1.12.
Producto mixto________________________________ _____________________________________________________ _____________________ 37
1.12.1. 1.12.2. 1.12.3. 1.12.4. 1.12.5.
Definición ____________________________________________________________ 37 Interpretación geométrica ________________ ________________________ ________________ _________________ _______________ ______ 38 Teorema _____________________________________________________________ 39 Problemas resueltos ____________________________________________________ 39 Problemas propuestos __________________________________________________ 41
2
1.12.
Producto mixto________________________________ _____________________________________________________ _____________________ 37
1.12.1. 1.12.2. 1.12.3. 1.12.4. 1.12.5.
Definición ____________________________________________________________ 37 Interpretación geométrica ________________ ________________________ ________________ _________________ _______________ ______ 38 Teorema _____________________________________________________________ 39 Problemas resueltos ____________________________________________________ 39 Problemas propuestos __________________________________________________ 41
2
CAPÍTULO 1: ALGEBRA VECTORIAL Obj Ob j etivos eti vos especí específ i cos El alumno al término de la unidad deberá: 1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios en que se encuentre. 2. Explicar correctamente la Naturaleza de un plano en V3 así como la deducción de todas las formas de representación. 3. Formular y expresar matemáticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos, puntos , rectas y planos, así como la proyección geométrica de dichas dichas relaciones.
1.0.
Introducción
En 1788, Lagrange Lagrange publicó publicó su obra "Mécanique "Mécanique Analytique Analytique", ", que mostró la gran flexibilida flexibilidadd y grandes grandes alcances alcances de utilizar utilizar métodos métodos analíticos analíticos en el estudio estudio de la mecánica. mecánica. Posteriorme Posteriormente, nte, William William Rowan Hamilton Hamilton (1805-186 (1805-1865), 5), introdujo su "Theory "Theory of Quaternions Quaternions", ", la cual contribuyó contribuyó a la comprensión comprensión del Algebra y de la Física. La unión de las más notables características del análisis de los cuaterniones y de la geometría cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925), dando lugar a la llamada Álgebra Vectorial. El uso del álgebra álgebra vectorial vectorial permitió permitió la exposició exposiciónn y simplificac simplificación ión de muchos muchos conceptos conceptos geométrico geométricoss y físicos, de ahí la importancia importancia de su estudio en este curso. Debido Debido a que, el alumno no está familiarizad familiarizadoo a trabajar trabajar con con vectores, vectores, se se recomienda recomienda,, de modo modo especial, especial, el estudio estudio de este capítul capítulo, o, el cual cual le permitirá permitirá conoce conocerr la naturaleza naturaleza del vector vector y cómo cómo se opera con ellos. ellos.
1.1.
E l espacio vector vectorii al de las N-Pl N- Plas as de números números re r eale al es
La idea de emplear emplear un número número para situar un punto A = ( a 1 ) en una recta fue conocida por los antiguos griegos griegos (figura (figura 1.1 (a)). En 1637, Descartes extendió extendió esta idea utilizando utilizando un par de números números A = (a 1 ,a ,a2 ) ) para situar situar un punto en el plano plano (figura 1.1 (b)), (b)), y una terna de números números A = (a 1 ,a ,a2 ,a ,a3 ) ) para situar el punto punto en el espacio (figura 1.1 1.1 (c)). (c)). En el siglo XIX, XIX, los matemáticos A. Cayley (1821-1895) y H. G. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse en las ternas de números. números. Se puede también considerar, en general, una n-plas de números reales: A = (a1 ,a ,a2 ,....,a ,....,an ), ), para todo entero entero n N Una tal n-pla se le llama punto n-dimensional. Cuya representación geométrica geométrica se realiza tomando un punto cualquiera, como se muestra en la Fig. 1.1 d.
Por tanto un punto punto puede represe representarse ntarse de tres tres maneras maneras diferentes, diferentes, de forma forma algebraica algebraica a través través de la letra mayúscula A, de forma analítica a través de sus coordenadas (a 1 ,a ,a2 ,....,a ,....,an ) ) y mediante mediante su forma geométrica geométrica representada en la Fig. 1.1 d
3
1.2.
D ef i ni ción ción de un vector vector
1.2.1. Definición Estamos acostumbrad acostumbrados os a considerar considerar magnitudes, magnitudes, tanto en Geometría Geometría como en Física, Física, que puedan puedan ser caracterizadas por un único número real referido a una unidad de medida apropiada: el perímetro de una figura, figura, el área área de una una superfici superficie, e, el volumen, volumen, la tempe temperatur ratura, a, el tiempo, tiempo, etc. etc. A dichas dichas magnitu magnitudes des se les llama llama , denominá denominándose ndose escalar escalar el número número real asociado asociado a cada cada una una de ellas. magni magn i tudes tu des escala escalarr es Existen Existen otras magnitudes magnitudes físicas físicas y geométricas geométricas en las que interviene interviene la dirección dirección y que no pueden pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un único número real: la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. A dichas magnitudes se les llama magni tudes vectori , denominándose denominándose vector al objeto matemático vectori ales utilizado para describir cada una de d e ellas. , su dirección y y su sentido . Es, por tanto, L as caracterí caracter ísticas fun f un damental es de un vector son : su módulo natural representar un vector geométricamente por medio de un segmento orientado, correspondiendo la longitud, dirección y sentido del segmento orientado al módulo, dirección y sentido del vector.
Descri Descri pción de un vector vector : por ser un segmento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y y un extremo final que llamaremos fl echa o punta que que me define el sentido , a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de acción que me define la dir ección , y a su longitud longitud ección , como como se ilustra ilustra en la la figura figura siguient siguiente: e: Norm a, o Módulo L A : Recta R ecta de acción (Norma) //A// A Fl echa (Senti (Senti do) O (cola)
Los vectore vectoress que vamos a estudiar estudiar son los llamados llamados libres, libres, porque pueden pueden deslizarse deslizarse a lo largo largo de de su recta recta de acción o trasladarse paralelamente a sí mismo.
“Defi ni remos un vector
A como el el conj unto un to de todos los se segmentos ori entados del del espacio espacio n-dimens n-di mension ion al que pose poseen una un a longit lon gitud, ud, direcció di rección n y senti do dados”. Q 1 1
Tomemos un ejemplo en el espacio bidimensional para entender mejor P Q esta definición. Si P 1Q 1 y P 2Q 2 son dos segmentos segmentos orientados con la 1 1 2 2 misma longitud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo P 2 2 vector. Un segmento orientado tiene una ubicación ubicación particular; un vector no. Las lechas lechas en la i ura 1.3 1.3 re resentan resentan el mismo vector. vector. Al vector vector que coincide con un segmento orientado cuyo extremo inicial es el origen de coordenad coordenadas as y su extremo final en el punto A, se llama vector posición OA . Que llamaremos simplemente A, y cuya explicación la veremos más adelante.
1.2.2. N otación de un vector vector a) b)
, D ,... ALGEBRAICA: los vectores se designan con las letras mayúsculas: A , B, C GEOM ÉTRI CA: En base a su representación gráfica en un sistema de coordenadas (sólo es posible
hasta en tres dimensiones; ver figura 1.4). Para los sistemas de 4 ó más dimensiones con precisión solo podríamos representar el origen del sistema, y la flecha del vector definida por el punto A que lo tomaríamos de manera arbitraria como se muestra en la figura. Para representar geométricamente al vector A, en primer lugar es necesario definir el punto A, como se mostró en la figura 1.1, luego el vector A será el vector que tiene su cola en el origen y su flecha en el punto A, vemos que la figura 1.4 solo se diferencia de la 1.2 en lo mencionado anteriormente. anteriormente.
4
y
z z A
A O 1
x
c)
A x
O 2
(a)
A
x x
(b)
y
O 3
0n
(c)
(d)
ANAL ÍTI CA: Se realiza haciendo uso de las letras minúsculas llamados componentes del vector:
A = (a1 ,a2 ,...,an ), B = (b1 ,b2 ,...,bn )
1.3.
y
C = (c1 ,c2 ,...,cn )
Espacios vector iales
Para convertir V n en una estructura algebraica, introducimos la igualdad de vectores y dos operaciones: la adición de vectores, la mul tipl icación por escalar es y un cu erpo de números reales R. La palabra escalar se usa aquí como sinónimo de número real.
1.3.1. I gual dad de vectores Dos vectores A y B de V n son iguales, si son iguales todas las componentes de A ocupan la misma posición que las componentes de B. Esto es, si A = (a1 ,a2 ,...,an ) y B = (b1 ,b2 ,...,bn )
Entonces A B si a i
b j i y j 1, 2, ...,n
a1 b1 a b 2 2 a 3 b3 .... a n bn
PROPIEDADES:
1. Refl exi va : Todo vector es igual a sí mismo, esto es A = A 2. Simetría : Si A = B entonces B = A 3. Transitiva : Si A = B y B = C entonces A = C
1.3.2. Producto de un escalar por u n vector Si c es un escalar tal que c R y A un vector tal que A V n , el producto cA se define como el vector que resulta de multiplicar cada componente de A por el escalar c, esto es:
cA = (ca 1 , ca 2 , ca 3 , ... , ca n )
ANÁLISIS DEL VECTOR “cA”:
Para facilitar el estudio vamos a considerar un vector A de V 1 tal como A = ( 4 ), de modo que el vector cA = ( 4c ), y vamos a darle a c distintos valores de R, para poder ver como afecta a su módulo, dirección y sentido, para esto elaboramos la siguiente tabla: c cA (4c)
-2 -2A (-8)
-3/2 -3A/2 (-6)
-1 -A (-4)
-1/2 -A/2 (-2)
0 0 (0)
5
1/2 A/2 (2)
1 A (4)
3/2 3A/2 (6)
2 2A (8)
Representando dichos vectores geométricamente: -2A -3A/2 -A -A/2 0 A/2 A 3A/2 2A -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Al observar los resultados de la tabla y de la figura 1.4a, podemos apreciar que cuando c 0 el sentido de cA es el mismo que el de A, pero cuando c 0 el sentido es el opuesto de A. En cuanto a la dirección observamos que para todo c R, el vector cA tiene la misma recta de acción que A, luego podemos concluir que lo que no podrá nunca c es cambiar la dirección de cA, esto es, sacarlo de su recta de acción, esta propiedad es de suma importancia y por lo tanto tenemos que tenerla muy presente. En cuanto al módulo vemos que cuando c 1 y c -1, este se dilata y cuando – 1 c 1 se contrae, de manera proporcional al valor del escalar, por ejemplo si c = 2 la longitud del vector 2A es el doble de la de A y si c = ½ la longitud del vector A/2 es la mitad de la de A. En general podemos afirmar que sí A V n:
Se dilata si a) El Módulo : No var ía si Se contrae si
1 c 1 c 1
c
cA
b) La dirección no var ía para todo c R
O n
Es igual al de A si si c 0 c) El Sentido: Es opuesto al de A si c 0
“Por tanto podemos describir al vector cA como el vector que tiene su cola en la cola de A (origen) y su flecha en cualquier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 1 .5.” 1.3.2.1.Defini ciones derivadas de estas operaciones a) PARALEL I SM O ENTRE DOS VECTORES
Dos vectores A y B de V n son paralelos sí y sólo sí tienen igual dirección. Esto es, si tienen la misma recta de acción o sus rectas de acción son paralelas. En la figura 1.6 se muestran los dos casos B mencionados anteriormente, A y B son paralelos y tienen la misma recta de C A acción también C es paralelo a A y a B y sus rectas de acción son paralelas.
