Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
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PROPOS OSI CI ONES OPERA RADO DORESLÓGI COS OS PROPOSI CIONESMO MOLECULARE RES FOR ORMASPROPOSI CIONALES BI CONDI CI ONAL.EQUI VALENC NCI ASLÓG ÓGI CAS ALGEBRA DE PROPOSI CI ONES RAZONAMI MI ENTOS OS Cotidianamente tratamos de pensar y actuar inteligentemente. inteligentemente. Nuestras acciones están dirigidas a que sean o parezcan coherentes. Pero para situaciones formales un un tanto complicadas, nuestros argumentos elementales no nos ayudan a resolerlas. !s aqu" donde entra la necesidad de considerar mecanismos a#stractos para el análisis formal. $a l%gica matemática nos permite hacer estos análisis, haciendo que todas las erdades de la raz%n sean reducidas a una especie de cálculo. Con la l%gica matemática podemos precisar la equialencia entre e&presiones a#stractas, podemos analizar la alidez alidez de argumentos argumentos o razonamientos, razonamientos, podemos realizar demostraciones formales,...
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Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
1. 1PROPOS OSI CI ONES OBJETIVOS: '! P(!)!N*! +! !$ !')*-N)!/ • *efina proposici%n. • Conozca la notaci%n para proposiciones. (econozca proposiciones. • • *é e0emplos de proposiciones. • *é e0emplos de enunciados que no sean proposiciones.
La Lógi ca Mat emá mát i ca,hace uso excl usi vo de expr esi ones que mani fiest an o una ver dad o una f al sedad.A es t as expr esi onessel as CI ONES. l l ama manPROPOSI Ent onces:
PROPOSICIONES son afrmacione afrmacioness a las que se les puede asignar o bien un valor de verdad de VERDADERO o bien un valor de verdad de FALSO. Ejemplos 1.
2Hoy es Lunes2 3suponga que efectiamente estamos en el d"a lunes de la semana, entonces esta e&presi%n será una afirmaci%n V!(**!(4.
2Estoy en la clase de matemáticas" 3suponga
5.
que la persona que emite esta afirmaci%n, efectiamente está presenciando la clase de matemáticas6 en este caso esta e&presi%n será una afirmaci%n tam#ién V!(**!(4.
2Estoy en España2 3suponga ahora que la persona que emite ésta frase se encuentra encuentra en !cuador !cuador y no en !spaña, !spaña, entonces entonces esta afirmaci%n afirmaci%n será una proposici%n 8$'4.
7.
Ot r asexpr esi ones,como mol asexcl ama maci ones,l aspr egunt as,deseos o mandat os;no son consi der adas como proposi ci ones por l a Lógi ca Mat emá mát i ca. Ejemplos: 1.9:0alá $luea; 5.<=iciste el de#er de Matemáticas> 7.'iéntate y estate quieto.
1. 1. 1NOTACI ÓN mbol osparael Deaquíenadel ant eadopt aremo mosl ossi gui ent essí A ALOR DE VERDAD V deunapr oposi ci ón: VERDADERO
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FALSO
0
MBOLOS q LosSÍ uese adopt an para l as pr oposi ci onessuel en ser LABECEDARI O l a sPRIMERASLETRASDE enmi núscul a.
Ejercicio Propuesto 1.1 Indique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?: a4 !sta fruta está erde. #4 c4 'iéntate y estate quieto d4 7 ?@A 1B e4 !l rat%n trep% a la mesa. f4 Mañana se aca#ará el mundo. g4 (am%n (am"rez de#e pagar sus deudas a menos que quiera ir a la cárcel. h4 i4 $a edad del unierso es de unos 1D mil millones de años. 04 9Márchate;
Ahor a bi en en nuest r ol enguaj e común usamos f r ecuent ement e pr oposi ci onesmásext ensascomo:
Nohice el de#er de Matemáticas . !stoy en !cuador yestoy feliz. !studio ó 0uego fEt#ol . Siestudio entoncessacaré #uena calificaci%n en el e&amen.
Sur ge ent onces l a necesi dad de defini ra l os nexos de es t as pr oposi ci ones,l osl l amadosConect oresuOper adoresl ógi cos.
1. 2OPERADORES( CONECTORES)LÓGI COS OBJETIVOS: '! P(!)!N*! +! !$ !')*-N)!/ • Conozca la notaci%n para los operadores l%gicos. • *eduzca, con e0emplos, la esencia de los operadores l%gicos y la ta#la de erdad para las operaciones l%gicas. • nalice e interprete las condiciones suficientes y las condiciones necesarias en una condicional. • Comprenda e interprete la rec"proca, la inersa y la contrarec"proca de una condicional. • )raduzca del lengua0e comEn al lengua0e formal
1. 2. 1NEGACI ÓN
•
Lanegaci ónsepresent aconl ost ér mi nos:• •
No Noe sv er dadque Noesc i e r t oque
¬
ElSÍMBOLO LÓGICO queseempl eaparat r aduci r l aes:
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~
Aunquet ambi énsesuel eempl ear : Anal i cemosl osi gui ent e. Ejemplos
'P:NF +! !')M:' !N !$ *G $N!' *! $ '!MN , entonces al decir/
1.
¬a / 2Hoy no es Lunes "
a / 2Hoy es Lunes2 2.
3será una proposici%n V!(**!(4. 3en cam#io esta proposici%n será 8$'4. 'P:NF +! N: !')H $$:V-!N*:, entonces al decir/
¬a / 2No está lloviendo2
a / 2Está lloviendo" 3será una proposici%n 8$'4
3en cam#io esta proposici%n será V!(**!(4
Siubi camosest as obser vaci onesen una t abl a quenosi ndi que TABLA DE VERDAD. t odases t asposi bi l i dadesf ormamos l al l amada Queparal anegaci ónser í a: a 1 0
¬a 0 1
Observeque:
El operador NEGACIÓN CAM!A EL VALOR DE VERDAD de una proposici"n.
1. 2. 2 CONJUNCI ÓN Est eoper adorl ot enemoscuandoenl azamosproposi ci onesconel
y t ér mi n o Enl enguaj ef ormalsel ot r aduceconelSÍMBOLO:∧ Ejemplo C:N'-*!(!M:' $' '-F-!N)!' P(:P:'-C-:N!'/ a : "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo" b : "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo" $ C:NNC-IN *! $' *:' P(:P:'-C-:N!' '!(G/ a ∧ b : "Tengo una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo" !ntonces al suponer que/ 1. !n erdad se tiene las dos monedas 3 a ≡ 1 ; b una de 25 centavos en el bolsillo2, será una V!(**.
≡
1 4 entonces decir 2Tengo una moneda de 50 y
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5. 'i se tiene la moneda de DB centaos y no la de 5D centaos 3 a ≡ 1 ; b 2Tengo una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo 2, será 8$'.
≡
0 4, la proposici%n
7. 'i no se tiene la moneda de DB centaos y si la de 5D centaos 3 a ≡ 0 ; b ≡ 1 4, la proposici%n 2Tengo una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo 2, será tam#ién 8$'. J. 'i no se tienen las dos monedas 3 a ≡ 0 ; b ≡ 0 4, la proposici%n 2Tengo una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo 2, tam#ién será 8$'.
Porl ot ant o,LATABLADEVERDAD paral aconj unci ónser í a/ a
b
a∧b
1
1
1
1
0
0 0
1
0 0 0
0
Observeque:
La CONJUNCIÓN de dos proposiciones es VERDADERA siempre # cuando ambas proposiciones sean verdaderas.
1. 2. 3 DI SYUNCI ÓN I NCLUSIVA Ladi syunci óni ncl usi vaaparececuandoenl azamospr oposi ci ones conelt érmi no:O Sel ot r aduceconelSÍMBOLO LÓGICO: ∨ Ejemplo Considerando las mismas proposiciones anteriores/
a : "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo" b
: "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo"
$ *-'KNC-:N *! $' *:' P(:P:'-C-:N!' '!(G /
a ∨ b : "Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo" !ntonces al suponer que/ 1. !n erdad se tenga las dos monedas 3 a ≡ 1 ; b una de 25 centavos en el bolsillo2, será una V!(**.
