota inicialmente se mueve hacia la i$(uierda, y posteriormente hacia la derecha, vea la #igura 13. V1 = 13.4 m/s

V2 = 26.8 m/s

)igura 13 "l impulso est* dado por el cambio +o la variación del impulso, o sea, I- p I - m v FINAL FINAL  m v INICIAL INICIAL 'i el sistema de re#erencia lo consideramos positivo hacia la derecha, entonces la velocidad inicial,  1, ser* negativa, y la velocidad #inal,  2, ser* positiva. I - +&.2730g2.!  + 13.4m/s 1 3.4m/s I - 1&.7 5s 2. Un hombre de 76 0g salta desde desde una altura de 6 m a una piscina, y transcurre un tiempo de &.46 s para (ue el agua redu$ca la velocidad del hombre a cero. 8u*l #ue la #uer$a promedio (ue el agua ha e%ercido sobre el hombre9 SO L UC IÓN :a #igura 14 muestra un gr*#ico (ue representa la situación descrita en el enunciado del problema. 8alcularemos primero la magnitud de la velocidad con la (ue el clavadista ingresa al agua, utili$ando el teorema de conservación de la energ;a mec*nica. E INICIAL E FINAL

5

m

mgh v

1 2

mv 2

2 gh

2 2 9.8m / s v v 9.90 m / s

)igura 14

5m

Utili$amos, luego, la ecuación (ue relaciona al impulso y el cambio de la cantidad de movimiento lineal. I- p F t - m+ v FINAL FINAL – v INICIAL INICIAL

m v FINAL v INIC IAL t 75kg 0 9.90 ˆ jm / s 0.45 s

ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

1&7

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal F 1650 ˆ j N

3. Una #uer$a de impulso unidimensional act=a sobre sobre un ob%eto de 2 0g como se muestra en la #igura 16. "ncuentre el instante en (ue la velocidad de la part;cula es cero, si ten;a al tiempo t - & una velocidad de  .& m/s. SOLUCIÓN F(N) 1200 1000 800 600 400 200 t(s) 2 4 6 8 0 2 4 6 0 0 0 0 1 1 1 1 . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0

)igura 16 "n un gr*#ico )uer$a versus tiempo, el *rea representa el impulso aplicado sobre la part;cula, por tanto utili$aremos primero la de#inición de >mpulso, y a partir de all; relacionamos con el *rea (ue abar(ue hasta una velocidad de cero, y posteriormente de 2& m/s. I- p I - m v FINAL FINAL  m v INICIAL INICIAL
F

9 0 0

t 0.05

:a #igura 1 muestra (ue desde t - & hasta t - &.&2 s la #igura geométrica es un tri*ngulo, cuya *rea es 22.6 5s, por lo (ue podemos concluir (ue el tiempo en el (ue se alcan$a el reposo es menor a &.&6 s, este valor lo hallaremos utili$ando el criterio de los tri*ngulos seme%antes. ? continuación se muestra la relación entre ) y t, a partir de los datos presentes en la #igura 4 900 F 0.05 t

)igura 1

F

18000 t

Ceempla$amos el =ltimo resultado obtenido en la ecuación anterior )t - 24 5s +1!&&&tt - 24 t - &.&3 s

1&!


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal F 1650 ˆ j N

3. Una #uer$a de impulso unidimensional act=a sobre sobre un ob%eto de 2 0g como se muestra en la #igura 16. "ncuentre el instante en (ue la velocidad de la part;cula es cero, si ten;a al tiempo t - & una velocidad de  .& m/s. SOLUCIÓN F(N) 1200 1000 800 600 400 200 t(s) 2 4 6 8 0 2 4 6 0 0 0 0 1 1 1 1 . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0

)igura 16 "n un gr*#ico )uer$a versus tiempo, el *rea representa el impulso aplicado sobre la part;cula, por tanto utili$aremos primero la de#inición de >mpulso, y a partir de all; relacionamos con el *rea (ue abar(ue hasta una velocidad de cero, y posteriormente de 2& m/s. I- p I - m v FINAL FINAL  m v INICIAL INICIAL
F

9 0 0

t 0.05

:a #igura 1 muestra (ue desde t - & hasta t - &.&2 s la #igura geométrica es un tri*ngulo, cuya *rea es 22.6 5s, por lo (ue podemos concluir (ue el tiempo en el (ue se alcan$a el reposo es menor a &.&6 s, este valor lo hallaremos utili$ando el criterio de los tri*ngulos seme%antes. ? continuación se muestra la relación entre ) y t, a partir de los datos presentes en la #igura 4 900 F 0.05 t

)igura 1

F

18000 t

Ceempla$amos el =ltimo resultado obtenido en la ecuación anterior )t - 24 5s +1!&&&tt - 24 t - &.&3 s

1&!


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 4. Una pelota de masa &.1 Dg se suelta desde una altura de 2 m y, después de chocar con el suelo, rebota hasta 1.! m de altura.
2m

:as velocidades v 1 y v 2 las calcularemos por medio de la conservación de la energ;a, colocando como nivel de re#erencia el piso +si usted pre#iere calcular las velocidades por medio medi o de las la s ecuaciones ecuaciones de cinem*tica, cinem*tica, lo puede puede hacer hacer obteniendo obteniendo el mismo mismo resultado.

1.8 m V2

CÁLCULO ! " #. ">5>8>?: - ")>5?: mgh1 - @ mv 12

V1

v1

2 gh1

v1

2 9.8m / s

v1

)igura 17

2 gh2

v2

2 9.8m / s

2m

6.26 m / s

CÁLCULO ! " 2.

">5>8>?: - ")>5?: @ mv 22 - mgh2 v2

2

2

1.8m v2 5.94m / s

:a pelota tiene una cantidad de movimiento lineal (ue es igual a p r

p

mv 0.1kg

6.26 ˆ j m / s

p $  &.2 ˆ j 5s

"l impulso dado a la pelota est* dado por - p I - m+ v 2 v1  r - &.10g+6.4 ˆ j   + .2 ˆ j m/s r

I

r

r

I - &.&32 ˆ j 5s

6. Un cuerpo de &.1& Dg de masa cae desde una altura de 3 m sobre un montón de arena. 'i el cuerpo penetra 3 cm antes de detenerse, (ué #uer$a constante e%erció la arena sobre él9 SO L UC IÓN

3m

"l gr*#ico presentado en la #igura 1!, representa es(uem*ticamente el enunciado del problema. 8alcularemos primero la velocidad (ue lleva la part;cula %usto un instante antes de hacer contacto con la arena. "l nivel de re#erencia (ue tomaremos es el del piso +arena. E INICIAL E FINAL mgh

)igura 1!

1 2

mv

2

v

2 gh

v v

2 9.8m / s

2

3m

7.67m / s


1&

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal
": intervalo de tiempo en el (ue ocurre el #renado del cuerpo lo podemos calcular por la ecuaciones del movimiento rectil;neo uni#ormemente variado.  v f v 0   t y   

t t t



2

y v f v0 2

2 0

0.03 7.67

m / s

0.078 s

Bor lo tanto la #uer$a media para detener al cuerpo una ve$ haya recorrido 3 cm en la arena esF F

0.10k g

7.67 ˆ jm / s 0.078 s

) - .!3 ˆ j 5 . Un astronauta de !& 0g (ueda varado en el espacio a 3& m de su nave. ? #in de retornar a ella, lan$a una llave de &.6 0g con una rapide$ de 2& m/s en dirección opuesta a donde se encuentra la nave. 8u*nto tiempo le toma al astronauta en llegar hasta donde se encuentra la nave9 SO L UC IÓN 'i en un sistema de part;culas no act=an las #uer$as eGternas, la cantidad de movimiento lineal permanece constante, esto es, la cantidad de movimiento lineal inicial es igual a la cantidad de movimiento #inal. p INICIAL p FINAL m::?" v ::?" H I ?'JCK5?UJ?  ?'JCK5?UJ? - m::?" v ::?" )>5?: H I ?'JCK5?UJ?  ?'JCK5?UJ? )>5?: & H & - +&.60g+2&m/s H +!&0g+ ?'JCK5?UJ? )>5?: 1&0g m/s -  !&0g+ ?'JCK5?UJ? )>5?: 

 ?'JCK5?UJ? )>5?: -  &.126 m/s "l signo negativo representa (ue el astronauta de mueve en dirección opuesta a la dirección en (ue se lan$ó la llave. 7. Lué impulso sobre una masa de 2 0g le provoca una cambio en su cantidad de movimiento de 6& 5s9 a. 26 5s b. 6& 5s c. 1&& 5s d.  26 5s e.  6& 5s SO L UC IÓN 'abemos (ue el impulso es igual precisamente al cambio de la cantidad de movimiento lineal, por lo tanto el impulso (ue provoca un cambio de 6& 5s en la cantidad de movimiento es también 6& 5s. %esp&esta' ().