L uego decimos que si A//B enton ces A = cB
Esta condición nos permite afirmar que cuando dos vectores A y B son paralelos sus componentes son proporcionales. Esto es:
6
a1 cb1 a cb 2 2 Si A // B : A cB a3 cb3 c ......... an cbn
a1 b1
a2 b2
a3 b3
............
an bn
b) VECTOR CERO
Es el vector generado por el vector cA al darle a c el valor cero, (c = 0). Como el escalar afecta como factor a cada una de las componentes de A, todas las componentes del vector cero serán cero: Vector Cero = 0 = ( 0,0,0,..........,0 )
Las características de este vector son: Su módulo o longitud //0//=0, su dirección la misma del vector que lo origina, ya que lo que el escalar no podrá jamás es sacar al vector A de su recta de acción, es importante que el alumno vea que como el vector A es un vector cualquiera de V n , y por lo anterior el vector cero tiene la dirección del vector que lo origina, en consecuencia el vector 0 tiene todas las direcciones posibles. Y su sentido tiene carácter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero 0=0, dado que 0 por cualquier número es cero. Desde el punto de vista geométrico el vector cero está representado por un punto, esto es,. el origen del sistema.. Es además el vector que sumado a un vector A me da el vector A, por esto, al vector cero se le llama elemento neutro en la suma de vectores, como se verá más adelante. c) VECTOR OPUESTO
El vector opuesto es aquel vector generado por el vector cA, cuando c = -1: Vector Opuesto de A = (-1)A = -A = ( -a 1, -a 2, ...,-a n )
La gráfica sería:
A -A
Las características de este vector son: Es un vector que existe porque existe el vector A, tiene el mismo módulo y dirección que A, pero sentido opuesto. Figura (1.7)
0n
Otra propiedad importante del vector -A es la de ser el vector que sumado al A me da el vector cero, y que la estudiaremos después de estudiar la suma de vectores.
1.3.3. Suma de vector es Dados dos vectores A y B de V n distintos del vector cero, tal como A = (a 1 ,a2 ,...,an ) y B = (b1 ,b2 ,...,bn ) : La suma de A + B se define como el vector cuyas componentes se obtienen sumando las Definición componentes de los vectores parciales como se ilustra a continuación:
A + B = a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ,... ... , a n + b n
Además la suma de vectores cumple la regla del paralelogramo , de modo que el vector suma A + B se representa geométricamente como la diagonal del paralelogramo que se forma al trazar por cada flecha de los vectores parciales, paralelas a las rectas de acción del otro, como se muestra en la figura (1.8) siguiente: //A//
B //B//
A+B
- //A+ B//
O
//A//
A
7
1.3.3.1.Análisis del vector suma Como se trata de vectores libres podemos trasladar el vector A paralelamente a sí mismo, hasta que su cola coincida con la flecha de B, pero podemos hacer lo mismo con B, de modo que el vector suma A+B , tendrásu cola en la cola del pr imero y su flecha en l a flecha del segundo. D ado que el pri mero puede ser A o puede ser B, y lo mismo sucede con el segundo.
Los datos del problema son los vectores A y B, por tanto conocemos su norma, su dirección y sentido y por consiguiente conocemos el ángulo definido por A y B, es decir . En la figura 1.8 trasladamos al vector A paralelamente a sí mismo hasta que su cola coincida con la flecha de B, formándose el triángulo O n – B - (A +B), en donde conocemos dos lados //A// y //B// y el ángulo comprendido será - , porque es suplementario a un ángulo que es igual a por ser correspondiente al ángulo formado por A y B, como se muestra en la figura 1.8. a)
Ahor a vamos a calcular la norma //A + B//: Aplicando la Ley del Coseno:
De la figura 1.8 se deduce: A B
2
A
Sabemos que Cos( )
2
2
B 2 A
B cos( ) por la Ley del Coseno
cos cos sen sen cos
Re emplazando en la primera :
A B
2
A
2
B
2
2 A
B cos
b) Definida l a norma pasamos a defi nir la dir ección , para esto, basta definir su recta de acción por consiguiente necesitamos un punto de paso y una dirección, lo primero ya lo tenemos viene a ser el O n , luego nos queda definir su dirección. Las rectas de acción de los vectores A y B al pasar por el origen del sistema O n determinan un plano, en donde se encuentra también el paralelogramo definido por éstos, al trazar por cada una de las flechas paralelas a las rectas de acción del otro. Por lo tanto el vector suma A + B por ser la diagonal de dicho paralelogramo también se encuentra en dicho plano. En la figura 1.8 observamos que, la recta de acción de A + B forma un ángulo con la recta de acción de A. De modo que la recta de acción de A + B, será la recta que pasa por el origen O, se encuentra en el plano definido por L a y Lb y forma un ángulo con La. Por tanto tenemos que calcular .: Para el cálculo de dicho ángulo acudimos nuevamente a la figura 1.8, en donde podemos ver que dicho ángulo es igual al ángulo que se opone a //B// en el triángulo On-B-(A+B) por ser ángulos alternos internos, luego aplicando la Ley de los Senos: A B sen( )
B
de donde se deduce que :
sen
sen
B A B
sen ( )
Como sen( ) sen cos sen cos sen Re emplazando :
sen
B A B
sen
de donde
B arc. sen A B
, como hemos dicho el vector suma tiene su cola en la c) Por último nos queda defi ni r el sentido de A + B
cola del primero, y su flecha en la flecha del segundo, por lo tanto la flecha de A + B queda definida por la flecha del segundo. Al quedar definida la flecha de A + B queda definido el sentido de A + B.
1.3.3.2.Casos de suma de vector es L os casos que vamos a estudiar se basaran en lo visto en el caso general, es decir, apli caremos los resul tados encontr ados a las situacion es concr etas defini das en los casos a analizar.
8
sen
: cuando los vectores tienen igual dirección y a) PRIM ER CASO sentido (col ineales y codiri gidos) Del esquema geométrico se desprende al compararlo con el NORMA:
caso general que el ángulo =0, por tanto cos =1, reemplazando en la expresión de la norma. De donde: // A + B //
2
= //A// 2 + //B// 2 + 2 //A// //B
Sacando raíz cuadrada: / //A+B// / = / //A// + //B// / Como las normas son siempre positivas: //A// > 0 y //B// > 0 Luego //A// + //B// > 0, por tanto: //A + B // = //A// + //B// “ L uego la norma del vector A + B será igual a la suma de las normas de los vectores arciales.”
: Para determinar la dirección imponemos la condición α = 0 DIRECCION
senα
B AB
sen 0 0 luego sen 0 por tan to
0
Si = 0 entonces la recta de acción del vector A + B será igual a la recta de acción del vector A, por lo tanto el vector A + B tendrá la misma dirección de A y de B. : Por último, como el vector suma tiene su flecha en la flecha del segundo, el sentido del vector SENTIDO A + B lo dará el vector B, como A y B tienen el mismo sentido, entonces A + B tendrá el sentido de A o de B. b) SEGUN DO CA SO: cuando l os vectores tienen la misma dirección pero senti do contrar io (col in eales y contrari amente dir igidos): NORMA : Observando la figura 1.11 y comparándola con el caso general podemos afirmar que el ángulo
que forma A y B, esto es = por tanto cos = -1, reemplazando en la expresión de la norma tendremos: //A + B// 2 = //A// 2 + //B// 2 - 2 //A// //B// De donde: //A + B// 2 =( //A// - //B// ) 2
//A +B/ /
Sacando raíz cuadrada: / //A + B // / = / //A// - //B// /
A B
Θ = π
Por definición de Valor Absoluto:
A+ B
0
B
Si // A // - // B // > 0 → / // A // - // B // / = // A // - // B // Si // A // - // B // < 0 → / // A // - // B // / = // B // - // A//
//A // //B //
De modo que la norma del vector A + B seráigual a la diferencia de las normas parcial es
Para determinar la dirección, debemos calcular el ángulo , como = entonces sen =0, DIRECCION: A
B
entonces
0
y cuando
9
A
B
entonces
reemplazando en la ecuación correspondiente tendremos: senα
B A B
sen 0
0
luego sen 0 por tan to
0
o
Este caso presenta a la vez dos alternativas que aparecen debido a que la norma de A puede ser mayor que la norma de B y viceversa, como ya se vio en el estudio de la norma. En ambos casos la recta de acción del vector suma A + B coincide con la recta de acción del vector A por lo tanto se concluye que la dirección del vector suma es igual a la dirección de los vectores parciales. : El sentido del vector A + B lo da el vector de mayor longitud, debido a que al hacer el traslado SENTIDO
correspondiente de modo que la cola del menor coincida con la flecha del mayor, el sentido del mayor prevalece.
En la figura 1.11 se puede observar uno de estos dos casos, en donde la norma de A es mayor que la norma de B, al realizar la suma hemos trasladado el vector B hasta que su cola coincida con la flecha de A, de modo que el vector suma A + B tendrá su cola en la cola de A y su flecha en la flecha de B, prevaleciendo así el sentido de A.
1.3.3.3.Propiedades de la suma de vectores y del periodo de un escalar por u n vector: Axi omas de los espacios vector iales Vamos a enunciar las propiedades de modo conjunto debido a razones de tipo didáctico, dados los vectores A, B y C de Vn y c y d R: Propiedad 1. Uni formidad 2. Conmutativa 3. Asociati va 4. Elemento Neutro 5. Elemento I nverso 6. Di stri butividad
Suma A + B (sigla)
Producto cA (sigla)
Si A y B Vn A + B Vn (PUSV) A + B = B + A (PCSV) ( A + B ) + C =A + ( B + C) (PASV) A + 0 =A (PENSV) A + (-A) = 0 (PEISV) Vectorial: c( A + B ) = cA + cB Escalar: ( c + d )A = cA + dA
Si A V cA Vn (PUPEV) cA = Ac (PCPEV) (cd)A = c(dA ) = d(cA) (PAPEV) Si c = 1 cA = A (PENPEV) No existe. (PDV) (PDE)
1.3.3.4.Vector dif erencia Definido el producto de un escalar por un vector cA, y la suma de los vectores A + B, podemos determinar el vector A - B, transformando la diferencia en una suma entre el vector A y el vector (-1)B, es decir, el opuesto de B, de modo que A – B = A + ( -B ). Los datos del problema son A = ( a1 ,a2 ,...,an ) y B = ( b1 ,b2 ,...,bn ) De modo que:
luego – B = ( -b1 ,-b2 ,...,-bn )
A - B = ( a 1 - b 1 , a 2 - b 2 ,... ... , a n - b n )
Para tener una idea más clara de este vector vamos hacer un análisis geométrico de lo explicado anteriormente, tenemos los vectores A y B, definimos el opuesto de B, esto es, -B y se lo sumamos al vector A, obteniendo de esta manera el vector A - B B
On -B
A
A-B
El hecho de que la suma de vectores cumpla la regla del paralelogramo y sean vectores libres nos permite definir la siguiente característica, el vector diferencia A-B será el vector que sumado al vector B me da el vector A, esto es: B + ( A – B ) = B + A -B =(B-B)+A = 0+A =A, de modo que el vector A – B = BA
10
Podemos concluir que el vector diferencia es el vector que tiene su cola en B y su flecha en A, esto es, el vector que va de B a A, esta característica permite explicar la razón por la cual el vector OA = A, dado que OA = A -0 = A. ANÁLI:SI S DEL VECTOR A – B: al triángulo O n BA: Aplicando la Ley del Coseno Norma
B
De la figura 1.13 se deduce:
//B //
//A -B/ /
θ
//A + - B// 2 = //A// 2 + //B// 2 - 2//A// //B// cosθ O n
//A//
α
A
: Para determinar su dirección hacemos lo mismo que hicimos en la suma, definimos su recta de Dirección
acción, en este caso el punto de paso es el punto B y se encuentra en el plano definido por las rectas de acción de A y B , luego tenemos que determinar solo , para esto aplicamos la Ley de los Senos: A B sen
B sen
de donde se deduce que :
sen
B A B
sen
: Por último para definir el sentido, por lo dicho anteriormente, su flecha esta definida por la flecha Sentido de A, como se muestra en la figura 1.13.