≡
1 4entonces decir 2Tengo una moneda de 50
o
5. 'i se tiene la moneda de DB centaos y no la de 5D centaos 3 a ≡ 1 ; b ≡ 0 4, la proposici%n 2Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo 2, será tam#ién una V!(**. 7. 'i no se tiene la moneda de DB centaos y si la de 5D centaos 3 a ≡ 0 ; b ≡ 1 4, la proposici%n 2Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo 2, será tam#ién una V!(**.
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J. 'i no se tienen las dos monedas 3 a ≡ 0 ; b ≡ 0 4, la proposici%n 2Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo 2, será una 8$'!**.
Porl ot ant o,LA TABLA DE VERDAD paral adi syunci óni ncl usi va sería: a
b
a∨b
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Not eque:
INCLUSIVA de dos La DISYUNCIÓN proposiciones es FALSA siempre # cuando ambas proposiciones sean $alsas.
1. 2. 4DI SYUNCI ÓN EXCLUSI VA Segur ament eust edhaexpr esadodi syunt i vasendondeseadmi t e, l ounoól oot r oper onoambascosas. Ejemplos 1. 2Daniel está en España o Italia 2 5. 2 Jessica tiene una altura de 1.0 m. o 1.!5 m.2 7. 2El motivo del crimen ue o bien el robo o bien la vengan#a2
Est osej empl ossel ospuedei nt er pr et arcomo: " *aniel está en !spaña o está en -talia, pero no puede estar en am#os lugares a la ez " essica tiene una altura de 1.@B m. o una altura de 1.LD m., pero no puede tener am#as " estaturas a la ez" !l motio del crimen fue s%lo el ro#o o s%lo la enganza " "
Enelúl t i moej empl o,conelt érmi no" sól o"desechamosl ai deade queelmot i vodelcri menseaelr oboyl avenganzaal avez.
ó…ó…" Ent onceselt ér mi noenl enguaj ecomúnserí a: " .Como " . obi en……obi en…. . t ambi én elt ér mi no" EL SÍMBOLO LÓGICO queseempl eaparat r aduci r l aes:∨ .Aunque t ambi énseempl eaelsí mbol o⊕ Si nembargo,l adi syunci ón excl usi vasel at r aduceent ér mi node l adi syunci óni ncl usi vadel af orma:( a ∨ b) ∧ ¬( a ∧ b)
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LA TABLA DEVERDAD paral adi syunci ónexcl usi vaserí a: a 1 1 0 0
a∨ b
b
1 0 1 0
0 1 1 0
Porl ot ant o,sepodrí adeci rque:
La DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de dos proposiciones es FALSA siempre # cuando ambas proposiciones sean $alsas # %ambi&n cuando ambas sean verdaderas. 1. 2. 5 ENUNCI ACI ÓN HI POTÉTI CA Est e es elconect or l ógi co más i mport ant e.Ll amado t ambi én condi ci onaloi mpl i caci ón. Apar ececuandoenl azamosdospr oposi ci ones a y b del af orma: " Sia entoncesb ", Set r aduceconelSÍMBOLO LÓGICO:a
→
b
e c e de nt En es t e caso a l a proposi ci ón "a "se l a Ant e l l ama:
yal a pr oposi ci ón"b "sel al l ama: Consecuent e T es i s TROS Exi st en O LENGUAJES conl aenunci aci ónhi pot ét i ca.Est osson:
RELACI ONADOS
' a implica b ' 'as%a a para que b ' ' a s"lo si b ' ' a solamen%e si b ' ' b si a ' ' b cada ve( que a' ' b siempre que a 7
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' ' b pues%o que a ' ' b #a que a ' ' b cuando a ' ' b debido a que a' ' b porque a '
Ejemplo 'up%ngase que un padre le dice a su hi0o/ 2Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro2. ien, ahora piense que/ 1. !fectiamente el hi0o aprue#a el preuniersitario, y que el padre le regala el carro. !ntonces el padre ha dicho una V!(**. 5. 'i el hi0o aprue#a el preuniersitario y el padre no le regala el carro. !ntonces el padre ha dicho una M!N)-( 38$'!**4. 7. 'i el hi0o no aprue#a el preuniersitario y sin em#argo el padre le regala el carro, aunque no está o#ligado a hacerlo. !ntonces el padre N: ha dicho una M!N)-(. J. 'i el hi0o no aprue#a el preuniersitario y el padre no le regala el carro. !l padre tampoco ha dicho una M!N)-(.
Ent onces,LA TABLA DE VERDAD paral aenunci aci ónhi pot ét i ca sería: a 1 1 0 0
b
1 0 1 0
a → b
1 0 1 1
Porl ot ant o,sepodrí adeci rque:
La ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA es FALSA s"lo cuando el an%eceden%e es verdadero # el consecuen%e $also. Val el a pena r ecal carque,no es necesari o que exi st ar el aci ón causalent r el apr oposi ci ón "a "yl apr oposi ci ón"b " .Elval ordeverdad del anuevapr oposi ci ón dependedel osval or esdever dad decadauna del aspr oposi ci ones.
1. 2. 5. 1 Condi ci onesnecesari asysufici entes
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En ocasi ones,una enunci aci ón hi pot ét i ca ver dader a,en donde exi st er el aci ón causalent r eelant ecedent e a yelconsecuent e b ,se i nt er pr et acomo: "a escondi ci ónsufici ent epara b " "b escondi ci ónnecesari apara a " Locualnosi ndi caot r asdosf ormasdel enguaj erel aci onadopara l aenunci aci ónhi pot ét i ca. Ejemplo Si un n!mero es divisible para " entonces es divisible para 2 !ste enunciado puede ser interpretado, parafraseándolo de la siguiente manera/ 2!s S!IIE#TE que un nEmero sea diisi#le para J para que sea diisi#le para 52 : tam#ién/
2!s #EES$%IO que un nEmero sea diisi#le para 5, para que sea diisi#le para J2 3tam#ién/ 2si un nEmero es diisi#le para J, necesariamente será diisi#le para 524
Es i mport ant e menci onarque sisei nt er cambi a elant ecedent e conelconsecuent el aenunci aci ónhi pot ét i cacambi a. Ejemplo Considerando el e0emplo anterior, al enunciar la proposici%n de la siguiente forma/ " Si un n!mero es divisible para 2 entonces es divisible para "" es 8$'& porque es induda#le que e&isten nEmeros diisi#les para 5 que no son diisi#les para J 3L por e0emplo4.
Elenunci ado ant er i ort ambi én puede serparaf r aseado de l as si gui ent esf ormas: 2 $a diisi#ilidad para J implica la diisi#ilidad para 5 2 • 2 n nEmero es diisi#le para J s%lo si es diisi#le 52 • 2 asta que un nEmero sea diisi#le para J para que sea diisi#le para 52. • 2 n nEmero es diisi#le para 5 siempre que sea diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 si es diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 puesto que es diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 ya que es diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 cada ez que sea diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 cuando es diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 de#ido a que es diisi#le para J2 • 2 n nEmero es diisi#le para 5 porque es diisi#le para J2 •
1. 2. 5. 2 VARI ACI ONES DE LA CONDI CI ONAL
)ara la implicaci"n a b se defne* LA RECÍPROCA** b → a →
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LA INVERSA** ¬a → ¬b LA CONTRARRECÍPROCA** ¬b → ¬a Ejemplo 'ea la proposici%n/ '#ré el sábado$ si me pagan(
a / Me pagan Primero identifiquemos el antecedente y el consecuente b / iré el sá#ado $uego tenemos/ 'i me pagan, entonces iré el sá#adoO *e aqu"/ (!CGP(:C/ 'i oy el sá#ado, entonces me paganO -NV!('/ 'i no me pagan, entonces no iré el sá#adoO C:N)(((!CGP(:C/ 'i no oy el sá#ado, entonces no me paganO Ejercicios Propuestos 1.2 1. !n las siguientes proposiciones, identifique el N)!C!*!N)! y el C:N'!C!N)!. a4 'i no se ama a primera ista, no se ama como es de#ido. #4 Para ser secretaria se necesita enseñar la rodilla. c4 !l que ro#a un dolar, ro#a un mill%n. d4 Pienso, luego e&isto. e4 +uien siem#re ientos, cosecha tempestades. f4 Para que un pol"gono sea rectángulo, es suficiente que sea cuadrado. g4 No somos dé#iles si hacemos uso apropiado de los medios que el *ios de la Naturaleza ha puesto #a0o nuestro dominio. h4 )endrás é&ito solamente si aprecias la opini%n de los demás. i4 nicamente mediante el error auténtico y el tra#a0o espontáneo y creatio puede el ser humano superar su angustia y soledad. 5. Considerando las proposiciones/ a / Ko terminé mi de#er antes de comer. b
/ Ko 0uego tenis por la tarde.