11&


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal !. Una bola de tenis de 1!& g lleva una rapide$ hori$ontal de 16 m/s cuando es golpeada por la ra(ueta. 'i luego del impacto la pelota via%a en una dirección de 26M con la hori$ontal, y alcan$a una altura de 1& m, medida a partir de la altura de la ra(ueta, determine el impulso neto de la ra(ueta sobre la bola.
v

r I

-

p

Bara calcular el impulso necesitamos conocer cu*l #ue la velocidad con la (ue la pelota salió de la ra(ueta, un instante posterior al impacto con ellaN este c*lculo lo reali$amos por medio de las ecuaciones del movimiento rectil;neo uni#ormemente variado.

15 m/s

v

2 v fy

Figura 35

0

25º

v02 y

2a y

y

v y2 2 9.8m / s 2

10m

v y 14m / s

v0 = 15 m/s

Bor lo tanto el valor de v lo calculamos sabiendo (ue

)igura 1

v O - vsen26M  v - 14/sen26M - 33.13 m/s I m v f v0 :a #igura ! muestra a los vectores velocidad, y al vector cambio de velocidad. "l cambio de la velocidad lo obtenemos por medio de la ley del coseno v

15

2

33.13

2

2 15 33.13

!"155#

v 47.15 m / s

"l *ngulo (ue #orma el cambio en la velocidad, v, y por consiguiente el impulso lo calculamos por medio de la ley del seno. Sen

Sen155#

33.13

47.15

sen 1   33.13Sen155#  

47.15



17.27#

Ceempla$ando los valores obtenidos para el cambio en la velocidad, y el *ngulo (ue #orma éste con la hori$ontal, en la ecuación (ue relaciona el impulso y el cambio en la cantidad de movimiento lineal tenemos (ue I - &.1!& 0g+47.16m/sN 17.27M I - !.4 5sN 17.27M %esp&esta' c


111

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal . :a #uer$a (ue act=a sobre una part;cula de  0g var;a con la posición como se muestra en la #igura 17&. 'i la rapide$ en G - 3 m es 2 m/s, encuentre el impulso a los 16 m. Fx(N) 9

0

6

x(m)

15

- 12

)igura 17& SO L UC IÓN Bara un gr*#ico )uer$a versus posición, la región +el *rea deba%o de la curva representa el traba%o neto reali$ado sobre la part;cula a la (ue representa el gr*#ico. ?dem*s del teorema de traba%o energ;a sabemos (ue el traba%o neto es igual al cambio de la energ;a cinética, hecho con el (ue podemos calcular la velocidad de la part;cula a los 16 m. Fx(N) "n la #igura 171 se muestra (ue el traba%o neto est* dado por la suma de las *reas ? 1 y ? 2, pero para hacer el c*lculo 9 respectivo hace #alta determinar los valores de v y t, valores (ue determinaremos por medio de los tri*ngulos A2 seme%antes. 3 0

A1 6

x(m)

t

15

Bara calcular v tenemos

v

v

3

12

6

6m / s

v

- 12

Bara calcular t se presenta la relación entre los lados del tri*ngulo, #ormado por la recta de pendiente positiva y las l;neas punteadas

)igura 171

9

t

6

t 9t 21t 126 126 12t t 10.5 s 21

Bor tanto el traba%o neto ser* igual a W NETO

A1 A2

W NETO

base alt ura  base mayor base menor    alt ura

W NETO W NETO



2

3m

6 N 2

2



 9 4.5   m 9 N  2 

51.75 

Bor lo tanto la velocidad de la part;cula cuando esté en la posición G - 16 m est* dada por P 5"JK - D P 5"JK - @ m+v #2  v &2  61.76 Q - @ + 0gv #2  @ + 0g+2m/s2 v # - 4.1 m/s Bor lo tanto el impulso ser* 112

EL AB OR AD O PO R: JU LI O CE SA R MA CI AS ZA MO RA

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal I r r

I

r

I

- p - m+ v2 v1  - + 0g+4.1  2 m/s - 16. 5s

r

I

1&. Un proyectil de 6& g impacta sobre un *rbol con rapide$ de 2&& m/s y penetra perpendicularmente 1& cm hasta detenerse. 8alcular la #uer$a promedio (ue e%erce el *rbol sobre el proyectil. 8u*nto tiempo tarda en penetrar esa longitud9 +"Gamen parcial de );sica >, > término 2&&1  2&&2 SO L UC IÓN 'abemos (ue el impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento lineal, y al mismo tiempo es igual al producto de la #uer$a promedio por el intervalo de tiempo (ue ha demorado la penetración del proyectil en el *rbol. - p F t - m+ v2 I r

v1 

"l intervalo de tiempo, t, podemos calcularlo utili$ando las ecuaciones del movimiento rectil;neo uni#ormemente variado, asumiendo (ue la desaceleración del proyectil es constante. ! t

 v0 v f     2  t   2

v0

! v

f

t

2 0.1m 200m / s

t - &.&&1 s :a #uer$a promedio ser*, entonces, m v 2 v1 t 0.05kg 0 200 m / s F 0.001 s

F

) - 1& 05


113

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 11. Un proyectil de 1& g es disparado con una velocidad de 76.2 m/s a un *ngulo de 34.6M por encima de la hori$ontal, a lo largo de un campo de tiro plano. "ncuentre el impulso después de 1.6& s haber sido disparado el proyectil. SOLUCIÓN Bara encontrar el impulso necesitamos calcular la velocidad ! de la part;cula cuando ha pasado 1.6& s. :a #igura 172 muestra V la trayectoria de la part;cula :a velocidad de la part;cula en el e%e G es constante y est* V0 V dada por 0# G - +76.2m/s+8os 34.6M - 2.& m/s

$

V0"

"n el e%e de las y el movimiento es uni#ormemente variado, por tanto la velocidad en el e%e de las y, cuando han transcurrido 1.6 s es

)igura 172  y -  &y H a y t  y - +76.2m/s+'en 34.6M H +.! m/s2+1.6s  y - 27. m/s

Bor lo tanto la velocidad total para t - 1.6 s est* dada por v

2 v # v" 2

2 v 62.0 v 68m / s

27.9

2

"l *ngulo (ue #orma con la hori$ontal es v y v !

Tan Tan

1

 27.9    62.0 

24.2#

"n la #igura 173 se muestran ambos vectores velocidad, la velocidad inicial y la #inal. 8on estos dos vectores calculamos el cambio de la velocidad y posterio rmente el impulso.