1.3.4. Problemas resueltos Ej emplo 1.1:
Descomponer el vector X = (-1, 18) en dos vectores C y D , tales que C es paralelo a A y D es paralelo a B , donde A = (-1, 4) y B = (1, 3). Luego: X = C + D Si C // A C = c A y si D // B
D = d B
Por tanto:
c d 1 Por igualdad de vectores: ( -c + d, 4c + 3d ) = ( -1, 18 ) 4c 3d 18 Resolviendo: c =3 , d=2 Por lo que:
C = ( -3, 12) , D = ( 2, 6 )
Ej emplo 1.2:
Dado el triángulo ABC y las relaciones: BD = hBC , CE = hCA , AF = hAB , siendo tales vectores representativos de las direcciones correspondientes y "h" un escalar. Demostrar que: AD + BE + CF = 0 Solución: Construimos un triángulo ABC, en el cual vemos que (figura 1.15): BC + CA + AB = ( C – B ) + ( A – C ) + ( B – A ) = “ = ( C – B ) + ( B - A) + ( A – C ) = /PCSV “ = C – B + B – A + A - C = /PASV “ = C + 0 + 0 - C = /PEISV “ = C – C = /PENSV BC + CA + AB = 0 /PEI SV
lqqd
Calcularemos la suma pedida y demostraremos que es el vector cero:
11
AD + BE + CF
Aplicando las propiedades de la suma de vectores tenemos: AD + BE + CF = ( D – A ) + ( E – B ) + ( F – C ) = ( D – B ) + ( E – C ) + ( F – A ) = BD + CE + AF = hBC + hCA + hAB = h( BC + CA + AB ) = h0 = 0 . AD + BE + CF = 0
l.q.q.d
Ej emplo 1.3:
Aplicando el álgebra vectorial, demuestre que las medianas de un triángulo se cortan en un punto que dista de cada vértice 2/3 de la longitud de la mediana respectiva. Solución: Dado el triángulo ABC, ubicamos los pies de las medianas (figura1.16): A
M a = ½.( B + C ) ; M c =½.( A + B ) M C
Definimos: - A AM a = M a- A = ½B + ½C AI = t AM a = ( t/2 )B + ( t/2 )C - t A = ½A + ½B - C CM c = M c - C CI = sCM c = ( s/2 )A + ( s/2 )B – sC
I B C
Observamos que: AI = AC + CI = ( C-A ) + ( s/2 )A + ( s/2 )B – sC -t A + (t/2)B + (t/2)C = ( s/2 – 1 )A + (s/2)B - (1 – s )C Igualando los coeficientes de los vectores:
t s / 2 1 t / 2 s / 2 t / 2 1 s
Resolviendo: s = t = 2/3
Lo cual quiere decir que la longitud del segmento que une un vértice con el punto de intersección de las medianas es los 2/3 de la mediana respectiva: AI = (2/3)AM a , CI = (2/3)CM c Como se puede trabajar con cualquier par de medianas, análogamente: BI = (2/3)BM b Ej emplo 2.4:
Demostrar la propiedad conmutativa: A + B = B + A A + B = (a1 + b1 , a2 + b2 + a3 + b3 , ........., an + bn ) / Def. de A+B B + A = (b1 + a1 , b2 + a2 + b3 + a3 , ........., bn + an ) / Def. de A+B
a 1 b1 b1 a 1 a b b a 2 2 2 2 a b3 b3 a 3 Luego A + B = B + A: 3 / Igualdad de Vectores ..................... ...................... a n bn bn a n Como la suma de números reales es conmutativa, entonces las n igualdades se cumplen, por tanto se cumple que A + B = B + A . Ej emplo 1.5:
Demostrar la propiedad de distributividad escalar: ( c + d ) A = cA + dA
12
cA = ( ca 1 , ca2 , ca3 , ...........,can )
y dA = (da1 , da2 , da3 , ...........,dan )
/ Def. de cA
Luego la suma de cA + dA = ( ca 1 + da1 , ca2 + da2 , ca3 + da2 ,...........,can + dan ) / Def. de A + B = [( c + d )a1 ,( c + d )a 2 ,( c + d )a 3 ,...........,( c + d )an ] / PDPNR = ( c + d ) A / Def. cA Por tanto: ( c + d ) A = cA + dA
1.3.5. Problemas pr opuestos 1)
Dados los vectores: A = (a,-3p) y B = (2p,-b), hallar a, b y p para que: A + B = (8,-4) y A sea paralelo a B .
2)
Demostrar que los tres puntos: (2,0,-1), (3,2,-2) y (5,6,-4) son colineales.
3)
Demostrar que los puntos (4,0,1), (5,1,3), (3,2,5) y (2,1,3) son los vértices de un paralelogramo.
4)
Demostrar que si D = B + C , B // A y D // A , entonces // A . C
5)
Sean: A = (a1 ,a2 ) y B = (b1 ,b2 ) dos vectores del plano que no tienen la misma dirección y distintos del vector cero. Probar que para cada vector C = xA + yB , existen los escalares x e y, y expresar x e y por medio de c 1 y c2.
6)
Si un cuadrilátero OABC de V 2 es un paralelogramo que tiene a A y C como vértices opuestos, demostrar que: A + ½.( C- A ) = ½B . ¿Qué teorema relativo a los paralelogramos puede deducirse de esta igualdad? Enunciarlo. C
7)
8)
Se da un paralelogramo ABCD. Se sabe que E es un punto medio de CD y F está a 2/3 de AE en el sentido de A hacia E . Considerando el sentido de B hacia C , demostrar que F está a 2/3 de BC (ver figura 1.15).
E F
A
Dados dos vectores: A = (a1 ,a2 ) y B = (b1 ,b2 ), demostrar que: -a1b2 + a2b1 = 0 si y sólo si A y B son paralelos. En los ejercicios del 9-12, se dan las coordenadas de dos puntos A y B . A es el extremo inicial y B es el extremo final de la representación de un vector. Decir cuál es el vector correspondiente en cada caso.
9)
A = (3, 5)
,
B = (6, 8)
10)
A = (6, -4)
,
B = (-1, 5)
11)
A = (4, -2)
,
B = (-3, 6)
12)
A = (-5, -2)
,
B = (-5, 6)
13)
Demostrar que al unir los puntos medios de un cuadrilátero plano, se obtiene un paralelogramo.
14)
Los puntos (1, 2), (3, 1) y (8, 4) son tres vértices de un paralelogramo. Calcular las tres posibles posiciones del cuarto vértice.
15)
Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.
16)
Demostrar vectorialmente que el segmento de la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado, y su longitud es la mitad de este último.
13
17)
Demostrar que los puntos (2, 9, 1), (3,11, 4), (0, 10, 2) y (1, 12, 5) son los vértices de un paralelogramo. En los ejercicios del 18-22, sean A = (1, 2, 3), B = (2, 2, -1) y C = (4, 0, -4). Hallar:
18)
A - B y B - A
19)
A - B + 2C
20)
2A + 4B - C
21)
, siendo 2D - 3A = C D
22)
, siendo 2A + B - C + 3D = 0 D
23)
Representar el vector A = (8, 8, 6) y hallar un vector B tal que: a) B tiene igual dirección y sentido que A , pero la mitad de su módulo. b) B tiene igual dirección, pero sentido opuesto a A , siendo su módulo la cuarta parte de A .
24)
Demostrar que si D = B + C y B es paralelo a A , entonces D es paralelo a A , si y sólo si C es paralelo a A . Ilustrar este resultado gráficamente.
25)
Dibujar los vectores A = (2, 1) y B = (1, 3) partiendo del origen en el plano. En la misma figura dibujar el vector C = A + tB para cada uno de los valores siguientes de t: t = 1/3, t = ½, t = 1, t = 2, t = -1, t = -2.
26)
En una nueva figura dibujar los vectores A y B del ejercicio anterior. Sea C = xA + yB donde x e y son números reales. a) Dibujar el vector C para los siguientes pares de valores: (1/2, ½), (1/4, ¾), (1/3, 2/3), (2, 1), (3, -2), (-1/2, 3/2), (-1, 2).
27)
b) Dígase cual es el lugar geométrico de C cuando x e y recorren independientemente los intervalos 0 < x < 1, 0
b) A - B;
c) A + B - C;
d) 7A - 3C;
e) 2A +3 B – C
28)
Sean A =(2, 1) y B =(1, 3). Demostrar que todo vector C =(c 1 , c 2 ) de V 2 puede expresarse en la forma C =xA + yB. Expresar x e y en función de c 1 y c2.
29)
Sean A=(1, 1, 1), B=(0, 1, 1) y C =(1,1,0) tres vectores de V 3 y D =xA + yB + zC, donde x, y , z son escalares. a) Determinar las componentes de D. b) Hallar x, y , z tales que D =(1 2, 3) c) Si D =0, demostrar que x = y = z =0
30)
Sean A =(1,1,1), B=(0,1,1) y C =(2,1,1) tres vectores de V 3 , y D = xA + yB + zC, en donde x, y y z son escalares.
14
a) Determinar los componentes de D b) Hallar x, y ,z no nulos tales que D = 0 c) Demostrar que ninguna elección de x, y y z hace D =(1, 2, 3) 31)
Sean A =(1,1,1,0), B =(0,1,1,1), C =(1,1,0,0) tres vectores de V 4 , y D =xA + yB + zC siendo x, y y z escalares. a) Determinar los componentes de D. b) Si D =0, demostrar que x = y = z = 0 c) Hallar x, y y z tales que D =(1, 5, 3, 4) d) Demostrar que ninguna elección de x, y z hace D =(1, 2, 3, 4)
32)
En V n demostrar que dos vectores paralelos a un mismo vector son paralelos entre sí.
33).
Dados cuatro vectores no nulos A, B, C, D de V n tales que C =A + B y A es paralelo a D. Demostrar que C es paralelo a D si y sólo si B es paralelo a D.
34)
a) Demostrar, para los vectores de V n las propiedades de la adición y de la multiplicación por escalares. b) Mediante vectores geométricos en el plano representar el significado geométrico de las dos leyes distributivas (c + d)A = cA + dA y c(A + B) = cA + cB.
35).
Si un cuadrilátero OABC de V 2 es un paralelogramo que tiene A y C como vértices opuestos, demostrar que A + (C - A)/2 = B/2. ¿Qué teorema relativo a los paralelogramos puede deducirse de esta igualdad?
15
1.4.
Producto escalar o producto in terior
Introduzcamos un nuevo tipo de multiplicación, llamado producto escalar o interior de dos vectores en V n. Si A = (a1 , ... , an ) y B = (b1 , ... , bn ) son dos vectores de V n , su producto escalar se representa por A.B y se define con la igualdad: n
A . B a1b1 a 2b2 ........ anbn
aibi i 1
1.4.1. Propiedades
“conmutativa” “distributiva” “homogénea” “positividad” “nulidad”
a) A . B = B . A b) A.( B + C) = A.B + A.C
c) c(A . B ) = ( cA ). B = A . ( cB ) d) A . A > 0 si A ≠ 0 e) A . A = 0 si A = 0
(PCPE)
(PDPE) (PHPE) (PPPE) (PNPE)
Demostraremos dos de é stas propiedades para f acilitar al al umno la demostración de las otras:
a) A.B = B.A n
A . B
a1b1 a2b2 ........ anbn
a b
i i
/ Def . de A . B
i 1
n
A . B
n
aibi
i 1
b a
i i
/ PCPNR
i 1
n
A . B
b a B . A / Def .de sumatoria i i
Luego :
A . B B . A
lqqd
i 1
d) A . A > 0 si A 0
/ PPPE ( positividad)
n
A . A
a a i
i
/ Def .de sumatoria
i 1
n
A . A
a
2
i
entonces a i
2
0
para todo i
1 ,2 ,. .. .. .. .,n
Por tan to A . A 0 lqqd
i 1
1.4.2. Desigual dad de Cauchy – Schwarz Si A y B son dos vectores de V n, , tenemos: (A.B)² (A.A)(B.B) Además el signo de la igualdad es el válido si y sólo si uno de los vectores es igual al producto del otro por un escalar, esto es, si A = cB.
1.5.
L ongitud o norma de un vector
Vamos a dar la definición de Norma de un vector, estudiando en primer lugar los casos más particulares para luego inducir el caso general.