c / =oy hace sol. / =oy hay poca humedad. !scri#ir en $!NF! '-MI$-C: / a4 !s necesario que termine de hacer mi de#er antes de comer y que haya poca humedad para que si hace sol yo 0uegue tenis por la tarde. #4 Para m" es suficiente que no haya sol y haya poca humedad para que no salga a 0ugar tenis por la tarde. d
7. 'ean las proposiciones/ a / )e gustan las matemáticas b / )e gusta este de#er )(*QC las siguientes proposiciones al lengua0e comEn/ a) a →b
b) ¬a ∨ b ¬b → ¬a c) d4 ( a ∨ ¬a ) → b J. *ada la proposici%n/ "Si un triángulo está circunscrito en un semic%rculo$ entonces es rectángulo " !scri#a la rec"proca, la i nersa y la contrarrec"proca.
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1. 3 PROPOSI CI ONESMOLECULARES OBJETIVOS: '! P(!)!N*! +! !$ !')*-N)!/ • *efina proposiciones at%micas y moleculares. • !sta#lezca el alor de erdad de una proposici%n molecular.
Las PROPOSICIONES MOLECULARES son e+presiones que es%,n compues%as por varias proposiciones conec%adas por operadores l"gicos. A las proposiciones simples- en las que no aparecen operadores l"gicosse las denominan PROPOSICIONES ATÓMICAS . Ejemplo
( ( a ∨ b ) ∧ ¬c ) → ( a ∧ b )
Laspr oposi ci onesat ómi casparaest eej empl oser í an
a ,b yc .
Elval ordever dad del apr oposi ci ón mol ecul ardependedelval or dever daddel aspr oposi ci onesat ómi casquel acomponen. Suponga que: a ≡ 1 ; b ≡ 0 y c ≡ 1 , ent onces l a pr oposi ci ón mol ecul arant eri ores VERDADERA,po r que:
a ∨ b ∧ ¬c → a ∧ b 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1
. Ejercicios Propuestos 1.3 a0o la suposici%n de que los alores de erdad de las proposiciones at%micas
a ,b ,c ,d ,
e ,y
f son respectiamente B,B,1,1,B,16 determinar el V$:( *! V!(** de cada una de las proposiciones moleculares siguientes/
1.
[ ( a → b) ∧ ( b → a ) ] → c
5.
{[ a → ( b ∨ ¬a ) ] ∧ ( c → d ) ∧ ( e ∨ [ d → f ] )} → ( a → b)
7.
{[ a ∧ ( ¬b ∧ a ) ] ∧ ( c ∧ ¬d )} ∧ {[ ¬e ∧ ( d ∧ ¬ f ) ] → ( a → f )}
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1. 4 FORMAS PROPOSI CI ONALES OBJETIVOS: '! P(!)!N*! +! !$ !')*-N)!/ • *efina formas proposicionales. • *efina tautolog"as, falacias y contradicciones. • plique la definici%n de tautolog"a y la de falacia para clasificar formas proposicionales dadas. • *efina formas equialentes • *etermine si formas proposicionales dadas son equialentes o no
na FORMA PROPOSICIONAL es una e+presi"n cons%i%uida por s/mbolos que represen%an o conec%ores l"gicos o variables proposicionales. Ejemplo
( ( p ∨ q ) ∧ ¬r ) → ( p ∧ q)
Donde p, q, r son VARIABLES PROPOSICIONALES, que pueden r epr esent arpr oposi ci onesat ómi casopr oposi ci onesmol ecul ares. Si r eempl az amos a p , q y r por pr oposi ci ones f al sas y ver dader asl osr esul t adossonpr oposi ci onesmol ecul ar es. Elnúmer odeproposi ci onesmol ecul aresquesegener anesi guala nde n eselnúmer odevari abl espr oposi ci onal es. 2 n ,do Para elej empl o ant er i or ,como l af orma pr oposi ci onalt i ene 3 vari abl es pr oposi ci onal es, ent onces hay 23 = 8 pr oposi ci ones mol ecul ares,cuyosval oresdever dadsemuest r anenl asi gui ent et abl a:
p q
r p q ¬r ( p
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 1
1 1 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 0 0
1 0 1 1
∨
∨
q ) ∧ ¬ p ∧ q ( ( p ∨ q ) ∧ ¬r ) → ( p ∧
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Obser ve que con t r es vari abl es,para no r epet i rcasos,l as dos úl t i masvari abl es q y r mant i enenl ascuat r oscombi naci onesbási cas ( ambas ver dader as,una de el l as ver dader a mi ent r as l a ot r af al sa y ambasf al sas)yl apri mer a vari abl e p esver dader a.Luego,l omi smo par al asdosúl t i masvari abl es,per oconl apri mer af al sa. Si hubi esen 4 vari abl es proposi ci onal es, se hacen l as ocho combi naci onesant er i or escon l as úl t i mas t r esvari abl esy l a pri mer a vari abl ever dader a;l uego,l omi smoquel oant eri orper oconl apri mer a f al s a,e sde ci r : p q
r s
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
Paramásvari abl esrepet i relpr ocesodef ormaanál oga. Exi st enf ormaspr oposi ci onal esmuysi ngul aresyquevanaserde muchoi nt er ésparanuest r asnecesi dades.
TAUTOLOGÍA: Forma proposicional cu#a es%ruc%ura l"gica da lugar a proposiciones VERDADERAS para %odos los casos de valores de verdad de las variables proposicionales que las componen. Cuando unaf or maproposi ci onalNO ES TAUTOLÓGI CA sel al l ama FALACI A.
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CONTRADICCION: Forma proposicional cu#a es%ruc%ura l"gica da lugar a proposiciones FALSAS- sin impor%ar el valor de verdad de sus variables. Ejemplo l o#serar la ta#la de erdad de la forma proposicional
( p → q ) ⇒ ( ¬ p ∨ q ) p q 1 1 0 0
¬
1 0 1 0
p p → q
0 0 1 1
1 0 1 1
p ∨ ( p → q ) ⇒ ( ¬p ∨
¬
1 0 1 1
1 1 1 1
Notamos que el alor de erdad de las proposiciones que se generan es siempre erdadero, sim importar el alor de erdad de las aria#les proposicionales interinientes. Por tanto es una )):$:FG. 'i al menos, fuese falsa en un caso, entonces ser"a una 8$C-.
1. 4. 1IMPLICACI ONESLÓGI CAS
Sean A # B dos $ormas proposicionales. Decimos que A implic l!"icm#$%# a B si # s"lo s/ A B es una %au%olog/a. →
Enest ecasoseescri be
A ⇒ B .
Al gunasi mpl i caci onesl ógi cast í pi casson: p ⇒ [ p ∨ q ] [ p ∧ q ] ⇒ p
[ p ∧ ( p → q) ] ⇒ q [ ( p → q ) ∧ ¬q] ⇒ ¬p [ ( p ∨ q ) ∧ ¬ p ] ⇒ q p ⇒ [ q → ( p ∧ q ) ] [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] ⇒ [ p → r ] [ p → q] ⇒ [ ( p ∨ r ) → ( q ∨ r ) ] [ p → q] ⇒ [ ( p ∧ r ) → ( q ∧ r ) ] [ p → q ] ⇒ [ ( q → r ) → ( p → r ) ] [ ( p → q) ∧ ( r → s) ] ⇒ [ ( p ∨ r ) → ( q ∨ s) ] [ ( p → q) ∧ ( r → s) ] ⇒ [ ( p ∧ r ) → ( q ∧ s) ] [ ( p → q) ∧ ( r → s) ] ⇒ [ ( ¬q ∨ ¬ s) → ( ¬ p ∨ ¬r ) ] [ ( p → q) ∧ ( r → s) ] ⇒ [ ( ¬q ∧ ¬ s) → ( ¬ p ∧ ¬r ) ]
dici%n 'implificaci%n Modus Ponens Modus )ollens 'ilogismo *isyuntio 'ilogismo =ipotético
*ilemas constructios *ilemas constructios
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Ejercicios Propuestos 1.4 1.