V0

"l *ngulo entre los vectores es de 1&.3M, sale de la di#erencia de los *ngulos (ue #orma cada vector con el e%e hori$ontal. "l cambio en la velocidad, v, lo calculamos por medio de la ley de los cosenos. v 2 2 v 75.2 68 2 75.2 68 !"10.3# v 142.62 m / s

V% )igura 173

"l *ngulo (ue #orma el vector cambio de la velocidad, v, con el vector velocidad #inal, v #, lo calculamos por medio de la ley del seno. Sen

Sen169.7#

75.2

142.62

Sen 1  75.2 Sen169.7#  

142.32



5.42#

Bor lo tanto el impulso ser* igual a F - p I r

r

I r

I

114

-m+ v - +&.&10g+142.2 m/sN 2.2M


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 2.2M es el resultado de la suma del *ngulo (ue #orma el vector v# con la hori$ontal, 24.2M con el *ngulo (ue #orma el vector v# con el cambio de la velocidad r

I

- 1.43 5sN 2.2M

12. Un tan(ue de guerra de masa 3&&& 0g se mueve con una velocidad de 1& m/s. :an$a una granada de 1& 0g con una velocidad de && m/s en la misma dirección de su movimiento. 8u*l es la nueva velocidad del tan(ue9 SO L UC IÓN Utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal antes de (ue el tan(ue lance la granada. B'>'J"I? antes - B'>'J"I? después mJ?5LU" v 1J?5LU" H mRC?5?
mTAN$%E

m&'ANA(A v2&'ANA(A

v1TAN$%E mTAN$%E

v 2TAN$%E

3000kg 10m / 10kg 600 m / s s 3000kg

v 2J?5LU" - ! m/s 13. Un proyectil de 1& g es disparado hori$ontalmente contra un blo(ue de madera de 4 0g, inicialmente en reposo en una super#icie hori$ontal. "l proyectil tiene una velocidad de 6&& m/s un instante antes de penetrar al blo(ue, y sale de él con una velocidad de 2&& m/s. "l blo(ue desli$a 1& cm a ntes de detenerse. "ncuentre el coe#iciente de #ricción cinética entre el blo(ue y el plano. SO L UC IÓN :a #igura 174 muestra la situación eGpuesta en el enunciado del problema. Utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal para determinar la velocidad con la (ue el blo(ue sale del reposo, después del impacto con el proyectil.

Antes de la colisión v =

500 m/s

Después de la colisión

200 m/s

v =

v &'()*+

10 cm

B'>'J"I? antes - B'>'J"I? después mBCKO"8J>: v 1BCKO"8J>: H mS:KLU" v 1S:KLU" mBCKO"8J>: v 2BCKO"8J>: H mS:KLU" v 2S:KLU" mBCKO"8J>: v 1BCKO"8J>: H & - mBCKO"8J>: v 2BCKO"8J>: H mS:KLU" v 2S:KLU" +&.&10g+6&&m/s - +&.&10g+2&&m/s H 40g+v 2S:KLU" v 2S:KLU" - &.76 m/s ? partir de este momento utili$amos el teorema general de energ;a y traba%o. P )58 - ")>5?:  ">5>8>?:  # 0 d - &  @ m S:KLU" v 22 S:KLU" mS:KLU"gd - @ mS:KLU" v 22 S:KLU" +.!m/s2+&.1m- @ +&.76m/s2 - &.2!7

)igura 174


116

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 14. Una bala de 1& g se mueve hacia un péndulo de &.! 0g (ue se encuentra en reposo. 'i la bala (ueda empotrada en el péndulo, y el sistema péndulo  bala sube hasta una altura de 46 cm, encuentre la velocidad de la bala antes de entrar al péndulo. SO L UC IÓN Antes de la colisión

"n la #igura 176 se encuentran los datos (ue se enuncian en el problema. Brimero calculamos la magnitud de la velocidad (ue el sistema bala  péndulo ad(uirir* posterior a la colisión, mediante la conservación de la energ;a.

Después de la colisión

">5>8>?: - ")>5?: @ m'>'J"I?  2 - m'>'J"I? gh @  2 - +.!m/s2+&.46m  - 2.7 m/s

h = 0.45 m

V SISTEMA

Bosterior a esto, la velocidad de la bala, antes de la colisión con el péndulo, podemos calcularla por medio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal. )igura 176

B'>'J"I? antes - B'>'J"I? después mS v S H mS: v S: - +mS H mS: +&.&10gv S H & - +&.&1 H &.!0g+2.7m/s v S - 24&.6 m/s 16. Una es#era de masa m, suspendida como se muestra en la #igura 17, se suelta desde una altura h y golpea a una masa I, inicialmente en reposo sobre una super#icie hori$ontal sin #ricción, cuando alcan$a el punto m*s ba%o de su trayectoria. "ncuentre la velocidad  de la masa I y la velocidad v de la masa m, inmediatamente después del impacto, suponiendo (ue la colisión es per#ectamente el*stica. SO L UC IÓN 'i la colisión es el*stica, se conserva la cantidad de movimiento lineal y la energ;a cinética del sistema, antes y después de la colisión. "l coe#iciente de restitución para una colisión el*stica es igual a 1. Cecuerde (ue el coe#iciente de restitución, e, es la relación de las velocidades relativas antes y después de la colisión entre las part;culas, o sea, e

m h M

)igura 17

v ) 2 v A2 v A1

v )1

donde v S2 es la velocidad de la part;cula S después de la colisión, v S1 es la velocidad de la part;cula S antes de la colisión, v ?2 es la velocidad de la part;cula ? después de la colisión, y v ?1 es la velocidad de la part;cula ? antes de la colisión. Bara los datos del problema tenemos * v v m1 0 v m1 * v 1

1

Bor conservación de la cantidad de movimiento lineal tenemos mv m1 H Iv I1 - mv H I mv m1 H & - mv H I mv m1 - mv H I
+2

'umamos las ecuaciones +1 y +2 v m1 -  v H 11




2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal v m1 - v H +I/m 2 v m1 - +1 H I/m

+3

?hora, calculamos la velocidad de la es#era, v m1, %usto un instante antes de (ue colisione con el blo(ue, por medio de conservación de la energ;a. ">5>8>?: - ")>5?: mgh - @ mv 2m1 vm1

2 gh

Ceempla$ando este valor en la ecuación +3 tenemos 2 2 gh

 +  1 *  m 

2 2 gh

 m +   *  m 

 2m   2 gh  m + 

* 

O el valor de la velocidad v lo obtenemos reempla$ando estos dos =ltimos valores en la ecuació n +1  2m  2 gh v   m +   2m   2 gh v  2 gh  m +   2m  1 v 2 gh   m +   2m m +  2 gh  v   m +  2 gh

m +  v    2 gh m +  

1. Una bala de masa m y velocidad v atraviesa al péndulo de masa I y sale con una velocidad de @ v, como se muestra en la #igura 177. :a cuerda (ue sostiene al péndulo tiene una longitud :. 8alcule el valor m;nimo de v para (ue el péndulo describa un c;rculo completo.

L

v

M v/2

)igura 177


117

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal SO L UC IÓN V

Bara (ue el péndulo complete %usto una vuelta, la velocidad en el punto m*s alto de la trayectoria circular es la denominada velocidad cr;tica, en este punto act=a solamente el peso sobre la es#era, observe la #igura 17!.

M

Mg

L

A

B

M V0

)igura 17

)igura 17!

 Fy

maC

+* +g L * 2 gL

2

Bor medio de la conservación de la energ;a calculamos la velocidad con la (ue la es#era inicial el movimiento circular, posterior a la colisión con la bala. ">5>8>?: - ")>5?: @ I &2 - Igh H @ I 2  &2 - 2g+2: H  2  &2 - 4g: H g: * 0

5 gL

Bara calcular el valor de v utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal. mv H I 1 - m+v/2 H I & mv  m+v/2 - I 5 gL 1 2

mv + 5 gL

v

2 +

m

5 gL

17. :os blo(ues ? y S de la #igura 17 chocan ba%o las siguientes condicionesF a "n el primer cho(ue S est* en reposo mientras ? se mueve hacia la derecha con una rapide$ de  m/sN después de cho(ue ? rebota con una rapide$ de 2 m/s mientras (ue S se mueve hacia la derecha con una rapide$ de 4 m/s. b "n el segundo cho(ue S est* en reposo y ? se carga con una masa de 3 0g y se dirige hacia S con una rapide$ de  m/sN después del cho(ue ? (ueda en reposo y S se mueve hacia la derecha con una rapide$ de ! m/s. "ncuentre la masa de cada blo(ue. SO L UC IÓN "n el primer cho(ue tenemos la siguiente situación m ? v ? H mS v 5 - m ?  ? H mS  S m ? -  2m ? H 4mS !m ? - 4mS 2m ? - mS "n la segunda colisión se presenta la siguiente situación m ? v ? H mS v 5 - m ?  ? H mS  S +m ? H 3 - !mS 3m ? H  - 4mS 4mS  3m ? -  4+2m ?   3m ? -  m ? - 1.! 0g mS - 3. 0g 11!

ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMOR A

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 1!. Una es#era de 6 0g (ue se est* moviendo a  m/s golpea a otra de 4 0g (ue est* en reposo y contin=a en la misma dirección a 2 m/s. "ncuentreF a. :a velocidad de la bola de 4 0g después del cho(ue. b. "l coe#iciente de restitución. SO L UC IÓN :a #igura 1!& muestra la situación presentada en el enunciado del e%ercicio. a Utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal para la situación presentada m ? v ? H mS v 5 - m ?  ? H mS  S +60g+m/s H +40g+& - +60g+2m/s H +40g+

,ntes de la colisión V,1

=

6 m/s

V&1 =

0 m/s

A B

 - 6 m/s -esus de la colisión V,2 = 2 m/s

V&2

b "l coe#iciente de restitución, e, es la relación +cociente entre la velocidad relativa #inal y la velocidad relativa inicial entre las dos part;culas

A

e

B

)igura 1!&

e

* )

* A

v A

v )

5m / s 2 m / s 6m /

s

0

e 0.5

1. "ntre dos cuerpos, uno de 3& 0g (ue se est* moviendo a 3 m/s a la derecha y el otro de 16 0g (ue se mueve a  m/s a la i$(uierda, ocurre un cho(ue #rontal directo. 'i el coe#iciente de restitución es e - &. y el tiempo (ue dura el cho(ue es de &.&2 s, determine la #uer$a de cho(ue promedio. SO L UC IÓN Bara determinar la #uer$a promedio de cho(ue, necesitamos calcular el impulso, y para ello necesitamos las velocidades posteriores al cho(ue ocurrido. Utili$aremos la conservación de la cantidad de movimiento lineal y el coe#iciente de restitución. "n la #igura 1!1 se muestra una representación de la situación presentada. ,ntes de la colisión V,1 = 3 m/s

V&1 = 6 m/s

m ? v ? H mS v 5 - m ?  ? H mS  S 3&0g+3m/s H 160g+m/s - m ?  ? H mS  S & - 3& ? H 16 S  S -  2 ? +1

A B

-esus de la colisión

e 0.6 5.4

V&2

V,2 A

B

)igura 1!1

* ) * A v A v ) * ) * A 3

* )

6

* A 2

Ceempla$amos la ecuación +1 en la +2 6.4 -  2 ?   ?  ? - 1.! m/s

 S - 3. m/s Bara calcular la #uer$a promedio en la colisión utili$amos la de#inición de impulso y la relación (ue eGiste entre éste y el cambio de la cantidad de movimiento lineal. ) t-> ) t- p ) t - m+ )>5?:   >5>8>?: )+&.&2s - 3&0g+1.!3m/s


11

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal ) -  72&& 5 'i calculamos para la segunda part;cula ) t - m+ )>5?:   >5>8>?: )+&.&2s - 160g3.+m/s ) - H 72&& 5 :a ra$ón para (ue en una part;cula el valor de la #uer$a promedio salga positiva, y en la otra salga negativa es por(ue la #uer$a en un caso es la acción y en el otro es reacción, por tanto la magnitud de la #uer$a promedio para ambas part;culas es )BCKI"<>K - 72&& 5 2&. 'e de%a caer una pelota sobre el suelo desde una altura de 1.6 m y rebota hasta una altura de 1 m. "ncuentre el coe#iciente de restitución entre la pelota y el suelo. SO L UC IÓN :a #igura 1!2 muestra el instante en (ue la part;cula cae desde 1.6 m y luego rebota hasta 1m. 1.5 m 1.0 m

"l coe#iciente de restitución es la relación entre las velocidades relativas antes y después de la colisión entre dos part;culas, o sea,

V,2 V,1

)igura 1!2 la conservación de la energ;a.

e

* TIE''A * ,ELOTA

2 1

* TIE''A 1

"n ambos casos, antes del cho(ue y posterior a él, la tierra permanece inmóvil, por tanto  J>"CC?2 y  J>"CC?1 valen cero. :as velocidades de la pelota, tanto en la ca;da como en la subida, las podemos calcular por medio de las ecuaciones del movimiento rectil;neo uni#ormemente variado, o por C A* A ">5>8>?: - ")>5?: mgh1 - @ mv 2 ? 1 v A1

2 gh1

S U+I A ">5>8>?: - ")>5?: @ mv 2 ?2 - mgh2 v A2

2 gh2

Ceempla$amos estos valores en la ecuación del coe#iciente de restitución e e e

2 gh2

0

2 gh1

0

2 gh2

2 gh2

2 gh1

2 gh1

h2

1m

h1

1.5m

e

12&

* ,ELOTA 2

0.816


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 21. Un proyectil de masa m - 6&g es disparado desde el suelo con una rapide$ de 6&& m/s a un *ngulo de 4&M sobre la hori$ontal. ?l llegar a la altura m*Gima el proyectil impacta con el blo(ue de masa 2 0g, inicialmente en reposo, sobre una super#icie hori$ontal rugosa, 0 - &.3. Broducto del impacto el proyectil (ueda incrustado en el blo(ue. , >> Jérmino 2&&3  2&&4

V

)igura 1!3 SO L UC IÓN :a velocidad con la (ue el proyectil impacta en el blo(ue es la componente de la velocidad en el e%e G, por(ue al llegar a la altura m*Gima, la velocidad en el e%e y es cero. G - cos4&M - +6&& m/s8os4&M Bara calcular la velocidad con la (ue parte el sistema blo(ue  bala, utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal. mS?:? v 1 H mS:KLU" v S:KLU" - +mS?:? H mS:KLU" &.&60g+6&& m/s8os4&M - +&.&6 H 20g  - .34 m/s Bara calcular la distancia recorrida por el blo(ue antes de detenerse, utili$amos la relación general entre el traba%o y la energ;a. P )58 - ")>5?:  ">5>8>?: # 0 d - &  @ m 2 2 0 5d - @ m 2 0 gd - @  &.3+.!m/s2d - @ +.34m/s 2 d - 14.!4 m 22. Un blo(ue de masa m1 - &.6 0g se suelta desde el reposo desde una altura de !& cm sobre el nivel hori$ontal, desde un plano inclinado liso como se muestra en la #igura 1!4N en el plano hori$ontal liso choca de #orma parcialmente el*stica +e - &.! con otro blo(ue de masa m2 - 1.6 0g, inicialmente en reposo. a. Tasta (ué altura sube cada blo(ue después del cho(ue en los dos planos inclinados. b. Lué porcenta%e de energ;a se pierde durante el cho(ue.

h2

h = 80 cm 30º

h1

m2

60º

)igura 1!4 SO L UC IÓN a 8alculamos las velocidades de los dos blo(ues, un momento antes de la colisión, por medio de conservación de la energ;a. ">5>8>?: - ")>5?: mgh1 - @ mv 21 ?5J"'


121

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal v1 ANTES

2 gh

v1 ANTES

2 2 9.8m / s 0.8m

v1 ANTES 3.96m / s

:uego utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal y el coe#iciente de restitución, para averiguar las velocidades ganadas después de la colisión. m1 v 1?5J"' H m2 v 2?5J"' - m1 v 1<"'BU' H m2 v 2<"'BU' +&.60g+3.m/s H & - +&.60g v 1<"'BU' H +1.60gv 2<"'BU' 3. - v 1<"'BU' H 3v 2<"'BU' +1 e

v 2 (ES,%-S v1 (ES,%-S v1 AN T E S v 2 AN T E S

0.8

v2 ( E S , % - S v1 ( E S , % - S

3.168

3.96

0

v 2 ( E S , % - S v1 ( E S , % - S

2

'umamos las ecuaciones +1 y +2 7.12! - 4v 2<"'BU' v 2<"'BU' - 1.7!2 m/s 8on este resultado reempla$amos en la ecuación +1 o en la ecuación +2, y obtenemos el valor de la velocidad de la part;cula de masa m 1 después de la colisión.  1<"'BU' -  1.3! m/s Bor medio de la conservación de energ;a calculamos la altura a la (ue sube cada blo(ue ">5>8>?: - ")>5?: @ mv 21<"'BU' - mgh1 @ +1.3!m/s2 -+.!m/s2h1 h1 - .! cm ">5>8>?: - ")>5?: @ mv 22<"'BU' - mgh2 @ +1.7!2m/s2 -+.!m/s2h2 h2 - 1.2 cm b "l porcenta%e de energ;a perdida es la relación de la energ;a cinética antes y después de la colisión y restada del 1&&V inicial. $ ENE'&.A