16
En la figura 1.18 se tiene un vector A = (a1 ) en V 1 En donde a1 puede ser 0 ó 0
A
Por tanto la //A// = / a1 /
A
o
a1
a1
Luego: // A // a12 La figura 1.19 muestra el vector posición del punto A en V 2; por el teorema de Pitágoras sabemos que:
a2
A
// A // 2 a12 a22 / T Pitágoras .
//A//
Luego: // A // a12 a22
0
d 2 a12 a22
z
/ T . Pitágoras
a3
// A // 2 d 2 a32
A
Re emplazando : // A // 2 d 2
//A//
a32 a12 a22 a32
a2
a1
De donde // A //
x
a1
La figura 1.20 extiende el caso a V 3:
a12 a22 a32
y
d
x
1.5.1. Definición Teniendo en cuenta los casos particulares vistos anteriormente, es muy fácil afirmar que, si A es un vector en V n , su longitud o norma que se designa con ║A║ se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, mediante la igualdad: n
Si A (a1, a2 , .........,an ) entonces :
De donde:
A
A
2
a12
a ............ 2 2
an2n
a
2 i
i 1
A. A
1.5.2. Propiedades Si A es un vector en V n y "c" un escalar, se cumplen las siguientes propiedades: 1) A > 0 si A 0 2) A = 0 si A = 0 3) cA = │c│ A 4) A + B A + B
1.6.
“positividad” (PPN) “nulidad” (PNN) “homogénea” (PHN) “desigualdad triangular” (DTN)
Or togonal idad de vectores
Para un par de vectores cualesquiera A y B de V n , se cumple que:
A+B ² = (A+B).(A+B) = A.A + 2A.B + B.B = A ² + B ² + 2A.B (1)
17
A. A
Si tenemos dos vectores de V n ortogonales, como se muestra en la figura 1.21, podemos observar que las normas de dichos vectores y la norma del vector suma, forman un triángulo rectángulo, en donde la hipotenusa es //A+B//. De modo que: // A B //
B
//A+B//
// A // // B // / T. Pitágoras (2) 2 // A // // B // 2 2 A. B // A // 2 // B // 2 2
2
A+B
2
//B //
Aplicando la propiedad transitiva en (1) y (2): Por lo tan to : 2 A. B 0
Luego:
entonces
A. B
0
0
/ A//
A
Si A B A . B = 0
1.6.1. Problemas resueltos Ej emplo 1.6:
Si: A = (2,1,-1) y B = (6,-1,2), determinar un vector C de modo que: C//A y B.C = 18 Si C // A: C = cA = c (2, 1, -1) = (2c, c, -c) Si B . C = 18 B .C = (6,-1,2) . (2c, c, -c) = 12c – c -2c = 9c = 18
luego c = 2
Por tanto: C = ( 4, 2, -2) Ej emplo 1.7:
Suponiendo que en lugar de definir el producto escalar de dos vectores A y B de V n por la fórmula: A. B
n
i 1
aibi usamos la definición siguiente: A. B
n
/ aibi / i 1
Ver si cumple las propiedades conmutativa, distributiva y de positividad. a) Conmutati va (sícumple): n
A . B
/ a b / / a b / / a b / ................ / a b / / Def . 11
i i
2 2
n n
i 1
A . B
n
/ aibi / / b1a1 / / b2a2 / ................ / bnan /
/ PCPNR
i 1
A . B
n
/ aibi / / b1a1 / / b2a2 / ................ / bnan / B . A / Def . i 1
Luego :
A . B B . A cumple
b) Distri butiva (no cumple): n
A .( B C )
/ a ( b c ) / : definición de producto escalar y suma de vectores. i
i
i
i 1
18
n
A . ( B C )
/ a (b ci) / / a (b c ) / / a (b i
i
1
1
1
2
2
c2 ) / ............ / an (bn cn ) /
i 1
ci ) / / aibi ai ci / / PDPNR / ai bi / / ai ci / / DesigualdadTriangular
Como : / ai (bi n
n
n
n
n
/ a (b c ) / / a b a c / / a b / / a c ) / / a b / / a c ) / A. B A.C i
i
i
i i
i 1
i i
i 1
A . ( B C ) c ) Positi vidad: Si A
i i
i i
i 1
0 → A.A
i i
i 1
A. B A. C
i i
i 1
no cumple.
> 0
n
A. A
/ a a / i i
/ Def .
i 1
Como ai ai
ai2
y ai2 0
/ ai ai /
ai ai 0
n
Por tanto:
/ a a / 0 .cumple i i
i 1
Ej emplo 1.8: Demostrar l a propiedad homogé nea y la desigualdad triangular par a la nor ma de un vector.
a) H omogé nea : cA = c A
cA = [( c.A )( cA )] ½ /Def. de //A// cA = [ c² ( A . A ) ]½
/PHPE= (c²)½(A.A)½ /PDPNR
Sacando raíz cuadrada: cA = c A dado que //A//>0 c) Desigual dad tri angular :
0 < A+B A + B como las normas son siempre positivas Elevando al cuadrado: A + B ² ( A + B )² el signo de la desigualdad no varía. (1) Desarrollando ambos miembros de la desigualdad:
A+B ² = (A + B) .(A + B) = A . A + 2A . B + B . B = A ² + 2A.B + B ² (2) ( A + B )² = A ² + 2 A B + B ² (3) Reemplazando (2) y (3) en (1):
A ² + 2A . B + B ² A ² + 2 A B + B ²
Simplificando: A . B // A // // B // y nuestro problema se reduce a demostrar esta última desigualdad. Por la desigual dad de Cauchy-Schwar z sabemos que:
(A . B)² ≤ (A . A)(B . B) de donde: (A . B)² A ² B ² , sacando raíz cuadrada:
A . B A B Por propiedad del valor absoluto: - //A////B// A . B //A////B// Esta desigualdad corresponde a la de Cauchy – Schwarz, expresada en función de la norma, vemos que ésta incluye a la desigualdad triangular, por lo tanto podemos afirmar que es verdadera.
19
Ej emplo 1.9:
Se tiene que A = (m,2m), B = (2m,p), B//A. Determinar B , si // AB // = 80
mt 2m Si B = tA = t(m,2m) = (mt,2mt) = (2m,p) 2mt p
/Igualdad de vectores
Resolviendo: t = 2 y p = 4m entonces: B = (2m, 4m) AB=B-A=(2m, 4m)-(m, 2m)=(m, 2m)
B-A ² =AB . AB = m² + 4m² = 5m² = 80 por tanto m = 4 entonces B = (8,16) Luego: // B // = 64 + 256 = 320 = 8 5 Ej emplo 1.10:
Sean A, B y C vectores de V n diferentes al vector cero. Si A y B son paralelos y A es ortogonal a C, demostrar que B también es ortogonal a C. Los datos son: A, B, C 0 ;
B = tA
y
A .C = 0
producto escalar: B.C = (tA).C = t(A.C) = t(0) = 0 Como ningún vector es nulo y el producto escalar es cero, demostramos que B y C son ortogonales. Ej emplo 1.11:
Dados los vectores A = ( 2, -1, 1), B = (1, 2, -1), y C =(1, 1, -2) de V 3.. Hallar los vectores D de la forma xB + yC ortogonales a A y de longitud unidad. Como D = xB + yC = x(1, 2, -1) + y(1, 1, -2) = (x + y, 2x + y, -x - 2y ) Como D A: D . A = 0 2(x + y) – (2x + y) + (-x - 2y) = 0 -x - y =0
x = -y por tanto:
D = (0, -y, -y)
Si //D//=1 //D// = y 2 y 2 y 2 Por la transitiva:
y
2 =1
y =
2 2
; En consecuencia: D = (0,
2 2
,
2 2
)
Ej emplo 1.12 :
Si A = (1, -1, 2) y B = (2, 1, -1). Hallar un vector no nulo C de V 3 que sea ortogonal a A y a B. Si A C A . C =0
y
Si hacemos C = (x, y, z):
A . C = x – y + 2z = 0
Haciendo z = t:
si B C
B . C = 0 y B . C = 2x + y – z = 0
x y 2t 2 x y t
Resolviendo en función de t: x = -t/3
e
y = x + 2t = -t/3 + 2t = 5t/3
20
Por lo tanto: C = ( -t/3, 5t/3, t ) = t( -1/3, 5/3, 1 )
siendo t un número real cualquiera.
Ej emplo 1.13:
Demostrar si es o no cierta la siguiente proposición referente a vectores de V n. Si A . B = A . C = 0 y A 0, entonces B = C o (B-C) perpendicular a A. Si A . B = A . C A . B – A . C = 0 A . ( B – C ) = 0 /PDPE Para que esta igualdad sea cero, A = 0 ó B – C = 0 ó (B-C) es perpendicular a A, como A 0 por hipótesis entonces. Solo pueden cumplirse las otras 2 opciones. Ej emplo 1.14:
Demostrar si es o no cierta las siguientes proposiciones: a)
Si A es ortogonal a B, // A + xB // // A // para todo real x.
Si A B A . B = 0 Como // A + x B // // A // > 0 /PPN si elevamos al cuadrado el signo de la desigualdad no cambia: // A xB // 2 // A // 2
. // A // 2 / Def . de norma ( A xB ).( A xB ) A A ( A xB ).( A xB ) A.( A xB ) xB.( A xB ) A. A A.( xB ) ( xB ). A ( xB ).( xB ) / PDPE ( A xB ).( A xB ) // A // 2 x( A B . ) x( B. A ) x 2 ( B B . ) / PHPE y Def .de norma ( A xB ).( A xB ) // A // 2 2 x( A B . ) x 2 // B // 2 Simplificando : Como A B .
0
// A // 2 / PCPE y Def . de norma
x 2 // B // 2 0 x 2 // B // 2 0 como están elevados al cuadrado , la desigualdad es verdadera para todo 2 x( A B . )
valor de x.
b)
Si // A + xB // // A // para todo real x, A es ortogonal a B
Por el apartado anterior tenemos que: 2 x( A B . ) x 2 // B // 2 0
x 2( A B . ) x // B // 2
0
x 0 Pr imero si ambos son positivos 2( A B . ) 2( A B . ) x // B // 2 0 x // B // 2 si x 0 2( A B . ) Segundo si ambos son negativos 2( A B . ) x // B // 2 0 x // B // 2
Luego el conjunto solución será: x 0 x
2 A B . // B //
2
x 0 x
2 A B . // B //
2
, conjunto que no
abarca todo el campo real, por lo tanto si se quiere que x sea cualquier real es necesario que A.B=0
1.6.2. Problemas pr opuestos 36)
Sean A = (5, 2), B = (-3, -4) y C = (4, 7). Calcular: a) A . B b) (2A + 3B ).C c) (B + C).(B - C)
21
37)
Si: A = (2, 1, -1) y B = (1, -1, 2), hallar un vector C no nulo de modo que: A .C = B .C = 0
38)
Si: A = (2, -1, 2) y B = (1, 2, -2): a) Hallar dos vectores C y D de V 3 que satisfaga todas las condiciones siguientes: A - D = C , B.D = 0 y que C tenga la misma recta de acción que B. b) Hallar los valores posibles de x e y tales que C = xA + yB y que B.C = 0
39)
Suponiendo que en V 2 se define el producto escalar de dos vectores A = (a1 ,a2 ) y B = (b1b2 ) con la fórmula: A.B = 2a1b1 + a2b2 + a1b2 + a2b1 a) Demostrar que son válidas las propiedades distributiva y de positividad. b) ¿Es válida la desigualdad de Cauchy-Schwarz?
40)
y P
Se tienen los vectores: A = rP, B = tQ y C = (-3, 2 2 ). Calcular A y B si C = rP + tQ (ver figura 1.22) Q
60°
x
Q
41)
Tres vectores de V n (A, B y C) si se cumple que A + B - C = A + B + C . Determinar cuanto vale (A + B).C y diga que se puede afirmar de estos vectores.