*!M!')(! las -mplicaciones $%gicas anteriores.
5. !scri#a la )$ *! V!(** de las siguientes formas proposicionales/ a) p → (¬ p → p ) #4
( p
∧
q ) ∧ ( p → ¬q )
c) (( p → q) ∧ (¬ p → q )) → q d4 ( p ∨ q) → ( p ∨ (¬ p ∧ q )) 7.
a4 ( p ∧ q ) ⇒ p #4 c4 d4 e4
J.
b) c4
d) e4
[ p ∧ ( p → ¬q ) ] ⇒ ¬q [ ¬ p ∧ ( q ∨ ¬ p ) ] ⇒ ¬p [ ¬ p ∧ ( p → ¬q ) ] ⇒ ¬q [ ( q → r ) ∧ ( p → q ) ] ⇒ ( p → r ) [ ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
'ean p, q , r aria#les proposicionales, entonces la forma proposicional que N: !' )):$IF-C es/ a) ¬( p ∨ q) ⇒ ( q → ¬ p)
b) c) d) e4 L.
q)) ⇒ p ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ q ) (¬ p ∧ ( p → q )) ⇒ ¬q ¬( p ∨ q ) ⇒ ( ¬ p ∧ ¬q ) →
na de las siguientes formas proposicionales N: !' )):$IF-C, identif"quela.
a)
D.
( p ∧ ( p
[ ( p → q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p [ ( p ∧ q ) → r ] ⇒ [ ( p → r ) ∨ ( q → r ) ] [ ( p → q) ∧ ( ¬q → r ) ] ⇒ ( p → ¬r ) [ ( p → r ) ∧ ( q → r ) ] ⇒ [ ( p ∨ q ) → r ]
$a e&presi%n B para que la forma proposicional/
{{¬[ ¬ p ∨ ( ¬ p ∧ q ) ] → ¬q} ∧ q} ⇒ B N: '! )):$IF-C
a4 #4 d4
q p
e4
¬
c4
@.
es/
( p ∧ q ) ¬ p ∨ q
¬
p
=$$( el operador ∇ O para que la forma proposicional sea tautol%gica/
[ ( p → q ) ∧ ( r → s ) ] ⇒ [ ( ¬ q ∇ s ) → ( ¬ q ∨ ¬ r ) ]
1. 5 BI CONDI CI ONAL Un nuevo oper ador l ógi co es l a dobl ei mpl i caci ón, l l amado t ambi énBI CONDI CI ONAL.
15
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
Elsí mbol o empl eado es: ↔ .Que enl azando dos proposi ci ones s íys ól os íb serí a a ↔ b .Quesi gni fica ( a → b ) ∧ ( b → a ) ysel ee “a ”. Sut abl adever dadser í a:
a
b
1 1 0 0
1 0 1 0
a ↔b
1 0 0 1
Observamosque:
La &ICONDICIONAL es VERDADERA cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas $alsas- es decir cuando %ienen el mismo valor de verdad. Caso con%rario es $alsa.
1. 5. 1 EQUI VALENCI ASLÓGI CAS
Sean A # B dos $ormas proposicionales. LÓGICAMENTE Decimos que A es E'UIVALENTE a B si # s"lo s/ A B es una %au%olog/a. ↔
Enest ecasoseescri be A
⇔
B . Co mot ambi én A
≡
B
Anal i cemos l at abl a de ver dad de l as si gui ent es dos f ormas proposi ci onal es: p → q y ¬ p ∨ q p q
A
p
¬
p → q 1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 1
B
p ∨
¬
0 0 1 1
1 0 1 1
A
B B
A
( p → q ) ⇒ ( ¬ p ∨ ( ¬ p ∨ q ) ⇒ ( p → q 1 1 1 1
1 1 1 1
En ambos sent i dos l a i mpl i caci ón con est as dos f or mas pr oposi ci onal es es t aut ol ógi ca,l o cualqui er e deci r que son f ormas Lógi cament eEqui val ent es.Esdeci r , p → q ≡ ¬ p ∨ q
16
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
Comoconcl usi ónsepuededeci rque:
Dos $ormas proposicionales son LÓGICAMENTE E'UIVALENTES si %ienen el M!SMO VALOR DE VERDAD ba0o iguales condiciones de valores de verdad de las variables in%ervinien%es. Aquísepuedeobservarl ai mport anci adel al ógi cadesí mbol os. Es muy di f í ci lpr eci sar con nues t r os sent i dos que l a expresi ón “Si e s t udi oe nt o nc e sapr e nde r é”e udi oo sLógi cament eEqui val ent ea“Noest apr endo” .
Ejemplo l decir/ '&na matri' tiene inversa$ si y s(lo si su determinante es di)erente de cero() 'e de#erá entender que es equialente que una matriz A tenga inersa a que su determinante sea diferente de cero.
Ahor aanal i cemosest asot r asdosf ormaspr oposi ci onal es
p → q
y ¬q → ¬ p
p q 1 1 0 0
Por l o t ant o, p → q cont r arr ecí pr oca ¬q → ¬ p
1 0 1 0
p
q p → q
¬
¬
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
¬q → ¬p 1 0 1 1
es Lógi cament e Equi val ent e a su
Ejercicios Propuestos 1.5 -nestigue si las siguientes !+-V$!NC-' ':N C:((!C)' : N:/ a4 [ ( p → q ) ∨ r ] ≡ [ p → ( q ∨ r ) ] #4 [ ( p → q ) ∧ r ]
≡ [ p → ( q ∧ r ) ] c4 [ ( p ∧ q ) ∨ r ] ≡ [ p ∧ ( q ∨ r ) ] d4 [ ( p ∧ q ) → r ] ≡ [ p ∧ ( q → r ) ] e4 [ ( p ∨ q ) ∧ r ] ≡ [ p ∨ ( q ∧ r ) ] f4 [ ( p ∨ q ) → r ] ≡ [ p ∨ ( q → r ) ]
1. 6ALGEBRA DE PROPOSI CI ONES 17
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
OBJETIVOS/ '! P(!)!N*! +! !$ !')*-N)!/ • )raduzca del lengua0e comEn al l engua0e formal. • plique l!quialencias $%gicas para encontrar traducciones equialentes.