,E'(I(A 100$

/ ( E S , % - S 100$ / ANTES 1

$ ENE'&.A

,E'(I(A 100$

2

2

m1v1 (ES,%- S

1 2 $ ENE'&.A

,E'(I(A 100$

2 1 1 ANTES

mv

0.5kg 1.386m /

s

1 2 1 2

m2v22 (ES,%-S m 2v

2

2

1.5kg 1.782m /

0.5kg 3.96m / s $ ENE'&.A

,E'(I(A 27$

100$

2 2 ANTES

s 2

100$

122


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 23.
15º

L

)igura 1!6 SO L UC IÓN Bodemos calcular la velocidad de la es#era grande, %usto antes de hacer contacto, por medio de la conservación de la energ;a. :a #igura 1! muestra la situación en (ue la es#era de masa mayor se ale%a 16M y luego se suelta. ">5>8>?: - ")>5?: Igh - @ Iv 2I?5J"' 15º



L

"n la #igura 24 se puede apreciar también (ue y H h - :

h

V,2+

)igura 1!

?dem*s, del tri*ngulo rect*ngulo se puede demostrar (ue y - :cos16M, por lo tanto tenemos (ue :cos16M H h - : h - :  :8os16M - :+18os16M : - &.6 m +18os16M

Bor lo tanto la velocidad de la part;cula al llegar al punto m*s ba%o ser* +.! m/s2&.6+18os16Mm - @ v 2I?5J"' v I?5J"' - &.67! m/s :a velocidad de la masa pe(ueWa, después de la colisión, la calculamos con la conservación de la cantidad de movimiento lineal, por medio de la de#inición de coe#iciente de restitución. Iv I?5J"' H mv m?5J"' - Iv I<"'BU' H mv m<"'BU' +&.3&0g+&.67!m/s - +&.3&0gv I<"'BU' H +&.14&0gv m<"'BU' &.226 - +&.3&0gv I<"'BU' H +&.14&0gv m<"'BU' +1 e 1

v +(ES,%-S v m(ES,%-S v mANTES v +ANTES v +(ES,%-S v m(ES,%-S 0

0.578

0.578

v +(ES,%-S vm(ES,%-S

v +(ES,%-S

vm(ES,%-S 0.578

%2&

Ceempla$amos la ecuación +2 en la ecuación +1 &.226 - +&.3&+v m<"'BU' &.67! H +&.14&v m<"'BU' &.226 - &.3&v m<"'BU'  &.226 H +&.14&v m<"'BU' v m<"'BU' - &.!61 m/s 8on esta velocidad y la conservación de la energ;a, podemos calcular el *ngulo hasta el cual se despla$a la masa m. Kbserve la #igura 1!7, de la misma tomaremos los datos en la conservación de la energ;a


123


L

">5>8>?: - ")>5?: mgT - @ mv 2m<"'BU' g:+1cos  - @ v 2m<"'BU

1

'

2

1

v m(E S , %- S

!"

2 gL

! m

!"

Vm-+*

1

2 vm(ES,%-S

2 gL

  

!" 1 1

)igura 1!7

0.851   2 9.8 0.5  2

22.16#

24.
5 "g

1m

1 "g

A

B

)igura 1!! SO L UC IÓN Cesolveremos el problema partiendo desde la situación #inal. Bor el teorema general de traba%o y energ;a calcularemos la velocidad (ue llevaban los blo(ues (ue comprimen %untos al resorte P )58 - ")>5?:  ">5>8>?:  # 0 d ?S - @ 0G2  @ m'>'J"I? v 2 2   @ 0 5d ?S -@ 0G 2 m'>'J"I? v  -@ 0G2  @ 0 m'>'J"I? gd ?S m'>'J"I? v 2 +&.23+60gH10g+.!m/s2+1m &.6+7425/m+&.16m2 &.6+60gH10gv 2



v - 2.7 m/s 8on esta velocidad, (ue es la de los dos blo(ues (ue colisionaron de manera inel*stica, determinamos la velocidad del blo(ue de 6 0g antes de la colisión con el blo(ue de 1 0g, por medio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal. I H mv 1 - +IHmv 6 - +2.7  - 3.24 m/s

h = L#3

V+-+*

)igura 1!

8on esta velocidad calculamos la velocidad con la (ue se movió la es#era después de la colisión, por medio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal. m" v "?5J"' H mS v S?5J"' mS v S<"'BU' 2v "?5J"' - 2v "<"'BU' H

m" v "<"'BU'

H

6 + 3 .

24 2v "?5J"' - 2v "<"'BU' H 1.2 v "?5J"' - v "<"'BU' H !.1 124


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal Bor medio de la conservación de la energ;a podemos calcular la velocidad después del cho(ue, observe la #igura 1!. ">5>8>?: - ")>5?: @ mv 2"<"'BU' - mgh @ v 2"<"'BU' - +.!m/s2+2/3m v "<"'BU' - 3.16 m/s 8on esta velocidad podemos calcular la velocidad de la es#era, %usto antes de hacer impacto con el blo(ue de 6 0g, retomando la ecuación obtenida por la conservación de la cantidad de movimiento lineal.
L

">5>8>?: - ")>5?: mgT - @ mv 2 ?5J"' g:+1cos  - @ v 2 ?5J"' 1

v A2 NTE S

!"

2 gL

!

2

!"

V,2+

)igura 1&

v ANTES 2 gL

1

2  4.485   !" 1  2 9.8 2    1

61#

26. "l blo(ue de la #igura 11 tiene una masa de 16 0g y se sostiene por dos resortes de constante de #uer$a D - 2&& 5/m. "ncuentre la velocidad m;nima de la bala de masa && g para (ue (uede incrustada en el blo(ue y apenas to(ue el suelo. 8ada resorte tiene una longitud no de#ormado de 1 m. 40º

V0

40º

M

h = 6m

Figura

11


126

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal SO L UC IÓN 8alcularemos por conservación de la energ;a la velocidad con la (ue sale el sistema masa  bala, posterior al impacto +colisión. 8abe notar (ue hay dos resortes con las mismas caracter;sticas #;sicas, por tanto son dos las energ;as el*sticas (ue debemos tomar en cuenta. "n la #igura 3 mostramos el instante en (ue la bala hace impacto con el blo(ue, y todo el sistema masa  bala sale con una velocidad inicial,  &'>'J"I? . ">5>8>?: - ")>5?: 2+@ 0G21 H +IHmgh H @ +IHm 2&'>'J"I? - 2+@ 0G2 2  ?l inicio los resortes est*n alargados por(ue la longitud natural de ellos es 1 m, y en la #igura 12 se muestra (ue en ese instante tienen una longitud de 1.6 m, por tanto G1 - &.6 m. Bara calcular G2, necesitamos calcular T y G, de tal manera (ue por el Jeorema de Bit*goras calculamos :, y como consecuencia G2. S en40#

0

3ituación inicial desus del c7o8ue

ituación %inal desus del c7o8ue $

40º 40º

9 M V0;+,

0

'

9:6

$

7 = 6m

1.5m 1.5 S en40# m

ivel de re%erencia

"l valor de G lo calculamos con el mismo tri*ngulo rect*ngulo.

)igura 12 !

Cos40#

!