42)
¿Qué punto sobre el eje y equidista de (3, -2) y (5, 6)?
43)
Demostrar la verdad o falsedad de la siguiente proposición relativa a vectores de V n: " si A es ortogonal a B, entonces A + xB A para todo número real x ".
44)
Un vector de A de V n tiene longitud 6 y otro B tiene la propiedad de que, para todo par de escalares x e y, los vectores xA + yB y 4yA - 9xB son ortogonales. Calcular las longitudes de B y de 2A + 3B.
45)
Demostrar vectorialmente que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es 90°.
46)
Demostrar mediante un contraejemplo que: A.B = A.C no implica ni que B = C ni que A = 0.
47)
Demostrar que si A + B = A - B , entonces A y B son perpendiculares.
48)
Demostrar que (A - B).(A + B) = A ² - B ².
49)
Demostrar que los únicos vectores unitarios ortogonales al vector unitario U = (a, b) son V 1 = (b,a) y V 2 = (-b, a).
50)
¿Qué es lo que puede concluirse si se sabe que un vector es perpendicular a sí mismo?
51)
Demostrar que A - B A-B para todo A,B perteneciente a V n.
52)
Si A =(2, -1, 1) y B =(3, -4, -4) , hallar un punto C tal que A, B, y C son los vértices de un triángulo rectángulo.
53)
Sean A =(1, 2) y B =(3, 4) dos vectores de V 2. Hallar los vectores P y Q tales que A =P + Q, sabiendo que P // B, y Q es ortogonal a B.
22
54)
Dados dos vectores A = (1, 2, 3, 4, 5) y B = (1, ½, 1/3, ¼, 1/5). Hallar dos vectores C y D que satisfacen las tres condiciones siguientes: C paralelo a A, D es ortogonal a A, y B = C + D.
55)
Formando el producto escalar de los vectores A = cos α i + senα j
56)
Demostrar que dos vectores de V n cumplen la siguiente proposición:
la identidad trigonométrica: cos (α – β) = cosα cos β + senα sen β
y B = cosβ i + senβ j, deducir
// A + B //² + // A – B //² = 2 // A //² + 2 // B //² ¿Qué teorema de Geometría referente a los lados y diagonales de un paralelogramo se puede deducir de esta identidad? 57)
Sean A =(1, 2, 3, 4), B = (-1, 2, -3, 0) y C =(0, 1, 0,1) tres vectores de V4,. Calcular cada uno de los siguientes productos: a) A . B; b) B . C; c) A . C; d) A .(B + C); e) (A - B) . C
58)
Dados tres vectores A =(2, 4, -7), B =(2, 6, 3), y C =(3, 4, -5). En cada una de las expresiones siguientes se pueden introducir paréntesis de una sola manera para obtener una expresión que tenga sentido. Introducir dichos paréntesis y efectuar las oper aciones . a) A . B C; b) A . B + C ; c) A + B
C; d) A B . C
.
59)
Demostrar si es o no cierta la proposición siguiente referente a vectores en V n: Si A.B = A.C y A 0, es B = C.
60)
Demostrar si es o no cierta la proposición siguiente que se refiere a vectores en V n: Si A.B=0 para todo B, es A = 0?
61)
Si A =(1, -2, 3) y B =(1, 2, -2), hallar los escalares x e y tales que C = xA + yB es un vector no nulo y que C . B = 0
62)
Si A =(2, -1, 2) y B =(-1, -2, 3) y C =(1, -1, 1) tres vectores de V 3 . Calcular la norma de cada uno de los siguientes vectores: a) A + B; b) A - B; c) A + B - C; d) A – B + C
63) 64)
Si A =(1, 2, 3, 4, 5) y B =(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5), hallar dos vectores C y D de V 5 que satisfagan todas las condiciones siguientes: B = C + 2D, D . A = 0 y C paralelo a A. ean A =(2, -1, 5), B =(-1, -2, 3) y C =(1, -1, 1) tres vectores de V 5. Calcular la norma de cada uno de los siguientes vectores:
S
a) A + B; b) A - B: c) A + 2B; d) A - 2B; e) 2A - B 65)
En cada caso hallar un vector B de V 2 tal que B . A = 0 y //B// = //A// si: a) A = (1, 1); b) A =(1, -1); c) A =(2, -3); d) A =(a, b)
66)
Sean A = (1, -2, 3) y B =(3, 1, 2) dos vectores de V 3. En cada caso, hallar un vector C de longitud unidad paralelo a: a) A +B; b) A - B; c) A + 2B; d) A - 2B; e) 2A- -B
67)
Dados los vectores de V 3 A = (4, 1, -3), B =(1, 2, 2), C =(1, 2, -2), D =(2, 1, 2) y E =(2, -2,-1). Determinar todos los pares ortogonales.
23
68)
Hallar todos los vectores de V 2 que tienen la misma longitud que A y le son ortogonales si: a) A = (1, 2), b) A = (1, -2); c) A =(2, -1); d) A =(-2, 1)
69)
Si A =(1, -1, 2) y B = (2, 1, -1), hallar un vector no nulo C de V 5 ortogonal a A y a B.
70)
Dados los vectores A =(2, -1, 1), B =(1, 2, -1), y C =(1, 1, -2) de V 3. Hallar los vectores D de la forma xB + yC ortogonales a A y de longitud unidad.
71)
Demostrar que para dos vectores A y B se tiene la identidad:
A B
2
AB
2
4 A. B y por tanto A. B
0 si
y sólo si A B
A B
Interpretar este resultado geométricamente en V 2; las diagonales de un paralelogramo son iguales si y sólo si el paralelogramo es un rectángulo. 72)
Un vector de V n tiene longitud 6. Un vector de V n tiene la propiedad de que para todo par de escalares x e y los vectores xA + yB y yA - 9xB son ortogonales. Calcular las longitudes de B y de 2A + 3B.
73)
Dados en V n dos vectores A y B no nulos y no paralelos, demostrar que existen vectores C y D que satisfacen las tres condiciones del ejercicio 21 y expresar C y D en función de Ay B.
74)
Demostrar si es o no cierta cada una de las proposiciones siguientes relativas a vectores en Vn: a) Si A es ortogonal a B,, //A + xB// //A// para todo número real x. b) Si //A + xB// //A// para todo número real x, A es ortogonal a B.
1.7.
Ángulo entr e dos vectores y vector proyección 1.7.1. Ángulo entr e vectores
El ángulo que forman dos vectores, es aquel que tiene en su vértice la cola de los dos vectores, como se muestra en la figura 1.23.
Al estudiar el vector suma A + B, se dedujo que su módulo era igual a: // A B // 2
// A // 2 // B // 2 2 // A //// B // cos
Por definición de norma sabemos que: // A B // 2 ( A B).( A B) // A // 2 // B // 2 2 A B . Aplicando la propiedad transitiva, tenemos: // A // 2 // B // 2 2 // A //// B // cos = // A // 2 // B // 2 2 A.B
De donde se deduce que: A . B = //A// //B// cos Luego: cos
A. B // A // // B //
24
// A // // B //
arc.cos
A. B
1.7.2. Vector pr oyección Dados dos vectores A y B de Vn, tal que A cB, definimos vector proyección de A sobre el vector B, como el vector que tiene su cola en la cola de B y su flecha en el pie de la perpendicular bajada de la flecha de A a la recta de acción de B. Según la definición el vector proyección de A sobre B, es un vector cB, como se muestra en la figura 1.24, de donde se deduce que, P = cB, luego nuestro problema se reduce a calcular c.
A //A //
Para poder relacionar este vector con el vector A, nos inventamos el vector PA, que es ortogonal al vector B, y por lo tanto PA . B=0. Este vector permite afirmar que el vector A = P + PA Como P = cB:
0
P
B
A = cB + PA
Eliminando al vector PA, multiplicando ambos miembros de la igualdad por B: B . A = B . (cB + PA) = B . (cB) + B . PA = c(B . B) + 0 / PA B y PHPE De donde se deduce que : c
A. B // B // 2
A. B B // B // 2
P
por tan to
a) M ódul o del vector proyección: // P //
A. B B 2 B
Luego :
P
A. B B
2
B
A. B B
2
B
A. B B
B
2
A. B B
A. B B
b) Senti do del vector pr oyección: y
Como el vector proyección, es un vector P = cB, su sentido dependerá del signo de c, como c es igual a c
c
A. B // B // 2
y como A . B = //A// //B// cos :
// A // // B // cos // B //
2
// A // // B //
1
cos
0
Como las normas son siempre positivas, el signo de c dependerá exclusivamente del cos , luego para facilitar ver la variación del coseno, hacemos su gráfica, que se adjunta. En consecuencia tenemos que:
c:
y = cosx
(+)
π/2
-1
π
3 π/2
(+) 2 π
(-)
será positvo , cuando cos 0 y esto será así cuando : 0 3 2 2 2 :: será negativo ,cuando el cos 0 y esto será así : 3 2 2
c) Di rección del vector proyección : como P = cB, entonces la dirección del vector proyección P. Será igual
a la dirección del vector B.
25
x
1.8.
Vectores coordenados un itarios
“Los vectores coordenados unitarios son aquellos que tienen su cola en el orig en, tienen como recta de acción los ejes coordenados, su sentido coincide con el positivo de éstos y su longitud es la unidad. Por lo tanto habrá tantos vectores como ejes y si el sistema es ortogonal los vectores coordenados unitarios serán ortogonales entre si.”
Teniendo en cuenta la descripción anterior, los vectores coordenados unitarios en V n , serán los "n" vectores E 1 = (1, 0, 0, ... , 0, 0), E 2 = (0, 1, 0, ......, 0, 0),...... E n = (0, 0, 0, ... , 0, 1), en donde el k-ésimo componente de E k es igual a 1 y todos los demás componentes son cero.
Tienen módulo igual a1 (unitaruio) :
// E K // 1 para K 1, 2, 3.......,n
Obsérvese que: Son ortogonale s entre si : E i . E j 0 si i j ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Teorema:
“Los vectores coordenados unitarios permiten expresar todo vector X = (x 1 x2 ,....,xn ) de V n como combinación lineal de ellos, esto es”: Si X ( x1, x2 , .......... , xn ) x1 E 1 x2 E 2 .......... xn E n
Tesis
n
xi E i i 1
Demostración: Determinando los productos xE: x1 E 1 x1 (1,0,0,.......,0)
( x1, 0, 0, ........,0) x2 E 2 x2 (0,1,0,.......,0) ( 0, x2 ,0, ........,0) .......... .......... ........ xn E n xn (0,0,0,......., 1)
(0, 0, 0, ........, xn )
Sumando miembro a miembro las igualdades :
n
x E ( x , x ,................., x ) X i
i
1
2
n
i 1
n
Luego :
X x1 E 1 x2 E 2
........ xn E n
x E i
i
lqqd
i 1
Debido a que los sistemas más usuales son el bidimensional y el tridimensional, vamos a convenir la siguiente simplificación, llamando a E 1 i, E 2 j y a E 3 k , de modo que: - En V 2 : i = (1,0) ,
j = (0,1)
figura 1.25 a
- En V 3 : i = (1,0,0 ) , j = (0,1,0) , k = (0,0,1) figura 1.25 b y
j
z
k
1 o
i 1 (a)
1
0
x
1
i x
Luego un vector A = ( 2, 3) = 2i + 3j y si B = (2, -3, 5) = 2i - 3j + 5k
26
1
(b)
1.9.