Cl asi ficandoal gunasEqui val enci asLógi cas,r esul t a: CONJUNCI ÓN
DI SYUNCI ÓN
( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p ) ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r )
( p ∧ 0)
( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r )
Asoci at i va
( p ∧ p ) ≡ p
( p ∧ 1)
( p ∨ q ) ≡ ( q ∨ p )
Conmut at i va
I dempot enci a
( p ∨ p )
≡
p
( p ∨ 0)
≡
p
( p
≡
1
≡
p
I dent i dad
≡
0
Absor ci ón
LEYESDI STRI BUTI VAS p ∨ ( q ∧ r ) p ∧ ( q ∨ r )
∨
1)
NEGACI ÓN
( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
0
≡
¬
≡
1
1≡ 0
¬
(
p )
¬ ¬
≡
p dobl enegaci ón
OTRAS:
¬( p ∧ q ) ≡ ¬ p ∨ ¬q ¬( p ∨ q ) ≡ ¬ p ∧ ¬q ( p ∨ ¬p ) ≡ 1 ( p ∧ ¬p ) ≡ 0 ( p → q ) ≡ ( ¬q → ¬ p ) ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) ( p ∨ q ) ≡ ( ¬ p → q ) ( p ∧ q ) ≡ ¬( p → ¬q )
Leye sdeDeMor gan
Leydelt ercerexcl uí do Leydel acont r adi cci ón Cont r aposi t i vaoCont r arr ecí proca I mpl i caci ón
[ ( p → r ) ∧ ( q → r ) ] ≡ [ ( p ∨ q ) → r ] [ ( p → q ) ∧ ( p → r )] ≡ [ p → ( q ∧ r ) ] [ ( p ∧ q ) → r ] ≡ [ p → ( q → r ) ] Leydeexportación ( p → q) ≡ [ ( p ∧ ¬q) → 0] Reducci ónalabsurdo ( p ↔ q ) ≡ [ ( p → q ) ∧ ( q → p )] Equivalencia ( p ↔ q ) ≡ ( q ↔ p )
Nool vi dedemost r arl as. Una ut i l i dad de l as Equi val enci as Lógi cas l a observamos a cont i nuaci ón. Ejemplo 1
18
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
$a )(*CC-IN al lengua0e formal de la siguiente proposici%n/ 'Si t! eres inteligente y no act!as con prudencia$ eres un ignorante en la materia ( 'iendo/ m : tE eres inteligente n : tE actEas con prudencia p : tE eres un ignorante en la materia !s/ ':$C-IN / a4 m → ( n ∨ p) $a traducci%n ser"a/ ( m ∧ ¬n) → p . Pero tiene apariencia #4 p → ( m ∧ ¬n) diferente a las opciones de respuestas, entonces empleando el álge#ra c4 m ∨ ( n ∨ p ) ¬( m ∧ ¬n ) ∨ p de proposiciones o#tenemos/ m p n ∧ ¬ → ¬ ( ) d4 ¬m ∨ n ∨ p e4 m → ¬( n ∨ p) ¬m ∨ ( n ∨ p ) m
→ ( n ∨ p )
Ejemplo 2 *ada la proposici%n molecular/ 'Hoy es *ueves y tengo +ue dar un e,amen$ pero si -ay -uelga$ entonces no voy a la .olitécnica(* y las proposiciones at%micas/ a / =oy es 0uees. b / )engo que dar un e&amen. c / =ay huelga. d / Me oy a la Politécnica. !ntonces la )(*CC-IN al lengua0e formal de la proposici%n molecular es/ a4 ( a ∧ b ∧ c ) → d #4 ( d → ¬c ) ∧ ( a ∧ b ) c4 ( a ∧ b ) → ( c ∨ ¬d ) d4 ( a ∧ b ) ∧ ( ¬c → d ) e4 ( c → d ) ∧ ( a ∧ b) )raduciendo tenemos ( a ∧ b ) ∧ ( c
SO+I,#/
d ) , por la contrarec"proca
→¬
( a ∧ b ) ∧ ( ¬( ¬d ) → ¬c ) entonces ( a ∧ b ) ∧ ( d → ¬c ) ( d → ¬c ) ∧ ( a ∧ b )
que es lo mismo que
Anal i cemosest eot r ot i podeej er ci ci o. Ejemplo 3 'i la proposici%n/ [ ¬( p → ¬q ) → ( r ∧ ¬ s ) ] ∧ [ p ∧ ( ¬r ∧ s ) ] es VE%-$-E%$* entonces es V!(** que/ a4 p ∨ q ≡ 0 #4 q ∧ s ≡ 1 c4 ( r ∨ s ) ∧ q ≡ 0 d4 q ≡ 1 e4 p ∧ r ≡ 1
19
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
SO+I,#/
*e#emos ir analizando desde la proposici%n molecular hasta llegar a las proposiciones
at%micas.
p → ¬q → r ∧ ¬ s
¬
1
0
1
0
1
R
0
S∧R
0
1
p ∧ ¬r ∧ s 1 0 1
1
*el análisis se concluye que/
s
≡
1
1
1
≡
≡
1
0 p
S
1
1
r ≡ 0 q
≡
0
hora que hemos encontrado los alores de erdad de cada una de las proposiciones, , podemos analizar una a una las opciones proporcionadas/ a) p ∨ q ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1 mas no B como se indica b) q ∧ s ≡ 0 ∧ 1 ≡ 0 mas no 1 como se indica c) ( r ∨ s ) ∧ q ≡ ( 0 ∨ 1) ∧ 0 ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0 tal como se indica y por tanto esta ser"a la respuesta.
Ejercicios Propuestos 1.6 1. 'eleccione la )(*CC-IN correcta de la siguiente afirmaci%n/ Si retiro el dinero del banco$ compro un carro o una casa/ p : (etiro el dinero del #anco Considerando las proposiciones at%micas /
q : Compro un carro r : Compro una casa a4 ( p → q ) ∨ r d4 ( p ∨ q )
#4 ( p → q ) →
r
→ r
c4
p ∨ ( q ∧ r )
¬
e4 p → ( q ∧ r )
5. $a )(*CC-IN al lengua0e formal de la proposici%n / 2Si me voy a casa$ me voy de compras y si no me voy a casa$ entonces voy al cine 2 siendo las proposiciones at%micas/ a / Me oy a casa c / Voy al cine b / Me oy de compras es/ a4 ( a ∨ b) ∧ ( a ∨ c ) c4 (¬a ∧ b) ∨ (a ∧ c ) #4 ( ¬a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c )
(b → a ) ∧ ( c
d4 (¬b
a ) ∧ (¬c
→ ¬
→
a)
e4
a)
→ ¬
7. $a )(*CC-IN al lengua0e formal de la proposici%n/ "Si se es estudioso o dedicado$ entonces se aprueba el .repolitécnico") 'iendo las proposiciones at%micas/ a / 'e es estudioso. b
/ 'e es dedicado.
c / 'e aprue#a el Prepolitécnico. es/
( b ∧ ¬c ) c4 ( a → c ) ∧ ¬b a4
a
¬
→ ¬
#4 ( a d4
( b → c) a → ( b ∨ c) →
c)
∧
e4 a ∨ ( b → c )
J. *ada la proposici%n/
20
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática 2Si -ay -uelgas y paro de transportistas$ entonces las pérdidas serán cuantiosas 2 !ntonces es !+-V$!N)! a la siguiente proposici%n/ a4 'i no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas o no hay paro de transportistas. #4 'i no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas y si hay paro de transportistas. c4 'i no hay pérdidas cuantiosas entonces hay huelgas y no hay paro de transportistas. d4 'i no hay huelgas ni paro de transportistas entonces no hay pérdidas cuantiosas. e4 'i no hay huelgas entonces no hay paro de transportistas ni pérdidas cuantiosas. D. $a proposici%n/
(a ∨ b) → (c ∧ ¬a)
a4 (a ∨ b) → ¬c c4 ¬a
((a
∧
∧
#4 a
(¬b ∨ c )
b) ∨ c )
es !+-V$!N)! a/ →
(b ∧ ¬ c )
d4 (a ∨ b)
→
c
e4
a
→ ¬
L. $a forma proposicional/ [ ( p q ) p ] [ ( p q) q] !+-V$!N)! a/ a4 q → p #4 ¬ p c4 q d4 !li0a esta opci%n si la forma proposicional es siempre falsa. e4 !li0a esta opci%n si la forma proposicional es siempre erdadera.
∨ ∧ ∧ ¬ → ∧ ¬ ∧ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ]
es
@. 'ea la proposici%n/ El autob!s llega tarde$ siempre +ue el conductor se -aya desviado () 'uponiendo que la proposici%n es erdadera. !ntonces una proposici%n !+-V$!N)! a la anterior, es/ a4 +ue el auto#Es llegue tarde es una condici%n suficiente para que el conductor se haya desiado. #4 na condici%n suficiente para que el auto#Es llegue tarde es que el conductor se haya desiado. c4 na condici%n necesaria para que el auto#Es llegue tarde es que el conductor se haya desiado. d4 'i el auto#Es llega tarde, el conductor se ha desiado. e4 !l auto#Es no llega tarde o el conductor se ha desiado. T. $a C:N)(((!CGP(:C de la proposici%n/ 'Si E L N #1 es un .en/meno o un desastre natural* entonces no es una simple llu0ia o un mal pasa1ero( es/ a) 'i E $ %I&' es una simple lluia y no un mal pasa0ero, no es un fen%meno ni un desastre natural. b) E $ %I&' no es un fen%meno ni un desastre natural, porque es un mal pasa0ero y no una simple lluia. c) E $ %I&' es un fen%meno, desastre natural, simple lluia y un mal pasa0ero. d) E $ %I&' no es un fen%meno ni desastre natural, si es una simple lluia y un mal pasa0ero. e) E $ %I&' no es una simple lluia o un mal pasa0ero solo si no es un fen%meno. T. 'i se da la proposici%n/ "Si 2e estudiado muc2o o me 2e preparado lo su.iciente* entonces no dar3 un mal e4amen o mis padres estarán contentos( !ntonces su proposici%n C:N)(((!CGP(:C es/ a4 'i no doy un mal e&amen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo suficiente. #4 =e estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal e&amen y mis padres estarán contentos. c4 Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré un mal e&amen. d4 Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal e&amen y mis padres están contentos. e4 No daré un mal e&amen o mis padres estarán contentos s%lo si he estudiado mucho. 1B. *adas las proposiciones at%micas/ p : Me estoy #añando . r : +uiero dormir.
q : Me oy a una fiesta. s : !stoy cansado.
