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CAPÍTULO 5C LA RECTA
LA RECTA En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección. En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos colineales de un plano. La ordenada de cada punto que la conforma está relacionada con su respectiva abscisa mediante una ecuación de primer grado con dos variables x e y. Ecuaciones de la recta Si conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto en una recta, entonces podemos determinar una ecuación para esa recta. Por ejemplo, la recta en la figura pasa por el punto (x1; y1) y tiene pendiente m. Si (x; y) es cualquier otro punto en esta recta, la definición de pendiente proporciona la ecuación. y y1 m o y y1 m x x1 x x1 Una ecuación escrita de esta forma esta forma está en la forma punto pendiente.
Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada La forma punto pendiente de una ecuación de una recta que pasa por el punto (x 1, y1) y tiene pendiente m es: y y1 m x x1 Suponga una recta no vertical que tiene una pendiente m y una ordenada al origen b (ver figura). gura). Esto significa que la recta corta al eje de las y en el punto (0; b), de modo que la ecuación cuando se da un punto y la pendiente para la ecuación de la recta, con x = 0 y y = b, se vuelve y b m x 0 Se simplifica a y = mx + b, que se conoce como ecuación de la recta dada la pendiente y la ordenada en el origen.
Ecuación de una recta dadas la pendiente y la ordenada en el origen La forma pendiente intersección al origen de una ecuación de una recta con pendiente (0, b) es: m e intersección y (0, y
mx
b
Rectas verticales y horizontales Una ecuación de la recta vertical que pasa por (a; b) es x = a Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (a; b) es y = b No podemos utilizar la frase “la ecuación de una recta” ya ya que cada recta tiene muchas ecuaciones diferentes. Cada recta tiene una ecuación que puede escribirse en la forma Ax + By + C = 0, donde A y B no son cero al mismo tiempo. Esta forma es la forma general para una ecuación de una recta.
1 Profesor: Javier Trigoso T.
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Si B 0 , la forma general puede cambiarse a la forma pendiente intersección al origen como sigue: Ax By C 0 By Ax C y
A B
pendiente
C B
x
intercepción Y
Ecuación general de la recta La gráfica de toda ecuación lineal Ax By C 0 (A, B no son simultáneamente cero) es una recta. En caso contrario, cada recta es la gráfica de una ecuación lineal. Rectas paralelas y rectas perpendiculares Puesto que la pendiente mide la inclinación de una recta, es razonable que las rectas paralelas tengan la misma pendiente. Rectas paralelas Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. L1 / /L2 m1 m2 Rectas perpendiculares Dos rectas con pendientes m 1 y m2 son perpendiculares si y sólo si m1.m2 = -1 es decir, sus 1 pendientes recíprocas y de signo contrario: m2 m1 Asimismo, una recta horizontal (pendiente 0) es perpendicular a la recta vertical (pendiente indefinida).
EJERCICIOS Punto a) (1; 4) b) (-4; 3) c) (5; -4) d) (-3; 4)
01. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q a) P (0; 0) y Q (4; 2) b) P (2; 2) y Q (-10; 0) c) P (2; -5) y Q (-4; 3) d) P (1; -3) y Q (-1; 6) 02. Calcula las pendientes de las rectas l1, l2, l3 y l4 en la figura que sigue.
Pendiente m=2 m = -2/3 m = -2 m=3
04. Determina una ecuación en la forma general para la recta que pasa por el par de puntos dados: a) (7; -2) y (1; 6) b) (-3; -8) y (4; -1) c) (1; -3) y (5; -3) d) (4; -1) y (4; 5) 05. Determine una ecuación para la recta cuya gráfica se proporciona. a)
b)
03. Determina una ecuación en la forma punto pendiente para la recta que pasa por el punto con la pendiente dada: 2 Profesor: Javier Trigoso T.
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c)
d) 12. Halla una ecuación de la recta que pasa por el punto medio de A (2; 3) y B(1; -2) y es paralela a la recta de ecuación 2x – y + 3 = 0
06. Determina una ecuación en la forma pendiente intersección al origen para la recta según las condiciones dadas: a) La recta que pasa por (0; 5) con pendiente m = -3. b) La recta que pasa por (1; 2) con pendiente m = 1/2. c) La recta que pasa por los puntos (-4; 5) y (4; 3). d) La recta que pasa por los puntos (4; 2) y (-3; 1). e) La recta 2x + 5y = 12 f) La recta 7x - 12y = 96 07. Determina una ecuación para la recta que pasa por el punto y es paralela a la recta dada: Punto Recta a) (1; 2) y = 3x -2 b) (-2; 3) y = -2x +4 c) (3; 1) 2x + 3y = 12 d) (6; 1) 3x – 5y = 15 08. Determina una ecuación para la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada: Punto Recta e) (1; 2) y = 3x -2 f) (-2; 3) y = -2x +4 g) (3; 1) 2x + 3y = 12 h) (6; 1) 3x – 5y = 15 09. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2), la abscisa de otro punto de la recta es 4. Halla su ordenada.
13. Halla una ecuación de una recta que es perpendicular a la recta L: 3x – 4y = 12, sabiendo que pasa por el punto medio del segmento formado por los puntos A (-2; 0) y B (4; 6) 14. Halla una ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas: x – 2y + 3 = 0; x + 2y – 9 = 0 15. Halla una ecuación de una recta mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta L: 5x + 3y -15 = 0 16. Determina la pendiente de una recta, cuya ecuación es L: y = mx + 5, que pasa por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones L1: y =-3x - 5, L 2: y = 4x + 2 17. La recta L1 pasa por los puntos A (1; 3) y B (5; -5); la recta L 2 pasa por el punto C (10; 1) y por el punto D, cuya ordenada es -3. Indica la abscisa del punto D, si se sabe que las rectas L1 y L2 son perpendiculares entre sí. 18. Determina la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 5x - 3y =-2; L 2: 8x + 7y = 44 y que es perpendicular a la recta definida por la ecuación L: y = 2/3x + 1
10. Halla una ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el punto P (2; 6) 11. Halla una ecuación de la recta L que pasa por (1; 5) y es ortogonal a la recta L1 que pasa por (1; 5) y (3; 8)
3 Profesor: Javier Trigoso T.