Ángu los y cosenos director es 1.9.1. Ángulos directores
Son los ángulos que un vector forma con cada uno de los de los vectores coordenados unitarios. Por lo tanto habrá tantos ángulos como ejes tenga el sistema, p.e. si estamos en V n tendremos “n” ejes y por lo tanto el vector formará con cada uno de estos ejes “ n ” ángulos, llamados directores, debido a que definen la dirección del vector. : vamos a realizar un estudio inductivo acerca de este tema y empezaremos en V 1: En V 1 todos Análisis los vectores de dicho espacio tienen la misma recta de acción y por lo tanto todos ellos forman con su único eje un solo ángulo cuyo valor es 0° ó , no se da otra alternativa. En la figura siguiente se ilustra considerando el vector A =(a 1 ) y el vector B = (b 1 ), de modo que el vector A tiene como ángulo director α1 = 0 y B α1 = . b1 a1 B
O 1
A
En V 2 en cambio se tiene dos ejes y todo vector formará con cada uno de los ejes un ángulo, por lo tanto tendremos dos ángulos directores. Dado el vector A = ( a 1 , a2 )
y A a 2
α2
Vemos que el vector A forma con el eje XX un ángulo α1 y con el eje YY α 2, que corresponden a sus ángulos directores.
//A//
α1
a 1 x
En V 3 tenemos tres ejes luego el vector formará tres ángulos y serán: a1 , a2 y a 3 como se muestra en la figura 1.28
z
a3
Y así podemos seguir hasta llegar al espacio V n , de modo que un vector en dicho espacio formará n Ángulos directores.
A //A//
1
Dichos ángulos serán: 1 , 2 , 3 , ............, n respectivamente.
2 a2
d
y
a1 x
1.9.2. Cosenos director es
“Vienen a ser los cosenos de los ángulos directores“. El valor de dichos cosenos se puede inducir, haciendo un análisis de los casos particulares. En V 1 como el ángulo es igual a 0° ó entonces los cosenos directores de todos los vectores de este espacio son iguales a 1 ó – 1. Por tanto se puede decir que cos 1 =
a1 a1
el cual será 1 o – 1 dependiendo del valor que tenga la
componente, si a 1 <0 el cos 1= -1 y si a1 >0 entonces cos 1 = 1 En V 2 apoyándonos en la figura anterior se puede deducir que: cos 1 Podemos hacer lo mismo en V 3 de modo que: cos 1
a1 A
; cos 2
a1 A
cos 2
y cos 3
y a2 A
a2 A a3 A
Luego en V n un vector A = (a1 , a2 , ......, an ) tendrá “n” cosenos directores que se pueden sintetizar de la manera siguiente al observar los casos particulares:
27
cos i
De donde: cos 1
a1
; cos 2
A
ai
a2
i 1, 2, ......,n
A
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .. cos n
A
an A
Se conviene usar la designación α, β, y γ cuando trabajamos en V 2 y en V 3.
1.10. Vector unitario de un vector dado El vector unitario de un vector dado A =(a 1 , a2 ,......., a n ) de V n , es aquel vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es la unidad. Dicho vector se designa como A u
A
Por lo anterior se tiene que A // A luego: A U
Au = cA y // Au //=// cA //= /c/ // A // y // Au // = 1 3 Aplicando la transitiva : /c/ // A // = 1 De donde se deduce que: c Por lo tanto: Au = cA =
A A
1 A
como c>0 entonces /c/ = c =
a 1 A
,
, a2 .. A
, .......... .. ,
an
A
1
1
A
cos 1, cos 2 ,.....,cos n
a , a .. a Au = 1 , 2 , ............ , n cos 1, cos 2 , .....,cos n A
A
A
Vemos que el vector unitario del vector A es un vector cuyas componentes son los cosenos directores de dicho vector.
1.10.1. Problemas resueltos Ej emplo 1.15:
Tres vectores A, B y C de V n satisfacen las condiciones siguientes: // A // = // C // = 5, / / B // = 1, //A- B + C // = // A + B + C //. Si el ángulo que forman A y B es /8, hallar el que forman B y C. Solución:
Llamando al ángulo que forman B y C, y elevando al cuadrado la última igualdad para evitar raíces cuadradas tenemos // A – B + C //² = ( A – B + C ).( A – B + C ) = A.A + B.B + C.C - 2A.B - 2B.C +2A.C // A + B + //² = ( A + B + C ).( A + B + C ) = A.A + B.B + C.C + 2A.B + 2B.C + 2A.C Igualando y simplificando: -A.B = B.C -//A// //B//cos( /8) = //B// //C//cos entonces cos = -cos ( /8) luego = 7 /8
28
Ej emplo 1.16:
a) Sean: A = ( a, b, c ) y , ß, los ángulos que A forma con los vectores coordenados unitarios i, j y k, respectivamente. Calcular cos , cos ß, cos . Estos se llaman cosenos directores de A. b) Hallar todos los vectores de V 3 de longitud 1 paralelos a A. Solución:
a) A .i = ( a, b, c ) . (1, 0, 0) = a (1) A .i = //A// //i//cos //A// = a 2 + b2 + c2 y // i // 12 02 02 1 A.i = a 2 b2 c2 cos (2) cos =
Igualando (1)=(2) se deduce: b
Análogamente: cos =
2 2 2 a +b + c
a 2 2 2 a +b +c
; cos =
c 2 2 2 a +b +c
b) Sea: Au = tA un vector unitario de A: // Au // = | t | // Au // = | t | a 2 + b 2 + c 2 = 1 de donde
Por lo que:
Au = + _
(a,b,c) 2 2 2 a +b +c
=
a a2
1
t =
b2 c2
2 2 2 a +b +c
,
b a 2 b2 c 2
,
2 2 2 a b c c
Luego: Au = ( cos , cos , cos ) Ej emplo 1.17
Determinar la proyección de A sobre B si A = (1,2,3) y B = (1,2,2) Por definición sabemos que P = cB, y que P + PA = A siendo PA B Eliminando al vector PA, multiplicando ambos miembros por B: B . ( P + PA ) = B . A B . P + B . PA = B . A sabemos que B . PA = 0 Y como P = cB: B . (cB) = B . A despejando: c
A. B B
2
1 4 6
1 4 4
Por tan to P
2
11 9
11 9
(1, 2, 2)
1.10.2. Problemas pr opuestos 75)
En cada uno de los siguientes casos, expresar A como la suma de un vector paralelo a B y un vector ortogonal a B. a) A = (-5,8) b) A = (1,2,3) c) A = (1,2,3) d) A = (2,1,1)
, , , ,
B = (1,1) B = (0,0,1) B = (1,1,0) B = (1,2,0)
29
76)
En cada uno de los siguientes casos, calcular el componente y la proyección de A sobre B. a) A = (1,1,1) b) A = (1,0,1) c) A = (1,2,-3,6) d) A = (a1 ,a2 ,a3 )
, , , ,
B = (1,0,1) B = (1,1,1) B = (1,0,1,0) B = (0,a2 ,0)
77)
Dados tres vectores no nulos A, B y C de V n , suponer que el ángulo que forma A y C es igual al que forman B y C. Demostrar que C es ortogonal al vector //B// A - //A// B
78)
Formando el producto escalar de los dos vectores (cos a, sen a) y (cos ß, sen ß), deducir la identidad trigonométrica: cos(a-ß) = cos a.cos ß + sen a.sen ß.
79)
Dados los vectores: U = 3i-j y V = ai+4j , a) Determinar "a" de forma que U y V sean ortogonales. b) Determinar "a" de forma que U y V tengan sentidos opuestas.
80)
Dados tres vectores A, B y C de V 2 , siendo A ortogonal a C del mismo módulo, demostrar que: //A//²//B//² = (A.B)² + (C.B)² a) Probar que: U =( 2 2 , 2 2 )i+( 2 2 )j y V=(- 2 2 )i+( 2 2 )j,son vectores unitarios perpendiculares. b) Expresar i en la forma xU + yV. c) Expresar j en la forma xU + yV. d) Expresar -2i + 3j en la forma xU + yV.
81)
Demostrar que para vectores cualquiera A,B y C de V n , siendo //B// =//C// = 1 y B.C = 0, se cumple: A = (B.A)B + (C.A)C
82)
Demostrar que para tres vectores coplanares A, B y C de V n , , siendo B y C perpendiculares, y //B//=//C//, se cumple: a) //B//²A = (B.A)B + (C.A)C b) //B// ²//A//² = (B.A)² + (C.A)²
83)
Para dos vectores cualesquiera A y B de V n , demostrar que: a) Si: A = tB y t > 0, entonces (A.B) / (//A// //B//) = 1. b) Si: A = tB y t < 0, entonces (A.B) / (//A//// //B//) = -1.
84)
Sean: A = (a1 ,a2 ), B =(b1 ,b2 ) y C =(c1 ,c2 ). Demostrar que b1=c1 , si A.B = A.C y A es paralelo al eje X.
85)
Tres vectores A, B, C de V 3 satisfacen las propiedades siguientes: //A//=//C//=5; //B//=1; // A – B + C //=// A + B + C //. Si el ángulo que forman A y B es /8, hallar el que forman B y C.
86)
Demostrar que el ángulo que forman A = (1, 2, 1) y B = (2, 1, -1) es el doble del que forman C = (1, 4, 1) y D = (2, 5, 5).
87)
Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo son perpendiculares.
88)
Dados dos vectores A = ( cosa, - sena ) y B = ( sena, cosa ) de V 2. a. Demostrar que A y B son ortogonales de longitud unidad. Haga un dibujo en el que A y B formen un ángulo = /6.
30
b. Hallar todos los vectores (x, y) de V 2 tales que (x, y) = xA + yB. Asegurarse de que se consideran todos los posibles valores de . 89)
La identidad A . B = //A// //B// cos θ da lugar a una interpretación geométrica del producto escalar en el espacio de 3 dimensiones. Esta identidad sugiere una manera de definir ángulos entre vectores en un n – espacio. Sean A y B dos vectores del n – espacio. Demostrar que:
1
a)
A. B A B
1
b) Existe exactamente una θ, 0 ≤ θ ≤ π tal que A . B = //A// //B// cos θ. Esta θ se denomina ángulo entre A y B. c) ¿Es válida la Ley del Coseno en un n – espacio? 90)
En relación con el ejercicio 58, sean A = (1, 1, …….., 1) y B = (1, 2, 3, ……., n): a) Demostrar que: cos
3 2
1 n 1/ 2 n
b) Encontrar el límite del valor de θ cuando n crece indefinidamente ( es decir, cuando 1/n → 0) 91)
Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior cuando, A = (2, 4, 6,…….,2n) y B=(1, 3, 5, …… ..,2n1).
92)
Dados los vectores A = 2i – j + k, B = i + 2j – k, C = i + j – 2k encontrar todos los vectores de longitud unidad que sean combinación lineal de B y C y perpendiculares a A.
93)
Si A = 2i – j + k y B = 3i – 4j – 4k encontrar un vector C en el espacio V 3 tal que los extremos de A, B y C sean los vértices de un triángulo rectángulo.
Pr oyecciones, á ngu los y vectores coordenados uni tar ios
94)
Determinar la proyección de A sobre B si A =(1, 2, 3) y B =(1, 2, 2).
95)
a) Sean A =(6, 3, -2) y a, b, c los ángulos directores de A. Calcular los cosenos directores. b) Hallar todos los vectores de V 3 de longitud unidad paralelos a A.
96)
Demostrar que el ángulo que forman A=(1, 2,1) y B =(2, 1,-1) es el doble del que forman C =(1, 4, 1) y D =(2, 5, 5).
97)
Determinar vectorialmente los cosenos de los ángulos del triángulo en el espacio de 3 dimensiones cuyos vértices son los puntos A =(2, -1, 1), B =(1, -3, -5) y C =(3, -4, -4).
98)
Dados los puntos A =(1, 0, 0), B =(2, 0, 1), C =(1, 2, 2) y D =(0, 1, 1). Se pide: a) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D b) Determinar el área del triángulo de vértices B, C y D. c) Calcular la distancia del vértice A a la cara BCD.