!ntonces, la C:N)(((!CGP(:C de la proposici%n ( p ∧ ¬r ) → ( q ∨ ¬s ) es/ a4 'i me estoy #añando y no quiero dormir, entonces, me oy a una fiesta y no estoy cansado. #4 No es erdad que me oy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy #añando o quiero dormir. c4 'i no me oy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy #añando o quiero dormir. d4 'i no me estoy #añando o quiero dormir, entonces me oy a una fiesta o estoy cansado. e4 'i me oy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy #añando y no quiero dormir. 11. 'i la proposici%n/
[ ( a ∧ ¬b ) → d ] ∨ ¬( d ∨ e ) es 8$', entonces es VE%-$- que/
(b ∨ a) ≡ 0 b) ( ¬e ∨ ¬d ) ≡ 0 c) ( d ∨ a ) ≡ 0 d) ( a → b ) ≡ 0 e4 ( e → a ) ≡ 0 a)
21
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática 15. 'i la proposici%n [ ( p ∧ !$+S$* identif"quela/
¬q ) → ( r ∨ q )] es 8$', entonces una de las siguientes proposiciones es
[( p → q ) ∧ ( r ∧ ¬q ) ] ≡ 0 b) [( q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∨ q ) ] ≡ 0 c4 [ ( ¬r → p ) ∧ ( ¬r → ¬q ) ] ≡ 1 d) [ ( p ∨ r ) ∨ ( q → ¬r ) ] ≡ 1 e4 [ ( r → q ) ∧ ( r → p ) ] ≡ 0 a)
17. 'i la proposici%n [ ( p → q ) ∧ r ] → [ r → q] es 8$', entonces es VE%-$- que/ a4 !l alor de erdad de p es erdadero. #4 !l alor de erdad de q es erdadero. c4 !l alor de erdad de p es falso. d4 !l alor de erdad de
r es falso.
e4 !l alor de erdad de p no puede ser definido.
1. 7.RAZONAMI ENTOS OBJETIVOS: '! P(!)!N*! +! !$ !')*-N)!/ *efiina razonamiento. *efina razonamiento álido. *etermine la alidez de un razonamiento suponiendo que éste es falso. -nfiriera una conclusi%n álida para un razonamiento, dadas las hip%tesis. ustifique la alidez de un razonamiento. (eplantee un razonamiento cam#iando la conclusi%n para que sea álido en el caso de que no lo sea.
Bi en ya podemos dedi car nos a una est ruct ur al ógi ca muy i mport ant e,queeselobj et i voquenoshabí amospr opuest o. El t i po de r az onami ent o que vamos a consi der ar est ar á const i t ui doporunaenunci aci ón hi pot ét i caquet i enecomoant ecedent e unaconj unci ón dehi pót esi sopr emi sas.Esdeci r ,su est ruct ur al ógi ca ser ádel af orma: PREMISAS O HIPOTESIS
H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 ∧ H n
[
CONCLUSIÓN
]
⇒
C
OPERADOR PRINCIPAL
Est amosi nt er esadosen sabersiunr azonami ent oesvál i doono, esdeci rsil aconcl usi ónesl ógi cament ei nf eri dadel ashi pót esi s.
1. 7. 1.VALIDEZ DE UN RAZONAMI ENTO
n ra(onamien%o es V(LIDO cuando la $orma proposicional que se ob%iene de la proposici"n molecular que lo defne- es 22
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
1A1OL23!CA.
Es
L"gica.
decir
una
!mplicaci"n
Comol aest ruct ur al ógi cadel osrazonami ent ospr esent al af orma H ⇒ C ,ent onces podemos dedi car nos a det er mi narsisepr oduceel si gui ent ecaso H ≡ 1 yC ≡ 0 queeselúni cocasocuandol ai mpl i caci ón serí af al sa,ent oncesnoserí aunat aut ol ogí ayport ant oelr azonami ent o noesvál i do. Ejemplo 1 *etermine si el siguiente razonamiento es álido o no/ 2Si soy estudioso $ aprobaré el curso si soy bailar%n$ no aprobaré el curso3 .or lo tanto$ no puedo ser estudioso y bailar%n al mismo tiempo SO+I,#/ Considerando las proposiciones at%micas/
!l
razonamiento
se
traduce
al
a : 'oy estudioso b : pro#aré el curso. c : 'oy #ailar"n. lengua0e formal por la
proposici%n
molecular/
[ ( a → b) ∧ ( c → ¬b) ] ⇒ ¬( a ∧ c) . !ntonces la forma proposicional correspondiente ser"a [ ( p → q ) ∧ ( r → ¬q ) ] ⇒ ¬( p ∧ r )
+ue de#er"a ser tautol%gica para que el razonamiento sea álido. Podemos hacer toda la ta#la de erdad, pero para eitar tal tra#a0o nos dedicaremos a inestigar si e&iste por lo menos un caso de falsedad.
p → q ∧ r → ¬q ⇒ ¬ p ∧ r 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 0 0
Para que la enunciaci%n hipotética sea falsa, se requiere que el antecedente sea erdadero mientras que el consecuente es falso, para lo cual ¬( p ∧ r ) ≡ 0 entonces ( p ∧ r ) ≡ 1 6 esto significa que p
≡1
y
r ≡ 1 . hora e&aminando el antecedente, o#seramos que para que la primera hip%tesis sea
erdadera se requiera que q ≡ 1 , pero la segunda hip%tesis se hace falsa porque ¬q ≡ 0 . !sto nos hace pensar que no a a e&istir por lo menos una proposici%n falsa, por lo tanto el razonamiento es V$-*:.
Ejemplo 2 *adas las siguientes hip%tesis/ H 1 : +a +/gica es di.5cil o no les gusta a muc2os estudiantes) H 2 : Si la 6atemática es .ácil* entonces la +/gica no es di.5cil) !ntonces una C:NC$'-IN VU$-* es/ a4 $a $%gica es dif"cil . #4 $a Matemática es fácil. c4 'i la Matemática no es fácil, a muchos estudiantes no les gusta la l%gica. d4 'i a muchos estudiantes les gusta la l%gica, la Matemática no es fácil. e4 $a Matemática no es fácil o la l%gica es dif"cil.
SO+I,#/ *efinamos las proposiciones/
a : $a l%gica es dif"cil. b : $a l%gica les gusta a muchos estudiantes. c : $a Matemática es fácil.
23
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
!ntonces la traducci%n de las hip%tesis dadas ser"an/
H 1 : a ∨ ¬b H 2 : c → ¬a
Cada opci%n dada ser"a una posi#le conclusi%n, analicemos con cada una/
r → ¬ p
∨ ¬q p
0
a4R3
0 4∧ 1
3
1
0
4S
⇒
1
No álido
0
1
p
1
→ ¬ p ⇒ r p ∨ ¬q ∧ r 1
#4 3
0
0
0
1
4
0
1
No álido
1 1 1
p ∨ ¬q
r → ¬ p
1
1
¬r → ¬q
0 0 1 S No álido 1 4∧3 1 4S ⇒ R c4R3 1 1 0 0 0
r → ¬ p
∨ ¬q p
q → ¬r
1 1S 1 4∧3 1 4S ⇒ R 1 d4 R3 1 0 0 0
1 ∨ ¬q p
3(espuesta4
0
0
r → ¬ p
¬r ∨ p
1 1 0 S 0 4∧3 0 4S ⇒ R e4 R3 0 0 1 1
1
VU$-*:
1
No álido
0
Ejercicios Propuestos 1.7 1. Con las proposiciones/
m / Ko gano las elecciones. n / Fuayaquil tiene auto#uses articulados p / stedes tienen transporte.