M

1.5m 1.5Cos 40# m

:a elongación +estiramiento G2 del resorte la calculamos por medio del Jeorema de Bit*goras. 2

L

L

L

! 2

% 0

6&

1.5 !" 40#

2

2

1.5 Sen40# 6

2

7.06m

Bor lo tanto G2 - :  1 - .& m ?hora reempla$amos estos valores obtenidos en la ecuación (ue relaciona el traba%o con la energ; a. +2&&5/m+&.6m2H+16.0g+.!m/s2+mH@+16.0g 2&'>'J"I? -+2&&+.&m2 6&H17.2!H7.!  2&'>'J"I? - 7344.72  &'>'J"I? - 2!.6m/s 8on este resultado calculamos la velocidad (ue la bala ten;a %usto antes de impactar con el blo(ue, por medio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal. mv H I - +mHI &'>'J"I? +&.&&0gv - +16.0g+2!.6m/s v - 743 m/s

12

EL AB OR AD O PO R: JUL IO CE SA R MA CIA S ZA MO RA

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 2. Una bala de 6&& g golpea un blo(ue de 1& 0g para luego salir con la mitad de su velocidad. "l blo(ue (ue estaba moment*neamente en reposo resbala sobre una pista circular de radio C - 6m y logra ascender hasta una altura T - 6/3 C hasta el punto S, punto en el (ue pierde contacto con la pista. "l carril presenta un #ricción constante promedio de !. 5. "ncuentre la velocidad de la bala. +"Gamen de me%oramiento de );sica >, >>> Jérmino 2&&2  2&&3

$ !

$

v

)igura 13 SOLUCIÓN 5?:  ">5>8>?: #d - @ mv S2 H mgh  @ mv ? 2 :a velocidad de la part;cula en el punto donde la altura es T - 6/3C la calculamos por medio de la segunda ley de 5eEton, y la distancia d es la longitud circular desde el inicio de la trayectoria circular hasta el punto donde se separa de la pista, vea la #igura 14.

 F 'A(IALES

maC v ) r

2

mg !" mgc%s

'

m

del gr*#ico eGpuesto en la #igura 4&2, también se puede concluir (ue cos - +h  r/r - +6/3 r  r/r - 2/3

&

h - &

h &

v S2 - +2/3gr )igura 14

d - C - &MH+&   - 8os1+2/3- 4!.2M

)igura 16

- 1!&M 4!.2M - 2.3 rad d - 2.3+6m - 11.6 m Ceempla$amos estos dato en la ecuación de traba%o y energ;a. +!.5+11.6m - @+1&0g+2/3gC H +1&0g+6/3gC  @+1&v ? 2 6v ? 2 - 1&+.!+6+1/3 H 6/3 H !. v ? - 14. m/s mv 1 H I 1 - mv 2 H I 2 mv 1 H & - m+@v 1H1&+14. mv 1  @ mv 1 - 14. @+&.6v 1 - 14. v 1 - 6!7.6 m/s ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

127

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 27. Un blo(ue de 60g, (ue se est* moviendo hacia el este a ra$ón de 2 m/s sobre una super#icie hori$ontal sin #ricción, es golpeado por un proyectil cuya masa es 16 g y (ue #ue disparado hacia el norte. "l proyectil se introduce en el blo(ue y ambos se mueven en una dirección a 4&M al norte del este. 8alcularF a :a magnitud de la velocidad com=n después del impacto. b :a velocidad del proyectil antes de hacer impacto. c "l porcenta%e de pérdida de energ;a cinética. +"Gamen Barcial de );sica >, >> Jérmino 2&&2  2&&3 

v&,+ = 2m/s ( v,+

+ 

)igura 1 SO L UC IÓN "n la #igura 1 se muestra el gr*#ico (ue representa la situación descrita en el enunciado del e%ercicio, antes de la colisión del proyectil y el blo(ue. Bosterior al impacto ambas part;culas se mueven %untas, en la #igura 17 se muestra este hecho. a :a cantidad de movimiento lineal se conserva en ambos e%es, e%e G y e%e y, por lo tanto anali$amos ambos por separado. !,! mS  S?5J"' -+mS H mBG +60g+2m/s -+6.&160gcos4& V  40º

( v,+

+



)igura 17  - 2.& m/s b
/ FINAL 100 / INICIAL 1

$ E

2 1 2

$ E $ E

m )LO$%E

m ,'O"ECTIL * 2

2 2 m )LO$%E v )LO$%E m ,'O"ECTIL v ,'O"ECTIL

5.015kg 2.6 m / s 2 5kg 2 m / s

2

0.015kg 559.4m / s

2

0.719$

Bor lo tanto se pierde el .2!1V en la colisión. 132 ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 2!. Un n=cleo, originalmente en reposo, se desintegra emitiendo un electrón de momento lineal .22G1& 21 0g m/s y un neutrino en un *ngulo recto a la dirección del electrón, con momento lineal 6.33G1& 21 0g m/s. a "n (ué dirección retrocede el n=cleo residual98u*l es su momento lineal9 b 'uponiendo (ue la masa del n=cleo residual es 3.&G1& 26 0g. 8u*les son su velocidad y su energ;a cinética9 SO L UC IÓN a :a #igura 1! muestra a las tres part;culas elementales en el instante en (ue se desintegra el n=cleo.

5.33$10<21 g m/s

.22$10<21 g m/s



)igura 1! :a cantidad de movimiento lineal se conserva en ambos e%es !,! & - p5X8:"KG H p":"8JCY5 & - p5X8:"K8os H .22G1&21 0g m/s p5X8:"K cos - .22G1&21 0g m/s +1 5K & - p5X8:"K sen H 6.33G1&21 0g m/s p5X8:"K sen -  6.33G1&21 0g m/s +2 'i dividimos las dos ecuaciones, esto es, la ecuación +2 entre la ecuación +1, resulta p N1CLEO

5.33 10 9.22 10

sen p N1CLEO !"

Tan

21

21

30#

este *ngulo encontrado es el *ngulo (ue #orma el n=cleo con el e%e negativo de las G, o sea, la dirección del n=cleo, posterior a la desintegración es 16&M. Utili$ando este *ngulo encontramos (ue la cantidad de movimiento lineal del n=cleo es 1.G1& 2& 5s. "n #orma vectorial el momento del n=cleo es pN/CL!O - 1.G1&2& 5sN 16&M b
v - +1.G1&2&5s,16&M/3.&G1& 26 0g v - 4.2G1&4 m/s :a energ;a cinética est* dada por / /

1 2 1 2

mv

2

3.90 10

25

D - 3.64G1&1 Q

4 kg 4.26 10 m / s

2


133

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 2. Una eGplosión rompe una roca en tres peda$os. , >nvierno 2&&6 SO L UC IÓN :a representación gr*#ica es similar a la del problema anterior, por lo tanto, el an*lisis es eGactamente el mismo (ue el (ue hicimos en el e%ercicio anterior. !,! & - pI?'?1G H pI?'?3Z & - m1 v I?'?1 H m3 v I?'?3Z & - +10g+12m/s H +4&m/sm3cos 12 - 4&m3cos  3 - 1&m3cos +1

!,!  & - p5I?'?2O H pI?'?3O & - m2 v I?'?2O H m3 v I?'?3O & - +20g+!m/s H +4&m/sm 3sen  1 - 4&m3sen  4 - 1&m3sen +2 4/3 - Jan - 63.13M deba%o del e%e G negativo

Ceempla$ando este resultado en la ecuación +1 o en la ecuación +2 tenemos (ue la masa del tercer peda$o es &.6 0g, por lo tanto la masa total de la roca es mJKJ?: - m1 H m2 H m3 mJKJ?: - 1 0g H 2 0g H &.6 0g mJKJ?: - 3.6 0g 3&.
-esus del c7o8ue

,ntes del c7oue

V1 = 54 =m/7

V 7 / m =

2  =

2

V

)igura 1 :a #igura 4& muestra a los dos veh;culos, antes y después de la colisión, anali$amos a las dos situaciones por medio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal, tanto en el e%e G como en el e%e y. 134


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal p1Z?5J"' H p2Z?5J"' - p1Z<"'BU' H p2Z<"'BU' m1 v 1Z - +m1Hm2 Z +6&&0g+640m/h - +13&&0gcos +1 p1O?5J"' H p2O?5J"' - p1O<"'BU' H p2O<"'BU' m2 v 2O - +m1Hm2 O +!&&0g+720m/h - +13&&0gsen +2
v0

v0

V

)igura 2&& Tacemos el an*lisis en cada uno de los e%es, de tal manera (ue la cantidad de movimiento lineal se conserva. !0e 1 & - Iv & H I+cos  v & - cos