31
1.11. Producto vectori al o exteri or En las aplicaciones de los vectores en el espacio tridimensional a problemas de geometría y de mecánica, es frecuentemente necesario construir un vector no nulo perpendicular a dos vectores dados A y B . Esto se consigue con el producto vectorial A x B
1.11.1. Definición Sean A = (a1 ,a2 , a3 ) y B = (b1 , b2 , b3 ) dos vectores de V 3 Su producto vectorial A x B (en este orden) se define como el vector: A x B = (a2 b3 - a3b2 ,, a3 b1 - a1 b3 , a1b2 - a2b1 )= (a2b3 - a3b2 )i+ (a3b1 - a1b3 )j + ( a1b2 - a2b1 )k
Aplicando las propiedades de los determinantes: A x B
a2
a3
b2
b3
i
a3
a1
b3
b1
j
a1
a2
b1
b2
A x B
a2
a3
b2
b3
i
j
k
a1
a2
a3
b1
b2
b3
k
i
a1
a3
b1
b3
j
a1
a2
b1
b2
i
j
k
k a1
a2
a3
b1
b2
b3
1.11.2. Propiedades Para todos los vectores A , B y C de V 3 y para todo número real c tenemos: a) A x B = - (B x A) b) A x (B + C) = A x B + A x C c) c(A x B) = (cA) x B d) A.(A x B) = 0 e) B.(A x B) = 0 f) //A x B// ²= //A// ²//B// ²-(A.B) ² g) A x B = 0 si A // B
(simetría alternada) (PSAPV) (ley distributiva) (PDPV) (homogénea) (PHPV) (ortogonalidad respecto a A) (PORAPV) (ortogonalidad respecto a B) (PORBPV) (identidad de Lagrange) (condición de paralelismo)
: Sean A y B dos vectores linealmente independientes de V 3 se tiene: Teoremas a) Los vectores A , B , A xB son linealmente independientes. b) Todo vector N de V 3 ortogonal a A y B simultáneamente, es el producto de un escalar por A xB . Las demostraciones de estos dos teoremas se encuentran más adelante en el apartado 2.14 Pr ocederemos a demostrar algun as de las propiedades, el alu mno deberáreali zar l as demostr aciones que fal tan:
a) Simetría alternada : A x B = - (B x A) i
j
k
Por definición sabemos que A x B = a1 a2
a3
b1
b2
=
-
b3
i
j
k
b1
b2
b3
a1
a2
a3
La conmutación de dos líneas trae consigo un cambio de signo. d) Ortogonali dad respecto a A : A.( A x B ) = 0 A x B =
a2
a3
b2
b3
i
a1
a3
b1
b3
j
a1
a2
b1
b2
k
32
BxA
A.( A x B )
a2 a3 a1 a3 a1 a2 a2 a3 a1 a3 a1 a2 , , a1 a2 a3 .( a1 ,a2 ,a3 ) b1 b3 b1 b2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 b2 b3 a1
a2
a3
A.( A x B ) a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
Dado que un determinante que tiene dos líneas iguales su valor es cero. g) Condici ón de paralelismo :
A x B = 0 si A // B a1 cb1
a cb 3 3
Si A // B entonces A = cB luego: a2 cb2
Luego: A x B =
i
j
k
a1
a2
a3
b1
b2
b3
=
por definición de igualdad de vectores
i
j
k
cb1
cb2
cb3
b1
b2
b3
c
i
j
k
b1
b2
b3
b1
b2
b3
0
Las propiedades utilizadas, son la homogénea y la de un determinante con dos líneas iguales.
1.11.3. Análisis del vector AxB a) M ódulo del vector AxB:
// ² = // A // ²// B // De la I denti dad de Lagrange tenemos que: // A x B ²( A .B ) ² (1) Y sabemos que A.B = //A// //B// cos , luego elevando al cuadrado ambos miembros: ( A .B )² = // A // ²// B //²cos² , reemplazando en (1): // A x B // ² = // A // ²// B // ²-// A // ²// B // ²cos² = // A //² // B // ²(1 - cos² )
Ax B
//AxB/
B
//B//
h= //B//sen
//A//
A
// A x B // ²= // A // ²// B // ²(sen² ) Como //A// > 0 y //B// > 0 entonces: // A x B // = //A// //B// / sen / I nterpr etación geomé tr ica de //A x B//:
En la figura 1.41, se deduce que en el paralelogramo que se forma al trazar por cada flecha una paralela a la dirección del otro, se tiene que su base es //A// y su altura es //B//sen , luego el área del paralelogramo será: Ap = //A// //B//sen Podemos concluir que la norma del vector A x B coincide con el valor del área del paralelogramo, esta coincidencia abre un campo de estudio adicional al álgebra de vectores, ya que podemos calcular áreas. Para la dirección basta definir la recta de acción, para a) definir Di rección del vector A xB: esto basta determinar un punto de la recta y su dirección. Considerando las propiedades de ortogonalidad respecto de A y B, podemos afirmar que el vector A x B es ortogonal a la vez a A y a B y por lo tanto ortogonal al plano definido por las rectas de acción L A y L B. Si se tiene un plano cualquiera podemos trazar infinitas rectas perpendiculares a este, pero todas ellas son // entre si, y por tanto tienen la misma dirección. En 33 consecuencia se puede afirmar que la dirección ortogonal al plano es única y en consecuencia si el plano esta definido lo estará su dirección . Respecto al punto, este será el origen. Al
b) Senti do del vector A x B:
El sentido del vector producto es convencional, y se elige la regla del tornillo, esto es, si el giro es a la izquierda el vector va hacia arriba, y si el giro es a la derecha el sentido del vector es hacia abajo. En la figura 1.42 se puede apreciar que el producto va de A hacia B, luego el giro es hacia la izquierda por lo tanto el vector A x B va hacia arriba como se muestra en la figura. Si el producto fuese B x A, en la figura vemos que al ir de B hacia a A, el giro es hacia la derecha, por lo tanto el sentido de B x A será hacia abajo.
1.11.4. Problemas resueltos Ej emplo 1.11:
Hallar un vector de longitud unidad en V 3 ortogonal a la vez a: A = i - 2j + 3k y B = - 3i + 2j - k . Primero hallaremos un vector ortogonal a A y B a la vez: AxB
i j
k
B
A x B = = 1 - 2 3
= (-4, -8, -4)
-3 2 -1 A 0
El vector pedido X será paralelo al vector A x B y su norma igual a la unidad, luego X = c(A x B) y su norma // X // =1 Por tanto: X = c(-4, -8, -4) = - 4c(1, 2, 1) y su norma // X // = /- 4c / / Como // X // =1 entonces: 4 /c/
6
De donde se obtiene que /c/ =1 / 4 Luego X = 1 / 4
6
6
= 4/c/
6
=1 6
c = 1 / 4
(-4,-8,-4) = 1/
6
6
(-1, -2, -1)
Ej emplo 1.12:
Dados dos vectores linealmente independientes A y B de V 3 y sea C = ( B x A ) -B . a) Demostrar que A es ortogonal a B + C . b) Demostrar que el ángulo que forman B y C satisface: /2< < . c) Si // B // . = 1 y // B x A // = 1, calcular la longitud de C Solución:
a) Si A es ortogonal a B + C , entonces debe cumplirse que A . ( B + C ) = 0. Tenemos que: Si C = (B x A) - B
entonces B + C = B x A .
Multiplicando escalarmente por A a ambos miembros: A .( B + C) = A .(B x A) = 0, debido a que A es ortogonal a B x A.
34
Concluimos que A .( B + C) = 0 y por ende A ( B + C ) b) Calculamos el B .C : sabemos que B .C = //B// //C// cos Por hipótesis sabemos que C = (B x A) - B, luego: B.C = B.(B x A) – B .B = 0 - //B// ² / (PORBPV) cos =
B.C B C
B
2
B C
B C
0
(1)
luego
/ 2 3 / 2
Pero nos dicen que , porqué es así? Asumamos la posibilidad de que = entonces cos =-1 luego si reemplazamos en (1): //B//=//C// ¿Será esto posible? Calculemos la // C //: Como C = B x A - B Y // C // = (B x A – B ). (B x A – B) = ² = C .C = // B x A // ² - 2( B x A ).B + // B // ² // C // ² = // B x A // ² + // B // ² (relación pitagórica) El que // B // = // C // equivale decir que // B x A // = 0, lo cual se cumple si A y B son dependientes, lo cual es falso. Por tanto .. Por otro lado vemos que si > entonces como B x A = B + C. el vector B x A tendría sentido contrario, como se muestra en la figura y esto no es posible, y por lo tanto no puede ser mayor que . Luego / 2 c) Sabemos que:
// C // ² = // B x A // ² + // B // ² = 4 +1 = 5
C =
5
Ej emplo 1.13:
Demostrar la propiedad f ) enunciada en 2.13.2. // A x B // ² = ( A x B ).( A x B ) = (a2 b3 - a3 b2 ) ²+ (a3 b1 - a1b3 ) ² + (a1 b2 - a2 b1 ) ² //A // ²// B // ) ² = (a1²+ a2² + a3²) (b1² + b2² + b3²) - (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) ² ²-( A .B Al desarrollar las operaciones indicadas se verifica que los segundos miembros coinciden, lo cual demuestra la propiedad. Ej emplo 1.14:
Demostrar los teoremas enunciados en 2.13.2. a) Si A y B son linealmente independientes, significa que dichos vectores generan a todo vector que se encuentran en el plano definido por las rectas de acción de A y B. Como A x B es ortogonal a A y a B a la vez, significa que es ortogonal al plano y por lo tanto no puede ser generado por A y B, concluyendo que A, B y A x B son tres vectores linealmente independientes.
35
Otra forma de demostrar su independencia es demostrando que dichos vectores generan al vector cero con unicidad Para probar la independencia lineal, hagamos la combinación lineal y probemos que los escalares deben ser cero: aA + bB + cA x B = 0 Multiplicando escalarmente ambos miembros por A x B y teniendo en cuenta que A .A x B = B .A x B=0 aA .( A xB) + bB .( A xB) +( cA xB) .( A xB ) = 0 + 0 + c// A x B // ² = 0 luego c = 0 Por consiguiente: aA + bB = 0 Para que esta suma sea cero, existen dos alternativas que a = b = 0 ó que aA sea el vector opuesto de bB, para que esto sea posible es necesario que A y B sean paralelos esto es A = cB, pero esto no puede ser ya que A y B son linealmente independientes por hipótesis. Luego a = b = c = 0, por lo tanto A, B y A x B generan al vector cero de un modo trivial, esto es, con unicidad en consecuencia dichos vectores serán linealmente independientes. b)
Todo vector N de V 3 ortogonal a A y B simultáneamente, es el producto de un escalar por A x B .
Si A x B es ortogonal a A y a B a la vez, todo vector que goce de la misma característica será paralelo a Ax B, por tanto nuestro vector N = c(A x B) Ej emplo 1.15
Demostrar que //A x B// = //A// //B// si A y B son perpendiculares. Solución: Por la la identidad de Lagrange sabemos que: // A x B // ² = // A // ² // B // ) ² ² - ( A .B Si A B: A.B =0 entonces // A x B // ² = // A // ² // B // ²- ( 0 ) ²= // A // ² // B // ² Sacando raíz cuadrada a ambos miembros: / // A x B // / = / // A // // B // /=// // A // // B // / Como las normas son siempre positivas: // A x B // = // A // // B // lqqd
1.11.5. Problemas resueltos 114)
Sean A = - I + 2k , B = 2 i + j - k , C = I + 2 j + 2k . Calcular en función de i , j , k los siguientes vectores: a) ( A x C ) x B . b) ( A + B ) x ( A - C ). c) ( A x B ) x ( A x C ).
115)
En cada caso, utilizar el producto vectorial para calcular el área del triángulo de vértices A ,B ,C : Luego determine la longitud de sus lados y el valor de los ángulos internos de dichos triángulos. a) A = (0, 2, 2) ,B = (2, 0, -1), C = (3 ,4 ,0) b) A = (-2 ,3, 1) , B = (1, -3, 4), C = (1, 2, 1) c) A = (0, 0, 0) ,B = (0, 1, 1), C = (1, 0, 1)
116)
Sean: A = 2i – j + 2k y C = 3i + 4j - k . a) Hallar un vector B tal que A x B = C . ¿Hay más de una solución? b) Hallar un vector B tal que A x B = C y A .B = 1. ¿Hay más de una solución?