'e construye los siguientes razonamientos. *etermine cual de ellos N: es álido. a4 [ ( m → n ) ∧ ( n → p ) ] → ( m → p ) #4 c4 d4 e4
[ ( m → ¬n ) ∧ ( n → p) ] → ( p ∨ ¬n) [ ( m → n) ∧ ¬m] → ¬n [ ¬m ∧ ( ¬n → m) ] → n [ ( m → n) ∧ ( n → p) ∧ ¬ p] → ¬m
5. *adas las siguientes premisas/
H 1 : 'i eo mucha )V, entonces no tengo que estudiar. H 2 / Veo mucha )V.
p / Veo mucha )V considerando las proposiciones/ !ntonces una conclusi%n para un (Q:NM-!N): VU$-*: es/ a4 ¬p
y
q / )engo tiempo para estudiar.
24
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática b) q c) ¬ p ∧ q d) ¬ p ∨ q e4 p ∨ ¬q
7. *ado el razonamiento P 1
∧
P 2
∧
P 3
∧
P 4
⇒
C 6 donde/ P 2
P 1
/ 'i estudio, aprenderé.
/ 'i aprendo, apro#aré el curso.
P 3
/ : practico tenis o no practico tenis.
P 4
/ No aprue#o el curso.
!ntonces una conclusi%n C que hace el (Q:NM-!N): VU$-*: es/ a4 !studio #4 No estudio c4 prue#o el curso d4 prendo
e4 N..
J. nalice la V$-*!Q de los siguientes razonamientos/ a4 'i tE muestras la erdad, reelarás lo rid"culo de las pretensiones del hom#re. 'i el hom#re es prepotente, es porque no se ha reelado lo rid"culo de sus pretensiones. !l hom#re es prepotente. Por consiguiente, tE no muestras la erdad. #4 'i Fenaro tom% el tren especial, entonces estuo en el accidente, y si estuo en el accidente, entonces no asisti% a la reuni%n. Fenaro tom% el tren especial o no asisti% a la reuni%n. $uego, Fenaro estuo en el accidente. c4 : Calder%n tiene enemigos en la administraci%n o, si e&cede su cuota, reci#irá un ascenso. Calder%n no reci#irá un ascenso. $uego, Calder%n tiene enemigos en la administraci%n o no e&cederá su cuota. d4 'i pago al sastre no me quedará dinero. 'olamente puedo llear a mi noia al #aile si tengo dinero. 'i no la lleo al #aile, se sentirá desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregará el tra0e, y sin el tra0e no puedo llear a mi noia al #aile. : le pago al sastre o no le pago. $uego, mi noia tendrá que sentirse desdichada. D. 'i se tiene un razonamiento con las siguientes premisas/ H 1 : 'i el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará
H 2 / 'i el coche se reis%, entonces no falla el freno.
a4 #4 c4 d4 e4
H 3 / Pero el coche no se reis%. na conclusi%n que lo hace VU$-*: es/ !l coche no parará. !l freno falla y el camino no está helado. 'i no falla el freno y el camino no está helado, el coche parará. !l coche no parará o el camino no está helado. Ninguna de las conclusiones es álida.
L. Considere las siguientes hip%tesis/ H 1 : !l (anco del )rogreso cerr% sus puertas y sus clientes recuperarán su dinero.
H 2 : 'i los clientes del (anco del )rogreso recuperarán su dinero entonces no e&iste intranquilidad. H 3 : !l (anco del )rogreso no cerr% sus puertas o no e&iste intranquilidad. !ntonces una C:NC$'-IN VU$-* para un razonamiento, es/ a4 'i no e&iste intranquilidad entonces los clientes del (anco del )rogreso no recuperarán su dinero. #4 !l (anco del )rogreso no cerr% sus puertas. c4 No e&iste intranquilidad y los clientes del (anco del )rogreso recuperarán su dinero. d4 Ni el (anco del )rogreso cerr% sus puertas, ni sus clientes recuperarán su dinero. e4 Ninguna de las conclusiones anteriores es álida. @. Considere las siguientes hip%tesis/ H 1 / !cuador adopt% el sistema de sistema de dolarizaci%n y pretende me0orar su econom"a.
H 2 / 'i !cuador pretende me0orar su econom"a entonces no ha#rá descontento social. H 3 / !cuador no adopt% el sistema de dolarizaci%n o no ha#rá descontento social !ntonces, una C:NC$'-:N V$-* para un razonamiento es/ a4 No ha#rá descontento social y !cuador pretende me0orar su !conom"a. #4 Ni !cuador adopt% el sistema de dolarizaci%n, ni pretende me0orar su !conom"a. c4 !cuador no adopt% el sistema de dolarizaci%n. d4 'i no hay descontento social entonces !cuador no pretende me0orar su !conom"a. e) Ninguna de las conclusiones anteriores es álida.
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Lógica Matemática
Misceláneos 1. 'i la forma proposicional
[( p → q ) ∧ r ] → ( r → q ) es 8$', entonces es V!(** que/
#4
p es erdadera. p es falsa y r es erdadera.
c4
r es falsa.
a4
d4 !l alor de erdad de p no puede ser definido. e4
q es erdadera.
5. na de las siguientes proposiciones es V!(**!(, identif"quela. a4 ( p → q ) ∨ r ≡ p → ( q ∨ r )
( p → q ) ∧ r ≡ p → ( q ∧ r ) c4 ( p ∧ q ) → r ≡ p ∧ ( q → r ) d4 ( ¬ p ∨ ¬q ) ≡ p → q e4. ( ¬q ∨ p ) ≡ p → q #4
7. 'ean las proposiciones/ p : )odos los alumnos cumplen con sus o#ligaciones.
q : )odos los alumnos aprue#an el e&amen.
r : !l profesor recompensa a los alumnos con una semana de acaciones. !ntonces la )(*CC-IN al lengua0e sim#%lico de la proposici%n/ 'Si todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el e,amen$ el pro)esor los recompensará con una semana de vacaciones pero$ si alg!n alumno resultara reprobado$ el pro)esor no adoptará esa medida(& es/ a4 [ q ∧ r ] → r ∧ [ q ∨ ¬r ] #4
[ ( q ∧ ¬ p ) → r ] ∧ [ ¬q ∨ r ]
c4
[ q ∧ ¬r ] ↔ [ p ∧ q ∧ r ] [ r → q] ∧ [ ( p ∧ q ) → r ] [ ( p ∧ q ) → r ] ∧ [ ¬r → ¬q]
d4 e4
J. $a N!FC-IN de la proposici%n/ p a4
¬ p → q
c4
q → ¬p p ∧ q
d4
¬
#4
e4
→ ¬q
es/
p ∨ ¬q ¬ p ∧ ¬q
D. $a )(*CC-IN al lengua0e formal de la proposici%n/ 4Si resuelvo bien el e,amen y no está di)%cil$ mis padres me )elicitarán3/ 'iendo las proposiciones/ a/ Ko resuelo #ien el e&amen. b/ !l e&amen está dif"cil. c* Mis padres me felicitarán. !s/ a4 a → ( b ∨ c ) #4 c4 d4 e4
( a ∧ ¬c ) a ∨ (b ∨ c) a → ¬( b ∨ c ) a → ( b ∧ ¬c )
L. $a proposici%n/ unior es débil$ siempre +ue no coma pescado ( es !+-V$!N)! a/ a4 unior es fuerte o come pescado. #4 unior es dé#il y come pescado. c4 unior es dé#il cuando come pescado. d4 unior es fuerte o no come pescado. e4 unior es dé#il o come pescado.