+1

!0e 2 & - Iv & H I+sen  v & - sen

+2

* !" *sen 1 Tan 45#

Bor tanto la dirección del tercer peda$o es de 226M. :a magnitud de la velocidad es v & - sen226M v & - / 2  - 2 v & " - 2 v & a 226M ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

136

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 32. Una pelota de masa m est* moviéndose a una rapide$ v & a lo largo del e%e HG, hacia el origen de los e%es coordenados. Rolpea de ro$ón una pelota de masa m/3, (ue se encuentra en reposo en el origen de e%es coordenados.
-+* -+' C9()*+



v0/2 v0



3*º +

+

v0 = 0

)igura 2&1 Utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal en cada uno de los dos e%es de re#erencia. !0e 1  mv & - m+v &/2cos37M H +m/3G  v & H &.4v & - G/3  1.!v & - G !0e  & - m+v &/2sen37M H +m/3y  &.3v & - y/3  &.v & - y
V$ = 1.8v 0 V

V! = 0.v0

)igura 2&2 Utili$ando las #unciones trigonométricas y el Jeorema de Bit*goras se puede concluir (ue la velocidad " es igual a " - 2.&1v & a 2&7M :o eGtraWo (ue sucede es (ue Dantes[Ddespués +la energ;a cinética antes de la colisión es mayor (ue la energ;a cinética después de la colisión, situación (ue no se debe cumplir debido a (ue en un cho(ue la energ;a se pierde en el impacto, en la restitución del movimiento, se pierde en #orma de sonido, en #orma de calor, en #orma de lu$ +en algunos casos.

13


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 33. :a masa del disco I mostrado en la #igura 2&3 es 2&V mayor (ue la masa del disco m. ?ntes de chocar los discos se acercan entre s; con momentos lineales iguales y opuestos, y el disco m tiene una rapide$ inicial de 1& m/s, encuentre la rapide$ de los discos después del cho(ue si la mitad de la energ;a cinética se pierde durante la colisión. m

30º

m

M

30º

M

)igura 2&3 SOLUCIÓN Utili$amos la conservación de la cantidad de movimiento lineal, tanto para el e%e G como para el e%e y. !0e 1 mv m?5J"' H I+v I?5J"' - mv m<"'BU' cos3&MH Iv I<"'BU' cos3&M pero por condición del problema mv m?5J"' - Iv I?5J"' m+1& - Iv I?5J"' y I - m H 2&Vm - 1.2m, por lo tanto 1&m - 1.2mv I?5J"' v I?5J"' - 26/3 m/s olviendo a la ecuación anterior tendr;amos m+1&  1.2m+26/3 - mv m<"'BU' cos3&M H +1.2m+v I<"'BU'cos3&M 1.2v I<"'BU' - v m<"'BU' +1 "n el e%e y ocurrir* lo mismo (ue en el e%e de las G, esto es, se llegar* a concluir (ue 1.2v I<"'BU' v m<"'BU'. ?dem*s eGiste el dato (ue indica (ue se pierde la mitad de la energ;a cinética en la colisión, o sea, D )>5?: - @ D >5>8>?: 1 2

m

1

2

m(ES,%-S

1  1  mvmANTES 2  2

2

+(ES,%-S

2

1 2

2

+ANTES

  

     m 10 122m 25   2  3     2

m

2

m(ES,%-S

122m

vm(ES,%-S 122 2

3

2

m(ES,%-S

1

2

+(ES,%-S

2

+(ES,%-S

326

2

+(ES,%-S

2

1  250  100  2  3  275

2

Ceempla$amos la ecuación +1 en la ecuación +2 275 275

2

3 1.2v +(ES,%-S

2 3.6 +(ES,%-S

2 7.92 +(ES,%-S

v I<"'BU' - 6.! m/s 8on este resultado encontramos la velocidad de la otra part;cula, reempla$ando este =ltimo resultado en la ecuación +1 1.2+6.! - v m<"'BU' v m<"'BU' - 7.&7 m/s


137

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 34.
-esus del c7o8ue

,ntes del c7oue

V

V1 = 13 m/s

55º i 2

V

)igura 2&4 8on los datos presentados en la #igura 411, hacemos el an*lisis mediante la conservación de la cantidad de movimiento lineal, tanto en el e%e G como en el e%e y !0e 1 mv 1 - +m H m+vcos66M 13 - 2+vcos66M 13 v -11.33 m/s 2 !" 55# !0e  m 2i - +m H m+vsen66M 13  2i - 2+ sen66M 2 !" 55#  2i - 1!.6 m/s "l conductor miente por(ue hab;a rebasado el l;mite de velocidad.

13!


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 36. "n el cho(ue central oblicuo indicado en la #igura 2&6, el coe#iciente de restitución es &.. :os discos desli$an sobre una super#icie hori$ontal lisa, calcular la velocidad #inal de cada disco después del cho(ue. mB = 10 "g

mA = 5 "g 3

4

4

3

)igura 2&6 SOLUCIÓN Ceali$amos un gr*#ico en el (ue se muestra la situación de las dos part;culas, antes y después de la colisión, vea la #igura 2&. -+* -+ ', C(';3;>

,+ -+ ', C(';;>

mB = 10 "g

3 4

4

mA = 5 "g 3

mA = 5 "g mB = 10 "g

)igura 2& !0e 1 m ? v ? cos H mS+v S cos  - m ? +v ?
v A(# v )(# v )A# v AA#

0.6 0.6

v A(# v )(# v )A# v AA# v A(# v )(# 3!"

0.6

v A(# v )(# 3 0.6

2.52

3!" 3 0.8

v A(# v )(#

3


13

vB = 3 m#s vA = 3 m#s

4

3 3

4 )igura 2&7

1.2 - v ?
+1 +3

1.32-  3v S
v S< cos - &.44 m/s v ?< cos - 2.&! m/s

"n el e%e de las y el coe#iciente de restitución, e, es cero, por(ue las #uer$as impulsivas y restitutivas est*n ubicadas en el e%e G. v A(" v )A" v A(" 0 v )A" 0 v A(" e

v A("

v )(" v AA" v )(" v AA" v )("

v )("

4

Ceempla$amos luego la ecuación +4 en la ecuación +2 . - v S
v S< sen - 2.2 m/s v ?< sen - 2.2 m/s

"stos resultados parciales para las velocidades de ? y de S después de la colisión los dividimos para encontrar el *ngulo. v )( sen

2.2

v A(

2.2

v )( !"

0.44

sen v

2.08

Tan

2.2 0.44 78.7#

A( !" 2.2

Tan

2.08 46.6#

Bor lo tanto la velocidad de la part;cula ?, después de la colisión es v S< sen7!.7M - 2.2 m/s v + - 2.24 m/s en una dirección de 7!.7M v ?< sen4.M - 2.2 m/s v ?< - 3.&3 m/s en una dirección de 13.M

14&


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 3. "ncuentre las coordenadas Z  O del centro de masa de los cuerpos planos mostrados en la #igura 2&!. +"Gamen parcial de );sica >, > Jérmino 2&&3  2&&4 x(m) 6

1 "g $ = 1m

4 2 "g 2 3 "g 2

4

 (m)

6

)igura 2&! SO L UC IÓN "l centro de masa de una circun#erencia es el centro de la misma, mientras (ue el centro de masa de un cuadrado +o rect*ngulo es el punto donde se intersecan las dos diagonales. Bor lo tanto el centro de masa del sistema est* dado por # C+

m1 !C+ 1 m 2 !C+ 2 m3 !C+ 3 m1

# C+ # C+

2 kg 3m

m2

" C+

m1 yC+ m2 yC+ 2 m3 yC+ 3 1

m3

3kg 1m

m1 1kg 6m

2kg 1m

" C+

2kg 3kg 1kg 2.5m

" C+

m2

m3

3kg 3m

1kg 4 m

2 kg 3kg 1kg 2.5m

r8I -+2.6N2.6m 37. 8alcule la posición del centro de masa de los ob%etos (ue se muestran en la #igura 2&. Jome como origen para el ob%eto > la es(uina superior i$(uierda, y para el ob%eto >>, la es(uina in#erior i$(uierda. a

a

a

5 cm 25 cm 60 cm

a 85 cm a 25 cm ;

20 cm

;;

)igura 2& SOLUCIÓN ?l igual (ue en el anterior e%ercicio, utili$amos la ecuación para determinar el centro de masa en el e%e G y en el e%e y. O+,!3O I

141

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal :as ecuaciones presentadas en la parte in#erior se #undamentan en la #igura 417.