36
117)
Dados dos vectores no paralelos A y B de V 3 , siendo A .B = 2, // A // = 1, // B // = 2( A = 4. Sea C x B ) - 3B . Calcular: A .( B + C ), // C // . y el coseno del ángulo que forman B y C
118)
Dados dos vectores ortogonales A y B de V 3 , ambos de longitud unidad. Sea P un vector que satisface la ecuación P x B = A - P . Demostrar cada una de las siguientes proposiciones: a) P es ortogonal a B y tiene longitud 2 / 2 b) P, B, P x B forman una base para V3 c) (P x B) x B = -P d) P = [A - A x B] / 2
119)
Encontrar i x ( i x j) e ( i x i) x j para comprobar con ellos que la propiedad asociativa no se cumple para el producto vectorial.
En los ejercicios del 120-123, determinar todos los vectores no nulos ortogonales a: 120) 121) 122) 123)
(2, -3, 4) (1, -2, -4) (2, 6, -4) (-1 ,1 ,2)
y (-1, 5, 7). y (-3, 2, -6). y (3, 9, -6). y (1, 1, 1).
En los ejercicios del 124-127, calcular las áreas de los paralelogramos que tienen por lados los que se indican: 124) 125) 126) 127)
i – j + 5k y 2i + 4j - 8k .
(1, 3, 7) y (-2, -4, 3). 2i + 3j = 5k e i - 2k . (-3 ,2 ,-4) y (1, 1, 1).
En los ejerci cios del 128 - 131, cal cul ar las áreas de los tr iángulos con l os vé rtices indi cados:
128) 129) 130) 131)
5 i - 4j , 12k - 5j , 8i + j 7 . (1, 5, 4), (8, 2, 3), (22, -4, 1). (0 ,0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1). (-2, 3, 1), (1, 2, 1), (1, -3, 4).
132)
Sean A y B dos vectores ortogonales en V 3 , teniendo cada uno longitud unidad. a) Sea C = (A x B) x A. Demostrar que // C //=1 b) Trazar una figura que muestra la relación geométrica entre A, B y A x B y utilizar esa figura para obtener las relaciones: (A x B) x A = B ; (A x B) x B = -A
133)
Dados un vector no nulo A y un vector C ortogonal a A, ambos en V 3. Demostrar que existe un solo vector B tal que A x B = C y A .B =1
1.12. Producto mixto 1.12.1. Definición Los productos escalar y vectorial pueden combinarse para formar el producto mixto C.AxB , cuyo significado es C .( A x B ) exclusivamente. Puesto que es el producto escalar de dos vectores, su valor es un escalar. Observemos que los vectores deben pertenecer a V 3. Sean A = (a1 , a2 , a3 ) , B = (b1 , b2 , b3 ) y C = (c1 , c2 , c3 ) tres vectores de V 3.
37
A x B=
a2
a3
b2
b3
i
a1
a3
b1
b3
j
a1
a2
b1
b2
a2
a3
b2
b3
C .( A x B ) A ( c1 ,c2 ,c3 ) .
k
,
a1
a3
b1
b3
,
a1
a2
b1
b2
c1
c2
c3
C .( A x B ) a1
a2
a3
b1
b2
b3
a2
a3
b2
b3
c1
a1
a3
b1
b3
c2
a1
a2
b1
b2
c3
Así pues C .A x B es igual al determinante cuyas filas son los componentes de C, A y B, en ese orden y no en otro, esto es, si se conmutan las filas el determinante puede cambiar.
1.12.2. I nterpr etación geomé tr ica En la figura 1.45 se muestra un paralelepípedo determinado por tres vectores geométricos A ,B y no situados en el mismo plano. Su altura es C // C // cos , siendo el ángulo que forman A x B y C . En esta figura, cos > 0 porque 0 < < /2. El área del paralelogramo que forma la base es ║A x B ║, y ésta también es el área de la sección paralela a la base. Esto conduce a afirmar que el volumen del paralelepípedo es V = // A x B // // C // , es decir, el producto del área de la base por la altura. cos Pero sabemos por el producto escalar que : C.A x B = // A x B // // C // cos Es decir, el producto mixto C .A x B coincide con el valor del volumen del paralelepípedo que forman A , B y C . Esta interpretación geométrica permite entender la independencia lineal o no de tres vectores en V 3. Vamos a demostrar que una permutación cíclica de los vectores deja inalterado el producto mixto: A x B .C = .A C x A .B = B x C Mediante operacione s matriciale s elementale s : c1
c2
c3
a1
a2
a3
a1
a2
a3
C .( A x B ) a1
a2
a3 K 12 c1
c2
c3 K 23 b1
b2
b3 A. B x C
b1
b2
b3
b2
b3
c2
c3
b1
c1
También, como el producto escalar es conmutativo, tenemos: A x B .C = B x C .A = C x A .B
a1
a2
a3
A B . x C b1
b2
b3 K 12
c1
c2
c3
Luego :
C . A x B
b1
b2
b3
a1 a2 a3 K 23 c1 c2
c3
c1
b2 c2
b3 c3
A B . x C B .Cx A
38
b1 a1
a2
a3
B .C x A
Para tratar de aclarar un poco más este tema podemos expresar cada producto mixto de la siguiente manera:
AxB.C = // AxB // // C // cos α; BxC.A = // BxC // // A // cos β y CxA.B = // CxA // // B // cosγ Como la norma del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo definido por dichos vectores, se puede entender que la primera expresión corresponde al cálculo del volumen del paralelepípedo tomando como base la cara definida por los vectores A y B, la segunda tomando como base el paralelepípedo definido por B y C y la tercera por C y A.
1.12.3. Teorema Tres vectores A , B , C de V 3 son linealmente dependientes si y sólo si A .B xC = 0. Demostración: Para que A, B y C sean linealmente dependientes se tiene que cumplir cualquiera de los siguientes casos: Que los tres vectores sean colineales o coplanares, en ambos casos los vectores no forman un paralelepípedo y por lo tanto V = 0, y en consecuencia su producto mixto será cero.
1.12.4. Problemas resueltos Ej emplo 1.16:
Haciendo uso del producto mixto, hallar los números reales t para que los tres vectores (1,t,1), (t,1,0), (0,1,t) sean linealmente dependientes. Solución: La dependencia se cumple si el producto mixto de los tres vectores es cero:
│1t1│ │ t 1 0 │ = (1)(t - 0) + (t)(0 – t ²) + (1)(t - 0) = 2t – t 3 = t(2 – t 2 ) = 0 │01t│ La independencia lineal se da para valores de t = 0 y t = ±√2. Ej emplo 1.17:
Demostrar que: ix ( A x i) + j x (A x j) + k x (A x k) = 2A Supongamos un vector A = a1i a2 j a3k . i
j
k
Axi = a1 a2 a3 0i a3 j a2k (0, a3 , a2 ) 1
0
0
i
j
k
jxi= a1
a2
a3
0
1
0
i
j
k
ix(Axi)= 1
0
0
0
a3
a2
a3i 0 j a1k ( a3 , 0, a1 ) jx(Axj)=
39
0i a2 j a3 k ( 0 ,a2 ,a3 )
i
j
k
0
1
0
a3
0
a1
a1i aj a3k ( a1 , a, a3 )
i
j
k
Axk = a1 a2 a3 a2i a1 j 0k (a2 , a1, 0) 0
0
kx(Axk)=
1
i
j
k
0
0
1
a2
a1
0
a1i aj a 3 k ( a1 , a 2 ,0)
Sumando miembro a miembro: i x (A x i) + j x (A x j) + k x (A x k) = (0, a2 , a3 ) + ( a1 ,0, a3 ) + ( a1, a 2 , 0) = 2a1i 2a2 j 2a3k 2 A Ej emplo 1.18:
Demostrar que el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D es: (1/6) │(B-A).(C-A)x(D- A)│ Solución: Sabemos que el volumen de un tetraedro es: V = (1/3) Base x Altura (1) en la figura 1.47 notamos: Base = área del triángulo ADC 1 Base = // (C - A)x(D - A) // (2) 2
Esto es, la mitad de la base del paralelepípedo ACC’D
H = altura = //AB// cos
Cuyo valor coincide con la //ACxAD//=//(C-A)x(D-A)// Altura =proyección de B-A sobre (C-A)x(D-A): coincide con la altura del paralelepípedo.
C B
El volumen del paralelepípedo estará dado por el producto:
AC x AD D
Vp=(B-A).(C-A)x(D-A), luego: Altura= Vp/Ap =
/(B - A).(C - A)x(D - A) / ( C - A)x(D - A)
(3)
Base=1/2//ACxAD// A
Reemplazando (2) y (3) en(1): ( B A ).( C A ) x( D A ) 1 1 Volumen ( C A )( D A ) x 3 2 ( C A ) x( D A ) Volumen
1 6
( B A ).( C A ) x( D A )
Ej emplo 1.19
Hacer uso de las propiedades algebraicas, de los productos escalar y vectorial, para demostrar las siguientes proposiciones: a)
(A + B).(A + B) x C = 0
Como el producto mixto se expresa como un determinante de 3x3, en donde las filas vienen a ser los componentes de los vectores que intervienen en el producto, entonces como en nuestro producto el vector A+B se repite, quiere decir que nuestro determinante tendrá dos filas iguales y por lo tanto será igual a cero. b) A .B x C = - B . A x C a1
a2
a3
A. BxC b1
b2
b3 K 12
c1
c2
c3
b1
b2
b3
a1 a2 a3 B. AxC lqqd c1
c2
c3
40
1.12.5. Problemas pr opuestos 134)
Calcular el producto mixto en cada caso: a) A = (3 ,0, 0) , b) A = (2, 3, -1) , c) A = (2, 1, 3) ,
B = (0, 4, 0) B = (3 ,-7, 5) B = (-3, 0, 6)
, , ,
C = (0, 0, 8). C = (1, -5, 2). C = (4, 5, -1).
135)
Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: i + j, j + k, k + i.
136)
Hallar los vectores ai + bj + ck que satisfacen la relación: (ai + bj + ck).kx(6i +3j +4k) = 3 Este ejercicio esboza una demostración de la identidad vectorial: A x (B x C) = (C.A)B - (B.A)C, que algunas veces se llama fórmula "cab menos bac". Sean B = (b 1 ,b2 , b3 ) y C = (c1 , c2 , c3 ). Demostrar que: i x ( B x C ) = c 1 B - b1 C (1) Esto demuestra la identidad en el caso particular A = i. Demostrar las fórmulas correspondientes para A = j y A = k, y combinarlas luego para obtener la identidad. Para facilitar al alumno la demostración, se procederá a demostrar (1): i
j
k
B x C b1
b2
b3
c1
c2
c3
( b2c3 b3c2 )i ( b1c3 b3c1 ) j ( b1c2 b2c1 )k xi yj zk
Calculemos i x( B x C ) : i
j
k
i x ( B x C ) 1
0
0
0i ( b1c2 b2c1 ) j ( b1c3 b3c1 )k b1( c2 j c3k ) c1( b2 j b3k )
x y z Sumando y res tan do b1c1i i x( B x C ) b1c1i b1c1i b1( c2 j c3k ) c1( b2 j b3k ) b1( c1i c2 j c3k ) c1( b1i b2 j b3k ) De donde :
137)
i x ( B x C ) c1 B
b1C
lqqd
Calcular el volumen del tetraedro formado por los puntos: A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 2), C = (0, 3, 0) y D = (4, 0, 0).
137)
Utilizar la fórmula “cab menos bac” del ejercicio anterior para demostrar las siguientes
proposiciones vectoriales:
a) (A x B) x (C x D) = (A x B.D)C – (A x B.C)D b) A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) =0 c) A x (B x C) =(A x B) x C si y sólo si B x (C x A)=0 138)
Cuatro vectores A, B, C y D que satisfacen las relaciones: D = i + 2j + k, C – D = i- k.
41
A x C . B = 5, A x D . B = 3, C +