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Lógica Matemática
@. $a C:N)(((!CGP(:C de la proposici%n/ Si estudio y apruebo el .repolitécnico$ entonces estaré alegre O, es/ a4 'i estoy alegre, entonces estudié y apro#é el Prepolitécnico. #4 !studio y estoy alegre, entonces apro#aré el Prepolitécnico. c4 'i no estoy alegre, entonces no estudié o no apro#é el Prepolitécnico. d4 prue#o el Prepolitécnico y estoy alegre, porque estudié. e4 'i no he estudiado, entonces no apro#aré el Prepolitécnico. T. Considerando la forma proposicional ¬( p ∨ q ) proposiciones es 8$', identif"quela. a4 $a rec"proca es ( r ∨ s ) → ( ¬ p ∧ ¬q ) .
→
( r ∨ s )
. !ntonces una de las siguientes
( ¬r ∧ ¬s ) → ( p ∨ q ) . $a inersa es ( p ∨ q ) → ( ¬r ∧ ¬s ) . $a inersa es equialente a ( p ∨ q ) ∨ ( r ∨ s ) . $a forma proposicional dada es equialente a ( p ∨ q ) ∨ ( r ∨ s ) .
#4 $a contrarrec"proca es c4 d4 e4
. na de las siguientes proposiciones N: !' )):$IF-C, identif"quela. a4 [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p → r )
d4
( p → q ) → [ ( p ∨ r ) → ( q ∨ r ) ] [ ( q ↔ r ) ∧ ( p ↔ q) ] → ( r ↔ p) p → [ q → ( q ∧ p ) ]
e4
( p ∧ q ∧ r ) → ¬( r ∨ q)
#4 c4
1B. Considerando las siguientes proposiciones/ p : *aniel es feliz
q : *aniel estudia todos los d"as.
r : *aniel aprue#a el prepolitécnico !ntonces la )(*CC-IN al lengua0e formal de/ '6aniel es )eli' s(lo si estudia todos los d%as y aprueba el prepolitécnico( !s/ a4 r → ( p ∧ q ) #4 c4 d4 e4
( q ∧ r ) → p ( q ∧ r ) ∨ ¬p ¬( q ∧ r ) ∨ p ¬ p → ¬( q ∧ r )
11. $a siguiente proposici%n/ 'La empresa no -ace publicidad y no cambia su producci(n siempre +ue la demanda aumente( es !+-V$!N)! a/ a4 'i la empresa no hace pu#licidad y no cam#ia su producci%n, entonces la demanda aumenta. #4 'i la empresa hace pu#licidad o cam#ia su producci%n, entonces la demanda no aumenta. c4 'i la demanda no aumenta, entonces la empresa hace pu#licidad y cam#ia su producci%n. d4 $a empresa hace pu#licidad y cam#ia su producci%n, o la demanda aumenta. e4 $a empresa hace pu#licidad o, si cam#ia su producci%n entonces la demanda no aumenta. 15. *adas las siguientes premisas/ P 1 : 'i se paga el rescate, entonces los técnicos petroleros aparecerán ios y retornarán a sus pa"ses de origen. P 2 : 'i la polic"a interiene, entonces los técnicos petroleros no retornarán a sus pa"ses de origen.
P 3 : 'e paga el rescate. !ntonces una C:NC$'-IN VU$-* para un razonamiento es/ a4 $os técnicos petroleros no aparecen ios. #4 No se paga el rescate. c4 'i los técnicos petroleros no retornan a sus pa"ses de origen, entonces la polic"a interiene. d4 $a polic"a interiene. e4 $os técnicos petroleros no retornan a sus pa"ses de origen. 17. *adas las proposiciones at%micas/ p : Voy a rendir el e&amen.
q : Me presento al e&amen.
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r : (epro#aré. $a )(*CC-IN al lengua0e formal de la proposici%n "7oy a rendir el e,amen por+ue si no me presento al e,amen entonces reprobaré " es/ a4 ( q ∨ r ) → p #4 c4 d4 e4
( q ∨ r ) ∨ p p → ( q ∨ r ) r → ( ¬ p ∧ q ) r → ¬( p ∧ q ) ¬
1J. *ada la proposici%n/ 2uan asiste a clases de 8atemáticas siempre y cuando no tenga otras ocupaciones 2 !ntonces, su proposici%n C:N)((!CGP(:C es/ a4 'i uan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones. #4 'i uan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases. c4 'i uan no asiste a clases, entonces tiene otras ocupaciones. d4 'i uan tiene otras ocupaciones, entonces no asiste a clases. e4 'i uan no asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones. 1D. *adas las siguientes premisas/ H 1 : 'i estudio mucha $%gica, entonces no repro#aré el curso.
H 2 : !studio mucha $%gica. !ntonces, la C:NC$'-IN para un razonamiento álido, es/ a4 No estudio mucha $%gica. #4 (epro#aré el curso. c4 !studio mucha $%gica % no repro#aré el curso. d4 No estudio mucha l%gica y estudio mucha $%gica. e4 No estudio mucha $%gica % repro#aré el curso. 1L. 'i la forma proposicional ( ¬ p ∨ q ) → [ ( ¬r ∧ p ) siguientes proposiciones es V!(**!(, identif"quela. a4 ( p → 1) ≡ 0 c4
( ¬s ∧ t ) ≡ 1 ( ¬r ∧ p ) ≡ 0
d4
[ ( p ∧ ¬t ) ∨ s] ≡ 1
e4
( s ∨ t ) ≡ 1
#4
→ ( s ∨ t ) ] es 8$'. !ntonces una de las
1@. Considere las proposiciones/ a: $a dolarizaci%n es un proceso adecuado para el pa"s. 7/ !l pa"s de#e salir de la crisis econ%mica. c/ $as personas mantienen una mentalidad positia. $a )(*CC-:N al lengua0e formal de la siguiente proposici%n/ 2La dolari'aci(n es un proceso adecuado para el pa%s si las personas mantienen una mentalidad positiva$ pero si las personas no mantienen una mentalidad positiva$ el pa%s no sale de la crisis econ(mica.2 !s/ a4 ( c → ¬a ) ∧ ( ¬a → ¬b) #4 c4 d4 e4
( c → a) ∧ ( ¬a → ¬c) a ∧ ( ¬c → ¬b ) ( ¬c ∨ a ) ∧ ( c ∨ ¬b ) a → ( ¬b → ¬ c )
1T. Considere la proposici%n molecular/ 2 Es su.iciente que +ul8 no quiera a $ndr3s para que si +ul8 termina con Juan entonces a ella no le gustan los 2om7res .eos 2. !ntonces una proposici%n !+-V$!N)! es/ a4 !s necesario que $ulE termine con uan o que le gusten los hom#res feos para que no quiera a ndrés. #4 $ulE quiere a ndrés pero no es erdad que termin% con uan o le gusten los hom#res feos. c4 !s suficiente que $ulE termine con uan y le gusten los hom#res feos para que quiera a ndrés. d4 !s suficiente que a $ulE le gusten los hom#res feos para que termine con uan y quiera a ndrés. e4 !s necesario que $ulE termine con uan para que a $ulE le gusten los hom#res feos y quiera a ndrés. 1. 'i se tiene un razonamiento con las siguientes premisas/
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Lógica Matemática 9:$a dolarizaci%n es dif"cil o no l es gusta a muchas personas. 9;:'i las medidas econ%micas son ia#les, entonces la dolarizaci%n no es dif"cil. na C:NC$'-:N que lo hace álido, es/ a4 $a dolarizaci%n es dif"cil. #4 $as medidas econ%micas son ia#les. c4 'i las medidas econ%micas no son ia#les, a muchas personas no les gusta la dolarizaci%n. d4 'i a muchas personas les gusta la dolarizaci%n, las medidas econ%micas no son ia#les. e4 $as medidas econ%micas no son ia#les o la dolarizaci%n es dif"cil. 5B.
'i se da la proposici%n/ Si -e estudiado muc-o o me -e preparado lo su)iciente$ entonces no daré un mal e,amen o mis padres estarán contentos/ !ntonces su proposici%n C:N)((!C-P(:C es/ a4 'i no doy un mal e&amen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo suficiente. #4 =e estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal e&amen y mis padres estarán contentos. c4 Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré un mal e&amen. d4 Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal e&amen y mis padres están contentos. e4 No daré un mal e&amen o mis padres estarán contentos s%lo si he estudiado mucho.
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