! a

a

a $ a a

)igura 21& # C+

m !C+ 1

m !C+ 2

m !C+ 3

m m m a 3a 5a   3a  m   m    m    m   2 

# C+

 2 

 2 

 2 

# C+

2

a



 2

2 



2 



2 



2 

4m 3

" C+

r8I -  3 a'

myC+ 3

m m m a   a  m  a  m  3a  m    m     

" C+

4m 3

m yC+ 1 m yC+ 2

" C+

4

a

3 

a

4 

O+,!3O II Bara esta situación no tenemos las posibles divisiones simétricas, por lo tanto buscaremos otra #orma de encontrar el centro de masa.
! 5 cm ,1 ,3

85 cm

,2

25 cm 60 cm

25 cm

$

20 cm

)igura 211 # C+ # C+ # C+

# C+

* 1 !C+ 1

* 2 !C+ 2

* 1

* 2

* 3 !C+ 3 * 3

A1h!C+ 1 A2h !C+ 2 A1h1

A2 h2

A3h !C+ 3 A3h3

h A1 !C+ 1 A2 !C+ 2 A3 !C+ 3 A1 !C+ 1

h A1 A2 A3 A2 !C+ 2 A3 !C+ 3

A1 1

A2 A3

* 1 yC+ 1

" C+ " C+

* 1

* 2

* 3 yC+ 3 * 3

A1hyC+ 1 A2h yC+ 2 A1h1

A2h2

A3hyC+ 3 A3h3

h A1 yC+ A2 yC+ 2 A3 yC+ 3

" C+

" C+

* 2 yC+ 2

1

A1 yC+

h A1 A2 A3 A2 yC+ 2 A3 yC+ 3

1

A1

A2 A3

La densidad de un material es la razón de la cantidad de materia que ocupa espacio, matemáticamente está dada por

un

i rto

c e

m , donde es la densidad del material, m la masa masa y V el volumen. volumen.

*

142



# C+

253m 953m 47.53m 253m 353m 82.53m 203m 603m 103m 253m 953m 253m 353m 203m 603m

# C+ 44.27 3m " C+

253m 953m 72.53m

253m 353m 42.53m

253m 953m

253m 353m

203m 603m 303m

203m 603m

" C+ 55.143m

r8I - +44.27N66.14cm 3!. Un proyectil es lan$ado con una velocidad inicial de 1& m/s #ormando un *ngulo de 46M con la hori$ontal. >nesperadamente en su recorrido se #ragmenta en dos partes iguales. 'i una de ellas cae al piso a una distancia igual a la mitad del alcance m*Gimo (ue deb;a tener el proyectil completo. "ncontrar las coordenadas de la posición del segundo #ragmento del proyectil. SO L UC IÓN :a #igura 41 muestra la trayectoria seguida por el proyectil. !?m@ V2

ra!ectoria del segundo %ragmento

V1 45A

$?m@ ra!ectoria del rimer %ragmento

)igura 212

:a #uer$a (ue eGiste sobre el centro de masa, antes y después de la eGplosión es el peso, debido a (ue las #uer$as impulsivas internas +provocadas por la eGpulsión se cancelan mutuamente, por acción y reacción. 'i utili$amos la segunda ley de 5eEton obtendremos un resultado interesante para el centro de masa

 F

maC+

mg maC+ aC+ g

2 * 0 sen 2

g

# C+ # C+

10m / s

2

sen 2 45# 2 9.8 m / s 10.2m

8onociendo el lugar en el (ue se ubicar* el centro de masa del proyectil, calcularemos la ubicación del segundo #ragmento. ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

143

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal !1m1 !2 m2

# C+

m1

m2

 10.2m   m !2  2 

m 10.2m

2m

10.2 2

5.1

!2

G2 - 16.3 m 3. Un niWo de 4& 0g est* parado en un eGtremo de una lancha de 7& 0g y 4 m de longitud, como se muestra en la #igura 213. :a lancha est* al inicio a 3m del muelle. "l niWo observa una tortuga sobre una roca, en el otro eGtremo de la lancha y comien$a a caminar hacia ella para atraparla. a. "n dónde estar* el niWo, con respecto al muelle, cuando alcance el otro lado del muelle9 6.6 m del muelle b Bodr* atrapar a la tortuga9 'uponga (ue se puede estirar 1 m #uera del eGtremo de la lancha. 5o la atrapa 3m

4m

)igura 213 SO L UC IÓN a 8alculamos el centro de masa del sistema niWo bote, debido a (ue este no cambia con respecto al movimiento, esto es, mantiene su condición de movimiento inicial, el reposo. # C+

! + m + ! L m L m +

m L

# C+

3m 40kg

# C+

4.27 m

5m 70kg

40kg 70kg

"ste valor est* medido a partir de la orilla del muelle. 8uando el niWo comien$a a caminar, la lancha comien$a a desli$arse en dirección opuesta a la del movimiento del niWo, por el e#ecto de la #ricción de los $apatos del niWo sobre la super#icie de la lancha, y debido a (ue el agua presenta poca resistencia al movimiento, se provoca el movimiento de la lancha. "l movimiento del sistema de part;culas se produce por la acción de #uer$as impulsivas internas, por lo tanto se conserva la cantidad de movimiento lineal del sistema. m + v + m L v L

ANTES

m + v + m Lv L

(ES,%-S

'i multiplicamos la ecuación anterior por el tiempo t, (ue se demora el sistema en reali$ar el movimiento tendremos m + v + m L v L ANTES t m + v + m L v L (ES,%-S t m + v + t m L v L t ANTES m + v + t m L v L t (ES,%-S

144


2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal ?ntes de (ue el sistema comience a moverse, ni el muchacho ni la lancha tienen velocidad, por tanto la parte i$(uierda de la ecuación es cero. ?dem*s, el producto de la velocidad por el tiempo es la posición del centro de masa del sistema después del movimiento, por tanto se concluye (ue el centro de masa tiene velocidad cero, o sea, el centro de masa permanece inmóvil. 8onociendo esto podemos ahora veri#icar en donde se encuentra el muchacho con respecto a la orilla del muelle. "n la #igura 214 se muestra (ue el centro de masa no se mueve, y (ue este se encuentra a 1.27 m del muchacho. Bor lo tanto el niWo se encontrar* a 6.64 m de la orilla. b 'i se puede estirar un metro, el niWo estar* a .64 m de la orilla y no alcan$ar* a la tortuga. 3m

4m

C;2+, 1.2* m

4.2 m 1.2* m

3m

4m

C;2+,

)igura 214

4&. Un muchacho ? pesa !& 0g y una chica S de 6 0g permanecen de pie sin moverse en los eGtremos de un trineo (ue pesa 2& 0g, vea la #igura 216. 'i intercambian posiciones, ? pasa a S y S pasa a ?, determine la posición #inal del trineo después del movimiento.
4m ,

&

)igura 216

SO L UC IÓN "l procedimiento a seguir es similar al (ue ya seguimos anteriormente, esto es calculamos primero la ubicación del centro de masa del sistema, y luego comparamos las posiciones de cada part;cula, con respecto al centro de masa (ue permanece inmóvil posterior al movimiento del muchacho y la chica. Jomaremos como origen la posición de la part;cula ?. # C+ # C+ # C+

! + m + !C mC !T mT m + m L 0 80 kg 4 m 65kg 2m 20kg 80kg 65kg 20kg 1.818m


146

2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal "n la #igura 423 se muestra la ubicación del centro de masa del sistema y de la chica, el trineo y el muchacho. 4m ,

& C 1.818 m ;2+, 1.818 m

0.364 m

4m &

,

C;2+,

)igura 21 'e puede ver claramente (ue la distancia (ue se ha movido el trineo es &.34 m.

14


Cantidad de Movimiento Lineal

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